რა ემართებათ მაჩვენებლებს რიცხვების გამრავლებისას. ხარისხების თვისებები: ფორმულირებები, მტკიცებულებები, მაგალითები. ხარისხი უარყოფითი ბაზით
მათემატიკაში ხარისხის ცნება შემოღებულია უკვე მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილზე. და მომავალში, მათემატიკის შესწავლის განმავლობაში, ეს კონცეფცია აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა ფორმით. ხარისხი საკმაოდ რთული თემაა, რომელიც მოითხოვს ღირებულებების დამახსოვრებას და სწორად და სწრაფად დათვლის უნარს. მათემატიკის ხარისხებთან უფრო სწრაფი და უკეთესი მუშაობისთვის, მათ მიიღეს ხარისხის თვისებები. ისინი ხელს უწყობენ დიდი გამოთვლების შემცირებას, უზარმაზარი მაგალითის გარკვეულ რიცხვად გადაქცევას. ამდენი თვისება არ არის და ყველა მათგანი ადვილად დასამახსოვრებელი და პრაქტიკაში გამოყენებაა. აქედან გამომდინარე, სტატიაში განხილულია ხარისხის ძირითადი თვისებები, ასევე სად გამოიყენება ისინი.
ხარისხის თვისებები
ჩვენ განვიხილავთ ხარისხის 12 თვისებას, მათ შორის იგივე საფუძვლების მქონე ძალაუფლების თვისებებს, და მოვიყვანთ მაგალითს თითოეული თვისებისთვის. თითოეული ეს თვისება დაგეხმარებათ გადაჭრათ პრობლემები ხარისხით უფრო სწრაფად, ასევე დაზოგოთ მრავალი გამოთვლითი შეცდომისგან.
1-ლი ქონება.
ბევრი ადამიანი ხშირად ივიწყებს ამ თვისებას, უშვებს შეცდომებს, ნულოვან ხარისხში რიცხვს ნულის სახით წარმოადგენს.
მე-2 ქონება.
მე-3 ქონება.
უნდა გვახსოვდეს, რომ ამ თვისების გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვების გამრავლებისას, ის არ მუშაობს ჯამით! და არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ეს და შემდეგი თვისებები ვრცელდება მხოლოდ იმავე ბაზის მქონე ძალებზე.
მე-4 ქონება.
თუ მნიშვნელში რიცხვი ამაღლებულია უარყოფით ხარისხზე, მაშინ გამოკლებისას მნიშვნელის ხარისხი აღებულია ფრჩხილებში, რათა სწორად შეიცვალოს ნიშანი შემდგომი გამოთვლებით.
ქონება მუშაობს მხოლოდ გაყოფისას და არა გამოკლებისას!
მე-5 ქონება.
მე-6 ქონება.
ეს თვისება ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპიროდ. ერთეული, რომელიც გარკვეულწილად იყოფა რიცხვზე, არის ეს რიცხვი უარყოფით ხარისხზე.
მე-7 ქონება.
ეს თვისება არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ჯამზე და განსხვავებაზე! ჯამის ან სხვაობის ხარისხზე გაზრდისას გამოიყენება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები და არა სიმძლავრის თვისებები.
მე-8 ქონება.
მე-9 ქონება.
ეს თვისება მუშაობს ნებისმიერ წილად ხარისხზე ერთის ტოლი მრიცხველით, ფორმულა იგივე იქნება, მხოლოდ ფესვის ხარისხი შეიცვლება ხარისხის მნიშვნელის მიხედვით.
ასევე, ეს ქონება ხშირად გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით. რიცხვის ნებისმიერი სიმძლავრის ფესვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ეს რიცხვი ერთის ხარისხში გაყოფილი ფესვის ხარისხზე. ეს თვისება ძალიან სასარგებლოა იმ შემთხვევებში, როდესაც რიცხვის ფესვი არ არის ამოღებული.
მე-10 ქონება.
ეს ქონება მუშაობს არა მხოლოდ კვადრატული ფესვით და მეორე ხარისხით. თუ ფესვის ხარისხი და ამ ფესვის ამაღლების ხარისხი ერთნაირია, მაშინ პასუხი იქნება რადიკალური გამოხატულება.
მე-11 ქონება.
თქვენ უნდა შეძლოთ ამ თვისების დროულად დანახვა მისი ამოხსნისას, რათა თავი დააღწიოთ თავს უზარმაზარი გათვლებისგან.
მე-12 ქონება.
თითოეული ეს თვისება შეგხვდებათ არაერთხელ დავალებაში, ის შეიძლება იყოს სუფთა სახით, ან შეიძლება მოითხოვოს გარკვეული ტრანსფორმაციები და სხვა ფორმულების გამოყენება. ამიტომ სწორი ამოხსნისთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ თვისებების ცოდნა, საჭიროა ივარჯიშოთ და დააკავშიროთ დანარჩენი მათემატიკური ცოდნა.
ხარისხების გამოყენება და მათი თვისებები
ისინი აქტიურად გამოიყენება ალგებრასა და გეომეტრიაში. ცალკე, მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია მათემატიკის ხარისხს. მათი დახმარებით იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები, ასევე ძლიერებები ხშირად ართულებს მათემატიკის სხვა სექციებთან დაკავშირებულ განტოლებებსა და მაგალითებს. ექსპონენტები ხელს უწყობენ დიდი და გრძელი გამოთვლების თავიდან აცილებას, უფრო ადვილია ექსპონენტების შემცირება და გამოთვლა. მაგრამ დიდი სიმძლავრეებით, ან დიდი რიცხვების სიმძლავრეებით მუშაობისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ ხარისხის თვისებები, არამედ კომპეტენტურად იმუშაოთ საფუძვლებთან, შეძლოთ მათი დაშლა, რათა თქვენი დავალება გაგიადვილოთ. მოხერხებულობისთვის, თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ სიძლიერეზე აყვანილი რიცხვების მნიშვნელობა. ეს შეამცირებს თქვენს დროს გადაჭრის დროს ხანგრძლივი გამოთვლების საჭიროების აღმოფხვრის გზით.
ხარისხის ცნება განსაკუთრებულ როლს ასრულებს ლოგარითმებში. ვინაიდან ლოგარითმი, არსებითად, არის რიცხვის ძალა.
გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ძალაუფლების გამოყენების კიდევ ერთი მაგალითია. მათ არ შეუძლიათ ხარისხების თვისებების გამოყენება, ისინი იშლება სპეციალური წესების მიხედვით, მაგრამ ყოველ შემოკლებულ გამრავლების ფორმულაში უცვლელად არის გრადუსები.
დიპლომები ასევე აქტიურად გამოიყენება ფიზიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში. ყველა თარგმანი SI სისტემაში ხდება გრადუსების გამოყენებით, ხოლო მომავალში, პრობლემების გადაჭრისას, გამოიყენება ხარისხის თვისებები. კომპიუტერულ მეცნიერებაში აქტიურად გამოიყენება ორი ძალა, რიცხვების დათვლისა და აღქმის გასამარტივებლად. შემდგომი გამოთვლები საზომი ერთეულების გარდაქმნაზე ან ამოცანების გამოთვლებზე, ისევე როგორც ფიზიკაში, ხდება ხარისხის თვისებების გამოყენებით.
ხარისხები ასევე ძალიან სასარგებლოა ასტრონომიაში, სადაც იშვიათად შეგიძლიათ იპოვოთ ხარისხის თვისებების გამოყენება, მაგრამ თავად გრადუსები აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა რაოდენობისა და მანძილების ჩაწერის შესამცირებლად.
ხარისხები გამოიყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც, ფართობების, მოცულობების, მანძილების გაანგარიშებისას.
ხარისხების დახმარებით, ძალიან დიდი და ძალიან მცირე მნიშვნელობები იწერება მეცნიერების ნებისმიერ დარგში.
ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები
ხარისხის თვისებებს განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს ზუსტად ექსპონენციალურ განტოლებებსა და უტოლობაში. ეს ამოცანები ძალიან ხშირია, როგორც სკოლის კურსზე, ასევე გამოცდებზე. ყველა მათგანი მოგვარებულია ხარისხის თვისებების გამოყენებით. უცნობი ყოველთვის თავად ხარისხშია, ამიტომ, ყველა თვისების ცოდნით, ასეთი განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა არ იქნება რთული.
ძალაუფლების შეკრება და გამოკლება
ცხადია, სიმძლავრის მქონე რიცხვები შეიძლება დაემატოს სხვა რაოდენობებს , სათითაოდ მათი ნიშნების მიყოლებით.
ასე რომ, a 3-ისა და b 2-ის ჯამი არის 3 + b 2.
a 3 - b n და h 5 -d 4 ჯამი არის 3 - b n + h 5 - d 4.
შანსები ერთი და იგივე ცვლადების იგივე ძალაშეიძლება დაემატოს ან გამოკლდეს.
ასე რომ, 2a 2-ისა და 3a 2-ის ჯამი არის 5a 2.
ასევე აშკარაა, რომ თუ ავიღებთ ორ კვადრატს a, ან სამ კვადრატს a, ან ხუთ კვადრატს a.
მაგრამ გრადუსები სხვადასხვა ცვლადებიდა სხვადასხვა ხარისხით იდენტური ცვლადები, უნდა დაემატოს მათი ნიშნების დამატებით.
ასე რომ, 2-ისა და 3-ის ჯამი არის 2 + a 3-ის ჯამი.
აშკარაა, რომ a-ს კვადრატი და a-ს კუბი არ არის ორჯერ a-ს კვადრატი, არამედ ორჯერ მეტი a-ის კუბი.
a 3 b n და 3a 5 b 6 ჯამი არის 3 b n + 3a 5 b 6 .
გამოკლებაუფლებამოსილებები ხორციელდება ისევე, როგორც დამატება, გარდა იმისა, რომ სუბტრაჰენდის ნიშნები შესაბამისად უნდა შეიცვალოს.
ან:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3სთ 2 ბ 6 - 4 სთ 2 ბ 6 \u003d -სთ 2 ბ 6
5(ა - თ) 6 - 2(ა - თ) 6 = 3(ა - თ) 6
სიმძლავრის გამრავლება
სიმძლავრეების მქონე რიცხვები შეიძლება გამრავლდეს, როგორც სხვა სიდიდეები, ერთმანეთის მიყოლებით ჩაწერით, მათ შორის გამრავლების ნიშნით ან მის გარეშე.
ასე რომ, a 3-ის b2-ზე გამრავლების შედეგი არის 3 b 2 ან aaabb.
ან:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
ბოლო მაგალითში შედეგი შეიძლება დალაგდეს იგივე ცვლადების დამატებით.
გამოთქმა მიიღებს ფორმას: a 5 b 5 y 3 .
რამდენიმე რიცხვის (ცვლადის) ძალებთან შედარებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ თუ რომელიმე მათგანი მრავლდება, მაშინ შედეგი არის რიცხვი (ცვლადი), რომლის სიმძლავრე ტოლია. ჯამიტერმინების ხარისხები.
ასე რომ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
აქ 5 არის გამრავლების შედეგის სიმძლავრე, ტოლი 2 + 3, წევრთა ხარისხების ჯამი.
ასე რომ, a n .a m = a m+n.
a n-ისთვის a ფაქტორად მიიღება იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის n-ის სიმძლავრე;
და a m , მიიღება ფაქტორად იმდენჯერ, რამდენჯერაც m ხარისხი უდრის;
Ისე, იგივე ფუძეების მქონე სიმძლავრეები შეიძლება გამრავლდეს მაჩვენებლების დამატებით.
ასე რომ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8. და x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
ან:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
გაამრავლეთ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
პასუხი: x 4 - y 4.
გაამრავლეთ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
ეს წესი ასევე ეხება რიცხვებს, რომელთა მაჩვენებლებია − უარყოფითი.
1. ასე რომ, a -2 .a -3 = a -5 . ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n.
თუ a + b გამრავლებულია a - b-ზე, შედეგი იქნება 2 - b 2: ანუ
ორი რიცხვის ჯამის ან სხვაობის გამრავლების შედეგი უდრის მათი კვადრატების ჯამს ან განსხვავებას.
თუ ორი რიცხვის ჯამი და სხვაობა გაიზარდა კვადრატი, შედეგი იქნება ამ რიცხვების ჯამის ან სხვაობის ტოლი მეოთხეხარისხი.
ასე რომ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
უფლებამოსილებების დაყოფა
სიმძლავრის რიცხვები შეიძლება დაიყოს სხვა რიცხვების მსგავსად გამყოფისგან გამოკლებით ან წილადის სახით.
ასე რომ, a 3 b 2 გაყოფილი b 2-ზე არის 3.
5-ის დაწერა სამზე გაყოფილი ჰგავს $\frac-ს $. მაგრამ ეს უდრის 2-ს. რიცხვების სერიაში
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს მეორეზე და მაჩვენებელი ტოლი იქნება განსხვავებაგამყოფი რიცხვების ინდიკატორები.
ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას, მათი მაჩვენებლები გამოკლებულია..
ასე რომ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . ანუ $\frac = y$.
და a n+1:a = a n+1-1 = a n. ანუ $\frac = a^n$.
ან:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
წესი ასევე მოქმედებს ნომრებზე უარყოფითიხარისხის ღირებულებები.
-5-ის -3-ზე გაყოფის შედეგი არის -2.
ასევე, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ან $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
ძალთა გამრავლებისა და გაყოფის კარგად დაუფლება აუცილებელია, ვინაიდან ასეთი ოპერაციები ძალიან ფართოდ გამოიყენება ალგებრაში.
წილადების მაგალითების ამოხსნის მაგალითები, რომლებიც შეიცავს რიცხვებს ხარისხებით
1. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac $-ში პასუხი: $\frac $.
2. შეამცირეთ მაჩვენებლები $\frac$-ში. პასუხი: $\frac $ ან 2x.
3. შეამცირეთ a 2 / a 3 და a -3 / a -4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
a 2 .a -4 არის -2 პირველი მრიცხველი.
a 3 .a -3 არის 0 = 1, მეორე მრიცხველი.
a 3 .a -4 არის -1, საერთო მრიცხველი.
გამარტივების შემდეგ: a -2 /a -1 და 1/a -1 .
4. შეამცირეთ 2a 4 /5a 3 და 2 /a 4 მაჩვენებლები და მიიტანეთ საერთო მნიშვნელამდე.
პასუხი: 2a 3 / 5a 7 და 5a 5 / 5a 7 ან 2a 3 / 5a 2 და 5/5a 2.
5. გაამრავლე (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3-ზე.
6. გაამრავლეთ (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).
7. გავამრავლოთ b 4 /a -2 h -3 /x-ზე და a n /y -3-ზე.
8. გაყავით 4 /y 3 3 /y 2-ზე. პასუხი: ა/წ.
ხარისხის თვისებები
შეგახსენებთ, რომ ამ გაკვეთილში ჩვენ გვესმის ხარისხის თვისებებიბუნებრივი მაჩვენებლებით და ნულით. რაციონალური ინდიკატორების ხარისხები და მათი თვისებები განხილული იქნება მე-8 კლასის გაკვეთილებზე.
ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებელს აქვს რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება, რაც საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ გამოთვლები მაჩვენებლის მაგალითებში.
ქონება #1
ძალაუფლების პროდუქტი
ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეზე გამრავლებისას ფუძე უცვლელი რჩება და ემატება მაჩვენებლები.
a m a n \u003d a m + n, სადაც "a" არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო "m", "n" არის ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.
ძალაუფლების ეს თვისება ასევე მოქმედებს სამი ან მეტი სიმძლავრის ნამრავლზე.
- გამოხატვის გამარტივება.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - წარადგინე როგორც ხარისხი.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - წარადგინე როგორც ხარისხი.
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - დაწერეთ კოეფიციენტი ხარისხად
(2ბ) 5: (2ბ) 3 = (2ბ) 5 − 3 = (2ბ) 2 - გამოთვალეთ.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მითითებულ თვისებაში საუბარი იყო მხოლოდ ძალაუფლების გამრავლებაზე იმავე ფუძეებით.. ეს არ ეხება მათ დამატებას.
თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ ჯამი (3 3 + 3 2) 3 5-ით. ეს გასაგებია თუ
გამოთვალეთ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 და 3 5 = 243
ქონება #2
კერძო დიპლომები
ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას ფუძე უცვლელი რჩება და გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. ჩვენ ვიყენებთ ნაწილობრივი ხარისხის თვისებებს.
3 8: t = 3 4
პასუხი: t = 3 4 = 81
No1 და No2 თვისებების გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ გამონათქვამები და შეასრულოთ გამოთვლები.
მაგალითი. გამოხატვის გამარტივება.
4 5 მ + 6 4 მ + 2: 4 4 მ + 3 = 4 5 მ + 6 + მ + 2: 4 4 მ + 3 = 4 6 მ + 8 − 4 მ − 3 = 4 2 მ + 5
მაგალითი. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა ხარისხის თვისებების გამოყენებით.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ საკუთრება 2 ეხებოდა მხოლოდ უფლებამოსილებების დაყოფას იმავე საფუძვლებით.
თქვენ არ შეგიძლიათ შეცვალოთ განსხვავება (4 3 −4 2) 4 1-ით. ეს გასაგებია, თუ გამოთვლით (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 და 4 1 = 4
ქონება #3
ექსპონენტაცია
სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, სიმძლავრის საფუძველი უცვლელი რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება.
(a n) m \u003d a n m, სადაც "a" არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო "m", "n" არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.
შეგახსენებთ, რომ კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. ამიტომ, წილადის სიმძლავრემდე აწევის თემაზე უფრო დეტალურად შევჩერდებით შემდეგ გვერდზე.
როგორ გავამრავლოთ ძალები
როგორ გავამრავლოთ ძალები? რომელი ძალა შეიძლება გამრავლდეს და რომელი არა? როგორ გავამრავლოთ რიცხვი ხარისხზე?
ალგებრაში შეგიძლიათ იპოვოთ ძალაუფლების ნამრავლი ორ შემთხვევაში:
1) თუ ხარისხებს აქვთ იგივე საფუძველი;
2) თუ ხარისხებს აქვთ იგივე მაჩვენებლები.
ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას, ფუძე იგივე უნდა დარჩეს და მაჩვენებლები უნდა დაემატოს:
იმავე ინდიკატორებთან ხარისხების გამრავლებისას, მთლიანი მაჩვენებელი შეიძლება ამოღებულ იქნას ფრჩხილებიდან:
განვიხილოთ, როგორ გავამრავლოთ ძალაუფლება, კონკრეტული მაგალითებით.
მაჩვენებლის ერთეული არ იწერება, მაგრამ გრადუსების გამრავლებისას ისინი ითვალისწინებენ:
გამრავლებისას, გრადუსების რაოდენობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი. უნდა გვახსოვდეს, რომ არ შეიძლება გამრავლების ნიშანი ასოზე ადრე დაწეროთ:
გამონათქვამებში პირველ რიგში სრულდება ექსპონენტაცია.
თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხარისხზე გამრავლება, ჯერ უნდა შეასრულოთ სიმძლავრე და მხოლოდ ამის შემდეგ - გამრავლება:
ძალაუფლების გამრავლება იმავე ფუძით
ეს ვიდეო გაკვეთილი ხელმისაწვდომია გამოწერით
უკვე გაქვთ გამოწერა? Შემოსვლა
ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ გავამრავლოთ ძალაუფლება იმავე ფუძით. პირველ რიგში გავიხსენებთ ხარისხის განსაზღვრებას და ვაყალიბებთ თეორემას თანასწორობის მართებულობის შესახებ . შემდეგ ვაძლევთ მისი გამოყენების მაგალითებს კონკრეტულ რიცხვებზე და ვამტკიცებთ. ჩვენ ასევე გამოვიყენებთ თეორემას სხვადასხვა ამოცანების გადასაჭრელად.
თემა: ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით და მისი თვისებები
გაკვეთილი: ძალაუფლების გამრავლება იმავე ფუძეებით (ფორმულა)
1. ძირითადი განმარტებები
ძირითადი განმარტებები:
ნ- ექსპონენტი,
— ნ- რიცხვის ხარისხში.
2. თეორემა 1-ის დებულება
თეორემა 1.ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კთანასწორობა მართალია:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: თუ ა- ნებისმიერი ნომერი; ნდა კბუნებრივი რიცხვები, მაშინ:
აქედან გამომდინარე, წესი 1:
3. ამოცანების ახსნა
დასკვნა:თეორემა No1-ის სისწორე განსაკუთრებულმა შემთხვევებმა დაადასტურა. მოდით დავამტკიცოთ ეს ზოგად შემთხვევაში, ანუ ნებისმიერისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კ.
4. თეორემა 1-ის დადასტურება
მოცემული ნომერი ა- ნებისმიერი; ნომრები ნდა კ-ბუნებრივი. დაამტკიცე:
მტკიცებულება ეფუძნება ხარისხის განსაზღვრას.
5. მაგალითების ამოხსნა თეორემა 1-ის გამოყენებით
მაგალითი 1:წარადგინე როგორც ხარისხი.
შემდეგი მაგალითების ამოსახსნელად ვიყენებთ თეორემა 1-ს.
ზ) 
6. თეორემა 1-ის განზოგადება
აქ არის განზოგადება:
7. მაგალითების ამოხსნა თეორემა 1-ის განზოგადების გამოყენებით
8. სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნა თეორემა 1-ის გამოყენებით
მაგალითი 2:გამოთვალეთ (შეგიძლიათ გამოიყენოთ ძირითადი ხარისხების ცხრილი).
ა) 
(ცხრილის მიხედვით)
ბ) 
მაგალითი 3:ჩაწერეთ ძალაუფლების სახით 2 ფუძით.
ა) 
მაგალითი 4:განსაზღვრეთ რიცხვის ნიშანი:
, ა -უარყოფითი, რადგან -13-ის მაჩვენებელი უცნაურია.
მაგალითი 5:ჩაანაცვლეთ ( ) ბაზის სიმძლავრით r:
გვაქვს , ანუ .
9. შეჯამება
1. დოროფეევი გ.ვ., სუვოროვა ს.ბ., ბუნიმოვიჩი ე.ა. და სხვები ალგებრა 7. მე-6 გამოცემა. მ.: განმანათლებლობა. 2010 წელი
1. სკოლის თანაშემწე (წყარო).
1. გამოხატეთ ხარისხით:
ა ბ ც დ ე) 
3. ჩაწერეთ ხარისხად 2 ფუძით:
4. დაადგინეთ რიცხვის ნიშანი:
ა) 
5. ჩაანაცვლეთ ( ) რიცხვის სიმძლავრით ფუძით r:
ა) r 4 ( ) = r 15 ; ბ) ( ) r 5 = r 6
ძალაუფლების გამრავლება და გაყოფა ერთნაირი მაჩვენებლებით
ამ გაკვეთილზე შევისწავლით ძალაუფლების გამრავლებას ერთი და იგივე მაჩვენებლებით. პირველ რიგში, გავიხსენოთ ძირითადი განმარტებები და თეორემები ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის შესახებ ერთიდაიგივე ფუძეებით და სიმძლავრის ხარისხზე აყვანის შესახებ. შემდეგ ვაყალიბებთ და ვამტკიცებთ თეორემებს ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის შესახებ იმავე მაჩვენებლებით. შემდეგ კი მათი დახმარებით ჩვენ მოვაგვარებთ უამრავ ტიპურ პრობლემას.
ძირითადი განმარტებებისა და თეორემების შეხსენება
Აქ ა- ხარისხის საფუძველი
— ნ- რიცხვის ხარისხში.
თეორემა 1.ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კთანასწორობა მართალია:
ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას ემატება მაჩვენებლები, ფუძე უცვლელი რჩება.
თეორემა 2.ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კ,ისეთივე როგორც ნ > კთანასწორობა მართალია:
ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას მაჩვენებლები კლებულობს და ფუძე უცვლელი რჩება.
თეორემა 3.ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ნებისმიერი ბუნებრივი ნდა კთანასწორობა მართალია:
ყველა ზემოაღნიშნული თეორემა ეხებოდა ერთნაირი ძალების შესახებ საფუძველი, ეს გაკვეთილი განიხილავს ხარისხებს იგივე ინდიკატორები.
ძალაუფლების გამრავლების მაგალითები იმავე მაჩვენებლებით
განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები:
ჩამოვწეროთ გამოთქმები ხარისხის დასადგენად.
დასკვნა:მაგალითებიდან ხედავთ ამას 
, მაგრამ ეს ჯერ კიდევ დასამტკიცებელია. ჩვენ ვაყალიბებთ თეორემას და ვამტკიცებთ მას ზოგად შემთხვევაში, ანუ ნებისმიერისთვის ადა ბდა ნებისმიერი ბუნებრივი ნ.
თეორემა 4-ის განცხადება და დადასტურება
ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ბდა ნებისმიერი ბუნებრივი ნთანასწორობა მართალია:
მტკიცებულებათეორემა 4 .
ხარისხის განმარტებით:
ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ ეს .
ერთი და იგივე მაჩვენებლით ძალაუფლების გასამრავლებლად საკმარისია ფუძეების გამრავლება და მაჩვენებლის უცვლელი დატოვება.
მე-5 თეორემას დებულება და დადასტურება
ჩვენ ვაყალიბებთ თეორემას ძალაუფლების ერთნაირი მაჩვენებლებით გაყოფისთვის.
ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ბ() და ნებისმიერი ბუნებრივი ნთანასწორობა მართალია:
მტკიცებულებათეორემა 5 .
მოდით ჩამოვწეროთ და ხარისხის განმარტებით:
თეორემების გამოთქმა სიტყვებით
ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ ეს.
ერთი და იგივე მაჩვენებლებით ხარისხების ერთმანეთში გასაყოფად საკმარისია ერთი ფუძე გავყოთ მეორეზე და დატოვოთ მაჩვენებლის უცვლელი.
ტიპიური ამოცანების ამოხსნა მე-4 თეორემის გამოყენებით
მაგალითი 1:გამოხატეთ როგორც ძალაუფლების პროდუქტი.
შემდეგი მაგალითების ამოსახსნელად ვიყენებთ თეორემა 4-ს.
შემდეგი მაგალითის გადასაჭრელად, გაიხსენეთ ფორმულები:
მე-4 თეორემის განზოგადება
თეორემა 4-ის განზოგადება:
მაგალითების ამოხსნა განზოგადებული თეორემის გამოყენებით 4
განაგრძო ტიპიური პრობლემების გადაჭრა
მაგალითი 2:დაწერეთ როგორც პროდუქტის ხარისხი.
მაგალითი 3:ჩაწერეთ ხარისხად 2-ის მაჩვენებლით.
გაანგარიშების მაგალითები
მაგალითი 4:გამოთვალეთ ყველაზე რაციონალურად.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. ალგებრა 7. მ.: VENTANA-GRAF
3. კოლიაგინი იუ.მ., ტკაჩევა მ.ვ., ფედოროვა ნ.ე. და სხვა.ალგებრა 7 .მ .: განათლება. 2006 წ
2. სკოლის თანაშემწე (წყარო).
1. წარმოადგინეთ როგორც ძალაუფლების პროდუქტი:
ა) ; ბ) ; in) ; გ) ;
2. ჩაწერეთ პროდუქტის ხარისხი:
3. ხარისხის სახით ჩაწერეთ 2-ის მაჩვენებლით:
4. გამოთვალეთ ყველაზე რაციონალურად.
მათემატიკის გაკვეთილი თემაზე "ძალათა გამრავლება და გაყოფა"
სექციები:მათემატიკა
პედაგოგიური მიზანი:
Დავალებები:
დოქტრინის აქტივობის ერთეულები:ხარისხის განსაზღვრა ბუნებრივი მაჩვენებლით; ხარისხის კომპონენტები; კერძოს განმარტება; გამრავლების ასოციაციური კანონი.
I. მოსწავლეთა მიერ არსებული ცოდნის ათვისების დემონსტრირების ორგანიზება. (ნაბიჯი 1)
ა) ცოდნის განახლება:
2) ჩამოაყალიბეთ ხარისხის განსაზღვრება ბუნებრივი მაჩვენებლით.
a n \u003d a a a a ... a (n ჯერ)
b k \u003d b b b b a ... b (k ჯერ) დაასაბუთეთ თქვენი პასუხი.
II. მსმენელის თვითშეფასების ორგანიზაცია შესაბამისი გამოცდილების ფლობის ხარისხით. (ნაბიჯი 2)
ტესტი თვითშემოწმებისთვის: (ინდივიდუალური სამუშაო ორი ვერსიით.)
A1) გამოთქვით ნამრავლი 7 7 7 7 x x x სიმძლავრის სახით:
A2) ნამრავლის სახით გამოხატეთ ხარისხი (-3) 3 x 2
ა3) გამოთვალეთ: -2 3 2 + 4 5 3
ტესტში დავალებების რაოდენობას ვირჩევ კლასის დონის მომზადების შესაბამისად.
ტესტისთვის მე ვაძლევ გასაღებს თვითშემოწმებისთვის. კრიტერიუმები: გავლა-ჩავარდნა.
III. სასწავლო და პრაქტიკული დავალება (საფეხური 3) + ნაბიჯი 4. (მოსწავლეები თავად ჩამოაყალიბებენ თვისებებს)
1) და 2 ამოცანების ამოხსნისას მოსწავლეები გვთავაზობენ გამოსავალს, მე კი, როგორც მასწავლებელი, ვაწყობ კლასს, რათა ვიპოვო გზა გამარტივდეს ძალაუფლების ერთსა და იმავე ფუძეებზე გამრავლებისას.
მასწავლებელი: მოიძიეთ გზა, რათა გაამარტივოთ ძალაუფლება იმავე ფუძით გამრავლებისას.
კლასტერზე ჩნდება ჩანაწერი:
ჩამოყალიბებულია გაკვეთილის თემა. ძალაუფლების გამრავლება.
მასწავლებელი: შეიმუშავეთ ხარისხების გაყოფის წესი იმავე ფუძეებით.
მსჯელობა: რა ქმედება ამოწმებს დაყოფას? a 5: a 3 = ? რომ a 2 a 3 = a 5
ვუბრუნდები სქემას - მტევანი და ვავსებ ჩანაწერს - ..გაყოფისას ვაკლებ და ვამატებ გაკვეთილის თემას. ...და ხარისხების დაყოფა.
IV. ცოდნის საზღვრების (მინიმუმ და მაქსიმუმ) მოსწავლეებთან კომუნიკაცია.
მასწავლებელი: დღევანდელი გაკვეთილისთვის მინიმუმის ამოცანაა ისწავლოს როგორ გამოვიყენოთ გამრავლებისა და ხარისხების გაყოფის თვისებები ერთიდაიგივე ფუძეებით, ხოლო მაქსიმუმი: გამრავლებისა და გაყოფის ერთად გამოყენება.
Დაწერე დაფაზე : a m a n = a m + n; a m: a n = a m-n
V. ახალი მასალის შესწავლის ორგანიზაცია. (ნაბიჯი 5)
ა) სახელმძღვანელოს მიხედვით: No403 (ა, გ, ე) ამოცანები განსხვავებული ფორმულირებით
No404 (ა, ე, ვ) დამოუკიდებელ მუშაობას, შემდეგ ვაწყობ ორმხრივ შემოწმებას, ვაძლევ გასაღებს.
ბ) m-ის რა მნიშვნელობისთვის მოქმედებს ტოლობა? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
ამოცანა: მოიყვანეთ მსგავსი მაგალითები გაყოფისთვის.
გ) No417(a), No418(a) ხაფანგები სტუდენტებისთვის: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.
VI. ნასწავლის შეჯამება, დიაგნოსტიკური სამუშაოს ჩატარება (რაც მოუწოდებს მოსწავლეებს და არა მასწავლებლებს, შეისწავლონ ეს თემა) (ნაბიჯი 6)
დიაგნოსტიკური სამუშაო.
ტესტი(განათავსეთ გასაღებები ტესტის უკანა მხარეს).
დავალების ვარიანტები: ხარისხის სახით წარმოადგინეთ კოეფიციენტი x 15: x 3; სიმძლავრის სახით წარმოადგინე ნამრავლი (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; რომლისთვისაც m არის ტოლობა a 16 a m = a 32 true; იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა h 0: h 2 h = 0.2-ით; გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (5 2 5 0) : 5 2 .
გაკვეთილის შეჯამება. ანარეკლი.კლასს ვყოფ ორ ჯგუფად.
იპოვეთ I ჯგუფის არგუმენტები: ხარისხის თვისებების ცოდნის სასარგებლოდ, ხოლო II ჯგუფი - არგუმენტები, რომლებიც იტყვიან, რომ თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ თვისებების გარეშე. ჩვენ ვუსმენთ ყველა პასუხს, ვაკეთებთ დასკვნებს. მომდევნო გაკვეთილებზე შეგიძლიათ შემოგთავაზოთ სტატისტიკური მონაცემები და დაასახელოთ რუბრიკა "ჩემს თავში არ ჯდება!"
VII. Საშინაო დავალება.
ისტორიის მინიშნება. რომელ რიცხვებს უწოდებენ ფერმას რიცხვებს.
გვ.19. #403, #408, #417
გამოყენებული წიგნები:
ხარისხების თვისებები, ფორმულირებები, მტკიცებულებები, მაგალითები.
რიცხვის ხარისხის დადგენის შემდეგ ლოგიკურია საუბარი ხარისხის თვისებები. ამ სტატიაში ჩვენ მივცემთ რიცხვის ხარისხის ძირითად თვისებებს, ხოლო შეხებით ყველა შესაძლო მაჩვენებელს. აქ ჩვენ მივცემთ მტკიცებულებებს ხარისხის ყველა თვისების შესახებ და ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება ეს თვისებები მაგალითების ამოხსნისას.
გვერდის ნავიგაცია.
ხარისხების თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლებით
ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით, n-ის ხარისხი არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ამ განმარტებაზე დაყრდნობით და გამოყენებით რეალური რიცხვების გამრავლების თვისებები, შეგვიძლია მივიღოთ და დავასაბუთოთ შემდეგი ხარისხის თვისებები ბუნებრივი მაჩვენებლით:
- თუ a>0, მაშინ a n >0 ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის;
- თუ a=0, მაშინ a n =0;
- თუ a 2 m >0 , თუ a 2 m−1 n ;
- თუ m და n ისეთი ნატურალური რიცხვებია, რომ m>n, მაშინ 0m n-სთვის და a>0-ისთვის უტოლობა a m >a n მართალია.
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n;
- (ა ბ) n = a n b n;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n;
- თუ n დადებითი მთელი რიცხვია, a და b დადებითი რიცხვებია და a n n და a−n>b−n ;
- თუ m და n მთელი რიცხვებია, და m>n, მაშინ 0m n-სთვის და a>1-ისთვის, უტოლობა a m >a n დაკმაყოფილებულია.
ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ყველა წერილობითი თანასწორობა არის იდენტურიმითითებულ პირობებში და მათი მარჯვენა და მარცხენა ნაწილების შეცვლა შესაძლებელია. მაგალითად, a m a n = a m + n წილადის მთავარი თვისება გამოთქმების გამარტივებახშირად გამოიყენება m+n = a m a n სახით.
ახლა მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი დეტალურად.
დავიწყოთ ერთი და იგივე ფუძის მქონე ორი სიმძლავრის ნამრავლის თვისებით, რომელსაც ე.წ ხარისხის მთავარი თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, ტოლობა a m ·a n =a m+n არის ჭეშმარიტი.
მოდით დავამტკიცოთ ხარისხის ძირითადი თვისება. ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით, a m a n ფორმის იგივე საფუძვლების მქონე ძალების ნამრავლი შეიძლება ჩაიწეროს როგორც ნამრავლი. 
. გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, მიღებული გამოხატულება შეიძლება დაიწეროს როგორც 
და ეს ნამრავლი არის a-ს სიმძლავრე m+n ბუნებრივი მაჩვენებლით, ანუ m+n. ეს ასრულებს მტკიცებულებას.
მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას. ავიღოთ გრადუსები იგივე 2 საფუძვლებით და ბუნებრივი ხარისხებით 2 და 3, ხარისხის ძირითადი თვისების მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . მოდით შევამოწმოთ მისი ვალიდობა, რისთვისაც გამოვთვალოთ 2 2 · 2 3 და 2 5 გამონათქვამების მნიშვნელობები. სიმძლავრის შესრულებისას გვაქვს 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 და 2 5 =2 2 2 2 2=32 , რადგან ვიღებთ ტოლ მნიშვნელობებს, მაშინ ტოლობა 2 2 2 3 = 2 5 მართალია და ის ადასტურებს ხარისხის ძირითად თვისებას.
გამრავლების თვისებებზე დაფუძნებული ხარისხის ძირითადი თვისება შეიძლება განზოგადდეს სამი ან მეტი ხარისხის ნამრავლზე ერთი და იგივე ფუძეებით და ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ამრიგად, n 1 , n 2 , …, n k ნატურალური რიცხვების k რიცხვისთვის მართებულია a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ტოლობა.
მაგალითად, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .
შეგიძლიათ გადახვიდეთ გრადუსების შემდეგ თვისებაზე ბუნებრივი მაჩვენებლით - იგივე საფუძვლების ნაწილობრივი უფლებამოსილებების საკუთრება: ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვისთვის და თვითნებური ნატურალური რიცხვებისთვის m და n, რომლებიც აკმაყოფილებს m>n პირობას, ტოლობა a m:a n =a m−n არის ჭეშმარიტი.
სანამ ამ საკუთრების დამადასტურებელ მტკიცებულებას მივცემთ, განვიხილოთ განცხადებაში დამატებითი პირობების მნიშვნელობა. პირობა a≠0 აუცილებელია, რათა თავიდან ავიცილოთ გაყოფა ნულზე, რადგან 0 n =0, და როცა გავეცანით გაყოფას, შევთანხმდით, რომ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია. პირობა m>n შემოტანილია ისე, რომ ბუნებრივ მაჩვენებლებს არ გავცდეთ. მართლაც, m>n-სთვის, a m−n მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის იქნება ან ნული (რაც ხდება m−n-ის დროს) ან უარყოფითი რიცხვი (რაც ხდება, როდესაც m m−n a n =a (m−n) + n = a m მიღებული ტოლობიდან a m−n a n = a m და გაყოფით გამრავლების მიმართებიდან გამომდინარეობს, რომ m−n არის m და a n-ის ნაწილობრივი ხარისხები, ეს ადასტურებს ერთი და იგივე ფუძის მქონე ნაწილობრივი ხარისხების თვისებას.
ავიღოთ მაგალითი. ავიღოთ ორი გრადუსი ერთი და იგივე ფუძეებით π და ბუნებრივი მაჩვენებლებით 5 და 2, ხარისხის განხილული თვისება შეესაბამება π 5 ტოლობას: π 2 = π 5−3 = π 3.
ახლა განიხილეთ პროდუქტის ხარისხის თვისება: ნებისმიერი ორი რეალური რიცხვის ნამრავლის n ბუნებრივი ხარისხი a და b უდრის a n და b n გრადუსების ნამრავლს, ანუ (a b) n =a n b n .
მართლაც, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით, ჩვენ გვაქვს 
. ბოლო პროდუქტი, გამრავლების თვისებებზე დაყრდნობით, შეიძლება გადაიწეროს როგორც 
, რომელიც უდრის a n b n-ს.
აი მაგალითი: 
.
ეს თვისება ვრცელდება სამი ან მეტი ფაქტორის პროდუქტის ხარისხზე. ანუ k ფაქტორების ნამრავლის ბუნებრივი ხარისხის თვისება n იწერება როგორც (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ამ თვისებას მაგალითით. სამი ფაქტორის ნამრავლისთვის 7-ის ხარისხზე გვაქვს .
შემდეგი ქონება არის ბუნებრივი საკუთრება: a და b , b≠0 რეალური რიცხვების კოეფიციენტი n ნატურალურ ხარისხზე უდრის a n და b n ხარისხების კოეფიციენტს, ანუ (a:b) n =a n:b n .
მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს წინა ქონების გამოყენებით. ასე რომ (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , და (a:b) n b n =a n ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ (a:b) n არის a n-ის კოეფიციენტი b n-მდე.
მოდით დავწეროთ ეს თვისება კონკრეტული რიცხვების მაგალითის გამოყენებით: 
.
ახლა მოდით ხმა ექსპონენტაციის თვისება: ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის და ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის m და n, a m-ის სიმძლავრე n-ის ხარისხზე უდრის a-ის ხარისხს m·n მაჩვენებლით, ანუ (a m) n =a m·n .
მაგალითად, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6.
სიმძლავრის თვისების მტკიცებულება ხარისხით არის ტოლობების შემდეგი ჯაჭვი: 
.
განხილული ქონება შეიძლება გაფართოვდეს ხარისხამდე ხარისხის ფარგლებში და ა.შ. მაგალითად, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის p, q, r და s, ტოლობა 
. მეტი სიცხადისთვის მოვიყვანოთ მაგალითი კონკრეტული რიცხვებით: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
რჩება შეჩერება ხარისხების ბუნებრივ მაჩვენებელთან შედარების თვისებებზე.
ჩვენ ვიწყებთ ნულისა და სიმძლავრის შედარების თვისების დამტკიცებით ბუნებრივი მაჩვენებლით.
ჯერ გავამართლოთ, რომ a n >0 ნებისმიერი a>0-სთვის.
ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, როგორც ჩანს გამრავლების განმარტებიდან. ეს ფაქტი და გამრავლების თვისებები გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ დადებითი რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობის გამრავლების შედეგიც დადებითი რიცხვი იქნება. ხოლო a-ს სიმძლავრე n-ის ბუნებრივი მაჩვენებლით, განსაზღვრებით, არის n ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს არგუმენტები საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი ფუძისთვის a n-ის ხარისხი დადებითი რიცხვია. დადასტურებული თვისების ძალით 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 და 
.
სავსებით აშკარაა, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის a=0-ით a n-ის ხარისხი არის ნული. მართლაც, 0 n =0·0·…·0=0 . მაგალითად, 0 3 =0 და 0 762 =0.
გადავიდეთ უარყოფით საფუძვლებზე.
დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებელი ლუწი რიცხვია, აღვნიშნოთ ის 2 m , სადაც m არის ნატურალური რიცხვი. მერე 
. უარყოფითი რიცხვების გამრავლების წესის მიხედვით, a ფორმის თითოეული ნამრავლი უდრის a და a რიცხვების მოდულების ნამრავლს, რაც ნიშნავს, რომ ის დადებითი რიცხვია. შესაბამისად, პროდუქტიც დადებითი იქნება. 
და ხარისხი 2 მ. აი მაგალითები: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 და .
და ბოლოს, როდესაც a-ს ფუძე უარყოფითი რიცხვია და მაჩვენებელი კენტი რიცხვია 2 m−1, მაშინ 
. ყველა ნამრავლი a·a დადებითი რიცხვია, ამ დადებითი რიცხვების ნამრავლი ასევე დადებითია და მისი გამრავლება დარჩენილ უარყოფით რიცხვზე a იწვევს უარყოფით რიცხვს. ამ თვისების წყალობით, (−5) 3 17 n n არის n ჭეშმარიტი უტოლობების a მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ნამრავლი. უტოლობების თვისებები, დადასტურებული უტოლობა არის a n n ფორმის. მაგალითად, ამ თვისების გამო, უტოლობები 3 7 7 და 
.
რჩება ძალაუფლების ჩამოთვლილი თვისებების ბოლო დამტკიცება ბუნებრივი მაჩვენებლებით. ჩამოვაყალიბოთ. ორი გრადუსიდან ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთი და იგივე დადებითი საფუძვლებით ერთზე ნაკლები, ხარისხი უფრო დიდია, რომლის მაჩვენებელი ნაკლებია; ხოლო ორი ხარისხის ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთზე მეტი ერთი და იგივე ფუძეებით, ხარისხი უფრო დიდია, რომლის მაჩვენებელიც მეტია. ჩვენ მივმართავთ ამ ქონების მტკიცებულებას.
დავამტკიცოთ, რომ m>n და 0m n . ამისთვის ვწერთ განსხვავებას a m − a n და ვადარებთ ნულს. წერითი სხვაობა ფრჩხილებიდან n-ის ამოღების შემდეგ მიიღებს a n ·(a m−n −1) ფორმას. შედეგად მიღებული ნამრავლი უარყოფითია, როგორც a n დადებითი რიცხვის ნამრავლი და უარყოფითი რიცხვი a m−n −1 (a n დადებითია, როგორც დადებითი რიცხვის ბუნებრივი ძალა, ხოლო სხვაობა a m−n −1 არის უარყოფითი, რადგან m−n >0 m>n საწყისი პირობის გამო, აქედან გამომდინარეობს, რომ 0m−n-ისთვის ის ერთზე ნაკლებია). მაშასადამე, a m − a n m n, რაც დასამტკიცებელი იყო. მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ სწორ უტოლობას.
რჩება ქონების მეორე ნაწილის დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ m>n და a>1-ისთვის a m >a n მართალია. სხვაობა a m −a n ფრჩხილებიდან n-ის ამოღების შემდეგ იღებს a n ·(a m−n −1) ფორმას. ეს ნამრავლი დადებითია, რადგან a>1-სთვის a n-ის ხარისხი დადებითი რიცხვია, ხოლო სხვაობა a m−n −1 დადებითი რიცხვია, ვინაიდან m−n>0 საწყისი პირობის გამო, ხოლო a>1-ისთვის, m−n-ის ხარისხი ერთზე მეტია. მაშასადამე, a m − a n >0 და a m >a n, რაც დასამტკიცებელი იყო. ეს თვისება ილუსტრირებულია უტოლობით 3 7 >3 2 .
გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით
ვინაიდან დადებითი მთელი რიცხვები ნატურალური რიცხვებია, მაშინ დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლების მქონე ხარისხების ყველა თვისება ზუსტად ემთხვევა წინა აბზაცში ჩამოთვლილ და დადასტურებულ ნატურალური მაჩვენებლების ხარისხების თვისებებს.
ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ისევე როგორც ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით, ასე რომ ტოლობებით გამოხატული ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ყველა თვისება ძალაში რჩება. მაშასადამე, ყველა ეს თვისება მოქმედებს როგორც ნულოვანი, ასევე უარყოფითი მაჩვენებლებისთვის, მაშინ როცა, რა თქმა უნდა, გრადუსების საფუძვლები არ არის ნულოვანი.
ასე რომ, ნებისმიერი რეალური და არანულოვანი რიცხვებისთვის a და b, ისევე როგორც ნებისმიერი მთელი რიცხვი m და n, შემდეგი ჭეშმარიტია გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით:
a=0-სთვის, a m და a n ხარისხებს აქვთ აზრი მხოლოდ მაშინ, როდესაც m და n დადებითი მთელი რიცხვებია, ანუ ნატურალური რიცხვები. ამრიგად, ახლად დაწერილი თვისებები ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც a=0 და რიცხვები m და n დადებითი მთელი რიცხვებია.
თითოეული ამ თვისების დამტკიცება არ არის რთული, ამისათვის საკმარისია გამოვიყენოთ ხარისხის განსაზღვრებები ბუნებრივი და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ასევე რეალური რიცხვებით მოქმედებების თვისებები. მაგალითად, დავამტკიცოთ, რომ სიმძლავრის თვისება მოქმედებს როგორც დადებით, ასევე არაპოზიტიურ რიცხვებზე. ამისათვის ჩვენ უნდა ვაჩვენოთ, რომ თუ p არის ნული ან ნატურალური რიცხვი და q არის ნული ან ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობები (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) და (a −p) −q =a (−p) (−q) . Მოდი გავაკეთოთ ეს.
დადებითი p და q, ტოლობა (a p) q =a p·q დადასტურდა წინა ქვეთავში. თუ p=0, მაშინ გვაქვს (a 0) q =1 q =1 და a 0 q =a 0 =1, საიდანაც (a 0) q =a 0 q . ანალოგიურად, თუ q=0, მაშინ (a p) 0 =1 და a p 0 =a 0 =1, საიდანაც (a p) 0 =a p 0. თუ ორივე p=0 და q=0 , მაშინ (a 0) 0 =1 0 =1 და a 0 0 =a 0 =1, საიდანაც (a 0) 0 =a 0 0 .
ახლა დავამტკიცოთ, რომ (a −p) q =a (−p) q . უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განმარტებით, მაშინ 
. ხარისხში კოეფიციენტის თვისებით გვაქვს 
. ვინაიდან 1 p =1·1·…·1=1 და , მაშინ . ბოლო გამოთქმა, განსაზღვრებით, არის a −(p q) ფორმის ხარისხში, რომელიც გამრავლების წესების მიხედვით შეიძლება დაიწეროს როგორც (−p) q.
ანალოგიურად 
.
და 
.
იმავე პრინციპით, ხარისხის ყველა სხვა თვისების დამტკიცება შეიძლება ტოლობის სახით დაწერილი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.
ჩამოწერილი თვისებებიდან ბოლო ბოლოში ღირს შეჩერება a −n >b −n უტოლობის მტკიცებულებაზე, რომელიც მართალია ნებისმიერი უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის −n და ნებისმიერი დადებითი a და b, რომლისთვისაც არის a პირობა. . ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით განსხვავებას ამ უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს შორის: 
. ვინაიდან პირობით ა n n , შესაბამისად, b n − a n >0 . a n ·b n ნამრავლი ასევე დადებითია, როგორც a n და b n დადებითი რიცხვების ნამრავლი. მაშინ მიღებული წილადი დადებითია როგორც b n − a n და a n b n დადებითი რიცხვების კოეფიციენტი. მაშასადამე, საიდანაც a −n >b −n, რომელიც დასამტკიცებელი იყო.
გრადუსების უკანასკნელი თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით დასტურდება ისევე, როგორც გრადუსების ანალოგიური თვისება ბუნებრივ მაჩვენებლებთან.
ძალაუფლების თვისებები რაციონალური მაჩვენებლებით
ჩვენ განვსაზღვრეთ ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, მასზე მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისებების გაფართოებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადის მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს აქვთ იგივე თვისებები, რაც ხარისხებს მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით. კერძოდ:
- იგივე ფუძის მქონე ძალაუფლების პროდუქტის თვისება
a>0-სთვის და თუ და, მაშინ a≥0-სთვის; - ნაწილობრივი უფლებამოსილების საკუთრება იგივე საფუძვლებით
a>0-სთვის; - ფრაქციული პროდუქტის თვისება
a>0 და b>0 , და თუ და , მაშინ a≥0 და (ან) b≥0 ; - კოეფიციენტური თვისება წილადის ხარისხზე
a>0 და b>0 , და თუ , მაშინ a≥0 და b>0 ; - ხარისხის საკუთრება ხარისხში
a>0-სთვის და თუ და, მაშინ a≥0-სთვის; - თანაბარი რაციონალური მაჩვენებლებით ძალების შედარების თვისება: a და b ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის, a. 0 უტოლობა a p p მართებულია და p p >b p ;
- რაციონალურ მაჩვენებლებთან და ტოლ ფუძეებთან ძალების შედარების თვისება: რაციონალური რიცხვებისთვის p და q, p>q 0p q-სთვის, ხოლო a>0-სთვის, უტოლობა a p >a q .
- a p a q = a p + q;
- a p:a q = a p−q;
- (ა ბ) p = a p b p;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q;
- ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b , a 0 უტოლობა a p p მართებულია და p p >b p ;
- ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p>q 0p q , ხოლო a>0 უტოლობისთვის a p >a q .
გრადუსების თვისებების დადასტურება წილადის მაჩვენებლებით ემყარება ხარისხის განსაზღვრას წილადის მაჩვენებლით, n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვის თვისებებზე და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით ხარისხის თვისებებზე. მოდი მტკიცებულება მივცეთ.
ხარისხის განსაზღვრებით წილადის მაჩვენებლით და , მაშინ 
. არითმეტიკული ფესვის თვისებები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ შემდეგი ტოლობები. გარდა ამისა, მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის თვისების გამოყენებით, ვიღებთ 
, ხოლო მიღებული ხარისხის მაჩვენებლის გარდაქმნა შესაძლებელია შემდეგნაირად: . ეს ასრულებს მტკიცებულებას.
წილადი მაჩვენებლების მქონე ძალაუფლების მეორე თვისება ზუსტად ასეა დადასტურებული: 
დანარჩენი თანასწორობა დასტურდება მსგავსი პრინციპებით: 
ჩვენ მივმართავთ შემდეგი ქონების მტკიცებულებას. დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი a და b , a 0 უტოლობა a p p მართებულია და p p >b p . რაციონალურ რიცხვს p ვწერთ, როგორც m/n, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. პირობები p 0 ამ შემთხვევაში იქნება m 0 პირობების ექვივალენტი, შესაბამისად. იყიდება m>0 და am m . ამ უტოლობადან, ფესვების თვისებით, გვაქვს , და რადგან a და b დადებითი რიცხვებია, მაშინ, წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრის საფუძველზე, შედეგად მიღებული უტოლობა შეიძლება გადაიწეროს როგორც , ანუ p p .
ანალოგიურად, როდესაც m m >b m , საიდან , ანუ და a p >b p .
რჩება ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p>q 0p q , ხოლო a>0 უტოლობა a p >a q . ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია რაციონალური რიცხვები p და q შევამციროთ საერთო მნიშვნელამდე, მივიღოთ ჩვეულებრივი წილადები და , სადაც m 1 და m 2 არის მთელი რიცხვები, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში პირობა p>q შეესატყვისება m 1 >m 2 პირობას, რომელიც გამომდინარეობს ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ჩვეულებრივი წილადების შედარების წესიდან. შემდეგ, იგივე ფუძეებთან და ბუნებრივ მაჩვენებლებთან ძალების შედარების თვისებით, 0m 1 m 2-სთვის და a>1-ისთვის, უტოლობა a m 1 >a m 2. ეს უტოლობები ფესვების თვისებების თვალსაზრისით შეიძლება გადაიწეროს, შესაბამისად, როგორც 
და 
. და რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრა საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ უტოლობებზე და, შესაბამისად. აქედან გამოვიტანთ საბოლოო დასკვნას: p>q და 0p q , ხოლო a>0-სთვის, უტოლობა a p >a q .
გრადუსების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით
იმის მიხედვით, თუ როგორ არის განსაზღვრული ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მას აქვს რაციონალური მაჩვენებლების მქონე გრადუსების ყველა თვისება. ასე რომ, ნებისმიერი a>0, b>0 და ირაციონალური რიცხვებისთვის p და q სწორია გრადუსების თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით:
აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ p და q ნებისმიერი რეალური მაჩვენებლების მქონე ხარისხებს a>0 აქვთ იგივე თვისებები.
- ალგებრა - მე-10 კლასი. ტრიგონომეტრიული განტოლებები გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა" დამატებითი მასალები ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა […]
- გაიხსნა კონკურსი "გამყიდველი - კონსულტანტი" თანამდებობაზე: პასუხისმგებლობები: მობილური ტელეფონებისა და აქსესუარების გაყიდვა მობილური კავშირგაბმულობის სერვისისთვის Beeline, Tele2, MTS აბონენტებისთვის სატარიფო გეგმების და ბილაინის და Tele2, MTS […]
- პარალელეპიპედი ფორმულის პარალელეპიპედი არის პოლიედონი, რომელსაც აქვს 6 სახე, რომელთაგან თითოეული არის პარალელოგრამი. კუბოიდი არის კუბოიდი, რომლის თითოეული სახე არის მართკუთხედი. ნებისმიერ პარალელეპიპედს ახასიათებს 3 […]
- მომხმარებელთა უფლებების დაცვის საზოგადოება ასტანა იმისათვის, რომ მიიღოთ პინ-კოდი ამ დოკუმენტზე წვდომისთვის ჩვენს ვებსაიტზე, გაგზავნეთ SMS შეტყობინება ტექსტით zan GSM ოპერატორების აბონენტების ნომერზე (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) ოთახში SMS-ის გაგზავნით, […]
- Н და НН მართლწერა მეტყველების სხვადასხვა ნაწილში 2. დაასახელეთ ამ წესების გამონაკლისები. 3. როგორ განვასხვავოთ სიტყვიერი ზედსართავი სახელი -n- სუფიქსით […]
- კანონის მიღება ნათესავების საცხოვრებლის შესახებ მიიღება ფედერალური კანონი რუსეთის ფედერაციის ყველა მოქალაქისთვის ან მოქალაქეთა ოჯახისთვის მიწის ნაკვეთის უსასყიდლოდ გადაცემის შესახებ, რომლებსაც სურთ მასზე განავითარონ საოჯახო მეურნეობა შემდეგი პირობებით: 1. მიწა არის გამოყოფილი […]
- ბრაიანსკის ოლქის გოსტეხნაძორის ინსპექტირება სახელმწიფო გადასახადის გადახდის ქვითარი (ჩამოტვირთვა-12.2 kb) განაცხადები ფიზიკურ პირთა რეგისტრაციაზე (ჩამოტვირთვა-12 kb) განაცხადი იურიდიული პირების რეგისტრაციაზე (ჩამოტვირთვა-11.4 kb) 1. ახალი მანქანის რეგისტრაციისას. 1. განაცხადი 2. პასპორტი […]
- 1x1 ტურნირები დიდი ხანია არ გვითამაშია. და დროა განაახლონ ეს ტრადიცია. სანამ არ მოვაწყობთ ცალკე ასვლას და ტურნირებს 1v1 მოთამაშეებისთვის, ჩვენ გირჩევთ გამოიყენოთ თქვენი გუნდის პროფილები საიტზე. გამოკლეთ ან დაამატეთ ქულები მატჩებში თამაშებს […]
ადრე უკვე ვისაუბრეთ იმაზე, თუ რა არის რიცხვის ძალა. მას აქვს გარკვეული თვისებები, რომლებიც გამოსადეგია პრობლემების გადაჭრაში: სწორედ მათ და ყველა შესაძლო მაჩვენებელს გავაანალიზებთ ამ სტატიაში. ჩვენ ასევე მაგალითებით ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება მათი დამტკიცება და სწორად გამოყენება პრაქტიკაში.
გავიხსენოთ ხარისხის ცნება ბუნებრივი მაჩვენებლით, რომელიც უკვე ჩამოვაყალიბეთ ადრე: ეს არის მე-n რიცხვის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ჩვენ ასევე უნდა გვახსოვდეს, თუ როგორ უნდა გავამრავლოთ რეალური რიცხვები. ეს ყველაფერი დაგვეხმარება ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი თვისებები ხარისხისთვის ბუნებრივი მაჩვენებლით:
განმარტება 1
1. ხარისხის ძირითადი თვისება: a m a n = a m + n
შეიძლება განზოგადდეს: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. კოეფიციენტის თვისება ძლიერებათათვის, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე ფუძე: a m: a n = a m − n
3. პროდუქტის ხარისხის თვისება: (a b) n = a n b n
ტოლობა შეიძლება გაფართოვდეს: (a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n
4. ნატურალური ხარისხის თვისება: (a: b) n = a n: b n
5. ჩვენ ვამატებთ სიმძლავრეს სიმძლავრემდე: (a m) n = a m n ,
შეიძლება განზოგადდეს: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 n 2 ... n k
6. შეადარეთ ხარისხი ნულთან:
- თუ a > 0, მაშინ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის, a n იქნება ნულზე მეტი;
- 0-ის ტოლით, a n ასევე ნულის ტოლი იქნება;
- თვის< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- თვის< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. თანასწორობა a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. უტოლობა a m > a n იქნება ჭეშმარიტი იმ პირობით, რომ m და n ნატურალური რიცხვებია, m მეტია n-ზე და a არის ნულზე მეტი და არანაკლებ ერთი.
შედეგად მივიღეთ რამდენიმე თანასწორობა; თუ თქვენ აკმაყოფილებთ ზემოთ მითითებულ ყველა პირობას, მაშინ ისინი იდენტური იქნება. თითოეული ტოლობისთვის, მაგალითად, ძირითადი თვისებისთვის, შეგიძლიათ შეცვალოთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილები: a m · a n = a m + n - იგივეა, რაც m + n = a m · a n . ამ ფორმით, ის ხშირად გამოიყენება გამონათქვამების გამარტივებისას.
1. დავიწყოთ ხარისხის ძირითადი თვისებით: ტოლობა a m · a n = a m + n იქნება ჭეშმარიტი ნებისმიერი ბუნებრივი m და n და რეალური a . როგორ დავამტკიცოთ ეს განცხადება?
ძალების ძირითადი განმარტება ბუნებრივი მაჩვენებლებით საშუალებას მოგვცემს გადავიტანოთ თანასწორობა ფაქტორების პროდუქტად. ჩვენ მივიღებთ ასეთ ჩანაწერს:
ეს შეიძლება შემცირდეს 
(გავიხსენოთ გამრავლების ძირითადი თვისებები). შედეგად მივიღეთ a რიცხვის ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით m + n. ამრიგად, a m + n, რაც ნიშნავს, რომ ხარისხის ძირითადი თვისება დადასტურებულია.
ამის დასამტკიცებლად ავიღოთ კონკრეტული მაგალითი.
მაგალითი 1
ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ორი სიმძლავრე 2 ფუძით. მათი ბუნებრივი მაჩვენებლები არის 2 და 3, შესაბამისად. მივიღეთ ტოლობა: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 მოდით გამოვთვალოთ მნიშვნელობები ამ ტოლობის სისწორის შესამოწმებლად.
შევასრულოთ საჭირო მათემატიკური მოქმედებები: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 და 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
შედეგად მივიღეთ: 2 2 2 3 = 2 5 . ქონება დადასტურებულია.
გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე, თვისების განზოგადება შეგვიძლია სამი ან მეტი სიძლიერის სახით ჩამოყალიბებით, რომლის მაჩვენებლები ნატურალური რიცხვებია, ხოლო ფუძეები ერთი და იგივე. თუ ნატურალური რიცხვების რაოდენობას n 1, n 2 და ა.შ აღვნიშნავთ k ასოთი, მივიღებთ სწორ ტოლობას:
a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k.
მაგალითი 2
2. შემდეგი, ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ შემდეგი თვისება, რომელსაც ეწოდება კოეფიციენტური თვისება და თანდაყოლილია იმავე საფუძვლების ხარისხებში: ეს არის ტოლობა a m: a n = a m − n, რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი ბუნებრივი m და n (და m) მეტია n)) და ნებისმიერი არანულოვანი რეალური a .
დასაწყისისთვის, მოდით განვმარტოთ, თუ რას ნიშნავს ფორმულირებაში ნახსენები პირობები. თუ ავიღებთ ნულის ტოლს, მაშინ საბოლოოდ მივიღებთ გაყოფას ნულზე, რაც არ შეიძლება გაკეთდეს (ბოლოს და ბოლოს, 0 n = 0). პირობა, რომ რიცხვი m უნდა იყოს n-ზე მეტი, აუცილებელია იმისათვის, რომ შევინარჩუნოთ ბუნებრივი მაჩვენებლების ფარგლებში: m-ს გამოკლებით n მივიღებთ ნატურალურ რიცხვს. თუ პირობა არ დაკმაყოფილდა, მივიღებთ უარყოფით რიცხვს ან ნულს და ისევ გასცდებით ხარისხების შესწავლას ბუნებრივი მაჩვენებლებით.
ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ მტკიცებულებაზე. ადრე შესწავლილიდან გავიხსენებთ წილადების ძირითად თვისებებს და ვაყალიბებთ ტოლობას შემდეგნაირად:
a m − n a n = a (m − n) + n = a m
მისგან შეგვიძლია დავასკვნათ: a m − n a n = a m
გაიხსენეთ კავშირი გაყოფასა და გამრავლებას შორის. მისგან გამომდინარეობს, რომ a m − n არის a m და a n ხარისხების კოეფიციენტი. ეს არის მეორე ხარისხის ქონების დამადასტურებელი საბუთი.
მაგალითი 3
ჩაანაცვლეთ კონკრეტული რიცხვები ინდიკატორებში სიცხადისთვის და აღნიშნეთ π ხარისხის საფუძველი: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. შემდეგი, ჩვენ გავაანალიზებთ პროდუქტის ხარისხის თვისებებს: (a · b) n = a n · b n ნებისმიერი რეალური a და b და ბუნებრივი n.
ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ძირითადი განმარტების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ტოლობა შემდეგნაირად:
გამრავლების თვისებების გახსენებისას ვწერთ: 
. ეს ნიშნავს იგივეს, რაც a n · b n.
მაგალითი 4
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
თუ გვაქვს სამი ან მეტი ფაქტორი, მაშინ ეს თვისება ამ შემთხვევაშიც ვრცელდება. შემოგვაქვს აღნიშვნა k ფაქტორების რაოდენობისთვის და ვწერთ:
(a 1 a 2 ... a k) n = a 1 n a 2 n ... a k n
მაგალითი 5
კონკრეტული რიცხვებით ვიღებთ შემდეგ სწორ ტოლობას: (2 (- 2 , 3) ა) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 ა.
4. ამის შემდეგ შევეცდებით დავამტკიცოთ კოეფიციენტის თვისება: (a: b) n = a n: b n ნებისმიერი რეალური a და b თუ b არ არის 0-ის ტოლი და n არის ნატურალური რიცხვი.
დასამტკიცებლად შეგვიძლია გამოვიყენოთ წინა ხარისხის თვისება. თუ (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n, და (a: b) n b n = a n, მაშინ გამოდის, რომ (a: b) n არის a n-ზე b n-ზე გაყოფის კოეფიციენტი.
მაგალითი 6
დავთვალოთ მაგალითი: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
მაგალითი 7
დავიწყოთ მაშინვე მაგალითით: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
ახლა კი ჩვენ ვაყალიბებთ თანასწორობის ჯაჭვს, რომელიც დაგვამტკიცებს თანასწორობის სისწორეს: 
თუ მაგალითში გვაქვს გრადუსების ხარისხი, მაშინ ეს თვისება მათთვისაც მართალია. თუ გვაქვს რაიმე ნატურალური რიცხვი p, q, r, s, მაშინ ეს იქნება ჭეშმარიტი:
a p q y s = a p q y s
მაგალითი 8
მოდით დავამატოთ სპეციფიკა: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. გრადუსების კიდევ ერთი თვისება ბუნებრივი მაჩვენებლით, რომელიც უნდა დავამტკიცოთ, არის შედარების თვისება.
ჯერ შევადაროთ მაჩვენებელი ნულს. რატომ a n > 0 იმ პირობით, რომ a მეტია 0-ზე?
თუ ერთ დადებით რიცხვს მეორეზე გავამრავლებთ, ასევე მივიღებთ დადებით რიცხვს. ამ ფაქტის ცოდნით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არ არის დამოკიდებული ფაქტორების რაოდენობაზე - დადებითი რიცხვების ნებისმიერი რაოდენობის გამრავლების შედეგი არის დადებითი რიცხვი. და რა არის ხარისხი, თუ არა რიცხვების გამრავლების შედეგი? შემდეგ ნებისმიერი სიმძლავრის n-სთვის დადებითი ფუძის და ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე, ეს იქნება მართალი.
მაგალითი 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 და 34 9 13 51 > 0
ასევე აშკარაა, რომ სიმძლავრე, რომლის ბაზის ტოლია ნულის ტოლი, თავისთავად ნულია. რა ძალაზეც არ უნდა ავწიოთ ნულს, ის ასე დარჩება.
მაგალითი 10
0 3 = 0 და 0 762 = 0
თუ ხარისხის საფუძველი უარყოფითი რიცხვია, მაშინ მტკიცებულება ცოტა უფრო რთულია, რადგან ლუწი/კენტი მაჩვენებლის ცნება მნიშვნელოვანი ხდება. დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც მაჩვენებელი ლუწია და აღვნიშნოთ 2 · m-ით, სადაც m არის ნატურალური რიცხვი.
გავიხსენოთ, როგორ გავამრავლოთ უარყოფითი რიცხვები: ნამრავლი a · a უდრის მოდულების ნამრავლს და, შესაბამისად, ეს იქნება დადებითი რიცხვი. მერე 
და ხარისხი a 2 · m ასევე დადებითია.
მაგალითი 11
მაგალითად, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 და - 2 9 6 > 0
რა მოხდება, თუ უარყოფითი ფუძის მქონე მაჩვენებელი კენტი რიცხვია? ავღნიშნოთ 2 · m − 1 .
მერე 
ყველა ნამრავლი a · a , გამრავლების თვისებების მიხედვით, დადებითია, მათი ნამრავლიც. მაგრამ თუ მას გავამრავლებთ ერთადერთ დარჩენილ რიცხვზე a, მაშინ საბოლოო შედეგი უარყოფითი იქნება.
შემდეგ მივიღებთ: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
როგორ დავამტკიცოთ?
a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
მაგალითი 12
მაგალითად, უტოლობები მართალია: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. დაგვრჩენია დავამტკიცოთ ბოლო თვისება: თუ გვაქვს ორი გრადუსი, რომელთა ფუძეები ერთნაირი და დადებითია, მაჩვენებლები კი ნატურალური რიცხვებია, მაშინ ერთი მათგანი დიდია, რომლის მაჩვენებელი ნაკლებია; ხოლო ორი ხარისხის ბუნებრივი მაჩვენებლებით და ერთზე მეტი ერთი და იგივე ფუძეებით, ხარისხი უფრო დიდია, რომლის მაჩვენებელიც მეტია.
დავამტკიცოთ ეს მტკიცებები.
ჯერ უნდა დავრწმუნდეთ, რომ მ< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
ფრჩხილებიდან ვიღებთ n-ს, რის შემდეგაც ჩვენი სხვაობა მიიღებს a n · (am − n − 1) ფორმას. მისი შედეგი იქნება უარყოფითი (რადგან დადებითი რიცხვის უარყოფითზე გამრავლების შედეგი უარყოფითია). მართლაც, საწყისი პირობების მიხედვით, m − n > 0, შემდეგ a m − n − 1 უარყოფითია და პირველი ფაქტორი დადებითია, როგორც ნებისმიერი ბუნებრივი სიმძლავრე დადებითი ფუძით.
აღმოჩნდა, რომ a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
რჩება ზემოთ ჩამოყალიბებული განცხადების მეორე ნაწილის დასამტკიცებლად: a m > a არის m > n-სთვის და a > 1 . მივუთითებთ განსხვავებას და ფრჩხილებიდან ვიღებთ n-ს: (a m - n - 1) ერთზე მეტი n-ის სიძლიერე დადებით შედეგს გამოიღებს; და თავად განსხვავებაც დადებითი აღმოჩნდება საწყისი პირობების გამო და a > 1-ისთვის a m − n-ის ხარისხი ერთზე მეტია. გამოდის, რომ a m − a n > 0 და a m > a n, რის დასამტკიცებლადაც გვჭირდებოდა.
მაგალითი 13
მაგალითი კონკრეტული რიცხვებით: 3 7 > 3 2
გრადუსების ძირითადი თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით
დადებითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლების მქონე ხარისხებისთვის, თვისებები მსგავსი იქნება, რადგან დადებითი მთელი რიცხვები ბუნებრივია, რაც ნიშნავს, რომ ყველა ზემოთ დადასტურებული თანასწორობა მათთვისაც მოქმედებს. ისინი ასევე შესაფერისია იმ შემთხვევებისთვის, როდესაც მაჩვენებლები უარყოფითია ან ნულის ტოლია (იმ პირობით, რომ ხარისხის საფუძველი არ არის ნულოვანი).
ამრიგად, ხარისხების თვისებები იგივეა ნებისმიერი a და b ფუძეებისთვის (იმ პირობით, რომ ეს რიცხვები რეალურია და არა 0-ის ტოლი) და ნებისმიერი მ და n მაჩვენებლების (იმ პირობით, რომ ისინი მთელი რიცხვებია). ჩვენ მათ მოკლედ ვწერთ ფორმულების სახით:
განმარტება 2
1. a m a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (ა ბ) n = a n b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (am) n = a m n
6. a n< b n и a − n >b − n დადებითი მთელი რიცხვით n , დადებითი a და b , a< b
7. მ< a n , при условии целых m и n , m >n და 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.
თუ ხარისხის საფუძველი ნულის ტოლია, მაშინ a m და a n ჩანაწერებს აზრი აქვს მხოლოდ ბუნებრივი და დადებითი m და n-ის შემთხვევაში. შედეგად, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულირებები ასევე შესაფერისია ნულოვანი ფუძის მქონე ხარისხის შემთხვევებისთვის, თუ ყველა სხვა პირობა დაკმაყოფილებულია.
ამ თვისებების მტკიცებულება ამ შემთხვევაში მარტივია. დაგვჭირდება გავიხსენოთ რა არის ხარისხი ნატურალური და მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, ასევე რეალური რიცხვებით მოქმედებების თვისებები.
მოდით გავაანალიზოთ ხარისხის თვისება ხარისხში და დავამტკიცოთ, რომ ის მართალია როგორც დადებითი, ასევე არაპოზიტიური რიცხვებისთვის. ჩვენ ვიწყებთ ტოლობების (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) და (a − p) − q = a (−) p) (−q)
პირობები: p = 0 ან ნატურალური რიცხვი; q - ანალოგიურად.
თუ p და q მნიშვნელობები მეტია 0-ზე, მაშინ მივიღებთ (a p) q = a p · q . მსგავსი თანასწორობა ადრეც დავამტკიცეთ. თუ p = 0 მაშინ:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
ამიტომ, (a 0) q = a 0 q
q = 0-სთვის ყველაფერი ზუსტად იგივეა:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
შედეგი: (a p) 0 = a p 0 .
თუ ორივე მაჩვენებელი ნულია, მაშინ (a 0) 0 = 1 0 = 1 და 0 0 = a 0 = 1, მაშინ (a 0) 0 = a 0 0 .
გაიხსენეთ კოეფიციენტის თვისება ზემოთ დადასტურებულ ხარისხში და დაწერეთ:
1 a p q = 1 q a p q
თუ 1 p = 1 1 … 1 = 1 და a p q = a p q , მაშინ 1 q a p q = 1 a p q
ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ ეს აღნიშვნა გამრავლების ძირითადი წესების საფუძველზე a (− p) · q .
ასევე: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
და (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
ხარისხის დარჩენილი თვისებები შეიძლება დადასტურდეს ანალოგიურად არსებული უტოლობების გარდაქმნით. ამაზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, მხოლოდ რთულ პუნქტებს მივუთითებთ.
ბოლო თვისების დადასტურება: გავიხსენოთ, რომ a − n > b − n მართალია n-ის ნებისმიერი უარყოფითი მთელი რიცხვისთვის და ნებისმიერი დადებითი a და b, იმ პირობით, რომ a ნაკლებია b-ზე.
მაშინ უტოლობა შეიძლება გარდაიქმნას შემდეგნაირად:
1 a n > 1 b n
ჩვენ ვწერთ მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებს განსხვავებად და ვასრულებთ საჭირო გარდაქმნებს:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
შეგახსენებთ, რომ პირობით a არის b-ზე ნაკლები, მაშინ, ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრის მიხედვით: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n მთავრდება დადებით რიცხვად, რადგან მისი ფაქტორები დადებითია. შედეგად გვაქვს წილადი b n - a n a n · b n , რომელიც საბოლოოდ ასევე იძლევა დადებით შედეგს. აქედან გამომდინარეობს 1 a n > 1 b n საიდანაც a − n > b − n , რომელიც უნდა დაგვემტკიცებინა.
გრადუსების უკანასკნელი თვისება მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით დადასტურებულია ისევე, როგორც ბუნებრივი მაჩვენებლების მქონე გრადუსების თვისება.
რაციონალური მაჩვენებლებით გრადუსების ძირითადი თვისებები
წინა სტატიებში განვიხილეთ რა არის ხარისხი რაციონალური (წილადი) მაჩვენებლით. მათი თვისებები იგივეა, რაც გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლებით. Მოდი დავწეროთ:
განმარტება 3
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 a > 0-ისთვის, და თუ m 1 n 1 > 0 და m 2 n 2 > 0, მაშინ ≥ 0-ისთვის (პროდუქტის თვისებების სიმძლავრეები იგივე ბაზით).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 თუ a > 0 (რაოდენობრივი თვისება).
3. a b m n = a m n b m n a > 0 და b > 0-ისთვის, და თუ m 1 n 1 > 0 და m 2 n 2 > 0, მაშინ a ≥ 0 და (ან) b ≥ 0 (პროდუქტის თვისება წილადის ხარისხით).
4. a: b m n \u003d a m n: b m n a > 0 და b > 0, და თუ m n > 0, მაშინ a ≥ 0 და b > 0 (ნაწილის თვისება წილადის ხარისხით).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 a > 0-ისთვის, და თუ m 1 n 1 > 0 და m 2 n 2 > 0, მაშინ ≥ 0 (ხარისხის თვისება გრადუსი).
6.აპ< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; თუ გვ< 0 - a p >b p (ხარისხების შედარების თვისება თანაბარ რაციონალურ მაჩვენებლებთან).
7.აპ< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0-ზე< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
ამ დებულებების დასამტკიცებლად უნდა გვახსოვდეს, რა არის ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, რა თვისებები აქვს n-ე ხარისხის არითმეტიკული ფესვს და რა თვისებები აქვს ხარისხს მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. მოდით შევხედოთ თითოეულ ქონებას.
იმის მიხედვით, თუ რა არის ხარისხი წილადის მაჩვენებლით, მივიღებთ:
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 და a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, შესაბამისად, a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2
ფესვის თვისებები საშუალებას მოგვცემს გამოვიტანოთ თანასწორობა:
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
აქედან ვიღებთ: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
მოდით გარდავქმნათ:
a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს როგორც:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
ეს არის მტკიცებულება. მეორე თვისებაც ზუსტად ასეა დადასტურებული. მოდით ჩამოვწეროთ თანასწორობის ჯაჭვი:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
დარჩენილი თანასწორობის მტკიცებულებები:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (ა: ბ) მ ნ = (ა: ბ) მ ნ = ა მ: ბ მ ნ = = ა მ ნ: ბ მ ნ = მ ნ: ბ მ ნ ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
შემდეგი თვისება: დავამტკიცოთ, რომ a და b 0-ზე მეტი მნიშვნელობისთვის, თუ a ნაკლებია b-ზე, შესრულდება a p.< b p , а для p больше 0 - a p >ბპ
რაციონალური რიცხვი p წარმოვიდგინოთ, როგორც m n. ამ შემთხვევაში, m არის მთელი რიცხვი, n არის ნატურალური რიცხვი. შემდეგ პირობები გვ< 0 и p >0 გაგრძელდება მ< 0 и m >0 . m > 0-სთვის და a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
ვიყენებთ ფესვების თვისებას და გამოვიყვანთ: a m n< b m n
a და b მნიშვნელობების პოზიტიურობის გათვალისწინებით, ჩვენ გადავწერთ უტოლობას m n-ის სახით.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
ანალოგიურად, მ< 0 имеем a a m >b m , მივიღებთ m n > b m n ასე m n > b m n და a p > b p .
ჩვენთვის რჩება ბოლო ქონების დამტკიცება. დავამტკიცოთ, რომ რაციონალური რიცხვებისთვის p და q , p > q 0-სთვის< a < 1 a p < a q , а при a >0 იქნება ჭეშმარიტი a p > a q.
რაციონალური რიცხვები p და q შეიძლება შევიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე და მივიღოთ წილადები m 1 n და m 2 n
აქ m 1 და m 2 არის მთელი რიცხვები, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. თუ p > q, მაშინ m 1 > m 2 (წილადების შედარების წესის გათვალისწინებით). შემდეგ 0-ზე< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – უტოლობა a 1 m > a 2 m .
მათი გადაწერა შესაძლებელია შემდეგი ფორმით:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
შემდეგ შეგიძლიათ გააკეთოთ ტრანსფორმაციები და მიიღოთ შედეგი:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
შეჯამება: p > q და 0-სთვის< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
გრადუსების ძირითადი თვისებები ირაციონალური მაჩვენებლებით
ყველა ზემოთ აღწერილი თვისება, რომელსაც აქვს ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლებით, შეიძლება გაფართოვდეს ასეთ ხარისხით. ეს გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან, რომელიც ჩვენ მივეცით ერთ-ერთ წინა სტატიაში. მოკლედ ჩამოვაყალიბოთ ეს თვისებები (პირობები: a > 0 , b > 0 , ინდიკატორები p და q ირაციონალური რიცხვებია):
განმარტება 4
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.აპ< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >ბპ
7.აპ< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , შემდეგ a p > a q .
ამრიგად, ყველა ძალა, რომლის მაჩვენებლები p და q არის რეალური რიცხვები, იმ პირობით, რომ a > 0, აქვს იგივე თვისებები.
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა! ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი გაცვლიან, ეს წესი შეიძლება მოქმედებდეს.
მაგრამ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.
ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები.
მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!
დავუბრუნდეთ მაგალითს:
და ისევ ფორმულა:
მთლიანივასახელებთ ნატურალურ რიცხვებს, მათ საპირისპიროებს (ანუ აღებულს "" ნიშნით) და რიცხვს.
დადებითი მთელი რიცხვიდა ის არაფრით განსხვავდება ბუნებრივისგან, მაშინ ყველაფერი ზუსტად ისე გამოიყურება, როგორც წინა განყოფილებაში.
ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.
ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:
როგორც ყოველთვის, საკუთარ თავს ვეკითხებით: რატომ არის ასე?
განვიხილოთ გარკვეული სიმძლავრე ფუძით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:
ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ რიცხვი და მივიღეთ იგივე, რაც იყო -. რა რიცხვზე უნდა გავამრავლოთ, რომ არაფერი შეიცვალოს? მართალია, ჩართულია. ნიშნავს.
იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:
გავიმეოროთ წესი:
ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.
მაგრამ არსებობს გამონაკლისები მრავალი წესისგან. და აქ არის ისიც - ეს არის რიცხვი (როგორც საფუძველი).
ერთის მხრივ, ის უნდა იყოს ნებისმიერი ხარისხის ტოლი - რაც არ უნდა გაამრავლო ნული თავის თავზე, მაინც მიიღებ ნულს, ეს გასაგებია. მაგრამ მეორეს მხრივ, როგორც ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი ხარისხით, ის უნდა იყოს ტოლი. მაშ, რა არის ამის სიმართლე? მათემატიკოსებმა გადაწყვიტეს არ ჩაერთონ და უარი განაცხადეს ნულის ნულოვან ხარისხზე აყვანაზე. ანუ, ახლა ჩვენ შეგვიძლია არა მარტო გავყოთ ნულზე, არამედ ავიყვანოთ ის ნულოვან სიმძლავრემდე.
მოდით წავიდეთ უფრო შორს. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელ რიცხვებში შედის უარყოფითი რიცხვები. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ხარისხი, მოდით გავაკეთოთ იგივე, რაც წინა ჯერზე: ჩვენ გავამრავლებთ ზოგიერთ ნორმალურ რიცხვს იმავეზე უარყოფით ხარისხში:
აქედან უკვე ადვილია სასურველის გამოხატვა:
ახლა ჩვენ ვაფართოებთ შედეგად წესს თვითნებურ ხარისხზე:
მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:
რიცხვი უარყოფით ხარისხზე არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხზე. Მაგრამ ამავდროულად ბაზა არ შეიძლება იყოს ნულოვანი:(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).
შევაჯამოთ:
I. გამოთქმა არ არის განსაზღვრული შემთხვევაში. თუ, მაშინ.
II. ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის: .
III. რიცხვი, რომელიც არ უდრის ნულის უარყოფით ხარისხს, არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხი: .
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მაგალითები:
ამოცანების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
ვიცი, ვიცი, ციფრები საშინელია, მაგრამ გამოცდაზე ყველაფრისთვის მზად უნდა იყო! ამოხსენით ეს მაგალითები ან გააანალიზეთ მათი ამოხსნა, თუ ვერ ამოხსნით და გაიგებთ, თუ როგორ მარტივად გაუმკლავდეთ მათ გამოცდაზე!
განვაგრძოთ მაჩვენებლის სახით „შესაფერისი“ რიცხვების წრის გაფართოება.
ახლა განიხილეთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?
პასუხი: ყველაფერი, რაც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები, უფრო მეტიც.
იმის გასაგებად რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განვიხილოთ წილადი:
მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:
ახლა დაიმახსოვრე წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":
რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?
ეს ფორმულირება არის მე-6 ხარისხის ფესვის განმარტება.
შეგახსენებთ: რიცხვის () მეათე ხარისხის ფესვი არის რიცხვი, რომელიც ხარისხზე აყვანისას ტოლია.
ანუ, th ხარისხის ფესვი არის შებრუნებული მოქმედების სიძლიერე: .
თურმე. ცხადია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება გაგრძელდეს: .
ახლა დაამატეთ მრიცხველი: რა არის ეს? პასუხის მიღება მარტივია ძალაუფლება-ძალაში წესით:
მაგრამ შეიძლება თუ არა საფუძველი იყოს ნებისმიერი რიცხვი? ყოველივე ამის შემდეგ, ფესვის ამოღება შეუძლებელია ყველა რიცხვიდან.
არცერთი!
დაიმახსოვრე წესი: ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ლუწი ხარისხზეა გაზრდილი, დადებითი რიცხვია. ანუ უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ხარისხის ფესვების ამოღება შეუძლებელია!
და ეს ნიშნავს, რომ ასეთი რიცხვები არ შეიძლება გაიზარდოს წილადის ხარისხამდე ლუწი მნიშვნელით, ანუ გამოხატვას აზრი არ აქვს.
რაც შეეხება გამოხატვას?
მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.
რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა, შემცირებული წილადების სახით, მაგალითად, ან.
და გამოდის, რომ ის არსებობს, მაგრამ არ არსებობს, და ეს არის მხოლოდ ორი განსხვავებული ჩანაწერი ერთი და იგივე ნომრით.
ან კიდევ ერთი მაგალითი: ერთხელ, მაშინ შეგიძლია ჩაწერო. მაგრამ როგორც კი ინდიკატორს სხვანაირად ვწერთ, ისევ გვიჭირს: (ანუ მივიღეთ სრულიად განსხვავებული შედეგი!).
ასეთი პარადოქსების თავიდან ასაცილებლად, გაითვალისწინეთ მხოლოდ დადებითი ბაზის მაჩვენებლები წილადის მაჩვენებლით.
ასე რომ, თუ:
- - ნატურალური რიცხვი;
- არის მთელი რიცხვი;
მაგალითები:
რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ძალები ძალიან სასარგებლოა ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, მაგალითად:
5 პრაქტიკის მაგალითი
ტრენინგის 5 მაგალითის ანალიზი
1. არ დაივიწყოთ გრადუსების ჩვეულებრივი თვისებები:
2. . აქვე გავიხსენებთ, რომ დაგვავიწყდა ხარისხების ცხრილის სწავლა:
ბოლოს და ბოლოს - ეს ან. გამოსავალი ავტომატურად მოიძებნება: .
კარგი, ახლა - ყველაზე რთული. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.
გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხებისთვის, გარდა
მართლაც, განმარტებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ, ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).
ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით.
მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე;
...ნულოვანი სიმძლავრე- ეს არის, თითქოს, თავისთავად ერთხელ გამრავლებული რიცხვი, ანუ ის ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული ”მომზადება ნომერი“, კერძოდ ნომერი;
...უარყოფითი მთელი რიცხვი- თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.
სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის.
მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.
სადაც ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ წახვალ! (თუ ისწავლით ასეთი მაგალითების ამოხსნას :))
Მაგალითად:
თავად გადაწყვიტე:
გადაწყვეტილებების ანალიზი:
1. დავიწყოთ ხარისხზე ამაღლების უკვე ჩვეულებრივი წესით:
ახლა შეხედე ქულას. ის რამეს გახსენებს? გავიხსენებთ კვადრატების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულას:
Ამ შემთხვევაში,
გამოდის, რომ:
პასუხი: .
2. წილადები მაჩვენებლებში ერთსა და იმავე ფორმაზე მივყავართ: ორივე ათწილადი ან ორივე ჩვეულებრივი. ჩვენ ვიღებთ, მაგალითად:
პასუხი: 16
3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:
გაფართოებული დონე
ხარისხის განსაზღვრა
ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:
- — ხარისხის საფუძველი;
- - ექსპონენტი.
ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)
რიცხვის აწევა ბუნებრივ ხარისხამდე n ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:
სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)
თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:
ერექცია ნულოვანი სიმძლავრისკენ:
გამოთქმა განუსაზღვრელია, რადგან, ერთის მხრივ, ნებისმიერი ხარისხით არის ეს, ხოლო მეორე მხრივ, ნებისმიერი რიცხვი მე-ე ხარისხის არის ეს.
თუ მაჩვენებელი არის მთელი უარყოფითინომერი:
(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).
კიდევ ერთხელ ნულის შესახებ: გამოთქმა არ არის განსაზღვრული საქმეში. თუ, მაშინ.
მაგალითები:
ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით
- - ნატურალური რიცხვი;
- არის მთელი რიცხვი;
მაგალითები:
ხარისხის თვისებები
პრობლემების გადაჭრის გასაადვილებლად, შევეცადოთ გავიგოთ: საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? მოდით დავამტკიცოთ ისინი.
ვნახოთ: რა არის და?
ა-პრიორიტეტი:
ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს მიიღება შემდეგი პროდუქტი:
მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:
ქ.ე.დ.
მაგალითი : გამოხატვის გამარტივება.
გადაწყვეტილება : .
მაგალითი : გამოხატვის გამარტივება.
გადაწყვეტილება : მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე საფუძველი უნდა ჰქონდეს. მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ეს წესი - მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!
არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დავწერო ეს.
ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:
მოდით გადავაწყოთ ასე:
გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის --ე ხარისხი:
სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:!
გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა? მაგრამ ეს ასე არ არის, ნამდვილად.
ძალა უარყოფითი ბაზისით.
ამ დრომდე ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის, რაც უნდა იყოს მაჩვენებელიხარისხი. მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი? გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი .
მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი. მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?
მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ?
პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთში, შედეგი დადებითი იქნება.
მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ (), მივიღებთ -.
და ასე შემდეგ უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით, ნიშანი შეიცვლება. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ ეს მარტივი წესები:
- თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
- უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
- ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
- ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.
თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
მოახერხე? აქ არის პასუხები:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
პირველ ოთხ მაგალითში, იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.
მაგალითში 5), ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი თანაბარია, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება. კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).
მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ გახსოვთ, ირკვევა, რომ ეს ნიშნავს, რომ ბაზა ნულზე ნაკლებია. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.
და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:
ყველაფერი ჩვეულებრივად არის - ჩვენ ვწერთ ხარისხების განმარტებას და ვყოფთ მათ ერთმანეთში, ვყოფთ წყვილებად და ვიღებთ:
სანამ ბოლო წესს გავაანალიზებთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.
გამოთვალეთ გამონათქვამების მნიშვნელობები:
გადაწყვეტილებები :
თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა!
ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი შეცვლილი იქნებოდა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას წესი 3. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.
თუ გაამრავლებ, არაფერი იცვლება, არა? მაგრამ ახლა ასე გამოიყურება:
ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები. მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!მისი შეცვლა შეუძლებელია ჩვენთვის მხოლოდ ერთი უსიამოვნო მინუსის შეცვლით!
დავუბრუნდეთ მაგალითს:
და ისევ ფორმულა:
ახლა ბოლო წესი:
როგორ ვაპირებთ ამის დამტკიცებას? რა თქმა უნდა, როგორც ყოველთვის: მოდით გავაფართოვოთ ხარისხის კონცეფცია და გავამარტივოთ:
აბა, ახლა გავხსნათ ფრჩხილები. რამდენი ასო იქნება? ჯერ გამრავლებით - როგორ გამოიყურება? ეს სხვა არაფერია, თუ არა ოპერაციის განმარტება გამრავლება: სულ იყო მულტიპლიკატორები. ანუ, ეს არის, განსაზღვრებით, რიცხვის ძალა მაჩვენებლით:
მაგალითი:
ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით
საშუალო დონის ხარისხების შესახებ ინფორმაციის გარდა, ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხს ირაციონალური მაჩვენებლით. გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისი - ბოლოს და ბოლოს, განსაზღვრებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).
ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით. მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე; რიცხვი ნულოვანი ხარისხით არის, თითქოს, ერთჯერადად გამრავლებული რიცხვი, ანუ ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული „რიცხვის მომზადება“, კერძოდ რიცხვი; ხარისხი მთელი რიცხვის უარყოფითი ინდიკატორით - თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.
უკიდურესად რთულია ხარისხის წარმოდგენა ირაციონალური მაჩვენებლით (ისევე, როგორც რთულია 4 განზომილებიანი სივრცის წარმოდგენა). პირიქით, ეს არის წმინდა მათემატიკური ობიექტი, რომელიც მათემატიკოსებმა შექმნეს, რათა გააფართოვონ გრადუსის კონცეფცია რიცხვების მთელ სივრცეში.
სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის. მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.
რა ვქნათ, თუ ირაციონალურ მაჩვენებელს დავინახავთ? ყველანაირად ვცდილობთ თავი დავაღწიოთ! :)
Მაგალითად:
თავად გადაწყვიტე:
| 1) | 2) | 3) |
პასუხები:
- გახსოვდეთ კვადრატების ფორმულის განსხვავება. პასუხი:.
- წილადებს მივყავართ ერთნაირი ფორმით: ან ორივე ათწილადი, ან ორივე ჩვეულებრივი. ვიღებთ, მაგალითად: .
- არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:
ნაწილის შეჯამება და ძირითადი ფორმულა
ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:
ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით
ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).
ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით
ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.
ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით
მაჩვენებელი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.
ხარისხის თვისებები
ხარისხების მახასიათებლები.
- უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
- უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
- ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
- ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
- ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.
ახლა შენ გაქვს სიტყვა...
როგორ მოგწონთ სტატია? შემატყობინეთ ქვემოთ მოცემულ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.
გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ დენის თვისებებთან დაკავშირებით.
ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.
დაწერეთ კომენტარებში.
და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებში!
ერთ-ერთი მთავარი მახასიათებელი ალგებრაში და მართლაც ყველა მათემატიკაში არის ხარისხი. რა თქმა უნდა, 21-ე საუკუნეში, ყველა გამოთვლა შეიძლება განხორციელდეს ონლაინ კალკულატორზე, მაგრამ უმჯობესია ისწავლოთ როგორ გააკეთოთ ეს საკუთარი თავის ტვინის განვითარებისთვის.
ამ სტატიაში განვიხილავთ ყველაზე მნიშვნელოვან საკითხებს ამ განმარტებასთან დაკავშირებით. კერძოდ, გავიგებთ, რა არის ის ზოგადად და რა არის მისი ძირითადი ფუნქციები, რა თვისებები არსებობს მათემატიკაში.
მოდით შევხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ გამოიყურება გაანგარიშება, რა არის ძირითადი ფორმულები. ჩვენ გავაანალიზებთ რაოდენობების ძირითად ტიპებს და როგორ განსხვავდებიან ისინი სხვა ფუნქციებისგან.
ჩვენ გავიგებთ, თუ როგორ გადავჭრათ სხვადასხვა პრობლემები ამ მნიშვნელობის გამოყენებით. ჩვენ მაგალითებით გაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ავწიოთ ნულოვან ხარისხზე, ირაციონალური, უარყოფითი და ა.შ.
ონლაინ ექსპონენტაციის კალკულატორი
რა არის რიცხვის ხარისხი
რა იგულისხმება გამოთქმაში „აწიე რიცხვი სიმძლავრემდე“?
a რიცხვის n ხარისხი არის ზედიზედ a n-ჯერ სიდიდის ფაქტორების ნამრავლი.
მათემატიკურად ასე გამოიყურება:
a n = a * a * a * …a n.
Მაგალითად:
- 2 3 = 2 მესამე საფეხურზე. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 ნაბიჯი. ორი = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 ნაბიჯი. ოთხი = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 5 ნაბიჯში. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 10 4 ნაბიჯში. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
ქვემოთ მოცემულია კვადრატებისა და კუბების ცხრილი 1-დან 10-მდე.
გრადუსების ცხრილი 1-დან 10-მდე
ქვემოთ მოცემულია ნატურალური რიცხვების დადებით ხარისხებამდე აყვანის შედეგები - „1-დან 100-მდე“.
| ჩ-ლო | მე-2 კლასი | მე-3 კლასი |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
ხარისხის თვისებები
რა არის დამახასიათებელი ასეთი მათემატიკური ფუნქციისთვის? მოდით შევხედოთ ძირითად თვისებებს.
მეცნიერებმა დაადგინეს შემდეგი ყველა ხარისხისთვის დამახასიათებელი ნიშნები:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (ა ბ) მ =(ა) (ბ*მ) .
მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. მეორეს მხრივ 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
ანალოგიურად: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. წინააღმდეგ შემთხვევაში 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. რა მოხდება, თუ განსხვავებულია? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
როგორც ხედავთ, წესები მუშაობს.
მაგრამ როგორ უნდა იყოს შეკრებით და გამოკლებით? ყველაფერი მარტივია. ჯერ კეთდება გაძლიერება და მხოლოდ ამის შემდეგ შეკრება და გამოკლება.
მოდით შევხედოთ მაგალითებს:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
მაგრამ ამ შემთხვევაში, ჯერ უნდა გამოთვალოთ დამატება, რადგან ფრჩხილებში არის მოქმედებები: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
როგორ ვაწარმოოთ გამოთვლები უფრო რთულ შემთხვევებში? თანმიმდევრობა იგივეა:
- თუ არსებობს ფრჩხილები, თქვენ უნდა დაიწყოთ მათგან;
- შემდეგ ექსპონენტაცია;
- შემდეგ შეასრულეთ გამრავლების, გაყოფის მოქმედებები;
- შეკრების შემდეგ, გამოკლება.
არსებობს სპეციფიკური თვისებები, რომლებიც არ არის დამახასიათებელი ყველა ხარისხისთვის:
- n-ე ხარისხის ფესვი a რიცხვიდან m გრადუსამდე დაიწერება: a m/n .
- წილადის ხარისხამდე აყვანისას: ამ პროცედურას ექვემდებარება მრიცხველიც და მისი მნიშვნელიც.
- სხვადასხვა რიცხვის ნამრავლის ხარისხზე აყვანისას, გამოხატულება შეესაბამება ამ რიცხვების ნამრავლს მოცემულ ხარისხზე. ანუ: (a *b) n = a n * b n .
- რიცხვის უარყოფით ხარისხზე აყვანისას, თქვენ უნდა გაყოთ 1 რიცხვზე იმავე საფეხურზე, მაგრამ "+" ნიშნით.
- თუ წილადის მნიშვნელი უარყოფით ხარისხშია, მაშინ ეს გამოხატულება ტოლი იქნება მრიცხველის ნამრავლისა და მნიშვნელის დადებითი ხარისხში.
- ნებისმიერი რიცხვი სიმძლავრის 0 = 1 და ნაბიჯი. 1 = თავისთვის.
ეს წესები მნიშვნელოვანია ცალკეულ შემთხვევებში, მათ უფრო დეტალურად განვიხილავთ ქვემოთ.
ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით
რა ვუყოთ უარყოფით ხარისხს, ანუ როცა მაჩვენებელი უარყოფითია?
მე-4 და მე-5 თვისებებზე დაყრდნობით(იხ. პუნქტი ზემოთ) თურმე:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
და პირიქით:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
რა მოხდება, თუ წილადია?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით
ის გაგებულია, როგორც ხარისხი მთელი რიცხვების ტოლი ექსპონენტებით.
დასამახსოვრებელი რამ:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1... და ა.შ.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… და ა.შ.
ასევე, თუ (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…მაშინ შედეგი იქნება „+“ ნიშნით. თუ უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტ ხარისხზე, მაშინ პირიქით.
ზოგადი თვისებები და ზემოთ აღწერილი ყველა სპეციფიკური მახასიათებელი მათთვის დამახასიათებელია.
ფრაქციული ხარისხი
ეს ხედი შეიძლება დაიწეროს სქემის სახით: A m / n. იკითხება: A რიცხვის n-ე ხარისხის ფესვი m-ის ხარისხზე.
წილადი ინდიკატორით შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი: შემცირება, ნაწილებად დაშლა, სხვა ხარისხით აწევა და ა.შ.
ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით
ვთქვათ α არის ირაციონალური რიცხვი და А ˃ 0.
ხარისხის არსის გასაგებად ასეთი მაჩვენებლით, მოდით შევხედოთ სხვადასხვა შესაძლო შემთხვევებს:
- A \u003d 1. შედეგი იქნება 1-ის ტოლი. ვინაიდან აქსიომაა - 1 უდრის ერთს ყველა ძალაში;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 რაციონალური რიცხვებია;
- 0˂А˂1.
ამ შემთხვევაში, პირიქით: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 იმავე პირობებში, როგორც მეორე აბზაცში.
მაგალითად, მაჩვენებელი არის რიცხვი π.რაციონალურია.
r 1 - ამ შემთხვევაში ის უდრის 3-ს;
r 2 - 4-ის ტოლი იქნება.
შემდეგ, A = 1-ისთვის, 1 π = 1.
A = 2, შემდეგ 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, შემდეგ (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
ასეთ ხარისხებს ახასიათებს ზემოთ აღწერილი ყველა მათემატიკური ოპერაციები და სპეციფიკური თვისებები.
დასკვნა
მოდით შევაჯამოთ - რისთვის არის ეს მნიშვნელობები, რა უპირატესობა აქვს ასეთ ფუნქციებს? რა თქმა უნდა, უპირველეს ყოვლისა, ისინი ამარტივებს მათემატიკოსთა და პროგრამისტთა ცხოვრებას მაგალითების ამოხსნისას, რადგან ისინი საშუალებას იძლევა მინიმუმამდე დაიყვანონ გამოთვლები, შეამცირონ ალგორითმები, მონაცემთა სისტემატიზაცია და მრავალი სხვა.
კიდევ სად შეიძლება იყოს ეს ცოდნა სასარგებლო? ნებისმიერ სამუშაო სპეციალობაში: მედიცინა, ფარმაკოლოგია, სტომატოლოგია, მშენებლობა, ტექნოლოგია, ინჟინერია, დიზაინი და ა.შ.
