Толық шаршыны таңдау әдісі қандай. Көпмүшелерді көбейткіштерге бөлу. Толық шаршы таңдау әдісі. Әдістердің комбинациясы. Нумераторды жасанды түрлендіру әдісі

Жоғарыда атап өткенімдей, интегралдық есепте бөлшекті интегралдау үшін қолайлы формула жоқ. Сондықтан қайғылы үрдіс бар: бөлшек неғұрлым «сәнді» болса, одан интегралды табу қиынырақ болады. Осыған байланысты мен қазір талқылайтын әртүрлі айла-амалдарға бару керек. Дайындалған оқырмандар бірден пайдалана алады мазмұны:

• Жай бөлшектер үшін дифференциал белгісінің астына қосу әдісі

Нумераторды жасанды түрлендіру әдісі

1-мысал

Айтпақшы, қарастырылатын интегралды айнымалы әдісті өзгерту арқылы да шешуге болады, оны белгілейді, бірақ шешім әлдеқайда ұзағырақ болады.

2-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз. Чек жүргізіңіз.

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Айта кету керек, мұнда ауыспалы ауыстыру әдісі енді жұмыс істемейді.

Назар аударыңыз маңызды! № 1, 2 мысалдар типтік және жиі кездеседі. Атап айтқанда, мұндай интегралдар көбінесе басқа интегралдарды шешу барысында, атап айтқанда, иррационал функцияларды (түбірлерді) интегралдау кезінде пайда болады.

Жоғарыда аталған әдіс жағдайда да жұмыс істейді егер алымның ең жоғары дәрежесі бөлгіштің ең үлкен дәрежесінен үлкен болса.

3-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз. Чек жүргізіңіз.

Бөлімшеден бастайық.

Бөлімдерді таңдау алгоритмі келесідей:

1) Бөлімшеде мен ұйымдастыру керек , бірақ сонда . Не істеу? Жақшаға алып, көбейтемін: .

2) Енді осы жақшаларды ашып көрейін, не болады? . Хмм ... қазірдің өзінде жақсырақ, бірақ алымдарда бастапқыда қосылыс жоқ. Не істеу? Сізге көбейту керек:

3) Жақшаларды қайта ашу: . Міне, бірінші жетістік! Қажет болып шықты! Бірақ мәселе қосымша терминнің пайда болуында. Не істеу? Өрнектің өзгермеуі үшін мен өзімнің конструкцияма қосуым керек:
. Өмір оңайырақ болды. Нумераторда қайтадан ұйымдастыруға болады ма?

4) Сіз аласыз. Біз тырысамыз: . Екінші мүшенің жақшаларын кеңейтіңіз:
. Кешіріңіз, бірақ мен алдыңғы қадамда болдым, бірақ . Не істеу? Екінші мүшені келесіге көбейту керек:

5) Тағы да тексеру үшін екінші тоқсанда жақшаларды ашамын:
. Енді бұл қалыпты: 3-тармақтың соңғы құрылысынан алынған! Бірақ тағы да кішкентай «бірақ» қосымша термин пайда болды, бұл менің өрнекті қосуым керек дегенді білдіреді:

Егер бәрі дұрыс орындалса, онда барлық жақшаларды ашқан кезде интегралдың бастапқы алымын алуымыз керек. Біз тексереміз:
Жақсы.

Осылайша:

Дайын. Соңғы тоқсанда функцияны дифференциал астына келтіру әдісін қолдандым.

Жауаптың туындысын тауып, өрнекті ортақ бөлгішке келтірсек, онда дәл бастапқы интегралды аламыз. Қарастырылған қосындыға кеңейту әдісі өрнекті ортақ бөлгішке келтіру үшін кері әрекеттен басқа ештеңе емес.

Мұндай мысалдардағы алымдарды таңдау алгоритмі жобада жақсы орындалады. Кейбір дағдылармен ол ақыл-оймен де жұмыс істейді. Мен 11-ші қуат үшін таңдау жасаған рекордтық уақыт есімде, ал нумератордың кеңеюі Вердтің екі сызығын алды.

4-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз. Чек жүргізіңіз.

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал.

Жай бөлшектер үшін дифференциал белгісінің астына қосу әдісі

Бөлшектердің келесі түріне көшейік.
, , , (коэффициенттер және нөлге тең емес).

Шындығында, арксинус пен арктангенсі бар бірнеше жағдай сабақта сырғып кетті Анықталмаған интегралдағы айнымалыны өзгерту әдісі. Мұндай мысалдар функцияны дифференциал таңбасының астына әкеліп, содан кейін кесте арқылы интегралдау арқылы шешіледі. Ұзын және жоғары логарифмі бар бірнеше типтік мысалдар:

5-мысал

6-мысал

Бұл жерде интегралдар кестесін алып, қандай формулаларды орындаған жөн Қалайтүрлендіру орын алады. Назар аударыңыз, қалай және негешаршылар осы мысалдарда ерекшеленген. Атап айтқанда, 6-мысалда біз алдымен бөлгішті ретінде көрсетуіміз керек , содан кейін дифференциал белгісінің астына әкеліңіз. Ал стандартты кестелік формуланы қолдану үшін мұның барлығын орындау керек .

Бірақ нені қарау керек, №7,8 мысалдарды өз бетінше шешуге тырысыңыз, әсіресе олар өте қысқа болғандықтан:

7-мысал

8-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз:

Егер сіз осы мысалдарды да тексере алсаңыз, онда үлкен құрмет - сіздің ең жақсы саралау дағдыларыңыз.

Толық шаршы таңдау әдісі

Пішіннің интегралдары, (коэффициенттер және нөлге тең емес) шешіледі толық шаршы таңдау әдісі, ол сабақта бұрыннан пайда болды Геометриялық сызба түрлендірулері.

Шын мәнінде, мұндай интегралдар біз қарастырған төрт кестелік интегралдың біріне дейін азайтады. Бұған белгілі қысқартылған көбейту формулалары арқылы қол жеткізіледі:

Формулалар осы бағытта қолданылады, яғни әдіс идеясы өрнектерді не бөлгіште жасанды түрде ұйымдастыру, содан кейін оларды сәйкесінше немесе түрлендіру болып табылады.

9-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз

Бұл жерде ең қарапайым мысал терминімен - бірлік коэффициенті(және кейбір сан немесе минус емес).

Біз бөлгішке қараймыз, мұнда барлық нәрсе нақты жағдайда қысқартылған. Бөлгішті түрлендіруді бастайық:

Әлбетте, 4 қосу керек. Және өрнек өзгермеуі үшін - бірдей төрт және шегеріңіз:

Енді формуланы қолдануға болады:

Түрлендіру аяқталғаннан кейін ƏРҚАШАНкері қозғалысты орындаған жөн: бәрі жақсы, қателер жоқ.

Қарастырылып отырған мысалдың таза дизайны келесідей болуы керек:

Дайын. Дифференциалдық таңбаның астындағы «еркін» күрделі функцияны келтіру: , негізінен, елемеуге болады

10-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз:

Бұл өздігінен шешуге арналған мысал, жауабы сабақтың соңында.

11-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз:

Алдында минус болған кезде не істеу керек? Бұл жағдайда жақшалардың ішінен минусты алып, шарттарды бізге қажет ретпен орналастыру керек:. Тұрақты(бұл жағдайда «қос») Ұстауға болмайды!

Енді жақшаға біреуін қосамыз. Өрнекті талдай отырып, біз жақшаның артына қажет деген қорытындыға келеміз - қосыңыз:

Міне формула, қолданыңыз:

ƏРҚАШАНбіз жобаны тексереміз:
, ол тексерілуге ​​тиіс болды.

Мысалдың таза дизайны келесідей көрінеді:

Біз тапсырманы күрделендіреміз

12-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз:

Бұл жерде, терминмен ол енді бір коэффициент емес, «бес».

(1) Егер тұрақты мән табылса, оны бірден жақшадан шығарамыз.

(2) Жалпы алғанда, бұл тұрақтыны интегралдан алып тастаған дұрыс, ол кедергі жасамайды.

(3) Барлығы формулаға келтірілетіні анық. Терминді түсіну керек, атап айтқанда, «екі» алу

(4) Иә, . Сонымен, біз өрнекке қосып, сол бөлшекті азайтамыз.

(5) Енді толық шаршыны таңдаңыз. Жалпы жағдайда, оны да есептеу керек, бірақ бұл жерде бізде ұзын логарифм формуласы бар , және әрекетті орындау мағынасы жоқ, неге - бұл сәл төменірек түсінікті болады.

(6) Біз формуланы қолдана аламыз , тек «x» орнына бізде бар, ол кестелік интегралдың жарамдылығын жоққа шығармайды. Дәлірек айтқанда, бір қадам жетіспейді - интеграциядан бұрын функция дифференциалдық белгі астында болуы керек: , бірақ, мен бірнеше рет атап өткенімдей, бұл жиі назардан тыс қалады.

(7) Түбір астындағы жауапта барлық жақшаларды қайта ашқан жөн:

Қатты ма? Бұл интегралдық есептеудегі ең қиын емес. Дегенмен, қарастырылып отырған мысалдар соншалықты күрделі емес, өйткені олар жақсы есептеу техникасын қажет етеді.

13-мысал

Анықталмаған интегралды табыңыз:

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Сабақ соңында жауап беру.

Бөлгіште түбірлері бар интегралдар бар, олар ауыстырудың көмегімен қарастырылатын түрдегі интегралдарға келтіріледі, олар туралы мақалада оқи аласыз. Күрделі интегралдар, бірақ ол дайындығы жоғары студенттерге арналған.

Дифференциал таңбасының астына алым келтіру

Бұл сабақтың соңғы бөлігі, дегенмен бұл түрдегі интегралдар өте кең таралған! Шаршау жиналып қалса, ертең оқыған дұрыс шығар? ;)

Біз қарастыратын интегралдар алдыңғы абзацтың интегралдарына ұқсас, олардың келесі формасы бар: немесе (коэффициенттер , және нөлге тең емес).

Яғни, алымдағы сызықтық функция бар. Мұндай интегралдар қалай шешіледі?

Бұл сабақта біз көпмүшені көбейткіштерге бөлудің бұрын зерттелген барлық әдістерін еске түсіреміз және оларды қолдану мысалдарын қарастырамыз, сонымен қатар біз жаңа әдіс - толық квадрат әдісін зерттейміз және оны әртүрлі есептерді шешуде қалай қолдану керектігін үйренеміз.

Тақырып:Көпмүшелерді көбейту

Сабақ:Көпмүшелерді көбейткіштерге бөлу. Толық шаршы таңдау әдісі. Әдістердің комбинациясы

Бұрын зерттелген көпмүшені көбейткіштерге бөлудің негізгі әдістерін еске түсірейік:

Жақшаның ішінен ортақ көбейткішті алу тәсілі, яғни көпмүшенің барлық мүшелерінде болатын көбейткіш. Мысал қарастырайық:

Еске салайық, мономиал дәрежелер мен сандардың көбейтіндісі болып табылады. Біздің мысалда екі мүшенің де кейбір ортақ, бірдей элементтері бар.

Олай болса, жақшаның ішінен ортақ көбейткішті шығарайық:

;

Еске салайық, көрсетілген көбейткішті жақшаға көбейту арқылы көрсетудің дұрыстығын тексеруге болады.

топтастыру әдісі. Көпмүшедегі ортақ көбейткішті шығару әрқашан мүмкін бола бермейді. Бұл жағдайда сіз оның мүшелерін топтарға бөлуіңіз керек, осылайша әр топта сіз ортақ факторды алып, оны бөлуге тырысыңыз, осылайша топтардағы факторларды алып тастағаннан кейін ортақ фактор пайда болады. толық өрнек және кеңейтуді жалғастыруға болады. Мысал қарастырайық:

Бірінші мүшені төртінші, екінші мүшені бесінші, үшінші мүшені алтыншы мүшемен топтаңыз:

Топтардағы ортақ факторларды бөліп алайық:

Өрнектің ортақ факторы бар. Оны шығарып алайық:

Қысқартылған көбейту формулаларын қолдану. Мысал қарастырайық:

;

Өрнекті егжей-тегжейлі жазайық:

Әлбетте, алдымызда айырманың квадратының формуласы бар, өйткені екі өрнектің квадраттарының қосындысы бар және одан олардың қос көбейтіндісі алынып тасталады. Формула бойынша айналдырайық:

Бүгін біз басқа жолды - толық квадратты таңдау әдісін үйренеміз. Ол қосындының квадраты мен айырманың квадратының формулаларына негізделген. Оларды еске түсіріңіз:

Қосындының (айырманың) квадратының формуласы;

Бұл формулалардың ерекшелігі олардың құрамында екі өрнектің квадраттары және олардың қос көбейтіндісі бар. Мысал қарастырайық:

Өрнекті жазайық:

Сонымен, бірінші өрнек, ал екіншісі.

Қосындының немесе айырманың квадратының формуласын жасау үшін өрнектердің қос көбейтіндісі жеткіліксіз. Оны қосу және азайту керек:

Қосындының толық квадратын жиып алайық:

Алынған өрнекті түрлендірейік:

Біз квадраттардың айырмашылығы формуласын қолданамыз, екі өрнектің квадраттарының айырмасы көбейтінді және олардың айырмасы бойынша қосындылар екенін еске саламыз:

Сонымен, бұл әдіс, ең алдымен, квадрат болатын a және b өрнектерін анықтау, яғни бұл мысалда қандай өрнектер квадрат болып табылатынын анықтау қажет екендігінде тұрады. Осыдан кейін сіз қос көбейтіндінің бар-жоғын тексеруіңіз керек, егер ол жоқ болса, оны қосып, алып тастаңыз, бұл мысалдың мағынасын өзгертпейді, бірақ көпмүшені квадраттың формулалары арқылы көбейтуге болады. мүмкін болса, квадраттардың қосындысы немесе айырмасы мен айырмасы.

Мысалдарды шешуге көшейік.

1-мысал – көбейткіштерге бөлу:

Төртбұрышты өрнектерді табыңыз:

Олардың қос көбейтіндісі қандай болуы керек екенін жазайық:

Қосарланған көбейтіндіні қосып, азайтайық:

Қосындының толық квадратын жиып, ұқсастарын берейік:

Квадраттардың айырмасының формуласы бойынша жазамыз:

2-мысал – теңдеуді шеш:

;

Теңдеудің сол жағында үшмүше бар. Сіз оны есепке алуыңыз керек. Айырманың квадратының формуласын қолданамыз:

Бізде бірінші өрнектің квадраты мен қосарланған көбейтіндісі бар, екінші өрнектің квадраты жоқ, оны қосып, азайтайық:

Толық шаршыны жиып, ұқсас шарттарды берейік:

Квадраттардың айырмашылығы формуласын қолданайық:

Сонымен бізде теңдеу бар

Көбейткіштердің ең болмағанда біреуі нөлге тең болғанда ғана көбейтінді нөлге тең болатынын білеміз. Осыған сүйене отырып, теңдеулерді жазамыз:

Бірінші теңдеуді шешейік:

Екінші теңдеуді шешейік:

Жауап: немесе

;

Біз алдыңғы мысалға ұқсас әрекет етеміз - айырмашылықтың квадратын таңдаңыз.

Анықтама

2 x 2 + 3 x + 5 сияқты өрнектер шаршы үшмүше деп аталады. Жалпы жағдайда шаршы үшмүше a x 2 + b x + c түрінің өрнегі болып табылады, мұндағы a, b, c a, b, c - ерікті сандар және a ≠ 0.

x 2 - 4 x + 5 үшмүшелік квадратын қарастырайық. Оны мына түрде жазайық: x 2 - 2 2 x + 5. Осы өрнекке 2 2-ні қосып, 2 2-ні азайтсақ, мынаны аламыз: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, сондықтан x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 екенін ескеріңіз. Біз жасаған түрлендіру деп аталады "шаршы үш мүшеден толық шаршыны таңдау".

9 x 2 + 3 x + 1 үшмүшелігінен тамаша шаршыны таңдаңыз.

9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x` екенін ескеріңіз. Содан кейін `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Алынған `(1/2)^2` өрнегіне қосу және азайту, біз аламыз

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу үшін төртбұрышты үшмүшеліден толық квадратты алу әдісі қалай қолданылатынын көрсетейік.

Квадрат үшмүшені 4 x 2 - 12 x + 5 көбейтіндісі.

Квадрат үшмүшелігінен толық шаршыны таңдаймыз: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Енді a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) формуласын қолдансақ, мынаны аламыз: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1).

Квадрат үшмүшені көбейткіштерге шығарыңыз - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Енді 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2 екенін байқаңыз.

9 x 2 - 12 x өрнегіне 2 2 мүшесін қоссақ, мынаны аламыз:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Біз квадраттардың айырмашылығы формуласын қолданамыз, бізде:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Квадрат үшмүшені 3 x 2 - 14 x - 5 көбейтіндісі.

Біз 3 x 2 өрнегін қандай да бір өрнектің квадраты ретінде көрсете алмаймыз, өйткені біз оны мектепте әлі үйренген жоқпыз. Сіз мұны кейінірек өтесіз, №4 тапсырмада біз квадрат түбірлерді зерттейміз. Берілген шаршы үшмүшені көбейткіштерге қалай бөлуге болатынын көрсетейік:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Квадрат үшмүшесінің ең үлкен немесе ең кіші мәндерін табу үшін толық квадрат әдісі қалай қолданылатынын көрсетеміз.
x 2 - x + 3 үшмүшелік квадратын қарастырайық. Толық шаршыны таңдау:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. `x=1/2` болғанда квадрат үшмүшесінің мәні `11/4` болатынын және `x!=1/2` болғанда `11/4` мәніне оң сан қосылатынын ескеріңіз, сондықтан біз `11/4`-тен үлкен санды алыңыз. Осылайша, шаршы үшмүшенің ең кіші мәні `11/4` және ол `x=1/2` арқылы алынады.

Квадрат үшмүшесінің ең үлкен мәнін табыңыз - 16 2 + 8 x + 6 .

Квадрат үшмүшеліктен толық шаршыны таңдаймыз: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

`x=1/4` болғанда шаршы үшмүшенің мәні 7 , ал `x!=1/4` болғанда 7 санынан оң сан алынады, яғни 7-ден кіші санды аламыз. Осылайша, 7 саны квадрат үшмүшесінің ең үлкен мәні болып табылады және ол `x=1/4` арқылы алынады.

`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` алымы мен бөлімін көбейтіп, бөлшекті алып тастаңыз.

x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 бөлігінің бөлгіші екенін ескеріңіз. Үшмүшелік квадраттан толық квадратты алу әдісі арқылы бөлшектің алымын көбейткіштерге бөлеміз. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) .

Бұл бөлшек `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` пішініне (x - 3) азайтқаннан кейін `(x+5)/(x-3) аламыз. )`.

Көпмүшені x 4 - 13 x 2 + 36 көбейткіштері.

Осы көпмүшеге толық квадрат әдісін қолданайық. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Мұндай процедураны орындау мүмкіндігі математиканың көптеген тақырыптарында өте қажет шаршы үшмүшебалта 2 + bx + в . Ең ортақ:

1) Параболаларды салу ж= балта 2 + bx+ в;

2) Квадрат үшмүшеге арналған көптеген тапсырмаларды шешу (квадрат теңдеулер мен теңсіздіктер, параметрлері бар есептер және т.б.);

3) Квадрат үшмүшесі бар кейбір функциялармен жұмыс, сонымен қатар екінші ретті қисықтармен жұмыс (оқушылар үшін).

Пайдалы нәрсе, қысқасы! Сіз беске дайынсыз ба? Олай болса үйренейік!)

Квадрат үшмүшедегі биномның толық квадратын таңдау нені білдіреді?

Бұл тапсырма бастапқы квадрат үшмүшені осы пішінге түрлендіру керек екенін білдіреді:

Сан асол жақта не бар, оң жақта не бар бірдей. X-квадрат коэффициенті. Сондықтан таңбаланған бір әріп. Оң жақта төртбұрышты жақшаға көбейтеді. Жақшаның өзінде осы тақырыпта талқыланатын бірдей бином бар. Таза х пен кейбір санның қосындысы м. Иә, назар аударыңыз таза x! Бұл маңызды.

Міне әріптер мжәне nдұрыс - кейбір жаңасандар. Біздің трансформацияларымыздың нәтижесінде не алынады. Олар оң, теріс, бүтін, бөлшек болуы мүмкін - барлық түрлері! Төмендегі мысалдардан өзіңіз көресіз. Бұл сандар тәуелді коэффициенттердена, бжәнев. Олардың өзіндік арнайы жалпы формулалары бар. Өте көлемді, фракциялары бар. Сондықтан мен оларды дәл осы жерде және қазір бермеймін. Неліктен сіздің жарқын саналарыңызға қосымша қоқыс қажет? Иә, бұл қызық емес. Шығармашылықпен айналысайық.)

Сізге нені білу және түсіну керек?

Ең алдымен жатқа білу керек. Олардың кем дегенде екеуі сомасының квадратыжәне айырмашылық квадраты.

Бұлар:

Бұл екі формуласыз - еш жерде. Бұл сабақта ғана емес, жалпы барлық дерлік математикадан. Нұсқау түсінікті ме?)

Бірақ бұл жерде жай ғана жаттанды формулалар жеткіліксіз. Ақылдырақ керек осы формулаларды қолдана білу. Тікелей емес, солдан оңға қарай, керісінше, оңнан солға. Анау. бастапқы шаршы үшмүше бойынша қосынды/айырманың квадратын шеше білу. Бұл түрдегі теңдіктерді оңай, автоматты түрде тануға болатынын білдіреді:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Бұл пайдалы дағды болмаса, амал да жоқ ... Сондықтан осы қарапайым нәрселермен проблемалар туындаса, осы бетті жабыңыз. Бұл жерде сізге әлі ерте.) Алдымен жоғарыдағы сілтемеге өтіңіз. Ол сен үшін!

О, сіз бұл тақырыпта қанша уақыт болдыңыз? Жақсы! Содан кейін оқыңыз.)

Сонымен:

Квадрат үшмүшелікте биномның толық квадратын қалай таңдауға болады?

Әрине, қарапайымнан бастайық.

1-деңгей. x кезіндегі коэффициент2 1-ге тең

Бұл ең аз қосымша түрлендірулерді қажет ететін ең қарапайым жағдай.

Мысалы, шаршы үшмүше берілген:

X 2 +4x+6

Сырттай өрнек қосындының квадратына өте ұқсас. Қосындының квадратында бірінші және екінші өрнектердің таза квадраттары болатынын білеміз ( а 2 және б 2 ), сонымен қатар қосарланған өнім 2 абдәл осы өрнектер.

Ал, бізде бірінші өрнектің таза түрінде квадраты бар. Бұл X 2 . Шын мәнінде, бұл дәл осы деңгейдегі мысалдардың қарапайымдылығы. Екінші өрнектің квадратын алу керек б 2 . Анау. табу б. Және анықтама ретінде қызмет етеді бірінші дәрежеде х бар өрнек, яғни. 4x. Қалай болғанда да 4xретінде көрсетуге болады қос өнімекілік үшін xx. Бұл сияқты:

4 x = 2 ́ x 2

Сонымен, егер 2 аб=2x2және а= x, содан кейін б=2 . Сіз жаза аласыз:

X 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….

Сонымен АҚШМен тілеймін. Бірақ! МатематикаБіздің іс-әрекеттеріміз бастапқы өрнектің мәні болғанын қалаймын өзгерген жоқ. Ол осылай жасалған. Біз қос өнімге қостық 2 2 , осылайша бастапқы өрнекті өзгертеді. Сонымен, математиканы ренжітпеу үшін бұл ең көп 2 2 дәл қазір керек ала кету. Бұл сияқты:

…= x 2 +2 ́ x 2+ 2 2 -2 2 ….

Барлығы дерлік. Бастапқы үш мүшеге сәйкес 6-ны қосу ғана қалады. Алтылық ешқайда кеткен жоқ! Біз жазамыз:

= X 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …

Енді алғашқы үш шарт таза береді (немесе - толық) биномдық квадрат x+2 . Немесе (x+2) 2 . Міне, осыған жетуге тырысамыз.) Мен тіпті ерінбеймін және жақшаларды қоямын:

… = (x 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Жақшалар өрнектің мәнін өзгертпейді, бірақ олар нені, қалай және неге екенін анық көрсетеді. Осы үш шартты формула бойынша толық шаршыға жинау, қалған құйрықты сандармен санау керек. -2 2 +6 (бұл 2 болады) және жазыңыз:

X 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2

Барлығы. Біз бөлдіжақша квадраты (x+2) 2 бастапқы шаршы үшмүшеден X 2 +4x+6. Оны сомаға айналдырды толық квадрат бином (x+2) 2 және кейбір тұрақты сан (екі). Ал енді мен барлық түрлендірулер тізбегін жинақы түрде жазамын. Түсінікті болу үшін.

Барлығы осы.) Толық шаршыны таңдау процедурасының мәні осында.

Айтпақшы, мұнда қандай сандар бар мжәне n? Иә. Олардың әрқайсысы екіге тең: м=2, n=2 . Іріктеу кезінде солай болды.

Тағы бір мысал:

Биномның толық квадратын таңдаңыз:

X 2 -6x+8

Және тағы да, бірінші көзқарас х-пен термин. 6x-ті x пен үштің екі еселенген көбейтіндісіне айналдырамыз. Қосар алдында - минус. Сондықтан біз ерекшеленеміз айырмашылық квадраты. Біз (толық квадратты алу үшін) қосамыз және шаршыдағы үш есені бірден шегереміз (өтеу үшін), яғни. 9. Ал, сегізді ұмытпа. Біз алып жатырмыз:

Мұнда м=-3 және n=-1 . Екеуі де теріс.

Сіз принципті түсінесіз бе? Содан кейін меңгеру уақыты келді және жалпы алгоритм. Бәрі бірдей, бірақ әріптер арқылы. Сонымен, бізде төртбұрышты үш мүше бар x 2 + bx+ в (а=1) . Біз не істеп жатырмыз:

bx б /2 :

б бірге.

Әлбетте? Алғашқы екі мысал бүтін сандармен өте қарапайым болды. Танысу үшін. Ең сорақысы, трансформация кезінде фракциялар шығады. Мұнда ең бастысы - қорықпау! Ал қорықпау үшін әркім бөлшекпен әрекеттерді білуі керек, иә...) Бірақ бұл жерде бес деңгей, солай емес пе? Біз тапсырманы күрделендіреміз.

Келесі үш мүше берілген делік:

X 2 +x+1

Осы үшмүшедегі қосындының квадраты қалай ұйымдастырылады? Проблема жоқ! Ұқсас. Біз нүктелермен жұмыс жасаймыз.

1. Бірінші дәрежеде х бар терминге қараймыз ( bx) және оны х-тің екі есе көбейтіндісіне айналдырыңызб /2 .

Біздің x-пен терміміз тек x. Сонымен? Жалғыз Х-ті қалай айналдыра аламыз? қос өнім? Иә, өте оңай! Нұсқауларға сәйкес тікелей. Бұл сияқты:

Сан ббастапқы үш мүшеде - бір. Бұл, б/2 бөлшек болып шығады. Жартысы. 1/2. Жарайды. Кішкентай емес.)

2. Қос көбейтіндіге қосып, санның квадратын бірден азайтамыз б/2. Толық шаршыны толықтыру үшін - қосамыз. Біз алып кетеміз - өтемақы үшін. Ең соңында біз тегін терминді қосамыз бірге.

Біз жалғастырамыз:

3. Алғашқы үш мүшені сәйкес формула бойынша қосынды/айырманың квадратына айналдырамыз. Сыртта қалған өрнек сандармен мұқият есептеледі.

Алғашқы үш термин жақшамен бөлінген. Сіз, әрине, ажырата алмайсыз. Бұл біздің түрлендірулеріміздің ыңғайлылығы мен анықтығы үшін ғана жасалады. Енді қосындының толық квадраты жақшада екенін анық көруге болады (x+1/2) 2 . Ал қосындының квадратынан тыс қалғанның бәрі (егер есептесеңіз) +3/4 береді. Аяқтау сызығы:

Жауап:

Мұнда м=1/2 , а n=3/4 . Бөлшек сандар. Болады. Мұндай триномия ұсталды ...

Технологиясы осындай. Түсіндім? Келесі деңгейге өте аласыз ба?

2-деңгей. x 2-дегі коэффициент 1-ге тең емес - не істеу керек?

Бұл жағдайдан гөрі жалпы жағдай a=1. Есептеулердің көлемі, әрине, артады. Бұл ренжітеді, иә ... Бірақ жалпы шешімжалпы бірдей болып қалады. Оған бір ғана жаңа қадам қосылды. Бұл қуантады.)

Әзірге ешқандай фракцияларсыз және басқа да тұзақтарсыз зиянсыз істі қарастырыңыз. Мысалы:

2 x 2 -4 x+6

Ортасында минус бар. Сонымен, біз айырмашылықтың квадратына сәйкес боламыз. Бірақ x квадратындағы коэффициент екілік болып табылады. Ал біреуімен жұмыс істеу оңайырақ. Таза х. Не істеу? Ал мына екі жақты жақшаның ішінен шығарайық! Кедергі болмас үшін. Біздің құқығымыз бар! Біз алып жатырмыз:

2(x 2 -2 x+3)

Бұл сияқты. Енді жақшадағы триномия - қазірдің өзінде бар таза X шаршы! 1-деңгейдің алгоритмі талап еткендей.Ал енді бұл жаңа триномиямен ескі қалыптасқан схема бойынша жұмыс істеуге болады. Міне, біз әрекет етеміз. Оны бөлек жазып, түрлендірейік:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2x1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2x1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Жартылай орындалды. Алынған өрнекті жақшаның ішіне енгізу және оларды қайтадан кеңейту қалады. Алу:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Дайын!

Жауап:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Біз басына түзетеміз:

Егер х квадратындағы коэффициент бірге тең болмаса, онда бұл коэффициентті жақшадан шығарамыз. Жақшалардың ішінде қалған триномиямен біз әдеттегі алгоритм бойынша жұмыс істейміз а=1. Ондағы толық шаршыны таңдап, нәтижені орнына қойып, сыртқы жақшаларды қайта ашыңыз.

Бірақ b және c коэффициенттері а-ға бөлінбесе ше? Бұл ең көп таралған және сонымен бірге ең нашар жағдай. Сонда тек бөлшек сандар, иә... Істейтін ештеңе жоқ. Мысалы:

3 x 2 +2 x-5

Барлығы бірдей, үшеуін жақшаның ішінен жібереміз, аламыз:

Өкінішке орай, екі де, бес те үшке толық бөлінбейді, сондықтан жаңа (қысқартылған) үшмүшенің коэффициенттері бөлшек. Жақсы, маңызды емес. Бөлшектермен тікелей жұмыс: екіүштен х-қа айналады қосх көбейтіндісі бірүшіншіден, үштен бірінің квадратын қосыңыз (яғни 1/9), оны шегеріңіз, 5/3 азайтыңыз...

Жалпы, сіз түсінесіз!

Онда не бар екенін шешіңіз. Ол келесідей аяқталуы керек:

Және тағы бір тырма. Көптеген студенттер оң бүтін және тіпті бөлшек коэффициенттерді атайды, бірақ теріс мәндерді ұстанады. Мысалы:

- x 2 +2 x-3

Бұрын минуспен не істеу керекx 2 ? Қосынды/айырманың квадраты формуласында кез келген плюс қажет... Сұрақ емес! Бәрі бірдей. Біз жақшалар үшін бұл минусты шығарамыз. Анау. минус бір. Бұл сияқты:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

Және барлық заттар. Ал жақшадағы триномиямен - қайтадан ирек жол бойымен.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Сонымен, минус:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Осымен болды. Не? Жақшадан минус шығаруды білмейсіз бе? Бұл шаршы үшмүшелер үшін емес, жетінші сыныптың бастауыш алгебрасына арналған сұрақ ...

Есіңізде болсын: теріс коэффициентпен жұмыс апозитивпен жұмыс істеуден еш айырмашылығы жоқ. Теріс жағын шығару ажақшалардан, содан кейін - барлық ережелерге сәйкес.

Неліктен сізге толық шаршыны таңдай білу керек?

Бірінші пайдалы нәрсе - параболаларды тез және қатесіз салу!

Мысалы, мұндай тапсырма:

Функция графигі:ж=- x 2 +2 x+3

Не істейміз? Ұпайлар бойынша құрастыру керек пе? Әрине мүмкін. Ұзын жол бойындағы кішкене қадамдар. Өте қызықсыз және қызықсыз...

Ең алдымен, құрылыс кезінде ескертемін кез келгенпарабола, біз оған әрқашан стандартты сұрақтар жинағын ұсынамыз. Олардың екеуі бар. Атап айтқанда:

1) Параболаның тармақтары қайда бағытталған?

2) Жоғарғы қай жерде?

Бұтақтардың бағытымен бәрі бастапқы өрнектен анық көрінеді. Филиалдар бағытталады төмен, себебі бұрынғы коэффициентx 2 - теріс. Минус бір. x квадратының алдындағы минус әрқашанпараболаны аударады.

Бірақ шыңның орналасуымен бәрі соншалықты айқын емес. Әрине, оның абсциссасын коэффициенттер арқылы есептеудің жалпы формуласы бар ажәне б.

Мынау:

Бірақ бұл формуланы бәрі бірдей есте сақтай бермейді, әй, бәрі де емес... Ал әлі есінде қалғандардың 50% күтпеген жерден сүрініп, банальды арифметикадан (әдетте ойынды санағанда) шатасады. Ұят, солай ма?)

Енді сіз кез келген параболаның төбесінің координаталарын табуды үйренесіз менің ойымшабір минутта! х және у. Бір соққымен және ешқандай формуласыз. Қалай? Толық шаршыны таңдау арқылы!

Сонымен, біз өрнектегі толық шаршыны таңдаймыз. Біз алып жатырмыз:

у=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Кім функциялар туралы жалпы ақпаратты жақсы біледі және тақырыпты жақсы меңгерді» функция графигін түрлендіру ", ол біздің қалаған параболаның әдеттегі параболадан алынғанын оңай анықтайды ж= x 2 үш түрлендірудің көмегімен. Бұл:

1) Бұтақтардың бағытын өзгертіңіз.

Бұл төртбұрышты жақшаның алдындағы минус белгісімен көрсетіледі ( a=-1). Ол болды ж= x 2 , болды ж=- x 2 .

Конверсия: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) Параболаның параллель аудармасы у=- x 2 X 1 бірлік ОҢ жаққа.

Аралық кесте осылайша алынады у=-(x-1 ) 2 .

Конверсия: - f ( x ) -> - f ( x + м ) (m=-1).

Неліктен жақшада минус болса да, солға емес, оңға жылжу? Бұл графикті түрлендіру теориясы. Бұл бөлек мәселе.

Және соңында,

3) Параллель тасымалдау параболалар у=-( x -1) 2 4 бірлік жоғары.

Соңғы парабола осылайша алынады. у=-(x-1) 2 +4 .

Конверсия: - f ( x + м ) -> - f ( x + м )+ n (n=+4)

Ал енді біз трансформациялар тізбегімізге қарап, ойлаймыз: Параболаның төбесі қайда қозғалады?ж=x 2 ? Ол (0; 0) нүктесінде болды, бірінші түрлендіруден кейін төбе ешқайда қозғалмады (парабола жай аударылды), екіншісінен кейін ол х-ке +1-ге, ал үшіншіден кейін у-ға жылжыды. +4. Жалпы жоғарғы нүктеге жетті (1; 4) . Бүкіл құпия осында!

Сурет келесідей болады:

Шынында да, мен сіздің назарыңызды осындай табандылықпен сандарға аудардым. мжәне nтолық квадратты таңдау процесінде алынған. Неге екенін таппадың ба? Иә. Мәселе мынада, бұл нүкте координаттары бар (- м ; n ) - бұл әрқашан параболаның төбесі ж = а ( x + м ) 2 + n . Біз тек түрлендірілген үшмүшедегі сандарды қараймыз және менің ойымшадұрыс жауап береміз, жоғарғы қай жерде. Ыңғайлы, солай ма?)

Параболаларды салу - бірінші пайдалы нәрсе. Екіншісіне көшейік.

Екінші пайдалы нәрсе - квадрат теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу.

Иә Иә! Толық шаршыны таңдау көп жағдайда болып шығады әлдеқайда жылдам және тиімдірекмұндай мәселелерді шешудің дәстүрлі әдістері. Күмән? Қош келдіңіз! Міне, сізге тапсырма:

Теңсіздікті шеш:

x 2 +4 x+5 > 0

Үйрендіңіз бе? Иә! Бұл классикалық шаршы теңсіздік . Мұндай теңсіздіктердің барлығы стандартты алгоритм арқылы шешіледі. Ол үшін бізге қажет:

1) Теңсіздіктен стандартты түрдегі теңдеу құрып, оны шешу, түбірлерін табу.

2) Х осін сызыңыз және теңдеудің түбірін нүктелермен белгілеңіз.

3) Параболаны бастапқы өрнекке сәйкес схемалық түрде бейнелеңіз.

4) Суреттегі +/- аймақтарын анықтаңыз. Бастапқы теңсіздікке сәйкес қажетті аймақтарды таңдап, жауабын жазыңыз.

Шын мәнінде, бұл бүкіл процесс тітіркендіргіш, иә ...) Оның үстіне, бұл мысал сияқты стандартты емес жағдайларда қателерден құтқара бермейді. Алдымен үлгіні қолданып көрейік, солай ма?

Ендеше бірінші тармақты орындайық. Теңсіздіктен теңдеу жасаймыз:

x 2 +4 x+5 = 0

Стандартты квадрат теңдеу, айла жоқ. Біз шешеміз! Біз дискриминантты қарастырамыз:

D = б 2 -4 ак = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Міне бітті! Ал дискриминант теріс! Теңдеудің түбірі жоқ! Ал осьте сызу үшін ештеңе жоқ ... Не істеуім керек?

Мұнда кейбіреулер бастапқы теңсіздік туралы қорытындыға келуі мүмкін шешімдері де жоқ.. Бұл өлімге әкелетін адасушылық, иә ... Бірақ толық квадратты бөлектеу арқылы бұл теңсіздікке дұрыс жауапты жарты минут ішінде беруге болады! Күмән? Жарайды, сіз уақытты аласыз.

Сонымен, біз өрнекте толық шаршыны таңдаймыз. Біз алып жатырмыз:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Бастапқы теңсіздік келесідей көріне бастады:

(x+2) 2 +1 > 0

Енді ештеңені шешпей немесе өзгертпей, қарапайым логиканы қосып, ойлаймыз: егер қандай да бір өрнектің квадратына (мәні анық теріс емес!) тағы біреуін қос, сонда қандай сан шығады?Иә! Қатаң оң!

Енді теңсіздікті қарастырайық:

(x+2) 2 +1 > 0

Жазбаны математикалық тілден орыс тіліне аударамыз: ол үшін x қатаң оңөрнек қатаң болады Көбірекнөл? Болмадың ба? Иә! Кез келгенімен!

Міне сіздің жауабыңыз: x - кез келген сан.

Енді алгоритмге қайта оралайық. Дегенмен, мәнді түсіну және қарапайым жаттау екі түрлі нәрсе.)

Алгоритмнің мәні мынада: стандарт теңсіздіктің сол жағынан парабола жасап, оның Х осінен қай жерде жоғары, қай жерде төмен екенін қарастырамыз. Анау. мұнда сол жақтың оң мәндері, қай жерде теріс.

Сол жағымыздан парабола жасасақ:

у=x 2 +4 x+5

Оның графигін салыңыз, біз оны көреміз барлықбүтін парабола х осінен жоғары өтеді.Сурет келесідей болады:

Парабола қисық, иә... Сондықтан схемалық. Бірақ сонымен бірге суретте бізге қажет нәрсенің бәрі көрінеді. Параболаның X осімен қиылысу нүктелері жоқ, ойынның нөлдік мәндері жоқ. Және, әрине, теріс мәндер де жоқ. Бұл бүкіл X осін көлеңкелеу арқылы көрсетіледі. Айтпақшы, Y осі мен шыңның координаталары мен мұнда дәлелді себеппен бейнеледім. Парабола төбесінің координаталарын (-2; 1) және түрлендірілген өрнекті салыстырыңыз!

у=x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

Ал сіз қалайсыз? Иә! Біздің жағдайда м=2 және n=1 . Демек, параболаның төбесінің координаталары бар: (- м; n) = (-2; 1) . Мұның бәрі логикалық.)

Тағы бір тапсырма:

Теңдеуді шеш:

x 2 +4 x+3 = 0

Қарапайым квадрат теңдеу. Сіз ескі стильді шеше аласыз. арқылы мүмкін. Сіздің қалауыңыз білсін. Математика қарсы емес.)

Түбірлерді алайық: x 1 =-3 x 2 =-1

Ал егер бірде, не басқа жолмен ... есіңізде жоқ па? Жарайды, сен үшін екі жақсы жағынан жарқырайды, бірақ ... солай болсын, мен сені құтқарамын! Мен сендерге тек жетінші сыныптың әдістерін қолдана отырып, кейбір квадрат теңдеулерді қалай шешуге болатынын көрсетемін. Қайтадан толық шаршыны таңдаңыз!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

Енді алынған өрнекті ... деп жазамыз. квадраттардың айырмашылығы!Иә, иә, жетінші сыныпта біреу бар:

а 2 -б 2 = (a-b)(a+b)

Cast ажақшалар шығып тұрады(x+2) , және рөлде б- бір. Біз алып жатырмыз:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Бұл кеңейтуді квадрат үшмүшенің орнына теңдеуге енгіземіз:

(x+1)(x+3)=0

Факторлардың көбейтіндісі нөлге тең екенін анықтау керек содан кейін және сонда ғанаолардың кез келгені нөлге тең болғанда. Сондықтан біз (ақылда!) Әрбір жақшаны нөлге теңестіреміз.

Біз алып жатырмыз: x 1 =-3 x 2 =-1

Осымен болды. Екі бірдей тамыр. Шебер қабылдаушы осындай. Дискриминантқа қосымша.)

Айтпақшы, дискриминант және квадрат теңдеудің түбірлерінің жалпы формуласы туралы:

Сабақта мен бұл қиын формуланың туындысын алып тастадым. Пайдасыздығы үшін. Бірақ оның орны осында.) Қалай екенін білгіңіз келе ме? мына формуланы алыңыз? Дискриминанттың өрнегі қайдан келеді және дәл негеб 2 -4ac, бірақ басқа жолмен емес пе? Дегенмен, болып жатқан оқиғаның мәнін толық түсіну әр түрлі әріптер мен белгілерді ойланбастан жазудан әлдеқайда пайдалы, солай ма?)

Үшінші пайдалы нәрсе - квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару.

Мінеки Біз! Квадрат үшмүшені жалпы түрде аламыз балта 2 + bx+ вжәне… біз толық шаршыны таңдауды бастаймыз!Иә, тура хаттар арқылы!Арифметика болды, алгебра болды.) Алдымен әдеттегідей әріпті шығарамыз ажақшаның сыртында және барлық басқа коэффициенттерді келесіге бөліңіз а:

Бұл сияқты. Бұл өте заңды түрлендіру: а нөлге тең емес, және оған бөлуге болады. Біз қайтадан жақшалармен әдеттегі алгоритм бойынша жұмыс істейміз: біз x-пен терминден қос көбейтінді жасаймыз, екінші санның квадратын қосамыз / азайтамыз ...

Бәрі бірдей, бірақ әріппен.) Өзіңіз аяқтап көріңіз! Дені сау!)

Барлық түрлендірулерден кейін сіз мынаны алуыңыз керек:

Ал бізге зиянсыз үш мүшеден мұндай үйінділер салудың не керегі бар – дейсіз бе? Ештеңе емес, енді қызық болады! Ал енді, әрине, біз бұл нәрсені теңестіреміз нөлге дейін:

Біз оны қалыпты теңдеу сияқты шешеміз, біз барлық ережелер бойынша жұмыс істейміз, тек әріптермен. Біз бастауыш жасаймыз:

1) Үлкен бөлшекті оңға жылжытыңыз.Плюс жылжытқанда минусқа ауысамыз. Бөлшектің алдына минус салмау үшін мен алымдағы барлық белгілерді өзгертемін. Сол жақта нумератор болды4ac-b 2 , және аударудан кейін -( 4ac-b 2 ) , яғни. б 2 -4 ак. Сізге таныс нәрсе, солай емес пе? Иә! Дискриминант, ол ең ...) Мынадай болады:

2) Коэффиценттен жақшалардың квадратын тазалаймыз.Біз екі бөлікті де « а«. Сол жақта жақшаның алдында әріп ажоғалады, ал оң жақта үлкен бөлшектің бөліміне өтіп, оны айналдырады 4 а 2 .

Мынадай теңдік шығады:

Бұл сізге көмектеспеді ме? Онда «» тақырыбы сізге арналған. Онда дереу жетіңіз!

келесі қадам тамырын шығарып алыңыз. Бізді X қызықтырады, солай ма? Ал X шаршының астында отырады ... Біз, әрине, тамырларды алу ережелеріне сәйкес шығарамыз. Экстракциядан кейін келесідей болады:

Сол жақта – қосындының квадраты жоғаладыжәне ол тек соманың өзі болып қалады. Бұл қажет.) Бірақ оң жақта пайда болады плюс/минус. Біздің үлкен фракциямыз үшін, оның керемет көрінісіне қарамастан, болып табылады аз ғана сан. Бөлшек сан. Коэффицентке тәуелді а, б, в. Сонымен қатар бұл бөлшектің алымынан түбір әдемі шығарылмайды, екі өрнектің айырмашылығы бар. Міне, бөлгіштің түбірі 4 а 2 өте шығарылатын! Бұл оңай болады 2 а.

Толтыруға арналған «қиын» сұрақ: өрнектен түбірді шығарып, құқығым бар ма? 4 а2, жауап беріңіз жай 2а?Өйткені, өндіру ережесі шаршы түбір модульдің белгісін қоюды міндеттейді, яғни.2|а| !

Модуль белгісін неге қалдырғанымды ойлап көріңіз. Өте пайдалы. Нұсқау: жауап белгіде плюс/минусбөлшектің алдында.)

Бос орындар қалды. Біз сол жақта таза x береміз. Ол үшін кіші бөлшекті оңға жылжытыңыз. Белгінің өзгеруімен бұрыш мөлдір болады. Бөлшектегі таңбаны кез келген жерде және кез келген жолмен өзгертуге болатынын еске саламын. Бөлшектен бұрын өзгерткіміз келеді, бөлгіште қалаймыз, алымдағы қалаймыз. Мен белгіні өзгертемін санауышта. Ол болды + б, болды – б. Қарсылық жоқ деп үміттенемін?) Ауыстырудан кейін ол былай болады:

Бөлгіштері бірдей екі бөлшекті қосып, аламыз (соңында!):

Ал? Мен не айта аламын? Мәссаған!)

Төртінші пайдалы нәрсе - студенттер назарға алуы керек!

Енді мектептен университетке оңай көшейік. Сіз бұған сенбейсіз, бірақ жоғары математикада толық шаршыны таңдау қажет!

Мысалы, мұндай тапсырма:

Анықталмаған интегралды табыңыз:

Неден бастау керек? Тікелей қолданба қозғалмайды. Толық шаршыны таңдағанда ғана сақталады, иә ...)

Толық шаршыны қалай таңдау керектігін білмейтіндер осы қарапайым мысалда мәңгілікке қалады. Ал кім біледі, ол бөледі және алады:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

Ал енді интеграл (білетіндер үшін) бір сол жағымен алынады!

Бұл тамаша, солай ма? Және бұл жай ғана интегралдар емес! Мен аналитикалық геометрия туралы қазірдің өзінде үндемеймін екінші ретті қисықтар – эллипс, гипербола, парабола және шеңбер.

Мысалы:

Теңдеу арқылы берілген қисық түрін анықтаңыз:

x 2 + ж 2 -6 x-8 ж+16 = 0

Толық шаршыны таңдау мүмкіндігінсіз тапсырманы шешу мүмкін емес, иә ... Бірақ мысал оңай болуы мүмкін емес еді! Білетіндер үшін, әрине.

Терминдерді х және у арқылы үйінділерге топтастырамыз және әрбір айнымалы үшін толық квадраттарды таңдаймыз. Алу:

(x 2 -6x) + (ж 2 -8 ж) = -16

(x 2 -6x+9)-9 + (ж 2 -8 ж+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (ж-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (ж-4) 2 = 3 2

Қалай екен? Қандай жануар екенін білдіңіз бе?) Жақсы, әрине! Центрі (3; 4) нүктесінде болатын радиусы үш шеңбер.

Барлығы осы.) Пайдалы нәрсе - толық шаршыны таңдау!)