ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი. ჩანაწერები წარწერით "ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი". ანალიტიკური გეომეტრიის ელემენტები სივრცეში

24. მოდით გავამარტივოთ ეს ფუნქცია. ვიეტას თეორემის მიხედვით, ჩვენ ვხვდებით კვადრატული ტრინუმის ფესვებს x 2 -x-6 (x 1 \u003d -2 , x 2 \u003d 3 ), ჩვენ გავაფართოვებთ წილადის მნიშვნელს წრფივ ფაქტორებად (x-3) (x + 2) და გააუქმოს ფრაქცია მიერ (x-3)... იპოვნეთ ანტიდერივატივი H (x) შედეგად მიღებული ფუნქცია 1 / (x + 2).

25. ასე რომ, 126 მოთამაშე ითამაშებს 63 თამაშები, რომელთაგან 63 მონაწილე მიიღებს გამარჯვებას მეორე ტურში. საერთო ჯამში, 63 + 1 \u003d 64 მონაწილე მეორე ტურში იბრძოლებს. ისინი ითამაშებენ 32 თამაშები, აქედან კიდევ 32 გამარჯვებული, ვინც ითამაშებს 16 თამაშები 16 გამარჯვებული ითამაშებს 8 თამაშებს, 8 გამარჯვებული ითამაშებს 4 თამაშები ოთხი გამარჯვებული ითამაშებს 2 თამაშები, და ბოლოს, ორმა გამარჯვებულმა უნდა ითამაშოს ბოლო თამაში... ჩვენ ვთვლით მატჩებს: 63+32+16+8+4+2+1=126.

გსურთ კომპიუტერის უკეთესი ცოდნა?

Slideshare საგამომცემლო მომსახურება საშუალებას გაძლევთ გადააკეთოთ Power Point პრეზენტაციები, ტექსტური დოკუმენტები, PDF ფაილები (50 MB) ფლეშ ფორმატში. საგანმანათლებლო საქმიანობის დროს, ეს სერვისი შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც სტუდენტებისა და მასწავლებლების პორტფელის შესაქმნელად, ასევე პრეზენტაციების ჩვეულებრივი დემონსტრირებისთვის, საპროექტო სამუშაოების დიზაინისთვის.

წაიკითხეთ ახალი სტატიები

თუ მასწავლებელი ხართ, რა თქმა უნდა გაგიკვირდათ: რა წიგნების წაკითხვა გჭირდებათ, რომ მუშაობამ სიხარული და კმაყოფილება გამოიწვიოს? ეჭვგარეშეა, რომ ახლა ამ საკითხზე უამრავი ინფორმაცია შეგიძლიათ მოიძიოთ ინტერნეტში. მაგრამ ასეთი მრავალფეროვნების გაგება ძალიან რთულია. იმის გარკვევა, რომელი წიგნები გახდებიან თქვენი თანაშემწეები, დიდ დროს წაიღებს. ამ სტატიაში გაიგებთ თუ რომელი წიგნი უნდა წაიკითხოს თითოეულმა მასწავლებელმა.

მასალის სიწმინდე დაწყებითი კლასების მოსწავლეებს აღძრავს საგანმანათლებლო პრობლემის გადასაჭრელად და ინარჩუნებს ინტერესს საგნის მიმართ. ამიტომ, სწავლების ერთ-ერთი ყველაზე ეფექტური მეთოდი არის ფლეშკადების გამოყენება. ბარათების გამოყენება შესაძლებელია ნებისმიერი საგნის სწავლებისას, მათ შორის ჰობი და კლასგარეშე აქტივობებში. მაგალითად, იგივე ბარათები ბოსტნეულით და ხილით გამოდგება მათემატიკის გაკვეთილებზე დათვლის სწავლებისთვის და ველური და ბაღის მცენარეების თემის შესასწავლად მსოფლიოს გაკვეთილებზე.

წერტილოვანი პროდუქტი ა  ბ ორი არა ნულოვანი ვექტორი ა და ბ არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების სიგრძის პროდუქტისა მათ შორის კუთხის კოსინუსის მიხედვით. თუ ამ ვექტორებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, სკალარული პროდუქტი ნულის ტოლია. ამრიგად, განმარტებით, ჩვენ გვაქვს

სადაც  არის კუთხე ვექტორებს შორის ა და ბ .

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი ა , ბ ასევე მითითებულია სიმბოლოებით აბ .

წერტილოვანი პროდუქტის ნიშანი განისაზღვრება value მნიშვნელობით:

თუ 0    შემდეგ ა  ბ  0,

თუკი მაშინ ა  ბ  0.

წერტილოვანი პროდუქტი განისაზღვრება მხოლოდ ორი ვექტორისთვის.

ოპერაციები ვექტორებზე კოორდინირებული ფორმით

შევიდეთ კოორდინატთა სისტემაში ოოჰმოცემულია ვექტორები ა = (x 1 ; y 1) = x 1 მე + y 1 კ და ბ = (x 2 ; y 2) = x 2 მე + y 2 კ .

1. ორი (ან მეტი) ვექტორის ჯამის თითოეული კოორდინატი უდრის ვექტორ-თანხების შესაბამისი კოორდინატების ჯამს, ე.ი. ა + ბ = = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2).

2. ორი ვექტორის სხვაობის თითოეული კოორდინატი უდრის ამ ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების სხვაობას, ე.ი. ა – ბ = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2).

3. ვექტორისა და რიცხვის product პროდუქტის თითოეული კოორდინატი უდრის ამ ვექტორის შესაბამისი კოორდინატის ნამრავლის by -ს, ანუ  -ს. და = ( x 1 ;  საათზე 1).

4. ორი ვექტორის სკალარული პროდუქტი უდრის ამ ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების პროდუქტების ჯამს, ე.ი. ა  ბ = x 1  x 2 + + y 1  y 2 .

შედეგი. ვექტორის სიგრძე და = (x; y) ტოლია მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი, ე.ი.

=
(5)

მაგალითი 4. მოცემულია ვექტორები
ბ = 3მე – კ .

აუცილებელია:

1. იპოვნე

2. იპოვნეთ ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი დან , დ .

3. იპოვნეთ ვექტორის სიგრძე დან .

გადაწყვეტილება

1. თვისება 3-ით ვხვდებით ვექტორების კოორდინატებს 2 და , –და , 3ბ , 2ბ : 2და = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –და = –(–2; 3) = (2; –3), 3ბ = 3(3; –1) = (9; –3), 2ბ = = 2(3; –1) = = (6; –2).

2, 1 თვისებების მიხედვით ვხვდებით ვექტორების კოორდინატებს დან , დ : დან = 2ა – 3ბ = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), დ = –ა + 2ბ = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. საკუთრებით 4 cd = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. საკუთრების დასკვნა 4 | დან | =
=
.

ტესტი 3 . განსაზღვრეთ ვექტორული კოორდინატები და + ბ , თუ და = (–3; 4), ბ = = (5; –2):

ტესტი 4. განსაზღვრეთ ვექტორული კოორდინატები და – ბ , თუ და = (2; –1), ბ = = (3; –4):

ტესტი 5 . იპოვნეთ ვექტორის 3 კოორდინატები და , თუ და = (2; –1):

ტესტი 6 . იპოვნეთ წერტილოვანი პროდუქტი ა , ბ ვექტორები და = (1; –4), ბ = (–2; 3):

ტესტი 7 . იპოვნეთ ვექტორის სიგრძე და = (–12; 5):

3)
;

პასუხები საცდელ დავალებებზე

1.3. ანალიტიკური გეომეტრიის ელემენტები სივრცეში

მართკუთხა კოორდინატების სისტემა სივრცეში შედგება სამი ურთიერთპერპენდიკულარული კოორდინაციული ღერძისაგან, იკვეთება იმავე წერტილში (წარმოშობა 0) და აქვს მიმართულება, აგრეთვე მასშტაბის ერთეული თითოეული ღერძის გასწვრივ (სურათი 17).

სურათი 17

წერტილის პოზიცია მ თვითმფრინავზე ცალსახად განისაზღვრება სამი რიცხვი - მისი კოორდინატები მ(x ტ ; საათზე ტ ; ზ ტ), სად x ტ - აბსცისა, საათზე ტ - დანიშნოს, ზ ტ - აპლიკაცია.

თითოეული მათგანი იძლევა მანძილს წერტილიდან მ ერთ საკოორდინატო სიბრტყემდე ნიშნით, რომელიც ითვალისწინებს ამ თვითმფრინავის რომელ მხარეს მდებარეობს წერტილი: არის თუ არა იგი მიღებული მესამე ღერძის დადებითი ან უარყოფითი მიმართულების მიმართულებით.

სამი საკოორდინატო სიბრტყე ჰყოფს სივრცეს 8 ნაწილად (ოქტანტები).

მანძილი ორ წერტილს შორის ა(x და ; საათზე და ; ზ და) და ბ(x IN ; საათზე IN ; ზ IN) გამოითვლება ფორმულით

მოცემული რაოდენობა ა(x 1 ; საათზე 1 ; ზ 1) და ბ(x 2 ; საათზე 2 ; ზ 2) შემდეგ წერტილის კოორდინატები ფრომიდან(x; საათზე; ზ) სეგმენტის დაყოფა
ამასთან დაკავშირებით გამოხატულია შემდეგი ფორმულები:

მაგალითი 1 . იპოვნეთ მანძილი AB, თუ და(3; 2; –10) და IN(–1; 4; –5).

გადაწყვეტილება

მანძილი AB გამოითვლება ფორმულით

ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას სამი ცვლადით, ქმნის გარკვეულ ზედაპირს.

წერტილების ერთობლიობა, რომელთა კოორდინატები ორ განტოლებას აკმაყოფილებს, წარმოადგენს გარკვეულ ხაზს - შესაბამისი ორი ზედაპირის გადაკვეთის ხაზს.

პირველი ხარისხის ნებისმიერი განტოლება წარმოადგენს სიბრტყეს და, პირიქით, ნებისმიერი სიბრტყე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პირველი ხარისხის განტოლებებით.

Პარამეტრები ა, ბ, C არის სიბრტყის პერპენდიკულარული ნორმალური ვექტორის კოორდინატები, ე.ი. ნ = (ა; ბ; გ).

სიბრტყის განტოლება ღერძებზე გათიშულ სეგმენტებში: ა - ღერძის გასწვრივ ОX, ბ - ღერძის გასწვრივ ოი, დან - ღერძის გასწვრივ ОZ:

მიეცით ორი თვითმფრინავი ა 1 x + ბ 1 y + გ 1 ზ + დ 1 = 0, ა 2 x + ბ 2 y + გ 2 ზ + + დ 2 = 0.

თვითმფრინავების პარალელიზმის მდგომარეობა:
.

თვითმფრინავების პერპენდიკულურობის მდგომარეობა:

თვითმფრინავებს შორის კუთხე განისაზღვრება შემდეგი ფორმულით:

.

მიეცით თვითმფრინავს წერტილების გავლა მ 1 (x 1 ; y 1 ; ზ 1), მ 2 (x 2 ; y 2 ; ზ 2), მ 3 (x 3 ; y 3 ; ზ 3).

შემდეგ მის განტოლებას აქვს ფორმა:

მანძილი წერტილიდან მ 0 (x 0 ; y 0 ; ზ 0) თვითმფრინავამდე Ნაჯახი + ავტორი + ჩზ + დ \u003d 0 ნაპოვნია ფორმულით

.

ტესტი 1. თვითმფრინავი
გადის წერტილს:

1) ა(–1; 6; 3);

2) ბ(3; –2; –5);

3) გ(0; 4; –1);

4) დ(2; 0; 5).

ტესტი 2 . თვითმფრინავის განტოლება ОXY შემდეგი:

1) ზ = 0;

2) x = 0;

3) y = 0.

მაგალითი 2 . დაწერეთ სიბრტყის განტოლება სიბრტყის პარალელურად ОXY და წერტილის გავლით (2; –5; 3).

გადაწყვეტილება

მას შემდეგ, რაც თვითმფრინავი პარალელურად არის თვითმფრინავი ОXY, მის განტოლებას აქვს ფორმა Cz + D \u003d 0 (ვექტორი  = (0; 0; ფრომიდან)  ოჰი).

მას შემდეგ, რაც თვითმფრინავი გადის წერტილში (2; –5; 3), მაშინ გ  3 + დ \u003d 0 ან როგორც დ = –3გ.

ამრიგად, CZ – 3გ \u003d 0. მას შემდეგ ფრომიდან 0 ფუნტი ზ – 3 = 0.

პასუხი: ზ – 3 = 0.

ტესტი 3 . სიბრტყის განტოლებას, რომელიც გადის წარმოშობის გავლით და ვექტორის პერპენდიკულარულად (3; –1; –4) აქვს ფორმა:

1)

2)

3)

4)

ტესტი 4 . ხაზის გაჭრა ღერძის გასწვრივ ოი თვითმფრინავი
ტოლია:

მაგალითი 3 . დაწერეთ სიბრტყის განტოლება:

1. პარალელური სიბრტყე
და წერტილის გავლით ა(2; 0; –1).

2. პერპენდიკულარული სიბრტყე
და წერტილის გავლით ბ(0; 2; 0).

გადაწყვეტილება

სიბრტყის განტოლებები ფორმით მოიძებნება ა 1 x + ბ 1 y + გ 1 ზ + დ 1 = 0.

1. რადგან თვითმფრინავები პარალელურია, მაშასადამე
აქედან ა= 3ტ,ბ= –ტ,გ= 2ტსად ტრ... დაე ტ\u003d 1. შემდეგ ა = 3, ბ = –1, გ \u003d 2. ამიტომ, განტოლება ფორმას იღებს
წერტილის კოორდინატები დათვითმფრინავს მიეკუთვნება განტოლება ნამდვილ თანასწორად. ამიტომ, 32 - 10 + 2 (–1) + დ\u003d 0. საიდან დ= 4.

პასუხი:

2. რადგან თვითმფრინავები პერპენდიკულარულია, მაშინ 3 ა – 1  ბ + 2  გ = 0.

რადგან სამი ცვლადია და განტოლება ერთია, ორი ცვლადი ერთდროულად იღებს თვითნებურ მნიშვნელობებს, რომლებიც არ არის ნულის ტოლი. დაე ა = 1, ბ \u003d 3. შემდეგ გ\u003d 0. განტოლება ფორმას იღებს
დ= –6.

პასუხი:

ტესტი 5 . თვითმფრინავის თვითმფრინავის პარალელურად არჩევა x – 2y + 7ზ – 2 = 0:

1)

4)

ტესტი 6 . აიღეთ თვითმფრინავის პერპენდიკულარული თვითმფრინავი x– 2y+ + 6ზ– 2 = 0:

1)

4)

ტესტი 7 . კუთხის კოსინუსი 3 სიბრტყეებს შორის x + y – ზ - 1 \u003d 0 და x – 4y – – 5ზ + 3 \u003d 0 განისაზღვრება ფორმულით:

1)

2)

3)

ტესტი 8 . მანძილი წერტილიდან (3; 1; –1) თვითმფრინავამდე 3 x – y + 5ზ + 1 \u003d 0 განისაზღვრება ფორმულით:

1)

2)

ამ ტესტის გამოყენება შესაძლებელია სტუდენტების ცოდნის შუალედური, განზოგადებული ან საბოლოო კონტროლის კლასში. იმისათვის, რომ ტესტმა სწორად იმუშაოს, თქვენ უნდა დააყენოთ უსაფრთხოების დაბალი დონე (მომსახურება-მაკრო-უსაფრთხოება)

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

პრეზენტაციების გადახედვის გამოსაყენებლად, შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით მასში: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერა:

ვარიანტი 1 ვარიანტი 2 ჩვენ გამოვიყენეთ შაბლონი ტესტების შესაქმნელად PowerPoint MCOU "Pogorelskaya საშუალო School" MM Koscheev

ტესტის შედეგი სწორია: 14 შეცდომა: 0 ნიშანი: 5 დრო: 3 წთ. 29 წმ. მაინც გაასწორონ

ვარიანტი 1 ბ) 360 ° ა) 180 ° გ) 246 ° დ) 274 ° ე) 454 °

ვარიანტი 1 გ) 22 ა) -22 ბ) 0 დ) 8 ე) 1

ვარიანტი 1 ე) 5 დ) 0 ა) 7

ვარიანტი 1 ბ) ბლაგვი ე) არ არსებობს, რადგან მათი წარმოშობა არ ემთხვევა გ) 0 ° დ) მწვავე ა) სწორი

ვარიანტი 1 ბ) 10.5 ე) არა ა) -10.5

ვარიანტი 1 ა) -10.5 ბ) 10.5 ე) არავითარ შემთხვევაში

ვარიანტი 1 ე) 0 ბ) შეუძლებელია განისაზღვროს ა) -6 დ) 4 გ) 6

ვარიანტი 1 ბ) 28 ე) შეუძლებელია განისაზღვროს ა) 70 დ) -45,5 გ) 91

ვარიანტი 1 9. სამკუთხედის ორი მხარეა 16 და 5, ხოლო მათ შორის კუთხე 120 °. მითითებული ინტერვალიდან რომელი მიეკუთვნება მესამე მხარის სიგრძეს? დ) ე) (19; 31] ა) (0; 7] ბ) (7; 11] გ) ა) (0; 7] ბ) (7; 11] დ)

ვარიანტი 1 13. ABC სამკუთხედის გარშემო წრეწირის რადიუსი არის 0,5. იპოვნეთ B კუთხის სინუსის თანაფარდობა AC მხარის სიგრძესთან. ე) 1 გ) 1, 3 ა) 0,5 დ) 2

ვარიანტი 1 14. ABC სამკუთხედში, გვერდების სიგრძე BC და AB არის 5 და 7, შესაბამისად და

ვარიანტი 2 გ) 360 ° ა) 180 ° ბ) 246 ° დ) 274 ° ე) 454 °

ვარიანტი 2 ე) 22 ა) -22 ბ) 0 დ) 8 გ) 4

ვარიანტი 2 ა) 10 დ) 17 ე) 15

ვარიანტი 2 გ) ტოლია 0 ° ე) არ არსებობს, რადგან მათი წარმოშობა არ ემთხვევა გ) ბლაგვი დ) მწვავე ა) სწორი

ვარიანტი 2 ბ) 10.5 ე) არა ა) -10.5

ვარიანტი 2 ა) - 10.5 ე) არა გ) 10.5

ვარიანტი 2 დ) 0 ბ) შეუძლებელია განისაზღვროს ა) -6 ე) 4 გ) 6

ვარიანტი 2 ა) 70 ე) შეუძლებელია განისაზღვროს ბ) 28 დ) -45.5 გ) 91

ვარიანტი 2 9. სამკუთხედის ორი მხარეა 12 და 7 და მათ შორის კუთხე 60 °. მითითებული ინტერვალიდან რომელი მიეკუთვნება მესამე მხარის სიგრძეს? ე) (7; 11) დ) (19; 31] ა) (0; 7] ბ) გ) ე) (19; 31] გ)

ვარიანტი 2 13. ABC სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი უდრის 2-ს. იპოვნეთ B კუთხის სინუსის თანაფარდობა AC მხარის სიგრძესთან. ა) 0.25 გ) 1, 3 ე) 1 დ) 2

ვარიანტი 2 14. ABC სამკუთხედში, AC და AB გვერდების სიგრძეა შესაბამისად 9 და 7 და

ტესტის გასაღები: ”ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტი. სამკუთხედის თეორემები ”. ვარიანტი 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 repl. b c e b c a e b d a c c e d 2 ვარიანტი 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Otv. c d a c d b d a d d c a a d ლიტერატურა L.I. ზვავიჩი, ე, ვ. პოტოსკუევის გეომეტრიის ტესტები სახელმძღვანელოს მე -9 კლასი L.S. ათანასიანი და სხვ. მ .: გამომცემლობა "გამოცდა" 2013 - 128 გვ.