Dvimatėje erdvėje sukimąsi galima apibūdinti vienu kampu θ su tokia tiesine transformacijos matrica Dekarto koordinačių sistemoje:

Teigiami kampai atitinka vektoriaus sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę įprastoje dešinėje koordinačių sistemoje, o pagal laikrodžio rodyklę kairiojoje koordinačių sistemoje.

Pats sukimasis vyksta sukimosi matricą padauginus iš vektoriaus

Sukimosi matrica trimatėje erdvėje

Sukimosi matricos apie Dekarto dešiniosios koordinačių sistemos ašį kampu α trimatėje erdvėje yra:

Sukimas aplink x ašį:

,

Sukimas aplink y ašį:

,

Sukimas aplink z ašį:

,

Trimatėje erdvėje galite naudoti

Vektorių sukimo matricos Dekarto koordinačių sistemoje, atitinkančios pirmuosius du sukimosi nustatymo metodus:

Tačiau kadangi matricos daugyba nėra komutacinė, tai yra: todėl koordinačių sistemos padėtis po sukimosi aplink tris ašis priklausys nuo sukimų sekos, yra 6 skirtingi sukimosi matricų tipai:

1) Sukimas apie ašis: X -> Y -> Z

2) Atitinkamai: X -> Z -> Y

3) Y -> X -> Z

4) Y -> Z -> X

5) Z -> X -> Y

6) Z -> Y -> X

Norimą matricą galima gauti nuosekliai padauginus sukimosi matricas apie vieną ašį (pateikta aukščiau) norima tvarka.

Bilietas 33. Atvirkštinės matricos savybės

33) Atvirkštinė matrica- tokia matrica A −1 , padauginus iš kurio pradinė matrica A rezultatai tapatumo matrica E:

1), kur žymi determinantą.

2) bet kurioms dviem apverčiamoms matricoms A Ir B.

3) kur * Tžymi transponuotą matricą.

4) bet kuriam koeficientui.

5) Jei reikia išspręsti tiesinių lygčių sistemą Ax = b, (b yra nulinis vektorius), kur x yra norimas vektorius, o jei A− 1 yra tada x = A − 1 b. Priešingu atveju arba sprendinių erdvės matmuo yra didesnis už nulį, arba sprendinių visai nėra.

Matricos metodas tiesinių algebrinių lygčių sistemų su nuliui skirtu determinantu sprendiniai (sprendimo metodas per atvirkštinę matricą) yra tokie.

Pateikiame tiesinių lygčių sistemą su n nežinomas (virš savavališko lauko):

Tada jį galima perrašyti matricos forma:

AX = B, Kur A- pagrindinė sistemos matrica, B Ir X- atitinkamai laisvų sistemos terminų ir sprendimų stulpeliai:

Padauginkime šią matricos lygtį iš kairės iš A− 1 - matrica atvirkštinė matricai A:

Nes A − 1 A = E, mes gauname X = A − 1 B. Dešinėje šios lygties pusėje bus pateikta pradinės sistemos sprendimo stulpelis. Šio metodo pritaikymo sąlyga (kaip ir bendras nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinio egzistavimas, kai lygčių skaičius lygus nežinomųjų skaičiui) yra matricos A neišsigimimas. Būtina ir pakankama sąlyga. nes tai reiškia, kad matricos A determinantas nėra lygus nuliui:

Vienalytei tiesinių lygčių sistemai, tai yra, kai vektorius B= 0, galioja priešinga taisyklė: sistema AX= 0 turi netrivialų (ty nulinį) sprendimą tik tuo atveju, jei det A= 0. Toks ryšys tarp vienarūšių ir nehomogeniškų tiesinių lygčių sistemų sprendinių vadinamas Fredholmo alternatyva.

34 bilietas. Teorema apie ryšį tarp vienalyčių ir nehomogeniškų SLAE tirpalų.

Heterogeninė sistema: Ax=B, B≠0.

Homogeninė sistema: Ax=0.

Teorema: 1. Nehomogeninei sistemai atėmus du sprendinius, gaunamas vienalytės sistemos sprendinys.

2. Jei vienarūšės sistemos tirpalą pridėsite prie nevienalytės sistemos tirpalo, gausite nevienalytės sistemos tirpalą.

Įrodymas:

1) c 1, c 2 – dvi heterogeninės sistemos sprendiniai.

Ac1 =B; Ac 2 = B. Iš pirmosios sistemos atimame antrąją sistemą: Ac 1 -Ac 2 = 0; A(c1-c2)=0; с 1 -с 2 – vienalytės sistemos tirpalas.

2) Ac n =B – nevienalytės sistemos sprendinys.

Ac o =0 – vienalytės sistemos tirpalas.

Kaip n + As o = B. A(c n + c o) = B. c n + c o – nehomogeninės sistemos tirpalas.

Bilietas 35. SLAE nenuoseklumas. Gauso metodas.

Jei sistema neturi sprendimų, ji vadinama nenuoseklia.

SLAE sprendimo Gauso metodu algoritmas yra padalintas į du etapus:

1) Pirmajame etape atliekamas vadinamasis tiesioginis judėjimas, kai elementariai transformuojant eilutes sistema įvedama į laiptuotą arba trikampę formą arba nustatoma, kad sistema nesuderinama. Būtent tarp pirmojo matricos stulpelio elementų pasirinkite ne nulį, perkelkite jį į aukščiausią padėtį pertvarkydami eilutes ir gautą pirmąją eilutę atimkite iš likusių eilučių po pertvarkymo, padaugindami ją iš reikšmės. lygus kiekvienos iš šių eilučių pirmojo elemento ir pirmosios eilutės pirmojo elemento santykiui, taigi po juo esantis stulpelis nulinis. Atlikus nurodytas transformacijas, pirmoji eilutė ir pirmasis stulpelis mintyse perbraukiamos ir tęsiamos tol, kol lieka nulinio dydžio matrica. Jei bet kurioje iteracijoje tarp pirmojo stulpelio elementų nėra nulinio elemento, eikite į kitą stulpelį ir atlikite panašią operaciją.

2) Antrame etape atliekamas vadinamasis atvirkštinis judėjimas, kurio esmė yra išreikšti visus gautus pagrindinius kintamuosius ne pagrindiniais ir sukurti fundamentalią sprendinių sistemą arba, jei visi kintamieji yra pagrindiniai, tada skaitiniu būdu išreikškite vienintelį tiesinių lygčių sistemos sprendimą. Ši procedūra prasideda paskutine lygtimi, iš kurios išreiškiamas atitinkamas pagrindinis kintamasis (o yra tik vienas) ir pakeičiamas į ankstesnes lygtis, ir taip toliau, einant „pakopomis“. Kiekviena eilutė tiksliai atitinka vieną pagrindinį kintamąjį, todėl kiekviename žingsnyje, išskyrus paskutinę (viršutinę), situacija tiksliai pakartoja paskutinės eilutės atvejį.

Lygtis y=kx+b vadinama tiesės su nuolydžiu lygtimi; k – kampo koeficientas, b – atkarpos, kurią Oy ašyje nukerta tiesi linija, vertė, skaičiuojant nuo pradžios. Tiesės polinkio kampo Ox ašies liestinė vadinama tiesės kampiniu koeficientu. k=tg(alfa).

Kampas tarp dviejų tiesių:

Pirmoji eilutė: L 1, n 1 (p 1, q 1, r 1).

Antroji tiesė: L 0, n 0 (p,q,r).

L 1 // L 0 ; n 1 // n 0; p 1 /р=q 1 /q= r 1 /r – 2 tiesių lygiagretumo sąlyga.

L 1 ﬩ L 0 ; n 1 fin 0; (n1,n)=0; pp 1 +qq 1 +rr 1 =0 – 2 tiesių lygiagretumo sąlyga.

Cosφ=(n 1 ,n)/|n 1 |*|n 0 |

Lobačevskio plokštumoje dvi tiesės gali susikirsti arba būti lygiagrečios tam tikra kryptimi arba skirtis. Todėl Lobačevskio plokštumoje yra trijų tipų linijų pieštukai:

1) tiesių, susikertančių viename taške, pluoštas, vadinamas pluošto centru; toks spindulys vadinamas centriniu arba elipsiniu;

2) tiesių pluoštas, lygiagretus tam tikra kryptimi tam tikrai tiesei, vadinamas pluošto ašimi; toks spindulys vadinamas paraboliniu;

3) kuriai nors linijai statmenas divergentinių linijų pluoštas, vadinamas ryšulio pagrindu; toks pieštukas vadinamas hiperboliniu.

Santykinė linijų padėtis plokštumoje.

Tiesios linijos erdvėje gali būti lygiagrečios, susikertančios ir kertančios. Pažvelkime į kiekvieną atvejį atidžiau.

1. Lygiagrečios tiesės.

Lygiagrečios tiesės yra dvi tiesės, esančios toje pačioje plokštumoje ir neturinčios bendrų taškų.

Lygiagrečių tiesių projekcijos į bet kurią plokštumą (nėra statmenos šioms tiesėms) yra lygiagrečios. Jei AB//CD, tai A 1 B 1 //C 1 D 1 ; A 2 B 2 //C 2 D 2; A 3 B 3 //C 3 D 3 (33 pav.). Bendruoju atveju yra ir atvirkščiai.

Norint konvertuoti jėgų, momentų ir tt vektorius iš vienos koordinačių sistemos į kitą, reikia apskaičiuoti perėjimo matricą, kurios elementai yra kampų tarp pradinės ir pasuktos koordinačių sistemos ašių kosinusai. Šią matricą lemia sukimosi kampų seka, leidžianti pereiti iš vienos koordinačių sistemos į kitą. Tokiam perėjimui atlikti reikia ne daugiau kaip trijų koordinačių sistemos pasukimų. Sukimosi kampų sekos pasirinkimą dažniausiai lemia fizinis problemos turinys. Tai gali būti kampai, išmatuoti valdymo sistemos prietaisais, kampai, nuo kurių priklauso aerodinaminės apkrovos ir kt.

Kaip pavyzdį apsvarstykite kampų tarp pradinės pradžios (inercinės) 0о,х/„_у/„2/„ ir susijusios O ašių krypties kosinusų matricos apskaičiavimą. xyg koordinačių sistemos. Tegul abiejų sistemų pradžia sutampa. Pirmasis posūkis atliekamas kampu f aplink inercinę ašį Оо,у7„ (1.5 pav.). Antrasis sukimasis vyksta aplink tarpinę ašį 0(),2 " kampu d. Galiausiai, trečiasis sukimas atliekamas aplink susijusią ašį Ox kampu 7. Taigi, kaip rezultatas

Ryžiai. 1.5. Perėjimas iš pradinės koordinačių sistemos į susijusią, nuosekliai sukant kampais f, d, 7 yra perėjimas nuo pradinės koordinačių sistemos Ook Oho g(1.5 pav.). Būtent šie kampai dažniausiai matuojami naudojant valdymo sistemos jutiklius.

Ryžiai. 1.6. Iš eilės posūkiai per kampus f, &, 7

Kampas f tarp orlaivio Ox išilginės ašies projekcijos į plokštumą Oo ?x/„g1 „ vadinama pradinė koordinačių sistema ir ašis Оо,.т/„ posūkio kampas. Kampas d tarp orlaivio išilginės ašies ir plokštumos Оо/Л7„2/„ vadinama nuolydžio kampas. 7 kampas tarp susijusios Oy ašies ir Oo plokštumos ?hu“ paskambino riedėjimo kampas.Šie kampai, dažniausiai naudojami balistikos problemoms spręsti, skiriasi nuo atitinkamų kampų, nustatytų pagal GOST 20058-74 inercinėje koordinačių sistemoje, susietoje su vietine vertikale.

Krypties kosinuso matricos elementai atspindi atitinkamas vienetų vektorių /, /, projekcijas, į, nukreiptas išilgai susijusių ašių, į pradines pradines ašis. Tiesioginis šių projekcijų skaičiavimas yra gana sunkus, todėl pirmiausia apsvarstysime perėjimo matricas, kurias sukuria atskiri pasukimai per kampus f, g), 7. Pagal aprašytą metodiką kiekvieną kartą projektuosime vienetinius vektorius, nukreiptus išilgai pasuktos koordinačių sistemos ašių į pradinės koordinačių sistemos ašis (1.6 pav.). Tada gana paprasta apskaičiuoti krypties kosinusų matricas, atitinkančias nuoseklius sukimus kampais f, d, 7:

Pagal nagrinėjamos koordinačių sistemos transformaciją krypties kosinusų matrica, atitinkanti perėjimą nuo pradinės pradžios į susijusią koordinačių sistemą, bus apskaičiuojama kaip atskirų matricų sandauga:

Padauginę matricas, gauname

Jeigu pradinėje startinėje koordinačių sistemoje nurodytas tam tikras vektorius su jo komponentais

tada šio vektoriaus komponentai susietoje koordinačių sistemoje

galima apskaičiuoti naudojant matricą b: arba

Formulė (1.2.2) nustato vektoriaus transformaciją iš pradinio pradinio į susietą koordinačių sistemą.

Perėjimas iš susietos į pradinę koordinačių sistemą atliekamas naudojant atvirkštinę matricą L~l(arba transponuota matrica // dėl matricos ortonormalumo L):

Naudodami šį metodą galite rasti perėjimo matricą iš greičio koordinačių sistemos į susietąją. Šiuo atveju apsiribosime tuo atveju, kai orlaivis turi simetrijos plokštumą, o greičio vektoriaus orientaciją nurodo atakos kampai a ir šoninis slydimas ?3:

Savavališko vektoriaus perskaičiavimas av, nurodyta greičio koordinačių sistemoje jos komponentais

į susietą koordinačių sistemą atliekama pagal formulę

Taigi duotiesiems kampams, kurie nustato vienos koordinačių sistemos padėtį kitos atžvilgiu, perėjimo matricą visada galima apskaičiuoti kaip atskirų matricų sandaugą, atitinkančią nuoseklius sukimus šiais kampais.

Sukimosi matrica(arba krypties kosinuso matrica) yra stačiakampė matrica, naudojama atlikti savo ortogonalinę transformaciją Euklido erdvėje. Padauginus bet kurį vektorių iš sukimosi matricos, vektoriaus ilgis išsaugomas. Sukimosi matricos determinantas yra lygus vienetui.
Paprastai manoma, kad, priešingai nei perėjimo matrica sukant koordinačių sistemą (pagrindą), padauginus iš stulpelio vektoriaus sukimosi matricos, vektoriaus koordinatės transformuojamos pagal paties vektoriaus sukimąsi (ir ne koordinačių ašių pasukimas; tai yra, pasukto vektoriaus koordinatės gaunamos toje pačioje fiksuotų koordinačių sistemoje). Tačiau skirtumas tarp abiejų matricų yra tik sukimosi kampo ženkle, o vieną galima gauti iš kitos, pakeitus sukimosi kampą priešingu; abu yra atvirkštiniai ir gali būti gauti vienas iš kito perkeliant.

Sukimosi matrica trimatėje erdvėje

Bet koks sukimasis trimatėje erdvėje gali būti pavaizduotas kaip sukimosi aplink tris stačiakampes ašis kompozicija (pavyzdžiui, aplink Dekarto koordinačių ašis). Ši kompozicija atitinka matricą, lygią atitinkamų trijų sukimosi matricų sandaugai.
Sukimosi aplink Dekarto koordinačių sistemos ašį kampu α trimatėje erdvėje yra šios:
Sukimas aplink x ašį:

Sukimas aplink y ašį:

Sukimas aplink z ašį:

Po transformacijų gauname formules:
X ašis
x"=x;
y":=y*cos(L)+z*sin(L) ;
z":=-y*sin(L)+z*cos(L) ;

Y ašis
x"=x*cos(L)+z*sin(L);
y"=y;
z"=-x*sin(L)+z*cos(L);

Z ašis
x"=x*cos(L)-y*sin(L);
y"=-x*sin(L)+y*cos(L);
z"=z;

Visi trys posūkiai daromi nepriklausomai vienas nuo kito, t.y. jei reikia suktis aplink Ox ir Oy ašis, pirmiausia sukama aplink Ox ašį, po to gauto taško atžvilgiu sukama aplink Oy ašį.

Šiuo atveju teigiami kampai atitinka vektoriaus sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę dešinėje koordinačių sistemoje ir pagal laikrodžio rodyklę kairiojoje koordinačių sistemoje, žiūrint prieš atitinkamos ašies kryptį. Tinkama koordinačių sistema yra susijusi su tinkamo pagrindo pasirinkimu (žr. gimlet taisyklę).

8 dalis – kampinių greičių integravimas, sukimosi matricos



11 dalis – kampinių greičių integravimas, aukštesnės eilės metodai (kuriamas)






Kampinių greičių integravimas naudojant sukimosi matricas

Tęsiame rinkimų lenktynes ​​– kuris kampinio greičio integratorius užims deramą vietą prie mūsų produkto vairo (tiesiogine to žodžio prasme)?

Mes jau iškasėme purvą ant Eulerio-Krylov kampų - tai, žinoma, gerbiami ir verti vardai, bet jie yra labai seni - jie negali pakelti galvos į zenitą, jiems iškart pradeda svaigti galva, o tie, kurie kabo aukštyn kojomis. staiga praranda darbingumą. Ir apskritai, mums nereikia nusikaltėlių (sistemų, pagrįstų kampais)!

Šiandien pažvelgsime į sukimosi matricas – 9 krypčių kosinusai negali būti klaidingi, ar ne?

Sujungtų ašių kinematinė lygtis (kai kampinis greitis projektuojamas ant gaminio ašių) yra tokia:

Čia A yra orientacinė matrica.
Žingsniui Δt galime parašyti apytikslį integravimo metodą:

Šis metodas yra grynai tiesinis, jame naudojami tik sudėjimai ir daugybos, vienaskaitos taškų kaip klasės nėra.
Vienas trūkumas, kurį galime iš karto pastebėti, yra jo sudėtingumas: matricoms pavaizduoti naudojame 9 skaičius, o kiekvienam integravimo žingsniui taikant paprasčiausią metodą („pirmos eilės“) reikia 18 daugybos ir 18 sudėjimo (be specializuoto metodo, kuris „žino“ apie vienetai išilgai pagrindinės įstrižainės – iš viso 27 daugybos). Jei užrašysime pagal komponentus, gausime (su viršutiniu indeksu 1 – naujos reikšmės, su viršutiniu indeksu 0 – sena):

Matricos žymėjimas leidžia paslėpti šį vidinį sudėtingumą už gražių skaičiavimų, todėl kartais naudinga išrašyti skaičiavimus „prieš akis“, kad prisimintume, su kuo susiduriame.
Tačiau net ir patys seniausi borto kompiuteriai neturėtų problemų, susijusių su nepakankamu našumu – na, kas yra 36 operacijos kompiuteriui!?

Ne, tikrasis sukimosi matricų Achilo kulnas yra tas, kad laikui bėgant jos nustoja būti sukimosi matricomis, o grąžinti jas į vėžes nėra taip paprasta...
Tegul pradinė orientacinė matrica yra vienetinė, tai yra, inercinių ir susietų koordinačių sistemų ašys sutampa:

Po 72 žingsnių gauname orientacijos matricą, lygią:

kadangi jie turėjo pasiekti tapatybės matricą (pasisukti 360 laipsnių!).
Šią matricą galime parašyti kaip dviejų sandaugą:

Antroji iš jų yra sukimosi matrica išilgai Z ašies 0,9° kampu – tai susikaupusi integravimo klaida, kurią sukelia per didelis žingsnis. Santykinai kalbant, klaida nėra tokia didelė: 0,9/360 = 0,25%, o tai nėra taip blogai, atsižvelgiant į tai, kokį didelį žingsnį žengėme.
Bet pirmoji matrica keičiasi pagal ašis X, Y. Vektorius su nuliu Z komponentu tiesiog padidins jo ilgį – dažnai tai nėra taip blogai – bent jau nepakeis vektoriaus krypties. Lygiai taip pat vektorius (0;0;1) T išliks nepakitęs – viskas teisinga.
Įdomiausia nutiks su tarpiniais vektoriais.
Pavyzdžiui, vektorius

pavirs į

jis ne tik didėja, bet ir keičia kryptį dėl mastelio! Anksčiau jis „žiūrėjo“ 45° kampu į X-Y plokštumą, o dabar 37° kampu – paklaida jau ne 0,9°, o net 8°!

Šiuo konkrečiu atveju mes lengvai galėjome faktorinizuoti matricą, atskirdami sukimąsi ir mastelį atskirai. Kai galime tai padaryti, aišku, kaip ištaisyti situaciją – reikia palikti tik sukimosi matricą ir pašalinti mastelį!
Bet dabar įsivaizduokime, kad apsisukę aplink Z ašį taip pat atlikome sukimąsi aplink instrumento X ašį 30 laipsnių:

Kaip optimaliausiai atskirti posūkius nuo šios skaičių krūvos, atsikratant kitų erdvės transformacijų – klausimas dar atviras...
Prisiminkite, kad orientacinės matricos stulpeliai yra bazinių vektorių koordinatės inercinėje atskaitos sistemoje. Šie vektoriai turi turėti vienetinį ilgį ir būti vienas kitam statmeni, tai yra, galime parašyti tokias „ryšio lygtis“ (šiuo atveju dvi viršuje yra eksponencija):

Iš tiesų: su 9 matricos koeficientais turime turėti lygiai 3 laisvės laipsnius, todėl mums reikia papildomų 6 lygčių. Pažiūrėkime, kas čia vyksta:
1-ojo bazinio vektoriaus ilgis: 1,314
2-ojo bazinio vektoriaus ilgis: 1,243
3 bazinio vektoriaus ilgis: 1,087
Kampas tarp 1 ir 2: 90°
Kampas tarp 2 ir 3: 103,47°
Kampas nuo 1 iki 3: 90°

Ortonormalus pagrindas nustojo toks! Mes tai suprantame, bet kaip tiksliai pakoreguoti 9 reikšmes, kad jos vėl taptų ortonormalios?

Galite naudoti seną gerą ortonormalaus pagrindo konstravimo metodą. Žymime pradinius bazinius vektorius e 1, e 2, e 3:

Pavadinkime transformuotu pagrindu n 1, n 2, n 3.
Pirmąjį vektorių normalizuojame:

Iš antrojo vektoriaus atimame jo projekciją į pirmąjį, po kurio taip pat normalizuojame:

Galiausiai iš trečiojo vektoriaus atimame jo projekciją į pirmąjį ir antrąjį, o tada normalizuojame:

Šiose formulėse yra tam tikro gudrumo: atrodo, kad mes panaudojome visus 9 pradinius koeficientus, kad gautume naujus 9, dabar ortonormalius. Tiesą sakant, nuo e 3 Tai visai nesvarbu! Pirmiausia iš jo atimame viską, kas nereikalinga, kad jis eitų tiesia linija, viena kitai statmenai n 1, n 2, o tada normalizuojame jo ilgį – taip, iš šio vektoriaus nebeliko gyvenamojo ploto! Lygiai taip pat galime rašyti:

ir gauti visiškai tą patį rezultatą! Tai reiškia, kad iš tikrųjų šis metodas paima pirmuosius 6 koeficientus ir visiškai išmeta paskutinius 3. Ir pirmieji 6 pasirodo nelygūs: jei pirmuoju stulpeliu pasitikime „besąlygiškai“, tada antruoju – tik tol, kol jis neprieštarauja Pirmas.

Išbandykime normalizavimo procedūrą mūsų matricoje B:

Tuo pačiu metu, kaip ir galima tikėtis, n 3 pasirodė esąs toks pat iki paskutinio atstojamojo dešimtainio skaičiaus, nepriklausomai nuo skaičiavimo būdo – per e 3 arba per vektorinį sandaugą.

Dabar mums pasisekė – puikiai normalizavome matricą, kad ji išreikštų būtent tai, ką turėtų – 0,9° pasukimą aplink Z ašį ir 30° sukimąsi aplink X ašį.
Bet dabar pabandykime pažvelgti į tai iš kitos pusės – ne e 1, e 2, e 3, A e 3, e 2, e 1. Štai ką jūs gaunate:

Vietoj 30° pasukimo X ašyje šį kartą gavome 37° pasukimą, efektyviai įgyvendinant blogiausią atvejį!
Teisingas požiūris būtų išspręsti optimizavimo problemą: kiekvienas matricos koeficientas yra naudingo signalo ir triukšmo suma. Raskite naujus koeficientus, išreikštus senaisiais taip, kad vidutinė kvadratinė paklaida būtų minimali. Bet net ir tada negarantuojame geriausio našumo – kas sakė, kad naudojant apytiksles baigtines sukimosi matricas įvedame atsitiktinę paklaidą!?
Paaiškinkime, kokia mūsų problema. Nenorėjome rašyti tikslios galutinės sukimosi matricos, nes ji atrodo maždaug taip:

(pakeitus sukimosi tvarką gausime skirtingas matricas W, bet visos bus griežtai sukimo matricos)
Iš godumo supaprastinome:

Ir mes nustatėme, kad antrosios mažumo eilės sąlygos, kurias atsisakėme, lemia matricos formos pasikeitimą. Mūsų pavyzdyje sukimosi aplink Z ašį gauname

Išplėsdami Taylor seriją iki 3 mažumo laipsnio, turime:

Dar kartą matome panašų efektą: integravimo klaida šį kartą yra itin maža, nesiekia lanko sekundės, o skalėje vėl atsiranda ryškiausias iškraipymas. Atrodo, kad paklaida yra gana maža - mažiau nei viena tūkstantoji dalis, bet to pakanka, kad vektorius, nukreiptas 45 ° kampu į XY plokštumą, būtų „prispaustas“ prie jos dar 1 lanko minutę.

Taigi net ir nedidelio integravimo žingsnio panaudojimas bei aukšto lygio metodų naudojimas neišsprendžia „šiukšlių“ kaupimosi matricoje problemos. Ir kuo daugiau laiko praeis, tuo daugiau šiukšlių bus matricoje, kurią mes galime išmesti tik kartu su naudingais duomenimis.

Visa tai, kas išdėstyta aukščiau, nereiškia, kad sukimosi matricos yra visiškai netinkamos kampiniams greičiams integruoti. Jie gali būti taikomi, jei laikomasi tam tikro atsargumo – būtina numatyti „ortonormalizavimo“ procedūrą, tačiau, jei įmanoma, jos nevykdykite – visur pereikite prie dvigubo arba išplėstinio tikslumo, sumažinkite integravimo žingsnį, naudokite aukštos eilės skaitinius metodus.

Tačiau, kaip sužinosime kitame skyriuje, ketvirčiai neturi daugumos sukimosi matricų trūkumų ir šiame mūšyje laimi.

Tęsinys...

Sukimosi matrica naudojama koordinačių sistemai ar objektui, scenai pasukti.

Sukimosi matricos aplink pagrindines ašis.

Sukimosi matrica aplink savavališką ašį.

Apibendrinta sukimosi matrica.

Norėčiau vienareikšmiškai nurodyti objekto padėtį erdvėje. Visiškai akivaizdu, kad bet kurią padėtį vienareikšmiškai lemia 3 apsisukimai aplink skirtingas ašis. Tačiau kyla klausimas, kokia tvarka sukti ir kaip pasirinkti ašis?

Apibendrinta sukimosi matrica gali būti nurodyta įvairiais būdais. Viena vertus, mes galime pasukti objektą aplink fiksuotas ašis. Kita vertus, aplink ašis, susijusias su objektu, jie taip pat vadinami vietiniais. Verta prisiminti, kad matricos daugybos operacija nėra komutacinė, todėl norint vienareikšmiškai nustatyti padėtį, reikia žinoti ne tik 3 kampus, bet ir matricos daugybos schemą.

Yra 2 populiarios schemos.
1) Sukimosi matrica per Eulerio kampus.
2) Sukimosi matrica per orlaivio kampus: posūkis, posūkis ir posūkis.
Kadangi pirmasis reikalauja daug skaičiavimų, praktikoje dažniausiai naudojamas antrasis.

Sukimosi matrica per Eulerio kampus.

Eulerio kampai yra trys kampai, kurie vienareikšmiškai apibrėžia standaus kūno orientaciją, apibrėžiančią perėjimą nuo fiksuotos koordinačių sistemos į judančią.
Judanti koordinačių sistema yra koordinačių sistema, pritvirtinta prie kūno. Kartais sakoma, kad ledai yra kūne. Prieš pateikiant kampų apibrėžimus, reikia dar vieno dalyko. Mazgų linija ON – OXY ir Oxy plokštumų susikirtimo linija

α (arba φ) yra kampas tarp Ox ašies ir ON ašies. verčių diapazonas)