Kaip išspręsti kubelių sumą ir skirtumą. Skirtumo kubas ir kubo skirtumas: sutrumpintų daugybos formulių taikymo taisyklės. FSO taikymo pavyzdžiai
Sutrumpintos daugybos formulės.
Sutrumpinto daugybos formulių studijavimas: sumos kvadratas ir dviejų išraiškų skirtumo kvadratas; dviejų išraiškų kvadratų skirtumas; sumos kubas ir dviejų išraiškų skirtumo kubas; dviejų išraiškų kubų sumos ir skirtumai.
Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.
Norint supaprastinti išraiškas, suskirstyti daugybinius polinomus ir perkelti daugianario į standartinę formą, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės. Sutrumpintos daugybos formulės, kurias reikia žinoti mintinai.
Tegu a, b R. Tada:
1. Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra pirmosios išraiškos kvadratas plius du kartus pirmosios išraiškos sandauga ir antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas yra pirmosios išraiškos kvadratas atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą, o antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Kvadratų skirtumas dvi išraiškos yra lygios šių išraiškų ir jų sumos skirtumo sandaugai.
a 2 – b 2 \u003d (a – b) (a + b)
4. sumos kubas iš dviejų išraiškų yra lygus pirmosios išraiškos kubui, pridėjus tris kartus pirmosios išraiškos kvadratą, padaugintą iš antrosios, plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui plius antrosios išraiškos kubui.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. skirtumo kubas iš dviejų išraiškų yra lygus pirmosios išraiškos kubui, atėmus tris kartus pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą, o antrosios ir plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugą ir antrosios išraiškos kvadratą, atėmus antrosios išraiškos kubą.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kubų suma dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų sumos sandaugai iš šių išraiškų skirtumo nepilno kvadrato.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kubelių skirtumas dviejų išraiškų yra lygus pirmosios ir antrosios išraiškų skirtumo sandaugai iš šių išraiškų sumos nepilno kvadrato.
a 3 – b 3 \u003d (a – b) (a 2 + ab + b 2)
Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.
1 pavyzdys
Apskaičiuoti
a) Naudodami dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę, turime
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Naudodami dviejų išraiškų skirtumo kvadratu formulę, gauname
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
2 pavyzdys
Apskaičiuoti
Naudodami dviejų išraiškų kvadratų skirtumo formulę, gauname
3 pavyzdys
Supaprastinkite išraišką
(x - y) 2 + (x + y) 2
Naudojame sumos kvadrato ir dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formules
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Sutrumpintos daugybos formulės vienoje lentelėje:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 – b 2 = (a – b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 – b 3 \u003d (a – b) (a 2 + ab + b 2)
Kvadratų skirtumas
Išvedame kvadratų $a^2-b^2$ skirtumo formulę.
Norėdami tai padaryti, atsiminkite šią taisyklę:
Jei prie išraiškos pridedamas bet koks monomis ir atimamas tas pats monomis, gauname teisingą tapatybę.
Pridėkime prie savo išraiškos ir atimkime iš jos monomiją $ab$:
Iš viso gauname:
Tai yra, dviejų vienatūrių kvadratų skirtumas yra lygus jų skirtumo ir jų sumos sandaugai.
1 pavyzdys
Išreikškite kaip $(4x)^2-y^2$ sandaugą
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\kairė(2x-y\dešinė)(2x+y)\]
Kubų suma
Išvedame kubų sumos formulę $a^3+b^3$.
Išimkime įprastus veiksnius iš skliaustų:
Išimkime $\left(a+b\right)$ iš skliaustų:
Iš viso gauname:
Tai yra, dviejų vienatūrių kubų suma yra lygi jų sumos sandaugai iš nepilno skirtumo kvadrato.
2 pavyzdys
Išreikškite kaip produktą $(8x)^3+y^3$
Ši išraiška gali būti perrašyta tokia forma:
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
Naudodami kvadratų skirtumo formulę, gauname:
\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
Kubelių skirtumas
Išvedame kubelių $a^3-b^3$ skirtumo formulę.
Norėdami tai padaryti, naudosime tą pačią taisyklę, kaip aprašyta aukščiau.
Pridėkime prie savo išraiškos ir atimkime iš jos vienatūrius $a^2b\ ir\ (ab)^2$:
Išimkime įprastus veiksnius iš skliaustų:
Išimkime $\left(a-b\right)$ iš skliaustų:
Iš viso gauname:
Tai yra, dviejų vienatūrių kubelių skirtumas yra lygus jų skirtumo sandaugai nepilnu jų sumos kvadratu.
3 pavyzdys
Išreikškite kaip $(8x)^3-y^3$ sandaugą
Ši išraiška gali būti perrašyta tokia forma:
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
Naudodami kvadratų skirtumo formulę, gauname:
\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
Kvadratų skirtumo ir kubelių sumos bei skirtumo formulių naudojimo užduočių pavyzdys
4 pavyzdys
Padauginti.
a) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Sprendimas:
a) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
Taikydami kvadratų skirtumo formulę, gauname:
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
Parašykime šią išraišką tokia forma:
Taikykime kubelių kubelių formulę:
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
Parašykime šią išraišką tokia forma:
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
Taikykime kubelių kubelių formulę:
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]
Sumažintos daugybos formulės arba taisyklės naudojamos aritmetikoje, o tiksliau algebroje, kad būtų galima greičiau apskaičiuoti dideles algebrines išraiškas. Pačios formulės yra išvestos iš esamų kelių daugianario daugybos taisyklių algebroje.
Šių formulių naudojimas suteikia gana greitą įvairių matematinių problemų sprendimą, taip pat padeda supaprastinti išraiškas. Algebrinių transformacijų taisyklės leidžia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiškomis, po kurių galite gauti išraišką kairėje lygybės pusėje, kuri yra dešinėje pusėje, arba transformuoti dešinę lygybės pusę (norint gauti išraišką kairėje pusėje po lygybės ženklo).
Patogu žinoti formules, naudojamas sutrumpintai daugybai iš atminties, nes jos dažnai naudojamos sprendžiant uždavinius ir lygtis. Žemiau pateikiamos pagrindinės į šį sąrašą įtrauktos formulės ir jų pavadinimai.
sumos kvadratas
Norėdami apskaičiuoti sumos kvadratą, turite rasti sumą, kurią sudaro pirmojo nario kvadratas, dvigubai pirmojo ir antrojo nario sandauga ir antrojo nario kvadratas. Išraiškos forma ši taisyklė parašyta taip: (a + c)² = a² + 2ac + c².
Skirtumo kvadratas
Norėdami apskaičiuoti skirtumo kvadratą, turite apskaičiuoti sumą, kurią sudaro pirmojo skaičiaus kvadratas, pirmojo skaičiaus sandauga du kartus iš antrojo (paimta su priešingu ženklu) ir antrojo skaičiaus kvadratas. Išraiškos forma ši taisyklė atrodo taip: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
Kvadratų skirtumas
Dviejų skaičių skirtumo kvadratu formulė lygi šių skaičių ir skirtumo sandaugai. Išraiškos forma ši taisyklė atrodo taip: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
sumos kubas
Norėdami apskaičiuoti dviejų narių sumos kubą, turite apskaičiuoti sumą, kurią sudaro pirmojo nario kubas, trigubai pirmojo ir antrojo nario kvadrato sandaugos, trigubo pirmojo ir antrojo nario sandaugos. kvadratu, o antrojo nario kubas. Išraiškos forma ši taisyklė atrodo taip: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Kubų suma
Pagal formulę jis lygus šių narių sumos ir nepilnojo skirtumo kvadrato sandaugai. Išraiškos forma ši taisyklė atrodo taip: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
Pavyzdys. Būtina apskaičiuoti figūros tūrį, kuri susidaro pridedant du kubus. Žinomi tik jų šonų dydžiai.
Jei šonų vertės yra mažos, tada nesunku atlikti skaičiavimus.
Jei kraštinių ilgiai išreiškiami sudėtingais skaičiais, tokiu atveju lengviau pritaikyti formulę „Kubų suma“, kuri labai supaprastins skaičiavimus.
skirtumo kubas
Kubinio skirtumo išraiška skamba taip: kaip pirmojo nario trečiosios laipsnio sumą, pirmojo nario kvadrato neigiamą sandaugą patrigubinkite iš antrojo, o pirmojo nario sandaugą trigubinkite iš antrojo nario kvadrato. , o antrojo nario neigiamas kubas. Matematinės išraiškos pavidalu skirtumo kubas atrodo taip: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Kubelių skirtumas
Kubų skirtumo formulė nuo kubų sumos skiriasi tik vienu ženklu. Taigi kubelių skirtumas yra formulė, lygi šių skaičių skirtumo sandaugai iš nepilno sumos kvadrato. Formoje kubelių skirtumas atrodo taip: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Pavyzdys. Būtina apskaičiuoti figūros tūrį, kuris liks iš mėlyno kubo tūrio atėmus geltoną tūrinę figūrą, kuri taip pat yra kubas. Žinomas tik mažo ir didelio kubo kraštinės dydis.
Jei šonų vertės yra mažos, skaičiavimai yra gana paprasti. Ir jei kraštinių ilgiai išreiškiami reikšmingais skaičiais, tuomet verta naudoti formulę pavadinimu „Kubų skirtumas“ (arba „Skirtumo kubas“), kuri labai supaprastins skaičiavimus.
Sutrumpintos daugybos formulės (FSU) naudojamos skaičiams ir išraiškoms kelti ir dauginti. Dažnai šios formulės leidžia atlikti skaičiavimus kompaktiškiau ir greičiau.
Šiame straipsnyje išvardysime pagrindines sutrumpinto daugybos formules, sugrupuosime jas į lentelę, apsvarstysime šių formulių naudojimo pavyzdžius, taip pat pasiliksime ties sutrumpintų daugybos formulių įrodinėjimo principais.
Pirmą kartą FSU tema nagrinėjama kurse „Algebra“ 7 klasei. Žemiau yra 7 pagrindinės formulės.
Sutrumpintos daugybos formulės
- sumos kvadrato formulė: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- skirtumo kvadrato formulė: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- sumos kubo formulė: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- skirtumo kubo formulė: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- kvadratų formulės skirtumas: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- kubų sumos formulė: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- kubo skirtumo formulė: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Raidės a, b, c šiuose posakiuose gali būti bet kokie skaičiai, kintamieji arba išraiškos. Kad būtų lengviau naudotis, septynias pagrindines formules geriau išmokti mintinai. Mes juos apibendriname lentelėje ir pateikiame žemiau, apjuosdami juos langeliu.
Pirmosios keturios formulės leidžia atitinkamai apskaičiuoti dviejų išraiškų sumos arba skirtumo kvadratą arba kubą.
Penktoji formulė apskaičiuoja išraiškų kvadratų skirtumą, padaugindama jų sumą ir skirtumą.
Šeštoji ir septintoji formulės yra atitinkamai išraiškų sumos ir skirtumo padauginimas iš skirtumo nepilno kvadrato ir nepilnojo sumos kvadrato.
Sutrumpinta daugybos formulė kartais dar vadinama sutrumpintomis daugybos tapatybėmis. Tai nenuostabu, nes kiekviena lygybė yra tapatybė.
Sprendžiant praktinius pavyzdžius, dažnai naudojamos sutrumpintos daugybos formulės su pertvarkytomis kairiąja ir dešiniąja dalimis. Tai ypač patogu skaičiuojant daugianarį.
Papildomos sutrumpintos daugybos formulės
Neapsiribosime vien 7 klasės algebros kursu ir į savo FSU lentelę įtrauksime dar keletą formulių.
Pirma, apsvarstykite Niutono binominę formulę.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Čia C n k yra dvinariai koeficientai, esantys Paskalio trikampio eilutėje n. Binominiai koeficientai apskaičiuojami pagal formulę:
C nk = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n – (k – 1)) k !
Kaip matote, skirtumo ir sumos kvadrato ir kubo FSU yra ypatingas Niutono binominės formulės atvejis, kai atitinkamai n=2 ir n=3.
Bet ką daryti, jei sumoje yra daugiau nei du terminai, kuriuos reikia pakelti į laipsnį? Pravers trijų, keturių ar daugiau narių sumos kvadrato formulė.
a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Kita formulė, kuri gali būti naudinga, yra dviejų dėmenų n-ųjų laipsnių skirtumo formulė.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Ši formulė paprastai skirstoma į dvi formules – atitinkamai lyginiams ir nelyginiams laipsniams.
Lyginiams eksponentams 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Nelyginiams rodikliams 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Kvadratų skirtumo ir kubelių skirtumo formulės, jūs atspėjote, yra specialūs šios formulės atvejai, kai atitinkamai n = 2 ir n = 3. Dėl kubelių skirtumo b taip pat pakeičiamas - b .
Kaip skaityti sutrumpintas daugybos formules?
Kiekvienai formulei pateiksime atitinkamas formuluotes, bet pirmiausia panagrinėsime formulių skaitymo principą. Lengviausias būdas tai padaryti yra pavyzdžiu. Paimkime pačią pirmąją dviejų skaičių sumos kvadrato formulę.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Jie sako: dviejų išraiškų a ir b sumos kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratų sumai, dvigubai išraiškų sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui.
Visos kitos formulės skaitomos panašiai. Skirtumui kvadratu a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 rašome:
dviejų reiškinių a ir b skirtumo kvadratas yra lygus šių reiškinių kvadratų sumai, atėmus dvigubą pirmosios ir antrosios išraiškos sandaugą.
Perskaitykime formulę a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Dviejų išraiškų a ir b sumos kubas yra lygus šių išraiškų kubų sumai, tris kartus padauginus pirmosios ir antrosios išraiškos kvadrato sandaugą ir tris kartus iš antrosios išraiškos kvadrato sandaugą. ir pirmoji išraiška.
Toliau skaitome kubelių skirtumo formulę a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Dviejų išraiškų a ir b skirtumo kubas yra lygus pirmosios išraiškos kubui, atėmus tris kartus pirmosios ir antrosios išraiškos kvadratą, plius tris kartus iš antrosios išraiškos ir pirmosios išraiškos kvadrato, atėmus kubą antrosios išraiškos.
Penktoji formulė a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (kvadratų skirtumas) skamba taip: dviejų išraiškų kvadratų skirtumas yra lygus skirtumo ir dviejų išraiškų sumos sandaugai.
Tokios išraiškos kaip a 2 + a b + b 2 ir a 2 - a b + b 2 patogumo dėlei vadinamos atitinkamai nepilnu sumos kvadratu ir nepilnu skirtumo kvadratu.
Atsižvelgiant į tai, kubelių sumos ir skirtumo formulės skaitomos taip:
Dviejų išraiškų kubų suma lygi šių išraiškų sumos ir nepilnojo jų skirtumo kvadrato sandaugai.
Dviejų išraiškų kubelių skirtumas yra lygus šių reiškinių skirtumo sandaugai nepilnu jų sumos kvadratu.
FSU įrodymas
Įrodyti FSU yra gana paprasta. Remdamiesi daugybos savybėmis, atliksime skliausteliuose esančių formulių dalių dauginimą.
Pavyzdžiui, apsvarstykite skirtumo kvadrato formulę.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Norint pakelti išraišką į antrą laipsnį, išraiška turi būti padauginta iš savęs.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Išplėskime skliaustus:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Formulė įrodyta. Kiti FSO yra įrodyta panašiai.
FSO taikymo pavyzdžiai
Trumpųjų daugybos formulių naudojimo tikslas – greitai ir glaustai padauginti ir didinti išraiškas. Tačiau tai nėra visa FSO taikymo sritis. Jie plačiai naudojami redukuojant išraiškas, mažinant trupmenas, faktorinuojant polinomus. Pateikime pavyzdžių.
1 pavyzdys. FSO
Supaprastinkime reiškinį 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Taikykite kvadratų sumos formulę ir gaukite:
9 m. – (1 + 3 m.) 2 = 9 m. – (1 + 6 m. + 9 m. 2) = 9 m. – 1. 6. 9. 2 = 3 m. – 1. 9. 2.
2 pavyzdys. FSO
Sumažinkite trupmeną 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Pastebime, kad išraiška skaitiklyje yra kubelių skirtumas, o vardiklyje - kvadratų skirtumas.
8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4 \u003d 2 x – z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Sumažiname ir gauname:
8 x 3 – z 6 4 x 2 – z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU taip pat padeda apskaičiuoti išraiškų reikšmes. Svarbiausia, kad būtų galima pastebėti, kur taikyti formulę. Parodykime tai pavyzdžiu.
Padėkime skaičių 79 kvadratu. Vietoj sudėtingų skaičiavimų rašome:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Atrodytų, kad sudėtingas skaičiavimas buvo atliktas greitai, naudojant tik sutrumpintas daugybos formules ir daugybos lentelę.
Kitas svarbus dalykas yra dvinario kvadrato pasirinkimas. Išraišką 4 x 2 + 4 x - 3 galima konvertuoti į 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tokios transformacijos plačiai naudojamos integruojant.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
