Есептердегі параллелограмм. Параллелограммның, үшбұрыштың, трапецияның ауданын қалай табуға болады Параллелограммның ауданын қалай есептеуге болады

Геометриялық фигураның ауданы- осы фигураның өлшемін көрсететін геометриялық фигураның сандық сипаттамасы (осы фигураның тұйық контурымен шектелген бетінің бөлігі). Ауданның өлшемі ондағы шаршы бірліктердің санымен көрсетіледі.

Үшбұрыш ауданы формулалары

1. Үшбұрыштың ауданы мен биіктігінің формуласы
   Үшбұрыштың ауданыүшбұрыштың қабырғасының ұзындығы мен осы қабырғаға түсірілген биіктік ұзындығының көбейтіндісінің жартысына тең
   
2. Үш қабырғаға және шеңбердің радиусына негізделген үшбұрыштың ауданына арналған формула
   
3. Үш қабырғасы мен сызылған шеңбердің радиусына негізделген үшбұрыштың ауданына арналған формула
   Үшбұрыштың ауданыүшбұрыштың жарты периметрі мен іштей сызылған шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең.
   
мұндағы S – үшбұрыштың ауданы,
- үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары,
- үшбұрыштың биіктігі,
- қабырғалар арасындағы бұрыш және,
- іштей сызылған шеңбердің радиусы,
R – шектелген шеңбердің радиусы,

Шаршы аудан формулалары

1. Бүйірлік ұзындықтағы шаршы алаңының формуласы
   Шаршы алаңыоның қабырғасының ұзындығының квадратына тең.
2. Диагональ ұзындығы бойынша шаршының ауданына арналған формула
   Шаршы алаңыоның диагоналінің ұзындығының квадратының жартысына тең.
   

   S=	1	2
   	2

мұндағы S – шаршының ауданы,
- шаршының қабырғасының ұзындығы,
- шаршының диагоналының ұзындығы.

Тіктөртбұрыш ауданының формуласы

Тіктөртбұрыштың ауданыоның көршілес екі қабырғасының ұзындықтарының көбейтіндісіне тең

мұндағы S – тіктөртбұрыштың ауданы,
- тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары.

Параллелограмм ауданы формулалары

1. Параллелограмның бүйірлік ұзындығы мен биіктігіне негізделген ауданы үшін формула
   Параллелограмның ауданы
2. Параллелограмның екі жағына және олардың арасындағы бұрышқа негізделген ауданның формуласы
   Параллелограмның ауданыоның қабырғаларының ұзындықтарының олардың арасындағы бұрыштың синусына көбейтіндісіне тең.
   

   a b sin α

мұндағы S - параллелограммның ауданы,
- параллелограмның қабырғаларының ұзындықтары,
- параллелограмм биіктігінің ұзындығы,
- параллелограмның қабырғаларының арасындағы бұрыш.

Ромб ауданына арналған формулалар

1. Бүйірлік ұзындығы мен биіктігіне негізделген ромбтың ауданына арналған формула
   Ромбтың ауданыоның бүйірінің ұзындығы мен осы жағына түсірілген биіктік ұзындығының көбейтіндісіне тең.
2. Бүйірлік ұзындығы мен бұрышына негізделген ромб ауданы үшін формула
   Ромбтың ауданыоның қабырғасының ұзындығының квадраты мен ромбтың қабырғалары арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісіне тең.
3. Оның диагональдарының ұзындығына негізделген ромбтың ауданына арналған формула
   Ромбтың ауданыоның диагональдарының ұзындықтарының көбейтіндісінің жартысына тең.
мұндағы S – ромбтың ауданы,
- ромбтың қабырғасының ұзындығы;
- ромб биіктігінің ұзындығы,
- ромбтың қабырғаларының арасындағы бұрыш,
1, 2 - диагональдардың ұзындықтары.

Трапецияның ауданы формулалары

1. Трапецияның Герон формуласы

   Мұндағы S – трапеция ауданы,
   - трапеция табандарының ұзындықтары,
   - трапецияның қабырғаларының ұзындығы;
   

Параллелограммқабырғалары жұппен параллель болатын төртбұрыш.

Бұл суретте қарама-қарсы қабырғалар мен бұрыштар бір-біріне тең. Параллелограммның диагональдары бір нүктеде қиылысады және оны екіге бөледі. Параллелограмның ауданына арналған формулалар қабырғалары, биіктігі және диагональдары арқылы мәнді табуға мүмкіндік береді. Параллелограмм ерекше жағдайларда да ұсынылуы мүмкін. Олар тіктөртбұрыш, шаршы және ромб болып саналады.
Алдымен параллелограмның ауданын биіктігі және оның түсірілген жағы бойынша есептеу мысалын қарастырайық.

Бұл іс классикалық болып саналады және қосымша тергеуді қажет етпейді. Екі жағы арқылы ауданды және олардың арасындағы бұрышты есептеу формуласын қарастырған дұрыс. Дәл осындай әдіс есептеулерде қолданылады. Егер қабырғалар мен олардың арасындағы бұрыш берілсе, онда аудан келесі түрде есептеледі:

Бізге қабырғалары a = 4 см, b = 6 см параллелограмм берілді делік.Олардың арасындағы бұрыш α = 30°. Ауданды табайық:

Диагональдар арқылы параллелограмның ауданы

Диагональдарды қолданатын параллелограмның ауданына арналған формула мәнді жылдам табуға мүмкіндік береді.
Есептеулер үшін сізге диагональдар арасында орналасқан бұрыштың өлшемі қажет.

Параллелограмның ауданын диагональдардың көмегімен есептеудің мысалын қарастырайық. Диагональдары D = 7 см, d = 5 см болатын параллелограмм берілсін.Олардың арасындағы бұрыш α = 30°. Мәліметтерді формулаға ауыстырайық:

Параллелограмның ауданын диагональ арқылы есептеудің мысалы бізге тамаша нәтиже берді - 8,75.

Диагональ арқылы параллелограммның ауданының формуласын біле отырып, сіз көптеген қызықты мәселелерді шеше аласыз. Солардың бірін қарастырайық.

Тапсырма:Ауданы 92 шаршы метр болатын параллелограмм берілген. қараңыз F нүктесі оның BC қабырғасының ортасында орналасқан. Біздің параллелограммда жататын ADFB трапециясының ауданын табайық. Алдымен шарттарға сәйкес алғанымыздың барлығын сызып алайық.
Шешімге көшейік:

Біздің шарттарымызға сәйкес, ah =92, сәйкесінше, трапецияның ауданы тең болады

Параллелограмның ауданын қалай табуға болатындығын білмес бұрын, параллелограммның не екенін және оның биіктігін не деп атайтынын есте сақтау керек. Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары жұп параллель (параллель түзулерде жатқан) төртбұрыш. Қарама-қарсы қабырғадағы еркін нүктеден осы қабырғасы бар түзуге жүргізілген перпендикуляр параллелограмның биіктігі деп аталады.

Шаршы, тіктөртбұрыш және ромб параллелограмның ерекше жағдайлары болып табылады.

Параллелограмның ауданы (S) деп белгіленеді.

Параллелограмның ауданын табу формулалары

S=a*h, мұндағы а – негіз, h – табанға түсірілген биіктік.

S=a*b*sinα, мұндағы a және b – негіз, α – a мен b табанының арасындағы бұрыш.

S =p*r, мұндағы p – жартылай периметр, r – параллелограммға іштей сызылған шеңбердің радиусы.

a және b векторлары арқылы құрылған параллелограммның ауданы берілген векторлардың көбейтіндісінің модуліне тең, атап айтқанда:

№1 мысалды қарастырайық: Қабырғасы 7 см, биіктігі 3 см болатын параллелограмм берілген.Параллелограммның ауданын қалай табуға болады, бізге шешімнің формуласы қажет.

Осылайша S= 7x3. S=21. Жауабы: 21 см 2.

№2 мысалды қарастырайық: Берілген табандар 6 және 7 см, сонымен қатар табандар арасындағы 60 градус бұрыш берілген. Параллелограмның ауданын қалай табуға болады? Шешу үшін формула қолданылады:

Осылайша, алдымен бұрыштың синусын табамыз. Синус 60 = 0,5, сәйкесінше S = 6*7*0,5=21 Жауабы: 21 см 2.

Бұл мысалдар сізге мәселелерді шешуге көмектеседі деп үміттенемін. Есіңізде болсын, ең бастысы - формулаларды білу және мұқият болу

Параллелограмм дегеніміз не? Параллелограмм – қарама-қарсы қабырғалары жұппен параллель болатын төртбұрыш.

1. Параллелограмның ауданы мына формуламен есептеледі:

\[ \LORK S = a \cdot h_(a)\]

Қайда:
a - параллелограммның қабырғасы,
h a – осы жағына тартылған биіктік.

2. Егер параллелограмның көршілес екі қабырғасының ұзындықтары және олардың арасындағы бұрыш белгілі болса, онда параллелограммның ауданы мына формула бойынша есептеледі:

\[ \ULGE S = a \cdot b \cdot sin(\альфа) \]

3. Егер параллелограмның диагональдары берілсе және олардың арасындағы бұрыш белгілі болса, онда параллелограммның ауданы мына формула бойынша есептеледі:

\[ \ҮЛКЕН S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\альфа) \]

Параллелограммның қасиеттері

Параллелограммның қарама-қарсы қабырғалары тең: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

Параллелограммда қарама-қарсы бұрыштар тең: \(\ бұрыш A = \ бұрыш C \), \ (\ бұрыш B = \ бұрыш D \)

Параллелограмның қиылысу нүктесіндегі диагональдары екіге бөлінеді \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Параллелограммның диагоналы оны екі тең үшбұрышқа бөледі.

Параллелограмның бір қабырғасына іргелес бұрыштарының қосындысы 180 o:

\(\ бұрыш A + \ бұрыш B = 180^(o)\), \(\ бұрыш B + \бұрыш C = 180^(o)\)

\(\бұрыш C + \бұрыш D = 180^(o)\), \(\бұрыш D + \бұрыш A = 180^(o)\)

Параллелограмның диагональдары мен қабырғалары келесі қатынас арқылы байланысқан:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Параллелограммда биіктіктер арасындағы бұрыш оның сүйір бұрышына тең: \(\бұрыш K B H =\бұрыш A\) .

Параллелограмның бір қабырғасына іргелес жатқан бұрыштардың биссектрисалары өзара перпендикуляр.

Параллелограмның қарама-қарсы екі бұрышының биссектрисалары параллель.

Параллелограммның белгілері

Төртбұрыш параллелограмм болады, егер:

\(AB = CD\) және \(AB || CD\)

\(AB = CD\) және \(BC = AD\)

\(AO = OC\) және \(BO = OD\)

\(\ бұрыш A = \ бұрыш C \) және \ (\ B бұрыш = \ D бұрышы \)

Javascript браузеріңізде өшірілген.
Есептеулерді орындау үшін ActiveX басқару элементтерін қосу керек!

Евклид геометриясында нүкте мен түзу жазықтықтар теориясының негізгі элементтері болғаны сияқты, параллелограм да дөңес төртбұрыштардың негізгі фигураларының бірі болып табылады. Одан шардың жіптері сияқты «тіктөртбұрыш», «шаршы», «ромб» және басқа геометриялық шамалар ұғымдары шығады.

Байланыста

Параллелограммның анықтамасы

дөңес төртбұрыш,әрбір жұбы параллель болатын кесінділерден тұратын геометрияда параллелограмм деп аталады.

Классикалық параллелограмның қалай көрінетінін ABCD төртбұрышы бейнелейді. Қабырғалары табандар (AB, BC, CD және AD), кез келген төбеден осы төбеге қарама-қарсы жаққа жүргізілген перпендикуляр биіктік (BE және BF), AC және BD түзулері диагональдар деп аталады.

Назар аударыңыз!Шаршы, ромб және тіктөртбұрыш параллелограмның ерекше жағдайлары болып табылады.

Қабырғалары мен бұрыштары: қатынас ерекшеліктері

Негізгі қасиеттер, жалпы алғанда, белгілеудің өзі алдын ала белгіленеді, олар теорема арқылы дәлелденеді. Бұл сипаттамалар келесідей:

1. Қарама-қарсы жақтары жұпта бірдей.
2. Бір-біріне қарама-қарсы бұрыштар жұпта тең.

Дәлелдеу: ABCD төртбұрышын АС түзуіне бөлу арқылы алынатын ∆ABC және ∆ADC қарастырайық. ∠BCA=∠CAD және ∠BAC=∠ACD, өйткені АС олар үшін ортақ (тиісінше BC||AD және AB||CD үшін тік бұрыштар). Бұдан шығатыны: ∆ABC = ∆ADC (үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі).

∆ABC-тегі АВ және ВС кесінділері ∆ADC-тегі CD және AD түзулеріне жұппен сәйкес келеді, бұл олардың бірдей екенін білдіреді: AB = CD, BC = AD. Осылайша, ∠B ∠D сәйкес келеді және олар тең. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD болғандықтан, олар да жұп бойынша бірдей, онда ∠A = ∠C. Меншік дәлелденді.

Фигураның диагональдарының сипаттамасы

Негізгі ерекшелігіПараллелограмның осы түзулерінің: қиылысу нүктесі оларды екіге бөледі.

Дәлелдеу: ABCD фигурасының АС және BD диагональдарының қиылысу нүктесі болсын. Олар екі пропорционал үшбұрыш құрайды - ∆ABE және ∆CDE.

AB=CD, өйткені олар қарама-қарсы. Сызықтар мен секанттарға сәйкес ∠ABE = ∠CDE және ∠BAE = ∠DCE.

Екінші теңдік критерийі бойынша ∆ABE = ∆CDE. Бұл ∆ABE және ∆CDE элементтері: AE = CE, BE = DE және сонымен бірге олар AC мен BD пропорционалды бөліктері екенін білдіреді. Меншік дәлелденді.

Көршілес бұрыштардың ерекшеліктері

Көрші қабырғалардың бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең, өйткені олар параллель түзулер мен көлденең сызықтардың бір жағында жатады. ABCD төртбұрышы үшін:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

биссектрисаның қасиеттері:

1. , бір жағына түсірілген, перпендикуляр;
2. қарама-қарсы төбелердің параллель биссектрисалары болады;
3. биссектрисасын салу арқылы алынған үшбұрыш тең ​​қабырғалы болады.

Теореманы пайдаланып параллелограмның сипаттамалық белгілерін анықтау

Бұл фигураның сипаттамалары оның келесі теоремасынан туындайды: төртбұрыш параллелограмм болып саналадыоның диагональдары қиылысатын жағдайда және бұл нүкте оларды тең кесінділерге бөледі.

Дәлелдеу: ABCD төртбұрышының AC және BD түзулері i.e. ∠AED = ∠BEC, және AE+CE=AC BE+DE=BD болғандықтан, ∆AED = ∆BEC (үшбұрыштар теңдігінің бірінші шарты бойынша). Яғни, ∠EAD = ∠ECB. Олар сонымен қатар AD және BC сызықтары үшін АС секантының ішкі көлденең бұрыштары болып табылады. Сонымен, параллелизмнің анықтамасы бойынша – AD || б.з.д. BC және CD сызықтарының ұқсас қасиеті де шығарылады. Теорема дәлелденді.

Фигураның ауданын есептеу

Бұл фигураның ауданы бірнеше әдіс арқылы табылдықарапайымдардың бірі: ол тартылатын биіктік пен негізді көбейту.

Дәлелдеу: В және С төбелерінен BE және CF перпендикулярларын салыңыз. ∆ABE және ∆DCF тең, өйткені AB = CD және BE = CF. ABCD өлшемі бойынша EBCF тіктөртбұрышына тең, өйткені олар сәйкес сандардан тұрады: S ABE және S EBCD, сондай-ақ S DCF және S EBCD. Бұдан шығатыны, бұл геометриялық фигураның ауданы тіктөртбұрыштың ауданымен бірдей:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Параллелограмм ауданының жалпы формуласын анықтау үшін биіктікті былай деп белгілейік hb, және жағы - б. Сәйкесінше:

Ауданды табудың басқа жолдары

Аудандық есептеулер параллелограммның қабырғалары мен бұрышы арқылы, олар қалыптастырады, екінші белгілі әдіс болып табылады.

,

Spr-ma - аймақ;

a және b - оның қабырғалары

α – a және b кесінділерінің арасындағы бұрыш.

Бұл әдіс іс жүзінде біріншіге негізделген, бірақ ол белгісіз жағдайда. әрқашан параметрлері тригонометриялық сәйкестіктер арқылы табылған тікбұрышты үшбұрышты кесіп тастайды, яғни. Қатысты түрлендіру арқылы аламыз. Бірінші әдістің теңдеуінде биіктікті осы көбейтіндімен ауыстырамыз және осы формуланың жарамдылығының дәлелін аламыз.

Параллелограммның диагональдары мен бұрышы арқылы,олар қиылысқан кезде жасайды, сіз ауданды да таба аласыз.

Дәлелдеу: AC және BD төрт үшбұрышты құру үшін қиылысады: ABE, BEC, CDE және AED. Олардың қосындысы осы төртбұрыштың ауданына тең.

Олардың әрқайсысының ауданын ∆ өрнегі арқылы табуға болады, мұндағы a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. болғандықтан, есептеулер бір синус мәнін пайдаланады. Яғни . AE+CE=AC= d 1 және BE+DE=BD= d 2 болғандықтан, аудан формуласы келесіге азайтылады:

.

Векторлық алгебрада қолданылуы

Осы төртбұрыштың құрамдас бөліктерінің ерекшеліктері векторлық алгебрада, атап айтқанда екі векторды қосуда қолданыс тапты. Параллелограмм ережесі бұл туралы айтады векторлары берілген болсаЖәнеЖоқколлинеар болса, онда олардың қосындысы осы фигураның диагоналіне тең болады, олардың негіздері осы векторларға сәйкес келеді.

Дәлелдеу: ерікті түрде таңдалған бастаудан - яғни. - векторларды салу және . Әрі қарай, OA және OB сегменттері қабырғалар болып табылатын OASV параллелограммын саламыз. Осылайша, ОЖ векторда немесе қосындыда жатыр.

Параллелограммның параметрлерін есептеу формулалары

Сәйкестендірулер келесі шарттарда беріледі:

1. a және b, α - қабырғалары және олардың арасындағы бұрыш;
2. d 1 және d 2, γ - диагональдар және олардың қиылысу нүктесінде;
3. h a және h b - a және b жақтарына түсірілген биіктіктер;

Параметр	Формула
Жақтарды табу
диагональдардың бойымен және олардың арасындағы бұрыштың косинусы
диагональдар мен қабырғалар бойымен
биіктік пен қарама-қарсы шың арқылы
Диагональдардың ұзындығын табу
жақтарында және олардың арасындағы шыңның өлшемі
бүйірлері мен диагональдарының бірі бойымен	 Қорытынды Параллелограмм геометрияның негізгі фигураларының бірі ретінде өмірде, мысалы, құрылыста учаскенің ауданын немесе басқа өлшемдерді есептеу кезінде қолданылады. Сондықтан оның әртүрлі параметрлерін есептеудің ерекше белгілері мен әдістері туралы білім өмірдің кез келген уақытында пайдалы болуы мүмкін.