Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуі. Математикалық күту (популяцияның орташа мәні) – математикалық күту модулі

Күту – кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі

Математикалық күту, анықтама, дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтуі, таңдама, шартты күту, есептеу, қасиеттер, есептер, күтуді бағалау, дисперсия, таралу функциясы, формулалар, есептеу мысалдары

Мазмұнды кеңейту

Мазмұнды жию

Математикалық күту – бұл анықтама

Кездейсоқ шаманың мәндерінің немесе ықтималдықтарының таралуын сипаттайтын математикалық статистика мен ықтималдықтар теориясындағы маңызды ұғымдардың бірі. Әдетте кездейсоқ шаманың барлық мүмкін параметрлерінің орташа өлшенген мәні ретінде көрсетіледі. Техникалық талдауда, сандар қатарын зерттеуде, үздіксіз және уақытты қажет ететін процестерді зерттеуде кеңінен қолданылады. Ол қаржы нарығында сауда жасау кезінде тәуекелдерді бағалауда, баға көрсеткіштерін болжауда маңызды болып табылады және құмар ойындар теориясында ойын тактикасының стратегиялары мен әдістерін әзірлеуде қолданылады.

Математикалық күту – бұлкездейсоқ шаманың орташа мәні, кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі ықтималдықтар теориясында қарастырылады.

Математикалық күту – бұлықтималдық теориясындағы кездейсоқ шаманың орташа мәнінің өлшемі. Кездейсоқ шаманы күту xарқылы белгіленеді M(x).

Математикалық күту – бұл

Математикалық күту – бұлықтималдық теориясында кездейсоқ шама қабылдай алатын барлық мүмкін мәндердің орташа өлшенгені.

Математикалық күту – бұлкездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің көбейтінділерінің қосындысы және осы мәндердің ықтималдықтары.

Математикалық күту – бұлбелгілі бір шешімнің орташа пайдасы, егер мұндай шешім үлкен сандар мен алыс қашықтық теориясының шеңберінде қарастырылуы мүмкін болса.

Математикалық күту – бұлқұмар ойын теориясында ойыншының әрбір ставка үшін орташа есеппен алуы немесе жоғалтуы мүмкін ұтыс сомасы. Құмар ойынының тілінде бұл кейде «ойыншының қыры» (егер ол ойыншы үшін оң болса) немесе «үйдің жиегі» (ойыншы үшін теріс болса) деп аталады.

Математикалық күту – бұлорташа пайдаға көбейтілген ұтыс шақтағы пайданың пайызы, орташа шығынға көбейтілген жоғалту ықтималдығы шегерілген.

Математикалық теориядағы кездейсоқ шаманың математикалық күтуі

Кездейсоқ шаманың маңызды сандық сипаттамаларының бірі оның математикалық күтуі болып табылады. Кездейсоқ шамалар жүйесі түсінігін енгізейік. Бірдей кездейсоқ тәжірибенің нәтижесі болып табылатын кездейсоқ шамалардың жиынын қарастырайық. Егер бұл жүйенің мүмкін мәндерінің бірі болса, онда оқиға Колмогоровтың аксиомаларын қанағаттандыратын белгілі бір ықтималдыққа сәйкес келеді. Кездейсоқ шамалардың кез келген мүмкін мәндері үшін анықталған функция бірлескен таралу заңы деп аталады. Бұл функция кез келген оқиғалардың ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді. Атап айтқанда, жиыннан мән алатын және кездейсоқ шамалардың бірлескен таралу заңы ықтималдықтар арқылы беріледі.

«Математикалық күту» терминін Пьер Саймон Маркиз де Лаплас (1795) енгізді және алғаш рет 17 ғасырда құмар ойын теориясында Блез Паскаль мен Кристианның еңбектерінде пайда болған «ұтыстардың күтілетін құны» түсінігінен шыққан. Гюйгенс. Дегенмен, бұл тұжырымдаманың алғашқы толық теориялық түсінігі мен бағасын Пафнутый Львович Чебышев (19 ғ. ортасы) берді.

Кездейсоқ сандық шамалардың таралу заңы (тарату функциясы және таралу қатары немесе ықтималдық тығыздығы) кездейсоқ шаманың әрекетін толығымен сипаттайды. Бірақ бірқатар мәселелерде қойылған сұраққа жауап беру үшін зерттелетін шаманың кейбір сандық сипаттамаларын білу жеткілікті (мысалы, оның орташа мәні және одан мүмкін ауытқуы). Кездейсоқ шамалардың негізгі сандық сипаттамалары математикалық күту, дисперсия, режим және медиана болып табылады.

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі оның мүмкін мәндерінің және олардың сәйкес ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы болып табылады. Кейде математикалық күтуді өлшенген орташа шама деп атайды, өйткені ол эксперименттердің үлкен саны бойынша кездейсоқ шаманың байқалған мәндерінің орташа арифметикалық мәніне шамамен тең. Математикалық күтудің анықтамасынан оның мәні кездейсоқ шаманың ең кіші мүмкін мәнінен кем емес және ең үлкенінен көп емес екендігі шығады. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуі кездейсоқ емес (тұрақты) шама.

Математикалық күтудің қарапайым физикалық мағынасы бар: егер сіз бірлік массаны түзу сызыққа орналастырсаңыз, белгілі бір массаны кейбір нүктелерге орналастырсаңыз (дискретті таралу үшін) немесе оны белгілі бір тығыздықпен (абсолютті үздіксіз үлестірім үшін) «жағынып» жатсаңыз. , онда математикалық күтуге сәйкес нүкте координатасы болады «ауырлық центрі» түзу.

Кездейсоқ шаманың орташа мәні - бұл оның «өкілі» болып табылатын және оны шамамен жуық есептеулерде алмастыратын белгілі бір сан. Біз: «шамның орташа жұмыс уақыты 100 сағатты құрайды» немесе «орташа әсер ету нүктесі мақсатқа қатысты 2 м оңға жылжиды» дегенде, біз кездейсоқ шаманың оның орнын сипаттайтын белгілі бір сандық сипаттамасын көрсетеміз. сандық ось бойынша, яғни. «позиция сипаттамалары».

Ықтималдықтар теориясындағы позицияның сипаттамаларының ішінде ең маңызды рөлді кездейсоқ шаманың математикалық күтуі атқарады, оны кейде кездейсоқ шаманың орташа мәні деп те атайды.

Кездейсоқ шаманы қарастырыңыз X, мүмкін мәндері бар x1, x2, …, xnықтималдықтармен p1, p2, …, pn. Кездейсоқ шама мәндерінің х осіндегі орнын кейбір санмен сипаттау керек, бұл мәндердің әртүрлі ықтималдықтары бар екенін ескере отырып. Осы мақсатта мәндердің «орташа өлшенген» деп аталатынын пайдалану заңды xi, және орташалау кезінде әрбір xi мәні осы мәннің ықтималдығына пропорционалды «салмақпен» ескерілуі керек. Осылайша, біз кездейсоқ шаманың орташа мәнін есептейміз X, біз оны белгілейміз M |X|:

Бұл орташа өлшенген кездейсоқ шаманың математикалық күтуі деп аталады. Осылайша, біз ықтималдықтар теориясының маңызды тұжырымдамаларының бірі - математикалық күту тұжырымдамасын қарастырдық. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуі кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің және осы мәндердің ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы болып табылады.

Xэксперименттердің үлкен саны бойынша кездейсоқ шаманың байқалатын мәндерінің орташа арифметикалық мәніне ерекше тәуелділікпен байланысты. Бұл тәуелділік жиілік пен ықтималдық арасындағы тәуелділік сияқты типті, атап айтқанда: көптеген эксперименттер кезінде кездейсоқ шаманың бақыланатын мәндерінің орташа арифметикалық мәні оның математикалық күтуіне жақындайды (ықтималдық бойынша жинақталады). Жиілік пен ықтималдық арасындағы байланыстың болуы нәтижесінде арифметикалық орта мен математикалық күту арасындағы ұқсас байланыстың болуын шығаруға болады. Шынында да, кездейсоқ шаманы қарастырыңыз Xтаралу қатарымен сипатталады:

Ол өндірілсін Нтәуелсіз эксперименттер, олардың әрқайсысында мән Xбелгілі бір мәнге ие болады. мән деп есептейік x1пайда болды м1уақыт, құндылық x2пайда болды м2уақыт, жалпы мағына xiрет пайда болды. Математикалық күтуден айырмашылығы, X шамасының байқалған мәндерінің арифметикалық ортасын есептейік. M|X|белгілейміз M*|X|:

Тәжірибелердің көбеюімен Нжиіліктер писәйкес ықтималдықтарға жақындайды (ықтималдық бойынша жинақталады). Демек, кездейсоқ шаманың байқалатын мәндерінің орташа арифметикалық мәні M|X|эксперименттер санының ұлғаюымен ол өзінің математикалық күтуіне жақындайды (ықтималдық бойынша жинақталады). Жоғарыда тұжырымдалған орташа арифметикалық шама мен математикалық күту арасындағы байланыс үлкен сандар заңының бір формасының мазмұнын құрайды.

Үлкен сандар заңының барлық нысандары кейбір орташа мәндердің көптеген эксперименттерде тұрақты болатынын көрсететінін біз қазірдің өзінде білеміз. Бұл жерде біз бірдей шамадағы бақылаулар тізбегінен алынған орташа арифметикалық шаманың тұрақтылығы туралы айтып отырмыз. Тәжірибелердің аз санымен олардың нәтижелерінің орташа арифметикалық мәні кездейсоқ болады; эксперименттер санының жеткілікті өсуімен ол «кездейсоқ емес дерлік» болады және тұрақтана отырып, тұрақты мәнге - математикалық күтуге жақындайды.

Тәжірибелердің көп саны бойынша орташа мәндердің тұрақтылығын эксперименталды түрде оңай тексеруге болады. Мысалы, зертханада денені дәл таразыда өлшегенде, өлшеу нәтижесінде әр жолы жаңа мән аламыз; Бақылау қателігін азайту үшін денені бірнеше рет өлшеп, алынған шамалардың орташа арифметикалық мәнін қолданамыз. Тәжірибелердің (өлшеулердің) санының одан әрі ұлғаюымен орташа арифметикалық шама бұл өсімге азырақ және азырақ әсер ететінін және тәжірибелердің жеткілікті көп санымен іс жүзінде өзгермейтінін байқау оңай.

Кездейсоқ шама позициясының ең маңызды сипаттамасы – математикалық күту – барлық кездейсоқ шама үшін жоқ екенін атап өткен жөн. Математикалық күту жоқ кездейсоқ шамалардың мысалдарын құрастыруға болады, өйткені сәйкес қосынды немесе интеграл алшақтайды. Алайда мұндай жағдайлар тәжірибе үшін айтарлықтай қызығушылық тудырмайды. Әдетте, біз қарастыратын кездейсоқ айнымалылар мүмкін мәндердің шектеулі диапазонына ие және, әрине, математикалық күтуге ие.

Кездейсоқ шама позициясының ең маңызды сипаттамаларынан басқа – математикалық күту – тәжірибеде кейде позицияның басқа сипаттамалары қолданылады, атап айтқанда, кездейсоқ шаманың режимі мен медианасы.

Кездейсоқ шаманың режимі оның ең ықтимал мәні болып табылады. «Ең ықтимал мән» термині қатаң түрде тек үзіліссіз шамаларға қолданылады; үздіксіз шама үшін режим ықтималдық тығыздығы максималды болатын шама болып табылады. Суреттер сәйкесінше үзіліссіз және үздіксіз кездейсоқ шамалардың режимін көрсетеді.

Егер таралу полигонында (таралу қисығы) бір максимум көп болса, үлестірімді «көп модальды» деп атайды.

Кейде максимум емес, ортасында минимумы бар үлестірімдер бар. Мұндай таратулар «антимодальды» деп аталады.

Жалпы жағдайда кездейсоқ шаманың режимі мен математикалық күтуі сәйкес келмейді. Белгілі бір жағдайда, бөлу симметриялы және модальды (яғни режимі бар) және математикалық күту болған кезде, ол таралу симметриясының режимімен және орталығымен сәйкес келеді.

Басқа позиция сипаттамасы жиі пайдаланылады - кездейсоқ шаманың медианасы деп аталады. Бұл сипаттама әдетте үзіліссіз кездейсоқ айнымалылар үшін ғана қолданылады, дегенмен оны үзіліссіз айнымалы үшін ресми түрде анықтауға болады. Геометриялық тұрғыдан медиана – таралу қисығымен қоршалған аудан екіге бөлінген нүктенің абсциссасы.

Симметриялық модальды таралу жағдайында медиана математикалық күтумен және режиммен сәйкес келеді.

Математикалық күту дегеніміз – кездейсоқ шаманың орташа мәні – кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімінің сандық сипаттамасы. Ең жалпы түрде кездейсоқ шаманың математикалық күтуі X(w)ықтималдық өлшеміне қатысты Лебег интегралы ретінде анықталады Рбастапқы ықтималдық кеңістігінде:

Математикалық күтуді Лебег интегралы ретінде де есептеуге болады Xықтималдықты бөлу арқылы pxшамалар X:

Шексіз математикалық күтілетін кездейсоқ шама түсінігі табиғи жолмен анықталуы мүмкін. Әдеттегі мысал - кейбір кездейсоқ серуендердің қайтару уақыты.

Математикалық күтудің көмегімен үлестірімнің көптеген сандық және функционалдық сипаттамалары анықталады (кездейсоқ шаманың сәйкес функцияларының математикалық күтуі сияқты), мысалы, тудырушы функция, сипаттамалық функция, кез келген ретті моменттері, атап айтқанда дисперсия, коварианс. .

Математикалық күту – кездейсоқ шама мәндерінің орналасу сипаттамасы (оның таралуының орташа мәні). Бұл сыйымдылықта математикалық күту қандай да бір «типтік» таралу параметрі ретінде қызмет етеді және оның рөлі механикада статикалық моменттің - массаның таралу ауырлық центрінің координатының рөліне ұқсас. Көмегімен таралу жалпы түрде сипатталатын орналасудың басқа сипаттамаларынан – медианалар, режимдер, математикалық күту ықтималдықтар теориясының шекті теоремаларында ол және сәйкес шашырау сипаттамасы – дисперсияға ие болатын үлкен мәнімен ерекшеленеді. Математикалық күтудің мәні үлкен сандар заңы (Чебышев теңсіздігі) және үлкен сандардың күшейтілген заңы арқылы барынша толық ашылады.

Дискретті кездейсоқ шаманы күту

Бірнеше сандық мәндердің бірін қабылдай алатын кездейсоқ шама болсын (мысалы, сүйек лақтыру кезіндегі ұпай саны 1, 2, 3, 4, 5 немесе 6 болуы мүмкін). Көбінесе тәжірибеде мұндай мән үшін сұрақ туындайды: ол көптеген сынақтармен «орташа» қандай мәнді қабылдайды? Тәуекелді транзакциялардың әрқайсысынан орташа табыс (немесе шығын) қандай болады?

Лотереяның бір түрі бар делік. Біз оған қатысу тиімді ме, жоқ па (немесе тіпті бірнеше рет, үнемі қатысу) екенін түсінгіміз келеді. Әрбір төртінші билет жеңімпаз, жүлде 300 рубль, ал кез келген билеттің бағасы 100 рубль болады делік. Қатысулардың шексіз көп санымен осылай болады. Төрттен үш жағдайда біз жоғалтамыз, әрбір үш шығын 300 рубльді құрайды. Әрбір төртінші жағдайда біз 200 рубль ұтып аламыз. (жүлде минус құны), яғни төрт қатысу үшін біз орта есеппен 100 рубль жоғалтамыз, біреуі үшін - орта есеппен 25 рубль. Жалпы алғанда, біздің күйреуіміздің орташа бағасы бір билет үшін 25 рубльді құрайды.

Біз сүйектерді лақтырамыз. Егер ол алдамаса (ауырлық центрін ауыстырмай, т.б.), онда бір уақытта орта есеппен қанша ұпай аламыз? Әрбір нұсқаның ықтималдығы бірдей болғандықтан, біз жай арифметикалық ортаны алып, 3,5 аламыз. Бұл ОРТАША болғандықтан, ешқандай нақты орам 3,5 ұпай бермейді деп ашуланудың қажеті жоқ - бұл текшеде мұндай сан бар бет жоқ!

Енді мысалдарымызды қорытындылайық:

Жаңа берілген суретке назар аударайық. Сол жақта кездейсоқ шаманың таралу кестесі. X мәні n мүмкін мәндердің бірін қабылдай алады (жоғарғы жолда көрсетілген). Басқа мағыналар болуы мүмкін емес. Әрбір мүмкін мәннің астында оның ықтималдығы төменде жазылған. Оң жақта формула орналасқан, мұнда M(X) математикалық күту деп аталады. Бұл мәннің мағынасы сынақтардың көп санымен (үлкен таңдаумен) орташа мән дәл осы математикалық күтуге бейім болады.

Сол ойнайтын текшеге қайта оралайық. Лақтыру кезіндегі ұпайлар санының математикалық болжамы - 3,5 (сенбесеңіз, формуланы пайдаланып өзіңіз есептеңіз). Бір-екі рет лақтырдың делік. Нәтижелер 4 және 6 болды. Орташа 5 болды, бұл 3,5-тен алыс. Олар тағы бір рет лақтырды, олар 3 алды, яғни орта есеппен (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Математикалық күтуден әйтеуір алыс. Енді ақылсыз эксперимент жасаңыз - текшені 1000 рет айналдырыңыз! Ал орташа дәл 3,5 болмаса да, соған жақын болады.

Жоғарыда сипатталған лотереядан математикалық күтуді есептейік. Пластина келесідей болады:

Сонда математикалық күту жоғарыда белгілегеніміздей болады:

Тағы бір нәрсе, оны формуласыз «саусақпен» жасау, егер көбірек нұсқалар болса, қиын болар еді. Айталық, 75% ұтылатын билеттер, 20% ұтыс билеттері және 5% әсіресе ұтқандар болады.

Енді математикалық күтудің кейбір қасиеттері.

Дәлелдеу оңай:

Тұрақты коэффициентті математикалық күтудің белгісі ретінде шығаруға болады, яғни:

Бұл математикалық күтудің сызықтық қасиетінің ерекше жағдайы.

Математикалық күтудің сызықтылығының тағы бір салдары:

яғни кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі кездейсоқ шамалардың математикалық күтулерінің қосындысына тең.

X, Y тәуелсіз кездейсоқ шама болсын, Содан кейін:

Мұны дәлелдеу де оңай) Жұмыс XYөзі кездейсоқ шама және бастапқы мәндер қабылдай алатын болса nЖәне мсоған сәйкес құндылықтар XY nm мәндерін қабылдай алады. Әрбір мәннің ықтималдығы тәуелсіз оқиғалардың ықтималдығының көбейтілуіне негізделген. Нәтижесінде біз мынаны аламыз:

Үздіксіз кездейсоқ шаманы күту

Үздіксіз кездейсоқ шамалардың таралу тығыздығы (ықтималдық тығыздығы) сияқты сипаттамасы бар. Ол кездейсоқ шаманың нақты сандар жиынынан кейбір мәндерді жиі, ал кейбіреулерін сирек қабылдайтын жағдайды сипаттайды. Мысалы, мына графикті қарастырыңыз:

Мұнда X- нақты кездейсоқ шама, f(x)- таралу тығыздығы. Осы графикке қарағанда, эксперименттер кезінде мән Xжиі нөлге жақын сан болады. Мүмкіндіктер асып түсті 3 немесе кішірек болыңыз -3 әлдеқайда таза теориялық.

Мысалы, біркелкі бөлу болсын:

Бұл интуитивті түсінуге әбден сәйкес келеді. Айталық, егер кесіндінің әрқайсысы біркелкі үлестірілетін көптеген кездейсоқ нақты сандарды алсақ |0; 1| , онда арифметикалық орта шамамен 0,5 болуы керек.

Мұнда да дискретті кездейсоқ шамаларға қолданылатын математикалық күтудің қасиеттері – сызықтық және т.б.

Математикалық күту мен басқа статистикалық көрсеткіштер арасындағы байланыс

Статистикалық талдауда математикалық күтумен қатар құбылыстардың біртектілігін және процестердің тұрақтылығын көрсететін өзара тәуелді көрсеткіштер жүйесі бар. Вариация көрсеткіштері көбінесе тәуелсіз мағынаға ие болмайды және одан әрі деректерді талдау үшін пайдаланылады. Ерекшелік - құнды статистикалық сипаттама болып табылатын деректердің біртектілігін сипаттайтын вариация коэффициенті.

Статистика ғылымындағы процестердің өзгергіштік немесе тұрақтылық дәрежесін бірнеше көрсеткіштер арқылы өлшеуге болады.

Кездейсоқ шаманың өзгергіштігін сипаттайтын ең маңызды көрсеткіш болып табылады Дисперсия, ол математикалық күтумен ең тығыз және тікелей байланысты. Бұл параметр статистикалық талдаудың басқа түрлерінде (гипотезаны тексеру, себеп-салдарлық байланыстарды талдау және т.б.) белсенді қолданылады. Орташа сызықтық ауытқу сияқты, дисперсия да деректердің орташа мән айналасындағы таралу дәрежесін көрсетеді.

Белгілер тілін сөз тіліне аудару пайдалы. Дисперсия ауытқулардың орташа квадраты болып шығады. Яғни, алдымен орташа мән есептеледі, содан кейін әрбір бастапқы және орташа мәндер арасындағы айырмашылық алынады, шаршыға алынады, қосылады, содан кейін популяциядағы мәндер санына бөлінеді. Жеке мән мен орташа мән арасындағы айырмашылық ауытқу өлшемін көрсетеді. Ол барлық ауытқулар тек оң сандарға айналуы үшін және оларды қорытындылау кезінде оң және теріс ауытқулардың өзара жойылуын болдырмау үшін квадратталады. Содан кейін квадраттық ауытқуларды ескере отырып, біз жай арифметикалық ортаны есептейміз. Орташа – шаршы – ауытқулар. Ауытқулар квадрат болып табылады және орташа мән есептеледі. Сиқырлы «дисперсия» сөзінің жауабы үш сөзде жатыр.

Дегенмен, оның таза түрінде, мысалы, арифметикалық орта немесе индекс, дисперсия қолданылмайды. Бұл статистикалық талдаудың басқа түрлерінде қолданылатын көмекші және аралық көрсеткіш. Оның қалыпты өлшем бірлігі де жоқ. Формула бойынша, бұл бастапқы деректердің өлшем бірлігінің квадраты.

Кездейсоқ шаманы өлшейік Нрет, мысалы, жел жылдамдығын он рет өлшеп, орташа мәнді тапқымыз келеді. Орташа мән үлестіру функциясымен қалай байланысты?

Немесе сүйекті көп рет лақтырамыз. Әрбір лақтырылған кезде сүйекте пайда болатын ұпайлар саны кездейсоқ шама болып табылады және 1-ден 6-ға дейінгі кез келген табиғи мәнді қабылдай алады. Барлық сүйек лақтыру үшін есептелген түсірілген ұпайлардың орташа арифметикалық мәні де кездейсоқ шама болып табылады, бірақ үлкен үшін Нол өте нақты санға - математикалық күтуге бейім Mx. Бұл жағдайда Mx = 3,5.

Бұл құндылықты қалай алдыңыз? Кіріңіз Нсынақтар n1 1 ұпай алғаннан кейін, n2бір рет - 2 ұпай және т.б. Содан кейін бір ұпай төмендеген нәтижелер саны:

Дәл осылай 2, 3, 4, 5 және 6 ұпайларды алғандағы нәтижелер үшін.

Енді x кездейсоқ шамасының таралу заңын білеміз деп есептейік, яғни х кездейсоқ шамасының p1, p2, ... ықтималдығы бар x1, x2, ..., xk мәндерін қабылдай алатынын білеміз. pk.

Кездейсоқ x шамасының Mx математикалық күтуі мынаған тең:

Математикалық күту әрқашан кейбір кездейсоқ шаманың ақылға қонымды бағасы бола бермейді. Осылайша, орташа жалақыны бағалау үшін медиана ұғымын, яғни орташадан төмен және одан жоғары жалақы алатын адамдар саны сәйкес келетіндей мәнді пайдалану орынды.

Кездейсоқ x шамасының x1/2-ден кіші болуының p1 ықтималдығы және x кездейсоқ шамасының x1/2-ден үлкен болуының p2 ықтималдығы бірдей және 1/2-ге тең. Медиана барлық таралулар үшін бірегей түрде анықталмайды.

Стандартты немесе стандартты ауытқустатистикада бақылау деректерінің немесе жиынтықтардың ОРТАША мәннен ауытқу дәрежесі деп аталады. s немесе s әріптерімен белгіленеді. Кішігірім стандартты ауытқу деректердің орташа мәннің айналасында шоғырланғанын көрсетеді, ал үлкен стандартты ауытқу бастапқы деректердің одан алыс орналасқанын көрсетеді. Стандартты ауытқу дисперсия деп аталатын шаманың квадрат түбіріне тең. Бұл орташа мәннен ауытқыған бастапқы деректердің квадраттық айырмашылықтарының қосындысының орташа мәні. Кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы дисперсияның квадрат түбірі болып табылады:

Мысал. Нысанаға ату кезінде сынақ жағдайында кездейсоқ шаманың дисперсиясын және стандартты ауытқуын есептеңіз:

Вариация- популяция бірліктері арасындағы сипаттама мәнінің ауытқуы, өзгермелілігі. Зерттелетін популяцияда табылған сипаттаманың жеке сандық мәндері мәндердің варианттары деп аталады. Популяцияны толық сипаттау үшін орташа мәннің жеткіліксіздігі бізді орташа мәндерді зерттелетін сипаттаманың өзгергіштігін (вариациясын) өлшеу арқылы осы орташа мәндердің типтілігін бағалауға мүмкіндік беретін көрсеткіштермен толықтыруға мәжбүр етеді. Вариация коэффициенті мына формула бойынша есептеледі:

Вариация диапазоны(R) зерттелетін жиынтықтағы атрибуттың ең үлкен және ең төменгі мәндерінің арасындағы айырмашылықты білдіреді. Бұл көрсеткіш зерттелетін сипаттаманың өзгермелілігі туралы ең жалпы түсінік береді, өйткені ол опциялардың максималды мәндері арасындағы айырмашылықты ғана көрсетеді. Сипаттаманың экстремалды мәндеріне тәуелділік вариация көлеміне тұрақсыз, кездейсоқ сипат береді.

Орташа сызықтық ауытқуталданатын жиынтықтың барлық мәндерінің олардың орташа мәнінен абсолютті (модульдік) ауытқуларының орташа арифметикалық мәнін білдіреді:

Құмар ойындар теориясындағы математикалық күту

Математикалық күту – бұлОйыншының берілген ставка бойынша ұтуы немесе жоғалтуы мүмкін ақшаның орташа сомасы. Бұл ойыншы үшін өте маңызды тұжырымдама, себебі ол көптеген ойын жағдайларын бағалау үшін іргелі болып табылады. Математикалық күту сонымен қатар картаның негізгі орналасулары мен ойын жағдайларын талдаудың оңтайлы құралы болып табылады.

Сіз досыңызбен тиын ойынын ойнадыңыз делік, не болғанына қарамастан, әр жолы 1 долларға тең бәс тігіп жатырсыз. Құйрық - жеңгеніңді, бас - жеңілгеніңді білдіреді. Мүмкіндіктер бір-бірден жоғары болады, сондықтан сіз $1-ден $1-ге дейін бәс тігесіз. Осылайша, сіздің математикалық күтуіңіз нөлге тең, өйткені Математикалық тұрғыдан алғанда, сіз екі лақтырғаннан кейін немесе 200-ден кейін алда болатыныңызды немесе жеңілетініңізді біле алмайсыз.

Сіздің сағаттық табысыңыз нөлге тең. Сағаттық ұтыстар - бұл бір сағатта ұтып алуды күткен ақша сомасы. Сіз бір сағатта тиынды 500 рет лақтыра аласыз, бірақ сіз ұтпайсыз немесе ұтылмайсыз, өйткені... сіздің мүмкіндігіңіз оң да, теріс те емес. Қарап отырсаңыз, байыпты ойыншының көзқарасы бойынша, бұл ставка жүйесі жаман емес. Бірақ бұл жай ғана уақытты ысырап ету.

Бірақ біреу сол ойынға сіздің 1 долларыңызға 2 доллар тіккісі келеді делік. Содан кейін сіз бірден әрбір ставкадан 50 центтен оң үміт күтесіз. Неге 50 цент? Орташа алғанда, сіз бір ставканы ұтып, екіншісін жоғалтасыз. Бірінші долларға бәс тігесіз, сонда сіз $1 ұтыласыз, екіншісіне бәс тігесіз, сонда сіз $2 ұтасыз. Сіз 1 долларға екі рет бәс тігіп, 1 долларға алдасыз. Сонымен, бір долларлық ставкаларыңыздың әрқайсысы сізге 50 цент берді.

Егер монета бір сағатта 500 рет пайда болса, сағаттық ұтысыңыз қазірдің өзінде $250 болады, өйткені... Орташа алғанда, сіз бір долларды 250 рет жоғалтып, екі долларды 250 рет ұттыңыз. $500 минус $250 $250 құрайды, бұл жалпы ұтыс. Бір бәс тігуде ұтып алатын орташа сома болып табылатын күтілетін мән 50 цент екенін ескеріңіз. Сіз бір долларға 500 рет бәс тігу арқылы 250 доллар ұтып алдыңыз, бұл бір ставкаға 50 центке тең.

Математикалық күтудің қысқа мерзімді нәтижелерге еш қатысы жоқ. Сізге қарсы $2 тігуге шешім қабылдаған қарсыласыңыз сізді қатарынан алғашқы он айналымда жеңуі мүмкін, бірақ сіз 2-ден 1-ге дейін ставка артықшылығына ие бола отырып, барлық басқа нәрселер тең болса, кез келген 1 $ ставкадан 50 цент табасыз. жағдайлар. Шығындарды өтеуге жеткілікті қолма-қол ақшаңыз болса, бір ұтыс тігуді немесе бірнеше ұтыс тігуді ұтып алуыңыз немесе жоғалтуыңыз маңызды емес. Егер сіз дәл осылай бәс тігуді жалғастырсаңыз, онда ұзақ уақыт бойы сіздің ұтыстарыңыз жеке лақтырулардағы күтулердің сомасына жақындайды.

Сіз ең жақсы ставка жасаған сайын (ұзақ мерзімді перспективада тиімді болуы мүмкін ставка), коэфициенттер сіздің пайдаңызға болғанда, сіз оны ұтсаңыз да, жоғалтпасаңыз да, сіз міндетті түрде бірдеңе ұтып аласыз. қол берді. Керісінше, коэффициенттер сізге қарсы болған кезде удердог ставкасын (ұзақ мерзімді перспективада тиімсіз ставка) жасасаңыз, жеңіп алғаныңызға немесе қолыңызды жоғалтқаныңызға қарамастан, сіз бірдеңені жоғалтасыз.

Егер сіздің күтуіңіз оң болса, ең жақсы нәтижесі бар бәс тігесіз, ал коэфициенттер сіз жақта болса, бұл оң болады. Ең нашар нәтижемен ставка жасағанда, сізде кері күту пайда болады, бұл коэффициент сізге қарсы болған кезде орын алады. Байыпты ойыншылар тек ең жақсы нәтижеге бәс тігеді; егер ең нашар болса, олар бүктеледі. Мүмкіндіктер сіздің пайдаңызға нені білдіреді? Сіз нақты мүмкіндіктерден гөрі көп жеңіске жетуіңіз мүмкін. Қону бастарының нақты ықтималдығы 1-ден 1-ге дейін, бірақ сіз ықтималдық қатынасына байланысты 2-ден 1-ге дейін аласыз. Бұл жағдайда коэффициенттер сіздің пайдаңызға. Сіз ставка үшін 50 цент оң үмітпен ең жақсы нәтижеге қол жеткізесіз.

Мұнда математикалық күтудің күрделі мысалы келтірілген. Досыңыз бірден беске дейінгі сандарды жазып алады және сіздің $1-ге 5 долларға ставка жасайды, сіз бұл санды таппайсыз. Мұндай бәс тігуге келісу керек пе? Мұнда қандай үміт бар?

Орташа алғанда сіз төрт рет қателесесіз. Осыған сүйене отырып, бұл санды болжауға қарсы коэфициент 4-тен 1-ге тең. Бір әрекетте доллар жоғалтуға қарсы коэфициент. Дегенмен, сіз 5-ке 1-ге жеңесіз, 4-тен 1-ге жеңілу мүмкіндігі бар. Сондықтан коэффициенттер сіздің пайдаңызға, сіз бәс тігуге және ең жақсы нәтижеге үміттенуге болады. Егер сіз бұл ставканы бес рет жасасаңыз, орташа есеппен төрт рет 1 доллар жоғалтып, бір рет 5 доллар ұтасыз. Осыған сүйене отырып, барлық бес әрекет үшін сіз ставка үшін 20 цент оң математикалық күтумен $1 аласыз.

Жоғарыдағы мысалдағыдай бәс тігуден көбірек ұтатын ойыншы тәуекелге барады. Керісінше, ол бәс тігуден азырақ ұтамын деп күткенде, мүмкіндігін жояды. Бәс тігушілер оң немесе теріс күтуге ие болуы мүмкін, бұл оның жеңетініне немесе коэффициенттерді бұзуына байланысты.

Жеңіске жетудің 4-тен 1 мүмкіндігімен 10 доллар ұтып алу үшін 50 доллар бәс тіксеңіз, сізде 2 доллар теріс үміт пайда болады, өйткені Орташа алғанда, сіз төрт рет 10 доллар ұтып, бір рет 50 доллар жоғалтасыз, бұл бір ставкадағы шығын 10 доллар болатынын көрсетеді. Бірақ егер сіз $10 ұтып алу үшін $30 бәс тіксеңіз, ұтудың 4-тен 1-ге бірдей коэффициенті бар болса, онда бұл жағдайда сіз $2-ге оң үмітпен қарайсыз, өйткені сіз тағы да төрт рет 10 доллар ұтып, бір рет 30 доллар жоғалтып, 10 доллар пайда аласыз. Бұл мысалдар бірінші ставканың нашар, ал екіншісінің жақсы екенін көрсетеді.

Математикалық күту кез келген ойын жағдайының орталығы болып табылады. Букмекерлік кеңсе футбол жанкүйерлерін 10 доллар ұтып алу үшін 11 доллар бәс тігуге шақырғанда, ол әрбір 10 доллардан 50 центтен оң үміт күтеді. Егер казино крапта өту сызығынан тіпті ақша төлесе, онда казиноның оң күтуі әрбір $100 үшін шамамен $1,40 болады, өйткені Бұл ойын осы желіге бәс тігетін кез келген адам орта есеппен 50,7% ұтылып, жалпы уақыттың 49,3% ұтатындай құрылымдалған. Дүние жүзіндегі казино иелеріне үлкен пайда әкелетін бұл ең аз болып көрінетін оң үміт екені сөзсіз. Vegas World казиносының иесі Боб Ступак атап өткендей, «жеткілікті қашықтықтағы бір пайыз теріс ықтималдықтың мыңнан бір бөлігі әлемдегі ең бай адамды құртады».

Покер ойнау кезіндегі күту

Покер ойыны математикалық күтудің теориясы мен қасиеттерін пайдалану тұрғысынан ең көрнекті және көрнекі мысал болып табылады.

Покердегі күтілетін құн – бұл белгілі бір шешімнің орташа пайдасы, егер мұндай шешім үлкен сандар мен алыс қашықтық теориясының шеңберінде қарастырылуы мүмкін болса. Табысты покер ойыны әрқашан оң күтілетін мәнге ие қозғалыстарды қабылдау болып табылады.

Покер ойнау кезіндегі математикалық күтудің математикалық мәні мынада: шешім қабылдау кезінде біз жиі кездейсоқ шамаларды кездестіреміз (қарсыластың қолында қандай карталар бар, бәс тігудің келесі раундтарында қандай карталар келетінін білмейміз). Біз шешімдердің әрқайсысын үлкен сандар теориясы тұрғысынан қарастыруымыз керек, ол жеткілікті үлкен таңдау кезінде кездейсоқ шаманың орташа мәні оның математикалық күтуіне бейім болады.

Математикалық күтуді есептеуге арналған нақты формулалардың арасында покерде келесілер ең қолайлы:

Покер ойнаған кезде күтілетін мәнді ставкалар үшін де, қоңыраулар үшін де есептеуге болады. Бірінші жағдайда, еселенген меншікті капитал, екіншісінде, банктің меншікті коэффициенті ескерілуі керек. Белгілі бір қозғалыстың математикалық күтуін бағалау кезінде, бүктемеде әрқашан нөлдік күту болатынын есте ұстаған жөн. Осылайша, карталардан бас тарту әрқашан кез келген теріс қадамға қарағанда тиімдірек шешім болады.

Күту сізге тәуекел ететін әрбір доллар үшін не күтуге болатынын (пайда немесе шығын) айтады. Казинолар ақша табады, өйткені оларда ойналатын барлық ойындардың математикалық үміті казиноның пайдасына. Ойындардың жеткілікті ұзақ сериясымен клиент ақшасын жоғалтады деп күтуге болады, өйткені «қолайлылық» казиноның пайдасына. Дегенмен, кәсіби казино ойыншылары өз ойындарын қысқа уақыт кезеңімен шектейді, осылайша олардың пайдасына коэффициенттерді жинайды. Инвестицияға да қатысты. Егер сіздің күтуіңіз оң болса, қысқа уақыт ішінде көптеген сауда-саттық жасау арқылы көп ақша табуға болады. Күту - бұл сіздің орташа пайдаңызға көбейтілген бір жеңіске шаққандағы пайданың пайызы, ал жоғалту ықтималдылығының орташа жоғалтуға көбейтіндісі.

Покерді математикалық күту тұрғысынан да қарастыруға болады. Сіз белгілі бір қозғалысты тиімді деп болжауға болады, бірақ кейбір жағдайларда бұл ең жақсы болмауы мүмкін, себебі басқа қадам тиімдірек. Сіз бес карталық ұтыс покерінде толық үйді жеңдіңіз делік. Сіздің қарсыласыңыз бәс тігуде. Сіз бәс тігуді көтерсеңіз, ол жауап беретінін білесіз. Сондықтан көтеру ең жақсы тактика сияқты. Бірақ егер сіз ставканы көтерсеңіз, қалған екі ойыншы міндетті түрде бүктеледі. Бірақ қоңырау шалсаңыз, артыңыздағы қалған екі ойыншының да солай істейтініне толық сенімдісіз. Бәс тігуді көтерген кезде сіз бір бірлік аласыз, ал жай ғана қоңырау шалғанда екі аласыз. Осылайша, қоңырау шалу сізге жоғары оң күтілетін мән береді және ең жақсы тактика болады.

Математикалық күту сонымен қатар қай покер тактикасы азырақ және қайсысы тиімдірек екендігі туралы түсінік бере алады. Мысалы, егер сіз белгілі бір қолмен ойнасаңыз және сіздің жоғалтуыңыз антені қосқанда орташа есеппен 75 цент болады деп ойласаңыз, онда сіз бұл қолды ойнауыңыз керек, өйткені анте $1 болғанда, бұл бүктеуден жақсы.

Күтілетін құн түсінігін түсінудің тағы бір маңызды себебі - бұл бәс тігуде ұтып алғаныңыз ба, жоқ па, ол сізге жан тыныштығын береді: егер сіз жақсы ставка жасасаңыз немесе дұрыс уақытта бүктелген болсаңыз, сіз ұтқаныңызды немесе ұтқаныңызды білесіз. әлсіз ойыншы үнемдей алмайтын белгілі бір соманы үнемдеді. Қарсыласыңыз күштірек қолды тартып алғандықтан, ренжісеңіз, бүктеу әлдеқайда қиын. Осының барлығымен бәс тігудің орнына ойнамай үнемдеген ақша түн немесе айдағы ұтысыңызға қосылады.

Есіңізде болсын, егер сіз қолыңызды ауыстырсаңыз, қарсыласыңыз сізді шақырар еді, және сіз Покердің негізгі теоремасы мақаласында көресіз, бұл сіздің артықшылықтарыңыздың бірі ғана. Бұл кезде сіз бақытты болуыңыз керек. Сіз тіпті қолыңызды жоғалтқаннан ләззат алуды үйрене аласыз, өйткені сіздің позицияңыздағы басқа ойыншылар әлдеқайда көп жоғалтқанын білесіз.

Монета ойынының мысалында айтылғандай, пайданың сағаттық мөлшерлемесі математикалық күтумен өзара байланысты және бұл тұжырымдама кәсіби ойыншылар үшін әсіресе маңызды. Покер ойнауға барған кезде, бір сағат ойында қанша ұтып алатыныңызды ойша бағалауыңыз керек. Көп жағдайда сіз өзіңіздің түйсігіңіз бен тәжірибеңізге сенуіңіз керек, бірақ кейбір математиканы да қолдануға болады. Мысалы, сіз лоубол ойынын ойнап жатырсыз және сіз үш ойыншының $10 бәс тіккенін, содан кейін екі картаны саудалағанын көресіз, бұл өте жаман тактика, олар $10 бәс тіккен сайын олар шамамен $2 жоғалтатынын анықтауға болады. Олардың әрқайсысы мұны сағатына сегіз рет жасайды, яғни үшеуі де сағатына шамамен 48 доллар жоғалтады. Сіз шамамен тең болатын қалған төрт ойыншының бірісіз, сондықтан бұл төрт ойыншы (және сіз олардың арасында) $48 бөлуі керек, әрқайсысы сағатына $12 пайда табады. Бұл жағдайда сіздің сағаттық коэффициенттеріңіз бір сағатта үш нашар ойыншы жоғалтқан ақша сомасының үлесіне тең.

Ұзақ уақыт ішінде ойыншының жалпы ұтысы оның жеке қолдарындағы математикалық күтулерінің сомасы болып табылады. Неғұрлым көп қолды оң үмітпен ойнасаңыз, соғұрлым ұтасыз, ал керісінше, теріс күтумен ойнаған қолдар соншалықты жоғалады. Нәтижесінде, сіз сағат сайынғы ұтыстарыңызды көбейту үшін оң күтуіңізді арттыратын немесе теріс болжауыңызды жоққа шығаратын ойынды таңдауыңыз керек.

Ойын стратегиясындағы оң математикалық күту

Егер сіз карталарды санауды білсеңіз, олар сізді байқамай, лақтырып тастамаса, казинодан артықшылыққа ие бола аласыз. Казинолар мас ойыншыларды жақсы көреді және карталарды санайтын ойыншыларға шыдамайды. Артықшылық уақыт өте келе жоғалтқаннан гөрі көп рет жеңуге мүмкіндік береді. Күтілетін құнды есептеулерді пайдалана отырып, ақшаны жақсы басқару сіздің шетіңізден көбірек пайда алуға және шығындарыңызды азайтуға көмектеседі. Артықшылықсыз ақшаны қайырымдылыққа бергеніңіз дұрыс. Қор биржасында ойында артықшылықты ойын жүйесі береді, ол жоғалтулардан, баға айырмашылығынан және комиссиялардан көбірек пайда әкеледі. Ешбір ақшаны басқару нашар ойын жүйесін сақтай алмайды.

Оң күту нөлден үлкен мән ретінде анықталады. Бұл сан неғұрлым көп болса, статистикалық күту соғұрлым күшті болады. Егер мән нөлден аз болса, онда математикалық күту де теріс болады. Теріс мәннің модулі неғұрлым үлкен болса, жағдай соғұрлым нашар болады. Нәтиже нөлге тең болса, күту шығынсыз болады. Сізде оң математикалық күту және ақылға қонымды ойын жүйесі болған кезде ғана жеңе аласыз. Түйсікпен ойнау апатқа әкеледі.

Математикалық күту және биржалық сауда

Математикалық күту – қаржы нарықтарында биржалық сауданы жүзеге асыру кезінде кеңінен қолданылатын және танымал статистикалық көрсеткіш. Ең алдымен, бұл параметр сауданың сәттілігін талдау үшін қолданылады. Бұл мән неғұрлым жоғары болса, зерттелетін сауданы сәтті деп санаудың себептері соғұрлым көп екенін болжау қиын емес. Әрине, трейдердің жұмысын талдау тек осы параметрді пайдалану арқылы жүзеге асырылмайды. Дегенмен, есептелген мән жұмыс сапасын бағалаудың басқа әдістерімен үйлескенде талдаудың дәлдігін айтарлықтай арттыруы мүмкін.

Математикалық күту көбінесе депозит бойынша орындалған жұмысты жылдам бағалауға мүмкіндік беретін сауда шотын бақылау қызметтерінде есептеледі. Ерекшеліктер «отыру» тиімсіз сауда-саттықты қолданатын стратегияларды қамтиды. Трейдер біраз уақытқа сәттілікке ие болуы мүмкін, сондықтан оның жұмысында мүлде шығын болмауы мүмкін. Бұл жағдайда тек математикалық күтуді басшылыққа алу мүмкін болмайды, өйткені жұмыста қолданылатын тәуекелдер ескерілмейді.

Нарықтық саудада математикалық күту көбінесе кез келген сауда стратегиясының табыстылығын болжау кезінде немесе оның алдыңғы саудасының статистикалық деректеріне негізделген трейдердің кірісін болжау кезінде қолданылады.

Ақшаны басқаруға келетін болсақ, теріс күтулермен сауда жасау кезінде жоғары пайда әкелетін ақшаны басқару схемасы жоқ екенін түсіну өте маңызды. Егер сіз осы шарттарда қор нарығында ойнауды жалғастырсаңыз, онда ақшаңызды қалай басқарғаныңызға қарамастан, сіз оның қаншалықты үлкен болғанына қарамастан, бүкіл шотыңызды жоғалтасыз.

Бұл аксиома тек теріс күтілетін ойындарға немесе сауда-саттыққа ғана емес, мүмкіндігі тең ойындарға да қатысты. Сондықтан, ұзақ мерзімді перспективада пайда табу мүмкіндігі бар жалғыз уақыт - егер сіз оң күтілетін мәнмен сауда-саттықты қабылдасаңыз.

Теріс күту мен оң күтудің айырмашылығы - өмір мен өлімнің айырмашылығы. Күтудің қаншалықты оң немесе теріс екендігі маңызды емес; Маңыздысы оның оң немесе теріс болуы. Сондықтан, ақшаны басқаруды қарастырмас бұрын, сіз оң үмітпен ойын табуыңыз керек.

Егер сізде бұл ойын болмаса, әлемдегі барлық ақшаны басқару сізді құтқармайды. Екінші жағынан, егер сізде оң үміт болса, сіз ақшаны дұрыс басқару арқылы оны экспоненциалды өсу функциясына айналдыра аласыз. Позитивті күтудің қаншалықты аз болғаны маңызды емес! Басқаша айтқанда, бір келісімшартқа негізделген сауда жүйесінің қаншалықты тиімді екендігі маңызды емес. Егер сізде бір келісім-шарт бойынша $10 ұтып алатын жүйе болса (комиссиялар мен сырғытпалардан кейін), бір саудаға орташа есеппен $1000 болатын жүйеге қарағанда (комиссиялар мен сырғымалар шегерілгеннен кейін) тиімдірек ету үшін ақшаны басқару әдістерін пайдалана аласыз.

Маңыздысы жүйенің қаншалықты тиімді болғанында емес, жүйенің болашақта кем дегенде минималды пайда көрсететініне қаншалықты сенімді екендігі. Сондықтан трейдер жасай алатын ең маңызды дайындық жүйенің болашақта күтілетін оң мәнді көрсететінін қамтамасыз ету болып табылады.

Болашақта оң күтілетін мәнге ие болу үшін жүйеңіздің еркіндік дәрежесін шектемеу өте маңызды. Бұл оңтайландырылатын параметрлердің санын жою немесе азайту арқылы ғана емес, сонымен қатар мүмкіндігінше көп жүйе ережелерін азайту арқылы қол жеткізіледі. Сіз қосқан әрбір параметр, сіз жасаған әрбір ереже, жүйеге жасаған әрбір кішкене өзгеріс еркіндік дәрежелерінің санын азайтады. Ең дұрысы, кез келген нарықта дәйекті түрде шағын пайда әкелетін қарапайым және қарапайым жүйені құру керек. Қайтадан, жүйенің қаншалықты тиімді екендігі маңызды емес екенін түсіну маңызды, егер ол тиімді болса. Сауда-саттықта тапқан ақшаңыз ақшаны тиімді басқару арқылы жасалады.

Сауда жүйесі - бұл ақшаны басқаруды пайдалану үшін сізге оң күтілетін мән беретін құрал. Тек бір немесе бірнеше нарықта жұмыс істейтін (кем дегенде ең аз пайданы көрсететін) немесе әртүрлі нарықтар үшін әртүрлі ережелері немесе параметрлері бар жүйелер нақты уақытта жеткілікті ұзақ уақыт жұмыс істемеуі ықтимал. Техникалық бағдарланған трейдерлердің көпшілігінің проблемасы - олар сауда жүйесінің әртүрлі ережелері мен параметр мәндерін оңтайландыруға тым көп уақыт пен күш жұмсайды. Бұл мүлдем қарама-қарсы нәтиже береді. Сауда жүйесінің пайдасын ұлғайту үшін энергия мен компьютер уақытын ысырап етудің орнына, өз күшіңізді минималды пайда алудың сенімділік деңгейін арттыруға бағыттаңыз.

Ақшаны басқару оң үміттерді пайдалануды талап ететін жай ғана сандар ойыны екенін біле отырып, трейдер биржалық сауданың «қасиетті тұстарын» іздеуді тоқтата алады. Оның орнына, ол өзінің сауда әдісін сынай бастайды, бұл әдіс қаншалықты қисынды екенін және оның оң үміттер беретінін біле алады. Кез келген, тіпті өте орташа сауда әдістеріне қолданылатын ақшаны басқарудың дұрыс әдістері қалған жұмысты өздері жасайды.

Кез келген трейдер өз жұмысында табысқа жету үшін ол үш маңызды міндетті шешуі керек: . Сәтті транзакциялар саны сөзсіз қателер мен қате есептеулерден асып кетуін қамтамасыз ету; Сауда жүйеңізді мүмкіндігінше жиі ақша табу мүмкіндігіне ие болу үшін орнатыңыз; Операцияларыңыздан тұрақты оң нәтижелерге қол жеткізіңіз.

Міне, біз жұмыс істейтін трейдерлер үшін математикалық күту үлкен көмек болуы мүмкін. Бұл термин ықтималдықтар теориясындағы негізгі терминдердің бірі болып табылады. Оның көмегімен сіз кейбір кездейсоқ мәннің орташа бағасын бере аласыз. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуі ауырлық центріне ұқсас, егер сіз барлық ықтимал ықтималдықтарды массалары әртүрлі нүктелер ретінде елестетсеңіз.

Сауда стратегиясына қатысты оның тиімділігін бағалау үшін көбінесе пайданың (немесе шығынның) математикалық күтуі қолданылады. Бұл параметр пайда мен шығынның берілген деңгейлерінің өнімдерінің қосындысы және олардың пайда болу ықтималдығы ретінде анықталады. Мысалы, әзірленген сауда стратегиясы барлық транзакциялардың 37% -ы пайда әкеледі, ал қалған бөлігі - 63% - тиімсіз болады деп болжайды. Бұл ретте сәтті транзакциядан түсетін орташа табыс $7, ал орташа шығын $1,4 болады. Осы жүйенің көмегімен сауданың математикалық күтуін есептейік:

Бұл сан нені білдіреді? Онда осы жүйенің ережелерін сақтай отырып, біз әрбір жабық транзакциядан орта есеппен $1 708 алатынымыз айтылған. Алынған тиімділік рейтингі нөлден жоғары болғандықтан, мұндай жүйені нақты жұмыс үшін пайдалануға болады. Егер есептеу нәтижесінде математикалық күту теріс болып шықса, онда бұл қазірдің өзінде орташа шығынды көрсетеді және мұндай сауда күйреуге әкеледі.

Бір транзакция бойынша пайда сомасын салыстырмалы шама ретінде де % түрінде көрсетуге болады. Мысалы:

– 1 транзакцияға шаққандағы табыс пайызы – 5%;

– табысты сауда операцияларының пайызы – 62%;

– 1 транзакция бойынша шығын пайызы – 3%;

– сәтсіз транзакциялардың пайызы – 38%;

Яғни, орташа сауда 1,96% әкеледі.

Пайдасыз сауда-саттықтың басым болуына қарамастан, оның MO>0 болғандықтан, оң нәтиже беретін жүйені әзірлеуге болады.

Дегенмен, жалғыз күту жеткіліксіз. Жүйе өте аз сауда сигналдарын берсе, ақша табу қиын. Бұл жағдайда оның табыстылығы банктік пайызбен салыстырылатын болады. Әрбір операция орта есеппен небәрі 0,5 доллар өндірсін, бірақ жүйе жылына 1000 операцияны қамтыса ше? Бұл салыстырмалы түрде қысқа мерзімде өте маңызды сома болады. Бұдан қисынды түрде жақсы сауда жүйесінің тағы бір айрықша белгісі позицияларды ұстаудың қысқа кезеңі деп санауға болады.

Дереккөздер мен сілтемелер

dic.academic.ru – академиялық онлайн сөздік

mathematics.ru – математикадан білім беру сайты

nsu.ru – Новосибирск мемлекеттік университетінің оқу сайты

webmath.ru – студенттерге, талапкерлерге және оқушыларға арналған білім беру порталы.

exponenta.ru білім беру математикалық сайты

ru.tradimo.com – тегін онлайн сауда мектебі

crypto.hut2.ru – көпсалалы ақпараттық ресурс

poker-wiki.ru – тегін покер энциклопедиясы

sernam.ru – Таңдамалы жаратылыстану басылымдарының ғылыми кітапханасы

reshim.su – веб-сайт БІЗ Тест бойынша курстық тапсырмаларды ШЕШЕМІЗ

unfx.ru – UNFX бойынша Forex: оқыту, сауда сигналдары, сенімді басқару

slovopedia.com – Үлкен энциклопедиялық сөздік Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Покер әлеміндегі сіздің гид

statanaliz.info – «Статистикалық деректерді талдау» ақпараттық блогы

forex-trader.rf – Forex-Trader порталы

megafx.ru – ағымдағы Forex аналитикасы

fx-by.com – трейдер үшін бәрі

Ықтималдықтар теориясы – жоғары оқу орындарының студенттері ғана оқитын математиканың ерекше саласы. Сізге есептеулер мен формулалар ұнай ма? Дискретті кездейсоқ шаманың қалыпты таралуымен, ансамбльдік энтропиясымен, математикалық күтуімен және дисперсиясымен танысу перспективалары сізді қорқытпай ма? Сонда бұл тақырып сізге өте қызықты болады. Осы ғылым саласының бірнеше маңызды негізгі ұғымдарымен танысайық.

Негіздерді еске түсірейік

Ықтималдықтар теориясының ең қарапайым түсініктерін есте сақтасаңыз да, мақаланың бірінші абзацтарын назардан тыс қалдырмаңыз. Мәселе мынада, негіздерді нақты түсінбей, төменде талқыланған формулалармен жұмыс істей алмайсыз.

Сонымен, кейбір кездейсоқ оқиға, кейбір эксперименттер орын алады. Біз қабылдаған әрекеттердің нәтижесінде біз бірнеше нәтижеге қол жеткізе аламыз - олардың кейбіреулері жиі кездеседі, басқалары сирек. Оқиғаның ықтималдығы – бір түрдегі нақты алынған нәтижелер санының мүмкін болатындардың жалпы санына қатынасы. Тек осы ұғымның классикалық анықтамасын біле отырып, үздіксіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтуін және дисперсиясын зерттеуді бастауға болады.

Орташа арифметикалық

Мектепте математика сабақтарында сіз арифметикалық ортамен жұмыс істей бастадыңыз. Бұл тұжырымдама ықтималдықтар теориясында кеңінен қолданылады, сондықтан оны елемеуге болмайды. Қазіргі уақытта біз үшін ең бастысы, біз оны кездейсоқ шаманың математикалық күту және дисперсиясының формулаларында кездестіреміз.

Бізде сандар тізбегі бар және арифметикалық ортаны тапқымыз келеді. Бізден талап етілетін нәрсе - қолда бардың барлығын қорытындылау және тізбектегі элементтердің санына бөлу. 1-ден 9-ға дейінгі сандарды алайық. Элементтердің қосындысы 45-ке тең болады және бұл мәнді 9-ға бөлеміз. Жауабы: - 5.

Дисперсия

Ғылыми тілмен айтқанда дисперсия - бұл сипаттаманың алынған мәндерінің орташа арифметикалық мәннен ауытқуының орташа квадраты. Ол бір бас латын әрпімен белгіленген D. Оны есептеу үшін не қажет? Тізбектің әрбір элементі үшін біз бар сан мен арифметикалық орта арасындағы айырмашылықты есептеп, оның квадратын аламыз. Біз қарастырып жатқан оқиға үшін нәтижелер болуы мүмкін дәл сонша құндылықтар болады. Әрі қарай, біз алынғанның бәрін қорытындылаймыз және тізбектегі элементтердің санына бөлеміз. Егер бізде бес ықтимал нәтиже болса, онда беске бөліңіз.

Дисперсияның да есептерді шешу кезінде пайдалану үшін есте сақтау қажет қасиеттері бар. Мысалы, кездейсоқ шаманы X есе ұлғайтқанда дисперсия X квадрат есе артады (яғни X*X). Ол ешқашан нөлден төмен емес және мәндерді бірдей мөлшерде жоғары немесе төмен ауыстыруға байланысты емес. Сонымен қатар, тәуелсіз сынақтар үшін қосындының дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең болады.

Енді біз міндетті түрде дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясының және математикалық күтудің мысалдарын қарастыруымыз керек.

Біз 21 эксперимент жүргізіп, 7 түрлі нәтиже алдық делік. Олардың әрқайсысын тиісінше 1, 2, 2, 3, 4, 4 және 5 рет бақыладық. Дисперсия неге тең болады?

Алдымен, орташа арифметикалық мәнді есептейік: элементтердің қосындысы, әрине, 21. Оны 7-ге бөліңіз, 3-ті алыңыз. Енді бастапқы тізбектегі әрбір саннан 3-ті алып, әрбір мәннің квадратын алыңыз және нәтижелерді қосыңыз. Нәтиже – 12. Енді бізге санды элементтер санына бөлу ғана қалды, және, бұл бәрі де болған сияқты. Бірақ бір қулық бар! Оны талқылайық.

Тәжірибелер санына тәуелділік

Дисперсияны есептеу кезінде бөлгіш екі санның бірін қамтуы мүмкін екен: не N немесе N-1. Мұндағы N – орындалған тәжірибелер саны немесе тізбектегі элементтер саны (мәні бойынша бірдей). Бұл неге байланысты?

Егер сынақтар саны жүздікпен өлшенсе, онда бөлгішке N қою керек.Егер бірлікте болса, онда N-1. Ғалымдар шекараны өте символдық түрде салуды шешті: бүгін ол 30 саны арқылы өтеді. Егер біз 30-дан аз эксперимент жүргізсек, онда біз соманы N-1-ге, ал көп болса, онда N-ге бөлеміз.

Тапсырма

Дисперсия және математикалық күту есебін шешу мысалымызға оралайық. Біз N немесе N-1-ге бөлу керек болатын аралық 12 санын алдық. Біз 21 тәжірибе жүргізгендіктен, бұл 30-дан аз, біз екінші нұсқаны таңдаймыз. Демек, жауап: дисперсия 12/2 = 2.

Күтілетін мән

Осы мақалада қарастыруға тиіс екінші тұжырымдамаға көшейік. Математикалық күту барлық мүмкін нәтижелерді сәйкес ықтималдықтарға көбейтудің нәтижесі болып табылады. Алынған мән, сондай-ақ дисперсияны есептеу нәтижесі, онда қанша нәтиже қарастырылғанына қарамастан, бүкіл мәселе бойынша тек бір рет алынатынын түсіну маңызды.

Математикалық күтудің формуласы өте қарапайым: нәтижені аламыз, оны ықтималдығына көбейтеміз, екінші, үшінші нәтижеге бірдей қосамыз және т.б. Бұл тұжырымдамаға қатысты барлық нәрсені есептеу қиын емес. Мысалы, күтілетін мәндердің қосындысы қосындының күтілетін мәніне тең. Жұмысқа қатысты да солай. Ықтималдық теориясындағы әрбір шама мұндай қарапайым операцияларды орындауға мүмкіндік бермейді. Есепті алып, бірден зерттеген екі ұғымның мағынасын есептейік. Оның үстіне, біз теорияға алаңдадық - тәжірибеге уақыт келді.

Тағы бір мысал

Біз 50 сынақты өткіздік және нәтиженің 10 түрін алдық - 0-ден 9-ға дейінгі сандар - әртүрлі пайыздарда пайда болады. Олар сәйкесінше: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Еске салайық, ықтималдықтарды алу үшін пайыздық мәндерді 100-ге бөлу керек. Осылайша, біз 0,02 аламыз; 0,1 және т.б. Кездейсоқ шаманың дисперсиясына және математикалық күтуге арналған есепті шешудің мысалын келтірейік.

Орташа арифметикалық мәнді бастауыш мектептен есте қалған формула арқылы есептейміз: 50/10 = 5.

Енді санауды жеңілдету үшін ықтималдықтарды «бөлшектермен» нәтижелер санына айналдырайық. Біз 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 және 9-ды аламыз. Әрбір алынған мәннен орташа арифметикалық мәнді алып тастаймыз, содан кейін алынған нәтижелердің әрқайсысының квадратын аламыз. Мысал ретінде бірінші элементті пайдаланып мұны қалай жасау керектігін қараңыз: 1 - 5 = (-4). Келесі: (-4) * (-4) = 16. Басқа мәндер үшін осы әрекеттерді өзіңіз орындаңыз. Егер сіз бәрін дұрыс жасасаңыз, олардың барлығын қосқаннан кейін сіз 90 аласыз.

90-ды N-ге бөлу арқылы дисперсия мен күтілетін мәнді есептеуді жалғастырайық. Неліктен біз N-1 емес, N таңдаймыз? Дұрыс, себебі орындалған тәжірибелер саны 30-дан асады. Сонымен: 90/10 = 9. Біз дисперсияны алдық. Басқа нөмір алсаңыз, үмітіңізді үзбеңіз. Сіз есептеулерде қарапайым қате жіберген шығарсыз. Жазғаныңызды екі рет тексеріңіз, сонда бәрі орнына түсуі мүмкін.

Соңында, математикалық күту формуласын есте сақтаңыз. Біз барлық есептеулерді бермейміз, біз барлық қажетті процедураларды орындағаннан кейін тексеруге болатын жауапты ғана жазамыз. Күтілетін мән 5,48 болады. Бірінші элементтерді мысалға ала отырып, амалдарды қалай орындау керектігін ғана еске түсірейік: 0*0,02 + 1*0,1... және т.б. Көріп отырғаныңыздай, біз жай ғана нәтиже мәнін оның ықтималдығына көбейтеміз.

Ауытқу

Дисперсиялық және математикалық күтумен тығыз байланысты тағы бір түсінік стандартты ауытқу болып табылады. Ол латынның sd әріптерімен немесе гректің кіші әріптерімен «сигма» арқылы белгіленеді. Бұл концепция мәндердің орталық белгіден қаншалықты ауытқығанын көрсетеді. Оның мәнін табу үшін дисперсияның квадрат түбірін есептеу керек.

Егер сіз қалыпты таралу графигін салсаңыз және онда квадраттық ауытқуды тікелей көргіңіз келсе, мұны бірнеше кезеңде орындауға болады. Кескіннің жартысын режимнің сол жағына немесе оң жағына алыңыз (орталық мән), алынған фигуралардың аудандары тең болатындай етіп көлденең оське перпендикуляр сызыңыз. Бөлу ортасы мен көлденең оське алынған проекция арасындағы сегменттің өлшемі стандартты ауытқуды көрсетеді.

Бағдарламалық қамтамасыз ету

Формулалардың сипаттамасынан және ұсынылған мысалдардан көрініп тұрғандай, дисперсия мен математикалық күтуді есептеу арифметикалық тұрғыдан ең қарапайым процедура емес. Уақытты босқа өткізбеу үшін жоғары оқу орындарында қолданылатын бағдарламаны пайдаланудың мәні бар - ол «R» деп аталады. Онда статистика мен ықтималдық теориясынан көптеген ұғымдардың мәндерін есептеуге мүмкіндік беретін функциялар бар.

Мысалы, мәндер векторын көрсетесіз. Бұл келесідей орындалады: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Қорытындылай келе

Дисперсиялық және математикалық күту - оларсыз болашақта ештеңені есептеу қиын. Университеттердегі дәрістердің негізгі курсында олар пәнді оқудың алғашқы айларында талқыланады. Дәл осы қарапайым ұғымдарды түсінбеу және оларды есептей алмау салдарынан көптеген студенттер бірден бағдарламадан қалып қояды және кейінірек сессия соңында нашар бағалар алады, бұл оларды шәкіртақыдан айырады.

Кем дегенде бір апта, күніне жарты сағат жаттығу, осы мақалада берілген тапсырмаларға ұқсас тапсырмаларды шешу. Содан кейін, ықтималдықтар теориясының кез келген сынақында сіз мысалдарды басқа кеңестерсіз және парақтарсыз жеңе аласыз.

DSV сипаттамалары және олардың қасиеттері. Күту, дисперсия, стандартты ауытқу

Бөлу заңы кездейсоқ шаманы толық сипаттайды. Дегенмен, таралу заңын табу мүмкін болмағанда немесе бұл талап етілмесе, сіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары деп аталатын мәндерді табумен шектеле аласыз. Бұл мәндер кездейсоқ шаманың мәндері топтастырылған кейбір орташа мәнді және олардың осы орташа мәннің айналасында шашырау дәрежесін анықтайды.

Математикалық күтуДискретті кездейсоқ шама - бұл кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің және олардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы.

Теңдіктің оң жағындағы қатар абсолютті жинақталса, математикалық күту бар.

Ықтималдылық тұрғысынан математикалық күту кездейсоқ шаманың байқалған мәндерінің орташа арифметикалық мәніне шамамен тең деп айтуға болады.

Мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы белгілі. Математикалық күтуді табыңыз.

X
б	0.2	0.3	0.1	0.4

Шешімі:

9.2 Математикалық күтудің қасиеттері

1. Тұрақты шаманың математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең.

2. Тұрақты коэффициентті математикалық күтудің белгісі ретінде шығаруға болады.

3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең.

Бұл қасиет кездейсоқ шамалардың ерікті санына қатысты.

4. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең.

Бұл қасиет кездейсоқ шамалардың ерікті саны үшін де дұрыс.

n тәуелсіз сынақ орындалсын, А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p-ке тең.

Теорема. n тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санының M(X) математикалық күтуі сынақтар саны мен әрбір сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығының көбейтіндісіне тең.

Мысал. X және Y математикалық күтулері белгілі болса, Z кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Шешімі:

9.3 Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы

Алайда математикалық күту кездейсоқ процесті толық сипаттай алмайды. Математикалық күтуден басқа кездейсоқ шама мәндерінің математикалық күтуден ауытқуын сипаттайтын мәнді енгізу қажет.

Бұл ауытқу кездейсоқ шама мен оның математикалық күтуінің айырмашылығына тең. Бұл жағдайда ауытқудың математикалық күтуі нөлге тең болады. Бұл кейбір мүмкін ауытқулардың оң, басқаларының теріс болуымен түсіндіріледі және олардың өзара жойылуы нәтижесінде нөл алынады.

Дисперсия (шашырау)дискретті кездейсоқ шама – кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен квадраттық ауытқуының математикалық күтуі.

Практикада дисперсияны есептеудің бұл әдісі ыңғайсыз, өйткені кездейсоқ шамалардың үлкен саны үшін қиын есептеулерге әкеледі.

Сондықтан басқа әдіс қолданылады.

Теорема. Дисперсия Х кездейсоқ шамасының квадратының математикалық күтуі мен оның математикалық күтуінің квадратының арасындағы айырмаға тең..

Дәлелдеу. М(Х) математикалық күту мен М2(Х) математикалық күтудің квадраты тұрақты шамалар екенін ескере отырып, мынаны жазуға болады:

Мысал. Бөлу заңымен берілген дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңыз.

X
X 2
Р	0.2	0.3	0.1	0.4

Шешімі: .

9.4 Дисперсиялық қасиеттер

1. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең. .

2. Тұрақты коэффициентті квадраттау арқылы дисперсия белгісінен шығаруға болады. .

3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шама қосындысының дисперсиясы осы айнымалылардың дисперсияларының қосындысына тең. .

4. Екі тәуелсіз кездейсоқ шама арасындағы айырмашылықтың дисперсиясы осы айнымалылардың дисперсияларының қосындысына тең. .

Теорема. Әрқайсысында оқиғаның пайда болу ықтималдығы p тұрақты болып табылатын n тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санының дисперсиясы сынақтар санының пайда болу ықтималдығы мен болмауының көбейтіндісіне тең. әрбір сынақта оқиғаның болуы.

9.5 Дискретті кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы

Стандартты ауытқу X кездейсоқ шама дисперсияның квадрат түбірі деп аталады.

Теорема. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың соңғы санының қосындысының стандартты ауытқуы осы айнымалылардың стандартты ауытқуларының квадраттарының қосындысының квадрат түбіріне тең.

Дискретті ықтималдық кеңістігінде берілген Х кездейсоқ шамасының математикалық күтуі (орташа мәні), егер қатар абсолютті жинақталса, m =M[X]=∑x i p i саны.

Қызметтің мақсаты. Онлайн қызметін пайдалану математикалық күту, дисперсия және стандартты ауытқу есептеледі(мысалды қараңыз). Сонымен қатар F(X) таралу функциясының графигі салынған.

Кездейсоқ шаманың математикалық күтуінің қасиеттері

1. Тұрақты шаманың математикалық күтуі өзіне тең: M[C]=C, C – тұрақты;
2. M=C M[X]
3. Кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең: M=M[X]+M[Y]
4. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең: M=M[X] M[Y] , егер X және Y тәуелсіз болса.

Дисперсиялық қасиеттер

1. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең: D(c)=0.
2. Тұрақты коэффициентті дисперсия белгісінің астынан квадраттап шығаруға болады: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Егер X және Y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда қосындының дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең болады: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Егер X және Y кездейсоқ шамалары тәуелді болса: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Келесі есептеу формуласы дисперсия үшін жарамды:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Мысал. X және Y екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтулері мен дисперсиялары белгілі: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 кездейсоқ шамасының математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.
Шешім. Математикалық күтудің қасиеттеріне сүйене отырып: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Дисперсия қасиеттеріне қарай: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Математикалық күтуді есептеу алгоритмі

Дискретті кездейсоқ шамалардың қасиеттері: олардың барлық мәндерін натурал сандармен қайта нөмірлеуге болады; Әрбір мәнге нөлдік емес ықтималдықты тағайындаңыз.

1. Біз жұптарды бір-бірден көбейтеміз: x i - p i .
2. Әрбір жұптың көбейтіндісін қосыңыз x i p i .
   Мысалы, n = 4 үшін: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясыкезең-кезеңімен, ықтималдықтары оң болатын нүктелерде кенет өседі.

№1 мысал.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

m = ∑x i p i формуласы арқылы математикалық күтуді табамыз.
Күту M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Дисперсияны d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 формуласы арқылы табамыз.
D[X] дисперсиясы.
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандартты ауытқу σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

№2 мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың келесі таралу қатары болады:

X	-10	-5	0	5	10
Р	А	0,32	2а	0,41	0,03

Осы кездейсоқ шаманың а мәнін, математикалық күтуін және стандартты ауытқуын табыңыз.

Шешім. а мәні мына қатынастан табылады: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 немесе 0,24=3 a , мұндағы a = 0,08

№3 мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңын анықтаңыз, егер оның дисперсиясы белгілі болса және x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Шешім.
Мұнда d(x) дисперсиясын табу формуласын құру керек:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
мұндағы күту m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Біздің деректеріміз үшін
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1х 3) 2
немесе -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Сәйкесінше, теңдеудің түбірлерін табуымыз керек және олардың екеуі болады.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 шартын қанағаттандыратын біреуін таңдаңыз x 3 =12

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Алдыңғысында біз аргументтердің таралу заңдары белгілі болған кезде функциялардың сандық сипаттамаларын табуға мүмкіндік беретін бірқатар формулаларды ұсындық. Бірақ көп жағдайда функциялардың сандық сипаттамаларын табу үшін тіпті аргументтердің таралу заңдылықтарын білудің қажеті жоқ, бірақ олардың кейбір сандық сипаттамаларын ғана білу жеткілікті; сонымен бірге біз әдетте ешқандай таралу заңдарынсыз жасаймыз. Аргументтердің берілген сандық сипаттамаларынан функциялардың сандық сипаттамаларын анықтау ықтималдықтар теориясында кеңінен қолданылады және бірқатар есептерді шешуді айтарлықтай жеңілдетеді. Бұл жеңілдетілген әдістердің көпшілігі сызықтық функцияларға қатысты; дегенмен, кейбір қарапайым сызықты емес функциялар да ұқсас тәсілге мүмкіндік береді.

Қазіргі уақытта біз функциялардың сандық сипаттамалары туралы бірқатар теоремаларды ұсынатын боламыз, олар бірге осы сипаттамаларды есептеуге арналған өте қарапайым аппаратты білдіреді, кең ауқымда қолданылады.

1. Кездейсоқ емес шаманың математикалық күтуі

Тұжырымдалған қасиет өте айқын; кездейсоқ емес шаманы кездейсоқ шаманың ерекше түрі ретінде қарастыру арқылы дәлелдеуге болады, бір ықтимал мәні бір ықтималдығы бар; онда математикалық күтудің жалпы формуласы бойынша:

.

2. Кездейсоқ емес шаманың дисперсиясы

Егер кездейсоқ емес мән болса, онда

3. Кездейсоқ емес мәнді математикалық күту белгісінің орнына қою

, (10.2.1)

яғни кездейсоқ емес мәнді математикалық күтудің белгісі ретінде шығаруға болады.

Дәлелдеу.

a) Үзіліссіз шамалар үшін

b) Үздіксіз шамалар үшін

.

4. Дисперсиялық және стандартты ауытқу белгісінің кездейсоқ емес мәнін ауыстыру

Егер кездейсоқ емес шама болса және кездейсоқ болса, онда

, (10.2.2)

яғни кездейсоқ емес мәнді квадраттау арқылы дисперсия белгісінен шығаруға болады.

Дәлелдеу. Дисперсияның анықтамасы бойынша

Салдары

,

яғни кездейсоқ емес мәнді оның абсолютті мәні бойынша стандартты ауытқу белгісінен шығаруға болады. Дәлелдеуді (10.2.2) формуладан квадрат түбір алу арқылы аламыз және r.s.o. - айтарлықтай оң мән.

5. Кездейсоқ шамалардың қосындысын математикалық күту

Кез келген екі кездейсоқ шама үшін және

яғни екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең.

Бұл қасиет математикалық күтулерді қосу теоремасы ретінде белгілі.

Дәлелдеу.

а) Үзіліссіз кездейсоқ шамалар жүйесі болсын. Екі аргументтің функциясын математикалық күту үшін кездейсоқ шамалардың қосындысына жалпы формуланы (10.1.6) қолданайық:

.

Хо бұл шаманың мәнді қабылдауының жалпы ықтималдығынан басқа ештеңені білдірмейді:

;

демек,

.

Біз де дәл осылай дәлелдейміз

,

және теорема дәлелденді.

б) Үздіксіз кездейсоқ шамалар жүйесі болсын. (10.1.7) формулаға сәйкес

. (10.2.4)

(10.2.4) интегралдардың біріншісін түрлендірейік:

;

ұқсас

,

және теорема дәлелденді.

Математикалық күтулерді қосу теоремасы кез келген кездейсоқ шама үшін жарамды екенін ерекше атап өту керек - тәуелді де, тәуелсіз де.

Математикалық күтулерді қосу теоремасы терминдердің ерікті санына жалпыланған:

, (10.2.5)

яғни бірнеше кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең.

Оны дәлелдеу үшін толық индукция әдісін қолдану жеткілікті.

6. Сызықтық функцияның математикалық күтуі

Бірнеше кездейсоқ аргументтердің сызықтық функциясын қарастырыңыз:

мұнда кездейсоқ емес коэффициенттер. Соны дәлелдеп көрейік

, (10.2.6)

яғни сызықтық функцияның математикалық күтуі аргументтердің математикалық күтулерінің бірдей сызықтық функциясына тең.

Дәлелдеу. m.o қосу теоремасын қолдану. және кездейсоқ емес шаманы m.o. белгісінен тыс орналастыру ережесі, біз мынаны аламыз:

.

7. Диспepбұл кездейсоқ шамалардың қосындысы

Екі кездейсоқ шама қосындысының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына плюс корреляциялық моменттің екі есесіне тең:

Дәлелдеу. белгілейік

Математикалық күтулерді қосу теоремасы бойынша

Кездейсоқ шамалардан сәйкес центрленген айнымалыларға көшейік. (10.2.8) теңдіктен (10.2.9) термин бойынша теңдікті шегерсек, бізде:

Дисперсияның анықтамасы бойынша

Q.E.D.

Қосындының дисперсиясының формуласы (10.2.7) терминдердің кез келген санына жалпылануы мүмкін:

, (10.2.10)

мұндағы шамалардың корреляциялық моменті, қосынды астындағы белгі қосындының кездейсоқ шамалардың барлық мүмкін жұптық комбинацияларына таралатынын білдіреді .

Дәлелдеу алдыңғыға ұқсас және көпмүшенің квадратының формуласынан шығады.

Формула (10.2.10) басқа түрде жазылуы мүмкін:

, (10.2.11)

мұндағы қос қосынды шамалар жүйесінің корреляциялық матрицасының барлық элементтеріне таралады , корреляциялық моменттерді де, дисперсияларды да қамтиды.

Барлық кездейсоқ шама болса , жүйеге енгізілген, өзара байланыссыз (яғни, болғанда), формула (10.2.10) мына пішінді алады:

, (10.2.12)

яғни корреляцияланбаған кездейсоқ шамалардың қосындысының дисперсиясы мүшелердің дисперсияларының қосындысына тең.

Бұл позиция дисперсияларды қосу теоремасы ретінде белгілі.

8. Сызықтық функцияның дисперсиясы

Бірнеше кездейсоқ шамалардың сызықтық функциясын қарастырайық.

мұнда кездейсоқ емес шамалар.

Осы сызықтық функцияның дисперсиясы формуламен өрнектелетінін дәлелдейміз

, (10.2.13)

шамалардың корреляциялық моменті мұндағы, .

Дәлелдеу. Белгілеуді енгізейік:

. (10.2.14)

Өрнектің оң жағына (10.2.14) қосындының дисперсиясы үшін (10.2.10) формуласын қолданып, мынаны ескере отырып, мынаны аламыз:

шамалардың корреляциялық моменті мұндағы:

.

Осы сәтті есептеп көрейік. Бізде бар:

;

ұқсас

Осы өрнекті (10.2.15) орнына қойып, (10.2.13) формулаға келеміз.

Ерекше жағдайда барлық мөлшерлер (10.2.13) формуласы өзара байланыссыз:

, (10.2.16)

яғни корреляцияланбаған кездейсоқ шамалардың сызықтық функциясының дисперсиясы коэффициенттер квадраттарының көбейтінділерінің және сәйкес аргументтердің дисперсияларының қосындысына тең.

9. Кездейсоқ шамалардың көбейтіндісін математикалық күту

Екі кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне плюс корреляциялық моментке тең:

Дәлелдеу. Корреляциялық моменттің анықтамасынан шығамыз:

Бұл өрнекті математикалық күтудің қасиеттерін пайдаланып түрлендірейік:

бұл (10.2.17) формулаға анық балама.

Егер кездейсоқ шамалар корреляциясыз болса, онда (10.2.17) формула келесі пішінді алады:

яғни корреляциясыз екі кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең.

Бұл позиция математикалық күтулерді көбейту теоремасы ретінде белгілі.

Формула (10.2.17) екінші аралас бастапқы момент пен математикалық күту арқылы жүйенің екінші аралас орталық моментінің өрнегінен басқа ештеңе емес:

. (10.2.19)

Бұл өрнек бір кездейсоқ шама үшін дисперсия көбінесе екінші бастапқы момент пен математикалық күту арқылы есептелетіндей корреляция моментін есептеу кезінде тәжірибеде жиі қолданылады.

Математикалық күтулерді көбейту теоремасы факторлардың ерікті санына жалпыланады, тек осы жағдайда оны қолдану үшін шамалардың корреляциясыз болуы жеткіліксіз, бірақ олардың саны тәуелді кейбір жоғары аралас моменттердің болуы талап етіледі. өнімдегі терминдер саны бойынша жоғалады. Егер өнімге енгізілген кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, бұл шарттар орындалады. Бұл жағдайда

, (10.2.20)

яғни тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең.

Бұл ұсынысты толық индукция арқылы оңай дәлелдеуге болады.

10. Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің дисперсиясы

Мұны тәуелсіз шамалар үшін дәлелдеп көрейік

Дәлелдеу. белгілейік. Дисперсияның анықтамасы бойынша

Шамалар тәуелсіз болғандықтан, және

Тәуелсіз болғанда шамалар да тәуелсіз болады; демек,

,

Бірақ магнитуданың екінші бастапқы моментінен басқа ештеңе жоқ, сондықтан дисперсия арқылы көрсетіледі:

;

ұқсас

.

Осы өрнектерді (10.2.22) формулаға қойып, ұқсас мүшелерді келтірсек, (10.2.21) формулаға келеміз.

Орталықтандырылған кездейсоқ шамалар (математикалық күтулері нөлге тең айнымалылар) көбейтілген жағдайда (10.2.21) формула келесі нысанды алады:

, (10.2.23)

яғни тәуелсіз центрленген кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің дисперсиясы олардың дисперсияларының көбейтіндісіне тең.

11. Кездейсоқ шамалардың қосындысының жоғары моменттері

Кейбір жағдайларда тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының ең жоғары сәттерін есептеу қажет. Осы жерде байланысты кейбір қатынастарды дәлелдеп көрейік.

1) Егер шамалар тәуелсіз болса, онда

Дәлелдеу.

осыдан, математикалық күтулерді көбейту теоремасы бойынша

Бірақ кез келген шама үшін бірінші орталық момент нөлге тең; ортаңғы екі мүше жойылып, (10.2.24) формула дәлелденеді.

(10.2.24) қатынас тәуелсіз мүшелердің ерікті санына индукция арқылы оңай жалпыланады:

. (10.2.25)

2) Екі тәуелсіз кездейсоқ шама қосындысының төртінші орталық моменті формуламен өрнектеледі

шамалардың дисперсиялары қайда және .

Дәлел алдыңғыға толығымен ұқсас.

Толық индукция әдісін қолдана отырып, (10.2.26) формуланы тәуелсіз мүшелердің ерікті санына жалпылауды дәлелдеу оңай.