Кездейсоқ айнымалылар. Дискретті кездейсоқ шама.Математикалық күту. Кездейсоқ шаманың күту және дисперсиясы Портфельдік теорияда орташа күту көрсетеді

Сондай-ақ өз бетінше шешуге болатын мәселелер болады, олардың жауабын көре аласыз.

Күту және дисперсия кездейсоқ шаманың ең жиі қолданылатын сандық сипаттамалары болып табылады. Олар таралудың маңызды белгілерін сипаттайды: оның орналасуы мен шашырау дәрежесі. Күтілетін мән көбінесе жай орташа деп аталады. кездейсоқ шама. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы – кездейсоқ шаманың дисперсиясына, таралуына тән оның математикалық күтуі туралы.

Көптеген практикалық есептерде кездейсоқ шаманың толық, толық сипаттамасы – таралу заңы не алынбайды, не мүлде қажет емес. Мұндай жағдайларда сандық сипаттамаларды пайдалана отырып, кездейсоқ шаманың шамамен сипаттамасымен шектеледі.

Дискретті кездейсоқ шаманы күту

Математикалық күту ұғымына келейік. Қандай да бір заттың массасы х осінің нүктелері арасында үлестірілсін x1 , x 2 , ..., x n. Сонымен қатар, әрбір материалдық нүкте ықтималдығы бар сәйкес массаға ие б1 , б 2 , ..., б n. Материалдық нүктелердің бүкіл жүйесінің орнын олардың массаларын ескере отырып сипаттайтын абсцисса осінде бір нүктені таңдау талап етіледі. Мұндай нүкте ретінде материалдық нүктелер жүйесінің массалар центрі алынуы заңды. Бұл кездейсоқ шаманың орташа алынған мәні X, оған әрбір нүктенің абциссасы xменсәйкес ықтималдыққа тең «салмақпен» енеді. Осы жолмен алынған кездейсоқ шаманың орташа мәні Xоның математикалық күтуі деп аталады.

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі оның барлық мүмкін мәндерінің және осы мәндердің ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы болып табылады:

1-мысал.Ұтыс лотереясы ұйымдастырылды. 1000 ұтыс бар, оның 400-і 10 рубль. Әрқайсысы 300-20 рубльден. Әрқайсысы 200-100 рубль. және әрқайсысы 100 - 200 рубль. Бір билетті сатып алған адамның орташа ұтысы қанша?

Шешім. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 рубль болатын жалпы ұтыс сомасын 1000-ға (ұтыстардың жалпы сомасы) бөлетін болсақ, орташа ұтыстарды табамыз. Содан кейін біз 50000/1000 = 50 рубль аламыз. Бірақ орташа ұтыстарды есептеуге арналған өрнек келесі түрде ұсынылуы мүмкін:

Екінші жағынан, бұл жағдайларда ұтыс мөлшері кездейсоқ шама болып табылады, ол 10, 20, 100 және 200 рубль мәндерін қабылдай алады. сәйкесінше 0,4-ке тең ықтималдықпен; 0,3; 0,2; 0.1. Демек, күтілетін орташа ұтыс ұтыс мөлшері мен оларды алу ықтималдығының өнімдерінің қосындысына тең.

2-мысал.Баспа жаңа кітап шығаруды ұйғарды. Ол кітапты 280 рубльге сатуды жоспарлап отыр, оның 200-ін өзі, 50-ін кітап дүкені және 30-ын автор алады. Кестеде кітапты басып шығару шығындары және кітаптың белгілі бір дана санын сату ықтималдығы туралы ақпарат берілген.

Баспагердің күтілетін пайдасын табыңыз.

Шешім. Кездейсоқ шама «пайда» сатудан түскен кіріс пен шығындардың өзіндік құны арасындағы айырмаға тең. Мысалы, егер кітаптың 500 данасы сатылса, онда сатудан түскен табыс 200 * 500 = 100 000, ал басылымның құны 225 000 рубльді құрайды. Осылайша, баспагер 125 000 рубль шығынға ұшырайды. Келесі кестеде кездейсоқ шаманың – пайданың күтілетін мәндері жинақталған:

Сан	Пайда xмен	Ықтималдық бмен	xмен бмен
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Барлығы:		1,00	25000

Осылайша, біз баспагердің пайдасынан математикалық күтуді аламыз:

.

3-мысал.Бір оқпен соғу ықтималдығы б= 0,2. 5-ке тең соққылар санын математикалық күтуді қамтамасыз ететін снарядтардың шығынын анықтаңыз.

Шешім. Біз осы уақытқа дейін пайдаланған бірдей математикалық күту формуласынан өрнектейміз x- қабық тұтынуы:

.

4-мысал.Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін анықтаңыз xүш атумен соққылар саны, егер әрбір атыспен соққы ықтималдығы б = 0,4 .

Нұсқау: арқылы кездейсоқ шамалардың ықтималдығын табыңыз Бернулли формуласы .

Математикалық күтудің қасиеттері

Математикалық күтудің қасиеттерін қарастырайық.

Мүлік 1.Тұрақты шаманың математикалық күтуі осы тұрақтыға тең:

Мүлік 2.Тұрақты коэффициентті математикалық күту белгісінен шығаруға болады:

Мүлік 3.Кездейсоқ шамалардың қосындысының (айырымы) математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына (айырымы) тең:

Мүлік 4.Кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең:

Мүлік 5.Кездейсоқ шаманың барлық мәндері болса Xбірдей санға кему (өсу). МЕН, онда оның математикалық күтуі бірдей санға азаяды (өседі):

Сіз өзіңізді тек математикалық күтумен шектей алмасаңыз

Көп жағдайда тек математикалық күту кездейсоқ шаманы жеткілікті түрде сипаттай алмайды.

Кездейсоқ айнымалылар болсын XЖәне Ыкелесі бөлу заңдарымен берілген:

Мағынасы X	Ықтималдық
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Мағынасы Ы	Ықтималдық
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Бұл шамалардың математикалық күтулері бірдей – нөлге тең:

Алайда олардың таралу заңдылықтары әртүрлі. Кездейсоқ мән Xтек математикалық күтуден аз ғана ерекшеленетін мәндерді және кездейсоқ шаманы қабылдай алады Ыматематикалық күтуден айтарлықтай ауытқыған мәндерді қабылдай алады. Осыған ұқсас мысал: орташа жалақы жоғары және төмен жалақы алатын жұмысшылардың үлесін бағалауға мүмкіндік бермейді. Басқаша айтқанда, математикалық күтуден қандай ауытқулар, ең болмағанда, орта есеппен мүмкін екенін анықтау мүмкін емес. Ол үшін кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу керек.

Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы

Дисперсиядискретті кездейсоқ шама Xоның математикалық күтуден ауытқу квадратының математикалық күтуі деп аталады:

Кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы Xоның дисперсиясының квадрат түбірінің арифметикалық мәні қалай аталады:

.

5-мысал.Кездейсоқ шамалардың дисперсиялары мен стандартты ауытқуларын есептеңіз XЖәне Ы, таралу заңдары жоғарыдағы кестелерде берілген.

Шешім. Кездейсоқ шамалардың математикалық күтулері XЖәне Ы, жоғарыда табылғандай, нөлге тең. дисперсия формуласына сәйкес Е(X)=Е(ж)=0 аламыз:

Содан кейін кездейсоқ шамалардың стандартты ауытқулары XЖәне Ытатуласу

.

Осылайша, бірдей математикалық күтулермен кездейсоқ шаманың дисперсиясы Xөте кішкентай, бірақ кездейсоқ шама Ы- маңызды. Бұл олардың таралуындағы айырмашылықтардың салдары.

6-мысал.Инвестордың 4 баламалы инвестициялық жобасы бар. Кесте осы жобалардағы күтілетін пайданы сәйкес ықтималдықпен қорытындылайды.

Жоба 1	Жоба 2	Жоба 3	Жоба 4
500, П=1	1000, П=0,5	500, П=0,5	500, П=0,5
	0, П=0,5	1000, П=0,25	10500, П=0,25
		0, П=0,25	9500, П=0,25

Әрбір балама үшін математикалық күтуді, дисперсияны және стандартты ауытқуды табыңыз.

Шешім. Осы мәндердің 3-ші балама үшін қалай есептелетінін көрсетейік:

Кестеде барлық баламалар үшін табылған мәндер жинақталған.

Барлық баламалар бірдей математикалық үміттерге ие. Бұл ұзақ мерзімді перспективада барлығының бірдей табысы бар дегенді білдіреді. Стандартты ауытқуды тәуекел өлшемі ретінде түсіндіруге болады – ол неғұрлым жоғары болса, соғұрлым инвестиция тәуекелі жоғары болады. Үлкен тәуекелді қаламайтын инвестор 1-жобаны таңдайды, өйткені оның стандартты ауытқуы ең аз (0) болады. Егер инвестор қысқа мерзімде тәуекелді және жоғары табыстылықты қалайтын болса, онда ол ең үлкен стандартты ауытқуы бар жобаны таңдайды - 4-жоба.

Дисперсиялық қасиеттер

Дисперсияның қасиеттерін көрсетейік.

Мүлік 1.Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең:

Мүлік 2.Тұрақты коэффициентті дисперсия белгісінен квадраттау арқылы шығаруға болады:

.

Мүлік 3.Кездейсоқ шаманың дисперсиясы осы шаманың квадратының математикалық күтуіне тең, одан мәннің өзінің математикалық күтуінің квадраты шегеріледі:

,

Қайда .

Мүлік 4.Кездейсоқ шамалардың қосындысының (айырымы) дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына (айырымы) тең:

7-мысал.Дискретті кездейсоқ шама екені белгілі Xтек екі мәнді қабылдайды: −3 және 7. Сонымен қатар, математикалық күту белгілі: Е(X) = 4. Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңыз.

Шешім. арқылы белгілейік бкездейсоқ шаманың мән қабылдау ықтималдығы x1 = −3 . Содан кейін мәннің ықтималдығы x2 = 7 1 - болады б. Математикалық күтудің теңдеуін шығарайық:

Е(X) = x 1 б + x 2 (1 − б) = −3б + 7(1 − б) = 4 ,

ықтималдықтарды қайдан аламыз: б= 0,3 және 1 − б = 0,7 .

Кездейсоқ шаманың таралу заңы:

X	−3	7
б	0,3	0,7

Бұл кездейсоқ шаманың дисперсиясын дисперсияның 3 қасиетінен формула арқылы есептейміз:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін өзіңіз табыңыз, содан кейін шешімін қараңыз

8-мысал.Дискретті кездейсоқ шама Xтек екі мәнді қабылдайды. Ол 0,4 ықтималдығы бар 3 мәндерінің үлкенін қабылдайды. Сонымен қатар, кездейсоқ шаманың дисперсиясы белгілі D(X) = 6. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін табыңыз.

9-мысал.Урнада 6 ақ және 4 қара шар бар. Урнадан 3 шар алынады. Тартылған шарлар арасындағы ақ шарлар саны дискретті кездейсоқ шама X. Осы кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.

Шешім. Кездейсоқ мән X 0, 1, 2, 3 мәндерін қабылдай алады. Сәйкес ықтималдықтарды мынадан есептеуге болады ықтималдықты көбейту ережесі. Кездейсоқ шаманың таралу заңы:

X	0	1	2	3
б	1/30	3/10	1/2	1/6

Демек, бұл кездейсоқ шаманың математикалық күтуі:

М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Берілген кездейсоқ шаманың дисперсиясы:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Үздіксіз кездейсоқ шаманың күтуі және дисперсиясы

Үздіксіз кездейсоқ шама үшін математикалық күтудің механикалық интерпретациясы бірдей мағынаны сақтайды: тығыздығы бар x осінде үздіксіз таралатын бірлік масса үшін массалар центрі f(x). Функция аргументі болатын дискретті кездейсоқ шамадан айырмашылығы xменкенет өзгереді; үздіксіз кездейсоқ шама үшін аргумент үздіксіз өзгереді. Бірақ үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуі оның орташа мәнімен де байланысты.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табу үшін белгілі интегралдарды табу керек. . Егер үздіксіз кездейсоқ шаманың тығыздық функциясы берілсе, онда ол тікелей интегралға енеді. Ықтималдылықтың таралу функциясы берілсе, оны дифференциалдау арқылы тығыздық функциясын табу керек.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің орташа арифметикалық шамасы оның деп аталады математикалық күту, немесе арқылы белгіленеді.

Күтілетін мән

ДисперсияМүмкін мәндері бүкіл Ox осіне жататын үздіксіз Х кездейсоқ шама теңдікпен анықталады:

Қызметтің мақсаты. Онлайн калькулятор кез келген мәселелерді шешуге арналған таралу тығыздығы f(x) немесе тарату функциясы F(x) (мысалды қараңыз). Әдетте мұндай тапсырмаларда сіз табуыңыз керек математикалық күту, стандартты ауытқу, графиктік функциялар f(x) және F(x).

Нұсқаулар. Бастапқы деректер түрін таңдаңыз: тарату тығыздығы f(x) немесе тарату функциясы F(x).

Бөлу тығыздығы f(x) берілген:

F(x) таралу функциясы берілген:

Үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдық тығыздығы арқылы анықталады
(Рэлей таралу заңы – радиотехникада қолданылады). M(x) , D(x) табыңыз.

Кездейсоқ шама X деп аталады үздіксіз , егер оның таралу функциясы F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы кездейсоқ шаманың берілген интервалға түсу ықтималдығын есептеу үшін қолданылады:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Сонымен қатар, үздіксіз кездейсоқ шама үшін оның шекаралары осы интервалға кіре ме, жоқ па маңызды емес:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Таралу тығыздығы үздіксіз кездейсоқ шаманы функция деп атайды
f(x)=F’(x) , таралу функциясының туындысы.

Таралу тығыздығының қасиеттері

1. Кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы x-тің барлық мәндері үшін теріс емес (f(x) ≥ 0).
2. Нормализация шарты:

Нормалдау шартының геометриялық мағынасы: таралу тығыздығы қисығы астындағы аудан бірлікке тең.
3. Х кездейсоқ шамасының α-дан β аралығындағы интервалға түсу ықтималдығын формула арқылы есептеуге болады.

Геометриялық тұрғыдан алғанда X интервалына (α, β) түсетін үздіксіз кездейсоқ шама ықтималдығы осы интервалға негізделген таралу тығыздығы қисығы астындағы қисық сызықты трапеция ауданына тең.
4. Тарату функциясы тығыздықпен келесі түрде өрнектеледі:

Х нүктесіндегі таралу тығыздығының мәні осы мәнді қабылдау ықтималдығына тең емес, үздіксіз кездейсоқ шама үшін тек берілген интервалға түсу ықтималдығы туралы айтуға болады. болсын)