ფრაქციული რაციონალური უტოლობების გადაჭრა ონლაინ კალკულატორით. უტოლობების ამოხსნა მოდულთან ერთად. ხაზოვანი უტოლობები. გამოსავალი, მაგალითები
უთანასწორობა ეს არის გამოხატვა, ≤, ან. მაგალითად, 3x - 5 უთანასწორობის ამოხსნა ნიშნავს ცვლადების ყველა მნიშვნელობის პოვნას, რომელთათვისაც ეს უთანასწორობა შეესაბამება. თითოეული ეს რიცხვი არის უთანასწორობის ამოხსნა და ყველა ასეთი ამონახსნის სიმრავლეა მისი ბევრი გამოსავალი... უტოლობებს, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების იგივე კომპლექტი, ეწოდება ექვივალენტური უტოლობები.
ხაზოვანი უტოლობები
უტოლობების ამოხსნის პრინციპები მსგავსია განტოლებების ამოხსნისა.უტოლობების ამოხსნის პრინციპები
A, b და c ნებისმიერი რეალური რიცხვებისთვის:
უთანასწორობის დამატების პრინციპი: Თუ გამრავლების პრინციპი უტოლობებისათვის: თუ 0 არის მართალი, მაშინ ac თუ bc ასევე მართალია.
მსგავსი განცხადებები ასევე გამოიყენება ≤ b.
როდესაც უთანასწორობის ორივე მხარე გამრავლებულია უარყოფითი რიცხვით, საჭიროა შეცვალოს უთანასწორობის ნიშანი.
პირველი დონის უტოლობებს, როგორც მაგალითად 1 (ქვემოთ), ეწოდება ხაზოვანი უტოლობები.
მაგალითი 1 გადაჭერით თითოეული შემდეგი უტოლობა. შემდეგ ასახეთ მრავალი გამოსავალი.
ა) 3x - 5 ბ) 13 - 7x ≥ 10x - 4
გადაწყვეტილება
გამოსავალია 11/5-ზე ნაკლები ნებისმიერი რიცხვი.
ამოხსნების ერთობლიობაა (x | x
შესამოწმებლად, ჩვენ შეგვიძლია დავხატოთ y 1 \u003d 3x - 5 და y 2 \u003d 6 - 2x. მაშინ აქედან ნათელია, რომ x- სთვის 
ამოხსნის სიმრავლეა (x | x ≤ 1), ან (-∞, 1). ამოხსნის ნაკრების გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ. 
ორმაგი უტოლობები
როდესაც ორი უტოლობა აკავშირებს სიტყვით და, ანშემდეგ იგი ყალიბდება ორმაგი უთანასწორობა... ორმაგი უთანასწორობა მოსწონს
-3
და 2x + 5 ≤ 7
დაურეკა დაკავშირებულირადგან ის იყენებს და... -3 ორმაგი უტოლობის დაწერა შეიძლება გადაწყდეს უტოლობების შეკრებისა და გამრავლების პრინციპების გამოყენებით.
მაგალითი 2 ამოხსენით -3 გადაწყვეტილება Ჩვენ გვაქვს
ამოხსნების ნაკრები (x | x ≤ -1) ან x\u003e 3). ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავწეროთ ამოხსნა ინტერვალის ნიშნის გამოყენებით და სიმბოლოსთვის ასოციაციები ან ორივე სიმრავლის ჩანართები: (-∞ -1] (3, ∞). ამოხსნის სიმრავლის გრაფიკი ნაჩვენებია ქვემოთ. 
შესამოწმებლად დახატე y 1 \u003d 2x - 5, y 2 \u003d -7 და y 3 \u003d 1. გაითვალისწინე, რომ for (x | x ≤ -1 ან x\u003e 3), y 1 ≤ y 2 ან y 1\u003e y 3. 
უტოლობები აბსოლუტური მნიშვნელობით (მოდული)
უტოლობები ზოგჯერ შეიცავს მოდულებს. მათი გადასაჭრელად გამოიყენება შემდეგი თვისებები.
\u003e 0 და ალგებრული გამოხატვისთვის x:
| x | | x | \u003e a უდრის x ან x\u003e a.
მსგავსი განცხადებები | x | - სთვის ≤ a და | x | ა
Მაგალითად,
| x | | y | 1 is ექვივალენტურია y ≤ -1 ან y ≥ 1;
და | 2x + 3 | 4 ექვივალენტურია -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
მაგალითი 4 გადაჭერით თითოეული შემდეგი უტოლობა. ნახაზების ამოხსნა.
ა) | 3x + 2 | ბ) | 5 - 2x | ≥ 1
გადაწყვეტილება
ა) | 3x + 2 |
ბ) | 5 - 2x | ≥ 1
ამოხსნის ნაკრებია (x | x ≤ 2) ან x ≥ 3), ან (-∞, 2] ქვემოთ მოცემულ მაგალითში გამოიყენება ასეთი ფრჩხილი.
მოდით ჩამოვწეროთ პასუხი: x ≥ -0,5 ინტერვალებით:
x ∈ [-0,5; + ∞)
წაიკითხეთ: x ეკუთვნის ინტერვალს მინუს 0,5-დან, მათ შორის, პლუს უსასრულობას.
უსასრულობა ვერასოდეს ჩაირთვება. ეს არ არის რიცხვი, ეს არის სიმბოლო. ამიტომ, ასეთ ჩანაწერებში უსასრულობა ყოველთვის არის ფრჩხილების მეზობელი.
ჩაწერის ეს ფორმა მოსახერხებელია რთული პასუხებისთვის, რომელიც შედგება რამდენიმე ინტერვალისგან. მაგრამ - მხოლოდ საბოლოო პასუხებისთვის. შუალედურ შედეგებში, სადაც შემდგომი გადაწყვეტაა მოსალოდნელი, უმჯობესია გამოიყენოთ ჩვეულებრივი ფორმა, მარტივი უთანასწორობის სახით. ამას შესაბამის თემებში გავუმკლავდებით.
პოპულარული სამუშაოები უთანასწორობით.
ხაზოვანი უტოლობები თავისთავად მარტივია. ამიტომ, ხშირად, ამოცანები რთულდება. ასე რომ, ვიფიქროთ, რომ ეს საჭირო იყო. ეს არ არის ძალიან სასიამოვნო, თუ არ ხართ შეჩვეული.) მაგრამ სასარგებლოა. მე ვაჩვენებ ასეთი დავალებების მაგალითებს. შენ რომ არ ისწავლო ისინი, ეს ზედმეტია. და იმისთვის, რომ არ შეგეშინდეს ასეთ მაგალითებთან შეხვედრისას. დაფიქრდი ცოტათი - და ყველაფერი მარტივია!)
1. იპოვნეთ 3x - 3 უტოლობის ნებისმიერი ორი გამოსავალი< 0
თუ არ არის ძალიან ნათელი რა უნდა გააკეთოს, გახსოვდეთ მათემატიკის მთავარი წესი:
თქვენ არ იცით რა გჭირდებათ - გააკეთეთ რაც შეგიძლიათ!)
x < 1
Მერე რა? Არაფერი განსაკუთრებული. რას გვკითხავენ? ჩვენ გვთხოვენ იპოვონ ორი კონკრეტული რიცხვი, რომლებიც აგვარებენ უთანასწორობას. იმ ჯდება პასუხი. ორი ნებისმიერი რიცხვები სინამდვილეში, ეს უხერხულია.) 0 და 0,5 წყვილი შესაფერისია. -3 და -8 წყვილი. დიახ, ეს წყვილი დაუსრულებელია! რა არის სწორი პასუხი?!
პასუხია: ყველაფერი! ციფრების ნებისმიერი წყვილი, თითოეული ერთზე ნაკლები, იქნება სწორი პასუხი. დაწერე რაც გინდა. მოდი უფრო შორს წავიდეთ.
2. გადაჭერი უთანასწორობა:
4x - 3 ≠ 0
ამ ფორმის სტუმარი იშვიათია. როგორც დამხმარე უტოლობები, მაგალითად, GDV– ს პოვნისას ან ფუნქციის განსაზღვრის დომენის პოვნისას, ისინი ხშირად გვხვდება. ასეთი წრფივი უტოლობა შეიძლება გადაწყდეს, როგორც ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება. მხოლოდ ყველგან, გარდა "\u003d" ნიშნისა ( თანაბრად) დააყენა ნიშანი " ≠ " (არ უდრის) ასე რომ, თქვენ მიხვალთ პასუხზე, უთანასწორობის ნიშნით:
x ≠ 0,75
უფრო რთულ მაგალითებში სჯობს, ეს სხვაგვარად გაკეთდეს. გააკეთეთ უთანასწორობა თანასწორობით. Ამგვარად:
4x - 3 = 0
წყნარად მოაგვარეთ ის, როგორც ასწავლეს და მიიღეთ პასუხი:
x \u003d 0,75
მთავარია, ბოლოს და ბოლოს, საბოლოო პასუხის დაწერისას, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ აღმოვაჩინეთ X, რომელიც იძლევა თანასწორობა. და ჩვენ გვჭირდება - უთანასწორობა ამიტომ, ეს X უბრალოდ არ გვჭირდება.) და უნდა ჩავწეროთ ის სწორი ხატულასთან ერთად:
x ≠ 0,75
ამ მიდგომას ნაკლები შეცდომები მოჰყვება. ისინი, ვინც განტოლებებს ავტომატურად წყვეტენ. და მათთვის, ვინც არ წყვეტს განტოლებებს, უტოლობები, ფაქტობრივად, უსარგებლოა ...) პოპულარული ამოცანის კიდევ ერთი მაგალითი:
3. იპოვნეთ უთანასწორობის ყველაზე პატარა მთელი ამონახსნი:
3 (x - 1) < 5x + 9
პირველი, ჩვენ უბრალოდ გადაჭრით უთანასწორობას. ჩვენ ვხსნით ფრჩხილებს, გადავცემთ მათ, მივცემთ მსგავსს ... მივიღებთ:
x > - 6
არასწორია? დაიცვეს ისინი ნიშნები! წევრების ნიშნების მიღმა და უთანასწორობის ნიშნის მიღმა ...
ისევ ფიქრი. უნდა ვიპოვოთ კონკრეტული ნომერი, რომელიც ემთხვევა როგორც პასუხს, ასევე პირობას "ყველაზე პატარა მთელი რიცხვი".თუ მაშინვე არ გათენდა, შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი და შეაფასოთ. ორი მეტია, ვიდრე მინუს ექვსი? რა თქმა უნდა! არის შესაფერისი უფრო მცირე რიცხვი? Რა თქმა უნდა. მაგალითად, ნული მეტია -6-ზე. და კიდევ უფრო ნაკლები? ჩვენ რაც შეიძლება პატარა გვჭირდება! მინუს სამი მეტია, ვიდრე მინუს ექვსი! უკვე შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ ეს ნიმუში და სულელურად შეწყვიტოთ ციფრების გავლა, არა?)
ჩვენ რიცხვს მივუახლოვდებით -6-თან. მაგალითად, -5. პასუხი შესრულებულია, -5 > - 6. შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა რიცხვი, -5-ზე ნაკლები, მაგრამ -6-ზე მეტი? შეგიძლიათ, მაგალითად, -5.5 ... გაჩერდით! გვეუბნებიან მთლიანიგადაწყვეტილება! არ იხვევა -5,5! მინუს ექვსი? უჰ-უჰ! უტოლობა მკაცრია, მინუს 6 არანაკლებ არის მინუს 6!
ასე რომ, სწორი პასუხია -5.
იმედი მაქვს, რომ ყველაფერი გასაგებია ზოგადი ამოხსნის მნიშვნელობის არჩევისას. Სხვა მაგალითი:
4. გადაჭრის უთანასწორობა:
7 < 3x + 1 < 13
Როგორ! ამ გამოთქმას ეწოდება სამმაგი უთანასწორობა. მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს არის სტენოგრამის აღნიშვნა უთანასწორობის სისტემისთვის. მაგრამ ზოგიერთ დავალებაში მაინც უნდა მოაგვაროთ ასეთი სამმაგი უტოლობები ... ის წყდება ყოველგვარი სისტემის გარეშე. იგივე იდენტური გარდაქმნებისათვის.
აუცილებელია გამარტივდეს, ამ უთანასწორობა იყოს სუფთა xx. მაგრამ ... რა არის სად უნდა გადავიტანოთ? ახლა დროა გვახსოვდეს, რომ გადაცემა მარცხნივ-მარჯვნივ არის შემოკლებული ფორმა პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია.
და სრული ფორმა ასე ჟღერს: შეგიძლიათ განტოლების ორივე მხარეს დაამატოთ / გამოაკლოთ ნებისმიერი რიცხვი ან გამოთქმა (უტოლობა).
აქ სამი ნაწილია. ასე რომ, ჩვენ მივმართავთ იდენტური გარდაქმნები სამივე ნაწილზე!
მოდით, თავი დავაღწიოთ უტოლობის შუა რიცხვებში 1-ს. გამოკლება ერთი მთლიანი შუა ნაწილიდან. იმისთვის, რომ უთანასწორობა არ შეიცვალოს, დარჩენილი ორი ნაწილიდან გამოკლება 1. Ამგვარად:
7 -1< 3x + 1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
უკვე უკეთესია, არა?) რჩება სამივე ნაწილის დაყოფა სამზე:
2 < x < 4
Სულ ეს არის. ეს არის პასუხი. X შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ორიდან (არ შეიცავს) ოთხამდე (არ ჩათვლით). ეს პასუხი ასევე იწერება ინტერვალებით, ასეთი ჩანაწერები იქნება კვადრატული უტოლობები. იქ ისინი ყველაზე გავრცელებულია.
გაკვეთილის ბოლოს გავიმეორებ ყველაზე მნიშვნელოვანს. წრფივი უტოლობების ამოხსნაში წარმატება დამოკიდებულია ხაზოვანი განტოლებების გარდაქმნისა და გამარტივების შესაძლებლობაზე. თუ ამავე დროს ფრთხილად იყავი უთანასწორობის ნიშნით, პრობლემა არ იქნება. რასაც გისურვებ. Არაა პრობლემა.)
თუ ეს საიტი მოგწონთ ...
სხვათა შორის, კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი მაქვს თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაზე და გაეცნოთ თქვენს დონეს. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
