Допты өлшеңіз. Перельман шарларының көп өлшемді музыкасы. Басқа көздерден алынған кейбір пайдалы қолданбалар
Біраз уақыт бұрын arXiv.org алдын ала басып шығару сайтында бірден екі мақала пайда болды, олар 8 және 24 өлшемді кеңістіктердегі шарларды ең жақын орау мәселесіне арналған. Осы уақытқа дейін ұқсас нәтижелер тек 1, 2 өлшемдері үшін белгілі болды, және 3 (мұнда бәрі қарапайым емес, бірақ төменде толығырақ). Серпіліс – біз нағыз революциялық серпіліс туралы айтып отырмыз – қазір Германияда жұмыс істеп жатқан украиндық математик Марина Вязовскаяның еңбегінің арқасында мүмкін болды. Бұл жетістіктің тарихын он әңгімеде баяндаймыз.
1.
16 ғасырда Англияда атақты сарай қайраткері және ақын сэр Уолтер Роли өмір сүрді. Ол, ең алдымен, ұлы мәртебелі аяғын кірлетпес үшін, бірде патшайымның алдына өзінің қымбат плащын шалшыққа лақтырып тастағаны үшін танымал болды. Бірақ бұл бізді қызықтыратындықтан емес.
Сэр Уолтер Ролидің құмарлығы болды - ол испандық кемелерді тонап, Эльдорадоны іздеуді ұнататын. Содан кейін бір күні Роли кемеде бір топ зеңбірек оқтарын көрді. Мен ойладым (бұл британдық сарай қызметкерлерімен болды), олар үйіндіде қанша өзек бар екенін санамай-ақ анықтасаңыз жақсы болар еді дейді. Мұндай білімнің пайдасы, әсіресе испан флотын тонаудан ләззат алсаңыз, анық.
Уолтер Роли
Ролидің өзі математикадан онша жақсы емес еді, сондықтан ол бұл есепті көмекшісі Томас Харриотқа берді. Ол, өз кезегінде, математикада күшті болды (Харриот, айтпақшы, «>» және « белгілерін ойлап тапқан.<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.
Түсініктеме алу үшін ол өз заманының атақты математигі Иоганнес Кеплерге жүгінді - сол кездегі Тихо Брахенің көмекшісі. Кеплер жауап бермеді, бірақ ол мәселені есіне алды. 1611 жылы ол шағын брошюраны басып шығарды, онда ол төрт сұрақты талқылады: неге бал ұялары аралардағы алтыбұрышты болады, неліктен гүл жапырақшалары көбінесе бестікке біріктіріледі? Кеплер тек айтқан боларқызғылт - шамамен. N+1), анар дәндері неге дудекаэдрлерге ұқсайды (бірқалыпты емес болса да) және неге, сайып келгенде, қар түйіршіктері алтыбұрышқа ұқсайды.
Йоханнес Кеплер
Памфлет сыйлық ретінде берілген, сондықтан ол нағыз ғылыми шығармадан гөрі философиялық және қызықты оқу болды. Кеплер бірінші сұрақтың жауабын екі шартпен байланыстырды - жасушалар арасында бос орындар болмауы керек, ал жасуша аймақтарының қосындысы минималды болуы керек. Автор екінші сұрақты Фибоначчи сандарымен байланыстырды және снежинкалар туралы әңгіме Кеплерді атомдық симметриялар туралы ойлауға итермеледі.
Үшінші сұрақ гипотезаны тудырды алтыбұрышты тығыз орау(бұл төмендегі суретте) ең тығыз (бұл математикалық мағынада да төмен дегенді білдіреді). Әрине, Кеплер Гарриотқа сілтеме жасауды қажет деп санамады. Сондықтан бұл тұжырым Кеплер гипотезасы деп аталады. Стиглер заңы – яғни Арнольд принципі – әрекетте.
Иә, осы брошюра жарияланғаннан кейін 7 жылдан кейін сэр Уолтер Ролидің басы кесілді. Дегенмен, бұл тығыз орау мәселесіне ешқандай қатысы жоқ.
2.
Заманауи стандарттар бойынша Гарриот шешкен тапсырма қиын емес еді. Сондықтан біз оны толығырақ талдаймыз. Сонымен қатар, біз алтыбұрышты тығыз орау қалай жұмыс істейтінін жақсы түсінеміз.
Сонымен, басты шарт - питтинг кезінде өзектер шоғыры домалап кетпеуі. Сонымен, өзектерді палубаға бір қатарға қойыңыз. Келесі қатарда біз өзектерді шарлар бірінші жолдың сфераларының арасындағы ұяшықтарға салатын етіп қоямыз. Егер бірінші қатарда n шар болса, екіншісінде n - 1 болады (өйткені шарлардың өздеріне қарағанда шарлар арасында бос орындар бар). Келесі қатарда бір ядро кем болады. Осылайша, біз осындай үшбұрыш алғанша (егер сіз макетті жоғарыдан қарасаңыз):
Арифметикалық прогрессияның не екенін есіне түсіретіндер бірінші қатарда n шар болса, мұндай үшбұрышта n (n + 1)/2 шар бар екенін оңай есептейді. Жоғарыдан қарағанда, шарлар арасында ыңғайлы ойықтар бар. Онда біз шарлардың екінші қабатын қосамыз. Бұл бірінші сияқты ұйымдастырылған үшбұрышқа әкеледі, тек жағында бір доп аз болады. Сонымен біз үйіндіге тағы n(n - 1)/2 шарды саламыз.
Біз бір шардың қабатын алғанша қабаттарды салуды жалғастырамыз. Біз ядролардың үшбұрышты пирамидасын алдық. Оның қанша ядросы бар екенін білу үшін әр қабаттағы өзектер санын қосу керек. Егер бірінші қабат n жағымен болса, онда біз n қабат аламыз, олар барлығы n(n + 1)(n + 2)/6 береді. Ізденімпаз оқырман бұл дәл С 3 n + 2 биномдық коэффициенті екенін байқайды. Бұл комбинаторлық сәйкестік себепсіз емес, бірақ біз оны тереңдете бермейміз.
Айтпақшы, бұл тапсырмадан басқа, Гарриот текше үшін соңғысының пішінін алатын болсақ, жеткілікті үлкен контейнерде ядролардың шамамен қандай үлесін алатынын анықтай алды. Пропорция π/(3√2) ≈ 0,74048 болып шықты.
3.
Сөз нені білдіреді ең тығызпроблемалық мәлімдемеде? Роли, Гарриот, тіпті Кеплердің өзі де бұған нақты жауап бермеді. Қандай да бір ақылға қонымды мағынада ең тығыз дегенді білдіреді. Дегенмен, бұл тұжырым математикаға жарамайды. Оны нақтылау қажет.
Алдымен төмендегі өлшемге түсіп, ұшақта бәрі қалай жұмыс істейтінін көрейік. Екі өлшемді жағдай үшін мәселе келесіге айналады: ішкі бөлікте қиылыспайтын (бірақ, мүмкін, жанасу - яғни шекарада ортақ нүкте бар) шеңберлердің шексіз жиынтығы берілсін. ұшақ. Шаршы сызайық. Шаршы ішіне түскен шеңбер бөліктерінің аудандарының қосындысын есептейміз. Осы қосындының шаршының ауданына қатынасын алайық, және біз қатынастың өзгеруіне қарап, шаршының жағын үлкейтеміз.
Біз функцияны аламыз f(a), қайда а- шаршының жағы. Егер бізде сәттілік болса, онда бұл функция өсумен бірге аргумент кейбір санға асимптотикалық түрде жақындайды. Бұл сан берілген қаптаманың тығыздығы деп аталады. Функцияның өзі белгілі бір уақытта тығыздықтан үлкен мән бере алатыны маңызды. Шынында да, егер шаршы кішкентай болса, онда ол толығымен шеңберге сәйкес келеді және нақты қатынасы 1. Бірақ бізді орташа тығыздық қызықтырады, яғни бейресми айтқанда, «жеткілікті үлкен жағы бар шаршы үшін».
Барлық осындай тығыздықтардың ішінен максималды табуға болады. Ол, сондай-ақ оны жүзеге асыратын қаптама ең тығыз деп аталады.
«Ең тығыз қаптаманың бірегей болуы міндетті емес (асимптотикалық мағынада). 3 өлшемді кеңістікте шексіз көп тығыз қаптамалар бар, тіпті Кеплер мұны білген», - дейді Браунсвиллдегі Техас университетінен Олег Мусин.
Біз ең тығыз орау тұжырымдамасын анықтағаннан кейін, мұндай анықтаманы еркін n өлшемді кеңістікке оңай кеңейтуге болатындығын түсіну оңай. Шынында да, шеңберлерді сәйкес өлшемдегі шарлармен, яғни тұрақтыға дейінгі қашықтық (орталық деп аталады) доптың радиусы деп аталатын белгілі бір мәннен аспайтын нүктелер жиынымен ауыстырайық. Қайтадан, оларды кез келген екеуінің ең жақсысы жанасатындай етіп реттейік, ең нашар жағдайда - ортақ нүктелері жоқ. n өлшемді кубтың көлемін және сәйкес n өлшемді шарлардың көлемдерінің қосындысын алу арқылы алдыңғы жағдайдағыдай функцияны анықтаймыз.
4.
Сонымен, біз Кеплердің болжамы үш өлшемді кеңістікте үш өлшемді шарларды ең жақын орау мәселесі екенін түсіндік. Ал ұшақ ше (біз оны бастағаннан бері)? Немесе тіпті тікелей ме? Түзу сызықпен бәрі қарапайым: түзу сызықтағы доп сегмент болып табылады. Түзу сызықты ұштарында қиылысатын бірдей кесінділер толығымен жабуға болады. Осы қамту арқылы функция f(a)тұрақты және 1-ге тең.
Ұшақта бәрі біршама күрделірек болып шықты. Сонымен, жазықтықтағы нүктелер жиынтығынан бастайық. Барлық нүктелер N*v + M*w түрінде алынатындай v және w векторларының жұбын таба алатын болсақ, бұл нүктелер жиыны торды құрайды деп айтамыз, мұнда N және M бүтін сандар. Сол сияқты, торды ерікті түрде үлкен өлшемдер кеңістігінде анықтауға болады - тек көбірек векторлар қажет.
Торлар көптеген себептерге байланысты маңызды (мысалы, қатты материалдарға қатысты атомдар торлардың орындарында орналасуды қалайды), бірақ математиктер үшін олар жақсы, өйткені олармен жұмыс істеу өте ыңғайлы. Сондықтан, барлық қаптамалардан шарлардың орталықтары тордың түйіндерінде орналасқан сынып бөлек ерекшеленеді. Егер біз осы жағдаймен шектелетін болсақ, онда жазықтықта торлардың бес түрі ғана бар. Олардың ең тығыз қаптамасы нүктелер аралардағы бал ұялары немесе графендегі атомдар сияқты қалыпты алтыбұрыштардың шыңдарында орналасатын жолмен алынады. Бұл фактіні 1773 жылы Лагранж дәлелдеді. Дәлірек айтқанда: Лагранжды тығыз қаптамалар қызықтырған жоқ, бірақ квадраттық формалар қызықтырды. 20-шы ғасырдың өзінде екі өлшемді торлар үшін орау тығыздығы бойынша нәтиже оның проформ нәтижелерінен шығатыны белгілі болды.
«1831 жылы Людвиг Сибер үштік квадраттық формалар туралы кітап жазды. Бұл кітапта торлы орамаларға арналған Кеплер болжамына сәйкес келетін болжам айтылды. Сибердің өзі өз гипотезасының әлсіз түрін ғана дәлелдеп, оны көптеген мысалдар үшін сынай алды. Бұл кітапты ұлы Карл Фридрих Гаусс қарастырған. Бұл шолуда Гаусс 40 жолға сәйкес келетін шынымен таңғажайып дәлелді ұсынады. Бұл қазір айтып жүргеніміздей, жоғары сынып оқушысына түсінікті «олимпиаданың» дәлелі. Көптеген математиктер Гаусстың дәлелдеуінде жасырын мағынаны табуға тырысты, бірақ әзірге ешкім қол жеткізе алмады», - дейді Олег Мусин.
Дегенмен, тор күйі жойылса не болады? Бұл жерде іс біршама күрделене түседі. Бұл жағдайды шешудің алғашқы толыққанды әрекетін норвегиялық математик Аксель Тью жасады. Егер сіз Википедиядағы сейсенбіге арналған бетті қарасаңыз, онда біз тығыз орау туралы ештеңе таба алмаймыз. Бұл түсінікті - Тью кәдімгі математикалық мақалалардан гөрі эссе сияқты екі мақаланы жариялады, оларда ол тығыз орау мәселесін толығымен шешкен сияқты. Жалғыз мәселе, оның пайымдауларына Туенің өзінен басқа ешкім сенбеді.
Ласло Фежес Тот
Данзер, Людвиг / Wikimedia Commons
Мәселені 1940 жылы венгр математигі Ласло Фейес Тот шешті. Айтпақшы, ең тығыз қаптаманы жүзеге асыратын ұшақтағы шеңберлердің орналасуы ерекше болып шықты.
5.
Жақын орау мәселесімен тығыз байланысты байланыс нөмірі мәселесі. Қайтадан жазықтықтағы шеңберді қарастырайық. Радиусы бірдей неше шеңберді олардың барлығы орталыққа тиетіндей етіп айналдыруға болады? Жауабы алты. Шынында да, біздің орталықпен байланыста болатын екі көрші шеңберді қарастырайық. Орталық шеңбердің центрінен осы екеуінің центрлеріне дейінгі қашықтықты қарастырайық. Бұл тең 2R, қайда Ршеңбердің радиусы болып табылады. Көршілес шеңберлердің орталықтары арасындағы қашықтық аспайды 2R.Орталық шеңбердің центріндегі бұрышты косинус теоремасы бойынша есептей отырып, оның 60 градустан кем емес екенін аламыз. Барлық орталық бұрыштардың қосындысы 360 градус болуы керек, яғни мұндай бұрыштардың саны 6-дан аспауы мүмкін.Ал біз алты бұрышы бар шеңберлердің орнын білеміз.
Алынған нөмір ұшақтың байланыс нөмірі деп аталады. Ұқсас сұрақты кез келген өлшемдегі кеңістіктерге қоюға болады. Ұшақтағы шешімнің қарапайымдылығы оқырманды адастырмасын - тығыз орау мәселесінен оңайырақ болса, байланыс телефондарының мәселесі көп емес. Бірақ бұл бағытта көбірек нәтижелер алынды.
Үш өлшемді кеңістік үшін байланыс нөмірі 1694 жылы Исаак Ньютонның өзі мен Джеймс Грегори арасындағы қоғамдық даудың тақырыбы болды. Біріншісі байланыс нөмірі 12, ал екіншісі - 13 болуы керек деп есептеді. Мәселе мынада, орталықтың айналасына 12 шарды орналастыру қиын емес - мұндай шарлардың орталықтары кәдімгі икосаэдрдің шыңдарында жатыр ( оның 12-сі ғана бар). Бірақ бұл шарлар тимейді! Бір қарағанда, оларды тағы біреуі, 13-ші доп, жорғалап өтетін етіп жылжытуға болатын сияқты. Бұл дерлік шындық: егер шарлар бір-бірінен аздап жылжытылса, олардың орталықтары мен орталықтың ортасы арасындағы қашықтықты жасайды. 2R,бірақ тек 2.06R,содан кейін 13 шар сәйкес келеді. Бірақ доптарға қол тигізу үшін Грегори қателесті - бұл фактіні 1953 жылы ван дер Ваарден мен Шутте дәлелдеді.
4-өлшем үшін бұл мәселені Олег Мусин 2003 жылы шешті. Ол жерде байланыс нөмірі 24 болып шықты.
6.
Осы 1, 2, 3 және 4 өлшемдерге қосымша 8 және 24 өлшемдерде байланыс нөмірлері де белгілі. Неліктен бұл өлшемдер? Өйткені, олар үшін E8 және Leech торы деп аталатын өте қызықты торлар бар.
Сонымен, біз тордың не екенін анықтадық. Математика үшін тордың маңызды сипаттамасы оның симметриясы болып табылады. Симметрия деп, әрине, субъективті сезімдерді емес (және, мысалы, бұл торды төрт өлшемде кім ұсынады?), Бірақ бұл торды өзіне аударатын кеңістік қозғалысының әртүрлі түрлерінің санын айтамыз. Мысалмен түсіндірейік.
Жазықтықтағы ең тығыз қаптаманы жүзеге асыратын бірдей алтыбұрышты торды алайық. Анықтамада болған v және w векторлары арқылы ығысатын болса, тордың өзіне түрленетінін түсіну оңай. Бірақ, сонымен қатар, торды алтыбұрыштың ортасына айналдыруға болады. Және мұндай 6 айналым бар: 0, 60, 120, 180, 240, 300 градус. Сонымен қатар, торды құрама алтыбұрыштың кез келген симметрия осіне қатысты симметриялы түрде көрсетуге болады. Кішкене жаттығу ауысымдарды есептемегенде, біз 12 түрлендіру аламыз. Басқа торларда мұндай түрлендірулер аз, сондықтан симметриялы емес деп айтамыз.
Енді E8 және Leach торлары керемет симметриялы торлар болып табылады. E8 8 өлшемді кеңістікте орналасқан. Бұл торды 1877 жылы орыс математиктері Коркин мен Золотарев ойлап тапқан. Ол барлық координаталары бүтін, ал қосындысы жұп болатын векторлардан тұрады. Мұндай торда минус ығысулар 696 729 600 түрлендіруге ие. Leach торы жиырма төрт өлшемде бар. Ол бүтін координаталары бар векторлардан тұрады және шарты - координаталар қосындысы минус 4-ке көбейтілген кез келген координаталар 8-ге бөлінеді. Оның симметрияларының өте көп саны бар - 8 315 553 613 086 720 000 дана.
Сонымен, 8 өлшемді және 24 өлшемді кеңістікте дәл осы торлардың төбесінде орналасқан шарлар сәйкесінше 240 және 19650 шарларға тиеді. Бір қызығы, сәйкес өлшемдегі бос орындар үшін дәл осы байланыс нөмірлері (5 тармақты қараңыз).
7.
Енді үш өлшемді жағдайға және Кеплердің гипотезасына (біз ең басында айтқан) оралайық. Бұл тапсырма алдыңғыларға қарағанда бірнеше есе қиын болып шықты.
Алтыбұрышты тығыздағыдай тығыздығы бар орауыштардың шексіз көптігінен бастайық. Біз алтыбұрышты тордың түйіндеріне салынған шарлардан бастап, оны төсеуді бастадық. Бірақ сіз мұны басқаша жасай аласыз: мысалы, бірінші деңгейде шарларды шаршыға бүктеңіз, яғни шарлардың шыңдары қазірдің өзінде төртбұрышты тордың түйіндерінде орналасқан. Бұл жағдайда әрбір доп төрт көршіге тиеді. Екінші қабат, алтыбұрышты жағдайдағыдай, бірінші қабаттың шарлары арасындағы бос орындарға жоғарыдан орналастырылады. Мұндай пакет деп аталады бетке бағытталған текше орау.Айтпақшы, бұл ғарыштағы жалғыз ең тығыз торлы қаптама.
Бір қарағанда, бұл орау нашар болуы керек сияқты, өйткені бірінші қабаттағы төрт шардың арасындағы саңылаулар алтыбұрышты тығыз қаптамадағы бос орындарға қарағанда әлдеқайда үлкен (сезімдерге сәйкес). Бірақ, біз екінші қатарды қойғанда, шарлар - дәлірек, бос орындар үлкенірек болғандықтан - тереңірек батып кетеді. Нәтижесінде, белгілі болғандай, тығыздық бұрынғыдай. Шындығында, әрине, қулық мынада, егер алтыбұрышты басқа бұрыштан қарасаңыз, мұндай қаптама алынады.
Үш өлшемді кеңістікте, мысалы, жазықтықта алтыбұрыш немесе 8 өлшемді кеңістікте E8 сияқты әдемі бірегей торлар жоқ екені белгілі болды. Бір қарағанда, үш өлшемді кеңістікте ең тығыз қаптаманы қалай іздеу керектігі мүлдем түсініксіз.
8.
Кеплер гипотезасының шешімі бірнеше кезеңде туды.
Біріншіден, жазықтықта тығыз орау мәселесін шешкен сол венгр Фейеш Тот мынадай болжам айтты: қаптаманың тығыз немесе тығыз емес екенін түсіну үшін шарлардың ақырлы шоғырларын қарастыру жеткілікті. Біз анықтағандай, ұшақтан айырмашылығы, орталық шар 12 көршіге тиіп кетсе, онда олардың арасында бос орындар бар. Сондықтан Фейеш Тот орталық шардан, оның көршілерінен және көршілес көршілерден тұратын кластерлерді зерттеуді ұсынды.
Мәселе мынада, бұл болжам өткен ғасырдың 60-шы жылдарында жасалған. Ал мұндай кластердің көлемін азайту мәселесі, шын мәнінде, шамамен 150 айнымалы функция үшін сызықты емес оңтайландыру мәселесі болып табылады (әр шардың центрі бар, ол үш координатпен берілген). Шамамен айтқанда, мұндай функция кейбір қосымша шарттарда минимумды табуы керек. Бір жағынан, тапсырма ақырлы болды, бірақ екінші жағынан, ол адам үшін есептеу тұрғысынан мүлдем төзгісіз. Бірақ Фейеш Тот ренжіген жоқ және көп ұзамай компьютерлер қажетті есептеу қуатына ие болатынын айтты. Олар көмектеседі.
Фехес Тоттың гипотезасы математиктерге қатты ұнады және олар осы бағытта белсенді жұмыс істей бастады. 1990 жылдардың басына қарай үш өлшемді кеңістіктегі сфералардың максималды орау тығыздығына арналған бағалаулар біртіндеп төмендей бастады. Идея қандай да бір сәтте бағалау бетке бағытталған текше қаптаманың тығыздығына тең болады және сондықтан Кеплердің болжамы дәлелденеді. Осы уақыт ішінде математик Томас Хейлс орау туралы алғашқы мақалаларын жариялады. Жұмыс үшін ол Делонай жұлдыздары деп аталатын нысанды таңдады (кеңес математигі Борис Делонайдың құрметіне). Бұл батыл қадам болды - сол кезде орау мәселесін зерттеуге арналған мұндай объектілердің тиімділігі күмәнді болды.
Бар болғаны 8 жыл ауыр жұмыстан кейін, 1998 жылы Хэйлс Кеплер болжамын дәлелдеуді аяқтады. Ол дәлелдеуді Делоне жұлдыздары сияқты әртүрлі құрылымдардың соңғы комбинаторлық санауына дейін қысқартты. Әрбір осындай комбинаторлық құрылым үшін тығыздықты барынша арттыру қажет болды. Компьютер қалыпты түрде тек бүтін сандармен жұмыс істейтіндіктен (математикада сандар көбінесе шексіз бөлшектер болғандықтан), әр жағдай үшін Делоне автоматты түрде символдық рационалды есептеулерді (рационал сандар, егер оларды ондық бөлшекке ауыстырмасаңыз) пайдалана отырып, жоғарыдан жуықтауды құрады. бөлшектер, тек бірнеше бүтін сандар). Осы жуықтау арқылы ол максималды тығыздықтың жоғарғы бағасын алды. Нәтижесінде, барлық бағалаулар бетке бағытталған текше орауышпен берілгеннен аз болып шықты.
Дегенмен, көптеген математиктер жуықтауды құрастыру үшін компьютер құрастырылған жағдаймен шатастырды. Дәлелдеудің компьютерлік бөлігінде оның қатесі жоқ екенін дәлелдеу үшін Хэйлс компьютердің көмегімен болса да ресімдеу мен тексеруді қолға алды. Үлкен халықаралық топ жұмыс істеген бұл жұмыс 2014 жылдың тамыз айында аяқталды. Дәлелдеуде қателер табылмады.
9.
8 және 24 өлшемдерге арналған дәлелдер компьютерді қажет етпейді және біршама қарапайым. Біраз уақыт бұрын осы өлшемдердегі орауыштың максималды тығыздығын бағалау үшін өте жақсы бағалар алынды. Мұны 2003 жылы математиктер Кон мен Элкис жасады. Айтпақшы, бұл бағаны (оны Кон-Элки шекарасы деп те атайды) Кон мен Элкистің өздерінен бірнеше жыл бұрын Туладан келген орыс математигі Дмитрий Горбачев тапқан. Бірақ ол бұл еңбегін орыс тілінде және Тула журналында жариялады. Кон мен Элкис бұл жұмыс туралы білмеді және оларға айтқанда, олар, айтпақшы, оған сілтеме жасады.
«Кон-Элки шекарасы Жан Фредерик Делсарт пен тамаша математиктеріміз Григорий Кабатянский мен Владимир Левенштейннің жұмыстарының негізінде пайда болды. Кабатянский мен Левенштейн алған n-өлшемді кеңістіктегі шарлар орамаларының тығыздығының асимптотикалық (кеңістік өлшемі бойынша) бағалауы 1978 жылдан бері «ұсталады». Айтпақшы, бұл Левенштейн және тәуелсіз американдықтар Одлыжко мен Слоан 1979 жылы 8 және 24 өлшемдеріндегі байланыс нөмірлері мәселесін шешті. Олар тікелей Дельсарте-Кабатянский-Левенштейн әдісін қолданды», - дейді Олег Мусин.
Kohn және Elkies бағалаулары шын мәнінде барлық қаптамалар үшін дұрыс, бірақ 8 және 24 өлшемдерде олар өте жақсы жуықтауды береді. Мысалы, математиктің бағалауы сегіз өлшемдегі E8 тығыздығынан шамамен 0,0001 пайызға ғана үлкен. Сондықтан, бұл бағаны жақсарту міндеті туындады - бұл шешім жақын жерде сияқты. Оның үстіне, 2012 жылы дәл сол Дмитрий Горбачев «Әулет» қорының грантына өтінім берді (және жеңіп алды). Өтініште ол сегіз өлшемді кеңістікте E8 орау тығыздығын дәлелдеуді жоспарлағанын ашық айтты.
Олардың айтуынша, Горбачевты осындай батыл мәлімдеме жасауға тағы бір математик Андрей Бондаренко итермеледі, шын мәнінде 8 өлшемді кеңістік мәселесін шешкен Марина Вязовскаяның тәлімгері, ғылыми жетекшілерінің бірі (және тең авторы). 24 өлшемді кеңістік). Ол өзінің серпінді жұмысының соңында алғысын білдірген Бондаренко. Сонымен, Бондаренко мен Горбачев сәтсіздікке ұшырады, бірақ Вязовская сәтті болды. Неге солай?
Марина Вязовская
Гумбольдт Берлин университеті
Kohn-Elkies бағалауы орау тығыздығын қолайлы жиыннан кейбір функцияның қасиетіне жатқызады. Шамамен айтқанда, әрбір осындай функция үшін бағалау жасалады. Яғни, негізгі міндет - алынған баға бізге қажет болатындай етіп қолайлы функцияны табу. Сонымен, Вязовская құрылысындағы негізгі ингредиент модульдік формалар болып табылады. Біз оларды Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеуге қатысты айтып өттік, ол үшін . Бұл математиканың әртүрлі салаларында үнемі пайда болатын өте симметриялы нысан. Дәл осы құралдар жинағы қажетті функцияны табуға мүмкіндік берді.
24 өлшемді кеңістікте бағалау дәл осылай алынды. Бұл жұмыста көбірек авторлар бар, бірақ Вязовскаяның сол жетістігіне негізделген (әрине, сәл бейімделген болса да). Айтпақшы, қағазда тағы бір таңғаларлық факт дәлелденді: Leach торы бірегей кезеңді ең тығыз қаптаманы жүзеге асырады. Яғни, барлық басқа мерзімді қаптамалардың тығыздығы осыдан аз. Олег Мусиннің айтуынша, мерзімді орауыштар үшін ұқсас нәтиже 4 және 8 өлшемдерде болуы мүмкін.
10.
Қолданбалар тұрғысынан жоғары өлшемді кеңістіктерде тығыз орау мәселесі, ең алдымен, қателерді түзету арқылы оңтайлы кодтау мәселесі болып табылады.
Элис пен Боб радио сигналдары арқылы сөйлесуге тырысады деп елестетіңіз. Алиса Бобқа 24 түрлі жиіліктен тұратын сигнал жіберетінін айтады. Боб әрбір жиіліктің амплитудасын өлшейді. Нәтижесінде ол 24 амплитуданың жиынтығын алады. Олар, әрине, 24 өлшемді кеңістікте нүкте қояды - ақыр соңында олардың 24-і бар. Боб пен Алиса, айталық, Даль сөздігін алып, әрбір сөзге 24 амплитудалық жеке жинағын тағайындайды. Даль сөздігіндегі сөздерді 24 өлшемді кеңістік нүктелерімен кодтағанымыз белгілі болды.
Идеал әлемде артық ештеңе қажет емес. Бірақ нақты деректерді беру арналары шуды қосады, яғни декодтау кезінде Боб сөздердің ешқайсысына сәйкес келмейтін амплитудалар жиынтығын ала алады. Бірақ содан кейін ол шешілген нұсқаға ең жақын сөзге қарай алады. Егер бар болса, онда ол болуы мүмкін. Мұны әрқашан жасай алу үшін кеңістік нүктелері мүмкіндігінше алыс орналасуы керек. Яғни, мысалы, егер шу деңгейі нәтижені ең көбі бір ұзындық векторына жылжытатын бұрмалану енгізілетін болса, онда екі кодтық нүкте бір-бірінен кемінде екі қашықтықта болуы керек. Содан кейін, тіпті бұрмаланулар болса да, Бобтың нәтижесі әрқашан бір сөзге жақын болады - қажет.
Сонымен қатар, мен көп сөздерді толтырғым келмейді - бізде ақпаратты жеткізе алатын шектеулі ауқым бар. Егер Алиса мен Боб рентгенде сөйлесе бастаса, бұл таңқаларлық (және өте тиімді емес) болар еді делік. Сондықтан, ең дұрысы, көрші кодтық сөздер арасындағы қашықтық дәл екі болуы керек. Бұл сөздердің 24 өлшемді кеңістікте тығыз орналасқан радиусы 1 шарлардың шыңдарында орналасқанын білдіреді.
Жақында мен 3D көріністері үшін қарапайым сәулелік трекер жасадым. Ол JavaScript тілінде жазылған және өте жылдам емес. Көңілді болу үшін мен C тілінде raytracer жаздым және оған 4D көрсету режимін бердім - бұл режимде ол 4D көріністі тегіс экранға көрсете алады. Кесудің астында сіз бірнеше бейнелерді, кейбір суреттерді және ray Tracer кодын таба аласыз.
Неліктен 4D көріністі салу үшін бөлек бағдарлама жазу керек? Сіз кәдімгі сәулелік тракерді алып, оған 4D көріністі қойып, қызықты суретке түсе аласыз, бірақ бұл сурет экрандағы бүкіл көріністің проекциясы болмайды. Мәселе мынада, көріністің 4 өлшемі бар, ал экран тек 2 өлшемді және сәулелік бақылаушы экран арқылы сәулелерді түсіргенде, ол тек 3 өлшемді ішкі кеңістікті ғана қамтиды және 4 өлшемді көріністің тек 3 өлшемді кесіндісін қамтиды. экранда көрінетін болады. Қарапайым ұқсастық: 3D көріністі 1D сегментіне проекциялап көріңіз.
2 өлшемді көру қабілеті бар 3 өлшемді бақылаушы 4 өлшемді көріністі толығымен көре алмайтыны белгілі болды - ең жақсы жағдайда ол кішкене бөлігін ғана көреді. 4 өлшемді көріністі 3 өлшемді көру арқылы қарау ыңғайлырақ деп болжау қисынды: белгілі бір 4 өлшемді бақылаушы қандай да бір нысанға қарайды және оның 3 өлшемді аналогында 3 өлшемді проекция жасалады. торлы қабық. Менің бағдарламам осы 3D проекциясын радиациялық бақылауға алады. Басқаша айтқанда, менің сәулелік бақылау құралым 4D бақылаушысының 3D көруімен не көретінін бейнелейді.
3D көру мүмкіндіктері
Көз алдыңызда тұрған қағаз шеңберіне қарап тұрсыз деп елестетіңіз - бұл жағдайда сіз шеңберді көресіз. Егер сіз осы шеңберді үстелге қойсаңыз, сіз эллипсті көресіз. Егер сіз бұл шеңберге алыстан қарасаңыз, ол кішірек болып көрінеді. Сол сияқты үш өлшемді көру үшін: төрт өлшемді шар бақылаушыға үш өлшемді эллипсоид ретінде көрінеді. Төменде бірнеше мысал келтірілген. Біріншісінде 4 бірдей өзара перпендикуляр цилиндр айналады. Екіншісінде 4 өлшемді текшенің жақтауы айналады.
Рефлексияға көшейік. Шағылысатын беті бар допқа қараған кезде (мысалы, Рождестволық безендіру) шағылысу шардың бетіне түсірілгендей болады. Сондай-ақ 3D көру үшін: сіз 4D шарына қарап отырсыз және оның бетіндегідей шағылыстар салынған. Тек енді ғана 4 өлшемді шардың беті үш өлшемді болады, сондықтан шардың 3 өлшемді проекциясын қарасақ, шағылыстар бетінде емес, ішінде болады. Егер біз сәулені бақылаушыны сәуле шығаратын етсек және шардың 3D проекциясымен ең жақын қиылысуды тапсақ, онда біз қара шеңберді көреміз - 3D проекциясының беті қара болады (бұл Френель формулаларынан туындайды). Бұл келесідей көрінеді:
3D көру үшін бұл проблема емес, өйткені ол үшін бүкіл 3D доп көрінеді және ішкі нүктелер бетіндегі сияқты көрінеді, бірақ мен бұл әсерді тегіс экранда қандай да бір жолмен жеткізуім керек, сондықтан мен қосымша жасадым. raytracer режимі үш өлшемді нысандар түтін сияқты деп есептегенде: сәуле олар арқылы өтіп, бірте-бірте энергияны жоғалтады. Мынадай болып шығады:
Көлеңкелер үшін де солай: олар бетіне емес, 3D проекцияларының ішіне түседі. 3 өлшемді шардың ішінде – 4 өлшемді шардың проекциясында – 4 өлшемді текшенің проекциясы түріндегі күңгірттенген аймақ болуы мүмкін екен, егер бұл текше шарға көлеңке түсірсе. Мен бұл әсерді тегіс экранда қалай жеткізуге болатынын түсінбедім.
Оңтайландырулар
4D көрінісін радиациялық бақылау 3D көрінісіне қарағанда қиынырақ: 4D жағдайында тегіс емес, 3D аймағының түстерін табу керек. Егер сіз «маңдайға» сәулелік тракерді жазсаңыз, оның жылдамдығы өте төмен болады. 1000x1000 кескінді көрсету уақытын бірнеше секундқа дейін қысқартуға болатын бірнеше қарапайым оңтайландырулар бар.
Мұндай суреттерді көргенде көзге түсетін бірінші нәрсе - қара пикселдер шоғыры. Сәулелік бақылау сәулесі кем дегенде бір нысанға түсетін аумақты бейнелесеңіз, ол келесідей болады:
Шамамен 70% қара пикселдер және ақ аймақ қосылғанын көруге болады (ол 4D көрінісі қосылғандықтан қосылған). Сіз пикселдердің түстерін ретсіз есептей аласыз, бірақ бір ақ пикселді болжап, одан толтырыңыз. Бұл тек ақ пиксельдерді + ақ аймақтың 1 пиксельдік шекарасын білдіретін бірнеше қара пикселдерді ғана сәулемен қадағалайды.
Екінші оңтайландыру фигуралардың - шарлар мен цилиндрлердің дөңес болуынан алынады. Бұл мұндай фигурадағы кез келген екі нүкте үшін оларды қосатын кесінді де толығымен фигураның ішінде жатқанын білдіреді. Егер сәуле дөңес нысанды қиып өтсе, ал А нүктесі объектінің ішінде жатса, ал В нүктесі сыртында болса, онда В жақтағы сәуленің қалған бөлігі объектімен қиылыспайды.
Тағы бірнеше мысал
Мұнда текше орталықтың айналасында айналады. Доп текшеге тимейді, бірақ 3D проекциясында олар қиылысуы мүмкін.
Бұл бейнеде текше қозғалмайды, ал 4 өлшемді бақылаушы текше арқылы ұшып өтеді. Үлкенірек болып көрінетін 3 өлшемді текше бақылаушыға жақынырақ, ал кішірекі алысырақ.
Төменде 1-2 және 3-4 осьтерінің жазықтықтарындағы классикалық айналу берілген. Мұндай айналу екі Гивенс матрицасының көбейтіндісі арқылы беріледі.
Менің сәулелік тресерім қалай жұмыс істейді
Код ANSI C 99 тілінде жазылған. Оны жүктеп алуға болады. Мен ICC+Windows және GCC+Ubuntu жүйелерінде сынақтан өткіздім.
Бағдарлама кіріс ретінде көріністің сипаттамасы бар мәтіндік файлды қабылдайды.
Көрініс = ( нысандар = -- көріністегі нысандар тізімі ( топ -- нысандар тобында тағайындалған аффиндік түрлендіру болуы мүмкін ( ось1, ось2, ось3, ось4 ) ), шамдар = -- шамдар тізімі ( жарық((0.2,) 0,1, 0,4, 0,7), 1), жеңіл((7, 8, 9, 10), 1), ) ) осьтер = 0,1 -- цилиндр радиусы осі1 = цилиндр ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), осьтер, материал = (түс = (1, 0, 0))) ось2 = цилиндр ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), осьтер, материал = (түс = (0, 1, 0)) ) осьтер3 = цилиндр ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), осьтер, материал = (түс = (0) , 0, 1)) ) ось4 = цилиндр ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), осьтік цилиндр, материал = (түс = (1, 1, 0)) )
Осыдан кейін ол осы сипаттаманы талдайды және өзінің ішкі көрінісінде көрініс жасайды. Кеңістіктің өлшеміне байланысты ол көріністі көрсетеді және мысалдардағыдай төрт өлшемді кескінді немесе кәдімгі үш өлшемді кескінді алады. 4D сәулелік бақылау құралын 3D сәулелік бақылаушыға айналдыру үшін vec_dim параметрін vector.h файлындағы 4-тен 3-ке өзгерту керек.Сонымен қатар оны компилятордың пәрмен жолы параметрлерінде орнатуға болады. GCC-ке құрастыру:
CD /үй/ пайдаланушы аты/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt
Сынақ жүргізу:
/үй/ пайдаланушы аты/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp
Егер сіз raytracer-ді vec_dim = 3 арқылы құрастырсаңыз, ол cube3d.scene көрінісі үшін кәдімгі текшені жасайды.
Видео қалай түсірілді
Мұны істеу үшін мен әрбір кадр үшін айналу матрицасын есептейтін және оны анықтамалық көрініске қосатын Lua сценарийін жаздым.
Осьтер = ( (0,933, 0,358, 0, 0), -- ось 1 (-0,358, 0,933, 0, 0), -- ось 2 (0, 0, 0,933, 0,358), -- осі 3 (0, 0) , -0,358, 0,933) -- ось 4 ) көрініс = ( нысандар = ( топ ( ось = ось, ось1, ось2, ось3, ось4 ) ), )
Топтық нысанда нысандар тізімінен басқа аффинді түрлендірудің екі параметрі бар: осьтер және бастапқы. Осьтерді өзгерту арқылы топтағы барлық нысандарды айналдыруға болады.
Содан кейін сценарий құрастырылған raytracer деп атады. Барлық кадрлар көрсетілгенде, сценарий mencoder деп аталады және ол жеке суреттерден бейне жинады. Бейне оны автоқайталауға болатындай етіп жасалды - яғни. Видеоның соңы басы сияқты. Сценарий келесідей жұмыс істейді:
Luajit animate.lua
Ақырында, бұл мұрағатта 1000 × 1000 4 avi файлы бар. Олардың барлығы циклдік - оны автоматты қайталауға қоюға болады және сіз қалыпты анимация аласыз.
Тегтер:
- сәуле іздегіш
- төрт өлшемді кеңістік
Бірінші курста оқып жүрген кезімде де бір сыныптасыммен қатты ұрысып қалдым. Ол төрт өлшемді текшені ешбір пішінде көрсетуге болмайтынын айтты, мен оны анық бейнелеуге болатынына сендірдім. Содан кейін мен тіпті қағаз қыстырғыштарынан біздің үш өлшемді кеңістікке гиперкубтың проекциясын жасадым ... Бірақ бәрі туралы рет-ретімен сөйлесейік.
Гиперкуб және төрт өлшемді кеңістік дегеніміз не
Біздің әдеттегі кеңістігімізде үш өлшем бар. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл үш өзара перпендикуляр сызықты көрсетуге болатындығын білдіреді. Яғни, кез келген түзу үшін біріншіге перпендикуляр екінші түзуді, ал жұп үшін бірінші екеуіне перпендикуляр үшінші түзуді табуға болады. Енді бар үшеуіне перпендикуляр төртінші түзуді табу мүмкін болмайды.
4D кеңістігібіздікінен айырмашылығы оның тағы бір қосымша бағыты болуымен ғана ерекшеленеді. Егер сізде үш өзара перпендикуляр сызық болса, төртіншісін таба аласыз, ол үшеуіне де перпендикуляр болады.
гиперкуббұл төрт өлшемдегі текше ғана.
Төрт өлшемді кеңістік пен гиперкубты елестету мүмкін бе?
Бұл сұрақ «Соңғы кешті Леонардо да Винчидің (1452-1519) аттас (1495-1498) картинасына қарап елестету мүмкін бе?» деген сұраққа ұқсас.
Бір жағынан, әрине, сіз Исаның не көргенін елестете алмайсыз (ол көрерменге қарап отыр), әсіресе сіз терезенің сыртындағы бақтың иісін және дастархандағы тағамның дәмін иіскемейтіндіктен, құстарды естімейсіз. ән айту ... Сіз сол кеште болған оқиғаның толық бейнесін ала алмайсыз, бірақ сіз жаңа ештеңе үйренбейсіз және сурет қызықты емес деп айтуға болмайды.
Жағдай гиперкуб туралы сұраққа ұқсас. Оны толығымен елестету мүмкін емес, бірақ сіз оның не екенін түсінуге жақындай аласыз.
Гиперкуб салу
0 өлшемді куб
Басынан бастайық - 0 өлшемді текшеден. Бұл текшеде 0 өзара перпендикуляр беттер бар, яғни бұл жай ғана нүкте.
1 өлшемді куб
Бір өлшемді кеңістікте бізде бір ғана бағыт бар. Біз нүктені осы бағытқа ауыстырып, кесінді аламыз.
Бұл бір өлшемді текше.
2 өлшемді куб
Бізде екінші өлшем бар, біз бір өлшемді кубымызды (сегментті) екінші өлшем бағытына ауыстырамыз және шаршы аламыз.
Бұл екі өлшемді текше.
3 өлшемді куб
Үшінші өлшемнің пайда болуымен біз де солай істейміз: шаршыны ауыстырып, әдеттегі үш өлшемді текшені аламыз.
4 өлшемді куб (гиперкуб)
Енді бізде төртінші өлшем бар. Яғни, біздің қолымызда алдыңғы үшеуіне де перпендикуляр бағыт бар. Дәл солай қолданайық. 4D текшесі келесідей болады.
Әрине, үш өлшемді және төрт өлшемді текшелерді екі өлшемді экран жазықтығында бейнелеу мүмкін емес. Менің салғаным проекциялар. Болжамдар туралы сәл кейінірек айтатын боламыз, бірақ әзірге бірнеше жалаң фактілер мен сандар.
Шыңдардың, шеттердің, беттердің саны
Гиперкубтың беті біздің кәдімгі 3D текшеміз екенін ескеріңіз. Егер сіз гиперкубтың сызбасына мұқият қарасаңыз, шын мәнінде сегіз текшені таба аласыз.
Төртөлшемді кеңістік тұрғынының проекциясы мен көрінісі
Көру туралы бірнеше сөз
Біз үш өлшемді әлемде өмір сүреміз, бірақ біз оны екі өлшемді деп санаймыз. Бұл біздің көзіміздің торлы қабығының тек екі өлшемі бар жазықтықта орналасқандығына байланысты. Сондықтан біз екі өлшемді суреттерді қабылдай аламыз және оларды шындыққа ұқсас таба аламыз.
(Әрине, аккомодацияның арқасында көз объектіге дейінгі қашықтықты бағалай алады, бірақ бұл біздің көзімізге салынған оптикамен байланысты жанама әсер.)
Төрт өлшемді кеңістік тұрғынының көзінде үш өлшемді тор қабық болуы керек. Мұндай тіршілік иесі бірден үш өлшемді фигураны толығымен көре алады: оның барлық беттері мен ішкі бөліктері. (Сол сияқты біз екі өлшемді фигураны, оның барлық бет-бейнесін және ішін көре аламыз.)
Осылайша, көру мүшелеріміздің көмегімен біз төрт өлшемді текшені төрт өлшемді кеңістіктің тұрғыны қабылдайтындай қабылдай алмаймыз. Әттең. Бақытымызға орай, физикалық шектеулері жоқ ақыл-ой мен қиялға сену ғана қалады.
Дегенмен, жазықтықта гиперкубты бейнелегенде, мен оны екі өлшемді кеңістікке проекциялауым керек. Сызбаларды зерттегенде осыны есте сақтаңыз.
Шеттік қиылыстар
Әрине, гиперкубтың шеттері қиылыспайды. Қиылыстар тек фигураларда көрсетіледі. Дегенмен, бұл таңқаларлық емес, өйткені фигуралардағы кәдімгі текшенің шеттері де қиылысады.
Қабырғалардың ұзындығы
Айта кету керек, төрт өлшемді текшенің барлық беттері мен жиектері тең. Суретте олар көру бағытының әртүрлі бұрыштарында орналасқандықтан ғана тең емес. Дегенмен, гиперкубты барлық проекциялардың ұзындығы бірдей болатындай етіп ашуға болады.
Айтпақшы, бұл суретте сегіз текше анық көрінеді, олар гиперкубтың беттері болып табылады.
Гиперкуб іші бос
Сену қиын, бірақ гиперкубты байланыстыратын текшелердің арасында біраз бос орын бар (төрт өлшемді кеңістіктің фрагменті).
Мұны жақсырақ түсіну үшін кәдімгі 3D текшенің 2D проекциясын қарастырайық (мен оны әдейі эскиз етіп жасадым).
Одан текшенің ішінде бос орын бар деп болжауға бола ма? Ия, бірақ тек қиялмен. Көз бұл кеңістікті көрмейді.
Себебі, үшінші өлшемде орналасқан жиектер (жазық сызбада бейнелеу мүмкін емес) енді сызба жазықтығында жатқан сегменттерге айналды. Олар енді көлемді қамтамасыз етпейді.
Текшенің кеңістігін шектейтін шаршылар бір-бірінің үстінен түсті. Бірақ сіз бастапқы фигурада (үш өлшемді текше) бұл квадраттар суретте көрсетілгендей бір жазықтықта бірінің үстіне бірі емес, әртүрлі жазықтықта орналасқанын елестете аласыз.
Гиперкуб үшін де солай. Гиперкубтың текше беттері проекцияда бізге көрінетіндей іс жүзінде қабаттаспайды, бірақ төрт өлшемді кеңістікте орналасқан.
Оқиғыштар
Сонымен, төрт өлшемді кеңістіктің тұрғыны үш өлшемді нысанды бір уақытта барлық жағынан көре алады. Үш өлшемді текшені бір уақытта барлық жағынан көре аламыз ба? Көзбен, жоқ. Бірақ адамдар үш өлшемді текшенің барлық беттерін бір уақытта тегіс сызбада бейнелеу әдісін ойлап тапты. Мұндай кескінді сыпыру деп атайды.
3D текшені ашу
Үш өлшемді текшенің ашылуы қалай қалыптасатынын бәрі білетін шығар. Бұл процесс анимацияда көрсетілген.
Түсінікті болу үшін текше беттерінің жиектері мөлдір етіп жасалған.
Айта кету керек, біз бұл екі өлшемді суретті тек қиялдың арқасында ғана қабылдай аламыз. Егер ашылу фазаларын таза екі өлшемді көзқараспен қарастыратын болсақ, онда процесс біртүрлі болып көрінеді және мүлде көрнекі емес.
Бұл алдымен бұрмаланған квадраттардың контурларының біртіндеп пайда болуы, содан кейін олардың қажетті пішінді бір уақытта қабылдаумен орнына таралуы сияқты көрінеді.
Егер сіз жайылып жатқан текшені оның бір бетінің бағытымен қарасаңыз (осы тұрғыдан алғанда, текше шаршыға ұқсайды), онда дамудың қалыптасу процесі одан да анық емес. Барлығы бастапқы шаршыдан шаршылардан шыққанға ұқсайды (бүктемеген текше емес).
Бірақ визуалды емесүшін ғана сыпырыңыз көз.
4 өлшемді кеңістікті қалай түсінуге болады?
Қиялдың арқасында одан көп ақпарат алуға болады.
4D текшесін ашу
Гиперкубты ашудың анимациялық процесін кем дегенде визуалды етіп жасау мүмкін емес. Бірақ бұл процесті елестетуге болады. (Ол үшін төрт өлшемді болмыстың көзімен қарау керек.)
Таралу келесідей көрінеді.
Гиперкубты шектейтін барлық сегіз текше осы жерден көрінеді.
Беттер бірдей түстермен боялған, олар бүктелген кезде туралануы керек. Жұптастырылғандары көрінбейтін беттер сұр болып қалды. Бүктелгеннен кейін үстіңгі текшенің ең жоғарғы беті төменгі текшенің төменгі бетімен туралануы керек. (Сол сияқты, үш өлшемді текшенің дамуы бұзылады.)
Бүктелгеннен кейін сегіз текшенің барлық беттері жанасып, гиперкубты жабатынын ескеріңіз. Ақырында, бүктеу процесін бейнелей отырып, бүктеу кезінде текшелер қабаттаспайтынын, бірақ олар белгілі бір (гиперкубтық) төрт өлшемді аймақты орап алатынын ұмытпаңыз.
Сальвадор Дали (1904-1989) айқышқа шегеленуді бірнеше рет бейнелеген және оның көптеген картиналарында кресттер кездеседі. «Крестке шегу» (1954) картинасында гиперкуб сыпырғышы қолданылады.
Кеңістік-уақыт және евклидтік төрт өлшемді кеңістік
Сіз гиперкубты елестете алдыңыз деп үміттенемін. Бірақ сіз біз өмір сүретін төрт өлшемді кеңістік-уақыт қалай жұмыс істейтінін түсінуге жақындай алдыңыз ба? Өкінішке орай, олай емес.
Бұл жерде біз евклидтік төрт өлшемді кеңістік туралы айттық, бірақ кеңістік-уақыт мүлде басқа қасиеттерге ие. Атап айтқанда, кез келген айналу кезінде сегменттер әрқашан уақыт осіне 45 градустан аз бұрышта немесе 45 градустан жоғары бұрышта еңкейіп қалады.
Мен кеңістік-уақыттың қасиеттеріне бірқатар жазбалар арнадым.
3D кескіні
Әлем үш өлшемді. Оның кескіні екі өлшемді. Кескіндеменің және қазір фотосуреттің маңызды міндеті - кеңістіктің үш өлшемділігін беру. Римдіктер кейбір әдістерді игерді, содан кейін олар ұмытылып, Ренессанспен бірге классикалық кескіндемеге орала бастады.
Кескіндемеде үш өлшемді кеңістікті құрудың негізгі әдісі - перспектива. Көрерменнен алыстап бара жатқан теміржол рельстері визуалды түрде тар. Кескіндемеде рельстерді физикалық түрде тарылтуға болады. Фотосуретте перспектива автоматты түрде пайда болады: камера рельстерді көз көргендей тар етіп түсіреді. Дегенмен, оны дерлік жабуға жол бермеңіз: ол енді перспективаға ұқсамайды, бірақ біртүрлі фигура болады; рельстердің, көшенің жиектерінің, өзен жағаларының арасында айтарлықтай алшақтық сақталуы керек.
Сызықтық перспектива әлемді жеткізудің ең қарапайым, шынайы тәсілі екенін түсіну маңызды.
Пост навигациясы
Оның сыртқы келбеті театр декорациясымен байланысты болуы кездейсоқ емес (Флоренский, Кері перспектива). Кішігірім тереңдіктегі театрландырылған көріністі берудің қарапайымдылығы, қарапайымдылығы кескіндемеде қол жетімді әртүрлі әдістерден айырылған фотосурет үшін өте қолайлы.
Сызықтыққа қарағанда әлдеқайда қызықты перспективалар бар. Қытай шеберлерінің жұмыстарында объектілер бір уақытта төменнен, жоғарыдан және алдынан бейнеленген қалқымалы перспектива бар. Бұл қабілетсіз суретшілердің техникалық қателігі емес: бұл техниканың аты аңызға айналған авторы Го Си мұндай дисплей әлемді тұтастай түсінуге мүмкіндік береді деп жазды. Орыс иконкаларын кескіндеу техникасы ұқсас, онда көрермен кейіпкердің беті мен артқы жағын бір уақытта көре алады. Батыс еуропалық суретшілер арасында да кездесетін икондық кескіндеменің қызықты әдісі алыстағы объектілер, керісінше, жақын объектілерден үлкенірек, олардың маңыздылығын көрсететін кері перспектива болды. Тек біздің күндерімізде мұндай перспективаның дұрыс екендігі анықталды: алыстағы объектілерден айырмашылығы, алдыңғы план шынымен кері перспективада қабылданады (Раушенбах). Photoshop көмегімен фондық нысандарды үлкейту арқылы кері перспективаға қол жеткізуге болады. Фотосуреттің заңдылығына үйренген көрерменге мұндай сурет оғаш көрінеді.
Ғимараттың бұрышын рамкаға енгізу, оның қабырғалары екі бағытта бөлініп, изометриялық перспективаның көрінісін жасайды. Ми қабырғалардың тік бұрышта екенін түсінеді және кескіннің қалған бөлігін сәйкесінше орналастырады. Мұндай перспектива фронтальдыға қарағанда динамикалық және алдыңғы жоспар үшін табиғирақ. Жақтауға объектілердің және жақын орналасқан ғимараттардың соңғы бұрыштарын енгізіңіз.
Кеңейтуге байланысты изометриялық перспектива негізгі болып табылады, бұл классикалық портрет үшін сирек қолайлы. Сызықтық перспектива, тарылуына байланысты, кішігірім эмоцияларды жақсы жеткізеді.
Түсіру кезеңінде фотографқа перспективаны ерекшелеу үшін бірқатар құралдар қол жетімді. Ені бірдей объектілер (жол, көше, бағандар, бороздалар) қашықтыққа қарай тарылып, тіпті жай ғана алыстау арқылы көрерменге кеңістіктің үш өлшемділігін көрсетеді. Перспективаның бұрмалануын арттыру үшін төмен бұрыштан түсіру кезінде әсер күштірек болады. Бұл пейзажды түсіру үшін жеткілікті, бірақ интерьерді түсірудің шағын кескін тереңдігімен әсер айтарлықтай байқалмайды. Кескіннің үстіңгі жағын тарылту арқылы оны кейінгі өңдеуде біршама жақсартуға болады (Transform Perspective). Дегенмен, тіпті ландшафтта да гипертрофияланған перспектива қызықты көрінуі мүмкін.
Тереңдік кескіннің мағынасында анық болуы мүмкін: ғимараттар көше немесе өзен арқылы бөлінген. Диагональ үш өлшемділікке баса назар аударады; өзен үстіндегі көпір сияқты.
Фондағы көрерменге белгілі өлшемдегі нысандар масштабты орнатады және сәйкесінше перспективаны құрайды. Пейзаждық фотосуретте мұндай нысан көлік болуы мүмкін, бірақ портреттік фотосуретте ол көрінетін болғанымен, кішірек болып көрінуі үшін аяғыңызды орындықтың астына (камерадан алыс) бүгіп, қысып көріңіз. Сіз тіпті кейінгі өңдеуде бұл аяқты аздап азайта аласыз.
Ою-өрнек элементтерді көрнекі түрде азайту арқылы перспективаны береді. Мысал ретінде жолдағы сызықтарды белгілейтін едендегі үлкен плиткалар болуы мүмкін.
Гипертрофияланған алдыңғы қатар техникасы бар. Пропорционалды емес үлкен, ол кескіннің тереңдігін жасайды. Алдыңғы жоспар мен модельдің масштабын салыстыра отырып, көз модель көрінгеннен әлдеқайда алыс деген қорытындыға келеді. Кескін қате ретінде қабылданбауы үшін гипертрофия нәзік болып қалуы керек. Бұл әдіс тек кейінгі өңдеу үшін ғана емес, сонымен қатар түсіру үшін де жарамды: 35 немесе 50 мм объективпен түсіру кезінде пропорцияларды бұрмалаңыз. Кең бұрышты объективпен түсіру пропорциялардың бұзылуына байланысты оның үш өлшемділігін арттыра отырып, кеңістікті созады. Егер сіз модельді жақын қашықтықта түсірсеңіз, әсер күштірек болады, бірақ гротескілік пропорциялардан сақ болыңыз: тек діни бейнелердің авторлары ғимараттан үлкенірек адамды бейнелей алады.
Кроссовер тамаша жұмыс істейді. Егер алма алмұртты жартылай жауып тұрса, онда ми қателеспейді: алма алмұрттың алдында. Жиһазды ішінара жабатын модель осылайша интерьердің тереңдігін жасайды.
Ашық және қара дақтардың кезектесуі де кескінге тереңдік береді. Ми жақын маңдағы объектілердің шамамен бірдей жарықтандырылғанын тәжірибеден біледі, сондықтан ол әртүрлі жарықтандырылған заттарды әртүрлі қашықтықта орналасқан деп түсіндіреді. Бұл әсер үшін дақтар перспектива осінің бағыты бойынша алмасады - кескіннің тереңіне емес, оның үстіне. Мысалы, қараңғы кадрда камерадан алыс жатқан модельді түсіргенде, бөкселер мен аяқтардың жанына жарықтың маңызды жерлерін қойыңыз. Өңдеуден кейінгі аймақтарды жарықтандыруға/қараңғылауға болады.
Барған сайын күңгірттенген нысандардың қатары азаяды деп саналады. Белсенді сызық бойымен объектілерді бірте-бірте көлеңкелеу арқылы сіз перспективаның нәзік сезімін ала аласыз. Сол сияқты, тереңдік жарықты әлсірету арқылы беріледі: жиһаздың үстінен немесе еденге жарық жолағын өткізіңіз.
Үш өлшемді кескінді жарықтың ғана емес, сонымен қатар түстің контрастының арқасында алуға болады. Бұл әдіс фламандтық суретшілерге белгілі болды, олар өздерінің натюрморттарына ашық түсті дақтарды орналастырды. Қызыл анар мен сары лимон қатарласса, тіпті маңдайдың жалпақ жарықтандыруында да үш өлшемді көрінеді. Олар әсіресе күлгін жүзім фонында жақсы көрінеді: суық фонға қарсы жылы түс. Ашық түсті беттер натюрмортқа тән әлсіз жарықпен де қараңғылықтан жақсы шығады. Түс контрасты негізгі түстермен емес, қызыл, сары, көк түстермен жақсырақ жұмыс істейді.
Қара фонда сары түс алға шығады, көк артқа жасырылады. Ақ фонда - керісінше. Түс қанықтығы бұл әсерді күшейтеді. Неліктен бұл болып жатыр? Сары түс ешқашан қараңғы болмайды, сондықтан ми сары нысанды жарықтандырмай, қараңғы фонға батыруға болатынына сенуден бас тартады. Көк түс, керісінше, қараңғы.
Пост-өңдеудегі перспективаны жақсарту атмосфералық қабылдауды модельдеуге байланысты: алыстағы нысандар бізге жеңілірек, бұлыңғыр, жарықтығы, қанықтығы мен тонындағы контрастты төмендететін болып көрінеді.
Ұзақ қашықтыққа қосымша, атмосфералық әсерлер табиғи түрде таңертеңгі тұманда, тұманда, түтін барында көрінеді. Ауа-райын қарастырыңыз: бұлтты күнде немесе ымыртта алдыңғы және фон арасында айтарлықтай айырмашылық болуы мүмкін емес.
Факторлардың ең күштісі - жарықтықтағы контраст. Параметрлерде бұл әдеттегі контраст. Алыстағы объектілердің контрастын азайтыңыз, алдыңғы жоспардың контрастын көтеріңіз - және кескін дөңес болады. Бұл алдыңғы және фон арасындағы қарама-қайшылық туралы емес, фонның контрастына қатысты, ол алдыңғы жоспардың контрастынан төмен болуы керек. Бұл әдіс тек пейзаждар мен жанрлық фотосуреттерге ғана емес, сонымен қатар студиялық портреттер үшін де қолайлы: беттің алдыңғы бөлігінің контрастын жоғарылатыңыз, шаш пен бет сүйектеріндегі, киімдегі контрастты азайтыңыз. Портрет сүзгілері ұқсас әрекетті жасайды, нысанның терісін бұлдыратады және көздері мен еріндерін анық етеді.
Контрастты реттеу – кескінді 3D өңдеуден кейінгі өңдеудің ең оңай жолы. Басқа процестерден айырмашылығы, көрермен максималды табиғилықты сақтайтын өзгерістерді байқамайды.
Бұлыңғырлану контрастты азайтуға ұқсас, бірақ олар әртүрлі процестер. Кескін анық болған кезде төмен контраст болуы мүмкін. Өріс тереңдігі шектеулі болғандықтан, қашықтағы объектілерді бұлдырату фотосуретте үш өлшемділікті берудің ең танымал тәсілі болып қала береді және оны кейінгі өңдеу кезінде өңді бұлдырату арқылы жақсарту оңай. Сондықтан, фонға азырақ бөлшектерді орналастыру керек - ми қашықтықта ерекшеленетін объектілерді күтпейді. Сонымен қатар, контрастты төмендету табиғи қабылдауға жақсырақ сәйкес келеді: алыстағы таулар бұлыңғыр емес, төмен контрастпен көрінеді, өйткені пейзажды сканерлеген кезде көз үнемі қайта фокусталады, бұл өріс тереңдігі мәселесіне жат. Фонды бұлыңғырлау арқылы сіз бір уақытта алдыңғы планды айқындай аласыз. Бұған қоса, алдыңғы қатарда кескіннің сызықтарын жақсартуға болады (Жоғары өту сүзгісі немесе Айқындық). Бұл жоғары сапалы линзалар кескінінің тән дөңестігін түсіндіретін алдыңғы планның жоғары анықтығы. Абайлаңыз: үш өлшемділіктің шамалы жоғарылауы үшін кескінді тым қатты етуге болады.
Жеңілірек нысандар алысырақ көрінеді. Бұл табиғатта алыстағы заттарды жарық шашатын ауаның қалыңдығы арқылы көретінімізге байланысты; шалғай таулар жарық болып көрінеді. Сондықтан пейзаждық фотосуретте жеңіл заттардың алдыңғы қатардағы орналасуына абай болу керек.
Алыстағы заттарды жарықтандырыңыз. Неғұрлым алыс болса, соғұрлым олар аспанның жарықтығы мен тонусымен біріктіріледі. Көлденең объектілер (құрлық, теңіз) тікке (қабырғалар, ағаштар) қарағанда жақсы жарықтандырылғанын ескеріңіз, сондықтан соңғысын жарықтандыру арқылы оны асыра алмаңыз. Қалай болғанда да, нысандар аспанға қарағанда айтарлықтай аз жарық болып қалуы керек.
Егер сіз жарықтандырудың фон жарықтығындағы контрастты азайтудың тағы бір әдісі екенін байқасаңыз. Дөңес әсерді күшейту үшін алдыңғы планды аздап қараңғылаңыз.
Интерьерде керісінше болған сияқты. Көшеде көз арақашықтықтың жеңіл екеніне үйренсе, бөлмеде жарық көбінесе адамға бағытталып, іші қараңғылыққа батырылады; ми фондық емес, алдыңғы қатарда жарықтандыруға үйренген.
Сахна тереңдігі аз интерьер суреттерінде пейзаждық кескіндерден айырмашылығы, жарықтандырылған модель күңгірт фоннан шығып тұрады. Бірақ қарама-қарсы фактор да бар: адам өзінің эволюциясының 99% ашық жерде перспективаны байқады, ал бөлмелердің пайда болуымен мидың әлі қайта құруға уақыты болмады. Вермеер портреттер үшін жеңіл фонға артықшылық берді және олар шынымен дөңес. Фотосуретте ұсынылған тік фонның жарықтандырылуы модельді одан ажыратып қана қоймайды, сонымен қатар фонды жеңілдету арқылы кескінге аздап үш өлшемділік береді. Бұл жерде біз мидың объектілердің орналасуын бірнеше факторларға қарай талдайтындығымен бетпе-бет келіп отырмыз және олар қақтығыс болуы мүмкін.
Студияны жарықтандыру қызықты көрінеді, онда жарық дақтар модельдің камерадан қашықтағы аймақтарында орналасады. Мысалы, камерадан алыс орналасқан кеуде бөлектеледі.
Алыстағы объектілерде түс қанықтылығын төмендетіңіз: бізді бөліп тұрған ауаның қалыңдығына байланысты алыс таулар монохромды деңгейге дерлік қаныққан және көк тұманмен жабылған. Алдыңғы жоспардың қанықтылығын арттыруға болады.
Сары түс ашық, ал көк пен қызыл қараңғы болғандықтан, түс контрасты да жарықтық контраст болып табылады.
Алыстағы фонды қанықсыздандырып, оның көзден кетуіне жол бермеңіз. Көбінесе, керісінше, оны шығару үшін фонның қанықтылығын арттыру керек. Бұл үш өлшемділіктен маңыздырақ.
3D фотосуретке арналған көптеген кеңестер температура контрастына қатысты. Шын мәнінде, бұл әсер өте әлсіз, жарықтықтағы контрастпен оңай үзіледі. Сонымен қатар, температуралық контраст тітіркендіргіш, таң қалдырады.
Өте алыстағы заттар салқынырақ болып көрінеді, өйткені жылы қызғылт сары жарық ауамен жұтылады. Фондағы көкжиекте кемелері бар жағажайда модельді суретке түсіргенде, кейінгі өңдеу кезінде алыс теңіздің және кемелердің түс температурасын төмендетіңіз. Көгілдір теңізден қызыл купальник киген модель шығады, ал көгілдір ымырттан көше шамының сары жарығында модель шығады.
Бұл бөлек тонирование: біз модельді жылырақ етеміз, фон суық. Ми бір жазықтықта әртүрлі түс температурасы жоқ екенін түсінеді және мұндай кескінді үш өлшемді деп қабылдайды, онда модель фоннан шығып тұрады. Бөлек тондау пейзаждарға тереңдік қосады: алдыңғы планды жылырақ, фонды салқынырақ етіңіз.
Бөлінген тонирование үшін маңызды ерекшелік: күннің шығуы мен батуы кезінде алыс фон мүлдем суық емес, жылы, сары және қызыл-қызғылт сары реңктері бар. Ашық шешім - күлгін купальниктегі ақ модельді пайдалану - жұмыс істемейді, өйткені күннің батуы сәулесі модельдің денесіне де жылы реңк береді.
Қорытындылай келе, атмосфералық әсерлерге негізделген фотосуретке үш өлшемділік беру үшін алдыңғы және фонды қарама-қарсы қою керек. Негізгі қарама-қарсылық әдеттегі контрастта: алдыңғы план - контраст, фон - төмен контраст. Екінші қарама-қарсылық айқындылықта: алдыңғы план анық, фон бұлыңғыр. Үшінші қарсылық жеңілдігі бойынша: алдыңғы өң қараңғы, фон ашық. Төртінші қарсылық қанықтығы бойынша: алдыңғы түстер қаныққан, фондық түстер қанықсыз. Бесінші қарсылық температурада: алдыңғы жоспар жылы, фон суық.
Бұл факторлар көбінесе көп бағытты болады. Сары түс көкке қарағанда ашық, ал ашық заттар қараңғыға қарағанда көбірек көрінеді. Көрерменге сары түс шегініп, көк келеді деп күту заңдылық. Шын мәнінде, керісінше: суық фоннан жылы түс пайда болады. Яғни, түс жарықтан гөрі күштірек фактор болып шығады. Бұл таңқаларлық емес: сары мен қызылды жақыннан ғана ажыратуға болады, ал көрермен оларды алыс қашықтықта кездестіреді деп күтпейді.
Төменгі жол: фон төмен контрастты сақтаңыз, шайылған, ашық, қанықпаған, көкшіл. Гипертрофияланған 3D фильмдерге үйренген көрермен сіз жасаған үш өлшемділікті әрең байқайтын немесе жоқ деп табатынына дайын болыңыз.
Портреттік суретте дәлелденген хиароскуро эффектісіне, суреттің айтарлықтай көрнекті болып көрінетін субъектінің бетіндегі жарық пен көлеңке ойынына сүйенген дұрыс. Жанрлық фотосуретте перспектива ең көрнекті үш өлшемді әсер береді. Натюрмортта негізгі фактор объектілердің қиылысуы (қабаттамасы) болады.
Перспективаға алданып қалмаңыз; бұл сіздің кескініңіз дірілдеген фронтальды жазықтықтың фоны ғана. Қазіргі кескіндемеде реализмнен алшақ, перспектива жоғары бағаланбайды.
Толық кітапты жүктеп алыңыз: pdfepubazw3mobifb2lit Мазмұны
|
|||||||||||||||||||||
|
1904 жылы Анри Пуанкаре үш өлшемді сфераның белгілі бір қасиеттеріне ие кез келген үш өлшемді нысанды 3 шарға айналдыруға болатынын ұсынды. Бұл гипотезаны дәлелдеу үшін 99 жыл қажет болды. (Назар аударыңыз! Үш өлшемді сфера сіз ойлағандай емес.) Орыс математигі Григорий Перельман жүз жыл бұрын жасалған Пуанкаре болжамын дәлелдеп, үш өлшемді кеңістіктердің пішіндерінің каталогын жасауды аяқтады.
Пуанкаре 3-шардың бірегей екендігін және басқа ешбір ықшам 3-коллектордың (ықшам емес коллекторлар шексіз немесе жиектері бар. Келесіде тек жинақы коллекторлар қарастырылады) оны соншалықты қарапайым ететін қасиеттерге ие емес деп ұсынды. Неғұрлым күрделі 3-коллекторлардың кірпіш қабырғаға ұқсайтын шекаралары немесе кейбір аумақтар арасындағы бірнеше байланыстар бар, мысалы, айыр және қайта қосылатын орман жолы. 3-шардың қасиеттері бар кез келген үш өлшемді объект 3-шардың өзіне айналуы мүмкін, сондықтан топологтар үшін бұл жай ғана оның көшірмесі. Перельманның дәлелі бізге үшінші сұраққа жауап беруге және барлық бар 3-көпшілікті жіктеуге мүмкіндік береді.
3-сфераны елестету үшін сізге жеткілікті қиял қажет. Бақытымызға орай, оның әдеттегі мысалы дөңгелек шардың резеңкесі болып табылатын 2-шармен көп ұқсастығы бар: ол екі өлшемді, өйткені оның кез келген нүктесі тек екі координатпен беріледі - ендік пен бойлық. Егер оның жеткілікті кішкентай бөлігін қуатты үлкейткіш әйнек астында қарастырсақ, онда ол жалпақ парақтың бір бөлігі болып көрінеді. Шардың үстінде жорғалап жүрген кішкентай жәндікке ол тегіс жер болып көрінеді. Бірақ егер бугер түзу сызықта жеткілікті ұзақ қозғалса, ол ақырында бастапқы нүктесіне оралады. Дәл осылай біз Ғаламның өлшемімен бірдей 3 шарды «қарапайым» үш өлшемді кеңістік ретінде қабылдайтын едік. Кез келген бағытта жеткілікті алыс ұшатын болсақ, біз ақырында оның үстінде «әлемді айналдырамыз» және бастапқы нүктеге ораламыз.
Сіз болжағандай, n-өлшемді шар n-шар деп аталады. Мысалы, 1-шар барлығына таныс: бұл жай ғана шеңбер.
Жоғары өлшемді кеңістіктер туралы теоремаларды дәлелдейтін математиктерге зерттеу объектісін елестетудің қажеті жоқ: олар аз өлшемдері бар аналогияларға негізделген түйсіктерді басшылыққа ала отырып, абстрактілі қасиеттермен айналысады (мұндай ұқсастықтарға сақтықпен қарау керек және сөзбе-сөз қабылданбау керек). Біз сондай-ақ өлшемдері азырақ объектілердің қасиеттеріне негізделген 3-шарды қарастырамыз.
1. Шеңбер мен оны шектейтін шеңберді қарастырудан бастайық. Математиктер үшін шеңбер - екі өлшемді шар, ал шеңбер - бір өлшемді шар. Әрі қарай, кез келген өлшемдегі доп - қарбызға ұқсайтын толтырылған нысан, ал шар - оның беті, шар тәрізді. Шеңбер бір өлшемді, өйткені ондағы нүктенің орнын бір санмен анықтауға болады.
2. Екі шеңберден біреуін Солтүстік жарты шарға, екіншісін Оңтүстікке айналдырып, екі өлшемді шар сала аламыз. Оларды желімдеу қалады, ал 2-шар дайын.
3. Құмырсқаның Солтүстік полюстен нөлдік және 180-ші меридианнан (сол жақта) құрылған үлкен шеңбер бойымен жорғалап келе жатқанын елестетіңіз. Егер біз оның жолын екі бастапқы шеңберге (оң жақта) салсақ, жәндік түзу сызықпен (1) солтүстік шеңбердің (а) шетіне қарай жылжитынын, содан кейін шекараны кесіп өтіп, беткі жағындағы сәйкес нүктеге соғатынын көреміз. оңтүстік шеңбер және түзу сызық бойымен жүруді жалғастырады (2 және 3). Содан кейін құмырсқа қайтадан шетіне (b) жетеді, оны кесіп өтеді және қайтадан солтүстік шеңберге түседі, бастапқы нүктеге - Солтүстік полюске (4) асығады. 2-сферада әлемді айналып шығу кезінде бір шеңберден екінші шеңберге өткенде қозғалыс бағыты кері өзгеретінін ескеріңіз.
4. Енді біздің 2-шарымызды және ондағы көлемді (3D шар) қарастырайық және олармен шеңбер мен шеңбермен жасағандай әрекет етіңіз: доптың екі көшірмесін алыңыз және олардың шекараларын бір-біріне жабыстырыңыз. Шарлардың төрт өлшемде қалай бұрмаланғанын және жарты шарлардың аналогына айналатынын анық көрсету мүмкін емес және қажет емес. Беттердегі сәйкес нүктелерді білу жеткілікті, яғни. 2-шарлар шеңберлердегідей өзара байланысқан. Екі шарды біріктірудің нәтижесі - 3-шар - төрт өлшемді шардың беті. (3 шар және 4 шар бар төрт өлшемде нысанның беті үш өлшемді болады.) Бір шарды солтүстік жарты шар, екіншісін оңтүстік жарты шар деп атаймыз. Шеңберлерге ұқсастық бойынша, полюстер енді шарлардың ортасында.
5. Қарастырылып отырған шарлар кеңістіктің үлкен бос аумақтары екенін елестетіңіз. Ғарышкер Солтүстік полюсті зымыранмен тастап кетті делік. Уақыт өте келе ол экваторға (1) жетеді, ол қазір солтүстік жер шарын қоршап тұрған сфера. Оны кесіп өтіп, зымыран оңтүстік жарты шарға еніп, оның орталығы – Оңтүстік полюс арқылы түзу сызық бойымен экватордың қарама-қарсы жағына (2 және 3) жылжиды. Онда солтүстік жарты шарға көшу қайтадан орын алады, ал саяхатшы Солтүстік полюске оралады, яғни. бастапқы нүктеге (4). Бұл төрт өлшемді шардың бетінде бүкіл әлем бойынша саяхаттаудың сценарийі! Қарастырылған үш өлшемді сфера Пуанкаре болжамында айтылған кеңістік болып табылады. Бәлкім, біздің Ғалам тек үш шардан тұрады.
Ойлауды бес өлшемге дейін кеңейтіп, 4-сфера салуға болады, бірақ оны елестету өте қиын. Егер екі n-шарды оларды қоршап тұрған (n-1)-шарлардың бойымен жапсырсақ, (n+1)-шарды шектейтін n-шар шығады.
Пуанкаре болжамы жерден шыққанға дейін жарты ғасыр өтті. 60-жылдары. 20 ғасыр математиктер бес немесе одан да көп өлшемді сфералар үшін оған ұқсас мәлімдемелерді дәлелдеді. Әрбір жағдайда n-шары шын мәнінде жалғыз және ең қарапайым n-көпшілік болып табылады. Бір қызығы, көп өлшемді сфералар үшін нәтиже алу 3- және 4-сфераларға қарағанда оңайырақ болды. Төрт өлшемнің дәлелі 1982 жылы пайда болды. Тек 3-сфера туралы бастапқы Пуанкаре болжамы расталмаған.
Шешуші қадам 2002 жылдың қарашасында, математика институтының Санкт-Петербург кафедрасының математигі Григорий Перельманмен жасалды. Стеклов www.arxiv.org сайтына мақала жіберді, онда әлемнің түкпір-түкпірінен келген физиктер мен математиктер өздерінің ғылыми қызметінің нәтижелерін талқылайды. Топологтар орыс ғалымының еңбегі мен Пуанкаре гипотезасы арасындағы байланысты бірден байқады, бірақ автор бұл туралы тікелей айтпаған.
Шын мәнінде, Перельманның дәлелі, оның дұрыстығына әлі ешкім күмән келтіре алмаған, нақты Пуанкаре болжамына қарағанда әлдеқайда кең ауқымды сұрақтарды шешеді. Корнелл университетінің Уильям П.Терстон ұсынған геометризация процедурасы өзінің керемет қарапайымдылығымен ерекшеленетін 3-шарға негізделген 3-көпшілікті толық жіктеуге мүмкіндік береді. Егер Пуанкаре болжамы жалған болса, яғни. егер шар тәрізді қарапайым кеңістіктер көп болса, онда 3-көпшілікті жіктеу шексіз күрделі нәрсеге айналар еді. Перелман мен Турстонның арқасында бізде біздің Ғалам қабылдай алатын математика рұқсат еткен үш өлшемді кеңістіктің барлық нысандарының толық каталогы бар (егер уақытсыз кеңістікті ғана қарастырсақ).
Пуанкаре болжамын және Перельманның дәлелдеуін жақсырақ түсіну үшін топологияға жақынырақ қарау керек. Математиканың бұл бөлімінде кез келген жолмен созуға, сығуға және майыстыруға болатын қамырдан жасалған нәрсенің пішіні маңызды емес. Неліктен біз заттар немесе кеңістіктер туралы ойдан шығарылған сынақтан ойлануымыз керек? Өйткені, заттың нақты пішіні – оның барлық нүктелерінің арасындағы қашықтық – геометрия деп аталатын құрылымдық деңгейге жатады. Сынақтан объектіні зерттей отырып, топологтар оның геометриялық құрылымға тәуелді емес іргелі қасиеттерін ашады. Топологияны зерттеу кез келген нақты жеке тұлғаға айналдыруға болатын «пластилин адамға» қарап, адамдарда бар ең көп таралған белгілерді іздеу сияқты.
Танымал әдебиетте топология тұрғысынан тостағанның пончиктен еш айырмашылығы жоқ деген қате пікір жиі кездеседі. Факті мынада, бір кесе қамырды материалды жай ұсақтау арқылы пончикке айналдыруға болады, яғни. ештеңе жабыспайды немесе тесік жасамайды. Екінші жағынан, доптан пончик жасау үшін, әрине, оған тесік жасау керек немесе оны цилиндрге айналдырып, ұштарын соқырлау керек, сондықтан доп мүлде пончик емес.
Топологтарды шар мен пончиктің беттері қызықтырады. Сондықтан қатты денелердің орнына шарларды елестету керек. Олардың топологиясы әлі де әртүрлі, өйткені сфералық шарды сақиналы шарға айналдыру мүмкін емес, оны торус деп атайды. Біріншіден, ғалымдар әртүрлі топологиясы бар қанша объект бар екенін және оларды қалай сипаттауға болатынын анықтауды шешті. Біз беттерді шақыруға дағдыланған 2-көпшілік үшін жауап талғампаз және қарапайым: бәрі «тесіктердің» санымен немесе бірдей тұтқалар санымен анықталады. XIX ғасырдың аяғында. математиктер беттерді қалай жіктеуге болатынын анықтады және олардың ең қарапайымы шар екенін анықтады. Әрине, топологтар 3-манифольдтар туралы ойлана бастады: 3-сфера өзінің қарапайымдылығымен ерекше ме? Жауап іздеудің ғасырлық тарихы қате қадамдар мен қате дәлелдерге толы.
Анри Пуанкаре бұл мәселені шындап қолға алды. Ол 20 ғасырдың басындағы ең күшті екі математиктің бірі болды. (екіншісі Дэвид Гильберт болды). Ол соңғы генерал деп аталды - ол таза және қолданбалы математиканың барлық бөлімдерінде сәтті жұмыс істеді. Сонымен қатар, Пуанкаре аспан механикасының, электромагнетизм теориясының дамуына, сондай-ақ ғылым философиясына үлкен үлес қосты, ол туралы бірнеше танымал кітаптар жазды.
Пуанкаре алгебралық топологияның негізін салушы болды және оның әдістерін қолдана отырып, 1900 жылы гомотопия деп аталатын объектінің топологиялық сипаттамасын тұжырымдады. Манифольдтың гомотопиясын анықтау үшін оған тұйық циклды ойша батыру керек. Содан кейін біз контурды коллектордың ішінде жылжыту арқылы оны бір нүктеге дейін қысқартуға болатынын білуіміз керек. Торус үшін жауап теріс болады: егер сіз торустың айналасына ілмек жасасаңыз, онда оны бір нүктеге дейін қысқарту мүмкін болмайды, өйткені пончиктің «тесігі» кедергі жасайды. Гомотопия - циклдің жиырылуын болдырмайтын әртүрлі жолдар саны.
n-сферада кез келген, тіпті күрделі бұралған ілмек әрқашан шешіліп, бір нүктеге дейін тартылуы мүмкін. (Цикл өзінен өтуге рұқсат етіледі.) Пуанкаре 3-шарды кез келген циклды нүктеге дейін қысқартуға болатын жалғыз 3-көпшілік деп есептеді. Өкінішке орай, ол ешқашан өз болжамын дәлелдей алмады, ол кейінірек Пуанкаре болжамы деп аталды.
Перельманның 3-көпшілікті талдауы геометризация процедурасымен тығыз байланысты. Геометрия енді қамырдан емес, керамикадан жасалған заттар мен коллекторлардың нақты пішінімен айналысады. Мысалы, кесе мен бауырсақ геометриялық жағынан ерекшеленеді, өйткені олардың беттері әртүрлі қисық. Тостаған мен пончик әртүрлі геометриялық фигуралар берілген топологиялық торустың екі мысалы деп айтылады.
Перельман неліктен геометризацияны қолданғанын түсіну үшін 2-көпшілікті жіктеуді қарастырыңыз. Әрбір топологиялық бетке қисықтық коллекторда біркелкі таралған бірегей геометрия тағайындалады. Мысалы, шар үшін бұл мінсіз сфералық бет. Топологиялық сфераның тағы бір ықтимал геометриясы жұмыртқа болып табылады, бірақ оның қисықтығы барлық жерде біркелкі таралмаған: өткір ұшы доғалға қарағанда қисық.
2-манифольдтар үш геометриялық типті құрайды. Шар оң қисықтықпен сипатталады. Геометрленген торус тегіс және нөлдік қисықтыққа ие. Екі немесе одан да көп «тесігі» бар барлық басқа 2-коллекторлар теріс қисықтыққа ие. Олар алдына және артына жоғары қарай, солға және оңға төмен қарай қисайып тұратын ершікке ұқсас бетке сәйкес келеді. Бұл геометриялық классификацияны (геометризация) 2-көпшілікті Пуанкаре Пол Кобе және Феликс Клейнмен бірге әзірледі, оның атымен Клейн бөтелкесінің аты берілген.
Ұқсас әдісті 3-манифольдқа қолдануға табиғи тілек бар. Олардың әрқайсысы үшін қисықтық бүкіл коллекторға біркелкі таралатын осындай бірегей конфигурацияны табуға болады ма?
3-коллекторлар екі өлшемді әріптестерінен әлдеқайда күрделі және олардың көпшілігін біртекті геометриямен байланыстыруға болмайтыны анықталды. Оларды сегіз канондық геометрияның біріне сәйкес келетін бөліктерге бөлу керек. Бұл процедура санның жай көбейткіштерге ыдырауына ұқсайды.
Коллекторды қалай геометриялауға және оған барлық жерде біркелкі қисықтық беруге болады? Сізге әртүрлі шығыңқы жерлер мен ойықтары бар ерікті геометрияны алу керек, содан кейін барлық бұдырларды тегістеу керек. 90-жылдардың басында. 20 ғасыр Гамильтон математик Грегорио Риччи-Курбастроның атымен аталған Риччи ағынының теңдеуін қолданып 3-манифольдты талдай бастады. Ол біркелкі емес қыздырылған денеде температурасы барлық жерде бірдей болғанша ағып жатқан жылу ағындарын сипаттайтын жылу теңдеуіне біршама ұқсас. Дәл осылай Ricci ағынының теңдеуі коллектордың қисаюының өзгеруін анықтайды, бұл барлық қырлар мен ойыстарды теңестіруге әкеледі. Мысалы, жұмыртқадан бастасаңыз, ол бірте-бірте шар тәрізді болады.
Перельман Риччи ағынының теңдеуіне жаңа термин қосты. Бұл өзгеріс сингулярлық проблеманы жоймады, бірақ анағұрлым тереңірек талдауға мүмкіндік берді. Орыс ғалымы гантель тәрізді коллекторда «хирургиялық» операция жасауға болатындығын көрсетті: пайда болған шымшудың екі жағындағы жұқа түтікшені кесіп тастаңыз және шар тәрізді қалпақшалармен шарлардан шығып тұрған ашық түтіктерді жабыңыз. Содан кейін Ricci ағынының теңдеуіне сәйкес «жұмыс істейтін» коллекторды өзгертуді жалғастыру керек және барлық пайда болатын шымшуларға жоғарыда көрсетілген процедураны қолдану керек. Перельман сигар тәрізді белгілердің пайда болмайтынын да көрсетті. Осылайша, кез келген 3-коллекторды біркелкі геометриясы бар бөліктер жиынтығына келтіруге болады.
Ricci ағыны мен «операция» барлық мүмкін болатын 3-манифольдтарға қолданылғанда, олардың кез келгені, егер ол 3-сфера сияқты қарапайым болса (басқаша айтқанда, бірдей гомотопияға ие болса), міндетті түрде бірдей біртекті геометрияға дейін төмендейді, ол және 3-шар. Демек, топологиялық тұрғыдан алғанда, қарастырылатын алуан түрлі 3-сфера болып табылады. Осылайша 3-сфера бірегей болып табылады.
Перельман мақалаларының құндылығы тек Пуанкаре болжамын дәлелдеуде ғана емес, талдаудың жаңа әдістерінде де жатыр. Дүние жүзінің ғалымдары қазірдің өзінде орыс математигі алған нәтижелерді өз жұмыстарында пайдаланып, оның жасаған әдістерін басқа салаларда қолдануда. Ricci ағыны бөлшектердің соқтығысу энергиясына байланысты өзара әрекеттесу күші қалай өзгеретінін анықтайтын ренормалану тобы деп аталатын топпен байланысты екені анықталды. Мысалы, төмен энергияларда электромагниттік әсерлесудің күші 0,0073 санымен сипатталады (шамамен 1/137). Дегенмен, екі электрон жарық жылдамдығымен бетпе-бет соқтығысқанда, бұл күш 0,0078-ге жақындайды. Физикалық күштердің өзгеруін сипаттайтын математика көпбұрыштың геометризациясын сипаттайтын математикаға өте ұқсас.
Соқтығыс энергиясының жоғарылауы қысқа қашықтықтағы оқу күшіне тең. Сондықтан ренормальизация тобы процесті егжей-тегжейдің әртүрлі деңгейлерінде зерттеуге мүмкіндік беретін айнымалы ұлғайту коэффициенті бар микроскоп сияқты. Сол сияқты, Ricci ағыны - бұл коллекторларды қарауға арналған микроскоп. Бір үлкейту кезінде көрінетін шығыңқылар мен ойыстар екіншісінде жоғалады. Планк ұзындығы (шамамен 10 -35 м) масштабында біз өмір сүретін кеңістік күрделі топологиялық құрылымы бар көбік сияқты көрінуі мүмкін. Сонымен қатар, тартылыс күшінің сипаттамаларын және ғаламның ауқымды құрылымын сипаттайтын жалпы салыстырмалылық теңдеулері Риччи ағынының теңдеуімен тығыз байланысты. Парадоксальды түрде, Гамильтон қолданған өрнекке қосылған Перельман термині гравитацияның кванттық теориясы деп мәлімдейтін жолдар теориясында кездеседі. Орыс математигінің мақалаларында ғалымдар абстрактілі 3-көпшілік туралы ғана емес, сонымен бірге біз өмір сүретін кеңістік туралы әлдеқайда пайдалы ақпарат таба алатын шығар.
