Funkcijos grafiko liestinė taške. Tangento lygtis. Geometrinė išvestinės reikšmė. Dviejų liestinių liestinės linijos savybė

Pamokos tikslai

• Edukacinis – žinių kartojimas, apibendrinimas ir patikrinimas tema: „Rietimo liestinė“; pagrindinių įgūdžių ugdymas.
• Lavinamieji – ugdyti mokinių dėmesį, atkaklumą, atkaklumą, loginį mąstymą, matematinę kalbą.
• Ugdomasis - per pamoką ugdykite dėmesingą požiūrį vienas į kitą, ugdykite gebėjimą išklausyti bendražygius, savitarpio pagalbą ir savarankiškumą.
• Supažindinti su liestinės, sąlyčio taško sąvoka.
• Apsvarstykite liestinės ir jos ženklo savybę ir parodykite jų taikymą sprendžiant gamtos ir technologijų problemas.

Pamokos tikslai

• Ugdykite liestinių konstravimo įgūdžius naudojant mastelio liniuotę, transporterį ir braižydami trikampį.
• Patikrinkite mokinių problemų sprendimo įgūdžius.
• Įsitikinkite, kad įvaldote pagrindinius algoritminius metodus, kaip sudaryti apskritimo liestinę.
• Ugdykite gebėjimą pritaikyti teorines žinias sprendžiant problemas.
• Ugdykite mokinių mąstymą ir kalbą.
• Ugdykite įgūdžius stebėti, pastebėti modelius, apibendrinti ir samprotauti pagal analogiją.
• Ugdyti susidomėjimą matematika.

Pamokos planas

1. Tangento sampratos atsiradimas.
2. Tangento istorija.
3. Geometriniai apibrėžimai.
4. Pagrindinės teoremos.
5. Apskritimo liestinės konstravimas.
6. Konsolidavimas.

Tangento sampratos atsiradimas

Tangento sąvoka yra viena seniausių matematikoje. Geometrijoje apskritimo liestinė apibrėžiama kaip tiesė, kuri turi tiksliai vieną susikirtimo tašką su šiuo apskritimu. Senoliai, naudodami kompasus ir liniuotes, sugebėjo nubrėžti apskritimo, o vėliau ir kūginių pjūvių liestines: elipses, hiperboles ir paraboles.

Tangento istorija

Susidomėjimas tangentais atgijo šiais laikais. Tada buvo atrastos kreivės, kurios senovės mokslininkams nebuvo žinomos. Pavyzdžiui, Galilėjus pristatė cikloidą, o Dekartas ir Fermatas sukonstravo jo liestinę. Pirmajame XVII amžiaus trečdalyje. Jie pradėjo suprasti, kad liestinė yra tiesi linija, „arčiausiai esanti“ kreivės mažoje tam tikro taško kaimynystėje. Nesunku įsivaizduoti situaciją, kai neįmanoma sukonstruoti kreivės liestinės tam tikrame taške (pav.).

Geometriniai apibrėžimai

Apskritimas- geometrinis taškų lokusas plokštumoje, nutolęs nuo tam tikro taško, vadinamas jo centru.

ratas.

Susiję apibrėžimai

• Vadinamas atkarpa, jungianti apskritimo centrą su bet kuriuo jo tašku (taip pat ir šios atkarpos ilgiu). spindulys apskritimai.
• Plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas, vadinama aplinkui.
• Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinama atkarpa akordas. Vadinamas styga, einanti per apskritimo centrą skersmuo.
• Bet kurie du skirtingi taškai apskritime padalija jį į dvi dalis. Kiekviena iš šių dalių vadinama lankas apskritimai. Lanko matas gali būti jį atitinkančio centrinio kampo matas. Lankas vadinamas puslankiu, jei atkarpa, jungianti jo galus, yra skersmens.
• Vadinama tiesė, turinti tiksliai vieną bendrą tašką su apskritimu liestinėį apskritimą, o jų bendras taškas vadinamas tiesės ir apskritimo liesties tašku.
• Vadinama tiesė, einanti per du apskritimo taškus sekantas.
• Centrinis apskritimo kampas yra plokštumos kampas, kurio centre yra viršūnė.
• Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta šį apskritimą, vadinamas įrašytas kampas.
• Vadinami du apskritimai, turintys bendrą centrą koncentrinis.

Tangentinė linija- tiesi linija, einanti per kreivės tašką ir sutampanti su juo šiame taške iki pirmos eilės.

Apskritimo liestinė yra tiesi linija, turinti vieną bendrą tašką su apskritimu.

Tiesi linija, einanti per apskritimo tašką toje pačioje plokštumoje, statmenoje šiam taškui nubrėžtam spinduliui vadinamas tangentu. Šiuo atveju šis apskritimo taškas vadinamas lietimo tašku.

Kai mūsų atvejais „a“ yra tiesė, liečianti tam tikrą apskritimą, taškas „A“ yra liesties taškas. Šiuo atveju a⊥OA (tiesė a yra statmena spinduliui OA).

Jie taip sako susilieja du apskritimai, jei jie turi vieną bendrą tašką. Šis taškas vadinamas apskritimų sąlyčio taškas. Per sąlyčio tašką galite nubrėžti vieno iš apskritimų liestinę, kuri taip pat yra ir kito apskritimo liestinė. Liečiami apskritimai gali būti vidiniai arba išoriniai.

Liečiama vadinama vidine, jei apskritimų centrai yra toje pačioje liestinės pusėje.

Liečiama vadinama išorine, jei apskritimų centrai yra priešingose ​​liestinės pusėse

a yra bendroji dviejų apskritimų liestinė, K yra liestinės taškas.

Pagrindinės teoremos

Teorema apie liestinę ir sekantą

Jeigu iš taško, esančio už apskritimo ribų, nubrėžta liestinė ir atkarpa, tai liestinės ilgio kvadratas yra lygus sekanto ir jo išorinės dalies sandaugai: MC 2 = MA MB.

Teorema. Spindulys, nubrėžtas į apskritimo liestinės tašką, yra statmenas liestinei.

Teorema. Jei spindulys yra statmenas tiesei taške, kur jis kerta apskritimą, tada ši linija yra šio apskritimo liestinė.

Įrodymas.

Norėdami įrodyti šias teoremas, turime atsiminti, kas yra statmuo nuo taško iki tiesės. Tai trumpiausias atstumas nuo šio taško iki šios linijos. Tarkime, kad OA nėra statmena liestinei, bet yra tiesi linija OS, statmena liestinei. Ilgis OS apima spindulio ilgį ir tam tikrą atkarpą BC, kuri tikrai yra didesnė už spindulį. Taigi, galima tai įrodyti bet kuriai eilutei. Darome išvadą, kad spindulys, spindulys, nubrėžtas iki sąlyčio taško, yra trumpiausias atstumas iki liestinės nuo taško O, t.y. OS yra statmena tangentei. Įrodydami atvirkštinę teoremą, vadovausimės tuo, kad liestinė turi tik vieną bendrą tašką su apskritimu. Tegul ši tiesė turi dar vieną bendrą tašką B su apskritimu. Trikampis AOB yra stačiakampis, o dvi jo kraštinės yra lygios spinduliams, o tai negali būti. Taigi, mes nustatome, kad ši tiesė neturi daugiau taškų su apskritimu, išskyrus tašką A, t.y. yra liestinė.

Teorema. Iš vieno taško į apskritimą nubrėžtos liestinės atkarpos yra lygios, o tiesė, jungianti šį tašką su apskritimo centru, padalija kampą tarp liestinių.

Įrodymas.

Įrodymas labai paprastas. Naudodamiesi ankstesne teorema, tvirtiname, kad OB yra statmenas AB, o OS yra statmenas AC. Statieji trikampiai ABO ir ACO yra lygūs kojoje ir hipotenuzėje (OB=OS - spindulys, AO - bendras). Todėl jų kraštinės AB=AC ir kampai OAC ir OAB yra lygūs.

Teorema. Kampo, sudaryto iš liestinės ir stygos, turinčios bendrą apskritimo tašką, dydis yra lygus pusei lanko, esančio tarp jo kraštų, kampinio dydžio.

Įrodymas.

Apsvarstykite kampą NAB, kurį sudaro liestinė ir styga. Nubraižykime AC skersmenį. Liestinė yra statmena skersmeniui, nubrėžtam į sąlyčio tašką, todėl ∠CAN=90 o. Žinodami teoremą, matome, kad kampas alfa (a) yra lygus pusei lanko BC kampo vertės arba pusei kampo BOS. ∠NAB=90 o -a, iš čia gauname ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB arba = pusė lanko BA kampo vertės. ir tt

Teorema. Jei liestinė ir atkarpa nubrėžtos iš taško į apskritimą, tai liestinės atkarpos kvadratas nuo duoto taško iki liestinės taško yra lygus skersinių atkarpų ilgių sandaugai nuo nurodyto taško iki taško jos susikirtimo su apskritimu.

Įrodymas.

Paveiksle ši teorema atrodo taip: MA 2 = MV * MC. Įrodykime tai. Pagal ankstesnę teoremą, kampas MAC yra lygus pusei lanko AC kampo vertės, bet taip pat kampas ABC yra lygus pusei lanko AC kampo vertės pagal teoremą, todėl šie kampai yra lygūs kiekvienam kitas. Atsižvelgdami į tai, kad trikampiai AMC ir BMA turi bendrą kampą viršūnėje M, šių trikampių panašumą nurodome dviem kampais (antrasis ženklas). Iš panašumo gauname: MA/MB=MC/MA, iš kurios gauname MA 2 =MB*MC

Apskritimo liestinių konstravimas

Dabar pabandykime tai išsiaiškinti ir išsiaiškinti, ką reikia padaryti, kad būtų sukurta apskritimo liestinė.

Šiuo atveju, kaip taisyklė, uždavinys suteikia apskritimą ir tašką. Ir jūs ir aš turime sukurti apskritimo liestinę, kad ši liestinė eitų per nurodytą tašką.

Tuo atveju, jei nežinome taško vietos, panagrinėkime galimų taškų vietų atvejus.

Pirma, taškas gali būti apskritimo viduje, kurį riboja tam tikras apskritimas. Šiuo atveju neįmanoma sudaryti liestinės per šį apskritimą.

Antruoju atveju taškas yra apskritime, o liestinę galime sukonstruoti nubrėžę spinduliui statmeną liniją, kuri nubrėžta į mums žinomą tašką.

Trečia, tarkime, kad taškas yra už apskritimo, kurį riboja apskritimas. Tokiu atveju, prieš konstruojant liestinę, reikia rasti apskritimo tašką, per kurį liestinė turi praeiti.

Tikiuosi, kad pirmuoju atveju jums viskas aišku, bet norėdami išspręsti antrąjį variantą, turime sukurti atkarpą tiesėje, ant kurios yra spindulys. Šis segmentas turi būti lygus spinduliui ir segmentui, kuris yra apskritime priešingoje pusėje.

Čia matome, kad apskritimo taškas yra atkarpos, kurios spindulys yra dvigubai didesnis, vidurys. Kitas žingsnis bus sudaryti du apskritimus. Šių apskritimų spindulys bus lygus dvigubam pradinio apskritimo spinduliui, o atkarpos galuose yra centrai, kurie yra lygūs dvigubam spinduliui. Dabar galime nubrėžti tiesią liniją per bet kurį šių apskritimų ir tam tikro taško susikirtimo tašką. Tokia tiesi linija yra mediana, statmena iš pradžių nubrėžto apskritimo spinduliui. Taigi matome, kad ši linija yra statmena apskritimui ir iš to išplaukia, kad ji yra apskritimo liestinė.

Trečiajame variante mes turime tašką, esantį už apskritimo, kurį riboja apskritimas. Tokiu atveju pirmiausia sukonstruojame atkarpą, kuri sujungs pateikto apskritimo centrą ir duotą tašką. Ir tada mes randame jos vidurį. Bet tam reikia sukonstruoti statmeną bisektorių. Ir jūs jau žinote, kaip jį sukurti. Tada turime nubrėžti apskritimą ar bent jo dalį. Dabar matome, kad duoto apskritimo ir naujai sukurto apskritimo susikirtimo taškas yra taškas, per kurį eina liestinė. Jis taip pat eina per tašką, kuris buvo nurodytas pagal problemos sąlygas. Ir galiausiai per du žinomus taškus galite nubrėžti liestinės liniją.

Ir galiausiai, norėdami įrodyti, kad mūsų sukonstruota tiesė yra liestinė, turime atkreipti dėmesį į kampą, kurį sudarė apskritimo spindulys ir atkarpa, žinoma pagal sąlygą ir jungiančią apskritimų susikirtimo tašką. su tašku, kurį suteikia problemos sąlyga. Dabar matome, kad gautas kampas remiasi puslankiu. Ir iš to išplaukia, kad šis kampas yra teisingas. Vadinasi, spindulys bus statmenas naujai sukurtai linijai, o ši linija yra liestinė.

Tangento konstravimas.

Liečiamųjų linijų konstravimas yra viena iš tų problemų, dėl kurių atsirado diferencialinis skaičiavimas. Pirmasis publikuotas darbas, susijęs su diferencialiniu skaičiavimu, kurį parašė Leibnizas, vadinosi „Naujas maksimumų ir minimumų, taip pat liestinių metodas, kuriam nei trupmeniniai, nei neracionalūs dydžiai, nei specialus skaičiavimo tipas nėra kliūtis“.

Senovės egiptiečių geometrinės žinios.

Jei neatsižvelgsime į labai kuklų senųjų slėnio tarp Tigro ir Eufrato bei Mažosios Azijos gyventojų indėlį, tai geometrija atsirado Senovės Egipte iki 1700 m. pr. Kr. Atogrąžų lietaus sezono metu Nilas papildė vandens atsargas ir išsiliejo. Vanduo apėmė dirbamos žemės plotus, o mokesčių tikslais reikėjo nustatyti, kiek žemės buvo prarasta. Matuotojai kaip matavimo priemonę naudojo tvirtai ištemptą virvę. Kita paskata egiptiečiams kaupti geometrines žinias buvo jų veikla, tokia kaip piramidžių statyba ir vaizduojamieji menai.

Apie geometrinių žinių lygį galima spręsti iš senovinių rankraščių, kurie yra specialiai skirti matematikai ir yra kažkas panašaus į vadovėlius, tiksliau – problemines knygas, kur pateikiami įvairių praktinių problemų sprendimai.

Seniausią matematinį egiptiečių rankraštį vienas studentas nukopijavo 1800–1600 m. pr. Kr. iš senesnio teksto. Papirusą rado rusų egiptologas Vladimiras Semenovičius Goleniščevas. Jis saugomas Maskvoje - Dailės muziejuje, pavadintame A.S. Puškinas ir vadinamas Maskvos papirusu.

Kitas matematinis papirusas, parašytas dviem ar trim šimtais metų vėliau nei Maskvos, saugomas Londone. Jis vadinamas: „Instrukcija, kaip pasiekti žinių apie visus tamsius dalykus, visas paslaptis, kurias daiktai slepia savyje... Pagal senus paminklus tai parašė raštininkas Ahmesas.“ Rankraštis vadinamas „Ahmeso papirusu“, arba Rhindo papirusas – pagal anglo, radusio ir įsigijusio šį papirusą Egipte, vardo. Ahmeso papirusas pateikia 84 problemų sprendimus, susijusius su įvairiais skaičiavimais, kurių gali prireikti praktikoje.

Tiesioginis ( MN), turintis tik vieną bendrą tašką su apskritimu ( A), skambino liestinė į ratą.

Šiuo atveju vadinamas bendras taškas susikirtimo taškas.

Galimybė egzistuoti liestinė ir, be to, nubrėžtas per bet kurį tašką ratas, kaip lietimo taškas, įrodoma taip teorema.

Tegul reikalaujama atlikti ratas su centru O liestinė per tašką A. Norėdami tai padaryti iš taško A, kaip iš centro, aprašome lankas spindulys A.O., ir iš taško O, kaip centras, šį lanką susikertame taškuose B Ir SU kompaso sprendimas, lygus duoto apskritimo skersmeniui.

Išleidęs tada akordai O.B. Ir OS, prijunkite tašką A su taškais D Ir E, kurioje šios stygos susikerta su nurodytu apskritimu. Tiesioginis REKLAMA Ir A.E. - apskritimo liestinės O. Iš tiesų, iš konstrukcijos aišku, kad trikampiai AOB Ir AOC lygiašoniai(AO = AB = AC) su bazėmis O.B. Ir OS, lygus apskritimo skersmeniui O.

Nes O.D. Ir O.E.- tada spinduliai D - vidurio O.B., A E- vidurys OS, Reiškia REKLAMA Ir A.E. - medianos, nubrėžtas į lygiašonių trikampių pagrindus, todėl statmenas šiems pagrindams. Jei tiesiai D.A. Ir E.A. statmenai spinduliams O.D. Ir O.E., tada jie - liestinės.

Pasekmė.

Dvi liestinės, nubrėžtos iš vieno taško į apskritimą, yra lygios ir sudaro vienodus kampus su tiesia linija, jungiančia šį tašką su centru.

Taigi AD=AE ir ∠ OAD = ∠OAE nes stačiųjų trikampių AOD Ir AOE, turintys bendrą hipotenuzė A.O. ir lygus kojos O.D. Ir O.E.(kaip spinduliai), yra lygūs. Atkreipkite dėmesį, kad čia žodis „liestinė“ iš tikrųjų reiškia „ liestinės segmentas“ nuo nurodyto taško iki sąlyčio taško.

Prisiminkime tiesės ir apskritimo santykinės padėties atvejus.

Duotas apskritimas, kurio centras O ir spindulys r. Tiesė P, atstumas nuo centro iki tiesės, tai yra, statmenas OM, yra lygus d.

1 atvejis- atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra mažesnis už apskritimo spindulį:

Įrodėme, kad tuo atveju, kai atstumas d mažesnis už apskritimo spindulį r, tiesė ir apskritimas turi tik du bendrus taškus (1 pav.).

Ryžiai. 1. 1 atvejo iliustracija

Antras atvejis- atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra lygus apskritimo spinduliui:

Įrodėme, kad šiuo atveju yra tik vienas bendras taškas (2 pav.).

Ryžiai. 2. 2 atvejo iliustracija

3 atvejis- atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra didesnis už apskritimo spindulį:

Įrodėme, kad šiuo atveju apskritimas ir tiesė neturi bendrų taškų (3 pav.).

Ryžiai. 3. 3 atvejo iliustracija

Šioje pamokoje mus domina antrasis atvejis, kai tiesė ir apskritimas turi vieną bendrą tašką.

Apibrėžimas:

Tiesi linija, turinti vieną bendrą tašką su apskritimu, vadinama apskritimo liestine, o bendras taškas vadinamas tiesės ir apskritimo liestinės tašku.

Tiesė p – liestinė, taškas A – liesties taškas (4 pav.).

Ryžiai. 4. Tangentas

Teorema:

Apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam į sąlyčio tašką (5 pav.).

Ryžiai. 5. Teoremos iliustracija

Įrodymas:

Priešingai, tegul OA nėra statmena tiesei r. Šiuo atveju statmeną nuleidžiame nuo taško O iki tiesės p, kuri bus atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės:

Iš stačiojo trikampio galime pasakyti, kad hipotenuzė OH yra mažesnė už koją OA, tai yra, tiesė ir apskritimas turi du bendrus taškus, tiesė p yra sekantas. Taigi mes gavome prieštaravimą, o tai reiškia, kad teorema yra įrodyta.

Ryžiai. 6. Teoremos iliustracija

Taip pat teisinga atvirkštinė teorema.

Teorema:

Jei tiesė eina per spindulio, esančio ant apskritimo, galą ir yra statmena šiam spinduliui, tada ji yra liestinė.

Įrodymas:

Kadangi tiesė yra statmena spinduliui, atstumas OA yra atstumas nuo tiesės iki apskritimo centro ir yra lygus spinduliui: . Tai yra, ir šiuo atveju, kaip įrodėme anksčiau, tiesė ir apskritimas turi vienintelį bendrą tašką – tašką A, taigi tiesė p pagal apibrėžimą yra apskritimo liestinė (7 pav.).

Ryžiai. 7. Teoremos iliustracija

Tiesioginę ir atvirkštinę teoremas galima derinti taip (8 pav.):

Duotas apskritimas, kurio centras O, tiesė p, spindulys OA

Ryžiai. 8. Teoremos iliustracija

Teorema:

Tiesi linija yra apskritimo liestinė tada ir tik tada, kai spindulys, nubrėžtas į liesties tašką, yra statmenas jai.

Ši teorema reiškia, kad jei tiesė yra liestinė, tai spindulys, nubrėžtas į liestinės tašką, yra jai statmenas, ir atvirkščiai, iš OA ir p statmenumo išplaukia, kad p yra liestinė, tai yra tiesė ir apskritimas turi vieną bendrą tašką.

Apsvarstykite dvi liestinės, nubrėžtos iš vieno taško į apskritimą.

Teorema:

Iš vieno taško nubrėžtos apskritimo liestinių atkarpos yra lygios ir sudaro lygius kampus su tiesia linija, nubrėžta per šį tašką ir apskritimo centrą.

Duotas apskritimas, centras O, taškas A už apskritimo ribų. Iš taško A nubrėžiamos dvi liestinės, taškai B ir C yra liesties taškai. Turite įrodyti, kad kampai 3 ir 4 yra lygūs.

Ryžiai. 9. Teoremos iliustracija

Įrodymas:

Įrodymas pagrįstas trikampių lygybe . Paaiškinkime trikampių lygybę. Jie yra stačiakampiai, nes spindulys, nubrėžtas į sąlyčio tašką, yra statmenas liestinės. Tai reiškia, kad kampai yra teisingi ir lygūs . Kojos OB ir OS yra lygios, nes jos yra apskritimo spindulys. Hipotenuzė AO yra bendra.

Taigi trikampiai yra lygūs kojos ir hipotenuzės lygybės požiūriu. Iš čia matyti, kad kojos AB ir AC taip pat yra lygios. Be to, kampai, esantys priešais lygias puses, yra lygūs, o tai reiškia, kad kampai ir , yra lygūs.

Teorema įrodyta.

Taigi, mes susipažinome su apskritimo liestinės sąvoka, kitoje pamokoje pažvelgsime į apskritimo lanko laipsnio matą.

Bibliografija

1. Aleksandrovas A.D. tt Geometrija 8 kl. - M.: Švietimas, 2006 m.
2. Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolovas V.V. Geometrija 8. - M.: Išsilavinimas, 2011 m.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija 8 klasė. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 m.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Namų darbai

1. Atanasyanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomtsevas S.B. ir kt., Geometry 7-9, Nr. 634-637, p. 168.

Įrodymas

Jei styga yra skersmuo, tada teorema yra akivaizdi.

287 paveiksle pavaizduotas apskritimas su centru O, M yra skersmens CD ir stygos AB, CD ⊥ AB susikirtimo taškas. Turime įrodyti, kad AM = MB.

Nubrėžkime spindulius OA ir OB. Lygiašonio trikampio AOB (OA = OB) atkarpa OM yra aukštis, taigi ir mediana, ty AM = MB.

20.2 teorema

Apskritimo, dalijančio stygą, kitokią nei skersmuo per pusę, skersmuo yra statmenas šiai stygai.

Įrodykite šią teoremą patys. Apsvarstykite, ar šis teiginys būtų teisingas, jei styga yra skersmens.

288 paveiksle parodyti visi galimi tiesės ir apskritimo santykinės padėties atvejai. 288 paveiksle a jie neturi bendrų taškų, 288 paveiksle b - jie turi du bendrus taškus, 288 paveiksle c - vieną.

Ryžiai. 288

Apibrėžimas

Tiesi linija, turinti tik vieną bendrą tašką su apskritimu, vadinama apskritimo liestine.

Apskritimo liestinė turi tik vieną bendrą tašką su apskritimu, kurį riboja tas apskritimas. 288 paveiksle tiesė a yra apskritimo, kurio centras yra taške O, liestinė, o A yra liesties taškas.

Jei atkarpa (spindulys) priklauso apskritimo liestinei ir turi bendrą tašką su šiuo apskritimu, tai atkarpa (spindulys) vadinama apskritimo liestine. Pavyzdžiui, 289 paveiksle pavaizduota atkarpa AB, kuri liečia apskritimą taške C.

20.3 teorema

(liestinė savybė)

Apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam iki liesties taško.

Įrodymas

290 paveiksle pavaizduotas apskritimas, kurio centras O, A yra tiesės a ir apskritimo liesties taškas. Turime įrodyti, kad OA ⊥ a.

Ryžiai. 289	Ryžiai. 290	Ryžiai. 291

Tarkime, kad taip nėra, t.y. atkarpa OA yra pasvirusi į tiesę a. Tada nuo taško O statmeną OM nuleidžiame iki tiesės a (291 pav.). Kadangi taškas A yra vienintelis bendras tiesės a ir apskritimo su centru O taškas, tai taškas M nepriklauso šiam apskritimui. Taigi OM = MB + OB, kur taškas B yra apskritimo ir statmens OM susikirtimo taškas. Atkarpos OA ir OB yra lygūs apskritimo spinduliams. Taigi OM > OA. Gavome prieštaravimą: statmenas OM yra didesnis už įstrižąjį OA. Todėl OA ⊥ a.

20.4 teorema

(apskritimo liestinės ženklas)

Jei tiesė, einanti per apskritimo tašką, yra statmena spinduliui, nubrėžtam iki šio taško, tada ši tiesė yra šio apskritimo liestinė.

Įrodymas

Ryžiai. 292

290 paveiksle pavaizduotas apskritimas, kurio centras yra taške O, atkarpa OA yra jos spindulys, taškas A priklauso tiesei a, OA ⊥ a. Įrodykime, kad tiesė a yra apskritimo liestinė.

Tegul tiesė a nėra liestinė, bet turi kitą bendrą tašką B su apskritimu (292 pav.). Tada ∆ AOB yra lygiašonis (OA = OB kaip spindulys). Vadinasi ∠ OBA = ∠ OAB = 90°. Gauname prieštaravimą: trikampis AOB turi du stačius kampus. Todėl linija a yra apskritimo liestinė.

Pasekmė

Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tam tikros tiesės yra lygus apskritimo spinduliui, tai ši tiesė yra šio apskritimo liestinė.

Ryžiai. 293

Įrodykite šią išvadą patys.

Užduotis. Įrodykite, kad jei per tam tikrą apskritimo tašką nubrėžtos dvi liestinės, tai liestinės atkarpos, jungiančios šį tašką su liesties taškais, yra lygios.

Sprendimas. 293 paveiksle pavaizduotas apskritimas su centru O. Tiesės AB ir AC yra liestinės, taškai B ir C yra liestinės taškai. Turime įrodyti, kad AB = AC.

Nubrėžkime spindulius OB ir OC į sąlyčio taškus. Pagal liestinės savybę OB ⊥ AB ir OC ⊥ AC. Stačiuose trikampiuose AOB ir AOC kojos OB ir OC yra lygios vieno apskritimo spinduliams, AO yra bendroji hipotenuzė. Todėl trikampiai AOB ir AOC yra lygūs hipotenuzėje ir kojoje. Vadinasi, AB = AC.

1. Kaip jai statmenas skersmuo dalija stygą?
2. Koks yra kampas tarp stygos, išskyrus skersmenį, ir skersmenį, dalijantį šią stygą per pusę?
3. Apibūdinkite visus galimus tiesės ir apskritimo santykinės padėties atvejus.
4. Kokia tiesė vadinama apskritimo liestine?
5. Kokią savybę turi spindulys, nubrėžtas tiesės ir apskritimo liesties tašku?
6. Suformuluokite apskritimo liestinės testą.
7. Kokią savybę turi per vieną tašką nubrėžtos apskritimo liestinės?

Praktinės užduotys

507. Nubrėžkite apskritimą su centru O, nubrėžkite stygą AB. Naudodami kvadratą padalinkite šį akordą per pusę.

508. Nubrėžkite apskritimą su centru O, nubrėžkite stygos CD. Naudodami liniuotę su skale, nubrėžkite skersmenį statmenai stygos CD.

509. Nubrėžkite apskritimą, pažymėkite jame taškus A ir B. Liniuote ir kvadratu nubrėžkite tiesias linijas, kurios liečia apskritimą taškuose A ir B.

510. Nubrėžkite liniją a ir pažymėkite joje tašką M. Kvadratu, liniuote ir kompasu nubrėžkite 3 cm spindulio apskritimą, kuris liečia tiesę a taške M. Kiek tokių apskritimų galima nubrėžti?

Pratimai

511. 294 paveiksle taškas O yra apskritimo centras, skersmuo CD statmenas stygai AB. Įrodykite, kad ∠AOD = ∠BOD.

512. Įrodykite, kad apskritimo lygios stygos yra vienodu atstumu nuo jo centro.

513. Įrodykite, kad jei apskritimo stygos yra vienodu atstumu nuo jo centro, tada jos yra lygios.

514. Ar tiesa, kad tiesė, statmena apskritimo spinduliui, liečia šį apskritimą?

515. Tiesiai CD taške A liečia apskritimą, kurio centras O, atkarpa AB yra apskritimo styga, ∠ BAD = 35° (295 pav.). Raskite ∠AOB.

516. Tiesiai CD paliečia apskritimą, kurio centras O taške A, atkarpa AB yra apskritimo styga, ∠ AOB = 80° (žr. 295 pav.). Raskite ∠BAC.

517. Duotas apskritimas, kurio skersmuo 6 cm.Tiese a atitraukta nuo jos centro: 1) 2 cm; 2) 3 cm; 3) 6 cm Kokiu atveju tiesė yra apskritimo liestinė?

518. Trikampyje ABC žinome, kad ∠ C = 90°. Įrodyk tai:

1) tiesus BC yra apskritimo, kurio centras A eina per tašką C, liestinė;

2) tiesus AB neliečia apskritimo, kurio centras C eina per tašką A.

519. Įrodykite, kad apskritimo skersmuo yra didesnis už bet kurią stygą, išskyrus skersmenį.

520. Apskritime, kurio centras O, per spindulio vidurį, statmenai jam, nubrėžta styga AB. Įrodykite, kad ∠ AOB = 120°.

521. Raskite kampą tarp apskritimo spindulių OA ir OB, jei atstumas nuo apskritimo centro O iki stygos AB yra 2 kartus mažesnis už: 1) stygos AB ilgį; 2) apskritimo spindulys.

522. Skersmuo AB ir stygos AC ir CD nubrėžtos apskritime taip, kad AC = 12 cm, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD. Raskite akordo kompaktinio disko ilgį.

523. Per tašką M į apskritimą su centru O nubrėžiame liestines MA ir MB, A ir B yra liestinės taškai, ∠ OAB = 20°. Raskite ∠AMB.

524. Per stygos AB galus, lygius apskritimo spinduliui, nubrėžtos dvi liestinės, susikertančios taške C. Raskite ∠ ACB.

525. Per tašką Iš apskritimo, kurio centras O, nubrėžiame šio apskritimo liestinę, AB yra apskritimo skersmuo. Iš taško A į liestinę nuleidžiamas statmenas AD. Įrodykite, kad spindulys AC yra kampo BAD pusiausvyra.

526. Tiesiai AC paliečia apskritimą, kurio centras O taške A (296 pav.). Įrodykite, kad kampas BAC yra 2 kartus mažesnis už kampą AOB.

Ryžiai. 294	Ryžiai. 295	Ryžiai. 296

527. Segmentai AB ir BC yra atitinkamai apskritimo styga ir skersmuo, ∠ ABC = 30°. Per tašką A nubrėžkite apskritimo, kertančios tiesę BC taške D, liestinę. Įrodykite, kad ∆ ABD yra lygiašonis.

528. Yra žinoma, kad skersmuo AB dalija stygos CD pusiausvyrą, bet nėra jai statmenas. Įrodykite, kad CD taip pat yra skersmuo.

529. Raskite apskritimų, liečiančių nurodytą tiesę tam tikrame taške, centrų vietą.

530. Raskite apskritimų, liečiančių abi tam tikro kampo puses, centrų vietą.

531. Raskite apskritimų, liečiančių nurodytą liniją, centrų vietą.

532. Tiesės, liečiančios apskritimą, kurio centras O taškuose A ir B, susikerta taške K, ∠ AKB = 120°. Įrodykite, kad AK + BK = gerai.

533. Apskritimas paliečia trikampio ABC kraštinę AB taške M ir paliečia kitų dviejų kraštinių tęsinį. Įrodykite, kad atkarpų BC ir BM ilgių suma lygi pusei trikampio ABC perimetro.

Ryžiai. 297

534. Per tašką C – apskritimo liestinės AC ir BC, A ir B – liesties taškai (297 pav.). Ant apskritimo paėmėme savavališką tašką M, esantį toje pačioje pusiau plokštumoje su tašku C tiesės AB atžvilgiu, ir per jį nubrėžėme apskritimo liestinę, kertančią tieses AC ir BC atitinkamai taškuose D ir E. Įrodykite, kad trikampio DEC perimetras nepriklauso nuo taško M pasirinkimo.

Pratimai kartoti

535. Įrodykite, kad atkarpos, kurios galai priklauso dviem lygiagrečioms tiesėms, vidurio taškas yra bet kurios atkarpos, einančios per tašką M ir kurios galai priklauso šioms tiesėms, vidurio taškas.

536. Segmentai AB ir CD yra toje pačioje tiesėje ir turi bendrą vidurio tašką. Taškas M parinktas taip, kad trikampis AMB būtų lygiašonis su pagrindu AB. Įrodykite, kad ∆ CMD taip pat yra lygiašonis su baziniu CD.

537. Ant šono Trikampio MPK MK pažymėjo taškus E ir F taip, kad taškas E būtų tarp taškų M ir F, ME = EP, PF = FK. Raskite kampą M, jei ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.

538. Smailiame trikampyje ABC nubrėžtas bisektorius BM, iš taško M į kraštinę BC nubrėžtas statmuo MK, ∠ ABM = ∠ KMC. Įrodykite, kad trikampis ABC yra lygiašonis.

Stebėkite, pieškite, kurkite, fantazuokite

539. Nustatykite 298 paveiksle pavaizduotų figūrų formų modelį. Kuri figūra turėtų būti dedama toliau?

Ryžiai. 298

Apskritimo liestinės samprata

Apskritimas turi tris galimas santykines padėtis tiesės atžvilgiu:

Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra mažesnis už spindulį, tai tiesė turi du susikirtimo taškus su apskritimu.

Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra lygus spinduliui, tai tiesė turi du susikirtimo taškus su apskritimu.

Jei atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra didesnis už spindulį, tai tiesė turi du susikirtimo taškus su apskritimu.

Dabar pristatykime apskritimo liestinės linijos sąvoką.

1 apibrėžimas

Apskritimo liestinė yra tiesė, kuri turi vieną susikirtimo tašką.

Bendras apskritimo ir liestinės taškas vadinamas lietimo tašku (1 pav.).

1 pav. Apskritimo liestinė

Teoremos, susijusios su apskritimo liestinės samprata

1 teorema

Liestinės savybės teorema: apskritimo liestinė yra statmena spinduliui, nubrėžtam į liesties tašką.

Įrodymas.

Apsvarstykite apskritimą su centru $O$. Nubrėžkime liestinę $a$ taške $A$. $OA=r$ (2 pav.).

Įrodykime, kad $a\bot r$

Teoremą įrodysime prieštaravimu. Tarkime, kad liestinė $a$ nėra statmena apskritimo spinduliui.

2 pav. 1 teoremos iliustracija

Tai yra, $OA$ yra linkęs į liestinę. Kadangi statmena tiesei $a$ visada yra mažesnė už pasvirusią į tą pačią tiesę, atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra mažesnis už spindulį. Kaip žinome, šiuo atveju tiesė turi du susikirtimo taškus su apskritimu. Kas prieštarauja liestinės apibrėžimui.

Todėl liestinė yra statmena apskritimo spinduliui.

Teorema įrodyta.

2 teorema

Tangentinės savybės teoremos atvirkštinis: Jei tiesė, einanti per apskritimo spindulio galą, yra statmena spinduliui, tai ši linija yra šio apskritimo liestinė.

Įrodymas.

Pagal uždavinio sąlygas turime, kad spindulys yra statmenas, nubrėžtas iš apskritimo centro į nurodytą tiesę. Todėl atstumas nuo apskritimo centro iki tiesės yra lygus spindulio ilgiui. Kaip žinome, šiuo atveju apskritimas turi tik vieną susikirtimo tašką su šia linija. Pagal 1 apibrėžimą mes nustatome, kad ši linija yra apskritimo liestinė.

Teorema įrodyta.

3 teorema

Iš vieno taško nubrėžtos apskritimo liestinių atkarpos yra lygios ir sudaro lygius kampus su tiesia linija, einančia per šį tašką ir apskritimo centrą.

Įrodymas.

Pateikiame apskritimą, kurio centras yra taške $O$. Iš taško $A$ (kuris yra visame apskritime) nubrėžtos dvi skirtingos liestinės. Iš sąlyčio taško atitinkamai $B$ ir $C$ (3 pav.).

Įrodykime, kad $\kampas BAO=\kampas CAO$ ir $AB=AC$.

3 pav. 3 teoremos iliustracija

Pagal 1 teoremą turime:

Todėl trikampiai $ABO$ ir $ACO$ yra statūs trikampiai. Kadangi $OB=OC=r$, o hipotenuzė $OA$ yra įprasta, tai šie trikampiai yra lygūs hipotenuzėje ir kojoje.

Taigi gauname $\angle BAO=\angle CAO$ ir $AB=AC$.

Teorema įrodyta.

Apskritimo liestinės sampratos uždavinio pavyzdys

1 pavyzdys

Duotas apskritimas, kurio centras yra taške $O$ ir spindulys $r=3\ cm$. Liestinė $AC$ turi liesties tašką $C$. $AO=4\ cm$. Raskite $AC$.

Sprendimas.

Pirmiausia viską pavaizduokime paveikslėlyje (4 pav.).

4 pav.

Kadangi $AC$ yra liestinė, o $OC$ yra spindulys, tai pagal 1 teoremą gauname, kad $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$. Mes nustatėme, kad trikampis $ACO$ yra stačiakampis, o tai reiškia, kad pagal Pitagoro teoremą turime:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \