Орташа арифметикалық шаманы қалай анықтауға болады. Сандардың арифметикалық ортасы дегеніміз не. Орташа арифметикалық шама оның мәнін толық ашатын және есептеуді жеңілдететін бірқатар қасиеттерге ие.

Орташа шаманың ең көп тараған түрі – орташа арифметикалық шама.

қарапайым арифметикалық орта

Қарапайым арифметикалық орта – бұл деректердегі берілген атрибуттың жалпы көлемі осы жиынтыққа кіретін барлық бірліктер арасында бірдей бөлінетінін анықтау үшін орташа термин. Осылайша, бір жұмысшыға шаққандағы орташа жылдық өнім - бұл өнімнің бүкіл көлемі ұйымның барлық қызметкерлері арасында бірдей бөлінген жағдайда әрбір жұмысшыға түсетін өнім көлемінің мәні. Орташа арифметикалық қарапайым мән мына формула бойынша есептеледі:

қарапайым арифметикалық орта— Белгінің жеке мәндерінің қосындысының жиынтықтағы белгілердің санына қатынасына тең

1-мысал. 6 жұмысшыдан тұратын бригада айына 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 мың рубль алады.

Орташа жалақыны табыңыз
Шешім: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 мың рубль.

Арифметикалық орташа

Егер деректер жиынының көлемі үлкен болса және таралу қатарын көрсетсе, онда өлшенген арифметикалық орташа мән есептеледі. Өнім бірлігінің орташа өлшенген бағасы осылай анықталады: өнімнің жалпы құны (оның саны мен өнім бірлігінің бағасының өнімдерінің қосындысы) өнімнің жалпы көлеміне бөлінеді.

Біз мұны келесі формула түрінде көрсетеміз:

Салмақталған арифметикалық орта- (атрибут мәнінің көбейтіндісінің осы атрибуттың қайталану жиілігіне) қатынасына (барлық атрибуттар жиіліктерінің қосындысына) тең.Ол зерттелетін жиынтық нұсқалары тең емес болған кезде қолданылады. рет саны.

2-мысал. Цех жұмысшыларының айына орташа жалақысын табыңыз

Орташа жалақыны жалпы жалақыны жұмысшылардың жалпы санына бөлу арқылы алуға болады:

Жауап: 3,35 мың рубль.

Интервалдық қатардың арифметикалық ортасы

Интервалдық вариациялық қатардың орташа арифметикалық мәнін есептеген кезде әрбір аралық үшін орташа мән алдымен жоғарғы және төменгі шектердің жарты қосындысы, содан кейін бүкіл қатардың орташа мәні ретінде анықталады. Ашық интервалдар кезінде төменгі немесе жоғарғы интервалдың мәні оларға жақын аралықтардың мәнімен анықталады.

Интервалдық қатарлардан есептелген орташа мәндер шамамен алынған.

3-мысал. Кешкі бөлімдегі студенттердің орташа жасын анықтаңыз.

Интервалдық қатарлардан есептелген орташа мәндер шамамен алынған. Олардың жуықтау дәрежесі интервал ішіндегі популяция бірліктерінің нақты таралуының біркелкі жақындау дәрежесіне байланысты.

Орташа мәндерді есептеу кезінде салмақ ретінде абсолютті ғана емес, салыстырмалы мәндерді де (жиіліктік) пайдалануға болады:

Орташа арифметикалық шама оның мәнін толық ашатын және есептеуді жеңілдететін бірқатар қасиеттерге ие:

1. Орташа және жиіліктердің қосындысының көбейтіндісі әрқашан нұсқа мен жиіліктердің көбейтінділерінің қосындысына тең, яғни.

2. Айнымалы мәндердің қосындысының орташа арифметикалық мәні осы шамалардың арифметикалық орталарының қосындысына тең:

3. Атрибуттың жеке мәндерінің орташадан ауытқуының алгебралық қосындысы нөлге тең.

Арифметикалық және геометриялық орта тақырыбы 6-7 сыныптардың математика бағдарламасына енгізілген. Абзацты түсіну оңай болғандықтан, ол тез өтеді, ал оқу жылының соңына қарай оқушылар оны ұмытып кетеді. Бірақ емтиханды тапсыру үшін, сондай-ақ халықаралық SAT емтихандарын тапсыру үшін негізгі статистика бойынша білім қажет. Ал күнделікті өмірде дамыған аналитикалық ойлау ешқашан ауырмайды.

Сандардың арифметикалық және геометриялық ортасын қалай есептейді

Сандар қатары бар делік: 11, 4 және 3. Орташа арифметикалық мән барлық сандардың қосындысы берілген сандар санына бөлінген. Яғни, 11, 4, 3 сандары жағдайында жауап 6 болады. 6 қалай алынады?

Шешуі: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Бөлгіште орташа мәні табылатын сандар санына тең сан болуы керек. Қосынды 3-ке бөлінеді, өйткені үш мүшесі бар.

Енді геометриялық ортамен айналысуымыз керек. Сандар қатары бар делік: 4, 2 және 8.

Орташа геометриялық шама – берілген сандар санына тең дәрежелі түбірдің астында орналасқан барлық берілген сандардың көбейтіндісі.Яғни 4, 2 және 8 сандары жағдайында жауап 4. Бұл осылай болды. :

Шешуі: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Екі нұсқада да толық жауаптар алынды, өйткені мысал ретінде арнайы сандар алынды. Бұл әрдайым бола бермейді. Көп жағдайда жауап дөңгелектенеді немесе түбірде қалдырылады. Мысалы, 11, 7 және 20 сандары үшін арифметикалық орта ≈ 12,67, ал геометриялық орта ∛1540. Ал 6 және 5 сандары үшін жауаптар сәйкесінше 5,5 және √30 болады.

Орташа арифметикалық шама геометриялық орта шамаға тең болуы мүмкін бе?

Әрине болады. Бірақ екі жағдайда ғана. Тек бір немесе нөлден тұратын сандар қатары болса. Жауап олардың санына байланысты емес екені де назар аударарлық.

Бірліктер арқылы дәлелдеу: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (орта арифметикалық).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (геометриялық орта).

Нөлдермен дәлелдеу: (0 + 0) / 2=0 (орта арифметикалық).

√(0 × 0) = 0 (геометриялық орта).

Басқа нұсқа жоқ және болуы да мүмкін емес.

Түрлі математикалық ғылымдарда ғана емес, күнделікті өмірде де бір нәрсенің орташа мәнін есептеу қажет болатын жағдайлар болады. Мысалы, нарықтағы қиярдың орташа құны, баланың орташа бойы, қонақүйде тұрудың орташа құны және т.б.

Мұның бәрі көптен бері ойластырылған. ғылыми атауы- «орташа арифметикалық». Бұл көрсеткіш нәтижелерді қорытындылау үшін статистикада белсенді қолданылады. Мысалы, бала туудың орташа жасы, ерлер мен әйелдер арасындағы өлімнің орташа жасы, аймақтар бойынша және жалпы Ресей бойынша орташа жалақы.

Мысалы, зейнеткерлік жасты ұлғайту туралы заң қабылдағанда билік еліміздегі өлімнің орташа жасынан жаңа ғана көшкен.

Бұл көрсеткіштің не екенін анықтайық.

Арифметикалық ортасы барлық қолжетімді мәндердің орташа мәні. Оны есептеу үшін операцияға қатысқан барлық сандарды қорытындылау керек, содан кейін олардың жалпы санына бөлу керек.

Мысалы, 2017 жылы әр түрлі жастағы балалар толық орта білім алды: 16, 17 және 18 жас. Орташа арифметикалық мән барлық жастың үшке бөлінген қосындысы ретінде есептеледі. Барлығы 11 сыныпты бітірген баланың орташа жасы 17 жасты құрады.

Бұл мысал үш баланың мысалын қолданып қарапайым есептеуді көрсетеді. Шындығында, сіз қол жетімді барлық деректерді жинақтауыңыз керек. Яғни, егер біз бес бала туралы айтатын болсақ, онда олардың жасын қорытындылаймыз, мысалы, 17 + 17 + 18 + 16 + 17 және нәтижені беске бөлеміз.

Сол сияқты кез келген операция үшін кез келген арифметикалық орта есептеледі. Яғни, мысалы, 2017 жылы бірінші баласын дүниеге әкелген аналардың орташа жасын есептеу қажет болса, онда алдымен барлық жас көрсеткіштерін қорытындылау керек, содан кейін ата-аналардың жалпы санына бөлу керек.

Яғни, жалпы формуланы келесідей көрсетуге болады:

Арифметикалық орта = ( барлық қол жетімді мәндердің қосындысы)/операцияға қатысатын мәндердің жалпы саны.

Осылайша, есептеу өте қарапайым, тіпті мектеп оқушылары үшін де. Қиындықтар операцияға қатысатын респонденттердің көптігінен ғана туындауы мүмкін.

Бұл орташа екенін түсіну маңызды жай ғана сан емес. Оның көп жылдар бойы нақты әлемде тәжірибеде қолданылған ерекше физикалық мағынасы бар.

Орташа арифметикалық мәнді тек қағазда, дәптерде немесе компьютерлік бағдарламаларда қолдану дұрыс емес. Әйтпесе, сіз көптеген мағынасыз және қарапайым емес құндылықтарды ала аласыз.

Шындығында, бірнеше ортасы бар. Дегенмен, әр жағдайда олардың біреуі ғана дұрыс. Операциялардың әрқайсысында сізге қажет орташа мәнді ғана пайдалану керек, әйтпесе үлкен қателік жіберіледі.

Практикада орташа шамалардың қандай түрлері қолданылады? Ең ортақорташа мәндер:

1. Орташа арифметикалық;
2. Геометриялық орта;
3. Орташа гармоникалық.

Бұл құндылықтар ең жиі қолданыладыкүнделікті өмірде де, ғылымда да. Көбінесе, әрине, бірінші көрсеткіш есептеледі.

Көбінесе бұл көрсеткіш нақты жағдайларда қолданылады және дұрыс есептелмейді. Неліктен бұл болады? Шын мәнінде, арифметикалық ортаның негізі үлкен сандар заңын қолдану болып табылады. Сонымен қатар, болжам да қолданылады, оған сәйкес бастапқы мән қалыпты түрде анықталады.

Бұл мәндер саны ұсынылған айналасында, бар дегенді білдіреді ең жиі кездесетін ауытқукез келген жағына. Яғни. Үлкен немесе кішкентай. Мысалы, 8,8,9,8,9,8,8 сандар қатарында сегіздік көп болғандықтан, ауытқу төменге қарай болады. Ал қатарда: 17.17, 20,20,20,20,20, ауытқу, керісінше, жоғары болады, өйткені бұл жағдайда әлі де «жиырмалық» бар.

Дегенмен, көп жағдайда мұндай ауытқулар аз және әдетте ықтималдығы бойынша тең.Мәселенің мәні мынада: бизнесте, нақты өмірдегідей, практикада таралу қалыптылығы өте сирек кездеседі.

Яғни, мысалы, бір клиентке қызмет көрсету уақыты, клиент осы қызметті алуы күтілетін уақыт, олар кейіннен келісім-шарт жасасатын сома, нарықтағы үлесі, кірістің өсуі және т.б. біркелкі және қалыпты таралмаған. Кейбір жағдайларда оларды орташа арифметикалық шаманың көмегімен орташалау қажет емес. Өйткені бұл қате болар еді.

Тәжірибеде таралудың қалыптылығын жиі қатысуымен табуға болады мәндердің үлкен саныжүздеген мыңнан мыңға дейін. Мысалы, ірі компанияның техникалық қолдау қызметіне қоңыраулар саны қағаз жүзінде де, іс жүзінде де қалыпты түрде таратылуы мүмкін.

Дегенмен, тек саны жеткіліксіз болады, өйткені әрбір нақты жағдайда сіз бақылауыңыз керек және дұрыс бөлу. Тек осылай ғана ақыр соңында орташа арифметикалық мәннің мәнін дұрыс есептеуге болады.

Орташа арифметикалық шаманы қалай табуға болады деген сұрақ тек студенттер арасында ғана емес, әр түрлі жастағы адамдарда да туындайды. Кейде біз шұғыл түрде орташа арифметикалық мәнді табуымыз керек, бірақ оны қалай жасау керектігін еске түсіре алмаймыз. Сосын математикадан мектеп оқулықтарын ақтарып, өзімізге қажетті ақпаратты табуға тырысамыз. Бірақ бұл өте қарапайым!

Бірнеше санның арифметикалық ортасын табу үшін оларды біріктіру керек. Осыдан кейін алынған соманы терминдер санына бөлу керек.

Түсінікті болу үшін 78, 115, 121 және 224 мысалында сандардың арифметикалық ортасын қалай табуға болатынын бірге анықтап көрейік. Алдымен мына сандарды қосу керек: 78+115+121+224=538. Енді алынған сома, яғни. 538-ді терминдер санына бөлу керек: 538:4=134,5. Сонымен, бұл сандардың арифметикалық ортасы 134,5-ке тең.

Бірнеше сандардың арифметикалық ортасы: Excel бағдарламасымен табу

Excel бағдарламасында орташа арифметикалық мәнді табу өте оңай. Бұл бағдарлама ұзақ есептеулерді және сәйкесінше қателерді болдырмауға мүмкіндік береді. Бірнеше санның арифметикалық ортасын табу үшін оларды бір бағанға жазыңыз. Содан кейін осы бағанды ​​таңдап, қосынды (?) белгішесін және Жылдам кіру құралдар тақтасынан орташа қойындысын таңдаңыз. Бұл сандардың арифметикалық ортасы бөлектелген бағанның төменгі жағында пайда болады.

Арифметикалық орта – берілген деректер массивінің орташа мәнін көрсететін статистикалық көрсеткіш. Мұндай көрсеткіш бөлшек ретінде есептеледі, оның алымы массивтің барлық мәндерінің қосындысы, ал бөлгіші олардың саны болып табылады. Орташа арифметикалық шама – шаруашылық есептерде қолданылатын маңызды коэффициент.

Коэффиценттің мәні

Орташа арифметикалық шама мәліметтерді салыстыруға және қолайлы мәнді есептеуге арналған элементар көрсеткіш болып табылады. Мысалы, белгілі бір өндірушінің сыра консервілері әртүрлі дүкендерде сатылады. Бірақ бір дүкенде 67 рубль, екіншісінде - 70 рубль, үшіншісінде - 65 рубль, ал соңғысында - 62 рубль. Бағалардың өте үлкен диапазоны бар, сондықтан сатып алушыны банканың орташа құны қызықтырады, сондықтан өнімді сатып алған кезде ол өз шығындарын салыстыра алады. Қалада бір банка сыраның орташа бағасы бар:

Орташа баға = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 рубль.

Орташа бағаны біле отырып, тауарды қай жерде сатып алу тиімді екенін және қай жерде артық төлеуге тура келетінін анықтау оңай.

Орташа арифметикалық шама біртекті деректер жиыны талданатын жағдайларда статистикалық есептеулерде үнемі қолданылады. Жоғарыда келтірілген мысалда бұл бір маркалы сыра банкасының бағасы. Дегенмен, біз әртүрлі өндірушілердің сыра бағасын немесе сыра мен лимонад бағасын салыстыра алмаймыз, өйткені бұл жағдайда құндылықтардың таралуы үлкен болады, орташа баға бұлыңғыр және сенімсіз болады және есептеулердің өзі «Ауруханадағы орташа температура» карикатурасына бұрмаланған болады. Гетерогенді деректер массивтерін есептеу үшін әрбір мән өзінің салмақтық коэффициентін алған кезде орташа арифметикалық өлшенген мән пайдаланылады.

Орташа арифметикалық шаманы есептеу

Есептеу формуласы өте қарапайым:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

мұндағы an – шаманың мәні, n – мәндердің жалпы саны.

Бұл көрсеткішті не үшін пайдалануға болады? Оның бірінші және айқын қолданылуы статистикада. Әрбір дерлік статистикалық зерттеу арифметикалық ортаны пайдаланады. Бұл Ресейдегі некенің орташа жасы, студенттің пән бойынша орташа бағасы немесе күнделікті азық-түлікке жұмсалатын орташа шығын болуы мүмкін. Жоғарыда айтылғандай, салмақтарды есепке алмай, орташа мәндерді есептеу оғаш немесе абсурдтық мәндерді бере алады.

Мысалы, Ресей Федерациясының Президенті статистика бойынша ресейліктердің орташа жалақысы 27 000 рубльді құрайтыны туралы мәлімдеме жасады. Ресейдегі адамдардың көпшілігі үшін жалақының бұл деңгейі абсурд болып көрінді. Есепте бір жағынан олигархтардың, өнеркәсіптік кәсіпорын басшыларының, ірі банкирлердің табысы, екінші жағынан мұғалімдердің, тазалықшылардың, сатушылардың жалақысы ескерілсе, таңқаларлық емес. Тіпті бір мамандық бойынша орташа жалақы, мысалы, бухгалтер, Мәскеуде, Костромада және Екатеринбургте айтарлықтай айырмашылықтар болады.

Гетерогенді деректер үшін орташа мәндерді қалай есептеу керек

Жалақы төлеу жағдайында әрбір мәннің салмағын ескеру маңызды. Бұл олигархтар мен банкирлердің жалақысына, мысалы, 0,00001, ал сатушылардың жалақысына 0,12 салмақ берілетінін білдіреді. Бұл төбедегі сандар, бірақ олар ресейлік қоғамда олигархтар мен сатушылардың кең таралғанын шамамен көрсетеді.

Осылайша, гетерогенді деректер массивіндегі орташа мәндерді немесе орташа мәнді есептеу үшін орташа арифметикалық өлшенгенді пайдалану қажет. Әйтпесе, сіз Ресейде 27 000 рубль деңгейінде орташа жалақы аласыз. Математикадан алған орташа баллыңызды немесе таңдалған хоккейшінің соққан голдарының орташа санын білгіңіз келсе, орташа арифметикалық калькулятор сізге сәйкес келеді.

Біздің бағдарлама – орташа арифметикалық мәнді есептеуге арналған қарапайым және ыңғайлы калькулятор. Есептеулерді орындау үшін тек параметр мәндерін енгізу қажет.

Бір-екі мысалды қарастырайық

Орташа бағаны есептеу

Көптеген мұғалімдер пән бойынша жылдық бағаны анықтау үшін орташа арифметикалық әдісті пайдаланады. Бала математикадан келесі тоқсандық бағаларды алады деп елестетіп көрейік: 3, 3, 5, 4. Мұғалім оған жылдық қандай баға қояды? Калькуляторды қолданып, орташа арифметикалық мәнді есептейік. Алдымен өрістердің сәйкес санын таңдап, пайда болған ұяшықтарға баға мәндерін енгізіңіз:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Мұғалім бағаны оқушының пайдасына дөңгелектейді, ал студент бір жыл үшін толық төрттік алады.

Жеген тәттілерді есептеу

Орташа арифметикалық мәннің кейбір абсурдтылығын көрсетейік. Маша мен Вованың 10 тәттісі болғанын елестетіп көріңіз. Маша 8 кәмпит жеді, ал Вова небәрі 2. Әр бала орта есеппен неше кәмпит жеді? Калькуляторды пайдалана отырып, орташа есеппен балалардың әрқайсысы 5 тәтті жегенін есептеу оңай, бұл мүлдем шындыққа жанаспайды және ақылға қонымды. Бұл мысал орташа арифметикалық мән мағыналы деректер жиындары үшін маңызды екенін көрсетеді.

Қорытынды

Орташа арифметикалық шаманы есептеу көптеген ғылыми салаларда кеңінен қолданылады. Бұл көрсеткіш статистикалық есептеулерде ғана емес, физикада, механикада, экономикада, медицинада немесе қаржыда да танымал. Біздің калькуляторларды орташа арифметикалық есептерді шешуге көмекші ретінде пайдаланыңыз.