Текшелердің қосындысы мен айырмасын шешу жолы. Айырма текше мен текше айырмашылығы: қысқартылған көбейту формулаларын қолдану ережелері. FSO қолдану мысалдары

Қысқартылған көбейту формулалары.

Қысқартылған көбейту формулаларын оқу: қосындының квадраты және екі өрнектің айырмасының квадраты; екі өрнектің квадраттарының айырмасы; қосындының кубы және екі өрнектің айырмасының кубы; екі өрнектің кубтарының қосындысы мен айырмасы.

Мысалдар шешуде қысқартылған көбейту формулаларын қолдану.

Өрнектерді жеңілдету, көпмүшелерді көбейткіштерге бөлу және көпмүшелерді стандартты түрге келтіру үшін қысқартылған көбейту формулалары қолданылады. Жатқа білу керек қысқартылған көбейту формулалары.

a, b R болсын. Сонда:

1. Екі өрнектің қосындысының квадратыбірінші өрнектің квадраты плюс бірінші өрнектің екі есе көбейтіндісі және екінші плюс екінші өрнектің квадраты.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Екі өрнектің айырмасының квадратыбірінші өрнектің квадраты минус бірінші өрнектің екі есе көбейтіндісін және екінші плюс екінші өрнектің квадратын.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Квадраттардың айырмашылығыекі өрнек осы өрнектердің айырмасының және олардың қосындысының көбейтіндісіне тең.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. қосынды текшесіекі өрнектің саны бірінші өрнектің кубына плюс бірінші өрнектің үш еселенген квадратын екінші және бірінші өрнектің көбейтіндісін екінші өрнектің квадратына және екінші өрнектің кубына үш есе көбейтуге тең.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. айырмашылық текшесіекі өрнектің бірінші өрнектің текшесін шегеріп, бірінші өрнектің квадратының көбейтіндісінің үш есесін және екінші плюс бірінші өрнектің көбейтіндісінің үш есесін және екінші өрнектің квадратын шегеріп, екінші өрнектің кубын алып тастағанға тең.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Текшелердің қосындысыекі өрнек бірінші және екінші өрнектер қосындысының осы өрнектердің айырмасының толық емес квадратына көбейтіндісіне тең.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Текшелердің айырмашылығыекі өрнектің бірінші және екінші өрнектерінің айырмасының осы өрнектер қосындысының толық емес квадратына көбейтіндісіне тең.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Мысалдар шешуде қысқартылған көбейту формулаларын қолдану.

1-мысал

Есептеу

а) Екі өрнектің қосындысының квадратының формуласын пайдаланып, бізде

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Екі өрнектің квадраттық айырмасының формуласын қолданып, аламыз

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

2-мысал

Есептеу

Екі өрнектің квадраттарының айырмасының формуласын қолданып, аламыз

3-мысал

Өрнекті жеңілдету

(х - у) 2 + (х + у) 2

Екі өрнектің қосындысының квадраты мен айырмасының квадраты үшін формулаларды қолданамыз

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Бір кестедегі қысқартылған көбейту формулалары:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Квадраттардың айырмашылығы

$a^2-b^2$ квадраттарының айырмасының формуласын шығарамыз.

Ол үшін келесі ережені есте сақтаңыз:

Егер өрнекке кез келген мономдық қосылса және сол мономиялық алынып тасталса, онда дұрыс сәйкестікті аламыз.

Өрнегімізге қосып, одан $ab$ мономін азайтайық:

Барлығын аламыз:

Яғни екі мономның квадраттарының айырмасы олардың айырмасы мен қосындысының көбейтіндісіне тең.

1-мысал

$(4x)^2-y^2$ көбейтіндісі ретінде көрсетіңіз

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\сол(2x-y\оң)(2x+y)\]

Текшелердің қосындысы

$a^3+b^3$ текшелерінің қосындысының формуласын шығарамыз.

Жақшалардың ішінен жалпы факторларды алайық:

Жақшаның ішінен $\left(a+b\right)$ алайық:

Барлығын аламыз:

Яғни, екі мономның текшелерінің қосындысы олардың қосындысының айырымының толық емес квадратына көбейтіндісіне тең.

2-мысал

$(8x)^3+y^3$ өнім ретінде көрсетіңіз

Бұл өрнекті келесі пішінде қайта жазуға болады:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Квадраттардың айырымы формуласын қолданып, мынаны аламыз:

\[((2x))^3+y^3=\сол(2x+y\оң)(4x^2-2xy+y^2)\]

Текшелердің айырмашылығы

$a^3-b^3$ текшелерінің айырмасының формуласын шығарамыз.

Ол үшін жоғарыдағыдай ережені қолданамыз.

Өрнекке қосып, одан $a^2b\ және\ (ab)^2$ мономдіктерін азайтайық:

Жақшалардың ішінен жалпы факторларды алайық:

Жақшаның ішінен $\left(a-b\right)$ алайық:

Барлығын аламыз:

Яғни, екі мономның кубтарының айырмасы олардың айырымының қосындысының толық емес квадратына көбейтіндісіне тең.

3-мысал

$(8x)^3-y^3$ көбейтіндісі ретінде көрсетіңіз

Бұл өрнекті келесі пішінде қайта жазуға болады:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Квадраттардың айырымы формуласын қолданып, мынаны аламыз:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Квадраттардың айырмасы мен кубтардың қосындысы мен айырмасының формулаларын қолдануға арналған тапсырмалардың мысалы

4-мысал

Көбейту.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Шешімі:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Квадраттардың айырымы формуласын қолданып, аламыз:

\[((a+5))^2-3^2=\сол(a+5-3\оң)\сол(a+5+3\оң)=\сол(a+2\оң)(a +8)\]

Осы өрнекті келесі түрде жазайық:

Текшелердің текшелерінің формуласын қолданайық:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Осы өрнекті келесі түрде жазайық:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\сол(\frac(1)(3)\оң))^3-x^3\]

Текшелердің текшелерінің формуласын қолданайық:

\[(\left(\frac(1)(3)\оң))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\оң)\]

Формулалар немесе қысқартылған көбейту ережелері арифметикада, дәлірек айтқанда, алгебрада үлкен алгебралық өрнектерді жылдамырақ есептеу үшін қолданылады. Формулалардың өзі бірнеше көпмүшелерді көбейтуге арналған алгебрадағы бар ережелерден алынған.

Бұл формулаларды қолдану әртүрлі математикалық есептерді тез шешуді қамтамасыз етеді, сонымен қатар өрнектерді жеңілдетуге көмектеседі. Алгебралық түрлендірулер ережелері өрнектермен кейбір манипуляцияларды орындауға мүмкіндік береді, одан кейін оң жағындағы теңдіктің сол жағындағы өрнекті алуға немесе теңдіктің оң жағын түрлендіруге (өрнекті алу үшін тең белгісінен кейін сол жағы).

Жадыға қысқартылған көбейту үшін қолданылатын формулаларды білу ыңғайлы, өйткені олар есептер мен теңдеулерді шешуде жиі қолданылады. Бұл тізімге енгізілген негізгі формулалар және олардың атаулары төменде берілген.

қосынды квадраты

Қосындының квадратын есептеу үшін бірінші қосылғыштың квадратынан, бірінші және екінші қосылыстың екі еселенген көбейтіндісінен және екіншінің квадратынан тұратын қосындыны табу керек. Өрнек түрінде бұл ереже былай жазылады: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Айырмашылықтың квадраты

Айырмашылықтың квадратын есептеу үшін бірінші санның квадратынан, бірінші санның екіншісіне көбейтіндісінің екі еселенген (қарсы таңбамен алынған) және екінші санның квадратынан тұратын қосындыны есептеу керек. Өрнек түрінде бұл ереже келесідей көрінеді: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Квадраттардың айырмашылығы

Екі санның квадратының айырмасының формуласы осы сандардың қосындысы мен олардың айырмасының көбейтіндісіне тең. Өрнек түрінде бұл ереже келесідей көрінеді: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

қосынды текшесі

Екі мүшенің қосындысының кубын есептеу үшін бірінші қосылғыштың текшесінен тұратын қосындыны есептеу керек, бірінші қосылғыш пен екіншінің квадратының үш есе көбейтіндісін, бірінші қосылғыштың үш есе көбейтіндісін және екінші қосындысын есептеу керек. квадраты және екінші мүшенің кубы. Өрнек түрінде бұл ереже келесідей көрінеді: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Текшелердің қосындысы

Формула бойынша ол осы мүшелердің қосындысы мен олардың толық емес айырым квадратының көбейтіндісіне тең. Өрнек түрінде бұл ереже келесідей көрінеді: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Мысал.Екі текшені қосу арқылы пайда болатын фигураның көлемін есептеу керек. Тек олардың жақтарының шамалары белгілі.

Егер жақтардың мәндері аз болса, онда есептеулерді орындау оңай.

Егер жақтардың ұзындықтары қиын сандармен өрнектелсе, онда бұл жағдайда есептеулерді айтарлықтай жеңілдететін «Кубтардың қосындысы» формуласын қолдану оңайырақ.

айырмашылық текшесі

Куб айырмасының өрнегі келесідей естіледі: бірінші қосылғыштың үшінші дәрежесінің қосындысы ретінде бірінші қосылғыштың квадратының теріс көбейтіндісін екіншіге үш есе, бірінші қосылғыштың көбейтіндісін екіншінің квадратына үш есе көбейт. , және екінші мүшенің теріс кубы. Математикалық өрнек түрінде айырмашылық текшесі келесідей болады: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Текшелердің айырмашылығы

Текшелердің айырмасының формуласы текшелердің қосындысынан тек бір белгімен ерекшеленеді. Осылайша, текшелердің айырмасы бұл сандардың қосындысының толық емес квадратына көбейтіндісіне тең формула болып табылады. Пішінде текшелердің айырмашылығы келесідей болады: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Мысал.Көк текшенің көлемінен текше болып табылатын сары көлемдік фигураны алып тастағаннан кейін қалатын фигураның көлемін есептеу керек. Кіші және үлкен текшенің қырының өлшемі ғана белгілі.

Егер жақтардың мәндері аз болса, онда есептеулер өте қарапайым. Ал егер жақтардың ұзындықтары елеулі сандармен өрнектелсе, онда есептеулерді айтарлықтай жеңілдететін «Кубтардың айырмашылығы» (немесе «Айырмашылық текшесі») деп аталатын формуланы қолданған жөн.

Қысқартылған көбейту формулалары (FSU) сандар мен өрнектерді дәрежеге шығару және көбейту үшін қолданылады. Көбінесе бұл формулалар есептеулерді ықшам және жылдам жүргізуге мүмкіндік береді.

Бұл мақалада біз қысқартылған көбейтудің негізгі формулаларын тізіп, оларды кестеге топтастырамыз, осы формулаларды қолдану мысалдарын қарастырамыз, сонымен қатар қысқартылған көбейту формулаларын дәлелдеу принциптеріне тоқталамыз.

7-сыныпқа арналған «Алгебра» курсы аясында ФМУ тақырыбы алғаш рет қарастырылады. Төменде 7 негізгі формула берілген.

Қысқартылған көбейту формулалары

1. қосынды квадратының формуласы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. айырмашылық квадрат формуласы: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. қосынды текше формуласы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. Айырма текше формуласы: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. квадраттардың айырмашылығы формуласы: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. текшелердің қосындысының формуласы: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. текше айырмашылығы формуласы: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Бұл өрнектердегі a, b, c әріптері кез келген сандар, айнымалылар немесе өрнектер болуы мүмкін. Қолдануға ыңғайлы болу үшін негізгі жеті формуланы жатқа үйренген дұрыс. Біз оларды кестеде қорытындылаймыз және оларды қораппен айналдыра отырып, төменде береміз.

Алғашқы төрт формула сәйкесінше екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының квадратын немесе кубын есептеуге мүмкіндік береді.

Бесінші формула өрнектердің квадраттарының айырмасын олардың қосындысы мен айырмасын көбейту арқылы есептейді.

Алтыншы және жетінші формулалар сәйкесінше өрнектердің қосындысы мен айырмасын айырманың толық емес квадратына және қосындының толық емес квадратына көбейту болып табылады.

Қысқартылған көбейту формуласын кейде қысқартылған көбейту сәйкестіктері деп те атайды. Бұл таңқаларлық емес, өйткені әрбір теңдік сәйкестік болып табылады.

Практикалық мысалдарды шешу кезінде сол және оң жақ бөліктері қайта реттелетін қысқартылған көбейту формулалары жиі қолданылады. Бұл әсіресе көпмүшені көбейткіштерге бөлу кезінде ыңғайлы.

Қосымша қысқартылған көбейту формулалары

Біз алгебрадан 7-сынып курсымен шектелмей, FSU кестесіне тағы бірнеше формулаларды қосамыз.

Алдымен Ньютонның биномдық формуласын қарастырайық.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Мұндағы C n k - Паскаль үшбұрышындағы n жолында орналасқан биномдық коэффициенттер. Биномдық коэффициенттер мына формула бойынша есептеледі:

C nk = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Көріп отырғаныңыздай, айырма мен қосындының квадраты мен кубы үшін FSU сәйкесінше n=2 және n=3 үшін Ньютон биномдық формуласының ерекше жағдайы болып табылады.

Бірақ күшке көтерілетін қосындыда екіден көп термин болса ше? Үш, төрт немесе одан да көп мүшелердің қосындысының квадратының формуласы пайдалы болады.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Тағы бір пайдалы формула екі мүшенің n-ші дәрежелерінің айырмасының формуласы болып табылады.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Бұл формула әдетте екі формулаға бөлінеді - сәйкесінше жұп және тақ дәрежелер үшін.

2м жұп дәрежелер үшін:

а 2 м - б 2 м = а 2 - б 2 а 2 м - 2 + а 2 м - 4 б 2 + а 2 м - 6 б 4 +. . + b 2 м - 2

2м+1 тақ дәрежелер үшін:

а 2 м + 1 - б 2 м + 1 = а 2 - б 2 а 2 м + а 2 м - 1 б + а 2 м - 2 б 2 +. . + b 2 м

Квадраттардың айырмасы мен текшелердің айырымы формулалары n = 2 және n = 3 үшін сәйкесінше осы формуланың ерекше жағдайлары болып табылады. Текшелердің айырмашылығы үшін b да - b ауыстырылады.

Қысқартылған көбейту формулаларын қалай оқуға болады?

Әрбір формула үшін сәйкес тұжырымдарды береміз, бірақ алдымен формулаларды оқу принципімен айналысамыз. Мұны істеудің ең оңай жолы - мысал. Екі санның қосындысының квадратының ең бірінші формуласын алайық.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Олар айтады: a және b екі өрнектің қосындысының квадраты бірінші өрнектің квадратының қосындысына, өрнектердің екі есе көбейтіндісінің және екінші өрнектің квадратының қосындысына тең.

Барлық басқа формулалар осылай оқылады. a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 квадраттық айырма үшін біз жазамыз:

a және b екі өрнектің айырмасының квадраты осы өрнектердің квадраттарының қосындысынан бірінші және екінші өрнектердің екі еселенген көбейтіндісін шегергенге тең.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 формуласын оқып көрейік. a және b екі өрнектің қосындысының кубы осы өрнектердің кубтарының қосындысына, бірінші өрнек пен екінші өрнектің квадратының үш еселенген көбейтіндісіне және екінші өрнектің квадратының үш еселенген көбейтіндісіне тең. және бірінші өрнек.

Біз a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 текшелерінің айырмашылығы формуласын оқуды жалғастырамыз. a және b екі өрнектің айырмасының текшесі бірінші өрнектің кубына минус бірінші өрнектің үш еселенген квадраты мен екінші, плюс екінші өрнек пен бірінші өрнектің үш еселенген квадраты, минус текшеге тең. екінші өрнектің.

Бесінші формула a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (шаршы айырмасы) былай оқылады: екі өрнектің квадраттарының айырмасы екі өрнектің айырмасы мен қосындысының көбейтіндісіне тең.

Ыңғайлы болу үшін a 2 + a b + b 2 және a 2 - a b + b 2 сияқты өрнектер сәйкесінше қосындының толық емес квадраты және айырманың толық емес квадраты деп аталады.

Осыны ескере отырып, кубтардың қосындысы мен айырмасының формулалары келесідей оқылады:

Екі өрнектің кубтарының қосындысы осы өрнектер қосындысының және олардың айырмасының толық емес квадратының көбейтіндісіне тең.

Екі өрнектің кубтарының айырмасы осы өрнектердің айырмасының олардың қосындысының толық емес квадратына көбейтіндісіне тең.

FSU дәлелі

FSU дәлелдеу өте қарапайым. Көбейтудің қасиеттеріне сүйене отырып, жақшадағы формулалардың бөліктерін көбейтуді орындаймыз.

Мысалы, айырманың квадратының формуласын қарастырайық.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Өрнекті екінші дәрежеге көтеру үшін өрнекті өзіне көбейту керек.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Жақшаларды кеңейтейік:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Формула дәлелденді. Басқа FSO да дәл осылай дәлелденген.

FSO қолдану мысалдары

Қысқартылған көбейту формулаларын қолданудың мақсаты - өрнектерді жылдам және қысқаша көбейту және дәрежеге шығару. Дегенмен, бұл FSO-ның толық ауқымы емес. Олар өрнектерді азайтуда, бөлшектерді азайтуда, көпмүшелерді көбейткіштерге бөлуде кеңінен қолданылады. Мысалдар келтірейік.

Мысал 1. FSO

9 y - (1 + 3 y) 2 өрнегін жеңілдетейік.

Квадраттардың қосындысын формуланы қолданып, мынаны алыңыз:

9 ж - (1 + 3 ж) 2 = 9 ж - (1 + 6 ж + 9 ж 2) = 9 ж - 1 - 6 ж - 9 ж 2 = 3 ж - 1 - 9 ж 2

Мысал 2. FSO

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 бөлігін азайтыңыз.

Алымдағы өрнек текшелердің айырмасы, ал бөлгіштегі квадраттардың айырмасы екенін байқаймыз.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Біз азайтамыз және аламыз:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSUs сонымен қатар өрнектердің мәндерін есептеуге көмектеседі. Ең бастысы, формуланы қайда қолдану керектігін байқай білу. Мұны мысалмен көрсетейік.

79 санының квадратын алайық. Қолайсыз есептеулердің орнына біз жазамыз:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Қысқартылған көбейту формулалары мен көбейту кестесін қолдану арқылы күрделі есептеу тез орындалған сияқты.

Тағы бір маңызды сәт - биномның квадратын таңдау. 4 x 2 + 4 x - 3 өрнегін 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 түрлендіруге болады. Мұндай түрлендірулер интеграцияда кеңінен қолданылады.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз