Есте сақтау өте оңай.

Ал, алысқа бармай-ақ, бірден кері функцияны қарастырайық. Қандай функция көрсеткіштік функцияға кері функция? Логарифм:

Біздің жағдайда негіз сан болып табылады:

Мұндай логарифм (яғни негізі бар логарифм) «табиғи» деп аталады және біз ол үшін арнайы белгілерді қолданамыз: орнына жазамыз.

Ол неге тең? Әрине, .

Натурал логарифмнің туындысы да өте қарапайым:

Мысалдар:

1. Функцияның туындысын табыңыз.
2. Функцияның туындысы дегеніміз не?

Жауаптары: Көрсеткіштік және натурал логарифм туынды перспективада ерекше қарапайым функциялар болып табылады. Кез келген басқа базасы бар көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың басқа туындысы болады, оны дифференциалдау ережелерінен өткеннен кейін кейінірек талдаймыз.

Дифференциация ережелері

Ненің ережелері? Тағы да жаңа термин, тағы?!...

Дифференциациятуындыны табу процесі болып табылады.

Бар болғаны. Бұл процесті бір сөзбен тағы қалай атауға болады? Туынды емес... Математиктер дифференциалды функцияның бірдей өсімі деп атайды. Бұл термин латынның дифференция - айырмашылық сөзінен шыққан. Мұнда.

Осы ережелердің барлығын шығарған кезде біз екі функцияны қолданамыз, мысалы, және. Бізге олардың өсімдері үшін формулалар қажет болады:

Барлығы 5 ереже бар.

Тұрақты шама туынды таңбадан алынады.

Егер - қандай да бір тұрақты сан (тұрақты), онда.

Әлбетте, бұл ереже айырмашылық үшін де жұмыс істейді: .

Дәлелдейік. Бұл болсын, немесе қарапайымырақ.

Мысалдар.

Функциялардың туындыларын табыңыз:

1. нүктеде;
2. нүктеде;
3. нүктеде;
4. нүктесінде.

Шешімдер:

1. (туынды барлық нүктелерде бірдей, өйткені ол сызықтық функция, есіңізде ме?);

Өнімнің туындысы

Мұнда бәрі ұқсас: жаңа функцияны енгізіп, оның өсімін табайық:

Туынды:

Мысалдар:

1. және функцияларының туындыларын табыңыз;
2. Функцияның нүктедегі туындысын табыңыз.

Шешімдер:

Көрсеткіштік функцияның туындысы

Енді сіздің біліміңіз көрсеткішті ғана емес, кез келген экспоненциалды функцияның туындысын табуды үйрену үшін жеткілікті (сіз оның не екенін әлі ұмыттыңыз ба?).

Сонымен, қандай да бір сан қайда.

Біз функцияның туындысын бұрыннан білеміз, сондықтан функциямызды жаңа негізге келтіруге тырысайық:

Ол үшін қарапайым ережені қолданамыз: . Содан кейін:

Жақсы, бұл жұмыс істеді. Енді туындыны табуға тырысыңыз және бұл функция күрделі екенін ұмытпаңыз.

Болды ма?

Міне, өзіңізді тексеріңіз:

Формула дәреже көрсеткішінің туындысына өте ұқсас болып шықты: бұрынғыдай, ол өзгеріссіз қалады, тек қана фактор пайда болды, ол жай ғана сан, бірақ айнымалы емес.

Мысалдар:
Функциялардың туындыларын табыңыз:

Жауаптары:

Бұл калькуляторсыз есептелмейтін сан ғана, яғни оны қарапайым түрде жазуға болмайды. Сондықтан жауапта оны осы формада қалдырамыз.

Назар аударыңыз, мұнда екі функцияның бөлігі берілген, сондықтан біз сәйкес дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Бұл мысалда екі функцияның туындысы:

Логарифмдік функцияның туындысы

Бұл жерде ұқсас: сіз табиғи логарифмнің туындысын білесіз:

Сондықтан, басқа негізі бар ерікті логарифмді табу үшін, мысалы:

Біз бұл логарифмді негізге келтіруіміз керек. Логарифмнің негізін қалай өзгертуге болады? Бұл формуланы есте сақтайсыз деп үміттенемін:

Оның орнына енді ғана жазамыз:

Бөлгіш жай ғана тұрақты (айнымалысы жоқ тұрақты сан). Туынды өте қарапайым түрде алынады:

Көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың туындылары Бірыңғай мемлекеттік емтиханда ешқашан кездеспейді, бірақ оларды білу артық болмайды.

Күрделі функцияның туындысы.

«Күрделі функция» дегеніміз не? Жоқ, бұл логарифм емес, арктангенс емес. Бұл функцияларды түсіну қиын болуы мүмкін (бірақ сіз логарифмді қиын деп тапсаңыз, «Логарифмдер» тақырыбын оқып шығыңыз және сіз жақсы боласыз), бірақ математикалық тұрғыдан «күрделі» сөзі «қиын» дегенді білдірмейді.

Кішкентай конвейерді елестетіңіз: екі адам отырады және кейбір заттармен кейбір әрекеттерді жасайды. Мысалы, біріншісі шоколадты қаптамаға орап, екіншісі оны таспамен байлайды. Нәтиже – композициялық нысан: лентамен оралған және байланған шоколадты батончик. Шоколадты жеу үшін кері әрекеттерді кері ретпен орындау керек.

Ұқсас математикалық құбырды құрайық: алдымен санның косинусын табамыз, содан кейін алынған санның квадратын аламыз. Сонымен, бізге сан (шоколад) беріледі, мен оның косинусын (орауын) табамын, сосын менің алғанымды шаршылайсыңдар (лентамен байлаңыз). Не болды? Функция. Бұл күрделі функцияның мысалы: оның мәнін табу үшін біз бірінші әрекетті тікелей айнымалымен орындаймыз, содан кейін бірінші әрекеттің нәтижесімен екінші әрекетті орындаймыз.

Басқа сөзбен, күрделі функция - аргументі басқа функция болатын функция: .

Біздің мысал үшін, .

Біз бірдей қадамдарды кері ретпен оңай жасай аламыз: алдымен сіз оны квадраттайсыз, содан кейін алынған санның косинусын іздеймін: . Нәтиже әрдайым дерлік басқаша болатынын болжау оңай. Күрделі функциялардың маңызды белгісі: әрекеттердің реті өзгергенде, функция да өзгереді.

Екінші мысал: (сол нәрсе). .

Соңғы орындайтын әрекетіміз шақырылады «сыртқы» функция, ал бірінші орындалатын әрекет – сәйкесінше «ішкі» функция(бұл бейресми атаулар, мен оларды материалды қарапайым тілмен түсіндіру үшін ғана қолданамын).

Қандай функция сыртқы және қайсысы ішкі екенін өзіңіз анықтап көріңіз:

Жауаптары:Ішкі және сыртқы функцияларды бөлу айнымалыларды өзгертуге өте ұқсас: мысалы, функцияда

1. Алдымен қандай әрекетті орындаймыз? Алдымен синусты есептейік, содан кейін ғана оны текшелейміз. Бұл ішкі функция, бірақ сыртқы функция екенін білдіреді.
   Ал бастапқы қызметі олардың құрамы: .
2. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
3. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
4. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .
5. Ішкі: ; сыртқы: .
   Емтихан: .

Біз айнымалыларды өзгертіп, функцияны аламыз.

Енді біз шоколадты батончиктен шығарып, туындысын іздейміз. Процедура әрқашан кері болады: алдымен сыртқы функцияның туындысын іздейміз, содан кейін нәтижені ішкі функцияның туындысына көбейтеміз. Бастапқы мысалға қатысты ол келесідей көрінеді:

Тағы бір мысал:

Сонымен, соңында ресми ережені тұжырымдаймыз:

Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:

Бұл қарапайым сияқты, солай ма?

Мысалдармен тексерейік:

Шешімдер:

1) Ішкі: ;

Сыртқы: ;

2) Ішкі: ;

(Қазір оны кесуге тырыспаңыз! Косинустың астынан ештеңе шықпайды, есіңізде ме?)

3) Ішкі: ;

Сыртқы: ;

Бұл үш деңгейлі күрделі функция екені бірден түсінікті: бұл қазірдің өзінде күрделі функция, біз одан түбірді де шығарамыз, яғни үшінші әрекетті орындаймыз (шоколадты қаптамаға салыңыз. және портфельдегі лентамен). Бірақ қорқудың қажеті жоқ: біз бұл функцияны әдеттегідей тәртіпте «ораймыз»: соңына дейін.

Яғни, алдымен түбірді, содан кейін косинусты, содан кейін ғана жақшадағы өрнекті ажыратамыз. Сосын барлығын көбейтеміз.

Мұндай жағдайларда әрекеттерді нөмірлеу ыңғайлы. Яғни, не білетінімізді елестетіп көрейік. Осы өрнектің мәнін есептеу үшін әрекеттерді қандай ретпен орындаймыз? Мысал қарастырайық:

Әрекет неғұрлым кеш орындалса, сәйкес функция соғұрлым «сыртқы» болады. Әрекеттер тізбегі бұрынғыдай:

Мұнда ұя салу әдетте 4 деңгейлі. Әрекет бағытын анықтайық.

1. Радикалды өрнек. .

2. Түбір. .

3. Синус. .

4. Шаршы. .

5. Барлығын біріктіру:

ТУЫНДЫ. НЕГІЗГІ НӘРСЕЛЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

Функцияның туындысы- функция өсімінің аргументтің шексіз аз өсімшесінің аргументінің өсіміне қатынасы:

Негізгі туындылар:

Дифференциация ережелері:

Тұрақты шама туынды таңбадан алынады:

Қосындының туындысы:

Өнімнің туындысы:

Бөлімшенің туындысы:

Күрделі функцияның туындысы:

Күрделі функцияның туындысын табу алгоритмі:

1. Біз «ішкі» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
2. «Сыртқы» функцияны анықтаймыз және оның туындысын табамыз.
3. Бірінші және екінші нүктелердің нәтижелерін көбейтеміз.

Ал күрделі функцияның туындысы туралы теорема, оның тұжырымы келесідей:

1) $u=\varphi (x)$ функциясы қандай да бір нүктеде $x_0$ туынды $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ болсын, 2) $y=f(u)$ функциясы болсын. $u_0=\varphi (x_0)$ нүктесінде сәйкес $y_(u)"=f"(u)$ туындысы бар. Сонда аталған нүктедегі $y=f\left(\varphi (x) \right)$ күрделі функциясының да $f(u)$ және $\varphi ( функцияларының туындыларының көбейтіндісіне тең туынды болады. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

немесе қысқаша белгілеуде: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Бұл бөлімдегі мысалдарда барлық функциялардың $y=f(x)$ пішімі бар (яғни, біз тек $x$ айнымалысының функцияларын қарастырамыз). Тиісінше, барлық мысалдарда $x$ айнымалысына қатысты $y"$ туындысы алынады. Туынды $x$ айнымалысына қатысты алынатынын атап өту үшін $y орнына $y"_x$ жиі жазылады. «$.

№ 1, № 2 және № 3 мысалдарда күрделі функциялардың туындысын табудың егжей-тегжейлі процесі көрсетілген. №4 мысал туынды кестені неғұрлым толық түсінуге арналған және онымен танысу мағынасы бар.

No 1-3 мысалдардағы материалды зерттеп болған соң, No 5, No 6 және No 7 мысалдарды өз бетінше шешуге көшкен жөн. №5, №6 және №7 мысалдар оқырман өз нәтижесінің дұрыстығын тексере алатындай қысқаша шешімді қамтиды.

№1 мысал

$y=e^(\cos x)$ функциясының туындысын табыңыз.

$y"$ күрделі функциясының туындысын табу керек. $y=e^(\cos x)$ болғандықтан, $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ туындысын табыңыз, біз туындылар кестесінен No6 формуланы қолданамыз. No6 формуланы қолдану үшін біздің жағдайымызда $u=\cos x$ екенін ескеру қажет. Бұдан әрі шешім №6 формулаға $u$ орнына $\cos x$ өрнегін жай ғана ауыстырудан тұрады:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Енді $(\cos x)"$ өрнегінің мәнін табу керек. Біз одан №10 формуланы таңдай отырып, туындылар кестесіне қайта ораламыз. №10 формулаға $u=x$ ауыстырсақ, бізде : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Енді оны табылған нәтижемен толықтырып (1.1) теңдігін жалғастырайық:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \тег (1.2) $$

$x"=1$ болғандықтан, біз теңдікті жалғастырамыз (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Сонымен, (1.3) теңдігінен бізде: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Әрине, түсініктемелер мен аралық теңдіктер әдетте өткізілмейді, туындының табылуын бір жолға жазады, теңдіктегідей ( 1.3) Сонымен, күрделі функцияның туындысы табылды, жауабын жазу ғана қалды.

Жауап: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

№2 мысал

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ функциясының туындысын табыңыз.

$y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ туындысын есептеуіміз керек. Алдымен, тұрақты мәнді (яғни 9 санын) туынды белгіден шығаруға болатындығын ескереміз:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \тег (2.1) $$

Енді $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ өрнегіне көшейік. Туындылар кестесінен қажетті формуланы таңдауды жеңілдету үшін өрнекті ұсынамын. осы пішінде сұрақ: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Енді No2 формуланы қолдану қажет екені түсінікті, яғни. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Мына формулаға $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ және $\alpha=12$ ауыстырайық:

Алынған нәтижемен теңдікті (2.1) толықтырсақ, бізде:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \тег (2.2) $$

Бұл жағдайда шешуші бірінші қадамда формуланың орнына $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ формуласын таңдағанда қате жиі жіберіледі. $\left(u^\ альфа \оң)"=\альфа\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Мәселе мынада: сыртқы функцияның туындысы бірінші кезекте тұруы керек. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ өрнегіне қай функция сыртқы болатынын түсіну үшін $\arctg^(12)(4\cdot 5^) өрнегінің мәнін есептеп жатқаныңызды елестетіңіз. x)$ қандай да бір мәнде $x$. Алдымен сіз $5^x$ мәнін есептейсіз, содан кейін нәтижені 4-ке көбейтіп, $4\cdot 5^x$ аласыз. Енді осы нәтижеден арктангенс аламыз, $\arctg(4\cdot 5^x)$ аламыз. Содан кейін алынған санды он екінші дәрежеге дейін көтеріп, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ аламыз. Соңғы әрекет, яғни. 12 дәрежесіне көтеру сыртқы функция болады. Міне, осыдан біз (2.2) теңдікте орындалған туындыны табуға кірісуіміз керек.

Енді $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ табуымыз керек. Біз туындылар кестесінің №19 формуласын қолданып, оған $u=4\cdot \ln x$ ауыстырамыз:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ ескере отырып, алынған өрнекті сәл жеңілдетейік.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Теңдік (2.2) енді келесідей болады:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \тег (2.3) $$

$(4\cdot \ln x)"$ табу керек. Туынды таңбадан тұрақты мәнді (яғни 4) алайық: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. $(\ln x)"$ табу үшін №8 формуланы қолданамыз, оған $u=x$ ауыстырамыз: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x «$. $x"=1$ болғандықтан, $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Алынған нәтижені (2.3) формулаға қойып, мынаны аламыз:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Естеріңізге сала кетейін, күрделі функцияның туындысы ең соңғы теңдікте жазылғандай бір жолда жиі кездеседі. Сондықтан стандартты есептеулерді немесе бақылау жұмыстарын дайындаған кезде шешімді мұндай егжей-тегжейлі сипаттаудың қажеті жоқ.

Жауап: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

№3 мысал

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ функциясының $y"$ мәнін табыңыз.

Алдымен, радикалды (түбірді) дәреже ретінде өрнектеп, $y$ функциясын сәл түрлендірейік: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Енді туындыны табуға кірісейік. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ болғандықтан, онда:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\оң)" \тег (3.1) $$

$u=\sin(5\cdot 9^x)$ және $\alpha=\frac(3)(7)$ алмастырып, туындылар кестесіндегі №2 формуланы қолданайық:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Алынған нәтижені пайдаланып (3.1) теңдікті жалғастырайық:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\оң)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \тег (3.2) $$

Енді $(\sin(5\cdot 9^x))"$ табуымыз керек. Ол үшін туындылар кестесіндегі №9 формуланы қолданамыз, оған $u=5\cdot 9^x$ ауыстырамыз:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Алынған нәтижемен теңдікті (3.2) толықтырып, бізде:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\оң)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \тег (3.3) $$

$(5\cdot 9^x)"$ табу керек. Алдымен туынды таңбаның сыртындағы тұрақтыны ($5$ санын) алайық, яғни $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9) ^x) "$. $(9^x)"$ туындысын табу үшін туындылар кестесінің №5 формуласын оған $a=9$ және $u=x$ ауыстырыңыз: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ болғандықтан, $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Енді (3.3) теңдігін жалғастыра аламыз:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\оң)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\оң) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

$\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ $\ түрінде жаза отырып, қуаттардан радикалдарға (яғни, түбірлерге) қайта орала аламыз. frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Сонда туынды келесі түрде жазылады:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Жауап: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

№4 мысал

Туындылар кестесінің No3 және No4 формулалары осы кестенің No2 формуласының ерекше жағдайы екенін көрсетіңіз.

Туындылар кестесінің №2 формуласында $u^\alpha$ функциясының туындысы бар. №2 формулаға $\alpha=-1$ орнын ауыстырсақ, мынаны аламыз:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\тег (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ және $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ болғандықтан, (4.1) теңдігін келесідей қайта жазуға болады: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Бұл туындылар кестесінің №3 формуласы.

Туындылар кестесінің No2 формуласына тағы да жүгінейік. Оған $\alpha=\frac(1)(2)$ ауыстырайық:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\тег (4.2) $$

$u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ және $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) болғандықтан )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, онда (4.2) теңдігін келесідей қайта жазуға болады:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u)) )\cdot u" $$

Алынған $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ теңдігі туындылар кестесінің №4 формуласы болып табылады. Көріп отырғаныңыздай, туынды кестенің No3 және No4 формулалары сәйкес $\alpha$ мәнін ауыстыру арқылы No2 формуладан алынған.

Күрделі туындылар. Логарифмдік туынды.
Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз саралау техникасын жетілдіруді жалғастырамыз. Бұл сабақта біз өткен материалды бекітеміз, күрделірек туындыларды қарастырамыз, сонымен қатар туындыны, атап айтқанда, логарифмдік туындыны табудың жаңа әдістерімен және амалдарымен танысамыз.

Дайындығы төмен оқырмандар мақалаға жүгінуі керек Туындыны қалай табуға болады? Шешімдердің мысалдары, бұл сіздің дағдыларыңызды нөлден дерлік арттыруға мүмкіндік береді. Әрі қарай, сіз бетті мұқият зерделеуіңіз керек Күрделі функцияның туындысы, түсіну және шешу Барлықмен келтірген мысалдар. Бұл сабақ логикалық түрде қатарынан үшінші болып табылады және оны меңгергеннен кейін сіз өте күрделі функцияларды сенімді түрде ажырата аласыз. «Тағы қайда? Бұл жеткілікті!», өйткені барлық мысалдар мен шешімдер нақты сынақтардан алынған және тәжірибеде жиі кездеседі.

Қайталаудан бастайық. Сабақта Күрделі функцияның туындысыБіз егжей-тегжейлі түсініктемелері бар бірқатар мысалдарды қарастырдық. Дифференциалды есептеуді және математикалық талдаудың басқа салаларын оқу барысында сіз өте жиі ажыратуға тура келеді және мысалдарды егжей-тегжейлі сипаттау әрқашан ыңғайлы емес (және әрқашан қажет емес). Сондықтан туынды сөздерді ауызша табуға жаттығамыз. Бұл үшін ең қолайлы «үміткерлер» ең қарапайым күрделі функциялардың туындылары болып табылады, мысалы:

Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесі бойынша :

Болашақта басқа матан тақырыптарын оқыған кезде мұндай егжей-тегжейлі жазба көбінесе талап етілмейді, студент мұндай туындыларды автопилотта қалай табуға болатынын біледі деп болжанады. Елестетіп көрейікші, түнгі сағат 3-те телефон шырылдап, жағымды дауыс: «Екі Х-ның жанамасының туындысы қандай?» деп сұрады. Осыдан кейін бірден және сыпайы жауап болуы керек: .

Бірінші мысал бірден тәуелсіз шешімге арналған.

1-мысал

Мына туынды сөздерді ауызша, бір қимылда табыңыз, мысалы: . Тапсырманы орындау үшін сізге тек пайдалану керек элементар функциялардың туындыларының кестесі(егер әлі есіңізде болмаса). Егер сізде қандай да бір қиындықтар болса, мен сабақты қайта оқуды ұсынамын Күрделі функцияның туындысы.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Сабақтың соңындағы жауаптар

Күрделі туындылар

Алдын ала артиллериялық дайындықтан кейін функциялардың 3-4-5 ұялары бар мысалдар аз қорқынышты болады. Төмендегі екі мысал кейбіреулерге күрделі болып көрінуі мүмкін, бірақ егер сіз оларды түсінсеңіз (біреу зардап шегеді), дифференциалды есептеудегі қалғанның барлығы дерлік баланың әзіліндей болып көрінеді.

2-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жоғарыда айтылғандай, күрделі функцияның туындысын табу кезінде, ең алдымен, қажет ДұрысИнвестицияларыңызды түсініңіз. Күмән тудыратын жағдайларда, мен сізге пайдалы әдісті еске саламын: біз, мысалы, «x» эксперименттік мәнін аламыз және бұл мәнді «қорқынышты өрнекке» ауыстыруға тырысамыз (ойша немесе жобада).

1) Алдымен біз өрнекті есептеуіміз керек, яғни қосынды ең терең ендірілген.

2) Содан кейін логарифмді есептеу керек:

4) Содан кейін косинусты текшеге келтіріңіз:

5) Бесінші қадамда айырмашылық:

6) Соңында, ең сыртқы функция - квадрат түбір:

Күрделі функцияны дифференциалдау формуласы ең сыртқы функциядан ең ішкіге дейін кері ретпен қолданылады. Біз шешеміз:

Ешқандай қате жоқ сияқты...

(1) Квадрат түбірдің туындысын алыңыз.

(2) Ережені пайдаланып айырманың туындысын аламыз

(3) Үштіктің туындысы нөлге тең. Екінші мүшеде дәреженің туындысын аламыз (куб).

(4) Косинустың туындысын алыңдар.

(5) Логарифмнің туындысын алыңыз.

(6) Соңында біз ең терең енгізудің туындысын аламыз.

Бұл тым қиын болып көрінуі мүмкін, бірақ бұл ең қатыгез мысал емес. Мысалы, Кузнецовтың коллекциясын алсаңыз, талданған туындының барлық сұлулығы мен қарапайымдылығын бағалайсыз. Студенттің күрделі функцияның туындысын қалай табуға болатынын түсінетінін немесе түсінбегенін тексеру үшін емтиханда ұқсас нәрсені бергенді ұнататынын байқадым.

Келесі мысал сізге өз бетінше шешуге арналған.

3-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Нұсқау: Алдымен сызықтық ережелер мен өнімді дифференциалдау ережесін қолданамыз

Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Кішкентай және жақсырақ нәрсеге көшудің уақыты келді.
Мысалда екі емес, үш функцияның туындысын көрсету сирек емес. Үш көбейтіндінің туындысын қалай табуға болады?

4-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Алдымен қарастырайық, үш функцияның көбейтіндісін екі функцияның көбейтіндісіне айналдыруға бола ма? Мысалы, егер көбейтіндіде екі көпмүше болса, онда жақшаларды аша аламыз. Бірақ қарастырылып отырған мысалда барлық функциялар әртүрлі: дәреже, көрсеткіш және логарифм.

Мұндай жағдайларда қажет ретіменөнімді саралау ережесін қолданыңыз екі рет

Оның айласы мынада: «y» арқылы біз екі функцияның туындысын белгілейміз: , ал «ve» арқылы логарифмді белгілейміз: . Неліктен мұны істеуге болады? Шынымен солай ма – бұл екі фактордың туындысы емес және ереже жұмыс істемейді?! Күрделі ештеңе жоқ:

Енді ережені екінші рет қолдану қалды жақшаға:

Сіз сондай-ақ бұралып, жақшалардан бірдеңе қоюға болады, бірақ бұл жағдайда жауапты дәл осы пішінде қалдырған дұрыс - тексеру оңайырақ болады.

Қарастырылған мысалды екінші жолмен шешуге болады:

Екі шешім де абсолютті эквивалент.

5-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл тәуелсіз шешімнің мысалы, үлгіде ол бірінші әдіс арқылы шешіледі.

Бөлшектермен ұқсас мысалдарды қарастырайық.

6-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда барудың бірнеше жолы бар:

Немесе келесідей:

Бірақ егер алдымен бөліндіні дифференциалдау ережесін қолдансақ, шешім ықшамырақ жазылады , бүкіл алым үшін:

Негізінде, мысал шешілді, егер ол сол күйінде қалдырылса, ол қате болмайды. Бірақ егер сізде уақыт болса, жауапты оңайлатуға болатынын білу үшін әрқашан жобаны тексерген жөн бе? Алым өрнекті ортақ бөлімге келтірейік және үш қабатты бөлшектен арылайық:

Қосымша жеңілдетулердің кемшілігі - туындыны табу кезінде емес, мектептегі банальды түрлендірулер кезінде қателесу қаупі бар. Екінші жағынан, мұғалімдер көбінесе тапсырманы қабылдамайды және туындыны «еске түсіруді» сұрайды.

Өз бетіңізше шешуге қарапайым мысал:

7-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Біз туындыны табу әдістерін меңгеруді жалғастырамыз, енді дифференциалдау үшін «қорқынышты» логарифм ұсынылған кездегі типтік жағдайды қарастырамыз.

8-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда күрделі функцияны саралау ережесін қолдана отырып, ұзақ жол жүруге болады:

Бірақ ең бірінші қадам сізді бірден үмітсіздікке душар етеді - жағымсыз туындыны бөлшек дәрежеден, содан кейін бөлшектен алу керек.

Сондықтан бұрын«Күрделі» логарифмнің туындысын қалай алуға болады, ол алдымен белгілі мектеп қасиеттерін пайдаланып оңайлатылады:

! Қолыңызда жаттығу дәптері болса, осы формулаларды тікелей сол жерге көшіріңіз. Егер сізде дәптер болмаса, оларды қағазға көшіріңіз, өйткені сабақтың қалған мысалдары осы формулалардың айналасында болады.

Шешімнің өзін келесідей жазуға болады:

Функцияны түрлендірейік:

Туындыны табу:

Функцияны алдын ала түрлендірудің өзі шешімді айтарлықтай жеңілдетті. Осылайша, дифференциация үшін ұқсас логарифм ұсынылған кезде, оны әрқашан «бөліп тастау» ұсынылады.

Енді өзіңіз шешуге болатын бірнеше қарапайым мысал:

9-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

10-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Барлық түрлендірулер мен жауаптар сабақтың соңында.

Логарифмдік туынды

Егер логарифмдердің туындысы осындай тәтті музыка болса, онда сұрақ туындайды: кейбір жағдайларда логарифмді жасанды түрде ұйымдастыруға болады ма? Болады! Және тіпті қажет.

11-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Жақында біз ұқсас мысалдарды қарастырдық. Не істеу? Бөліндіні дифференциалдау ережесін, содан кейін көбейтіндіні дифференциалдау ережесін ретімен қолдануға болады. Бұл әдістің кемшілігі - сіз үш қабатты үлкен фракцияға ие боласыз, онымен мүлдем айналысқыңыз келмейді.

Бірақ теория мен тәжірибеде логарифмдік туынды сияқты керемет нәрсе бар. Логарифмдерді екі жағынан «ілу» арқылы жасанды түрде ұйымдастыруға болады:

Ескерту : өйткені функция теріс мәндерді қабылдауы мүмкін, содан кейін, жалпы айтқанда, модульдерді пайдалану керек: , ол дифференциация нәтижесінде жойылады. Дегенмен, қазіргі дизайн да қолайлы, мұнда әдепкі бойынша ол ескеріледі кешенмағыналары. Бірақ егер қатаң болса, онда екі жағдайда да ескертпе жасау керек.

Енді оң жақтың логарифмін мүмкіндігінше «ыдырату» керек (формулалар көз алдыңызда?). Мен бұл процесті егжей-тегжейлі сипаттаймын:

Дифференциациядан бастайық.
Екі бөлікті де негізгі нүктемен аяқтаймыз:

Оң жақтың туындысы өте қарапайым, мен оған түсініктеме бермеймін, өйткені егер сіз осы мәтінді оқып жатсаңыз, оны сенімді түрде өңдеуіңіз керек.

Сол жағы ше?

Сол жағында бізде күрделі функция. Мен: «Неге, логарифмнің астында бір «Y» әрпі бар ма?» деген сұрақты алдын ала білемін.

Бұл «бір әріп ойыны» - ӨЗІ ФУНКЦИЯ(егер ол өте анық болмаса, жанама түрде көрсетілген функцияның туындысы мақаласын қараңыз). Демек, логарифм сыртқы функция, ал «y» ішкі функция. Ал күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережені қолданамыз :

Сол жағында, сиқырлы сияқты, бізде туынды бар. Әрі қарай, пропорция ережесіне сәйкес, біз «y» таңбасын сол жақтың бөлгішінен оң жақтың жоғарғы жағына ауыстырамыз:

Ал енді дифференциация кезінде қандай «ойыншы» функциясы туралы айтқанымызды еске түсірейік? Шартты қарастырайық:

Соңғы жауап:

12-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Осы үлгідегі үлгі дизайны сабақтың соңында берілген.

Логарифмдік туындының көмегімен № 4-7 мысалдардың кез келгенін шешуге болады, тағы бір нәрсе, ондағы функциялар қарапайым және, мүмкін, логарифмдік туындыны қолдану өте дұрыс емес.

Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысы

Біз бұл функцияны әлі қарастырған жоқпыз. Дәрежелік-көрсеткіштік функция - бұл функция дәрежесі де, базасы да «х»-қа тәуелді. Кез келген оқулықта немесе дәрісте сізге берілетін классикалық мысал:

Дәрежелік-көрсеткіштік функцияның туындысын қалай табуға болады?

Жаңа ғана талқыланған әдістемені - логарифмдік туындыны қолдану қажет. Логарифмдерді екі жағына іліп қоямыз:

Әдетте, оң жақта логарифмнің астынан градус алынады:

Нәтижесінде оң жақта стандартты формула бойынша сараланған екі функцияның туындысы бар. .

Біз туындыны табамыз; ол үшін екі бөлікті штрихтар астына қосамыз:

Қосымша әрекеттер қарапайым:

Соңында:

Егер қандай да бір түрлендіру толық түсініксіз болса, №11 мысалдың түсіндірмелерін мұқият оқып шығыңыз.

Практикалық тапсырмаларда қуат-көрсеткіштік функция әрқашан қарастырылған дәріс үлгісіне қарағанда күрделірек болады.

13-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Логарифмдік туындыны қолданамыз.

Оң жақта тұрақты шама және екі фактордың көбейтіндісі бар - «x» және «х логарифмінің логарифмі» (басқа логарифм логарифм астында орналасқан). Дифференциалдау кезінде, есімізде қалғандай, тұрақтыны бірден туынды таңбадан шығарған дұрыс, ол кедергі жасамас үшін; және, әрине, біз таныс ережені қолданамыз :

Бұл сабақта біз қалай табуға болатынын білеміз күрделі функцияның туындысы. Сабақ – сабақтың логикалық жалғасы Туындыны қалай табуға болады?, онда біз ең қарапайым туындыларды қарастырдық, сонымен қатар дифференциалдау ережелерімен және туындыларды табудың кейбір техникалық әдістерімен таныстық. Осылайша, егер сіз функциялардың туындыларын жақсы білмесеңіз немесе осы мақаланың кейбір тармақтары толығымен түсініксіз болса, алдымен жоғарыдағы сабақты оқып шығыңыз. Маңызды көңіл-күйге ие болыңыз - материал қарапайым емес, бірақ мен оны қарапайым және түсінікті етіп көрсетуге тырысамын.

Практикада күрделі функцияның туындысымен өте жиі айналысуға тура келеді, тіпті туындыларды табу тапсырмалары берілгенде дерлік дерлік дер едім.

Күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережедегі кестені (No5) қарастырамыз:

Оны анықтап көрейік. Ең алдымен, жазбаға назар аударайық. Мұнда бізде екі функция бар - және , және функция бейнелі түрде функцияның ішінде кірістірілген. Бұл түрдегі функция (бір функция басқа функцияның ішіне кірістірілгенде) күрделі функция деп аталады.

Мен функцияны шақырамын сыртқы функция, және функциясы – ішкі (немесе кірістірілген) функция.

! Бұл анықтамалар теориялық емес және тапсырмаларды түпкілікті ресімдеуде көрсетілмеуі керек. Мен «сыртқы функция», «ішкі» функция сияқты бейресми өрнектерді материалды түсінуді жеңілдету үшін ғана қолданамын.

Жағдайды түсіндіру үшін мыналарды қарастырыңыз:

1-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Синус астында бізде «Х» әрпі ғана емес, тұтас өрнек бар, сондықтан туындыны кестеден бірден табу жұмыс істемейді. Мұнда алғашқы төрт ережені қолдану мүмкін емес екенін байқаймыз, айырмашылық бар сияқты, бірақ синусын «бөлшектерге бөлуге» болмайды:

Бұл мысалда функцияның күрделі функция, ал көпмүшеліктің ішкі функция (енгізу) және сыртқы функция екендігі менің түсініктемелерімнен интуитивті түрде анық болды.

Алғашқы қадамкүрделі функцияның туындысын табу үшін не істеу керек Қандай функция ішкі, қайсысы сыртқы екенін түсіну.

Қарапайым мысалдарда көпмүше синусының астына енгізілгені анық көрінеді. Бірақ бәрі анық болмаса ше? Қандай функция сыртқы, қайсысы ішкі екенін қалай дәл анықтауға болады? Ол үшін мен ойша немесе жобада жасауға болатын келесі әдістемені қолдануды ұсынамын.

Калькулятордағы өрнектің мәнін есептеу керек деп елестетіп көрейік (бір санның орнына кез келген сан болуы мүмкін).

Алдымен нені есептейміз? Бірінші кезектекелесі әрекетті орындау керек: , сондықтан көпмүше ішкі функция болады:

Екіншідентабу керек, сондықтан синус – сыртқы функция болады:

Бізден кейін САТЫЛҒАНІшкі және сыртқы функциялармен күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолдану уақыты келді.

Шешім қабылдауды бастайық. Сыныптан Туындыны қалай табуға болады?Кез келген туынды шешімнің дизайны әрқашан осылай басталатынын есте ұстаймыз - біз өрнекті жақшаға алып, жоғарғы оң жаққа штрих қоямыз:

Алғашқыдасыртқы функцияның (синус) туындысын табамыз, элементар функциялардың туындылары кестесін қарап, . Барлық кесте формулалары «x» күрделі өрнекпен ауыстырылса да қолданылады, бұл жағдайда:

Ішкі функцияны ескеріңіз өзгерген жоқ, біз оған тиіспейміз.

Ал, бұл анық

Формуланы қолданудың соңғы нәтижесі келесідей болады:

Тұрақты көбейткіш әдетте өрнектің басында орналасады:

Түсінбеушілік болса, шешімді қағазға жазып, түсініктемелерді қайта оқыңыз.

2-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

3-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Әдеттегідей, біз жазамыз:

Бізде қай жерде сыртқы функция бар, ал қай жерде ішкі функция бар екенін анықтайық. Ол үшін өрнектің мәнін (ойша немесе жобада) есептеуге тырысамыз. Алдымен не істеу керек? Ең алдымен, негіз неге тең екенін есептеу керек: сондықтан көпмүше ішкі функция болып табылады:

Сонда ғана дәреже көрсеткіші орындалады, демек, дәреже функциясы сыртқы функция болып табылады:

Формула бойынша алдымен сыртқы функцияның туындысын, бұл жағдайда дәрежесін табу керек. Қажетті формуланы кестеден іздейміз: . Тағы да қайталаймыз: кез келген кестелік формула тек «X» үшін ғана емес, күрделі өрнек үшін де жарамды. Осылайша, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданудың нәтижесі келесідей болады:

Мен сыртқы функцияның туындысын алған кезде біздің ішкі функциямыз өзгермейтінін тағы да атап өтемін:

Енді ішкі функцияның өте қарапайым туындысын табу және нәтижені сәл бұрмалау ғана қалады:

4-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап беру).

Күрделі функцияның туындысы туралы түсінігіңді бекіту үшін мен түсініктемесіз мысал келтіремін, оны өз бетінше анықтауға тырысамын, себебі сыртқы және ішкі функция қайда, неге тапсырмалар осылай шешіледі?

5-мысал

а) Функцияның туындысын табыңыз

б) Функцияның туындысын табыңыз

6-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда бізде түбір бар, ал түбірді ажырату үшін оны қуат ретінде көрсету керек. Осылайша, алдымен функцияны дифференциалдау үшін қолайлы пішінге келтіреміз:

Функцияны талдай отырып, үш мүшенің қосындысы ішкі функция, ал дәрежеге көтеру сыртқы функция деген қорытындыға келеміз. Күрделі функцияларды дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Біз қайтадан дәрежені радикал (түбір) ретінде көрсетеміз және ішкі функцияның туындысы үшін қосындыны дифференциалдаудың қарапайым ережесін қолданамыз:

Дайын. Сондай-ақ, өрнекті жақшадағы ортақ бөлгішке дейін азайтып, барлығын бір бөлшек түрінде жазуға болады. Бұл, әрине, әдемі, бірақ сіз ұзақ мерзімді туындыларды алған кезде мұны жасамағаныңыз жөн (шатастыру оңай, қажетсіз қателік жіберіңіз және мұғалімге тексеру ыңғайсыз болады).

7-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап беру).

Бір қызығы, кейде күрделі функцияны дифференциалдау ережесінің орнына бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады. , бірақ мұндай шешім күлкілі бұрмалау сияқты болады. Міне, әдеттегі мысал:

8-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Мұнда бөлімді дифференциалдау ережесін қолдануға болады , бірақ күрделі функцияны дифференциалдау ережесі арқылы туындыны табу әлдеқайда тиімді:

Функцияны дифференциалдау үшін дайындаймыз - минусты туынды таңбадан шығарып, косинусты алымға көтереміз:

Косинус ішкі функция, дәрежеге шығару сыртқы функция.
Ережемізді қолданайық:

Ішкі функцияның туындысын табамыз және косинусты қайтадан төмендетеміз:

Дайын. Қарастырылған мысалда белгілерде шатастырмау маңызды. Айтпақшы, оны ережені пайдаланып шешуге тырысыңыз , жауаптары сәйкес болуы керек.

9-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Бұл сізге өзіңіз шешуге арналған мысал (сабақ соңында жауап беру).

Осы уақытқа дейін бізде күрделі функцияда бір ғана ұя болған жағдайларды қарастырдық. Практикалық тапсырмаларда сіз көбінесе туындыларды таба аласыз, оларда ұя салатын қуыршақтар сияқты бірінің ішінде бірінің ішінде 3 немесе тіпті 4-5 функция бірден кірістірілген.

10-мысал

Функцияның туындысын табыңыз

Осы функцияның қосымшаларын түсінейік. Эксперименттік мәнді пайдаланып өрнекті есептеп көрейік. Калькуляторға қалай сенер едік?

Алдымен сіз оны табуыңыз керек, бұл доғаның ең терең кірістіру екенін білдіреді:

Бірдің бұл доғасының квадраты болуы керек:

Соңында біз жеті күшке көтереміз:

Яғни, бұл мысалда бізде үш түрлі функция және екі кірістіру бар, ал ішкі функция - доға синусы, ал ең сыртқы функция - көрсеткіштік функция.

Шешім қабылдауды бастайық

Ережеге сәйкес, алдымен сыртқы функцияның туындысын алу керек. Туындылар кестесін қарап, көрсеткіштік функцияның туындысын табамыз: Жалғыз айырмашылығы – «x» орнына күрделі өрнек бар, бұл формуланың дұрыстығын жоққа шығармайды. Сонымен, күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданудың нәтижесі келесідей болады:

Инсульт астында бізде қайтадан күрделі функция бар! Бірақ бұл қазірдің өзінде қарапайым. Ішкі функция - доға синусы, сыртқы функция - дәреже екенін тексеру оңай. Күрделі функцияны дифференциалдау ережесіне сәйкес, алдымен дәреженің туындысын алу керек.

Сіз мұнда келгеннен бері бұл формуланы оқулықтан көрген шығарсыз

және келесідей бет жасаңыз:

Досым, уайымдама! Шын мәнінде, бәрі жай ғана шектен шыққан. Сіз міндетті түрде бәрін түсінесіз. Бір ғана өтініш - мақаланы оқыңыз баяу, әр қадамды түсінуге тырысыңыз. Мен мүмкіндігінше қарапайым және анық жаздым, бірақ сіз әлі де идеяны түсінуіңіз керек. Мақаланың тапсырмаларын міндетті түрде шешіңіз.

Күрделі функция дегеніміз не?

Сіз басқа пәтерге көшіп жатырсыз деп елестетіп көріңіз, сондықтан заттарды үлкен қораптарға салып жатырсыз. Сізге шағын заттарды жинау керек делік, мысалы, мектептегі жазу материалдары. Егер сіз оларды үлкен қорапқа тастасаңыз, олар басқа заттардың арасында жоғалады. Бұған жол бермеу үшін алдымен оларды, мысалы, сөмкеге салыңыз, содан кейін оны үлкен қорапқа саласыз, содан кейін оны мөрлейсіз. Бұл «күрделі» процесс төмендегі диаграммада берілген:

Математиканың бұған қандай қатысы бар сияқты? Иә, күрделі функция ДӘЛ ОСЫНДАЙ жолмен жасалғанына қарамастан! Тек біз дәптерлер мен қаламдарды емес, \(x\) «ораймыз», ал «бумалар» мен «қораптар» әртүрлі.

Мысалы, x алайық және оны функцияға «буып» алайық:

Нәтижесінде біз, әрине, \(\cos⁡x\) аламыз. Бұл біздің «заттар қоржынымыз». Енді оны «қорапқа» салайық - мысалы, текше функцияға салыңыз.

Соңында не болады? Иә, дұрыс, «қораптағы заттар қапшығы», яғни «X кубының косинусы» болады.

Алынған дизайн күрделі функция болып табылады. Оның қарапайымнан айырмашылығы сол БІРІНШЕ «әсер ету» (пакеттер) қатарынан бір X үшін қолданыладыжәне «функциядан функция» - «қаптамадағы орау» сияқты болып шығады.

Мектеп курсында бұл «пакеттердің» түрі өте аз, тек төртеуі бар:

Енді Х-ны алдымен 7 негізі бар экспоненциалды функцияға, содан кейін тригонометриялық функцияға «ораймыз». Біз алып жатырмыз:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Енді x-ті тригонометриялық функцияларға екі рет «буып» алайық, алдымен ішіне, содан кейін:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Қарапайым, солай ма?

Енді функцияларды өзіңіз жазыңыз, мұнда x:
- алдымен ол косинусқа, содан кейін \(3\) негізі бар экспоненциалды функцияға “оралады”;
- алдымен бесінші дәрежеге, содан кейін жанамаға;
- алдымен логарифмге дейін \(4\) негізі , содан кейін \(-2\) қуатына.

Бұл тапсырманың жауаптарын мақаланың соңында табыңыз.

Біз X екі емес, үш рет «орауға» бола аламыз ба? Проблема жоқ! Және төрт, бес және жиырма бес рет. Мұнда, мысалы, х мәні \(4\) рет "бумаланған" функция:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Бірақ мұндай формулалар мектеп тәжірибесінде кездеспейді (оқушылар бақыттырақ – олардыкі күрделірек болуы мүмкін☺).

Күрделі функцияны «ораудан шығару».

Алдыңғы функцияны қайта қараңыз. Сіз «орау» ретін анықтай аласыз ба? Алдымен не X толтырылды, содан кейін не және т.б. соңына дейін. Яғни, қай функцияның ішінде кірістірілген? Бір парақ алып, өз ойларыңызды жазыңыз. Мұны жоғарыда жазғанымыздай көрсеткілері бар тізбекпен немесе кез келген басқа жолмен жасауға болады.

Енді дұрыс жауап: алдымен x \(4\)-ші дәрежеге "оралған", содан кейін нәтиже синусқа оралған, ол өз кезегінде логарифмге \(2\) негізіне орналастырылған. , және соңында бұл бүкіл құрылыс қуатты бестікке толтырылды.

Яғни, ретті КЕРІ ТӘРТІПпен босату керек. Мұны қалай оңай орындау керектігі туралы кеңес: бірден X-ге қараңыз - сіз одан билеуіңіз керек. Бірнеше мысалды қарастырайық.

Мысалы, мына функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Біз X-ке қараймыз - алдымен оған не болады? Одан алынған. Ал содан кейін? Нәтиженің тангенсі алынады. Бұл реттілік бірдей болады:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Басқа мысал: \(y=\cos⁡((x^3))\). Талдап көрейік - алдымен X-ті текшелеп, содан кейін нәтиженің косинусын алдық. Бұл реттілік келесідей болатынын білдіреді: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Назар аударыңыз, функция біріншіге ұқсас сияқты (суреттері бар). Бірақ бұл мүлде басқа функция: мұнда текшеде x (яғни, \(\cos⁡((x·x·x)))\), ал текшеде косинус \(x\) ( яғни \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Бұл айырмашылық әртүрлі «орау» реттіліктерінен туындайды.

Соңғы мысал (онда маңызды ақпарат бар): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Мұнда олар алдымен х-пен арифметикалық амалдар жасағаны, содан кейін нәтиженің синусын қабылдағаны анық: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Және бұл маңызды сәт: арифметикалық амалдар өздігінен функция емес екеніне қарамастан, мұнда олар «орау» әдісі ретінде де әрекет етеді. Осы нәзіктікке сәл тереңірек үңілейік.

Жоғарыда айтқанымдай, қарапайым функцияларда x бір рет, ал күрделі функцияларда екі немесе одан да көп болады. Оның үстіне қарапайым функциялардың кез келген комбинациясы (яғни, олардың қосындысы, айырмасы, көбейту немесе бөлу) да қарапайым функция болып табылады. Мысалы, \(x^7\) қарапайым функция және \(ctg x\) сияқты. Бұл олардың барлық комбинациялары қарапайым функциялар екенін білдіреді:

\(x^7+ ctg x\) - қарапайым,
\(x^7· кереует x\) – қарапайым,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – қарапайым, т.б.

Алайда, егер мұндай комбинацияға тағы бір функция қолданылса, ол күрделі функцияға айналады, өйткені екі «бума» болады. Диаграмманы қараңыз:

Жарайды, қазір жүр. «Орау» функцияларының тізбегін жазыңыз:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Жауаптар тағы да мақаланың соңында.

Ішкі және сыртқы функциялары

Неліктен біз функцияларды ұялауды түсінуіміз керек? Бұл бізге не береді? Өйткені, мұндай талдаусыз біз жоғарыда қарастырылған функциялардың туындыларын сенімді түрде таба алмаймыз.

Ал әрі қарай жүру үшін бізге тағы екі ұғым қажет: ішкі және сыртқы функциялар. Бұл өте қарапайым нәрсе, оның үстіне, біз оларды жоғарыда талдадық: егер біз ең басында ұқсастығымызды еске түсірсек, онда ішкі функция «бума», ал сыртқы функция «қорап». Анау. Біріншіден X «оралған» ішкі функция, ал ішкі функция «оралған» сыртқы болып табылады. Неге екені түсінікті - ол сыртта, бұл сыртқы дегенді білдіреді.

Бұл мысалда: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) функциясы ішкі және
- сыртқы.

Және бұл жерде: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ішкі, және
- сыртқы.

Күрделі функцияларды талдаудың соңғы тәжірибесін аяқтаңыз және соңында бәріміз бастаған нәрсеге көшейік - біз күрделі функциялардың туындыларын табамыз:

Кестедегі бос орындарды толтырыңыз:

Күрделі функцияның туындысы

Браво, біз ақыры осы тақырыптың «бастығына» жеттік - шын мәнінде, күрделі функцияның туындысы, атап айтқанда, мақаланың басынан бері өте қорқынышты формулаға.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Бұл формула келесідей оқылады:

Күрделі функцияның туындысы тұрақты ішкі функцияға қатысты сыртқы функцияның туындысы мен ішкі функцияның туындысына тең.

Не екенін түсіну үшін бірден «сөзбен сөз» талдау диаграммасына қараңыз:

«Туынды» және «өнім» терминдері ешқандай қиындық тудырмайды деп үміттенемін. «Күрделі функция» - біз оны сұрыптадық. Ұстау «тұрақты ішкі функцияға қатысты сыртқы функцияның туындысында». Бұл не?

Жауап: Бұл сыртқы функцияның әдеттегі туындысы, онда тек сыртқы функция өзгереді, ал ішкі функциясы өзгеріссіз қалады. Әлі анық емес пе? Жарайды, мысал келтірейік.

\(y=\sin⁡(x^3)\) функциясын алайық. Мұндағы ішкі функция \(x^3\), ал сыртқы болатыны анық
. Енді тұрақты интерьерге қатысты экстерьердің туындысын табайық.