Суретте функцияның антитуындысы көрсетілген

Сәлем достар! Бұл мақалада антидеривативтерге арналған тапсырмаларды қарастырамыз. Бұл тапсырмалар математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханға енгізілген. Бөлімдердің өзі - дифференциалдау және интеграция - алгебра курсында өте сыйымды және түсінуге жауапкершілікпен қарауды талап ететініне қарамастан, математикадағы тапсырмалардың ашық банкіне енгізілген және Бірыңғай тапсырмаларда өте қарапайым болатын тапсырмалардың өздері. Мемлекеттік емтиханды бір немесе екі қадаммен шешуге болады.

Антитуындының мәнін және, атап айтқанда, интегралдың геометриялық мағынасын дәл түсіну маңызды. Теориялық негіздеріне қысқаша тоқталайық.

Интегралдың геометриялық мағынасы

Интеграл туралы қысқаша мынаны айта аламыз: интеграл - аудан.

Анықтама: кесіндіде анықталған оң функция f функциясының графигі координаталық жазықтықта берілсін. Ішкі граф (немесе қисық сызықты трапеция) f функциясының графигімен, x = a және x = b түзулерімен және x осімен шектелген фигура.

Анықтама: Ақырлы кесіндіде анықталған оң f функциясы берілсін. f функциясының кесіндідегі интегралы оның субграфының ауданы болып табылады.

Жоғарыда айтылғандай F′(x) = f (x).Біз қандай қорытынды жасай аламыз?

Бұл қарапайым. Бұл графикте F′(x) = 0 болатын қанша нүкте бар екенін анықтауымыз керек. Функция графигінің жанамасының х осіне параллель болатын нүктелерінде біз білеміз. Осы нүктелерді [–2;4] интервалында көрсетейік:

Бұл берілген F (x) функциясының экстремум нүктелері. Олардың он саны бар.

Жауабы: 10

323078. Суретте белгілі бір функцияның графигі y = f (x) (ортақ бастапқы нүктесі бар екі сәуле) көрсетілген. Суретті пайдаланып, F (8) – F (2) есептеңіз, мұндағы F (x) f (x) функциясының антитуындыларының бірі.

Ньютон-Лейбниц теоремасын тағы да жазайық:f берілген функция, F оның ерікті қарсы туындысы болсын. Содан кейін

Бұл, бұрын айтылғандай, функцияның ішкі графасының ауданы.

Осылайша, мәселе трапецияның ауданын (2-ден 8-ге дейінгі аралық) табуда туындайды:

Оны ұяшықтар арқылы есептеу қиын емес. Біз 7 аламыз. Таңба оң, өйткені фигура х осінен жоғары (немесе у осінің оң жарты жазықтығында) орналасқан.

Бұл жағдайда да мынаны айтуға болады: нүктелердегі антитуынды мәндердегі айырмашылық фигураның ауданы болып табылады.

Жауабы: 7

323079. Суретте белгілі бір функцияның y = f (x) графигі көрсетілген. F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 функциясы y= f (x) функциясының қарсы туындыларының бірі болып табылады. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Интегралдың геометриялық мағынасы туралы бұрын айтылғандай, бұл f (x) функциясының графигімен, x = a және x = b түзулерімен және ось осімен шектелген фигураның ауданы.

Теорема (Ньютон-Лейбниц):

Осылайша, тапсырма –11-ден –9-ға дейінгі аралықта берілген функцияның анықталған интегралын есептеуге келеді немесе басқаша айтқанда, көрсетілген нүктелерде есептелген антитуынды мәндеріндегі айырмашылықты табу керек:

Жауабы: 6

323080. Суретте кейбір у = f (х) функциясының графигі көрсетілген.

F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 функциясы f (x) функциясының қарсы туындыларының бірі болып табылады. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Теорема (Ньютон-Лейбниц):

Мәселе берілген функцияның –10-нан –8 аралығындағы анықталған интегралды есептеуге келіп тіреледі:

Жауабы: 4

Бұл мәселенің тағы бір шешімі, сайттан.

Туынды және дифференциалдау ережелері де . Мұндай міндеттерді шешу үшін ғана емес, оларды білу қажет.

Сондай-ақ веб-сайттағы анықтама ақпаратын және.

Қысқа бейнені қараңыз, бұл «Соқыр жағы» фильмінен үзінді. Бұл тәрбие туралы, мейірімділік туралы, өміріміздегі «кездейсоқ» кездесулердің маңыздылығы туралы фильм деп айта аламыз... Бірақ бұл сөздер жеткіліксіз болады, мен фильмнің өзін көруге кеңес беремін, мен оны өте ұсынамын.

Іске сәт!

Құрметпен, Александр Крутицких

P.S: Әлеуметтік желідегі сайт туралы айтып берсеңіз, риза болар едім.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте y=f(x) функциясының графигі берілген (ол үш түзу кесіндіден тұратын сынық сызық). Суретті пайдаланып, F(9)-F(5) есептеңіз, мұндағы F(x) f(x) функциясының антитуындыларының бірі.

Шешімді көрсету

Шешім

Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша F(9)-F(5), мұндағы F(x) f(x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады, қисық сызықты трапецияның шектелген ауданына тең. y=f(x) функциясының графигі бойынша, y=0 , x=9 және x=5 түзулері. Графиктен біз көрсетілген қисық трапеция табандары 4 пен 3-ке тең және биіктігі 3 болатын трапеция екенін анықтаймыз.

Оның ауданы тең \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Жауап

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте (-5; 5) интервалында анықталған кейбір f(x) функциясының антитуындыларының бірі y=F(x) функциясының графигі көрсетілген. Суретті пайдаланып, [-3 кесіндісі бойынша f(x)=0 теңдеуінің шешімдерінің санын анықтаңыз; 4].

Шешімді көрсету

Шешім

Антитуындының анықтамасы бойынша теңдік орындалады: F"(x)=f(x). Сондықтан f(x)=0 теңдеуін F"(x)=0 түрінде жазуға болады. Суретте y=F(x) функциясының графигі көрсетілгендіктен, сол нүктелерді [-3 аралықта табу керек; 4], онда F(x) функциясының туындысы нөлге тең. Суреттен бұл F(x) графигінің шеткі нүктелерінің (максимум немесе минимум) абсциссалары болатыны анық. Көрсетілген аралықта олардың дәл 7-і бар (төрт минимум және үш максималды ұпай).

Жауап

Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі». Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте y=f(x) функциясының графигі берілген (ол үш түзу кесіндіден тұратын сынық сызық). Суретті пайдаланып, F(5)-F(0) есептеңіз, мұндағы F(x) f(x) функциясының антитуындыларының бірі.

Шешімді көрсету

Шешім

Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша F(5)-F(0) айырмасы, мұндағы F(x) f(x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады, қисық сызықты трапецияның шектелген ауданына тең. y=f(x) функциясының графигі бойынша, y=0 , x=5 және x=0 түзулері. Графиктен біз көрсетілген қисық трапеция табандары 5 пен 3-ке тең, биіктігі 3 болатын трапеция екенін анықтаймыз.

Оның ауданы тең \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Жауап

Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі». Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте (-5; 4) интервалында анықталған f(x) кейбір функциясының антитуындыларының бірі y=F(x) функциясының графигі көрсетілген. Суретті пайдаланып, (-3; 3] кесіндісі бойынша f (x) = 0 теңдеуінің шешімдерінің санын анықтаңыз.

Шешімді көрсету

Шешім

Антитуындының анықтамасы бойынша теңдік орындалады: F"(x)=f(x). Сондықтан f(x)=0 теңдеуін F"(x)=0 түрінде жазуға болады. Суретте y=F(x) функциясының графигі көрсетілгендіктен, сол нүктелерді [-3 аралықта табу керек; 3], онда F(x) функциясының туындысы нөлге тең.

Суреттен бұл F(x) графигінің шеткі нүктелерінің (максимум немесе минимум) абсциссалары болатыны анық. Көрсетілген интервалда олардың дәл 5-і бар (екі минималды ұпай және үш максималды ұпай).

Жауап

Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі». Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте кейбір y=f(x) функциясының графигі көрсетілген. F(x)=-x^3+4,5x^2-7 функциясы f(x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады.

Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Шешімді көрсету

Шешім

Көлеңкеленген фигура y=f(x) функциясының графигімен, y=0, x=1 және x=3 түзулерімен жоғарыдан шектелген қисық сызықты трапеция. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша оның S ауданы F(3)-F(1) айырмасына тең, мұндағы F(x) шартта көрсетілген f(x) функциясының қарсы туындысы. Сондықтан S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Жауап

Дереккөз: «Математика. 2017 жылғы Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық. Профиль деңгейі». Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте кейбір y=f(x) функциясының графигі көрсетілген. F(x)=x^3+6x^2+13x-5 функциясы f(x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Туынды белгісі мен функцияның монотондылық сипаты арасындағы байланысты көрсету.

Төмендегілерге өте мұқият болыңыз. Қараңызшы, сізге НЕ берілген кесте! Функция немесе оның туындысы

Туындының графигі берілген болса, онда бізді тек функция таңбалары мен нөлдер қызықтырады. Бізді негізінен «төбелер» немесе «шұңқырлар» қызықтырмайды!

1-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның графигі көрсетілген. Функцияның туындысы теріс болатын бүтін нүктелердің санын анықтаңыз.

Шешімі:

Суретте функцияның кему аймақтары түспен бөлінген:

Функцияның бұл кему аймақтарында 4 бүтін мән бар.

2-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның графигі көрсетілген. Функция графигіне жанама түзуге параллель немесе сәйкес келетін нүктелер санын табыңыз.

Шешімі:

Функция графигіне жанама түзу сызыққа параллель болса (немесе сәйкес келсе) (немесе ол бірдей нәрсе), еңіс, нөлге тең, онда тангенс бұрыштық коэффициентке ие болады.

Бұл өз кезегінде жанама оське параллель екенін білдіреді, өйткені көлбеу оське жанаманың көлбеу бұрышының тангенсі болып табылады.

Сондықтан графиктен экстремум нүктелерін (максимум және ең кіші нүктелер) табамыз – дәл осы нүктелерде графикке жанама функциялар оське параллель болады.

Мұндай 4 нүкте бар.

3-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның туындысының графигі көрсетілген. Функция графигіне жанама түзуге параллель немесе сәйкес келетін нүктелер санын табыңыз.

Шешімі:

Функция графигінің жанамасы еңісі бар түзумен параллель (немесе сәйкес келетін) болғандықтан, жанаманың да еңісі болады.

Бұл өз кезегінде жанасу нүктелерінде дегенді білдіреді.

Сондықтан графтағы қанша нүктенің ординатасы -ге тең болатынын қарастырамыз.

Көріп отырғаныңыздай, мұндай төрт нүкте бар.

4-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның графигі көрсетілген. Функцияның туындысы 0 болатын нүктелер санын табыңыз.

Шешімі:

Туынды экстремум нүктелерінде нөлге тең. Бізде олардың 4-еуі бар:

5-тапсырма.

Суретте функцияның графигі және х осіндегі он бір нүкте көрсетілген:. Осы нүктелердің қаншасында функцияның туындысы теріс болады?

Шешімі:

Функцияның кему аралықтарында оның туындысы теріс мәндерді қабылдайды. Ал функция нүктелерде төмендейді. Мұндай 4 нүкте бар.

6-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның графигі көрсетілген. Функцияның экстремум нүктелерінің қосындысын табыңыз.

Шешімі:

Экстремум нүктелері– бұл максималды ұпайлар (-3, -1, 1) және ең төменгі ұпайлар (-2, 0, 3).

Экстремум нүктелерінің қосындысы: -3-1+1-2+0+3=-2.

7-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның туындысының графигі көрсетілген. Функцияның өсу аралықтарын табыңыз. Жауабыңызда осы интервалдардағы бүтін нүктелердің қосындысын көрсетіңіз.

Шешімі:

Суретте функцияның туындысы теріс емес интервалдар бөлектелген.

Кіші өсу интервалында бүтін нүктелер жоқ, өсу интервалында төрт бүтін мән бар: , , және .

Олардың сомасы:

8-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның туындысының графигі көрсетілген. Функцияның өсу аралықтарын табыңыз. Жауабыңызда олардың ең үлкенінің ұзындығын көрсетіңіз.

Шешімі:

Суретте туынды оң болатын барлық интервалдар түспен ерекшеленген, яғни функцияның өзі осы аралықтарда артады.

Олардың ең үлкенінің ұзындығы 6.

9-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның туындысының графигі көрсетілген. Ол сегменттің қай нүктесінде ең үлкен мәнге ие болады?

Шешімі:

Бізді қызықтыратын сегментте график қалай әрекет ететінін көрейік туындының белгісі ғана .

Туындының таңбасы минус, өйткені бұл кесіндідегі график осьтен төмен.

Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=\frac(2)(3)x^3-20x^2+201x-\frac(5)(9)\) функциясы \(f(x) функциясының қарсы туындыларының бірі болып табылады. )\). Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323383. Прототип №:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5) функциясы )\) - \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323385. Прототип №:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) функциясы мыналардың бірі болып табылады. \(f(x)\) функциясының антитуындылары. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323387. Прототип №:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) функциясы мыналардың бірі болып табылады. \(f(x)\) функциясының антитуындылары. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323389. Прототип №:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2) функциясы )\) - \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323391. Прототип №:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) функциясы мыналардың бірі болып табылады. \(f(x)\) функциясының антитуындылары. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323393. Прототип №:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2) функциясы )\) - \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323395. Прототип №:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) функциясы \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323397. Прототип №:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) функциясы мыналардың бірі болып табылады. \(f(x)\) функциясының антитуындылары. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323399. Прототип №:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3) функциясы )\) - \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Бетке өту: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 4 4 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 82 88 8 7 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 1212 1212 28 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 1611717 6 17 7 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 21122 222 5 226 22 7 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 26072 722 4 275 276 27 7 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 32 32 32 3 324 325 326 32 7 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 636 3637 2 373 374 375 376 37 7 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412