Математикалық күтуге мысалдар. Математикалық күту – кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі. Форексте математикалық күтуді пайдалану
Дискретті ықтималдық кеңістігінде берілген X кездейсоқ шамасының математикалық күтуі (орташа мәні), егер қатар абсолютті жинақталса, m =M[X]=∑x i p i саны болып табылады.
Қызметтік тапсырма. Онлайн қызметімен математикалық күту, дисперсия және стандартты ауытқу есептеледі(мысалды қараңыз). Сонымен қатар F(X) таралу функциясының графигі салынған.
Кездейсоқ шаманың математикалық күтуінің қасиеттері
- Тұрақты шаманың математикалық күтуі өзіне тең: M[C]=C , С тұрақты;
- M=C M[X]
- Кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең: M=M[X]+M[Y]
- Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең: M=M[X] M[Y], егер X және Y тәуелсіз болса.
Дисперсиялық қасиеттер
- Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең: D(c)=0.
- Тұрақты коэффициентті дисперсия белгісінің астынан квадраттап шығаруға болады: D(k*X)= k 2 D(X).
- Егер X және Y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда қосындының дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең болады: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Егер X және Y кездейсоқ шамалары тәуелді болса: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Дисперсия үшін есептеу формуласы жарамды:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Мысал. X және Y екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың математикалық күтулері мен дисперсиялары белгілі: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Z=9X-8Y+7 кездейсоқ шамасының математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.
Шешім. Математикалық күтудің қасиеттеріне сүйене отырып: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Дисперсиялық қасиеттерге негізделген: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Математикалық күтуді есептеу алгоритмі
Дискретті кездейсоқ шамалардың қасиеттері: олардың барлық мәндерін натурал сандармен қайта нөмірлеуге болады; Әрбір мәнге нөлдік емес ықтималдықты тағайындаңыз.- Жұптарды бір-бірден көбейтіңіз: x i арқылы p i .
- Әрбір жұптың көбейтіндісін қосамыз x i p i .
Мысалы, n = 4 үшін: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
№1 мысал.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| пи | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математикалық күту m = ∑x i p i формуласы бойынша табылады.
Математикалық күту M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Дисперсия d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 формуласы бойынша табылады.
Дисперсия D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандартты ауытқу σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
№2 мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың келесі таралу қатары болады:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| Р | А | 0,32 | 2а | 0,41 | 0,03 |
Шешім. a мәні мына қатынастан табылады: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 немесе 0,24=3 a , мұндағы a = 0,08
№3 мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңын анықтаңыз, егер оның дисперсиясы белгілі болса және x 1
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Шешім.
Мұнда d (x) дисперсиясын табу формуласын жасау керек:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
мұндағы күту m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Біздің деректеріміз үшін
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1х 3) 2
немесе -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Сәйкесінше, теңдеудің түбірлерін табу керек және олардың екеуі болады.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
x 1 шартын қанағаттандыратынды таңдаймыз
Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
Шешімі:
6.1.2 Күтілетін қасиеттер
1. Тұрақты шаманың математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең.
2. Күту белгісінен тұрақты факторды шығаруға болады. 
3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең.
Бұл қасиет кездейсоқ шамалардың ерікті саны үшін жарамды.
4. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтуі терминдердің математикалық күтулерінің қосындысына тең.
Бұл қасиет кездейсоқ шамалардың ерікті саны үшін де дұрыс.
Мысалы: M(X) = 5, M(Y)= 2. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін табыңыз З, математикалық күтудің қасиеттерін қолдану, егер ол белгілі болса Z=2X + 3Y.
Шешімі: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) қосындының математикалық күтуі математикалық күтулердің қосындысына тең
2) тұрақты факторды күту белгісінен шығаруға болады
n тәуелсіз сынақ орындалсын, А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p-ке тең. Сонда келесі теорема орындалады:
Теорема. n тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санының M(X) математикалық күтуі сынақтар саны мен әрбір сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығының көбейтіндісіне тең.
6.1.3 Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы
Математикалық күту кездейсоқ процесті толық сипаттай алмайды. Математикалық күтуден басқа кездейсоқ шама мәндерінің математикалық күтуден ауытқуын сипаттайтын мәнді енгізу қажет.
Бұл ауытқу кездейсоқ шама мен оның математикалық күтуінің айырмашылығына тең. Бұл жағдайда ауытқудың математикалық күтуі нөлге тең болады. Бұл кейбір мүмкін ауытқулардың оң, басқаларының теріс болуымен түсіндіріледі және олардың өзара жойылуы нәтижесінде нөл алынады.
Дисперсия (шашырау)Дискретті кездейсоқ шама кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен квадраттық ауытқуының математикалық күтуі деп аталады.
Іс жүзінде дисперсияны есептеудің бұл әдісі ыңғайсыз, өйткені кездейсоқ шама мәндерінің көп саны үшін қиын есептеулерге әкеледі.
Сондықтан басқа әдіс қолданылады.
Теорема. Дисперсия Х кездейсоқ шамасының квадратының математикалық күтуі мен оның математикалық күтуінің квадратының арасындағы айырмаға тең..
Дәлелдеу. М (Х) математикалық күту мен M 2 (Х) математикалық күтудің квадраты тұрақты мәндер екенін ескере отырып, мынаны жазуға болады:
Мысал. Бөлу заңымен берілген дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңыз.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| Р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Шешімі: .
6.1.4 Дисперсиялық қасиеттер
1. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең. .
2. Тұрақты факторды квадраттау арқылы дисперсия белгісінен шығаруға болады. 
.
3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шама қосындысының дисперсиясы осы айнымалылардың дисперсияларының қосындысына тең. .
4. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың айырмасының дисперсиясы осы айнымалылардың дисперсияларының қосындысына тең. .
Теорема. Әрқайсысында оқиғаның пайда болу ықтималдығы p тұрақты болатын n тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санының дисперсиясы сынақтар саны мен пайда болу және болмау ықтималдығының көбейтіндісіне тең. әрбір сынақтағы оқиға.
Мысал: DSV X дисперсиясын табыңыз - 2 тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санын, егер осы сынақтардағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы бірдей болса және M(X) = 1,2 екені белгілі болса.
6.1.2-бөлімдегі теореманы қолданамыз:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Табыңыз б:
1,2 = 2∙б
б = 1,2/2
q = 1 – б = 1 – 0,6 = 0,4
Дисперсияны формула бойынша табайық:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Дискретті кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы
Стандартты ауытқу X кездейсоқ шама дисперсияның квадрат түбірі деп аталады.
(25)
Теорема. Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың соңғы санының қосындысының стандартты ауытқуы осы айнымалылардың квадраттық стандартты ауытқуларының қосындысының квадрат түбіріне тең.
6.1.6 Дискретті кездейсоқ шаманың модасы мен медианасы
Сән M немесе DSVкездейсоқ шаманың ең ықтимал мәні деп аталады (яғни, ықтималдығы ең жоғары мән)
Медиана M e DSWтаралу қатарын екіге бөлетін кездейсоқ шаманың мәні. Егер кездейсоқ шаманың мәндерінің саны жұп болса, онда медиана екі орташа мәннің арифметикалық ортасы ретінде табылады.
Мысал: DSW режимі мен медианасын табыңыз X:
| X | ||||
| б | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Мен = = 5,5
Прогресс
1. Осы жұмыстың теориялық бөлімімен (дәріс, оқулық) танысыңыз.
2. Таңдауыңыз бойынша тапсырманы орындаңыз.
3. Жұмыс бойынша есеп құрастыру.
4. Жұмысыңызды қорғаңыз.
2. Жұмыстың мақсаты.
3. Жұмыстың барысы.
4. Сіздің нұсқаңыздың шешімі.
6.4 Өзіндік жұмыс тапсырмаларының нұсқалары
№1 нұсқа
1. Таралу заңымен берілген DSV X математикалық күтуін, дисперсиясын, стандартты ауытқуын, модасын және медианасын табыңыз.
| X | ||||
| П | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Кездейсоқ Z шамасының математикалық күтуін табыңыз, егер X және Y математикалық күтулері белгілі болса: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. DSV X дисперсиясын табыңыз - екі тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санын, егер осы сынақтардағы оқиғалардың пайда болу ықтималдықтары бірдей болса және М (Х) = 1 екені белгілі болса.
4. Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің тізімі берілген X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5, ал бұл шаманың және оның квадратының математикалық күтулері де белгілі: , . Мүмкін мәндерге сәйкес , , , ықтималдықтарын тауып, DSW таралу заңын құрастырыңыз.
№2 нұсқа
| X | ||||
| П | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Кездейсоқ Z шамасының математикалық күтуін табыңыз, егер X және Y математикалық күтулері белгілі болса: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. DSV X дисперсиясын табыңыз - үш тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санын, егер осы сынақтардағы оқиғалардың пайда болу ықтималдығы бірдей болса және М (Х) = 0,9 екені белгілі болса.
4. Х дискретті кездейсоқ шамасының мүмкін мәндерінің тізімі берілген: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10, ал бұл шама мен оның квадратының математикалық күтулері де белгілі: , . Мүмкін мәндерге сәйкес , , , ықтималдықтарын тауып, DSW таралу заңын құрастырыңыз.
№3 нұсқа
1. Таралу заңымен берілген DSV X математикалық күтуін, дисперсиясын және стандартты ауытқуын табыңыз.
| X | ||||
| П | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Кездейсоқ Z шамасының математикалық күтуін табыңыз, егер X және Y математикалық күтулері белгілі болса: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. DSV X дисперсиясын табыңыз - төрт тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санын, егер осы сынақтардағы оқиғалардың пайда болу ықтималдығы бірдей болса және М (х) = 1,2 екені белгілі болса.
- 10 жаңа туған нәрестенің арасындағы ұлдар саны.
Бұл санның алдын ала белгісіз екені анық, ал келесі он баланың ішінде мыналар болуы мүмкін:
Немесе ұлдар - жалғыз және жалғызтізімделген опциялардың ішінен.
Ал пішінді сақтау үшін аздап дене тәрбиесі:
- ұзындыққа секіру қашықтығы (кейбір бірліктерде).
Оны тіпті спорт шебері де болжай алмайды :)
Дегенмен, сіздің гипотезаңыз қандай?
2) Үздіксіз кездейсоқ шама – қабылдайды Барлықкейбір соңғы немесе шексіз диапазондағы сандық мәндер.
Ескерту : DSV және NSV аббревиатуралары оқу әдебиетінде танымал
Алдымен дискретті кездейсоқ шаманы талдаймыз, содан кейін - үздіксіз.
Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы
- Бұл хат алмасуосы шаманың мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтары арасында. Көбінесе заң кестеде жазылады: 
Термин өте кең таралған қатар
тарату, бірақ кейбір жағдайларда бұл екіұшты естіледі, сондықтан мен «заңды» ұстанамын.
Ал енді өте маңызды нүкте: кездейсоқ шама болғандықтан Міндетті түрдеқабылдайды құндылықтардың бірі, содан кейін сәйкес оқиғалар пайда болады толық топжәне олардың пайда болу ықтималдығының қосындысы біреуге тең:
немесе бүктелген болса:
Мысалы, штамптағы нүктелердің ықтималдықтарының таралу заңы келесі формада болады: 
Түсіндірмесіз.
Сіз дискретті кездейсоқ шама тек «жақсы» бүтін мәндерді қабылдай алады деген әсерде болуыңыз мүмкін. Иллюзияны жойайық - олар кез келген болуы мүмкін:
1-мысал
Кейбір ойындарда келесі төлемді бөлу заңы бар: 
…бәлкім, сіз мұндай тапсырмаларды көптен бері армандаған боларсыз :) Сізге бір құпияны айтайын – мен де. Әсіресе жұмысты аяқтағаннан кейін өріс теориясы.
Шешім: кездейсоқ шама үш мәннің біреуін ғана қабылдай алатындықтан, сәйкес оқиғалар пайда болады толық топ, бұл олардың ықтималдықтарының қосындысы біреуге тең екенін білдіреді: 
Біз «партизанды» ашамыз: 
– осылайша, шартты бірліктерді ұту ықтималдығы 0,4.
Бақылау: нені тексеру керек.
Жауап:
Бөлу заңын дербес құрастыру қажет болған кезде сирек емес. Осы пайдалану үшін ықтималдықтың классикалық анықтамасы, оқиға ықтималдықтары үшін көбейту/қосу теоремаларыжәне басқа чиптер тервера:
2-мысал
Қорапта 50 лотерея билеті бар, оның 12-сі ұтыс, ал оның 2-і әрқайсысы 1000 рубльден, ал қалғандары 100 рубльден ұтып алады. Кездейсоқ шаманың таралу заңын құрастырыңыз – егер қораптан бір билет кездейсоқ шығарылса, ұтыс мөлшері.
Шешім: байқағаныңыздай, кездейсоқ шаманың мәндерін орналастыру әдеттегідей өсу реті. Сондықтан біз ең аз ұтыстардан, атап айтқанда рубльден бастаймыз.
Барлығы 50 - 12 = 38 осындай билеттер бар және сәйкес классикалық анықтама:
кездейсоқ ұтыс билетінің ұтылмауы ықтималдығы.
Қалған жағдайлар қарапайым. Рубльді ұту ықтималдығы:
Тексеру: - Бұл осындай тапсырмалардың ерекше жағымды сәті!
Жауап: талап етілетін төлемді бөлу заңы: 
Тәуелсіз шешім қабылдау үшін келесі тапсырма:
3-мысал
Атқыштың нысанаға тию ықтималдығы . Кездейсоқ шама үшін бөлу заңын жасаңыз - 2 атудан кейінгі соққылар саны.
... Сенің оны сағынғаныңды білдім :) Есімізде көбейту және қосу теоремалары. Сабақ соңында шешу және жауап беру.
Бөлу заңы кездейсоқ шаманы толығымен сипаттайды, бірақ іс жүзінде оның кейбірін ғана білу пайдалы (кейде пайдалырақ). сандық сипаттамалар .
Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі
Қарапайым тілмен айтқанда, бұл орташа күтілетін мәнқайталама тестілеу арқылы. Кездейсоқ шама ықтималдығы бар мәндерді алсын 
тиісінше. Сонда бұл кездейсоқ шаманың математикалық күтуі тең болады өнімдердің сомасыоның барлық мәндерін сәйкес ықтималдықтар бойынша:
немесе бүктелген түрде: 
Мысалы, кездейсоқ шаманың математикалық күтуін есептеп көрейік - сүйекке түсірілген ұпайлар саны:
Енді гипотетикалық ойынымызды еске түсірейік: 
Сұрақ туындайды: бұл ойынды ойнау тіпті тиімді ме? ... кімде қандай әсер бар? Сондықтан сіз «кездейсоқ» деп айта алмайсыз! Бірақ бұл сұраққа математикалық күтуді есептеу арқылы оңай жауап беруге болады, шын мәнінде - орташа өлшенгенжеңу ықтималдығы:
Осылайша, бұл ойынның математикалық күтуі жоғалту.
Әсерлерге сенбеңіз - сандарға сеніңіз!
Иә, бұл жерде қатарынан 10, тіпті 20-30 рет жеңіске жетуге болады, бірақ ұзақ мерзімді перспективада біз сөзсіз күйрейтін боламыз. Ал мен сізге мұндай ойындарды ойнауға кеңес бермес едім :) Жақсы, мүмкін тек Әзіл үшін.
Жоғарыда айтылғандардың барлығынан математикалық күтудің КЕЗЕКТЕГІ мән ЕМЕС екендігі шығады.
Өз бетінше ізденуге арналған шығармашылық тапсырма:
4-мысал
Мистер X еуропалық рулетканы келесі жүйе бойынша ойнайды: ол үнемі қызыл түске 100 рубль тігеді. Кездейсоқ шаманың таралу заңын құрастырыңыз – оның өтемі. Ұтыстардың математикалық үмітін есептеп, оны тиынға дейін дөңгелектеңіз. Неше орташаойыншы әрбір жүз ставка үшін ұтыла ма?
Анықтама : Еуропалық рулеткада 18 қызыл, 18 қара және 1 жасыл сектор («нөл») бар. «Қызыл» түспеген жағдайда, ойыншыға екі есе ставка төленеді, әйтпесе ол казиноның кірісіне түседі.
Сіз өзіңіздің ықтималдық кестелеріңізді жасай алатын көптеген басқа рулетка жүйелері бар. Бірақ бұл бізге тарату заңдары мен кестелерін қажет етпейтін жағдай, өйткені ойыншының математикалық күтуі дәл солай болатыны белгілі. Тек жүйеден жүйеге өзгереді
Бөлу заңы кездейсоқ шаманы толық сипаттайды. Дегенмен, тарату заңы жиі белгісіз және аз ақпаратпен шектелуге тура келеді. Кейде жалпы кездейсоқ шаманы сипаттайтын сандарды пайдалану одан да тиімдірек, мұндай сандар деп аталады сандық сипаттамаларкездейсоқ шама. Математикалық күту маңызды сандық сипаттамалардың бірі болып табылады.
Төменде көрсетілгендей математикалық күту кездейсоқ шаманың орташа мәніне шамамен тең. Көптеген есептерді шешу үшін математикалық күтуді білу жеткілікті. Мысалы, егер бірінші мергеннің жинаған ұпайлар санының математикалық күтуі екіншісінен көп екені белгілі болса, онда бірінші мерген орта есеппен екіншіден көп ұпайды нокаутқа түсіреді, демек, бірінші мергеннен де жақсы атады. екінші.
Анықтама 4.1: математикалық күтуДискретті кездейсоқ шама оның барлық мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы деп аталады.
Кездейсоқ шама болсын Xмәндерді ғана қабылдай алады x 1, x 2, … x nықтималдықтары сәйкесінше тең p 1, p 2, … p n .Содан кейін математикалық күту М(X) кездейсоқ шама Xтеңдігімен анықталады
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Егер дискретті кездейсоқ шама болса Xонда мүмкін мәндердің есептелетін жиынын қабылдайды
,
оның үстіне теңдіктің оң жағындағы қатар абсолютті жинақталса, математикалық күту бар.
Мысал.Оқиғаның қайталану санының математикалық болжамын табыңыз Абір сынақта, егер оқиғаның ықтималдығы Атең б.
Шешімі:Кездейсоқ мән X– оқиғаның орын алу саны АБернулли үлестірімі бар, сондықтан
Осылайша, бір сынақта оқиғаның пайда болу санының математикалық күтуі осы оқиғаның ықтималдығына тең.
Математикалық күтудің ықтималдық мәні
Өндірсін nкездейсоқ шама болатын сынақтар Xқабылданды м 1есе мәні x 1, м2есе мәні x2 ,…, м кесе мәні x k, және m 1 + m 2 + …+ m k = n. Содан кейін барлық қабылданған мәндердің қосындысы X, тең x 1 м 1 + x 2 м 2 + …+ x k m k .
Кездейсоқ шама қабылдаған барлық мәндердің орташа арифметикалық мәні болады
Қатынас м мен / н- салыстырмалы жиілік Wiқұндылықтар x iоқиғаның орын алу ықтималдығына шамамен тең пи, Қайда , Сондықтан
Алынған нәтиженің ықтималдық мәні келесідей: математикалық күту шамамен тең(дәлірек болған сайын сынақтар саны да көп) кездейсоқ шаманың байқалатын мәндерінің орташа арифметикалық мәні.
Күту қасиеттері
1-қасиет:Тұрақты шаманың математикалық күтуі тұрақтының өзіне тең
2-қасиет:Тұрақты факторды күту белгісінен шығаруға болады
Анықтама 4.2: Екі кездейсоқ шамашақырды тәуелсіз, егер олардың біреуінің таралу заңы басқа мән қабылдаған мүмкін болатын мәндерге байланысты болмаса. Әйтпесе кездейсоқ шамалар тәуелді.
4.3 анықтамасы: Бірнеше кездейсоқ айнымалыларшақырды өзара тәуелсіз, егер олардың кез келген санының таралу заңдары басқа шамалардың қандай мүмкін болатын мәндер қабылдағанына байланысты болмаса.
3-қасиет:Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең.
Салдары:Бірнеше өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең.
4-қасиет:Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең.
Салдары:Бірнеше кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең.
Мысал.Биномдық кездейсоқ шаманың математикалық күтуін есептеңіз X-оқиғаның болған күні АВ nэксперименттер.
Шешімі:Жалпы саны Xоқиғалардың пайда болуы Абұл сынақтарда - жеке сынақтардағы оқиғаның орын алу санының қосындысы. Біз кездейсоқ шамаларды енгіземіз X iоқиғаның қайталану саны менБернулли кездейсоқ шамалары болып табылатын математикалық күту, мұндағы тест . Математикалық күту қасиеті бойынша бізде бар
Осылайша, n және p параметрлері бар биномдық үлестірімнің орташа мәні np көбейтіндісіне тең.
Мысал.Мылтықпен ату кезінде нысанаға тию ықтималдығы p = 0,6. 10 оқ атылса, соққылардың жалпы санының математикалық болжамын табыңыз.
Шешімі:Әрбір атудағы соққы басқа кадрлардың нәтижелеріне байланысты емес, сондықтан қарастырылатын оқиғалар тәуелсіз және, тиісінше, қажетті математикалық күту.
Сондай-ақ тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар болады, олардың жауаптарын көруге болады.
Математикалық күту және дисперсия кездейсоқ шаманың ең жиі қолданылатын сандық сипаттамалары болып табылады. Олар таралудың маңызды белгілерін сипаттайды: оның орналасуы мен дисперсия дәрежесі. Математикалық күту көбінесе орташа мән деп аталады. кездейсоқ шама. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы – кездейсоқ шаманың дисперсиясының, дисперсиясының сипаттамасы оның математикалық күтуінің айналасында.
Тәжірибенің көптеген мәселелерінде кездейсоқ шаманың толық, жан-жақты сипаттамасы – таралу заңы не алынбайды, не мүлде қажет емес. Бұл жағдайларда олар сандық сипаттамаларды пайдалана отырып, кездейсоқ шаманың шамамен сипаттамасымен шектеледі.
Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі
Математикалық күту ұғымына келейік. Қандай да бір заттың массасы х осінің нүктелері арасында үлестірілсін x1 , x 2 , ..., x n. Сонымен қатар, әрбір материалдық нүкте ықтималдығымен сәйкес келетін массаға ие б1 , б 2 , ..., б n. Материалдық нүктелердің бүкіл жүйесінің орнын олардың массаларын ескере отырып сипаттайтын х осінде бір нүктені таңдау талап етіледі. Мұндай нүкте ретінде материалдық нүктелер жүйесінің массалар центрі алынуы заңды. Бұл кездейсоқ шаманың орташа алынған мәні X, онда әрбір нүктенің абсциссасы xменсәйкес ықтималдыққа тең «салмақпен» енеді. Осылайша алынған кездейсоқ шаманың орташа мәні Xоның математикалық күтуі деп аталады.
Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуі оның барлық мүмкін мәндерінің және осы мәндердің ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы болып табылады:
1-мысалҰтыс лотереясын ұйымдастырды. 1000 ұтыс бар, оның 400-і әрқайсысы 10 рубльден. Әрқайсысы 300-20 рубльден Әрқайсысы 200-100 рубль. және әрқайсысы 100 - 200 рубль. Бір билетті сатып алған адамның орташа ұтысы қанша?
Шешім. 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 рубльге тең ұтыстардың жалпы сомасы 1000-ға (ұтыстардың жалпы сомасы) бөлінсе, орташа ұтысты табамыз. Содан кейін біз 50000/1000 = 50 рубль аламыз. Бірақ орташа пайданы есептеуге арналған өрнекті келесі түрде көрсетуге болады:
Екінші жағынан, бұл шарттарда ұтыс сомасы кездейсоқ шама болып табылады, ол 10, 20, 100 және 200 рубль мәндерін қабылдай алады. сәйкесінше 0,4-ке тең ықтималдықпен; 0,3; 0,2; 0.1. Демек, күтілетін орташа рентабель өтем мөлшері мен оларды алу ықтималдығының өнімдерінің қосындысына тең.
2-мысалБаспа жаңа кітап шығаруды ұйғарды. Ол кітапты 280 сомға сатпақшы, оның 200-ін өзіне, 50-ін кітап дүкеніне, 30-ын авторға береді. Кестеде кітапты басып шығару құны және кітаптың белгілі бір дана санын сату ықтималдығы туралы ақпарат берілген.
Баспагердің күтілетін пайдасын табыңыз.
Шешім. Кездейсоқ шама «пайда» сатудан түскен табыс пен шығындардың өзіндік құны арасындағы айырмаға тең. Мысалы, егер кітаптың 500 данасы сатылса, онда сатудан түскен табыс 200 * 500 = 100 000, ал басып шығару құны 225 000 рубльді құрайды. Осылайша, баспагер 125 000 рубль шығынға ұшырайды. Келесі кестеде кездейсоқ шаманың – пайданың күтілетін мәндері жинақталған:
| Сан | Пайда xмен | Ықтималдық бмен | xмен бмен |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Барлығы: | 1,00 | 25000 |
Осылайша, біз баспагердің пайдасынан математикалық күтуді аламыз:
.
3-мысалБір оқпен соққы беру мүмкіндігі б= 0,2. 5-ке тең соққылар санының математикалық күтуін қамтамасыз ететін қабықтардың шығынын анықтаңыз.
Шешім. Біз осы уақытқа дейін қолданған күту формуласынан өрнектейміз x- раковиналарды тұтыну:
.
4-мысалКездейсоқ шаманың математикалық күтуін анықтаңыз xәрбір атыспен соғу ықтималдығы болса, үш атыспен соққылар саны б = 0,4 .
Нұсқау: кездейсоқ шаманың мәндерінің ықтималдығын табыңыз Бернулли формуласы .
Күту қасиеттері
Математикалық күтудің қасиеттерін қарастырыңыз.
Мүлік 1.Тұрақты шаманың математикалық күтуі осы тұрақтыға тең:
Мүлік 2.Тұрақты факторды күту белгісінен шығаруға болады:
Мүлік 3.Кездейсоқ шамалардың қосындысының (айырымы) математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына (айырымы) тең:
Мүлік 4.Кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең:
Мүлік 5.Кездейсоқ шаманың барлық мәндері болса Xбірдей санға кему (өсу). МЕН, онда оның математикалық күтуі бірдей санға азаяды (өседі):
Сіз тек математикалық күтумен шектеле алмайсыз
Көп жағдайда тек математикалық күту кездейсоқ шаманы адекватты түрде сипаттай алмайды.
Кездейсоқ айнымалылар болсын XЖәне Ыкелесі бөлу заңдарымен берілген:
| Мағынасы X | Ықтималдық |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Мағынасы Ы | Ықтималдық |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Бұл шамалардың математикалық күтулері бірдей – нөлге тең:
Алайда олардың таралуы әртүрлі. Кездейсоқ мән Xтек математикалық күтуден аз ғана ерекшеленетін мәндерді және кездейсоқ шаманы қабылдай алады Ыматематикалық күтуден айтарлықтай ауытқыған мәндерді қабылдай алады. Осыған ұқсас мысал: орташа жалақы жоғары және төмен жалақы алатын жұмысшылардың үлесін бағалауға мүмкіндік бермейді. Басқаша айтқанда, математикалық күту арқылы одан қандай ауытқулар, ең болмағанда, орта есеппен мүмкін екенін болжауға болмайды. Ол үшін кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу керек.
Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы
дисперсиядискретті кездейсоқ шама Xоның математикалық күтуден ауытқу квадратының математикалық күтуі деп аталады:
Кездейсоқ шаманың стандартты ауытқуы Xоның дисперсиясының квадрат түбірінің арифметикалық мәні:
.
5-мысалКездейсоқ шамалардың дисперсиялары мен стандартты ауытқуларын есептеңіз XЖәне Ы, олардың таралу заңдары жоғарыдағы кестелерде берілген.
Шешім. Кездейсоқ шамалардың математикалық күтулері XЖәне Ы, жоғарыда табылғандай, нөлге тең. үшін дисперсия формуласына сәйкес Е(X)=Е(ж)=0 аламыз:
Содан кейін кездейсоқ шамалардың стандартты ауытқулары XЖәне Ықұрайды
.
Осылайша, бірдей математикалық күтулермен кездейсоқ шаманың дисперсиясы Xөте кішкентай және кездейсоқ Ы- маңызды. Бұл олардың таралуындағы айырмашылықтың салдары.
6-мысалИнвестордың 4 баламалы инвестициялық жобасы бар. Кестеде осы жобалардағы күтілетін пайда туралы деректер сәйкес ықтималдықпен жинақталған.
| Жоба 1 | Жоба 2 | Жоба 3 | Жоба 4 |
| 500, П=1 | 1000, П=0,5 | 500, П=0,5 | 500, П=0,5 |
| 0, П=0,5 | 1000, П=0,25 | 10500, П=0,25 | |
| 0, П=0,25 | 9500, П=0,25 |
Әрбір балама үшін математикалық күтуді, дисперсияны және стандартты ауытқуды табыңыз.
Шешім. 3-ші альтернатива үшін бұл шамалардың қалай есептелетінін көрсетейік:
Кестеде барлық баламалар үшін табылған мәндер жинақталған.
Барлық баламалар бірдей математикалық күтуге ие. Бұл ұзақ мерзімді перспективада барлығының бірдей табысы бар дегенді білдіреді. Стандартты ауытқуды тәуекел өлшемі ретінде түсіндіруге болады – ол неғұрлым үлкен болса, соғұрлым инвестиция тәуекелі жоғары болады. Көп тәуекелді қаламайтын инвестор 1-жобаны таңдайды, себебі оның стандартты ауытқуы ең аз (0) болады. Егер инвестор қысқа мерзімде тәуекелді және жоғары табыстылықты қалайтын болса, онда ол ең үлкен стандартты ауытқуы бар жобаны таңдайды - 4-жоба.
Дисперсиялық қасиеттер
Дисперсияның қасиеттерін көрсетейік.
Мүлік 1.Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең:
Мүлік 2.Тұрақты коэффициентті дисперсия белгісінен квадраттау арқылы шығаруға болады:
.
Мүлік 3.Кездейсоқ шаманың дисперсиясы осы шаманың квадратының математикалық күтуіне тең, одан мәннің өзінің математикалық күтуінің квадраты шегеріледі:
,
Қайда 
.
Мүлік 4.Кездейсоқ шамалардың қосындысының (айырымы) дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына (айырымы) тең:
7-мысалДискретті кездейсоқ шама екені белгілі Xтек екі мәнді қабылдайды: −3 және 7. Сонымен қатар, математикалық күту белгілі: Е(X) = 4. Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңыз.
Шешім. арқылы белгілеңіз бкездейсоқ шаманың мән қабылдау ықтималдығы x1 = −3 . Содан кейін мәннің ықтималдығы x2 = 7 1 - болады б. Математикалық күтудің теңдеуін шығарайық:
Е(X) = x 1 б + x 2 (1 − б) = −3б + 7(1 − б) = 4 ,
ықтималдықтарды қайдан аламыз: б= 0,3 және 1 − б = 0,7 .
Кездейсоқ шаманың таралу заңы:
| X | −3 | 7 |
| б | 0,3 | 0,7 |
Бұл кездейсоқ шаманың дисперсиясын дисперсияның 3 қасиетінің формуласы арқылы есептейміз:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін өзіңіз табыңыз, содан кейін шешімін қараңыз
8-мысалДискретті кездейсоқ шама Xтек екі мәнді қабылдайды. Ол 0,4 ықтималдығы бар 3-тің үлкен мәнін қабылдайды. Сонымен қатар, кездейсоқ шаманың дисперсиясы белгілі D(X) = 6. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін табыңыз.
9-мысалУрнада 6 ақ және 4 қара шар бар. Урнадан 3 шар алынады. Тартылған шарлар арасындағы ақ шарлар саны дискретті кездейсоқ шама X. Осы кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.
Шешім. Кездейсоқ мән X 0, 1, 2, 3 мәндерін қабылдай алады. Сәйкес ықтималдықтарды мынадан есептеуге болады. ықтималдықтарды көбейту ережесі. Кездейсоқ шаманың таралу заңы:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| б | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Демек, бұл кездейсоқ шаманың математикалық күтуі:
М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Берілген кездейсоқ шаманың дисперсиясы:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуі және дисперсиясы
Үздіксіз кездейсоқ шама үшін математикалық күтудің механикалық интерпретациясы бірдей мағынаны сақтайды: тығыздығы бар х осінде үздіксіз таралатын бірлік масса үшін массалар центрі f(x). Функция аргументі болатын дискретті кездейсоқ шамадан айырмашылығы xменкенет өзгереді, үздіксіз кездейсоқ шама үшін аргумент үздіксіз өзгереді. Бірақ үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуі оның орташа мәнімен де байланысты.
Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табу үшін белгілі интегралдарды табу керек. . Егер үздіксіз кездейсоқ шаманың тығыздық функциясы берілсе, онда ол тікелей интегралға енеді. Ықтималдылықтың таралу функциясы берілсе, оны дифференциалдау арқылы тығыздық функциясын табу керек.
Үздіксіз кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің орташа арифметикалық шамасы оның деп аталады математикалық күту, немесе арқылы белгіленеді.
