როგორია სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი. მრავალწევრების ფაქტორინგი. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი. მეთოდების კომბინაცია. ხელოვნური მრიცხველის კონვერტაციის მეთოდი

როგორც უკვე აღვნიშნე, ინტეგრალურ გამოთვლებში არ არსებობს მოსახერხებელი ფორმულა წილადის ინტეგრაციისთვის. მაშასადამე, არსებობს სამწუხარო ტენდენცია: რაც უფრო "დაგროვილია" ფრაქცია, მით უფრო ძნელია მისგან ინტეგრალის პოვნა. ამ მხრივ, თქვენ უნდა მიმართოთ სხვადასხვა ხრიკებს, რაზეც ახლა მოგიყვებით. გაწვრთნილ მკითხველს შეუძლია დაუყოვნებლივ ისარგებლოს ამით სარჩევი:

• დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანის მეთოდი უმარტივესი წილადებისთვის

ხელოვნური მრიცხველის კონვერტაციის მეთოდი

მაგალითი 1

სხვათა შორის, განხილული ინტეგრალი შეიძლება ამოხსნას ცვლადის მეთოდის ცვლილებით, აღსანიშნავად, მაგრამ ამონახსნები გაცილებით დიდხანს დაიწერება.

მაგალითი 2

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. Ჩეკი.

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის. უნდა აღინიშნოს, რომ ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი აქ აღარ იმუშავებს.

ყურადღება, მნიშვნელოვანია! მაგალითები No 1,2 ტიპიური და გავრცელებულია.... კერძოდ, ასეთი ინტეგრალები ხშირად წარმოიქმნება სხვა ინტეგრალების ამოხსნისას, კერძოდ, ირაციონალური ფუნქციების (ფესვების) ინტეგრირებისას.

განხილული ტექნიკა ასევე მუშაობს ამ შემთხვევაში თუ მრიცხველის უმაღლესი ხარისხი აღემატება მნიშვნელის უმაღლეს ხარისხს.

მაგალითი 3

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. Ჩეკი.

ვიწყებთ მრიცხველის არჩევას.

მრიცხველის არჩევის ალგორითმი ასეთია:

1) მრიცხველში მჭირდება ორგანიზება, მაგრამ იქ. Რა უნდა ვქნა? ვდებ ფრჩხილებში და ვამრავლებ:.

2) ახლა ვცდილობ გავხსნა ეს ფრჩხილები, რა ხდება? ... ჰმ... უკეთესია, მაგრამ მრიცხველში თავიდან ორი არ არის. Რა უნდა ვქნა? თქვენ უნდა გაამრავლოთ:

3) კვლავ გააფართოვეთ ფრჩხილები:. და აი, პირველი წარმატება! სწორი აღმოჩნდა! მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დამატებითი ტერმინი გამოჩნდა. Რა უნდა ვქნა? ისე, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს, იგივე უნდა დავამატო ჩემს კონსტრუქციას:
... ცხოვრება უფრო ადვილი გახდა. ისევ მრიცხველში ორგანიზება არ შეიძლება?

4) შეგიძლია. ცდილობს: ... გააფართოვეთ მეორე ტერმინის ფრჩხილები:
... უკაცრავად, მაგრამ მე ნამდვილად მქონდა წინა ნაბიჯი, არა. Რა უნდა ვქნა? თქვენ უნდა გაამრავლოთ მეორე წევრი:

5) კიდევ ერთხელ, გადამოწმებისთვის, მე ვაფართოებ ფრჩხილებს მეორე ტერმინში:
... ახლა ყველაფერი წესრიგშია: მიღებული მე -3 პუნქტის საბოლოო კონსტრუქციიდან! მაგრამ ისევ არის პატარა "მაგრამ", გამოჩნდა დამატებითი ტერმინი, რაც ნიშნავს, რომ ჩემს გამოთქმას უნდა დავამატო:

თუ ყველაფერი სწორად არის გაკეთებული, მაშინ როდესაც გავაფართოვებთ ყველა ფრჩხილს, უნდა მივიღოთ ინტეგრანდის საწყისი მრიცხველი. ჩვენ ვამოწმებთ:
კარგი.

ამრიგად:

მზადაა. ბოლო ვადაში მე გამოვიყენე ფუნქცია დიფერენციალურის ქვეშ მოყვანის მეთოდით.

თუ პასუხის წარმოებულს ვიპოვით და გამოსახულებას მივიღებთ საერთო მნიშვნელამდე, მაშინ მივიღებთ ზუსტად თავდაპირველ ინტეგრანდს. ჯამად დაშლის განხილული მეთოდი სხვა არაფერია, თუ არა გამოხატვის საერთო მნიშვნელამდე მიყვანის საპირისპირო მოქმედება.

ასეთ მაგალითებში მრიცხველის არჩევის ალგორითმი საუკეთესოდ გაკეთებულია მონახაზზე. გარკვეული უნარებით, ეს გონებრივად გამოვა. მახსოვს ჩანაწერის დრო, როდესაც მე შევასრულე ფიტლი მე -11 ხარისხზე და მრიცხველის გაფართოებამ თითქმის ორი ვერდის ხაზი აიღო.

მაგალითი 4

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. Ჩეკი.

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის.

დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანის მეთოდი უმარტივესი წილადებისთვის

ჩვენ გადავიტანთ შემდეგი ტიპის წილადების განხილვას.
,,, (კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი).

ფაქტობრივად, გაკვეთილზე უკვე გაცურდა რამდენიმე შემთხვევა რკალით და არქტანგენტით ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში... ასეთი მაგალითები იხსნება ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანისა და ცხრილის გამოყენებით შემდგომი ინტეგრაციის მეთოდით. აქ არის კიდევ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი გრძელი და მაღალი ლოგარითმებით:

მაგალითი 5

მაგალითი 6

აქ მიზანშეწონილია აიღოთ ინტეგრალების ცხრილი და დააკვირდეთ რა ფორმულებით და როგორტრანსფორმაცია ხორციელდება. Შენიშვნა, როგორ და რატომკვადრატები ხაზგასმულია ამ მაგალითებში. კერძოდ, მე-6 მაგალითში, თქვენ ჯერ უნდა წარმოადგინოთ მნიშვნელი ფორმაში , შემდეგ მიიყვანეთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ. და ეს ყველაფერი უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ გამოიყენოთ სტანდარტული ცხრილის ფორმულა .

რას უნდა უყურო, ეცადე გადაჭრა მაგალითები ## 7,8 დამოუკიდებლად, მით უმეტეს, რომ ისინი საკმაოდ მოკლეა:

მაგალითი 7

მაგალითი 8

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

თუ თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს მაგალითები, მაშინ დიდი პატივისცემა - თქვენი დიფერენცირების უნარები საუკეთესოა.

სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

ფორმის ინტეგრალები, (კოეფიციენტები და არ არის ნულის ტოლი) ამოხსნილია სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი, რომელიც უკვე გამოჩნდა გაკვეთილზე გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნები.

სინამდვილეში, ასეთი ინტეგრალები მცირდება ოთხი ცხრილის ინტეგრალიდან ერთ-ერთამდე, რომელიც ახლახან განვიხილეთ. და ეს მიიღწევა შემოკლებული გამრავლების ნაცნობი ფორმულების გამოყენებით:

ფორმულები გამოიყენება ამ მიმართულებით, ანუ მეთოდის იდეა არის გამოთქმების ხელოვნურად ორგანიზება მნიშვნელად, შემდეგ კი მათი შესაბამისად გადაქცევა რომელიმეზე.

მაგალითი 9

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის უმარტივესი მაგალითი, სადაც ტერმინით - ერთეული კოეფიციენტით(არა რაღაც რიცხვი ან მინუსი).

ჩვენ ვუყურებთ მნიშვნელს, აქ ყველაფერი აშკარად საქმეზე დადგება. დავიწყოთ მნიშვნელის კონვერტაცია:

ცხადია, თქვენ უნდა დაამატოთ 4. და ისე, რომ გამოთქმა არ შეიცვალოს - იგივე ოთხი და გამოვაკლოთ:

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

კონვერტაციის დასრულების შემდეგ ყოველთვისმიზანშეწონილია შეასრულოთ საპირისპირო მოძრაობა: ყველაფერი კარგადაა, შეცდომები არ არის.

მოცემული მაგალითის საბოლოო დიზაინი დაახლოებით ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

მზადაა. "თავისუფალი" რთული ფუნქციის შეჯამება დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: პრინციპში, მისი უგულებელყოფა შეიძლება

მაგალითი 10

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის, პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 11

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

რა უნდა გააკეთოს, როდესაც მის წინ არის მინუსი? ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა ამოიღოთ მინუსი ფრჩხილებში და მოაწყოთ პირობები იმ თანმიმდევრობით, რაც ჩვენ გვჭირდება: მუდმივი("ორი" ამ შემთხვევაში) არ შეეხოთ!

ახლა დაამატეთ ერთი ფრჩხილებში. გამოთქმის გაანალიზებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ ფრჩხილებს მიღმა უნდა დარჩეს - დაამატეთ:

აქ მივიღეთ ფორმულა, ჩვენ ვიყენებთ:

ყოველთვისჩვენ ვამოწმებთ პროექტს:
, რომლის შემოწმებაც საჭირო იყო.

დასრულების მაგალითი ასე გამოიყურება:

დავალების გართულება

მაგალითი 12

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

აქ ტერმინთან ერთად ის უკვე არა ერთეულის კოეფიციენტია, არამედ „ხუთიანი“.

(1) თუ მუდმივი მოიძებნა for, მაშინ ჩვენ მაშინვე ამოვიღებთ მას ფრჩხილებიდან.

(2) ზოგადად, ყოველთვის ჯობია ეს მუდმივი ინტეგრალის მიღმა გაიყვანოთ ისე, რომ ფეხქვეშ არ შეგეშალოთ.

(3) ცხადია, ყველაფერი ფორმულამდე დაიყვანება. აუცილებელია ტერმინის გაგება, კერძოდ, "ორი"-ს მიღება.

(4) დიახ,. ასე რომ, ჩვენ ვამატებთ გამოსახულებას და ვაკლებთ იგივე წილადს.

(5) ახლა აირჩიეთ სრული კვადრატი. ზოგადად, თქვენ ასევე გჭირდებათ გამოთვლა, მაგრამ აქ გვაქვს გრძელი ლოგარითმის ფორმულა , და აზრი არ აქვს მოქმედების შესრულებას, რატომ - ცოტა ქვემოთ გაირკვევა.

(6) სინამდვილეში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა , მხოლოდ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს, რაც არ უარყოფს ტაბულური ინტეგრალის მართებულობას. მკაცრად რომ ვთქვათ, ერთი ნაბიჯი გამოტოვებულია - ინტეგრაციამდე ფუნქცია უნდა განთავსდეს დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ: მაგრამ, როგორც არაერთხელ აღვნიშნე, ეს ხშირად უგულებელყოფილია.

(7) ძირის ქვეშ მყოფ პასუხში, სასურველია ყველა ფრჩხილის უკან გაფართოება:

მძიმე? ეს ჯერ კიდევ არ არის ურთულესი ნაწილი ინტეგრალურ გამოთვლებში. თუმცა, განხილული მაგალითები არ არის იმდენად რთული, რამდენადაც ისინი საჭიროებენ კარგ გამოთვლით ტექნიკას.

მაგალითი 13

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის. პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

მნიშვნელში არის ინტეგრალები ფესვებით, რომლებიც ჩანაცვლების გამოყენებით მცირდება განხილული ტიპის ინტეგრალებამდე, მათ შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში რთული ინტეგრალები, მაგრამ ის განკუთვნილია მაღალკვალიფიციური სტუდენტებისთვის.

დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მრიცხველის დამატება

ეს არის გაკვეთილის ბოლო ნაწილი, თუმცა, ამ ტიპის ინტეგრალები საკმაოდ ხშირია! თუ დაღლილობა დაგროვდა, იქნებ ჯობია ხვალ წავიკითხო? ;)

ინტეგრალები, რომლებსაც ჩვენ განვიხილავთ, წინა განყოფილების ინტეგრალების მსგავსია, მათ აქვთ ფორმა: ან (კოეფიციენტები, და არ არის ნულის ტოლი).

ანუ მრიცხველში გვაქვს წრფივი ფუნქცია. როგორ ამოხსნათ ასეთი ინტეგრალები?

ამ გაკვეთილში ჩვენ გავიხსენებთ პოლინომის ფაქტორებად ფაქტორინგის ყველა ადრე შესწავლილ მეთოდს და განვიხილავთ მათი გამოყენების მაგალითებს, გარდა ამისა, ჩვენ შევისწავლით ახალ მეთოდს - სრული კვადრატის ამოღების მეთოდს და ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ იგი ამონახსნისას სხვადასხვა პრობლემები.

თემა:მრავალწევრების ფაქტორინგი

გაკვეთილი:მრავალწევრების ფაქტორინგი. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი. მეთოდების კომბინაცია

გავიხსენოთ ადრე შესწავლილი მრავალწევრის ფაქტორებად ფაქტორირების ძირითადი მეთოდები:

ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღების მეთოდი, ანუ ისეთი ფაქტორი, რომელიც წარმოდგენილია მრავალწევრის ყველა თვალსაზრისით. განვიხილოთ მაგალითი:

შეგახსენებთ, რომ მონომი არის გრადუსებისა და რიცხვების ნამრავლი. ჩვენს მაგალითში ორივე წევრს აქვს რამდენიმე საერთო, იდენტური ელემენტი.

მაშ ასე, ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:

;

შეგახსენებთ, რომ გამრავლებით ფრჩხილებში, შეგიძლიათ შეამოწმოთ გამოკლების სისწორე.

დაჯგუფების მეთოდი. ყოველთვის არ არის შესაძლებელი პოლინომის საერთო ფაქტორის ამოღება. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაყოთ მისი წევრები ჯგუფებად, ასე რომ თითოეულ ჯგუფში შეგიძლიათ აიღოთ საერთო ფაქტორი და სცადოთ მისი დაშლა ისე, რომ ჯგუფებში ფაქტორების ამოღების შემდეგ გამოჩნდეს საერთო ფაქტორი მთლიანი გამოთქმისთვის, და შეგიძლიათ გააგრძელოთ გაფართოება. განვიხილოთ მაგალითი:

პირველი ტერმინი დავაჯგუფოთ მეოთხეზე, მეორე მეხუთეზე და მესამე, შესაბამისად, მეექვსეზე:

მოდით განვიხილოთ საერთო ფაქტორები ჯგუფებში:

გამოთქმას აქვს საერთო ფაქტორი. მოდი ამოვიღოთ:

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება. განვიხილოთ მაგალითი:

;

მოდით დავწეროთ გამოთქმა დეტალურად:

ცხადია, ჩვენ წინ გვაქვს სხვაობის კვადრატის ფორმულა, რადგან არის ორი გამონათქვამის კვადრატების ჯამი და მათ ორმაგ ნამრავლს აკლებენ. მოდით დავშალოთ ფორმულით:

დღეს ჩვენ ვისწავლით კიდევ ერთ მეთოდს - სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდს. იგი ეფუძნება ჯამის კვადრატისა და სხვაობის კვადრატის ფორმულებს. გავიხსენოთ ისინი:

ჯამის კვადრატის ფორმულა (განსხვავება);

ამ ფორმულების თავისებურება ის არის, რომ ისინი შეიცავს ორი გამონათქვამის კვადრატებს და მათ გაორმაგებულ პროდუქტს. განვიხილოთ მაგალითი:

მოდით დავწეროთ გამოთქმა:

ასე რომ, პირველი გამოხატულება არის ეს და მეორე არის.

ჯამის ან სხვაობის კვადრატის ფორმულის შესაქმნელად გამონათქვამების ორმაგი ნამრავლი საკმარისი არ არის. მისი დამატება და გამოკლებაა საჭირო:

დავამსხვრიოთ ჯამის სრული კვადრატი:

მოდით გადავცვალოთ მიღებული გამონათქვამი:

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კვადრატების სხვაობისთვის, გავიხსენოთ, რომ განსხვავება ორი გამონათქვამის კვადრატებს შორის არის ნამრავლი და ჯამი მათი განსხვავების მიხედვით:

ასე რომ, ეს მეთოდი, უპირველეს ყოვლისა, შედგება იმაში, რომ აუცილებელია გამოსახულებების იდენტიფიცირება a და b, რომლებიც არის კვადრატში, ანუ იმის დადგენა, თუ რომელი გამონათქვამების კვადრატებია ამ მაგალითში. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა შეამოწმოთ გაორმაგებული პროდუქტის არსებობა და თუ ის იქ არ არის, შემდეგ დაამატეთ და გამოაკლოთ იგი, მაგალითის მნიშვნელობა არ შეიცვლება აქედან, მაგრამ პოლინომი შეიძლება გამრავლდეს კვადრატის ფორმულების გამოყენებით. კვადრატების ჯამი ან სხვაობა და სხვაობა, თუ ასეთი შესაძლებლობა არსებობს.

მოდით გადავიდეთ მაგალითების ამოხსნაზე.

მაგალითი 1 - ფაქტორიზება:

მოდით ვიპოვოთ გამონათქვამები კვადრატში:

მოდით ჩამოვწეროთ რა უნდა იყოს მათი გაორმაგებული პროდუქტი:

დაამატეთ და გამოაკლეთ პროდუქტი ორჯერ:

დავამსხვრიოთ ჯამის სრული კვადრატი და მივცეთ მსგავსი:

მოდით დავწეროთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა:

მაგალითი 2 - ამოხსენით განტოლება:

;

განტოლების მარცხენა მხარეს არის ტრინომიალი. ჩვენ უნდა გავაანალიზოთ ის. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას სხვაობის კვადრატისთვის:

გვაქვს პირველი გამოსახულების კვადრატი და გაორმაგებული ნამრავლი, მეორე გამოსახულების კვადრატი აკლია, დაამატეთ და გამოაკლეთ:

დავკეცოთ სრული კვადრატი და მივცეთ მსგავსი ტერმინები:

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა კვადრატების სხვაობისთვის:

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს განტოლება

ჩვენ ვიცით, რომ პროდუქტი ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულია. ამის საფუძველზე, ჩვენ ვადგენთ განტოლებებს:

მოდით გადავწყვიტოთ პირველი განტოლება:

ამოხსნათ მეორე განტოლება:

პასუხი: ან

;

ჩვენ ვაგრძელებთ წინა მაგალითის მსგავსად - აირჩიეთ განსხვავების კვადრატი.

განმარტება

ფორმის გამონათქვამებს 2 x 2 + 3 x + 5 ეწოდება კვადრატული ტრინომი. ზოგად შემთხვევაში, კვადრატული ტრინომი არის a x 2 + b x + c ფორმის გამოხატულება, სადაც a, b, c a, b, c არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0.

განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი x 2 - 4 x + 5. მოდით დავწეროთ იგი ამ ფორმით: x 2 - 2 · 2 · x + 5. დაამატეთ 2 2 ამ გამოსახულებას და გამოვაკლოთ 2 2, მივიღებთ: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. გაითვალისწინეთ, რომ x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, ასე რომ x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 ... ტრანსფორმაცია, რომელიც ჩვენ გავაკეთეთ, ჰქვია "სრული კვადრატის შერჩევა კვადრატული ტრინომიდან".

შეავსეთ კვადრატი კვადრატული ტრინომიდან 9 x 2 + 3 x + 1.

გაითვალისწინეთ, რომ 9 x 2 = (3 x) 2, `3x = 2 * 1/2 * 3x`. შემდეგ `9x ^ 2 + 3x + 1 = (3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + 1`. მიღებულ გამოთქმას დავამატოთ და გამოვაკლოთ `(1/2) ^ 2`, მივიღებთ

`((3x) ^ 2 + 2 * 1/2 * 3x + (1/2) ^ 2) + 1- (1/2) ^ 2 = (3x + 1/2) ^ 2 + 3 / 4`.

მოდით ვაჩვენოთ, როგორ გამოიყენება კვადრატული ტრინომისგან სრული კვადრატის გამოყოფის მეთოდი კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციაზე.

გაამრავლეთ კვადრატული ტრინომი 4 x 2 - 12 x + 5.

გამოყავით სრული კვადრატი კვადრატული ტრინომიდან: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. ახლა ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), ვიღებთ: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1).

გაზომეთ კვადრატული ტრინომი - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. ახლა შენიშნეთ, რომ 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 · 3 x · 2.

დაამატეთ ტერმინი 2 2 გამონათქვამს 9 x 2 - 12 x, მივიღებთ:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კვადრატების სხვაობისთვის, გვაქვს:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1).

3 x 2 - 14 x - 5 შეადგინეთ სამმაგი წევრის კვადრატი.

ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვხატოთ გამოხატულება 3 x 2, როგორც ზოგიერთი გამონათქვამის კვადრატი, რადგან ეს ჯერ არ შეგვისწავლია სკოლაში. ამას მოგვიანებით გაივლით და უკვე მე-4 ამოცანაში შევისწავლით კვადრატულ ფესვებს. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ შეიძლება მოცემული კვადრატული ტრინომილის ფაქტორიზირება:

`3x ^ 2-14x-5 = 3 (x ^ 2-14 / 3 x-5/3) = 3 (x ^ 2-2 * 7/3 x + (7/3) ^ 2- (7/3 ) ^ 2-5 / 3) = `

`= 3 ((x-7/3) ^ 2-49 / 9-5 / 3) = 3 ((x-7/3) ^ 2-64 / 9) = 3 ((x-7/3) ^ 2-8 / 3) ^ 2) = `

`= 3 (x-7 / 3-8 / 3) (x-7/3 + 8/3) = 3 (x-5) (x + 1/3) = (x-5) (3x + 1) `.

მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოიყენება სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი კვადრატული ტრინიუმის ყველაზე დიდი ან უმცირესი მნიშვნელობების საპოვნელად.
განვიხილოთ კვადრატული ტრინომი x 2 - x + 3. აირჩიეთ სრული კვადრატი:

`(x) ^ 2-2 * x * 1/2 + (1/2) ^ 2- (1/2) ^ 2 + 3 = (x-1/2) ^ 2 + 11 / 4`. გაითვალისწინეთ, რომ `x = 1/2` კვადრატული ტრინიუმის მნიშვნელობა არის` 11/4`, ხოლო `x! = 1 / 2` -სთვის დადებითი რიცხვი ემატება` 11/4` მნიშვნელობას, ასე რომ, მივიღებთ რიცხვს, რომელიც აღემატება `11/4`-ზე. ამრიგად, კვადრატული ტრინომის უმცირესი მნიშვნელობა არის `11/4` და ის მიიღება` x = 1/2`-ით.

იპოვეთ უდიდესი კვადრატული ტრინომი - 16 2 + 8 x + 6.

შეავსეთ კვადრატი კვადრატული ტრინომიდან: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

`x = 1 / 4`-ით კვადრატული ტრინომის მნიშვნელობა არის 7, ხოლო `x! = 1/4` რიცხვს 7-ს აკლდება დადებითი რიცხვი, ანუ მივიღებთ 7-ზე ნაკლებ რიცხვს. ამრიგად, რიცხვი 7 არის კვადრატული ტრინომის უდიდესი მნიშვნელობა და ის მიიღება, როდესაც `x = 1/4`.

„(x ^ 2 + 2x-15) / (x ^ 2-6x + 9)“ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი დაანაწილეთ და გააუქმეთ ეს წილადი.

გაითვალისწინეთ, რომ x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 წილადის მნიშვნელი. გამოვყოთ წილადის მრიცხველი კვადრატული ტრინომიდან სრული კვადრატის ამოღების მეთოდის გამოყენებით. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3).

ეს წილადი მივიღეთ ფორმაში `((x + 5) (x-3)) / (x-3) ^ 2` (x - 3) შემცირების შემდეგ მივიღებთ` (x + 5) / (x-3 ) `.

გაამრავლეთ მრავალწევრი x 4 - 13 x 2 + 36.

ამ მრავალწევრს გამოვიყენოთ სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი. `x ^ 4-13x ^ 2 + 36 = (x ^ 2) ^ 2-2 * x ^ 2 * 13/2 + (13/2) ^ 2- (13/2) ^ 2 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-169 / 4 + 36 = (x ^ 2-13 / 2) ^ 2-25 / 4 = `

ამ პროცედურის შესრულების უნარი უკიდურესად აუცილებელია მათემატიკის ბევრ საკითხთან დაკავშირებით კვადრატული ტრინომიალინაჯახი 2 + bx + გ ... ყველაზე გავრცელებული:

1) პარაბოლას დახატვა წ= ნაჯახი 2 + bx+ გ;

2) კვადრატული ტრინომისთვის მრავალი ამოცანის ამოხსნა (კვადრატული განტოლებები და უტოლობა, ამოცანები პარამეტრებთან და ა.შ.);

3) კვადრატული ტრინომის შემცველ ზოგიერთ ფუნქციასთან მუშაობა, აგრეთვე მეორე რიგის მრუდეებთან მუშაობა (მოსწავლეებისთვის).

მოკლედ სასარგებლო რამეა! თქვენ ხუთეულში განაცხადებთ? მაშინ დაეუფლეთ მას!)

რას ნიშნავს კვადრატულ ტრინომში ბინომის სრული კვადრატის შერჩევა?

ეს ამოცანა ნიშნავს, რომ თავდაპირველი კვადრატული ტრინომი უნდა გარდაიქმნას ამ ფორმის დახმარებით:

ნომერი არა დარჩა, რა არის სწორი - იგივე... ფაქტორი x-ის კვადრატზე. ამიტომ მითითებულია ერთი ასო... მარჯვენა გამრავლებული ფრჩხილების კვადრატზე. ფრჩხილებში თავად ზის ბინომიუმი, რომელიც განიხილება ამ თემაში. სუფთა x და რიცხვის ჯამი მ... დიახ, გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ, ზუსტად სუფთა x! Ეს არის მნიშვნელოვანი.

მაგრამ წერილები მდა ნმარჯვნივ - ზოგიერთი ახალირიცხვები. რას მივიღებთ ჩვენი გარდაქმნების შედეგად. ისინი შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი, მთლიანი, წილადი - ყველანაირი! თქვენ თვითონ დარწმუნდებით ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში. ეს რიცხვები დამოკიდებულია კოეფიციენტებიდანა, ბდაგ... მათ აქვთ საკუთარი სპეციალური ზოგადი ფორმულები. საკმაოდ შრომატევადი, წილადებით. ამიტომ, მე მათ აქ და ახლა არ მივცემ. რატომ სჭირდება თქვენს ნათელ გონებას დამატებითი ნაგავი? დიახ, და ეს არ არის საინტერესო. მოდით ვიმუშაოთ შემოქმედებითად.)

რისი ცოდნა და გაგება გჭირდებათ?

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა იცოდეთ ზეპირად. მინიმუმ ორი მათგანი - ჯამის კვადრატიდა კვადრატული სხვაობა.

Ესენი:

ამ წყვილი ფორმულის გარეშე - არსად. არა მხოლოდ ამ გაკვეთილზე, არამედ ზოგადად თითქმის ყველა სხვა მათემატიკაში. მინიშნება გასაგებია?)

მაგრამ მხოლოდ მექანიკურად ნასწავლი ფორმულები აქ საკმარისი არ არის. თქვენ ჯერ კიდევ გჭირდებათ კომპეტენტურად შეძლოს ამ ფორმულების გამოყენება... და არა იმდენად პირდაპირ, მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, მარჯვნიდან მარცხნივ... იმათ. შეძლოს ჯამის/სხვაობის კვადრატის გაშიფვრა თავდაპირველი კვადრატული ტრინომით... ეს ნიშნავს, რომ თქვენ ადვილად, ავტომატურად უნდა აღიაროთ ტიპის თანასწორობა:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

ამ სასარგებლო უნარის გარეშე - ასევე არანაირად... ასე რომ, თუ პრობლემები გაქვთ ამ მარტივ საკითხებთან დაკავშირებით, დახურეთ ეს გვერდი. შენთვის აქ ნაადრევია.) ჯერ მიჰყევით ზემოთ მოცემულ ბმულს. ის შენთვისაა!

აუ დიდი ხანია თემაში ხარ? კარგად! შემდეგ წაიკითხეთ.)

Ისე:

როგორ ავირჩიოთ ბინომის სრული კვადრატი კვადრატულ ტრინომში?

დავიწყოთ მარტივით, რა თქმა უნდა.

დონე 1. კოეფიციენტი x-ზე2 უდრის 1-ს

ეს არის უმარტივესი სიტუაცია, რომელიც მოითხოვს მინიმუმ დამატებით გარდაქმნებს.

მაგალითად, მოცემულია კვადრატული ტრინომი:

NS 2 + 4x + 6

გარეგნულად, გამოხატულება ძალიან ჰგავს ჯამის კვადრატს. ჩვენ ვიცით, რომ ჯამის კვადრატი შეიცავს პირველი და მეორე გამონათქვამების სუფთა კვადრატებს ( ა 2 და ბ 2 ), ასევე გაორმაგებული პროდუქტი 2 აბსწორედ ეს გამონათქვამები.

ისე, ჩვენ უკვე გვაქვს პირველი გამონათქვამის კვადრატი მისი სუფთა სახით. ის NS 2 ... სინამდვილეში, სწორედ აქ არის ამ დონის მაგალითების სიმარტივე. საჭიროა მეორე გამოთქმის კვადრატის მიღება ბ 2 ... იმათ. იპოვე ბ... და იქნება ნახავ გამოხატვა x-ით პირველ ხარისხში, ე.ი. 4x... Ყველაფრის შემდეგ 4xშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორმაგი პროდუქტი x დუსისთვის. Ამგვარად:

4 x = 2 ́ X 2

ასე რომ, თუ 2 აბ= 2x· 2და ა= x, მაშინ ბ=2 ... შეგიძლიათ დაწეროთ:

NS 2 + 4x + 6 = x 2 +2 ́ X2 + 2 2 ….

Ისე ᲩᲕᲔᲜᲛე მინდა. მაგრამ! მათემატიკამე მინდა ორიგინალური გამოხატვის არსი ჩვენი მოქმედებებიდან არ შეცვლილა... ასე მუშაობს. ჩვენ დავამატეთ გაორმაგებული პროდუქტი 2 2 რითაც იცვლება ორიგინალური გამოთქმა. ასე რომ, იმისთვის, რომ მათემატიკა არ შეურაცხყო, ეს არის 2 2 იქვე და წაიღე... Ამგვარად:

… = X 2 +2 ́ X 2 + 2 2 -2 2 ….

Თითქმის ყველა. რჩება მხოლოდ 6-ის დამატება, ორიგინალური სამი ტერმინის შესაბამისად. ექვსი არსად არ წასულა! Ჩვენ ვწერთ:

= NS 2 +2 ́ X2 + 2 2 - 2 2 +6 = …

ახლა პირველი სამი ტერმინი იძლევა სუფთა (ან - სავსე) კვადრატული ბინომი x+2 ... ან (x+2) 2 ... რის მიღწევასაც ვცდილობთ.) არც დავიზარალებ და ფრჩხილებს დავდებ:

… = (X 2 +2 ́ X2 + 2 2 ) - 2 2 +6 =…

ფრჩხილები არ ცვლის გამოთქმის არსს, მაგრამ ნათლად გვთავაზობს რა, როგორ და რატომ. რჩება ამ სამი ტერმინის დაკეცვა სრულ კვადრატში ფორმულის მიხედვით, დარჩენილი კუდის დათვლა რიცხვებში -2 2 +6 (ეს იქნება 2) და დაწერე:

NS 2 + 4x + 6 = (x+2) 2 +2

ყველაფერი. ჩვენ გამოყოფრჩხილების კვადრატი (x+2) 2 ორიგინალური კვადრატული ტრინომიდან NS 2 + 4x + 6... თანხად აქცია სრული კვადრატული ბინომი (x+2) 2 და რაღაც მუდმივი რიცხვი (ორი). ახლა კი ჩამოვწერ ჩვენი გარდაქმნების მთელ ჯაჭვს კომპაქტური სახით. სიცხადისთვის.

და ეს ყველაფერი.) სრული კვადრატის შერჩევის პროცედურის მთელი აზრი.

სხვათა შორის, რა რიცხვებია აქ მდა ნ? დიახ. თითოეული მათგანი უდრის ორს: მ=2, ნ=2 ... ასე მოხდა შერჩევის დროს.

Სხვა მაგალითი:

აირჩიეთ ბინომის სრული კვადრატი:

NS 2 -6x + 8

და კიდევ ერთხელ, ერთი შეხედვით - ტერმინში x. ჩვენ გარდაქმნით 6x x და სამების ორმაგ ნამრავლად. გაორმაგებამდე - მინუს. აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვირჩევთ კვადრატული სხვაობა... ვამატებთ (სრული კვადრატის მისაღებად) და მაშინვე ვაკლებთ (საკომპენსაციოდ) კვადრატში სამს, ე.ი. 9. აბა, არ დავივიწყოთ რვა. ჩვენ ვიღებთ:

Აქ მ=-3 და ნ=-1 ... ორივე უარყოფითია.

გესმით პრინციპი? მერე ოსტატობის ჯერი დადგა და ზოგადი ალგორითმი... ყველაფერი იგივეა, მაგრამ წერილების მეშვეობით... ასე რომ, ჩვენს წინაშე არის კვადრატული ტრინომი x 2 + bx+ გ (ა=1) ... Რას ვაკეთებთ:

bx ბ /2 :

ბ თან.

გასაგებია? პირველი ორი მაგალითი იყო ძალიან მარტივი, რიცხვებით. გაცნობისთვის. უარესია, როცა წილადები გარდაქმნების პროცესში გამოდიან. აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ! და იმისათვის, რომ არ შეგეშინდეთ, თქვენ უნდა იცოდეთ მოქმედებები წილადებით, დიახ ...) მაგრამ აქ არის მეხუთე დონე, არა? ჩვენ ვართულებთ დავალებას.

დავუშვათ, მოცემულია შემდეგი სამი ვადა:

NS 2 + x + 1

როგორ მოვაწყოთ ჯამის კვადრატი ამ სამეულში? Არაა პრობლემა! Მსგავსი... ჩვენ ვმუშაობთ პუნქტით.

1. ჩვენ ვუყურებთ ტერმინს x-ით პირველ ხარისხში ( bx) და გადააქციეთ x-ის ორმაგ ნამრავლადბ /2 .

ჩვენი X ტერმინი უბრალოდ Xა. Მერე რა? როგორ გადავაქციოთ მარტოხელა X-ად ორმაგი პროდუქტი? ძალიან მარტივია! პირდაპირ ინსტრუქციის მიხედვით. Ამგვარად:

ნომერი ბთავდაპირველ ტერმინში - 1. ანუ ბ/2 წილადი გამოდის. Ნახევარი. 1/2. Კარგი. ჯერ არ არის პატარა.)

2. დაუმატეთ გაორმაგებულ ნამრავლს და მაშინვე გამოაკელი რიცხვის კვადრატი ბ/ 2. ჩვენ ვამატებთ - სრული კვადრატის შესავსებად. ვიღებთ - კომპენსაციისთვის. დასასრულს ვამატებთ უფასო ტერმინს თან.

Ჩვენ ვაგრძელებთ:

3. პირველი სამი ტერმინი იკეცება ჯამის / სხვაობის კვადრატში შესაბამისი ფორმულის მიხედვით. გარეთ დარჩენილი გამოთქმა საგულდაგულოდ გამოითვლება რიცხვებში.

გამოყავით პირველი სამი ტერმინი ფრჩხილებით. თქვენ არ გჭირდებათ მისი გამოყოფა, რა თქმა უნდა. ეს კეთდება მხოლოდ ჩვენი გარდაქმნების მოხერხებულობისა და სიცხადისთვის. ახლა თქვენ აშკარად ხედავთ, რომ ჯამის სრული კვადრატი ფრჩხილებშია (x+1/2) 2 ... და ყველაფერი, რაც დარჩენილია ჯამის კვადრატის მიღმა (თუ ითვლით) იძლევა +3/4-ს. პირდაპირ დასრულება:

პასუხი:

Აქ მ=1/2 , ა ნ=3/4 ... წილადი რიცხვები. Ხდება ხოლმე. ასეთი ტრინომიალი დაიჭირეს ...

ასეთია ტექნოლოგია. გასაგებია? შემიძლია გადავიდე შემდეგ დონეზე?)

დონე 2. კოეფიციენტი x 2-ზე არ არის 1-ის ტოლი - რა უნდა გააკეთოს?

ეს შემთხვევასთან შედარებით უფრო ზოგადი შემთხვევაა a = 1... გაანგარიშების მოცულობა, რა თქმა უნდა, იზრდება. აწუხებს, დიახ... მაგრამ გადაწყვეტის ზოგადი კურსიზოგადად იგივე რჩება. მას მხოლოდ ერთი ახალი ნაბიჯი ემატება. ეს მახარებს.)

ახლა განიხილეთ უვნებელი შემთხვევა, ყოველგვარი ფრაქციებისა და სხვა ხარვეზების გარეშე. Მაგალითად:

2 x 2 -4 x+6

შუაში არის მინუსი. მაშასადამე, ჩვენ დავარგებთ განსხვავებას კვადრატში. მაგრამ კოეფიციენტი x კვადრატზე არის ორი. და ერთთან მუშაობა უფრო ადვილია. სუფთა x-ით. Რა უნდა ვქნა? და ეს ორი ამოვიღოთ ფრჩხილებიდან! ისე რომ ხელი არ შეუშლია. ჩვენ გვაქვს უფლება! ჩვენ ვიღებთ:

2(x 2 -2 x+3)

Ამგვარად. ახლა სამი ტერმინი ფრჩხილებში - უკვე ერთად სუფთა x კვადრატში! როგორც მოითხოვს 1 დონის ალგორითმს. ახლა კი უკვე შესაძლებელია ამ ახალ ტრინომთან მუშაობა ძველი დადასტურებული სქემით. ასე რომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ. მოდით ჩამოვწეროთ ცალკე და შევცვალოთ იგი:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2 ·x1 + 1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2 ·x1 + 1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

ნახევარი ბრძოლა დასრულებულია. რჩება მიღებული გამოხატვის ჩასმა ფრჩხილებში და გააფართოვეთ ისინი უკან. გამოვა:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

მზადაა!

პასუხი:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

თავში ვაფიქსირებთ:

თუ x-ის კვადრატზე კოეფიციენტი არ არის ერთის, მაშინ ამ კოეფიციენტს ამოვიღებთ ფრჩხილებიდან. ფრჩხილებში დარჩენილი სამი ვადით, ჩვენ ვმუშაობთ ჩვეულებრივი ალგორითმის მიხედვით ა= 1. მასში სრული კვადრატის არჩევის შემდეგ, ჩვენ ჩავსვით შედეგს ადგილზე და ვხსნით გარე ფრჩხილებს უკან.

და თუ b და c კოეფიციენტები მთლიანად არ იყოფა a-ზე? ეს არის ყველაზე გავრცელებული და ამავე დროს ყველაზე უარესი შემთხვევა. მერე მხოლოდ წილადები, დიახ... გასაკეთებელი არაფერია. Მაგალითად:

3 x 2 +2 x-5

ყველაფერი იგივეა, ჩვენ ვაგზავნით სამეულს ფრჩხილების გარეთ, ვიღებთ:

სამწუხაროდ, არც ორი და არც ხუთი მთლიანად არ იყოფა სამზე, ამიტომ ახალი (შემცირებული) სამ ვადის კოეფიციენტებია - წილადი... კარგი, არაუშავს. ჩვენ ვმუშაობთ პირდაპირ წილადებთან: ორიგადააქციეთ x-ის მესამედები გაორმაგდა x-ის პროდუქტი ერთიმესამე, დაამატეთ ერთი მესამედის კვადრატი (ანუ 1/9), გამოაკლეთ იგი, გამოაკლეთ 5/3 ...

ზოგადად, თქვენ გესმით იდეა!

მიიღეთ გადაწყვეტილება, რაც უკვე არსებობს. თქვენ უნდა დაასრულოთ:

და კიდევ ერთი რაკი. ბევრი სტუდენტი უპრობლემოდ უმკლავდება დადებით მთლიან და თუნდაც წილად კოეფიციენტებს, მაგრამ ეკიდება უარყოფით კოეფიციენტებს. Მაგალითად:

- x 2 +2 x-3

რა ვუყოთ ადრე მინუსსx 2 ? ჯამის/სხვაობის კვადრატის ფორმულაში ყოველი პლუსია საჭირო... კითხვა არაა! Ერთი და იგივე... სწორედ ამ მინუსს ამოვიღებთ ფრჩხილებიდან. იმათ. მინუს ერთი... Ამგვარად:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

და ყველა შემთხვევა. და სამწლიანი ფრჩხილებში - ისევ დახვეულ ბილიკზე.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

სულ, მინუსის გათვალისწინებით:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Სულ ეს არის. Რა? არ იცით მინუს ფრჩხილებში ჩასმა? კარგი, ეს არის კითხვა მეშვიდე კლასის დაწყებითი ალგებრასთვის და არა კვადრატული ტრინომებისთვის ...

დაიმახსოვრე: უარყოფითი კოეფიციენტით მუშაობა აარსებითად არაფრით განსხვავდება პოზიტიურთან მუშაობისგან. ჩვენ ვიღებთ უარყოფითს აფრჩხილების გარეთ, შემდეგ კი - ყველა წესის მიხედვით.

რატომ გჭირდებათ სრული კვადრატის არჩევა?

პირველი სასარგებლო რამ არის parabolas სწრაფად და შეცდომების გარეშე!

მაგალითად, ასეთი დავალება:

დახატეთ ფუნქცია:წ=- x 2 +2 x+3

რას ვაპირებთ? აშენება ქულების მიხედვით? რა თქმა უნდა, შესაძლებელია. მცირე ნაბიჯებით გრძელი გზის გასწვრივ. საკმაოდ სულელური და უინტერესო...

პირველ რიგში, შეგახსენებთ, რომ აშენებისას ნებისმიერიპარაბოლები, ჩვენ მას ყოველთვის წარმოვადგენთ კითხვების სტანდარტულ კომპლექტს. ორი მათგანია. კერძოდ:

1) სად არის მიმართული პარაბოლის ტოტები?

2) რა წერტილშია ზედა?

ტოტების მიმართულებით ყველაფერი ნათელია პირდაპირ ორიგინალური გამონათქვამიდან. ფილიალები იქნება მიმართული გზა ქვემოთ, რადგან კოეფიციენტი ადრეx 2 - უარყოფითი. მინუს ერთი. მინუს x კვადრატამდე ყოველთვისაბრუნებს პარაბოლას.

მაგრამ ზედა მდებარეობით, ყველაფერი არც ისე აშკარაა. რა თქმა უნდა, არსებობს მისი აბსცისის კოეფიციენტების მეშვეობით გამოსათვლელი ზოგადი ფორმულა ადა ბ.

ეს ერთი:

მაგრამ ყველას არ ახსოვს ეს ფორმულა, ოჰ, ყველას არა... და ვინც ახსოვს, 50% დაბრკოლდება დონეზე და ბანალური არითმეტიკით დრტვინავს (ჩვეულებრივ, თამაშის დათვლისას). სირცხვილია, არა?)

ახლა თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა იპოვოთ ნებისმიერი პარაბოლის წვეროს კოორდინატები. გონებაშიერთ წუთში! ორივე x და igrek. ერთი ნაბიჯით და ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. Როგორ? სრული კვადრატის არჩევით!

მაშ ასე, ავირჩიოთ სრული კვადრატი ჩვენს გამოსახულებაში. ჩვენ ვიღებთ:

y = -x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

ვინც კარგად ფლობს ზოგად ინფორმაციას ფუნქციების შესახებ და კარგად ითვისებს თემას" ფუნქციის გრაფიკის გარდაქმნები “, ის ადვილად მიხვდება, რომ ჩვენი სასურველი პარაბოლა მიიღება ჩვეულებრივი პარაბოლისგან წ= x 2 სამი ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს:

1) ტოტების მიმართულების შეცვლა.

ეს მითითებულია ფრჩხილების კვადრატის წინ მინუს ნიშნით ( a = -1). Ის იყო წ= x 2 , ის გახდა წ=- x 2 .

კონვერტაცია: ვ ( x ) -> - ვ ( x ) .

2) პარაბოლის პარალელური თარგმანი y = - x 2 x-ში 1 ერთეულით მარჯვნივ.

ასე გამოდის შუალედური განრიგი y = - (x-1 ) 2 .

კონვერტაცია: - ვ ( x ) -> - ვ ( x + მ ) (მ = -1).

რატომ არის გადანაცვლება მარჯვნივ და არა მარცხნივ, თუმცა ფრჩხილებში არის მინუსი? ეს არის გრაფიკის გარდაქმნების თეორია. ეს ცალკე თემაა.

Და ბოლოს,

3) პარალელური გადაცემა პარაბოლა y = - ( x -1) 2 თამაშით 4 ერთეული UP.

ეს არის ბოლო პარაბოლა y = - (x-1) 2 +4 .

კონვერტაცია: - ვ ( x + მ ) -> - ვ ( x + მ )+ ნ (n = + 4)

ახლა ჩვენ ვუყურებთ ჩვენს ტრანსფორმაციის ჯაჭვს და ვფიქრობთ ამაზე: სად მოძრაობს პარაბოლას წვეროწ= x 2 ? იყო წერტილში (0; 0), პირველი ტრანსფორმაციის შემდეგ წვერო არსად არ მოძრაობდა (პარაბოლა ახლახან გადატრიალდა), მეორის შემდეგ - x-ით დაბლა +1-ით, ხოლო მესამეს შემდეგ - თამაშით. +4. მთლიანი წვერო წერტილიდან მოხვდა (1; 4) ... ეს არის მთელი საიდუმლო!

სურათი იქნება ასეთი:

სინამდვილეში, სწორედ ამ მიზეზით გავამახვილე თქვენი ყურადღება ციფრებზე მდა ნმიღებული სრული კვადრატის შერჩევის პროცესში. ვერ მიხვდი რატომ? დიახ. საქმე იმაშია, რომ წერტილი კოორდინატებით (- მ ; ნ ) Ყოველთვის არის პარაბოლის მწვერვალი წ = ა ( x + მ ) 2 + ნ ... ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ რიცხვებს ტრანსფორმირებულ სამეულში და გონებაშიჩვენ ვაძლევთ სწორ პასუხს, სად არის ზედა. მოსახერხებელია, არა?)

პარაბოლას დახატვა არის პირველი რაც შეიძლება სასარგებლო იყოს. გადავიდეთ მეორეზე.

მეორე სასარგებლო რამ არის კვადრატული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა.

Დიახ დიახ! სრული კვადრატის შერჩევა ხშირ შემთხვევაში გამოდის ბევრად უფრო სწრაფი და ეფექტურიასეთი ამოცანების გადაჭრის ტრადიციული მეთოდები. ეჭვი? გთხოვთ! აქ არის ამოცანა თქვენთვის:

უტოლობის ამოხსნა:

x 2 +4 x+5 > 0

Ისწავლა? დიახ! კლასიკურია კვადრატული უტოლობა ... ყველა ასეთი უტოლობა წყდება სტანდარტული ალგორითმის გამოყენებით. ამისთვის გვჭირდება:

1) უტოლობიდან შეადგინე სტანდარტული ფორმის განტოლება და ამოხსენი, იპოვე ფესვები.

2) დახაზეთ X ღერძი და აღნიშნეთ განტოლების ფესვები წერტილებით.

3) დახაზეთ პარაბოლა ორიგინალური გამოსახულებით.

4) განსაზღვრეთ +/- არეები ფიგურაში. შეარჩიეთ საჭირო უბნები საწყისი უტოლობის მიხედვით და ჩაწერეთ პასუხი.

სინამდვილეში, მთელი ეს პროცესი შემაშფოთებელია, დიახ ...) და, უფრო მეტიც, ის ყოველთვის არ გიხსნის შეცდომებისგან არასტანდარტულ სიტუაციებში, როგორიცაა ეს მაგალითი. ჯერ შაბლონი ვცადოთ?

ასე რომ, ჩვენ ვასრულებთ პირველ პუნქტს. განტოლებას ვაკეთებთ უტოლობიდან:

x 2 +4 x+5 = 0

სტანდარტული კვადრატული განტოლება, ხრიკების გარეშე. Ჩვენ ვწყვეტთ! ჩვენ განვიხილავთ დისკრიმინაციულს:

დ = ბ 2 -4 აწ = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

მხოლოდ იმ დროს! და დისკრიმინაცია უარყოფითია! განტოლებას ფესვები არ აქვს! და არაფერია ღერძზე დასახატავი ... რა ვქნათ?

აქ ზოგიერთმა შეიძლება დაასკვნოს, რომ თავდაპირველი უთანასწორობაა ასევე არ აქვს გადაწყვეტილებები... ეს საბედისწერო ილუზიაა, დიახ... მაგრამ სრული კვადრატის არჩევით, ამ უთანასწორობაზე სწორი პასუხის გაცემა შესაძლებელია ნახევარ წუთში! ეჭვი? კარგად, შეგიძლიათ თვალყური ადევნოთ დროს.

ასე რომ, ჩვენ ვირჩევთ სრულ კვადრატს ჩვენს გამოსახულებაში. ჩვენ ვიღებთ:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

თავდაპირველი უთანასწორობა ასე დაიწყო:

(x+2) 2 +1 > 0

ახლა კი, არაფრის გადაწყვეტილების ან გარდაქმნის გარეშე, ჩვენ უბრალოდ ჩავრთავთ ელემენტარულ ლოგიკას და ვხვდებით: თუ რაიმე გამოთქმის კვადრატი (მნიშვნელობა აშკარად არა-უარყოფითი!) დაამატე კიდევ ერთი, რა რიცხვს მივიღებთ ბოლოს?დიახ! მკაცრად დადებითი!

ახლა მოდით შევხედოთ უტოლობას:

(x+2) 2 +1 > 0

ჩვენ ვთარგმნით ჩანაწერს მათემატიკური ენიდან რუსულად: სადაც x მკაცრად არის დადებითიგამოხატვა მკაცრი იქნება მეტინაკაწრი? არ გამოიცანი? დიახ! ნებისმიერთან ერთად!

აი პასუხი: x - ნებისმიერი რიცხვი.

ახლა დავუბრუნდეთ ალგორითმს. და მაინც, არსის გაგება და მარტივი სიტყვის დამახსოვრება სხვადასხვა რამეა.)

ალგორითმის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ ჩვენ ვაკეთებთ პარაბოლას სტანდარტული უტოლობის მარცხენა მხრიდან და ვუყურებთ სად არის ის X ღერძის ზემოთ და სად არის ქვემოთ. იმათ. სადაც მარცხენა მხარე დადებითია, სადაც უარყოფითი.

თუ ჩვენი მარცხენა მხრიდან პარაბოლას გავაკეთებთ:

y =x 2 +4 x+5

და ჩვენ დავხატავთ მის გრაფიკს, შემდეგ ამას დავინახავთ ყველამთელი პარაბოლა გადის X-ღერძის ზემოთ.სურათი ასე გამოიყურება:

პარაბოლა დახრილია, დიახ... ამიტომ არის სქემატური. მაგრამ ამავე დროს, ყველაფერი რაც ჩვენ გვჭირდება ჩანს სურათზე. პარაბოლას არ აქვს X ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, მოთამაშისთვის ნულოვანი მნიშვნელობები არ არსებობს. და, რა თქმა უნდა, არც უარყოფითი მნიშვნელობებია. რაც ნაჩვენებია მთლიანი X ღერძის დაჩრდილვით. სხვათა შორის, აქ ტყუილად არ დავხატე Y-ღერძი და წვეროს კოორდინატები. შეადარეთ პარაბოლის წვეროს კოორდინატები (-2; 1) და ჩვენი გარდაქმნილი გამოსახულება!

y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

Როგორ მოგწონთ ეს? დიახ! ჩვენს შემთხვევაში მ=2 და ნ=1 ... ამრიგად, პარაბოლას წვეროს აქვს კოორდინატები: (- მ; ნ) = (-2; 1) ... ყველაფერი ლოგიკურია.)

კიდევ ერთი დავალება:

ამოხსენით განტოლება:

x 2 +4 x+3 = 0

მარტივი კვადრატული განტოლება. თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ ძველმოდური გზა ,. თქვენ შეგიძლიათ გაიაროთ. Როგორც გინდა. მათემატიკა არ ადარდებს.)

ჩვენ ვიღებთ ფესვებს: x 1 =-3 x 2 =-1

და თუ არც ერთი და არც მეორე გზა ... არ გახსოვს? აბა, შენთვის დიუსი ბრწყინავს, მეგობრულად, მაგრამ... ასე იყოს, მე გიშველის! ნება მომეცით გაჩვენოთ, თუ როგორ შეგიძლიათ ამოხსნათ რამდენიმე კვადრატული განტოლება მხოლოდ მეშვიდე კლასის მეთოდებით. ისევ აირჩიეთ სრული კვადრატი!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

ახლა ჩვენ აღვწერთ მიღებულ გამონათქვამს, როგორც ... კვადრატების განსხვავება!დიახ, დიახ, მეშვიდე კლასში არის ერთი:

ა 2 -ბ 2 = (a-b) (a + b)

როლში აფრჩხილები გამოდის(x+2) და როლში ბ- ერთი. ჩვენ ვიღებთ:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

ჩვენ ჩავსვით ეს გაფართოება განტოლებაში კვადრატული ტრინომის ნაცვლად:

(x+1)(x+3)=0

რჩება იმის გარკვევა, რომ ფაქტორების ნამრავლი არის ნული მაშინ და მხოლოდ მაშინ,როდესაც რომელიმე მათგანი ნულის ტოლია. ასე რომ, ჩვენ ვატოლებთ (გონებაში!) თითოეულ ფრჩხილს ნულთან.

ჩვენ ვიღებთ: x 1 =-3 x 2 =-1

Სულ ეს არის. იგივე ორი ფესვი. ასეთია ჭკვიანური ხრიკი. გარდა დისკრიმინაციისა.)

სხვათა შორის, კვადრატული განტოლების ფესვების დისკრიმინანტისა და ზოგადი ფორმულის შესახებ:

ჩემს გაკვეთილზე ამ რთული ფორმულის წარმოშობა გამოტოვებულია. როგორც არასაჭირო. მაგრამ აქ ის ეკუთვნის.) ნეტავ როგორ ეს ფორმულა მიიღება? საიდან მოდის დისკრიმინანტის გამოთქმა და რატომ ზუსტადბ 2 -4 ac, და არა სხვანაირად? და მაინც, რა ხდება არსის სრული გაგება ბევრად უფრო სასარგებლოა, ვიდრე რაიმე ასოებისა და სიმბოლოების დაუფიქრებელი ჩანაწერი, არა?)

მესამე სასარგებლო რამ არის კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამომუშავება.

Აქ ჩვენ მივდივართ! ვიღებთ კვადრატულ ტრინომს ზოგადი ფორმით ნაჯახი 2 + bx+ გდა… დაიწყეთ სრული კვადრატის არჩევა!დიახ, პირდაპირ წერილების მეშვეობით!იყო არითმეტიკა, ახლა - ალგებრა.) პირველი, როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვასრულებთ წერილს აფრჩხილების გარეთ და ყველა სხვა კოეფიციენტი იყოფა a:

Ამგვარად. ეს არის სრულიად ლეგალური კონვერტაცია: ა ნულის ტოლი არ არისდა შეგიძლიათ გაყოთ მასზე. და ისევ ფრჩხილებით ვმუშაობთ ჩვეულებრივი ალგორითმის მიხედვით: x ტერმინიდან ვაკეთებთ ორმაგ პროდუქტს, ვამატებთ/გამოკლებთ მეორე რიცხვის კვადრატს ...

ყველაფერი იგივეა, ოღონდ ასოებით.) ეცადე, თავად დაასრულო! ჯანმრთელი!)

ყველა ტრანსფორმაციის შემდეგ, თქვენ უნდა მიიღოთ ეს:

და რატომ უნდა ავაშენოთ ასეთი გროვა უწყინარი ტრინომიდან - გეკითხებით? არაფერი, ახლა საინტერესო იქნება! და ახლა, რა თქმა უნდა, ჩვენ ვათანაბრებთ ამ საკითხს ნულამდე:

ჩვენ ვხსნით ჩვეულებრივ განტოლებას, ვმუშაობთ ყველა წესის მიხედვით, მხოლოდ ასოებით... ჩვენ ვაკეთებთ ელემენტარულს:

1) გადაიტანეთ დიდი წილადი მარჯვნივ.გადატანისას შეცვალეთ პლუსი მინუსზე. იმისათვის, რომ არ დავხატო მინუსი თავად წილადის წინ, მე უბრალოდ შევცვლი ყველა ნიშანს მრიცხველში. მარცხნივ იყო მრიცხველი4ac-b 2 და გადაცემის შემდეგ გახდება -( 4ac-b 2 ) , ე.ი. ბ 2 -4 აწ. რაღაც ნაცნობი, არ გგონია? დიახ! განმასხვავებელი, ის არის ყველაზე ...) ასე იქნება:

2) ჩვენ ვასუფთავებთ ფრჩხილების კვადრატს კოეფიციენტისგან.ჩვენ ვყოფთ ორივე ნაწილად " ა“. მარცხნივ, ფრჩხილების წინ, ასო აქრება და მარჯვნივ გადადის დიდი წილის მნიშვნელად, გადააქცევს მას 4 ა 2 .

გამოდის ეს თანასწორობა:

არასწორად გაიგე? მაშინ თემა "" თქვენთვისაა. სასწრაფოდ წადი იქ!

Შემდეგი ნაბიჯი ამოიღეთ ფესვი... ჩვენ გვაინტერესებს X, არა? და X ზის კვადრატის ქვეშ ... ჩვენ ამოვიღებთ ფესვების ამოღების წესების მიხედვით, რა თქმა უნდა. ამოღების შემდეგ მიიღებთ ამას:

მარცხნივ არის ჯამის კვადრატი ქრებადა ეს თანხა თავად რჩება. რაც საჭიროა.) მაგრამ მარჯვნივ ჩანს პლუს/მინუს... ჩვენი მძიმე როლისთვის, მიუხედავად მისი საშინელი გარეგნობისა, არის უბრალოდ რაღაც ნომერი... წილადი რიცხვი. კოეფიციენტზე დამოკიდებული ა, ბ, გ... ამავდროულად, ამ წილადის მრიცხველის ფესვი არ არის ლამაზად ამოღებული, არის განსხვავება ორ გამონათქვამს შორის. და აქ არის მნიშვნელის ფესვი 4 ა 2 საკმაოდ თვითმმართველობის მოპოვება! ადვილი იქნება 2 ა.

შევსება "რთული" შეკითხვა: მქონდა თუ არა უფლება გამონათქვამიდან ფესვის ამოღება 4 ა2, გაეცით პასუხი მხოლოდ 2ა?ყოველივე ამის შემდეგ, მოპოვების წესი კვადრატული ფესვი ავალდებულებს დააყენოს მოდულის ნიშანი, ე.ი.2 | a | !

დაფიქრდით, რატომ გამოვტოვე მოდულის ნიშანი. Ძალიან დამხმარე. მინიშნება: პასუხი მდგომარეობს ნიშანში პლუს/მინუსწილადამდე.)

დარჩა უბრალო წვრილმანები. ჩვენ გთავაზობთ სუფთა X-ს მარცხნივ. ამისათვის გადაიტანეთ მცირე ნაწილი მარჯვნივ. ნიშნის შეცვლით, წიწაკა ნათელია. შეგახსენებთ, რომ ნიშანი წილადში შეიძლება შეიცვალოს ყველგან და ნებისმიერი გზით. ჩვენ გვინდა შევცვალოთ წილადამდე, გვინდა მნიშვნელი, გვსურს მრიცხველში. ნიშანს შევცვლი მრიცხველში... Ის იყო + ბ, ის გახდა – ბ... იმედია წინააღმდეგი არ იქნება?) გადატანის შემდეგ ასე გახდება:

დაამატეთ ორი წილად ერთი და იგივე მნიშვნელობით და მიიღეთ (საბოლოოდ!):

კარგად? Რა შემიძლია ვთქვა? Ვაუ!)

სასარგებლო მეოთხე რამ - შენიშვნა სტუდენტებისთვის!

ახლა კი შეუფერხებლად გადავალთ სკოლიდან უნივერსიტეტში. გინდ დაიჯერეთ თუ არა, უმაღლეს მათემატიკაში სრული კვადრატის შერჩევაც აუცილებელია!

მაგალითად, ასეთი დავალება:

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

სად უნდა დაიწყოს? პირდაპირი აპლიკაცია არ იშლება. მხოლოდ სრული კვადრატის შერჩევა დაზოგავს, დიახ ...)

ვინც არ იცის როგორ აირჩიოს სრული კვადრატი, სამუდამოდ დაკიდება ამ მარტივ მაგალითზე. და ვინ იცის როგორ, გამოყოფს და იღებს:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

ახლა კი ინტეგრალი (მცოდნეებისთვის) აღებულია ერთი მარცხნიდან!

შესანიშნავია, არა? და ეს არ არის მხოლოდ ინტეგრალები! ანალიტიკურ გეომეტრიაზე უკვე ვჩუმდები მისით მეორე რიგის მრუდები – ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა და წრე.

Მაგალითად:

განსაზღვრეთ მრუდის ტიპი, რომელიც მოცემულია განტოლებით:

x 2 + წ 2 -6 x-8 წ+16 = 0

სრული კვადრატის არჩევის შესაძლებლობის გარეშე ამოცანა ვერ მოგვარდება, დიახ ... მაგრამ მაგალითი არსად ადვილია! მათთვის, ვინც ამ საკითხშია, რა თქმა უნდა.

დააჯგუფეთ წევრები X-ით და თამაშით წყობებად და შეარჩიეთ სრული კვადრატები თითოეული ცვლადისთვის. გამოვა:

(x 2 -6x) + (წ 2 -8 წ) = -16

(x 2 -6x + 9) -9 + (წ 2 -8 წ+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (წ-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (წ-4) 2 = 3 2

მაშ როგორ? გაარკვიე როგორი მხეცი?) კარგი, რა თქმა უნდა! რადიუსის წრე არის სამეული, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე (3; 4).

და ეს ყველაფერი.) სასარგებლო რამ არის სრული კვადრატის შერჩევა!)