ნახეთ, რა არის „სლაუ“ სხვა ლექსიკონებში. ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის მაგალითები მატრიცული მეთოდის გამოყენებით მეოთხე რიგის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა (SLAE) უდავოდ ყველაზე მნიშვნელოვანი თემაა წრფივი ალგებრის კურსში. მათემატიკის ყველა დარგიდან ამოცანების დიდი რაოდენობა მოდის წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნამდე. ეს ფაქტორები ხსნის ამ სტატიის მიზეზს. სტატიის მასალა ისეა შერჩეული და სტრუქტურირებული, რომ მისი დახმარებით შეძლოთ

• აირჩიეთ ოპტიმალური მეთოდი თქვენი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გადასაჭრელად,
• შეისწავლეთ არჩეული მეთოდის თეორია,
• გადაჭრით თქვენი წრფივი განტოლებების სისტემა ტიპიური მაგალითებისა და ამოცანების დეტალური ამონახსნების გათვალისწინებით.

სტატიის მასალის მოკლე აღწერა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ ყველა საჭირო განმარტებას, კონცეფციას და ვაცნობთ აღნიშვნებს.

შემდეგ განვიხილავთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდებს, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები. პირველ რიგში, ყურადღებას გავამახვილებთ კრამერის მეთოდზე, მეორეც, ვაჩვენებთ განტოლებათა ასეთი სისტემების ამოხსნის მატრიცულ მეთოდს და მესამე, გავაანალიზებთ გაუსის მეთოდს (უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი). თეორიის გასამყარებლად, ჩვენ აუცილებლად მოვაგვარებთ რამდენიმე SLAE-ს სხვადასხვა გზით.

ამის შემდეგ გადავალთ ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნაზე, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას ან სისტემის მთავარი მატრიცა სინგულარულია. ჩამოვაყალიბოთ კრონეკერ-კაპელის თეორემა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ SLAE-ების თავსებადობა. მოდით გავაანალიზოთ სისტემების ამონახსნები (თუ ისინი თავსებადია) მატრიცის საბაზისო მინორული კონცეფციის გამოყენებით. ჩვენ ასევე განვიხილავთ გაუსის მეთოდს და დეტალურად აღვწერთ მაგალითების გადაწყვეტილებებს.

ჩვენ აუცილებლად შევჩერდებით წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი სისტემების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურაზე. მოდით მივცეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის კონცეფცია და ვაჩვენოთ, როგორ იწერება SLAE-ის ზოგადი ამონახსნები ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით. უკეთესი გაგებისთვის, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

დასასრულს, ჩვენ განვიხილავთ განტოლებათა სისტემებს, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს წრფივზე, ასევე სხვადასხვა ამოცანებს, რომელთა გადაწყვეტისას წარმოიქმნება SLAE.

გვერდის ნავიგაცია.

განმარტებები, ცნებები, აღნიშვნები.

განვიხილავთ p წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემებს n უცნობი ცვლადით (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი) ფორმის

უცნობი ცვლადები, - კოეფიციენტები (ზოგიერთი რეალური ან რთული რიცხვი), - თავისუფალი ტერმინები (ასევე რეალური ან რთული რიცხვები).

SLAE ჩაწერის ამ ფორმას ე.წ კოორდინაცია.

IN მატრიცის ფორმაგანტოლებათა ამ სისტემის დაწერას აქვს ფორმა,
სად - სისტემის მთავარი მატრიცა, - უცნობი ცვლადების სვეტის მატრიცა, - თავისუფალი ტერმინების სვეტის მატრიცა.

თუ A მატრიცას დავამატებთ თავისუფალი ტერმინების მატრიცა-სვეტს, როგორც (n+1)-ე სვეტს, მივიღებთ ე.წ. გაფართოებული მატრიცაწრფივი განტოლებათა სისტემები. როგორც წესი, გაფართოებული მატრიცა აღინიშნება ასო T-ით, ხოლო თავისუფალი ტერმინების სვეტი გამოყოფილია ვერტიკალური ხაზით დარჩენილი სვეტებისგან, ანუ,

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნაეწოდება უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობას, რომელიც აქცევს სისტემის ყველა განტოლებას იდენტურებად. უცნობი ცვლადების მოცემული მნიშვნელობების მატრიცული განტოლება ასევე ხდება იდენტურობა.

თუ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც, მაშინ მას უწოდებენ ერთობლივი.

თუ განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები, მაშინ მას უწოდებენ არაერთობლივი.

თუ SLAE-ს აქვს უნიკალური გამოსავალი, მაშინ მას ე.წ გარკვეული; თუ არსებობს ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ - გაურკვეველი.

თუ სისტემის ყველა განტოლების თავისუფალი წევრები ნულის ტოლია , მაშინ სისტემას ეძახიან ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ჰეტეროგენული.

წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნა.

თუ სისტემის განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და მისი მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ასეთი SLAE ეწოდება ელემენტარული. განტოლებათა ასეთ სისტემებს აქვთ უნიკალური ამონახსნები და ერთგვაროვანი სისტემის შემთხვევაში ყველა უცნობი ცვლადი ნულის ტოლია.

ასეთი SLAE-ების შესწავლა საშუალო სკოლაში დავიწყეთ. მათი ამოხსნისას ავიღეთ ერთი განტოლება, გამოვხატეთ ერთი უცნობი ცვლადი სხვების მიხედვით და ჩავანაცვლეთ დარჩენილ განტოლებებში, შემდეგ ავიღეთ შემდეგი განტოლება, გამოვხატეთ შემდეგი უცნობი ცვლადი და ჩავანაცვლეთ სხვა განტოლებებით და ა.შ. ან გამოიყენეს შეკრების მეთოდი, ანუ დაამატეს ორი ან მეტი განტოლება ზოგიერთი უცნობი ცვლადის აღმოსაფხვრელად. ამ მეთოდებზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, რადგან ისინი არსებითად გაუსის მეთოდის მოდიფიკაციებია.

წრფივი განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნის ძირითადი მეთოდებია კრამერის მეთოდი, მატრიცული მეთოდი და გაუსის მეთოდი. მოდით დაალაგოთ ისინი.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

დავუშვათ, ჩვენ უნდა ამოხსნათ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა

რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უცნობი ცვლადების რაოდენობის ტოლია და სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან, ანუ .

მოდით იყოს სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი და - მატრიცების დეტერმინანტები, რომლებიც მიიღება A-დან ჩანაცვლებით 1-ლი, მე-2, ..., მე-რსვეტი, შესაბამისად, თავისუფალი წევრების სვეტში:

ამ აღნიშვნით, უცნობი ცვლადები გამოითვლება კრამერის მეთოდის ფორმულების გამოყენებით . ასე მოიძებნება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამონახსნი კრამერის მეთოდით.

მაგალითი.

კრამერის მეთოდი .

გამოსავალი.

სისტემის ძირითად მატრიცას აქვს ფორმა . მოდით გამოვთვალოთ მისი განმსაზღვრელი (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

ვინაიდან სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არის არანულოვანი, სისტემას აქვს უნიკალური ამოხსნა, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით.

შევადგინოთ და გამოვთვალოთ საჭირო დეტერმინანტები (განმსაზღვრელს ვიღებთ A მატრიცის პირველი სვეტის თავისუფალი ტერმინების სვეტით ჩანაცვლებით, განმსაზღვრელი მეორე სვეტის თავისუფალი ტერმინების სვეტით და A მატრიცის მესამე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით) :

უცნობი ცვლადების პოვნა ფორმულების გამოყენებით :

პასუხი:

კრამერის მეთოდის მთავარი მინუსი (თუ შეიძლება მას მინუსად ვუწოდოთ) არის დეტერმინანტების გამოთვლის სირთულე, როდესაც სისტემაში განტოლებების რაოდენობა სამზე მეტია.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით (შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით).

მოდით, ხაზოვანი ალგებრული განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით იყოს მოცემული, სადაც A მატრიცას აქვს განზომილება n-ზე n-ზე და მისი განმსაზღვრელი არის არანულის.

ვინაიდან , მატრიცა A არის შექცევადი, ანუ არსებობს შებრუნებული მატრიცა. თუ ტოლობის ორივე მხარეს გავამრავლებთ მარცხნივ, მივიღებთ ფორმულას უცნობი ცვლადების მატრიცა-სვეტის საპოვნელად. ასე მივიღეთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამონახსნი მატრიცული მეთოდის გამოყენებით.

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა მატრიცული მეთოდი.

გამოსავალი.

მოდით გადავიწეროთ განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით:

იმიტომ რომ

მაშინ SLAE შეიძლება ამოხსნას მატრიცის მეთოდით. ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით, ამ სისტემის გამოსავალი შეიძლება მოიძებნოს როგორც .

მოდით ავაშენოთ შებრუნებული მატრიცა მატრიცის გამოყენებით A მატრიცის ელემენტების ალგებრული მიმატებიდან (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

რჩება უცნობი ცვლადების მატრიცის გამოთვლა შებრუნებული მატრიცის გამრავლებით თავისუფალი წევრების მატრიცა-სვეტისთვის (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

პასუხი:

ან სხვა აღნიშვნით x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

მატრიცის მეთოდის გამოყენებით ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამონახსნების ძიებისას მთავარი პრობლემაა ინვერსიული მატრიცის პოვნის სირთულე, განსაკუთრებით მესამეზე მაღალი რიგის კვადრატული მატრიცებისთვის.

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

დავუშვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამონახსნი n წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის n უცნობი ცვლადით
რომლის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან.

გაუსის მეთოდის არსიშედგება უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრისგან: ჯერ x 1 გამოირიცხება სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული, შემდეგ x 2 გამოირიცხება ყველა განტოლებიდან, დაწყებული მესამედან და ასე შემდეგ, სანამ მხოლოდ უცნობი ცვლადი x n დარჩება. ბოლო განტოლებაში. სისტემური განტოლებების გარდაქმნის ამ პროცესს უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მიზნით ეწოდება პირდაპირი გაუსის მეთოდი. გაუსის მეთოდის წინა სვლის დასრულების შემდეგ ბოლო განტოლებიდან მოიძებნება x n, ბოლო განტოლებიდან ამ მნიშვნელობის გამოყენებით გამოითვლება x n-1 და ასე შემდეგ, პირველი განტოლებიდან გვხვდება x 1. სისტემის ბოლო განტოლებიდან პირველზე გადასვლისას უცნობი ცვლადების გამოთვლის პროცესს ეწოდება გაუსის მეთოდის ინვერსია.

მოდით მოკლედ აღვწეროთ უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის ალგორითმი.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ , რადგან ამის მიღწევა ყოველთვის შეგვიძლია სისტემის განტოლებების გადალაგებით. ამოვიღოთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული. ამისთვის, სისტემის მეორე განტოლებას ვუმატებთ პირველს, გამრავლებული ზე, მესამე განტოლებას ვამატებთ პირველს, გამრავლებულს და ასე შემდეგ, n-ე განტოლებას ვამატებთ პირველს, გამრავლებული . განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად და .

იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ გამოვხატავდით x 1 სხვა უცნობი ცვლადების მიხედვით სისტემის პირველ განტოლებაში და მიღებული გამონათქვამი ჩავცვლით ყველა სხვა განტოლებით. ამრიგად, ცვლადი x 1 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვაგრძელებთ ანალოგიურად, მაგრამ მხოლოდ მიღებული სისტემის ნაწილით, რომელიც მითითებულია ფიგურაში

ამისთვის სისტემის მესამე განტოლებას ვუმატებთ მეორეს, გამრავლებულს, მეოთხე განტოლებას ვამატებთ მეორეს, გამრავლებულს და ასე შემდეგ, n-ე განტოლებას ვუმატებთ მეორეს, გამრავლებულს. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად და . ამრიგად, ცვლადი x 2 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვაგრძელებთ უცნობი x 3-ის აღმოფხვრას, ხოლო ანალოგიურად ვიმოქმედებთ ფიგურაში მონიშნული სისტემის ნაწილთან.

ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ პროგრესირებას, სანამ სისტემა არ მიიღებს ფორმას

ამ მომენტიდან ვიწყებთ გაუსის მეთოდის საპირისპიროს: ბოლო განტოლებიდან ვიანგარიშებთ x n-ს, როგორც , x n-ის მიღებული მნიშვნელობის გამოყენებით ვპოულობთ x n-1-ს ბოლო განტოლებიდან და ასე შემდეგ, ვპოულობთ x 1-ს პირველი განტოლებიდან. .

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდი.

გამოსავალი.

სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 1. ამისათვის, მეორე და მესამე განტოლების ორივე მხარეს ვამატებთ პირველი განტოლების შესაბამის ნაწილებს, გამრავლებული და შესაბამისად:

ახლა ჩვენ გამოვრიცხავთ x 2-ს მესამე განტოლებიდან მის მარცხენა და მარჯვენა გვერდებს დავუმატოთ მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები, გამრავლებული:

ეს ასრულებს გაუსის მეთოდის წინსვლას; ჩვენ ვიწყებთ საპირისპირო დარტყმას.

შედეგად მიღებული განტოლებათა სისტემის ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ x 3:

მეორე განტოლებიდან ვიღებთ.

პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ დარჩენილ უცნობ ცვლადს და ამით ვასრულებთ გაუსის მეთოდის საპირისპიროს.

პასუხი:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა.

ზოგადად, p სისტემის განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას n:

ასეთ SLAE-ებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, ჰქონდეთ ერთი გამოსავალი ან უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი. ეს განცხადება ასევე ეხება განტოლებების სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის კვადრატული და სინგულარული.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პოვნამდე აუცილებელია მისი თავსებადობის დადგენა. პასუხი კითხვაზე, როდის არის SLAE თავსებადი და როდის არათანმიმდევრული, მოცემულია კრონეკერ-კაპელის თეორემა:
იმისათვის, რომ p განტოლებათა სისტემა n უცნობით (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი) თანმიმდევრული იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი ტოლი იყოს გაფართოებული მატრიცის რანგის, ე.ი. , წოდება(A)=რანკი(T).

განვიხილოთ, როგორც მაგალითი, კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობის დასადგენად.

მაგალითი.

გაარკვიეთ აქვს თუ არა წრფივი განტოლებათა სისტემა გადაწყვეტილებები.

გამოსავალი.

. გამოვიყენოთ არასრულწლოვანთა შემოსაზღვრების მეთოდი. მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულიდან. მოდით შევხედოთ მესამე რიგის არასრულწლოვანებს, რომლებიც მას ესაზღვრება:

ვინაიდან მესამე რიგის ყველა მოსაზღვრე მცირეწლოვანი უდრის ნულს, მთავარი მატრიცის წოდება უდრის ორს.

თავის მხრივ, გაფართოებული მატრიცის რანგი უდრის სამს, ვინაიდან მინორი მესამე რიგისაა

განსხვავდება ნულიდან.

ამრიგად, Rang(A), მაშასადამე, კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემა არათანმიმდევრულია.

პასუხი:

სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

ამრიგად, ჩვენ ვისწავლეთ სისტემის შეუსაბამობის დადგენა კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით.

მაგრამ როგორ ვიპოვოთ გამოსავალი SLAE-სთვის, თუ დადგინდა მისი თავსებადობა?

ამისათვის ჩვენ გვჭირდება მატრიცის საბაზისო მინორის კონცეფცია და მატრიცის რანგის თეორემა.

A მატრიცის უმაღლესი რიგის მინორი, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან, ეწოდება ძირითადი.

საბაზისო მინორის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი რიგი უდრის მატრიცის რანგს. არანულოვანი მატრიცისთვის A შეიძლება იყოს რამდენიმე საბაზისო მინორი; ყოველთვის არის ერთი საბაზისო მინორი.

მაგალითად, განიხილეთ მატრიცა .

ამ მატრიცის ყველა მესამე რიგის მინორი ნულის ტოლია, რადგან ამ მატრიცის მესამე რიგის ელემენტები არის პირველი და მეორე რიგის შესაბამისი ელემენტების ჯამი.

შემდეგი მეორე რიგის მცირეწლოვანები ძირითადია, რადგან ისინი არ არიან ნულოვანი

არასრულწლოვანთა არ არის ძირითადი, რადგან ისინი ნულის ტოლია.

მატრიცის რანგის თეორემა.

თუ p რიგის მატრიცის რანგი n-ის მიხედვით უდრის r-ს, მაშინ მატრიცის ყველა მწკრივის (და სვეტის) ელემენტი, რომლებიც არ ქმნიან არჩეულ საფუძველს მინორი, წრფივად გამოხატულია შესაბამისი მწკრივის (და სვეტის) ელემენტების ფორმირებით. საფუძველი მცირე.

რას გვეუბნება მატრიცის რანგის თეორემა?

თუ კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით დავადგინეთ სისტემის თავსებადობა, მაშინ ვირჩევთ სისტემის მთავარი მატრიცის ნებისმიერ საფუძველს (მისი რიგი უდრის r) და გამოვრიცხავთ სისტემიდან ყველა განტოლებას. არ ქმნიან შერჩეულ საფუძველს მცირე. ამ გზით მიღებული SLAE იქნება თავდაპირველის ექვივალენტი, ვინაიდან გაუქმებული განტოლებები ჯერ კიდევ ზედმეტია (მატრიცის რანგის თეორემის მიხედვით, ისინი არის დარჩენილი განტოლებების წრფივი კომბინაცია).

შედეგად, სისტემის არასაჭირო განტოლებების გაუქმების შემდეგ შესაძლებელია ორი შემთხვევა.

თუ მიღებულ სისტემაში r განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ ის იქნება განსაზღვრული და ერთადერთი ამონახსნი შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

მაგალითი.

.

გამოსავალი.

სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი უდრის ორს, ვინაიდან მინორი მეორე რიგისაა განსხვავდება ნულიდან. გაფართოებული მატრიცის რანგი ასევე უდრის ორს, რადგან ერთადერთი მესამე რიგის მინორი არის ნული

ხოლო ზემოთ განხილული მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულისაგან. კრონკერ-კაპელის თეორემაზე დაყრდნობით შეგვიძლია დავამტკიცოთ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის თავსებადობა, ვინაიდან რანგ(A)=Rank(T)=2.

საფუძველს მინორს ვიღებთ . იგი იქმნება პირველი და მეორე განტოლების კოეფიციენტებით:


სისტემის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს საბაზისო მინორის ფორმირებაში, ამიტომ გამოვრიცხავთ მას მატრიცის რანგის თეორემაზე დაფუძნებული სისტემიდან:


ასე მივიღეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემა. მოდით მოვაგვაროთ ის კრამერის მეთოდით:


პასუხი:

x 1 = 1, x 2 = 2.

თუ R განტოლებათა რაოდენობა მიღებულ SLAE-ში ნაკლებია უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე n, მაშინ განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც ქმნიან საფუძველს მცირედ, ხოლო დანარჩენ წევრებს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს. სისტემის განტოლებები საპირისპირო ნიშნით.

განტოლებების მარცხენა მხარეს დარჩენილი უცნობი ცვლადები (მათი r) ეწოდება მთავარი.

უცნობ ცვლადებს (არსებობს n - r ცალი), რომლებიც მარჯვენა მხარეს არის, ეწოდება უფასო.

ახლა ჩვენ გვჯერა, რომ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს შეუძლიათ მიიღონ თვითნებური მნიშვნელობები, ხოლო r მთავარი უცნობი ცვლადები გამოისახება თავისუფალი უცნობი ცვლადების მეშვეობით უნიკალური გზით. მათი გამოხატულება შეიძლება მოიძებნოს მიღებული SLAE-ის ამოხსნით კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

მოდით შევხედოთ მას მაგალითით.

მაგალითი.

ამოხსენით წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა .

გამოსავალი.

მოდი ვიპოვოთ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდით. ავიღოთ 1 1 = 1, როგორც პირველი რიგის არანულოვანი მინორი. დავიწყოთ ამ მინორის მოსაზღვრე მეორე რიგის არანულოვანი მინორის ძიება:


ასე ვიპოვეთ მეორე რიგის არანულოვანი მინორი. დავიწყოთ მესამე რიგის არანულოვანი მოსაზღვრე მინორის ძებნა:


ამრიგად, მთავარი მატრიცის წოდება არის სამი. გაფართოებული მატრიცის წოდება ასევე უდრის სამს, ანუ სისტემა თანმიმდევრულია.

ჩვენ ვიღებთ მესამე რიგის ნაპოვნი არანულოვანი მინორის საფუძვლად.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მინორის საფუძველს:


ჩვენ ვტოვებთ ძირითად მინორში ჩართულ ტერმინებს სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს, ხოლო დანარჩენს საპირისპირო ნიშნებით გადავცემთ მარჯვენა მხარეს:


მოდით მივცეთ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს x 2 და x 5 თვითნებური მნიშვნელობები, ანუ ვიღებთ , სადაც არის თვითნებური რიცხვები. ამ შემთხვევაში, SLAE მიიღებს ფორმას


მოდით ამოხსნათ მიღებული წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემა კრამერის მეთოდით:


აქედან გამომდინარე,.

თქვენს პასუხში არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ უფასო უცნობი ცვლადები.

პასუხი:

სად არის თვითნებური რიცხვები.

შეაჯამეთ.

ზოგადი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად, ჯერ განვსაზღვრავთ მის თავსებადობას კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით. თუ ძირითადი მატრიცის რანგი არ არის გაფართოებული მატრიცის რანგის ტოლი, მაშინ დავასკვნით, რომ სისტემა შეუთავსებელია.

თუ ძირითადი მატრიცის რანგი ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის, მაშინ ჩვენ ვირჩევთ საბაზისო მინორს და ვტოვებთ სისტემის განტოლებებს, რომლებიც არ მონაწილეობენ შერჩეული საბაზისო მინორის ფორმირებაში.

თუ საბაზისო მინორის რიგი უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ SLAE-ს აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომლის პოვნაც ჩვენთვის ცნობილი ნებისმიერი მეთოდით შეიძლება.

თუ საბაზისო მინორის რიგი ნაკლებია უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ ტერმინებს ძირითად უცნობ ცვლადებთან, დარჩენილ ტერმინებს გადავცემთ მარჯვენა მხარეს და ვაძლევთ თვითნებურ მნიშვნელობებს. უფასო უცნობი ცვლადები. მიღებული წრფივი განტოლებების სისტემიდან ვპოულობთ მთავარ უცნობ ცვლადებს კრამერის მეთოდის, მატრიცული მეთოდის ან გაუსის მეთოდის გამოყენებით.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის გაუსის მეთოდი.

გაუსის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი სახის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების გადასაჭრელად მათი თანმიმდევრულობის წინასწარ შემოწმების გარეშე. უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის პროცესი შესაძლებელს ხდის დასკვნის გამოტანას როგორც SLAE-ის თავსებადობის, ასევე შეუთავსებლობის შესახებ და თუ გამოსავალი არსებობს, შესაძლებელს ხდის მის პოვნას.

გამოთვლითი თვალსაზრისით, გაუსის მეთოდი სასურველია.

მისი დეტალური აღწერა და გაანალიზებული მაგალითები იხილეთ სტატიაში გაუსის მეთოდი ზოგადი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის.

ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი წრფივი ალგებრული სისტემების ზოგადი ამოხსნის დაწერა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით.

ამ ნაწილში ვისაუბრებთ წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთდროულ ერთგვაროვან და არაერთგვაროვან სისტემებზე, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მოდით, პირველ რიგში გავუმკლავდეთ ერთგვაროვან სისტემებს.

გადაწყვეტილებების ფუნდამენტური სისტემა p წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემა n უცნობი ცვლადებით არის ამ სისტემის (n – r) წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების კრებული, სადაც r არის სისტემის მთავარი მატრიცის საბაზისო მინორის რიგი.

თუ ერთგვაროვანი SLAE-ის წრფივად დამოუკიდებელ ამონახსნებს აღვნიშნავთ, როგორც X (1), X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) სვეტებია. n განზომილების მატრიცები 1-ზე), მაშინ ამ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია C 1, C 2, ..., C (n-r) თვითნებური მუდმივი კოეფიციენტებით. არის,.

რას ნიშნავს ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნის ტერმინი (ოროსლაუ)?

მნიშვნელობა მარტივია: ფორმულა განსაზღვრავს ორიგინალური SLAE-ს ყველა შესაძლო ამონახსნებს, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვიღებთ თვითნებური მუდმივების მნიშვნელობების C 1, C 2, ..., C (n-r) ფორმულის გამოყენებით. მიიღეთ ორიგინალური ერთგვაროვანი SLAE-ის ერთ-ერთი ხსნარი.

ამრიგად, თუ ჩვენ ვიპოვით ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ამ ერთგვაროვანი SLAE-ის ყველა ამონახსნები, როგორც .

მოდით ვაჩვენოთ ერთგვაროვანი SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის აგების პროცესი.

ჩვენ ვირჩევთ წრფივი განტოლებათა ორიგინალური სისტემის საბაზისო მინორს, გამოვრიცხავთ ყველა სხვა განტოლებას სისტემიდან და ყველა ტერმინს, რომელიც შეიცავს თავისუფალ უცნობი ცვლადებს, გადავცემთ სისტემის განტოლებების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნებით. მოდით, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივცეთ მნიშვნელობები 1,0,0,...,0 და გამოვთვალოთ მთავარი უცნობი წრფივი განტოლებათა ელემენტარული სისტემის ნებისმიერი გზით ამოხსნით, მაგალითად, კრამერის მეთოდის გამოყენებით. ეს გამოიწვევს X (1) - ფუნდამენტური სისტემის პირველ ამოხსნას. თუ თავისუფალ უცნობებს მივცემთ მნიშვნელობებს 0,1,0,0,…,0 და გამოვთვლით მთავარ უცნობებს, მივიღებთ X (2) . Და ასე შემდეგ. თუ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივანიჭებთ მნიშვნელობებს 0.0,…,0.1 და გამოვთვლით ძირითად უცნობებს, მივიღებთ X (n-r) . ამ გზით, ერთგვაროვანი SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა აშენდება და მისი ზოგადი ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს სახით.

წრფივი ალგებრული განტოლებების არაჰომოგენური სისტემებისთვის, ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია სახით, სადაც არის შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნები და არის ორიგინალური არაერთგვაროვანი SLAE-ის კონკრეტული ამონახსნები, რომელსაც ვიღებთ თავისუფალი უცნობისთვის მნიშვნელობების მიცემით. 0,0,...,0 და ძირითადი უცნობების მნიშვნელობების გამოთვლა.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი.

იპოვეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და წრფივი ალგებრული განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნი .

გამოსავალი.

წრფივი განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემების მთავარი მატრიცის რანგი ყოველთვის ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის. მოდი ვიპოვოთ მთავარი მატრიცის რანგი არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდის გამოყენებით. როგორც პირველი რიგის არანულოვანი მინორი, ვიღებთ ელემენტს a 1 1 = 9 სისტემის მთავარი მატრიციდან. ვიპოვოთ მეორე რიგის მოსაზღვრე არანულოვანი მინორი:

ნაპოვნია მეორე რიგის მინორი, რომელიც განსხვავდება ნულიდან. მოდით გავიაროთ მესამე რიგის არასრულწლოვანები, რომლებიც მას ესაზღვრება არა-ნულოვანი ერთის მოსაძებნად:

ყველა მესამე რიგის მოსაზღვრე არასრულწლოვანი უდრის ნულს, შესაბამისად, მთავარი და გაფართოებული მატრიცის წოდება უდრის ორს. Მოდი ავიღოთ . სიცხადისთვის, მოდით აღვნიშნოთ სისტემის ელემენტები, რომლებიც ქმნიან მას:

ორიგინალური SLAE-ის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს საბაზისო მინორის ფორმირებაში, შესაბამისად, შეიძლება გამოირიცხოს:

ჩვენ ვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს ძირითად უცნობებს განტოლებების მარჯვენა მხარეს და გადავიტანთ ტერმინებს თავისუფალი უცნობიებით მარჯვენა მხარეს:

მოდით ავაშენოთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი ერთგვაროვანი სისტემისთვის. ამ SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ორი ამოხსნისგან, რადგან თავდაპირველი SLAE შეიცავს ოთხ უცნობ ცვლადს და მისი საბაზისო მინორის რიგი უდრის ორს. X (1) საპოვნელად, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს ვაძლევთ მნიშვნელობებს x 2 = 1, x 4 = 0, შემდეგ განტოლებათა სისტემიდან ვპოულობთ მთავარ უცნობებს.
.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის n წრფივი განტოლების გაერთიანება, თითოეული შეიცავს k ცვლადებს. ასე წერია:

ბევრი, როდესაც პირველად ხვდება უმაღლეს ალგებრას, შეცდომით თვლის, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს ცვლადების რაოდენობას. სასკოლო ალგებრაში ეს ჩვეულებრივ ხდება, მაგრამ უმაღლესი ალგებრასთვის ეს ზოგადად ასე არ არის.

განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის რიცხვთა თანმიმდევრობა (k 1, k 2, ..., k n), რომელიც არის ამონახსნი სისტემის თითოეული განტოლებისა, ე.ი. x 1, x 2, ... ცვლადების ნაცვლად ამ განტოლებაში ჩანაცვლებისას x n იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას.

შესაბამისად, განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამონახსნის სიმრავლის პოვნას ან ამ სიმრავლის ცარიელის მტკიცებას. იმის გამო, რომ განტოლებების რაოდენობა და უცნობის რაოდენობა შეიძლება არ ემთხვეოდეს, შესაძლებელია სამი შემთხვევა:

1. სისტემა არათანმიმდევრულია, ე.ი. ყველა ამოხსნის ნაკრები ცარიელია. საკმაოდ იშვიათი შემთხვევა, რომელიც ადვილად გამოვლენილია, მიუხედავად იმისა, თუ რა მეთოდია გამოყენებული სისტემის გადასაჭრელად.
2. სისტემა არის თანმიმდევრული და განსაზღვრული, ე.ი. აქვს ზუსტად ერთი გამოსავალი. კლასიკური ვერსია, რომელიც კარგად არის ცნობილი სკოლიდან.
3. სისტემა თანმიმდევრული და განუსაზღვრელია, ე.ი. აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. ეს ყველაზე რთული ვარიანტია. საკმარისი არ არის იმის მითითება, რომ "სისტემას აქვს გადაწყვეტილებების უსასრულო ნაკრები" - აუცილებელია აღვწეროთ, თუ როგორ არის სტრუქტურირებული ეს ნაკრები.

x i ცვლადს ნებადართული ეწოდება, თუ ის შედის სისტემის მხოლოდ ერთ განტოლებაში და კოეფიციენტით 1. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სხვა განტოლებებში x i ცვლადის კოეფიციენტი უნდა იყოს ნულის ტოლი.

თუ თითოეულ განტოლებაში ვირჩევთ ერთ დაშვებულ ცვლადს, მივიღებთ დაშვებული ცვლადების ერთობლიობას განტოლებათა მთელი სისტემისთვის. თავად სისტემას, რომელიც დაწერილია ამ ფორმით, ასევე დაერქმევა გადაწყვეტილს. ზოგადად რომ ვთქვათ, ერთი და იგივე ორიგინალური სისტემა შეიძლება შემცირდეს სხვადასხვა ნებადართულ სისტემაზე, მაგრამ ჯერჯერობით ეს არ გვაწუხებს. აქ არის ნებადართული სისტემების მაგალითები:

ორივე სისტემა გადაწყვეტილია x 1, x 3 და x 4 ცვლადების მიმართ. თუმცა, იგივე წარმატებით შეიძლება ითქვას, რომ მეორე სისტემა მოგვარებულია x 1, x 3 და x 5-ის მიმართ. საკმარისია გადაწეროთ ბოლო განტოლება x 5 = x 4 სახით.

ახლა განვიხილოთ უფრო ზოგადი შემთხვევა. სულ გვქონდეს k ცვლადები, რომელთაგან r დასაშვებია. მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა:

1. დაშვებული ცვლადების რაოდენობა r უდრის k ცვლადების საერთო რაოდენობას: r = k. ვიღებთ k განტოლებათა სისტემას, რომელშიც r = k დაშვებული ცვლადები. ასეთი სისტემა ერთობლივი და გარკვეულია, რადგან x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. ნებადართული ცვლადების რაოდენობა r ნაკლებია k ცვლადების საერთო რაოდენობაზე: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

ასე რომ, ზემოხსენებულ სისტემებში ცვლადები x 2, x 5, x 6 (პირველი სისტემისთვის) და x 2, x 5 (მეორისთვის) თავისუფალია. შემთხვევა, როდესაც არსებობს თავისუფალი ცვლადები, უკეთესად არის ჩამოყალიბებული როგორც თეორემა:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი! იმის მიხედვით, თუ როგორ წერთ შედეგად სისტემას, იგივე ცვლადი შეიძლება იყოს დაშვებული ან თავისუფალი. უმაღლესი მათემატიკის დამრიგებლების უმეტესობა გვირჩევს ცვლადების ლექსიკოგრაფიული თანმიმდევრობით ჩამოწერას, ე.ი. აღმავალი ინდექსი. თუმცა, თქვენ არ ხართ ვალდებული დაიცვას ეს რჩევა.

თეორემა. თუ n განტოლებათა სისტემაში დაშვებულია ცვლადები x 1, x 2, ..., x r და x r + 1, x r + 2, ..., x k თავისუფალია, მაშინ:

1. თუ დავაყენებთ უფასო ცვლადების მნიშვნელობებს (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) და შემდეგ ვიპოვით მნიშვნელობებს x 1, x 2, ..., x r, ვიღებთ ერთ-ერთ გადაწყვეტილებას.
2. თუ ორ ხსნარში თავისუფალი ცვლადების მნიშვნელობები ემთხვევა, მაშინ დაშვებული ცვლადების მნიშვნელობებიც ემთხვევა, ე.ი. გადაწყვეტილებები თანაბარია.

რა არის ამ თეორემის მნიშვნელობა? განტოლებათა ამოხსნილი სისტემის ყველა ამოხსნის მისაღებად საკმარისია თავისუფალი ცვლადების იზოლირება. შემდეგ, თავისუფალი ცვლადებისთვის სხვადასხვა მნიშვნელობების მინიჭებით, ჩვენ მივიღებთ მზა გადაწყვეტილებებს. სულ ეს არის - ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ სისტემის ყველა გადაწყვეტა. სხვა გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

დასკვნა: განტოლებათა ამოხსნილი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია. თუ გადაწყვეტილ სისტემაში განტოლებათა რაოდენობა უდრის ცვლადების რაოდენობას, სისტემა იქნება განსაზღვრული, თუ ნაკლებია - განუსაზღვრელი.

და ყველაფერი კარგად იქნებოდა, მაგრამ ჩნდება კითხვა: როგორ მივიღოთ ამოხსნილი განტოლებათა ორიგინალური სისტემიდან? ამისათვის არსებობს

მატრიცის ფორმა

წრფივი განტოლებათა სისტემა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის სახით:

ან მატრიცის გამრავლების წესის მიხედვით,

აX = ბ.

თუ A მატრიცას დაემატება თავისუფალი ტერმინების სვეტი, მაშინ A-ს ეწოდება გაფართოებული მატრიცა.

გადაწყვეტის მეთოდები

პირდაპირი (ან ზუსტი) მეთოდები საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გამოსავალი გარკვეული რაოდენობის ნაბიჯებით. განმეორებითი მეთოდები ეფუძნება განმეორებითი პროცესის გამოყენებას და საშუალებას აძლევს მიიღონ გამოსავალი თანმიმდევრული მიახლოებების შედეგად.

პირდაპირი მეთოდები

• გავლის მეთოდი(ამისთვის სამდიაგონალური მატრიცები)
• ქოლესკის დაშლაან კვადრატული ფესვის მეთოდი (ამისთვის დადებითი გარკვეულისიმეტრიული და ჰერმიტიანიმატრიცები)

განმეორებითი მეთოდები

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა VBA-ში

Option Explicit Sub rewenie() Dim i როგორც მთელი რიცხვი Dim j როგორც მთელი რიცხვი Dim r() როგორც ორმაგი Dim p როგორც ორმაგი Dim x() როგორც Double Dim k როგორც მთელი რიცხვი Dim n როგორც მთელი Dim b() როგორც Double Dim ფაილი, როგორც მთელი რიცხვი Dim y () როგორც ორმაგი ფაილი = FreeFile გახსენით "C:\data.txt" შეყვანისთვის როგორც ფაილი. r(0 დან n - 1 ) როგორც ორმაგი For i = 0 დან n - 1 იყიდება j = 0 დან n - 1 შეიტანეთ #file, x(i * n + j) შემდეგი j შეიტანეთ #ფაილი, y(i) შემდეგი i #ფაილის დახურვა i = 0-მდე n - 1 p = x(i * n + i) იყიდება j = 1-მდე n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p შემდეგი j y (i) = y(i) / p for j = i + 1 დან n - 1 p = x(j * n + i) იყიდება k = i დან - 1 x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p შემდეგი k y(j) = y(j) - y(i) * p შემდეგი j შემდეგი i "ზედა სამკუთხა მატრიცაიყიდება i = n - 1 0-მდე ნაბიჯი -1 p = y(i) იყიდება j = i + 1 დან n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) შემდეგი j r(i) = p / x(i * n + i) შემდეგი i " საპირისპირო გადაადგილება i = 0-მდე n - 1 MsgBox r(i) შემდეგი i "ბოლო ქვე

იხილეთ ასევე

ბმულები

შენიშვნები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ნახეთ, რა არის "SLAU" სხვა ლექსიკონებში:

SLAU- წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა... აბრევიატურებისა და აბრევიატურების ლექსიკონი

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ სლაუ (მნიშვნელობები). ქალაქი და უნიტარული ერთეული სლაუ Slough Country ... ვიკიპედია

- (სლაუ) ქალაქი დიდ ბრიტანეთში, როგორც დიდი ლონდონის მიმდებარე ინდუსტრიული სარტყლის ნაწილი, ლონდონი-ბრისტოლის რკინიგზაზე. 101,8 ათასი მოსახლე (1974 წ.). მექანიკური ინჟინერია, ელექტრო, ელექტრონული, საავტომობილო და ქიმიური... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

შლაუ- (Slough)Slough, სამრეწველო და კომერციული ქალაქი ბერკშირში, სამხრეთით. ინგლისი, ლონდონის დასავლეთით; 97 400 მოსახლე (1981 წ.); მსუბუქი მრეწველობის განვითარება დაიწყო მსოფლიო ომებს შორის პერიოდში... მსოფლიოს ქვეყნები. ლექსიკონი

Slough: Slough (ინგლ. Slough) ქალაქი ინგლისში, ბერკშირის საგრაფოში SLAOU წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა ... ვიკიპედია

როსლაუს მუნიციპალიტეტის გერბი ... ვიკიპედია

ქალაქი Bad Vöslau Bad Vöslau გერბი ... ვიკიპედია

SLAE-ების გადაჭრის პროექციის მეთოდები არის განმეორებითი მეთოდების კლასი, რომელშიც უცნობი ვექტორის პროექციის პრობლემა გარკვეულ სივრცეზე ოპტიმალურად არის შედარებით სხვა გარკვეულ სივრცესთან. სარჩევი 1 პრობლემის შესახებ განცხადება ... ვიკიპედია

ქალაქი ბად ვოსლაუ ბად ვოსლაუ ქვეყანა ავსტრია ავსტრია ... ვიკიპედია

ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა (FSS) არის განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების ერთობლიობა. სარჩევი 1 ჰომოგენური სისტემები 1.1 მაგალითი 2 ჰეტეროგენული სისტემები ... ვიკიპედია

წიგნები

• გამოსახულების აღდგენის, სპექტროსკოპიისა და ტომოგრაფიის პირდაპირი და ინვერსიული პრობლემები MatLab (+CD), სიზიკოვი ვალერი სერგეევიჩი. წიგნში მოცემულია ინტეგრალური განტოლებების აპარატის (IE), წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების (SLAE) და წრფივი-არაწრფივი განტოლებების სისტემების (SLNE) გამოყენება, ასევე პროგრამული...

ჯერ კიდევ სკოლაში, თითოეული ჩვენგანი სწავლობდა განტოლებებს და, სავარაუდოდ, განტოლებათა სისტემებს. მაგრამ ბევრმა არ იცის, რომ მათი გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ყველა მეთოდს, რომელიც შედგება ორზე მეტი ტოლობისგან.

ამბავი

დღეს ცნობილია, რომ განტოლებების და მათი სისტემების ამოხსნის ხელოვნება წარმოიშვა ძველ ბაბილონსა და ეგვიპტეში. თუმცა, თანასწორობები ნაცნობი ფორმით გაჩნდა ტოლობის ნიშნის "=""-ის გამოჩენის შემდეგ, რომელიც შემოიღო 1556 წელს ინგლისელმა მათემატიკოსმა რეკორდმა. სხვათა შორის, ეს ნიშანი შეირჩა მიზეზით: ეს ნიშნავს ორ პარალელურ თანაბარ სეგმენტს. მართლაც, თანასწორობის უკეთესი მაგალითი არ არსებობს.

უცნობების და ხარისხების ნიშნების თანამედროვე ასოების ფუძემდებელი ფრანგი მათემატიკოსია, თუმცა მისი აღნიშვნები მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდა დღევანდელებისგან. მაგალითად, მან აღნიშნა უცნობი რიცხვის კვადრატი ასო Q-ით (ლათ. „quadratus“), ხოლო კუბი ასო C-ით (ლათ. „cubus“). ეს აღნიშვნა ახლა უხერხულად გამოიყურება, მაგრამ იმ დროს ეს იყო ყველაზე გასაგები გზა წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების დასაწერად.

თუმცა, იმდროინდელი ამოხსნის მეთოდების ხარვეზი ის იყო, რომ მათემატიკოსები მხოლოდ დადებით ფესვებს თვლიდნენ. ეს შეიძლება გამოწვეული იყოს იმით, რომ უარყოფით მნიშვნელობებს პრაქტიკული გამოყენება არ ჰქონდათ. ასეა თუ ისე, ეს იყო იტალიელი მათემატიკოსები ნიკოლო ტარტალია, ჯეროლამო კარდანო და რაფაელ ბომბელი, ვინც პირველებმა დათვალეს უარყოფითი ფესვები მე-16 საუკუნეში. ხოლო თანამედროვე ფორმა, ძირითადი გადაწყვეტის მეთოდი (დისკრიმინანტის საშუალებით) შეიქმნა მხოლოდ მე-17 საუკუნეში დეკარტისა და ნიუტონის ნაშრომის წყალობით.

მე-18 საუკუნის შუა ხანებში შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა გაბრიელ კრამერმა იპოვა წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის ახალი გზა. ამ მეთოდს მოგვიანებით მისი სახელი დაარქვეს და დღემდე ვიყენებთ. მაგრამ კრამერის მეთოდზე ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ, მაგრამ ახლა მოდით განვიხილოთ წრფივი განტოლებები და მათი ამოხსნის მეთოდები სისტემისგან ცალკე.

წრფივი განტოლებები

წრფივი განტოლებები არის უმარტივესი განტოლებები ცვლადით (ცვლადები). ისინი კლასიფიცირდება როგორც ალგებრული. იწერება ზოგადი სახით შემდეგნაირად: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. შემდგომში სისტემებისა და მატრიცების შედგენისას დაგვჭირდება მათი წარმოდგენა ამ ფორმით.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები

ამ ტერმინის განმარტება არის: ეს არის განტოლებათა ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ საერთო უცნობი სიდიდეები და საერთო ამონახსნები. როგორც წესი, სკოლაში ყველა ხსნიდა სისტემებს ორი ან თუნდაც სამი განტოლებით. მაგრამ არსებობს სისტემები ოთხი ან მეტი კომპონენტით. ჯერ გავარკვიოთ, როგორ ჩავწეროთ ისინი, რათა მომავალში მოსახერხებელი იყოს მათი გადაჭრა. პირველი, წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები უკეთესად გამოიყურებიან, თუ ყველა ცვლადი დაიწერება x-დ შესაბამისი ქვესკრიპტით: 1,2,3 და ა.შ. მეორეც, ყველა განტოლება უნდა მივიღოთ კანონიკურ ფორმაში: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

ყველა ამ ნაბიჯის შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ საუბარი იმაზე, თუ როგორ მოვძებნოთ ამონახსნები წრფივი განტოლებების სისტემებისთვის. მატრიცები ძალიან სასარგებლო იქნება ამისთვის.

მატრიცები

მატრიცა არის ცხრილი, რომელიც შედგება რიგებისა და სვეტებისგან და მათ კვეთაზე არის მისი ელემენტები. ეს შეიძლება იყოს კონკრეტული მნიშვნელობები ან ცვლადები. ყველაზე ხშირად, ელემენტების აღსანიშნავად, ხელმოწერები მოთავსებულია მათ ქვეშ (მაგალითად, 11 ან 23). პირველი ინდექსი ნიშნავს მწკრივის ნომერს, ხოლო მეორე - სვეტის ნომერს. სხვადასხვა ოპერაციების შესრულება შესაძლებელია მატრიცებზე, ისევე როგორც ნებისმიერ სხვა მათემატიკურ ელემენტზე. ამრიგად, თქვენ შეგიძლიათ:

2) გაამრავლეთ მატრიცა ნებისმიერ რიცხვზე ან ვექტორზე.

3) ტრანსპოზირება: გადააქციეთ მატრიცის რიგები სვეტებად, ხოლო სვეტები მწკრივად.

4) გაამრავლეთ მატრიცები, თუ ერთი მათგანის მწკრივების რაოდენობა უდრის მეორის სვეტების რაოდენობას.

მოდით განვიხილოთ ყველა ეს ტექნიკა უფრო დეტალურად, რადგან ისინი გამოგვადგება მომავალში. მატრიცების გამოკლება და დამატება ძალიან მარტივია. ვინაიდან ჩვენ ვიღებთ ერთი და იგივე ზომის მატრიცებს, ერთი ცხრილის თითოეული ელემენტი კორელაციაშია მეორის თითოეულ ელემენტთან. ამრიგად, ჩვენ ვამატებთ (გამოვაკლებთ) ამ ორ ელემენტს (მნიშვნელოვანია, რომ ისინი ერთსა და იმავე ადგილებში დგანან თავიანთ მატრიცებში). მატრიცის რიცხვზე ან ვექტორზე გამრავლებისას, თქვენ უბრალოდ ამრავლებთ მატრიცის თითოეულ ელემენტს ამ რიცხვზე (ან ვექტორზე). ტრანსპონირება ძალიან საინტერესო პროცესია. ძალიან საინტერესოა ხანდახან მისი ნახვა რეალურ ცხოვრებაში, მაგალითად, ტაბლეტის ან ტელეფონის ორიენტაციის შეცვლისას. დესკტოპის ხატები წარმოადგენს მატრიცას და როდესაც პოზიცია იცვლება, ის ტრანსპონირებულია და ფართოვდება, მაგრამ მცირდება სიმაღლეში.

მოდით შევხედოთ სხვა პროცესს, როგორიცაა: მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენ არ დაგვჭირდება, მაინც სასარგებლო იქნება ამის ცოდნა. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ორი მატრიცა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ ცხრილში სვეტების რაოდენობა უდრის მეორეში მწკრივების რაოდენობას. ახლა ავიღოთ ერთი მატრიცის მწკრივის ელემენტები და მეორის შესაბამისი სვეტის ელემენტები. გავამრავლოთ ისინი ერთმანეთზე და შემდეგ დავამატოთ (ანუ, მაგალითად, a 11 და a 12 ელემენტების ნამრავლი b 12-ზე და b 22-ზე ტოლი იქნება: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . ამრიგად, მიიღება ცხრილის ერთი ელემენტი და იგი შემდგომში ივსება მსგავსი მეთოდის გამოყენებით.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ განხილვა, თუ როგორ წყდება წრფივი განტოლებათა სისტემა.

გაუსის მეთოდი

ამ თემის გაშუქება იწყება სკოლაში. ჩვენ კარგად ვიცით „ორი წრფივი განტოლების სისტემის“ კონცეფცია და ვიცით როგორ ამოხსნათ ისინი. მაგრამ რა მოხდება, თუ განტოლებების რაოდენობა ორზე მეტია? ეს დაგვეხმარება

რა თქმა უნდა, ეს მეთოდი მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, თუ თქვენ გააკეთებთ მატრიცას სისტემიდან. მაგრამ თქვენ არ გჭირდებათ მისი გარდაქმნა და მისი სუფთა სახით გადაჭრა.

მაშ, როგორ ხსნის ეს მეთოდი ხაზოვანი გაუსის განტოლებების სისტემას? სხვათა შორის, მიუხედავად იმისა, რომ ეს მეთოდი მის სახელს ატარებს, ის ძველ დროში აღმოაჩინეს. გაუსი გვთავაზობს შემდეგს: ოპერაციების განხორციელება განტოლებებით, რათა საბოლოოდ შევიყვანოთ მთელი ნაკრები ეტაპობრივ ფორმამდე. ანუ აუცილებელია, რომ ზემოდან ქვევით (თუ სწორად არის დალაგებული) პირველი განტოლებიდან ბოლოდან უცნობი შემცირდეს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ მივიღებთ, ვთქვათ, სამ განტოლებას: პირველში არის სამი უცნობი, მეორეში არის ორი, მესამეში არის ერთი. შემდეგ ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ პირველ უცნობს, ვცვლით მის მნიშვნელობას მეორე ან პირველ განტოლებაში და შემდეგ ვიპოვით დარჩენილ ორ ცვლადს.

კრამერის მეთოდი

ამ მეთოდის დასაუფლებლად სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია გქონდეთ მატრიცების დამატებისა და გამოკლების უნარები და ასევე უნდა შეძლოთ დეტერმინანტების პოვნა. ამიტომ, თუ ამ ყველაფერს ცუდად აკეთებთ ან საერთოდ არ იცით როგორ, მოგიწევთ ისწავლოთ და ივარჯიშოთ.

რა არის ამ მეთოდის არსი და როგორ გავაკეთოთ ის ისე, რომ მივიღოთ წრფივი კრამერის განტოლებათა სისტემა? ყველაფერი ძალიან მარტივია. უნდა ავაშენოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის რიცხვითი (თითქმის ყოველთვის) კოეფიციენტების მატრიცა. ამისათვის ჩვენ უბრალოდ ვიღებთ რიცხვებს უცნობის წინ და ვაწყობთ მათ ცხრილში იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი სისტემაშია ჩაწერილი. თუ რიცხვის წინ არის "-" ნიშანი, მაშინ ჩვენ ვწერთ უარყოფით კოეფიციენტს. ასე რომ, ჩვენ შევადგინეთ კოეფიციენტების პირველი მატრიცა უცნობისთვის, ტოლობის ნიშნების შემდეგ რიცხვების გარეშე (ბუნებრივია, განტოლება უნდა დაიწიოს კანონიკურ ფორმამდე, როდესაც მხოლოდ რიცხვია მარჯვნივ და ყველა უცნობი კოეფიციენტებით არის ჩართული. მარცხენა). შემდეგ თქვენ უნდა შექმნათ კიდევ რამდენიმე მატრიცა - ერთი თითოეული ცვლადი. ამისათვის ჩვენ თითოეულ სვეტს ვანაცვლებთ პირველ მატრიცაში კოეფიციენტებით, თავის მხრივ, ტოლობის ნიშნის შემდეგ რიცხვების სვეტით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ რამდენიმე მატრიცას და შემდეგ ვპოულობთ მათ დეტერმინანტებს.

მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვიპოვეთ განმსაზღვრელი, ეს პატარა საკითხია. ჩვენ გვაქვს საწყისი მატრიცა და არის რამდენიმე შედეგად მიღებული მატრიცა, რომელიც შეესაბამება სხვადასხვა ცვლადებს. სისტემის ამონახსნების მისაღებად, ჩვენ ვყოფთ მიღებული ცხრილის განმსაზღვრელს საწყისი ცხრილის განმსაზღვრელზე. შედეგად მიღებული რიცხვი არის ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობა. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ ყველა უცნობს.

სხვა მეთოდები

არსებობს რამდენიმე სხვა მეთოდი წრფივი განტოლებების სისტემების ამონახსნების მისაღებად. მაგალითად, ეგრეთ წოდებული გაუს-იორდანიის მეთოდი, რომელიც გამოიყენება კვადრატული განტოლებათა სისტემის ამონახსნების მოსაძებნად და ასევე დაკავშირებულია მატრიცების გამოყენებასთან. ასევე არსებობს ჯაკობის მეთოდი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნისთვის. ის ყველაზე მარტივია კომპიუტერთან ადაპტაციისთვის და გამოიყენება გამოთვლებში.

კომპლექსური შემთხვევები

სირთულე ჩვეულებრივ წარმოიქმნება, როდესაც განტოლებების რაოდენობა ცვლადების რაოდენობაზე ნაკლებია. მაშინ დანამდვილებით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ან სისტემა არათანმიმდევრულია (ანუ ფესვები არ აქვს), ან მისი ამონახსნების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის. თუ გვაქვს მეორე შემთხვევა, მაშინ უნდა ჩავწეროთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ზოგადი ამონახსნები. ის შეიცავს მინიმუმ ერთ ცვლადს.

დასკვნა

აქ მივედით ბოლომდე. მოდით შევაჯამოთ: ჩვენ გავარკვიეთ რა არის სისტემა და მატრიცა და ვისწავლეთ როგორ მოვძებნოთ ზოგადი ამონახსნები წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის. გარდა ამისა, განვიხილეთ სხვა ვარიანტებიც. ჩვენ გავარკვიეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა: გაუსის მეთოდი და ვისაუბრეთ რთულ შემთხვევებზე და ამონახსნების სხვა გზებზე.

სინამდვილეში ეს თემა გაცილებით ვრცელია და თუ მისი უკეთ გაგება გსურთ, გირჩევთ უფრო სპეციალიზებული ლიტერატურის წაკითხვას.