Санның түбірін дәрежеге қалай есептеу керек. Инженерлік калькулятор. Түбір белгісінің астындағы кіріспе

Іс жүзінде түбірді алу операциясын сәтті қолдану үшін сіз бұл операцияның қасиеттерімен танысуыңыз керек.
Барлық қасиеттер түбір белгілерінің астындағы айнымалылардың теріс емес мәндері үшін ғана тұжырымдалған және дәлелденген.

Теорема 1. Екі теріс емес чипсельдің көбейтіндісінің n-ші түбірі (n = 2, 3, 4, ...) осы сандардың n-ші түбірлерінің көбейтіндісіне тең:

Пікір:

1. 1-теорема радикалды өрнек теріс емес екі санның туындысы болған жағдайда жарамды болып қалады.

Теорема 2.Егер, ал n - 1 -ден үлкен натурал сан, онда теңдік

Қысқаша(дәл емес болса да) практикада қолдануға ыңғайлы тұжырым: бөлшектің түбірі түбірлердің бөлшегіне тең.

1 -теорема м -ді көбейтуге мүмкіндік береді тек сол дәрежедегі тамырлар , яғни тек бірдей индексі бар тамырлар.

Теорема 3 Егер ,k - натурал сан және n - 1 -ден үлкен натурал сан, онда теңдік

Басқаша айтқанда, тамырды табиғи дәрежеге көтеру үшін осы дәрежеге түбегейлі өрнекті көтеру жеткілікті.
Бұл 1 -теореманың салдары. Шынында да, мысалы, k = 3 үшін біз мынаны аламыз: Дәл осылай, k экспонентінің кез келген басқа да табиғи мәні туралы ойлануға болады.

4 теоремасы ,k, n - 1 -ден үлкен натурал сандар, онда теңдік

Басқаша айтқанда, тамырдан тамыр алу үшін тамырлардың индекстерін көбейту жеткілікті.
Мысалға,

Сақ болыңыз!Біз түбірлерде төрт операцияны орындауға болатынын білдік: көбейту, бөлу, дәрежелеу және түбірді шығару (түбірден). Бірақ түбірлерді қосу мен азайту туралы не деуге болады? Мүмкін емес.
Мысалы, орнына Шынында деп жазу мүмкін емес, бірақ бұл анық

5 теоремасы түбір мен радикалды өрнектің көрсеткіштері бірдей натурал санға көбейтіледі немесе бөлінеді, сонда түбірдің мәні өзгермейді, яғни.

Тапсырмаларды шешуге мысалдар

Мысал 1.Есептеу

Шешім.Түбірлердің бірінші қасиетін қолдана отырып (1 -теорема) біз мынаны аламыз:

Мысал 2.Есептеу
Шешім.Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыр.
Бізде түбірлердің екінші қасиеті бар ( Теорема 2 ), Біз алып жатырмыз:

Мысал 3.Есептеу:

Шешім.Алгебрадағы кез келген формула, өзіңіз білетіндей, «солдан оңға» ғана емес, сонымен қатар «оңнан солға» қолданылады. Сонымен, түбірлердің бірінші қасиеті оны формада көрсетуге болатынын және керісінше өрнекпен ауыстыруға болатынын білдіреді. Бұл тамырлардың екінші қасиетіне де қатысты. Осыны ескере отырып, есептеулерді жүргізейік.

Мысалдар:

\ (\ sqrt (16) = 2 \) өйткені \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), себебі \ ((- \ frac (1) (5)) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (125) \)

N -ші түбірді қалай есептеуге болады?

\ (N \) - ші дәреженің түбірін есептеу үшін сіз өзіңізге сұрақ қоюыңыз керек: \ (n \) - ші дәрежеде қандай сан түбір астында береді?

Мысалға... \ (N \) - ші дәрежедегі түбірді есептеңіз: a) \ (\ sqrt (16) \); b) \ (\ sqrt (-64) \); c) \ (\ sqrt (0.00001) \); d) \ (\ sqrt (8000) \); e) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

а) \ (4 \) - ші дәрежеде қандай сан \ (16 \) береді? Әлбетте, \ (2 \). Сондықтан:

б) \ (3 \) - дәрежеде қандай сан \ ( - 64 \) береді?

\ (\ sqrt (-64) = - 4 \)

в) \ (5 \) - ші дәрежеде қандай сан \ (0.00001 \) береді?

\ (\ sqrt (0.00001) = 0.1 \)

г) \ (3 \) -дәрежеде қандай сан \ (8000 \) береді?

\ (\ sqrt (8000) = 20 \)

д) \ (4 \) - ші дәрежеде \ (\ frac (1) (81) \) қандай сан береді?

\ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) = \ frac (1) (3) \)

Біз \ (n \) - ші дәрежелі түбірі бар қарапайым мысалдарды қарастырдық. \ (N \) - ші дәрежедегі күрделірек есептерді шешу үшін - оларды білу өте маңызды.

Мысал. Есептеу:

\ (\ sqrt 3 \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \) \ (= \)		Қазіргі уақытта түбірлердің ешқайсысын есептеуге болмайды. Сондықтан біз \ (n \) - ші дәрежелі түбірдің қасиеттерін қолданамыз және өрнекті түрлендіреміз. \ (\ frac (\ sqrt (-64)) (\ sqrt (2)) \)\ (= \) \ (\ sqrt (\ frac (-64) (2)) \) \ (= \) \ (\ sqrt (-32) \) себебі \ (\ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) \)\ (= \) \ (\ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) \)
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9)-\ sqrt (-32) = \)		Бірінші тоқсандағы факторларды квадрат түбір мен \ (n \) дәреже түбірі бір -біріне жақын болатындай етіп қайта реттейік. Бұл қасиеттерді қолдануды жеңілдетеді. \ (n \) -түбірлерінің көптеген қасиеттері тек сол дәрежедегі түбірлермен жұмыс істейді. Ал біз 5 -ші дәрежелі түбірді есептейміз.
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (9)- (- 5) = \)		\ (\ Sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) сипатын қолданыңыз және жақшаны кеңейтіңіз
\ (= \ sqrt (81) \ cdot \ sqrt (-27) + 5 = \)		\ (\ Sqrt (81) \) және \ (\ sqrt (-27) \) есептеңіз
\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \)

N -ші түбір мен квадрат түбір байланысты ма?

Қалай болғанда да, кез келген дәрежедегі кез келген түбір - бұл жай ғана сан, ол белгісіз түрде жазылған болса да.

N дәрежелі түбірдің ерекшелігі

\ (N \) - ші дәрежелі түбірі \ (n \) кез келген саннан, тіпті теріс саннан шығарылуы мүмкін (басындағы мысалдарды қараңыз). Бірақ егер \ (n \) жұп (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...) болса, онда мұндай түбір шығарылады тек егер \ (a ≥ 0 \) (айтпақшы, квадрат түбірі де осындай). Себебі түбірді алу экспоненцияға қарама -қарсы.

Ал біркелкі күшке көтерілу тіпті теріс санды оң етеді. Шынында да, \ ((-2) ^ 6 = (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Сондықтан біз түбір астында теріс санның жұп дәрежесін ала алмаймыз. Бұл теріс саннан мұндай түбірді шығара алмайтынымызды білдіреді.

Мұндай шектеулердің тақ дәрежесі жоқ- тақ дәрежеге көтерілген теріс сан теріс болып қалады: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = -32 \). Демек, тақ дәреженің түбірі астында теріс санды алуға болады. Бұл оны теріс саннан шығаруға болатынын білдіреді.

Инженерлік калькулятор онлайн

Біз барлық келушілерге ақысыз инженерлік калькуляторды ұсынуға қуаныштымыз. Оның көмегімен кез келген студент онлайн режимінде әр түрлі математикалық есептеулерді тез және ең бастысы оңай орындай алады.

Калькулятор сайттан алынды - web 2.0 ғылыми калькулятор

Көзге көрінбейтін және түсінікті интерфейсі бар қарапайым және қарапайым инженерлік калькулятор шын мәнінде Интернет пайдаланушылардың кең шеңбері үшін пайдалы болады. Енді сізге калькулятор қажет болғанда, біздің веб -сайтқа кіріп, ақысыз инженерлік калькуляторды пайдаланыңыз.

Инженерлік калькулятор қарапайым арифметикалық амалдарды да, күрделі математикалық есептеулерді де орындауға қабілетті.

Web20calc - бұл көптеген функциялары бар инженерлік калькулятор, мысалы, барлық қарапайым функцияларды есептеу әдісі. Калькулятор тригонометриялық функцияларды, матрицаларды, логарифмдерді және тіпті графикті қолдайды.

Сөзсіз, Web20calc қарапайым шешімдерді іздеуде іздеу жүйелерінде сұрау енгізетін адамдар тобын қызықтыратыны сөзсіз: онлайн математикалық калькулятор. Ақысыз веб -қосымша сізге кейбір математикалық өрнектің нәтижесін бірден есептеуге көмектеседі, мысалы, шегеру, қосу, бөлу, түбірді алу, дәрежеге көтеру және т.

Өрнекте экспонентация, қосу, азайту, көбейту, бөлу, пайыз, тұрақты ПИ операцияларын қолдануға болады. Күрделі есептеулер үшін жақшаларды қолданыңыз.

Инженерлік калькулятордың ерекшеліктері:

1. негізгі арифметикалық амалдар;
2. стандартты түрде сандармен жұмыс жасау;
3. тригонометриялық түбірлерді, функцияларды, логарифмдерді, көрсеткіштерді есептеу;
4. статистикалық есептеулер: қосу, орташа арифметикалық немесе стандартты ауытқу;
5. жад ұяшығының қолданылуы және 2 айнымалының пайдаланушы анықтайтын функциялары;
6. радиандық және градустық өлшемдердегі бұрыштармен жұмыс.

Инженерлік калькулятор әр түрлі математикалық функцияларды қолдануға мүмкіндік береді:

Тамырларды алу (квадрат түбір, текше және n-ші түбір);
ex (e x to x power), көрсеткіш;
тригонометриялық функциялар: синус - син, косинус - кос, тангенс - тан;
кері тригонометриялық функциялар: доға - син -1, арккозин - кос -1, аркантанс - тан -1;
гиперболалық функциялар: синус - синх, косинус - кош, тангенс - тан;
логарифмдер: екілік логарифм негізі екі - log2x, ондық логарифм негізі он - лог, натурал логарифм - ln.

Бұл инженерлік калькуляторға сонымен қатар әр түрлі өлшеу жүйелері үшін физикалық шамаларды - компьютерлік бірліктерді, қашықтықты, салмақты, уақытты және т. Бұл функцияның көмегімен сіз мильді километрге, фунтты килограммға, секундты сағатқа және т.

Математикалық есептеулерді жүргізу үшін алдымен сәйкес өріске математикалық өрнектер тізбегін енгізіңіз, содан кейін теңдік белгісін шертіп, нәтижені қараңыз. Мәндерді тікелей пернетақтадан енгізуге болады (бұл үшін калькулятор аймағы белсенді болуы керек, сондықтан курсорды енгізу өрісіне қою артық болмайды). Басқалармен қатар, мәліметтерді калькулятордың батырмаларының көмегімен енгізуге болады.

Кіріс өрісінде графиктер құру үшін өрісті мысалдармен көрсетілгендей жазыңыз немесе арнайы жасалған құралдар тақтасын пайдаланыңыз (оған өту үшін график түріндегі белгісі бар батырманы шертіңіз). Мәндерді түрлендіру үшін Unit пернесін басыңыз, матрицалармен жұмыс істеу үшін - Matrix.

Электрондық кестені пайдаланушылар санның түбірін шығару үшін функцияны кеңінен пайдаланады. Деректермен жұмыс әдетте үлкен сандарды өңдеуді қажет ететіндіктен, қолмен санау өте қиын болуы мүмкін. Бұл мақалада сіз Excel -де кез келген дәрежедегі түбірді алу мәселесінің егжей -тегжейлі талдауын таба аласыз.

Бұл өте оңай тапсырма, себебі бағдарламада тізімнен алынатын бөлек функция бар. Ол үшін келесі әрекеттерді орындау қажет:

1. Тінтуірдің сол жақ батырмасымен бір рет шерту арқылы функцияны тіркегіңіз келетін ұяшықты таңдаңыз. Қара контур пайда болады, белсенді жол мен баған қызғылт сары түспен ерекшеленеді, атау мекенжай ұяшығында пайда болады.

   

2. Баған атауларының үстінде, мекенжай ұяшығынан кейін, формула жолының алдында орналасқан «fx» (Функцияны кірістіру) батырмасын шертіңіз.

   

3. Ашылмалы мәзір пайда болады, онда сіз «Түбір» функциясын табуыңыз керек. Мұны «Математика» санатында немесе «Толық алфавиттік тізімде» мәзірді тышқанмен айналдыру арқылы жасауға болады.

   

4. Тінтуірдің сол жақ батырмасымен бір рет, содан кейін - «OK» түймесін басу арқылы «Түбір» тармағын таңдаңыз.

   

5. Келесі мәзір пайда болады - «Функция аргументтері».

   

6. Нөмірді енгізіңіз немесе осы өрнек немесе формула бұрын жазылған ұяшықты таңдаңыз, ол үшін «Сан» жолында тінтуірдің оң жақ түймешігімен бір рет шертіңіз, содан кейін курсорды қажетті ұяшыққа жылжытыңыз және оны басыңыз. Ұяшық атауы жолға автоматты түрде толтырылады.

   

7. «OK» түймесін басыңыз.

   

8. Және бәрі дайын, функция квадрат түбірді есептеді, нәтижені таңдалған ұяшыққа жазады.

   

Сондай -ақ, сан мен ұяшықтың қосындысының квадрат түбірін (осы ұяшыққа салынған деректер) немесе екі ұяшықты шығаруға болады, ол үшін мәндерді «Сан» жолына енгізіңіз. Нөмірді жазып, ұяшыққа бір рет шертіңіз, бағдарлама қосымша белгісін өзі қояды.

Ескертпе бойынша!Бұл функцияны қолмен енгізуге де болады. Формулалар жолағына келесі өрнекті енгізіңіз: «= ROOT (x)», мұнда x - сіз іздейтін сан.

3, 4 және басқа дәрежедегі тамырларды алу.

Excel -де бұл өрнекті шешудің жеке функциясы жоқ. N-ші түбірді алу үшін алдымен оны математикалық тұрғыдан қарастыру қажет.

N -ші түбір санды қарама -қарсы дәрежеге көтеруге тең (1 / n). Яғни, квадрат түбір - ½ (немесе 0,5) дәрежесі.

Мысалға:

• 16 -ның төртінші түбірі - билікке 16;
• кубтың түбірі 64 = 64 1/3 қуатына;

Электрондық кесте бағдарламасында мұны істеудің екі әдісі бар:

1. Функцияны қолдану.
2. «^» Дәреже белгісін қолданып, өрнекті қолмен енгізіңіз.

Функция көмегімен кез келген дәрежедегі түбірді шығару

1. Қажетті ұяшықты таңдап, «Формулалар» қойындысында «Функцияны кірістіру» түймесін басыңыз.

   

2. Санатты, Математикадан немесе Толық алфавиттік тізімнен Дәреже функциясын табыңыз.

   

   

3. «Сан» жолына нөмірді (біздің жағдайда бұл 64 саны) немесе ұяшықтың атын бір рет шерту арқылы енгізіңіз.

   

4. «Дәреже» жолына түбірді көтергіңіз келетін дәрежені теріңіз (1/3).

   

   Маңызды! Бөлу белгісін көрсету үшін стандартты бөлу белгісі «:» емес, «/» белгісін қолдану керек.

5. «ОК» түймесін басыңыз, сонда әрекет нәтижесі бастапқыда таңдалған ұяшықта пайда болады.

   

   

Ескерту!Фотосуреттермен жұмыс істеу туралы егжей -тегжейлі нұсқауларды жоғарыдағы мақаладан қараңыз.

«^» Дәреже белгісін қолдана отырып, кез келген дәрежедегі түбірді шығарыңыз.

Ескерту!Дәрежені бөлшек түрінде де, ондық сан түрінде де жазуға болады. Мысалы, the бөлшегін 0,25 деп жазуға болады. Ондықтар, жүздіктер, мыңдықтар және т.б. бөлу үшін математикада әдеттегідей үтірді қолданыңыз..

Өрнектерді жазу мысалдары