დენის ფუნქციის თვისებები. ექსპონენციალური ფუნქცია - თვისებები, გრაფიკები, ფორმულები. წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელი კენტია

ფუნქციები y = ax, y = ax 2, y = a / x - არის სიმძლავრის ფუნქციის განსაკუთრებული ფორმები ნ = 1, ნ = 2, ნ = -1 .

თუ ნწილადი რიცხვი გვ/ ქლუწი მნიშვნელით ქდა კენტი მრიცხველი რ, შემდეგ ღირებულება შეიძლება ჰქონდეს ორი ნიშანი, ხოლო გრაფიკს აქვს კიდევ ერთი ნაწილი აბსცისის ღერძის ბოლოში X, და ის სიმეტრიულია ზევით.

ჩვენ ვხედავთ ორმნიშვნელოვანი ფუნქციის გრაფიკს y = ± 2x 1/2, ე.ი. წარმოდგენილი პარაბოლით ჰორიზონტალური ღერძით.

ფუნქციების გრაფიკები y = xნზე ნ = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 ... ეს გრაფიკები გადის წერტილში (1; 1).

Როდესაც ნ = -1 ვიღებთ ჰიპერბოლა... ზე ნ < - 1 სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკი მდებარეობს ჯერ ჰიპერბოლის ზემოთ, ე.ი. შორის x = 0და x = 1და შემდეგ ქვემოთ (ამისთვის x> 1). თუ ნ> -1 გრაფიკი შებრუნებულია. უარყოფითი ღირებულებები Xდა წილადური მნიშვნელობები ნმსგავსია დადებითი ნ.

ყველა გრაფიკი შეუზღუდავად უახლოვდება აბსცისის ღერძს X,და ორდინატთა ღერძამდე ზემათ შეხების გარეშე. ჰიპერბოლასთან მსგავსების გამო ამ გრაფიკებს ჰიპერბოლას უწოდებენ. ნ ეშეკვეთა.

1. სიმძლავრის ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი;

2. ტრანსფორმაციები:

პარალელური გადაცემა;

სიმეტრია კოორდინატთა ღერძების მიმართ;

სიმეტრია წარმოშობის შესახებ;

სიმეტრია სწორი ხაზის მიმართ y = x;

გაჭიმეთ და დაპატარავდით კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ.

3. ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი, მსგავსი გარდაქმნები;

4. ლოგარითმული ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი;

5. ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი, მსგავსი გარდაქმნები (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

ფუნქცია: y = x \ n - მისი თვისებები და გრაფიკი.

სიმძლავრის ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / xყველა ეს ფუნქცია არის დენის ფუნქციის, ანუ ფუნქციების განსაკუთრებული შემთხვევები y = x p, სადაც p არის მოცემული რეალური რიცხვი.
სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები და გრაფიკი არსებითად დამოკიდებულია სიმძლავრის მახასიათებლებზე რეალური მაჩვენებლით და, კერძოდ, რა მნიშვნელობებზე xდა გვაზრი აქვს ხარისხი x გვ... მოდით გადავიდეთ სხვადასხვა შემთხვევების მსგავს განხილვაზე, იმის მიხედვით
ექსპონენტი გვ.

1. ინდიკატორი p = 2n- ლუწი ნატურალური რიცხვი.

y = x 2n, სად ნ- ნატურალურ რიცხვს აქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ყველა რეალური რიცხვი, ანუ R სიმრავლე;
• მნიშვნელობების სიმრავლე არის არაუარყოფითი რიცხვები, ანუ y მეტია ან ტოლია 0-ზე;
• ფუნქცია y = x 2nთუნდაც მას შემდეგ x 2n = (-x) 2n
• ფუნქცია მცირდება ინტერვალში x< 0 და იზრდება ინტერვალში x> 0.

ფუნქციის გრაფიკი y = x 2nაქვს იგივე ფორმა, რაც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკს y = x 4.

2. ინდიკატორი p = 2n - 1- კენტი ნატურალური რიცხვი

ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y = x 2n-1სადაც არის ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R;
• მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R;
• ფუნქცია y = x 2n-1უცნაურია, რადგან (- x) 2n-1= x 2n-1;
• ფუნქცია იზრდება მთელი რეალური ღერძის გასწვრივ.

ფუნქციის გრაფიკი y = x 2n-1 y = x 3.

3. ინდიკატორი p = -2n, სად n -ბუნებრივი რიცხვი.

ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y = x -2n = 1 / x 2nაქვს შემდეგი თვისებები:

• მნიშვნელობების ნაკრები - დადებითი რიცხვები y> 0;
• ფუნქცია y = 1 / x 2nთუნდაც მას შემდეგ 1 / (- x) 2n= 1 / x 2n;
• ფუნქცია იზრდება x0 ინტერვალზე.

ფუნქცია y ნაკვეთი = 1 / x 2nაქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, y ფუნქციის გრაფიკი = 1 / x 2.

4. ინდიკატორი p = - (2n-1), სად ნ- ნატურალური რიცხვი.
ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y = x - (2n-1)აქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - კომპლექტი R, გარდა x = 0;
• მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R, გარდა y = 0;
• ფუნქცია y = x - (2n-1)უცნაურია, რადგან (- x) - (2n-1) = -x - (2n-1);
• ფუნქცია მცირდება ინტერვალებში x< 0 და x> 0.

ფუნქციის გრაფიკი y = x - (2n-1)აქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკი y = 1 / x 3.

იცნობთ თუ არა ფუნქციებს y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / xყველა ეს ფუნქცია არის დენის ფუნქციის, ანუ ფუნქციების განსაკუთრებული შემთხვევები y = x p, სადაც p არის მოცემული რეალური რიცხვი.
სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები და გრაფიკი არსებითად დამოკიდებულია სიმძლავრის მახასიათებლებზე რეალური მაჩვენებლით და, კერძოდ, რა მნიშვნელობებზე xდა გვაზრი აქვს ხარისხი x გვ... მოდით გადავიდეთ სხვადასხვა შემთხვევების მსგავს განხილვაზე, იმის მიხედვით
ექსპონენტი გვ.

1. ინდიკატორი p = 2nლუწი ნატურალური რიცხვია.

y = x 2n, სად ნ- ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი

თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ყველა რეალური რიცხვი, ანუ R სიმრავლე;
• მნიშვნელობების სიმრავლე არის არაუარყოფითი რიცხვები, ანუ y მეტია ან ტოლია 0-ზე;
• ფუნქცია y = x 2nთუნდაც მას შემდეგ x 2n=(- x) 2n
• ფუნქცია მცირდება ინტერვალში x<0 და იზრდება ინტერვალში x> 0.

ფუნქციის გრაფიკი y = x 2nაქვს იგივე ფორმა, რაც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკს y = x 4.

2. ინდიკატორი p = 2n-1- კენტი ნატურალური რიცხვი
ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y = x 2n-1სადაც არის ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R;
• მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R;
• ფუნქცია y = x 2n-1უცნაურია, რადგან (- x) 2n-1=x 2n-1;
• ფუნქცია იზრდება მთელი რეალური ღერძის გასწვრივ.

ფუნქციის გრაფიკი y = x 2n-1-ს აქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკი y = x 3 .

3.ინდიკატორი p = -2n, სად n -ბუნებრივი რიცხვი.

ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y = x -2n = 1 / x 2nაქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - კომპლექტი R, გარდა x = 0;
• მნიშვნელობების ნაკრები - დადებითი რიცხვები y> 0;
• ფუნქცია y = 1 / x 2nთუნდაც მას შემდეგ 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• ფუნქცია იზრდება x ინტერვალზე<0 и убывающей на промежутке x>0.

ფუნქცია y ნაკვეთი = 1 / x 2nაქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, y ფუნქციის გრაფიკი = 1 / x 2.

იცნობთ თუ არა ფუნქციებს y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / xყველა ეს ფუნქცია არის დენის ფუნქციის, ანუ ფუნქციების განსაკუთრებული შემთხვევები y = x p, სადაც p არის მოცემული რეალური რიცხვი.
სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები და გრაფიკი არსებითად დამოკიდებულია სიმძლავრის მახასიათებლებზე რეალური მაჩვენებლით და, კერძოდ, რა მნიშვნელობებზე xდა გვაზრი აქვს ხარისხი x გვ... მოდით გადავიდეთ სხვადასხვა შემთხვევების მსგავს განხილვაზე, იმის მიხედვით
ექსპონენტი გვ.

1. ინდიკატორი p = 2nლუწი ნატურალური რიცხვია.

y = x 2n, სად ნ- ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი

თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ყველა რეალური რიცხვი, ანუ R სიმრავლე;
• მნიშვნელობების სიმრავლე არის არაუარყოფითი რიცხვები, ანუ y მეტია ან ტოლია 0-ზე;
• ფუნქცია y = x 2nთუნდაც მას შემდეგ x 2n=(- x) 2n
• ფუნქცია მცირდება ინტერვალში x<0 და იზრდება ინტერვალში x> 0.

ფუნქციის გრაფიკი y = x 2nაქვს იგივე ფორმა, რაც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკს y = x 4.

2. ინდიკატორი p = 2n-1- კენტი ნატურალური რიცხვი
ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y = x 2n-1სადაც არის ნატურალური რიცხვი, აქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - ნაკრები R;
• მნიშვნელობების ნაკრები - ნაკრები R;
• ფუნქცია y = x 2n-1უცნაურია, რადგან (- x) 2n-1=x 2n-1;
• ფუნქცია იზრდება მთელი რეალური ღერძის გასწვრივ.

ფუნქციის გრაფიკი y = x 2n-1-ს აქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, ფუნქციის გრაფიკი y = x 3 .

3.ინდიკატორი p = -2n, სად n -ბუნებრივი რიცხვი.

ამ შემთხვევაში, დენის ფუნქცია y = x -2n = 1 / x 2nაქვს შემდეგი თვისებები:

• განსაზღვრების დომენი - კომპლექტი R, გარდა x = 0;
• მნიშვნელობების ნაკრები - დადებითი რიცხვები y> 0;
• ფუნქცია y = 1 / x 2nთუნდაც მას შემდეგ 1 / (- x) 2n=1 / x 2n;
• ფუნქცია იზრდება x ინტერვალზე<0 и убывающей на промежутке x>0.

ფუნქცია y ნაკვეთი = 1 / x 2nაქვს იგივე ფორმა, როგორც, მაგალითად, y ფუნქციის გრაფიკი = 1 / x 2.

მე-10 კლასი

დენის ფუნქცია

ექსპონენციალური დაურეკაფორმულით მოცემული ფუნქციასადაც, გვ – რაღაც რეალური რიცხვი.

მე ... ინდიკატორილუწი ნატურალური რიცხვია. შემდეგ დენის ფუნქცია სადაცნ

დ ( წ )= (−; +).

2) ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი არის არაუარყოფითი რიცხვების ნაკრები, თუ:

არადადებითი რიცხვების ნაკრები, თუ:

3) ) . აქედან გამომდინარე, ფუნქციაოი .

4) თუ, მაშინ ფუნქცია მცირდება როგორცX (-; 0] და იზრდება ზეX და მცირდებაX }