Ауа кедергісін ескере отырып, дененің гравитациялық өрістегі қозғалысы. Көкжиекке бұрышпен лақтырылған дененің қозғалысын зерттеу Ауқымы, максималды биіктігі және дененің ұшу уақыты

Нұсқаулар

Денені горизонтқа α бұрышқа бастапқы v0 жылдамдықпен лақтырсын. Дененің бастапқы координаталары нөлге тең болсын: x(0)=0, y(0)=0. Координаталық осьтерге проекцияларда бастапқы жылдамдық екі құрамдас бөлікке ыдырайды: v0(x) және v0(y). Жалпы бірдей жылдамдық. Ox осінің бойымен жылдамдық шартты түрде тұрақты деп есептеледі, ал Oy осі бойымен - әсерінен өзгереді. Ауырлық күшінің үдеуін g шамамен 10 м/с² деп алуға болады.

Дене лақтырылған α бұрышы кездейсоқ берілмейді. Ол арқылы координаталық осьтердегі бастапқы жылдамдықты сипаттауға болады. Сонымен, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). Енді жылдамдықтың координаталық құрамдастарының функциясын алуға болады: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g· t.

Дененің х және у координаталары t уақытына тәуелді. Осылайша, екі тәуелділік теңдеуін құруға болады: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2. x0=0 болғандықтан, a(x)=0, онда x=v0(x) t=v0 cos(α) t. Сондай-ақ, y0=0, a(y)=-g (еркін түсу g үдеуінің бағыты мен Ой осінің оң бағыты қарама-қарсы болғандықтан “ ” таңбасы пайда болады) екені де белгілі. Сондықтан y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

Ұшу уақытын жылдамдық формуласынан өрнектеуге болады, өйткені максималды нүктеде дене бір сәтте тоқтайды (v = 0), және «көтерілу» және «түсу» ұзақтығы тең. Сонымен v(y)=0 дегенді v(y)=v0·sin(α)-g·t теңдеуіне ауыстырғанда былай шығады: 0=v0·sin(α)-g·t(p), мұндағы t (p) – шың уақыты, «t шыңы». Демек, t(p)=v0·sin(α)/g. Ұшудың жалпы уақыты t=2·v0·sin(α)/g түрінде көрсетіледі.

Дәл сол формуланы y=v0·sin(α)·t-g·t²/2 координатасына арналған теңдеуден математикалық жолмен басқа жолмен алуға болады. Бұл теңдеуді сәл өзгертілген түрде қайта жазуға болады: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. Бұл квадраттық тәуелділік екенін көруге болады, мұндағы у – функция, t – аргумент. Траекторияны сипаттайтын параболаның төбесі t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2] нүктесі болып табылады. Минустар мен екілер жойылады, сондықтан t(p)=v0·sin(α)/g. Максималды биіктікті H деп белгілесек және шыңы дененің бойымен қозғалатын параболаның шыңы екенін есте сақтасақ, онда H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g болады. Яғни, биіктікті алу үшін y координатасы үшін теңдеудегі «t шыңын» ауыстыру керек.

Сонымен, ұшу уақыты t=2·v0·sin(α)/g түрінде жазылады. Оны өзгерту үшін бастапқы жылдамдық пен көлбеу бұрышты сәйкесінше өзгерту керек. Жылдамдық неғұрлым жоғары болса, дене соғұрлым ұзақ ұшады. Бұрышпен ол біршама күрделірек, өйткені уақыт бұрыштың өзіне емес, оның синусына байланысты. Максималды мүмкін болатын синус мәні - бірлік - 90 ° көлбеу бұрышында қол жеткізіледі. Бұл денені тігінен жоғары лақтырғанда ең ұзақ ұшатынын білдіреді.

Ұшу қашықтығы соңғы x координатасы болып табылады. Табылған ұшу уақытын x=v0·cos(α)·t теңдеуіне ауыстырсақ, онда L=2v0²sin(α)cos(α)/g екенін табу оңай. Мұнда 2sin(α)cos(α)=sin(2α), содан кейін L=v0²sin(2α)/g тригонометриялық қос бұрыш формуласын қолдануға болады. 2α=n/2, α=n/4 болғанда екі альфаның синусы біреуге тең. Осылайша, дене 45 ° бұрышпен лақтырылған жағдайда ұшу қашықтығы максималды болады.

Бұл мақалада дененің көлденең бұрышқа лақтырылған жағдайын талдауды қарастырамыз. Бұл тасты қолмен лақтыру, зеңбіректен снаряд ату, садақтан жебе шығару және т.б. Бұл жағдайлардың барлығы математикалық тұрғыдан бірдей сипатталған.

Көлденең бұрышта қозғалу ерекшелігі

Жоғарыда келтірілген мысалдардың физика тұрғысынан қандай ұқсастықтары бар? Ол денеге әсер ететін күштердің табиғатында жатыр. Дененің еркін ұшуы кезінде оған тек екі күш әсер етеді:

• Ауырлық.
• Windage.

Егер дененің массасы жеткілікті үлкен болса және оның пішіні ұшты болса (снаряд, жебе), онда ауа кедергісін елемеуге болады.

Осылайша, көкжиекке бұрышпен лақтырылған дененің қозғалысы тек ауырлық күші пайда болатын мәселе болып табылады. Дәл осы траекторияның пішінін анықтайды, ол параболалық функциямен жақсы дәлдікпен сипатталады.

Параболалық траектория бойынша қозғалыс теңдеулері. Жылдамдық

Дене көкжиекке бұрышпен лақтырылды. Оның қозғалысын қалай сипаттай аласыз? Дененің ұшуы кезінде әрекет ететін жалғыз күш төмен қарай бағытталғандықтан, оның көлденең құрамдас бөлігі нөлге тең. Бұл факт объектінің көлденең қозғалысы бастапқы шарттармен (лақтыру немесе ату бұрышы θ және жылдамдық v) бірегей түрде анықталатынын білдіреді. Дененің тік қозғалысы біркелкі үдетілген қозғалыстың жарқын мысалы болып табылады, мұнда үдеу рөлін тұрақты g (9,81 м/с2) атқарады.

Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып, t уақытындағы ұшатын дененің жылдамдығы үшін екі компонентті жазуға болады:

v x = v * cos(θ);

v y = v * sin(θ) - g * t

Көріп отырғанымыздай, v x компоненті уақытқа тәуелді емес және бүкіл ұшу жолында тұрақты болып қалады (х осінің бағытында сыртқы күштердің болмауының салдары). v y компоненті уақыттың бастапқы сәтінде максимумға ие. Содан кейін ол дененің максималды көтерілу нүктесінде нөлге жеткенше төмендей бастайды. Осыдан кейін ол таңбасын өзгертеді және құлау сәтінде бастапқы компоненті v y, яғни v*sin(θ) модуліне тең болып шығады.

Жазбаша теңдеулер көлденең бұрышқа лақтырылған дененің кез келген t моментіндегі жылдамдығын анықтауға мүмкіндік береді. Оның модулі мынаған тең болады:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

Параболалық траектория бойынша қозғалыс теңдеулері. Ұшу диапазоны

Дене көкжиекке бұрышпен лақтырылды. Ол қанша жерге ұшады? Ауқым мәселесі x координатасының өзгеруіне қатысты. Бұл мәнді жылдамдықтың екі компонентін де уақыт бойынша біріктіру арқылы табуға болады. Интегралдау нәтижесінде формулаларды аламыз:

x = v * cos(θ) * t + x 0 ;

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

x және x 0 координаталары арасындағы айырмашылық ұшу қашықтығы болып табылады. Егер x 0 = 0 деп есептесек, онда диапазон х-ке тең болады, оны табу үшін t дененің ауада қанша уақыт болатынын білу керек.

Екінші теңдеу y 0 мәні (дене лақтырылатын h биіктігі) белгілі болған жағдайда осы уақытты есептеуге мүмкіндік береді. Нысан қозғалысын аяқтағанда (жерге құлағанда), оның у координатасы нөлге айналады. Бұл қашан болатынын есептеп көрейік. Бізде бар:

v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0

Біздің алдымызда толық квадраттық теңдік тұр. Біз оны дискриминант арқылы шешеміз:

D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

Теріс түбірді алып тастаймыз. Біз келесі ұшу уақытын аламыз:

t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Енді біз бұл мәнді ұшу қашықтығы теңдеуіне ауыстырамыз. Біз алып жатырмыз:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Егер дене жерден лақтырылған болса, яғни h = 0 болса, онда бұл формула айтарлықтай жеңілдетіледі. Және ол келесідей болады:

x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/г

Соңғы өрнек синус пен косинустың тригонометриялық функциялары арасындағы қатынасты пайдаланып алынды (қысқарту формуласы).

Синус тік бұрыш үшін максималды мәнге ие болғандықтан, денені жер бетінен 45° бұрышпен лақтырғанда (атқанда) максималды ұшу қашықтығына қол жеткізіледі және бұл диапазон мынаған тең:

Горизонтальға бұрыш жасап лақтырылған дененің биіктігі

Енді тағы бір маңызды параметрді анықтайық - лақтырылған нысан көтеріле алатын биіктік. Әлбетте, бұл үшін тек у координатының өзгеруін қарастыру жеткілікті.

Сонымен, дене көкжиекке бұрышпен лақтырылды, ол қандай биіктікке ұшады? Бұл биіктік v y жылдамдық құраушысының нөлге теңдігіне сәйкес болады. Бізде теңдеу бар:

v y = v * sin(θ) - g * t = 0

Теңдеуді шешейік. Біз алып жатырмыз:

Енді осы уақытты y координатасына арналған өрнекке ауыстыру керек. Біз алып жатырмыз:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =

V 2 * sin 2 (θ)/(2 * г) + сағ

Бұл формула денені қатаң тігінен лақтырса (θ = 90) ұшу қашықтығынан айырмашылығы максималды биіктікке қол жеткізілетінін көрсетеді. Бұл жағдайда формулаға келеміз:

Бір қызығы, осы мақалада келтірілген барлық формулаларда дене салмағы көрсетілмейді. Параболалық траекторияның сипаттамалары оған тәуелді емес, тек ауа кедергісі болмаған жағдайда ғана.

Егер дене көкжиекке бұрышпен лақтырылса, онда ұшу кезінде оған ауырлық күші және ауаның қарсылық күші әсер етеді. Қарсылық күші ескерілмесе, онда жалғыз күш - ауырлық күші қалады. Демек, Ньютонның 2-ші заңына байланысты дене ауырлық күшінің үдеуіне тең үдеумен қозғалады; координаталық осьтерге үдеу проекциялары ax = 0, ay = - g.

Сурет 1. Горизонтальға бұрыш жасап лақтырылған дененің кинематикалық сипаттамалары

Материалдық нүктенің кез келген күрделі қозғалысы координат осі бойынша тәуелсіз қозғалыстардың суперпозициясы ретінде ұсынылуы мүмкін, ал әртүрлі осьтер бағытында қозғалыс түрі әртүрлі болуы мүмкін. Біздің жағдайда ұшатын дененің қозғалысын екі тәуелсіз қозғалыстың суперпозициясы ретінде көрсетуге болады: көлденең ось бойынша бірқалыпты қозғалыс (X осі) және тік ось бойынша біркелкі үдетілген қозғалыс (Y осі) (1-сурет). .

Демек, дененің жылдамдығының проекциялары уақыт бойынша келесідей өзгереді:

мұндағы $v_0$ - бастапқы жылдамдық, $(\mathbf \alpha )$ - лақтыру бұрышы.

Бастапқы нүктені таңдауымызбен бастапқы координаталар (1-сурет) $x_0=y_0=0$ болады. Сонда біз аламыз:

(1)

(1) формулаларды талдап көрейік. Лақтырылған дененің қозғалыс уақытын анықтайық. Ол үшін у координатасын нөлге теңестірейік, өйткені қону сәтінде дененің биіктігі нөлге тең. Осы жерден біз ұшу уақытын аламыз:

Биіктігі нөлге тең екінші уақыт мәні нөлге тең, ол лақтыру сәтіне сәйкес келеді, яғни. бұл мәннің де физикалық мәні бар.

Бірінші формуладан (1) ұшу ауқымын аламыз. Ұшу диапазоны - ұшудың соңындағы х координатының мәні, яғни. $t_0$ тең уақытта. Бірінші формулаға (1) (2) мәнін қойып, мынаны аламыз:

Бұл формуладан ең үлкен ұшу қашықтығы 45 градус лақтыру бұрышында қол жеткізілетінін көруге болады.

Лақтырылған дененің максималды көтеру биіктігін екінші формуладан (1) алуға болады. Ол үшін осы формулаға ұшу уақытының жартысына тең уақыт мәнін (2) ауыстыру керек, себебі Траекторияның дәл ортасында ұшу биіктігі максималды болады. Есептеулерді жүргізе отырып, біз аламыз

(1) теңдеулерден дененің траекториясының теңдеуін алуға болады, яғни. қозғалыс кезіндегі дененің х және у координаталарына қатысты теңдеу. Ол үшін бірінші теңдеуден (1) уақытты өрнектеу керек:

және оны екінші теңдеуге ауыстырыңыз. Сонда біз аламыз:

Бұл теңдеу қозғалыс траекториясының теңдеуі болып табылады. Бұл квадрат мүшесінің алдындағы «-» белгісімен көрсетілген тармақтары төмен параболаның теңдеуі екенін көруге болады. Мұнда $\alpha $ лақтыру бұрышы және оның функциялары жай тұрақтылар екенін есте ұстаған жөн, яғни. тұрақты сандар.

Дене көкжиекке $(\mathbf \alpha )$ бұрышқа v0 жылдамдықпен лақтырылды. Ұшу уақыты $t = 2 с$. Дене Hmax қандай биіктікке көтеріледі?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Дене қозғалысының заңы келесі түрде болады:

$$\left\( \begin(массив)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(массив) \right.$ $

Бастапқы жылдамдық векторы OX осімен $(\mathbf \alpha )$ бұрышын құрайды. Демек,

\ \ \

Таудың басынан $v_0 = 6 м/с$ бастапқы жылдамдықпен көкжиекке = 30$()^\circ$ бұрыш жасап тас лақтырылды. Көлбеу жазықтық бұрышы = 30$()^\circ$. Тас лақтырылған жерден қанша жерге түседі?

$$ \альфа =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

Координаталар басын лақтыру нүктесіне, OX – көлбеу жазықтық бойымен төмен қарай, OY – көлбеу жазықтыққа перпендикуляр жоғары қарай орналастырайық. Қозғалыстың кинематикалық сипаттамалары:

Қозғалыс заңы:

$$\left\( \begin(массив)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(массив) \right.$$ \

Алынған $t_В$ мәнін ауыстырып, $S$ табамыз:

Теория

Егер дене көкжиекке бұрышпен лақтырылса, онда ұшу кезінде оған ауырлық күші және ауа қарсылық күші әсер етеді. Қарсылық күшін елемейтін болса, онда тек ауырлық күші қалады. Демек, Ньютонның 2-ші заңына байланысты дене ауырлық күшінің үдеуіне тең үдеумен қозғалады; координаталық осьтердегі үдеу проекциялары тең а х = 0, және ж= -г.

Материалдық нүктенің кез келген күрделі қозғалысы координат осі бойынша тәуелсіз қозғалыстардың суперпозициясы ретінде ұсынылуы мүмкін, ал әртүрлі осьтер бағытында қозғалыс түрі әртүрлі болуы мүмкін. Біздің жағдайда ұшатын дененің қозғалысын екі тәуелсіз қозғалыстың суперпозициясы ретінде көрсетуге болады: көлденең ось бойынша бірқалыпты қозғалыс (X осі) және тік ось бойынша біркелкі үдетілген қозғалыс (Y осі) (1-сурет). .

Демек, дененің жылдамдығының проекциялары уақыт бойынша келесідей өзгереді:

,

мұндағы бастапқы жылдамдық, α – лақтыру бұрышы.

Демек, дене координаттары келесідей өзгереді:

Біздің таңдауымызбен координаталар басын бастапқы координаталар (1-сурет) Содан кейін

Биіктігі нөлге тең екінші уақыт мәні нөлге тең, ол лақтыру сәтіне сәйкес келеді, яғни. бұл мәннің де физикалық мәні бар.

Бірінші формуладан (1) ұшу ауқымын аламыз. Ұшу қашықтығы - координаталық мән Xұшудың соңында, яғни. тең уақытта t 0. Бірінші формулаға (1) (2) мәнін қойып, мынаны аламыз:

.

(3)

Бұл формуладан ең үлкен ұшу қашықтығы 45 градус лақтыру бұрышында қол жеткізілетінін көруге болады.

Лақтырылған дененің максималды көтеру биіктігін екінші формуладан (1) алуға болады. Ол үшін осы формулаға ұшу уақытының жартысына тең уақыт мәнін (2) ауыстыру керек, себебі Траекторияның дәл ортасында ұшу биіктігі максималды болады. Есептеулерді жүргізе отырып, біз аламыз

Бұл FEFU мектеп оқушыларына арналған информатикадан шеберлік сыныбына арналған шығармашылық тапсырма.
Тапсырманың мақсаты - егер ауа кедергісі ескерілсе, дененің траекториясы қалай өзгеретінін анықтау. Сондай-ақ, егер ауа кедергісі ескерілсе, 45 ° лақтыру бұрышында ұшу қашықтығы әлі де өзінің максималды мәніне жете ме деген сұраққа жауап беру керек.

«Аналитикалық зерттеу» тарауында теория көрсетілген. Бұл бөлімді өткізіп жіберуге болады, бірақ ол сізге негізінен түсінікті болуы керек, себебі... ОМұның көбін сіз мектепте үйрендіңіз.
«Сандық зерттеу» бөлімінде компьютерде орындалуы тиіс алгоритмнің сипаттамасы берілген. Алгоритм қарапайым және қысқа, сондықтан оны әркім жасай алуы керек.

Аналитикалық зерттеу

Суретте көрсетілгендей тікбұрышты координаталар жүйесін енгізейік. Уақыттың бастапқы моментінде массасы бар дене мбастауында орналасқан. Еркін түсу үдеуінің векторы тігінен төмен бағытталған және координаталары бар (0, - g).
- бастапқы жылдамдық векторы. Бұл векторды оның негізіне қарай кеңейтейік: . Мұндағы , мұндағы жылдамдық векторының шамасы, лақтыру бұрышы.

Ньютонның екінші заңын жазайық: .
Уақыттың әрбір сәтіндегі үдеу – жылдамдықтың өзгеру жылдамдығы (лездік), яғни жылдамдықтың уақытқа қатысты туындысы: .

Сондықтан Ньютонның 2-ші заңын келесідей қайта жазуға болады:
, мұндағы денеге әсер ететін барлық күштердің нәтижесі.
Денеге ауырлық күші мен ауа қарсылық күші әсер ететіндіктен
.

Біз үш жағдайды қарастырамыз:
1) Ауаның кедергі күші 0: .
2) Ауаның кедергі күші жылдамдық векторына қарама-қарсы бағытталған, ал оның шамасы жылдамдыққа пропорционал: .
3) Ауаның кедергі күші жылдамдық векторына қарама-қарсы бағытталған, ал оның шамасы жылдамдықтың квадратына пропорционал: .

Алдымен 1-ші жағдайды қарастырайық.
Бұл жағдайда , немесе .


Осыдан шығады (бірқалыпты үдетілген қозғалыс).
Өйткені ( r- радиус векторы), онда .
Осы жерден .
Бұл формула дененің біркелкі үдетілген қозғалыс кезіндегі қозғалыс заңының белгілі формуласынан басқа ештеңе емес.
Сол уақыттан бері .
Екеуін ескерсек , соңғы векторлық теңдіктен скаляр теңдіктерді аламыз:

Алынған формулаларды талдап көрейік.
Табайық ұшу уақытыденелер. Теңдеу жнөлге дейін аламыз

Ұшу диапазоныкоординаталық мәнге тең xбелгілі бір уақытта т 0:

Бұл формуладан максималды ұшу диапазонына қол жеткізілетіні шығады.
Енді табайық шанақ тракторының теңдеуі. Ол үшін білдірейік тарқылы x

Ал алынған өрнекті орнына қоямыз түшін теңдікке ж.

Нәтижелік функция ж(x) квадраттық функция, оның графигі парабола, оның тармақтары төмен бағытталған.
Көкжиекке бұрышпен лақтырылған дененің қозғалысы (ауа кедергісін есепке алмағанда) осы бейнеде сипатталған.

Енді екінші жағдайды қарастырыңыз: .

Екінші заң формасын алады ,
осы жерден .
Осы теңдікті скаляр түрінде жазайық:

Біз алдық екі сызықтық дифференциалдық теңдеу.
Бірінші теңдеудің шешімі бар

Бұл функцияны теңдеуіне ауыстыру арқылы тексеруге болады v xжәне бастапқы күйге .
Мұндағы e = 2,718281828459... Эйлер саны.
Екінші теңдеудің шешімі бар

Өйткені , , онда ауа кедергісі болған кезде дененің қозғалысы жылдамдықты шектеусіз жоғарылату кезінде 1-жағдайдан айырмашылығы біркелкі болуға бейім.
Келесі бейнеде парашютшы әуелі жеделдетілген қарқынмен қозғалады, содан кейін біркелкі қозғала бастайды (тіпті парашют ашылғанға дейін).

үшін өрнектерді табайық xЖәне ж.
Өйткені x(0) = 0, ж(0) = 0, онда

Бізге 3-жағдайды қарастыру қалады, қашан .
Ньютонның екінші заңының формасы бар
, немесе .
Скаляр түрінде бұл теңдеу келесідей болады:

Бұл сызықты емес дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Бұл жүйені нақты шешу мүмкін емес, сондықтан сандық модельдеуді қолдану қажет.

Сандық зерттеу

Алдыңғы бөлімде біз алғашқы екі жағдайда дененің қозғалыс заңын айқын түрде алуға болатынын көрдік. Дегенмен, үшінші жағдайда мәселені сандық түрде шешу қажет. Сандық әдістерді қолдана отырып, біз тек шамамен шешім аламыз, бірақ біз аз ғана дәлдікке қанағаттанамыз. (Айтпақшы, π санын немесе 2-нің квадрат түбірін мүлдем дәл жазу мүмкін емес, сондықтан есептеу кезінде олар цифрлардың шектеулі санын алады және бұл жеткілікті.)

Ауа кедергісінің күші формуламен анықталатын екінші жағдайды қарастырамыз . Қашан екенін ескеріңіз к= 0 бірінші жағдайды аламыз.

Дене жылдамдығы келесі теңдеулерге бағынады:

Бұл теңдеулердің сол жақтарында үдеу құраушылары жазылған .
Еске салайық, үдеу - жылдамдықтың өзгеру жылдамдығы (лездік), яғни жылдамдықтың уақытқа қатысты туындысы.
Теңдеулердің оң жақтарында жылдамдық құраушылары бар. Осылайша, бұл теңдеулер жылдамдықтың өзгеру жылдамдығының жылдамдықпен байланысын көрсетеді.

Осы теңдеулердің шешімін сандық әдістер арқылы табуға тырысайық. Ол үшін біз уақыт осіне енгіземіз тор: санды таңдап, форманың уақыт моменттерін қарастырайық: .

Біздің міндетіміз мәндерді шамамен есептеу тор түйіндерінде.

Теңдеулердегі үдеуді ауыстырайық ( лездік жылдамдықжылдамдығының өзгеруі) арқылы орташа жылдамдықДененің белгілі бір уақыт аралығындағы қозғалысын ескере отырып, жылдамдықтың өзгеруі:

Енді алынған жуықтауларды теңдеулерімізге ауыстырайық.

Алынған формулалар функциялардың мәндерін есептеуге мүмкіндік береді келесі тор түйінінде, егер алдыңғы тор түйініндегі осы функциялардың мәндері белгілі болса.

Сипатталған әдісті қолдана отырып, жылдамдық компоненттерінің жуық мәндерінің кестесін алуға болады.

Дене қозғалысының заңын қалай табуға болады, яғни. жуық координаталар кестесі x(т), ж(т)? Сияқты!
Бізде бар

vx[j] мәні функцияның мәніне тең, ал басқа массивтер үшін де солай.
Енді тек цикл жазу ғана қалады, оның ішінде біз есептелген vx[j] мәні арқылы vx есептейміз, ал қалған массивтермен де солай. Цикл болады j 1-ден Н.
vx, vy, x, y бастапқы мәндерін формулаларға сәйкес инициализациялауды ұмытпаңыз, x 0 = 0, ж 0 = 0.

Паскаль және С тілдерінде синус пен косинусты есептеу үшін sin(x) және cos(x) функциялары бар. Бұл функциялар радианда аргумент алатынын ескеріңіз.

кезінде дене қозғалысының графигін салу керек к= 0 және к> 0 және алынған графиктерді салыстырыңыз. Графиктерді Excel бағдарламасында жасауға болады.
Есептеу формулалары соншалықты қарапайым екенін ескеріңіз, сіз есептеулер үшін тек Excel бағдарламасын пайдалана аласыз және тіпті бағдарламалау тілін қолданбайсыз.
Дегенмен, болашақта сізге CATS-те проблеманы шешу қажет, онда дененің ұшу уақыты мен ауқымын есептеу керек, онда бағдарламалау тілінсіз жасай алмайсыз.

мүмкін екенін ескеріңіз сынақсіздің бағдарламаңызды және есептеу нәтижелерін салыстыру арқылы графиктеріңізді тексеріңіз к= 0 «Аналитикалық зерттеу» бөлімінде берілген нақты формулалармен.

Бағдарламаңызбен тәжірибе жасаңыз. Ауа кедергісі болмаса ( к= 0) белгіленген бастапқы жылдамдықта максималды ұшу қашықтығы 45° бұрышта қол жеткізіледі.
Ауа кедергісі туралы не деуге болады? Максималды ұшу қашықтығы қандай бұрышта орындалады?

Суретте дененің траекториялары көрсетілген v 0 = 10 м/с, α = 45°, g= 9,8 м/с 2, м= 1 кг, к= 0 және 1 Δ нүктесінде сандық модельдеу арқылы алынған т = 0,01.

Троицк қаласының 10-сынып оқушыларының 2011 жылы «Ғылымнан бастау» конференциясында ұсынылған тамаша жұмыстарымен танысуға болады. Жұмыс көкжиекке бұрышпен лақтырылған теннис допының қозғалысын модельдеуге арналған (ауаны ескере отырып). қарсылық). Сандық модельдеу де, толық масштабты эксперимент те қолданылады.

Осылайша, бұл шығармашылық тапсырма практикада белсенді қолданылатын, бірақ мектепте аз зерттелген математикалық және сандық модельдеу әдістерімен танысуға мүмкіндік береді. Мысалы, бұл әдістер 20 ғасырдың ортасында КСРО-да ядролық және ғарыштық жобаларды жүзеге асыруда қолданылған.