Kaip išspręsti lygtį dvigubais skliaustais. Skliaustų išplėtimas: taisyklės ir pavyzdžiai (7 klasė). Tikrojo gyvenimo paprastų tiesinių lygčių pavyzdžių sprendimas

Lygtis su vienu nežinomu, kuri, atidarius skliaustus ir sumažinus panašius terminus, įgauna formą

kirvis + b \u003d 0, kur a ir b yra savavališki skaičiai, vadinami tiesinė lygtis su vienu nežinomu. Šiandien mes išsiaiškinsime, kaip išspręsti šias tiesines lygtis.

Pavyzdžiui, visos lygtys:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - tiesinis.

Vadinama nežinomybės vertė, paverčianti lygtį tikra lygybe sprendimas arba lygties šaknis .

Pavyzdžiui, jei lygtyje 3x + 7 \u003d 13 vietoj nežinomo x pakeisime skaičių 2, tada gausime teisingą lygybę 3 · 2 +7 \u003d 13. Taigi reikšmė x \u003d 2 yra lygties sprendimas arba šaknis.

Reikšmė x \u003d 3 nepaverčia lygties 3x + 7 \u003d 13 tikra lygybe, nes 3,2 +7 ≠ 13. Taigi reikšmė x \u003d 3 nėra lygties sprendimas ar šaknis.

Bet kokių tiesinių lygčių sprendimas yra sumažintas iki formos lygčių sprendimo

kirvis + b \u003d 0.

Perkeldami laisvąjį terminą iš kairės lygties pusės į dešinę, pakeisdami ženklą priešais b į priešingą, gausime

Jei a ≠ 0, tada x \u003d - b / a .

1 pavyzdys. Išspręskite 3x + 2 \u003d 11 lygtį.

Perkelkite 2 iš kairės lygties pusės į dešinę, pakeisdami ženklą priešais 2 į priešingą, gausime
3x \u003d 11 - 2.

Tada atimkite
3x \u003d 9.

Norėdami rasti x, turite padalyti produktą iš žinomo veiksnio, tai yra
x \u003d 9: 3.

Taigi reikšmė x \u003d 3 yra lygties sprendimas arba šaknis.

Atsakymas: x \u003d 3.

Jei a \u003d 0 ir b \u003d 0, tada gausime lygtį 0x \u003d 0. Ši lygtis turi be galo daug sprendimų, nes dauginant bet kurį skaičių iš 0 gauname 0, bet b taip pat yra 0. Bet kuris skaičius yra šios lygties sprendimas.

2 pavyzdys.Išspręskite 5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1 lygtį.

Išplėskime skliaustus:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Čia yra panašių terminų:
0x \u003d 0.

Atsakymas: x yra bet kuris skaičius.

Jei a \u003d 0 ir b ≠ 0, tada gauname lygtį 0x \u003d - b. Ši lygtis neturi sprendimų, nes padauginę bet kurį skaičių iš 0, gausime 0, bet b ≠ 0.

3 pavyzdys.Išspręskite x + 8 \u003d x + 5 lygtį.

Grupuokime narius, kurių kairėje yra nežinomieji, o dešinėje - laisvus narius:
x - x \u003d 5 - 8.

Čia yra panašių terminų:
0x \u003d - 3.

Atsakymas: sprendimų nėra.

Ant 1 paveikslas parodyta tiesinės lygties sprendimo schema

Paruoškime bendrą lygčių su vienu kintamuoju sprendimo schemą. Apsvarstykite 4 pavyzdžio sprendimą.

4 pavyzdys. Tegul bus išspręsta lygtis

1) Padauginkite visas lygties sąlygas iš mažiausio vardiklių daugiklio, lygus 12.

2) Po redukcijos gauname
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Norėdami atskirti narius, kuriuose yra nežinomų ir laisvų narių, išplėsime skliaustus:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Grupuokime vienoje dalyje narius, kuriuose yra nežinomieji, o kitoje - laisvuosius narius:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Čia yra panašių terminų:
- 22x \u003d - 154.

6) Padalinti iš - 22, gauname
x \u003d 7.

Kaip matote, lygties šaknis yra septyni.

Paprastai toks lygtis galima išspręsti pagal šią schemą:

a) paversti lygtį visa jos forma;

b) atidarykite skliaustus;

c) vienoje lygties dalyje sugrupuokite terminus, kuriuose yra nežinoma, o kitoje - laisvuosius;

d) pritraukti panašių narių;

e) išspręskite formos ax \u003d b lygtį, kuri buvo gauta atvedus panašius terminus.

Tačiau ši schema nereikalinga kiekvienai lygčiai. Sprendžiant daug paprastesnių lygčių, reikia pradėti ne nuo pirmosios, o nuo antrosios ( Pavyzdys. 2), trečias ( Pavyzdys. 13) ir net nuo penkto etapo, kaip 5 pavyzdyje.

5 pavyzdys.Išspręskite lygtį 2x \u003d 1/4.

Raskite nežinomą x \u003d 1/4: 2,
x \u003d 1/8 .

Apsvarstykite kai kurių tiesinių lygčių, rastų pagrindiniame valstybiniame egzamine, sprendimą.

6 pavyzdys.Išspręskite 2 lygtį (x + 3) \u003d 5 - 6x.

2x + 6 \u003d 5 - 6x

2x + 6x \u003d 5 - 6

Atsakymas: - 0, 125

7 pavyzdys.Išspręskite lygtį - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

- 30 + 18x \u003d 8x - 7

18x - 8x \u003d - 7 +30

Atsakymas: 2.3

8 pavyzdys. Išspręskite lygtį

3 (3x - 4) \u003d 4,7x + 24

9x - 12 \u003d 28x + 24

9x - 28x \u003d 24 + 12

9 pavyzdys.Raskite f (6), jei f (x + 2) \u003d 3 7

Sprendimas

Kadangi turime rasti f (6) ir žinome f (x + 2),
tada x + 2 \u003d 6.

Išspręskite tiesinę lygtį x + 2 \u003d 6,
gauname x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Jei x \u003d 4, tada
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

Atsakymas: 27.

Jei vis dar turite klausimų, jei norite nuodugniau suprasti lygčių sprendimą, užsiregistruokite į mano pamokas Tvarkaraštyje. Mielai jums padėsiu!

„TutorOnline“ taip pat pataria žiūrėti naują mūsų vadovės Olgos Aleksandrovnos vaizdo įrašo pamoką, kuri padės suprasti tiek tiesines, tiek kitas lygtis.

svetainėje, visiškai ar iš dalies kopijuojant medžiagą, būtina pateikti nuorodą į šaltinį.

Tiesinės lygtys. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiagos Specialus skyrius 555.
Tiems, kurie „nėra labai ...“
Ir tiems, kurie yra „labai tolygūs ...“)

Tiesinės lygtys.

Linijinės lygtys nėra pati sunkiausia tema mokyklos matematikoje. Tačiau ten yra gudrybių, kurios gali sugluminti net apmokytą studentą. Ar išsiaiškinsime?)

Paprastai tiesinė lygtis apibrėžiama kaip formos lygtis:

kirvis + b = 0 Kur a ir b - bet kokie skaičiai.

2x + 7 \u003d 0. Čia a \u003d 2, b \u003d 7

0,1x - 2,3 \u003d 0 Čia a \u003d 0,1, b \u003d -2,3

12x + 1/2 \u003d 0 Čia a \u003d 12, b \u003d 1/2

Nieko nesudėtingo, tiesa? Ypač jei nepastebite žodžių: "kur a ir b yra bet kokie skaičiai"... Ir jei pastebi, bet nerūpestingai pagalvoji?) Juk jei a \u003d 0, b \u003d 0 (galimi bet kokie skaičiai?), tada gausite juokingą išraišką:

Bet tai dar ne viskas! Jei, tarkim, a \u003d 0, ir b \u003d 5, pasirodo visai kažkas neįprasto:

Kas įtempia ir pakerta pasitikėjimą matematika, taip ...) Ypač egzaminuose. Bet iš šių keistų posakių taip pat būtina rasti X! Ko visai nėra. Keista, kad šį X rasti labai lengva. Išmoksime, kaip tai padaryti. Šioje pamokoje.

Kaip sužinoti tiesinę lygtį pagal jos išvaizdą? Tai priklauso nuo to, kokia išvaizda.) Apgaulė ta, kad tiesinės lygtys nėra tik formos lygtys kirvis + b = 0 , bet ir visas lygtis, kurias iki šios formos redukuoja transformacijos ir supaprastinimai. Ir kas žino, ar jį galima sumažinti, ar ne?)

Kai kuriais atvejais galima aiškiai atpažinti tiesinę lygtį. Tarkime, jei turime lygtį, kurioje yra tik pirmojo laipsnio nežinomieji, ir skaičius. Ir lygtyje nėra trupmenos, padalytos iš nežinoma , svarbu! Ir padalijimas skaičius, arba skaitinė dalis - prašau! Pavyzdžiui:

Tai yra tiesinė lygtis. Čia yra trupmenos, tačiau kvadrate, kube ir kt. Nėra x, o vardikliuose nėra x, t. ne padalijimas iš x... Ir čia yra lygtis

negalima vadinti tiesine. Čia visi X yra pirmojo laipsnio, tačiau yra dalijimasis išraiška su x... Po supaprastinimų ir transformacijų galite gauti tiesinę lygtį, kvadratą ir viską, kas jums patinka.

Pasirodo, kad neįmanoma sužinoti tiesinės lygties kokiame nors gudriame pavyzdyje, kol jos beveik neišspręsite. Tai kelia nerimą. Bet užduotyse paprastai neklausiama apie lygties tipą, tiesa? Užduotims pateikiamos lygtys išspręsti. Tai mane džiugina.)

Tiesinių lygčių sprendimas. Pavyzdžiai.

Visas tiesinių lygčių sprendimas susideda iš identiškos lygčių transformacijos. Beje, šios transformacijos (net dvi!) Yra sprendimų pagrindas visos matematikos lygtys. Kitaip tariant, sprendimas bet koks lygtis prasideda būtent šiomis transformacijomis. Tiesinių lygčių atveju jis (sprendimas) remiasi šiomis transformacijomis ir baigiasi visaverčiu atsakymu. Tikslinga pereiti prie nuorodos, tiesa?) Be to, yra ir tiesinių lygčių sprendimo pavyzdžių.

Pradėkime nuo paprasčiausio pavyzdžio. Jokių spąstų. Tarkime, kad turime išspręsti šią lygtį.

x - 3 \u003d 2 - 4x

Tai yra tiesinė lygtis. X yra visi pirmajame laipsnyje, nėra dalijimo iš X. Bet iš tikrųjų mums nesvarbu, kokia tai lygtis. Turime tai išspręsti. Schema paprasta. Surinkite viską su x kairėje lygties pusėje, viską be x (skaičiaus) dešinėje.

Norėdami tai padaryti, turite perkelti - 4x į kairę, žinoma, pasikeitus ženklui, bet - 3 - į dešinę. Beje, taip yra pirmasis identiškas lygčių transformavimas. Ar tu nustebintas? Taigi, mes nesinaudojome nuoroda, bet veltui ...) Gauname:

x + 4x \u003d 2 + 3

Mes teikiame panašius, mes tikime:

Ko mums trūksta visiškos laimės? Taip, kad kairėje pusėje būtų švarus X! Penki yra kelyje. Atsikratyti penkių geriausių antroji identiška lygčių transformacija. Būtent, mes padalijame abi lygties puses iš 5. Gauname paruoštą atsakymą:

Žinoma, elementarus pavyzdys. Tai skirta apšilimui.) Nėra labai aišku, kodėl čia prisiminiau identiškas transformacijas? Gerai. Imame jautį už ragų.) Nuspręskime ką nors įspūdingesnio.

Pvz., Čia pateikiama lygtis:

Nuo ko pradėti? Su x - į kairę, be x - į dešinę? Gali taip būti. Maži žingsniai palei ilgą kelią. Arba galite iš karto, visuotinai ir galingai. Jei, žinoma, turite savo arsenale identiškos lygčių transformacijos.

Aš užduodu jums pagrindinį klausimą: kas tau labiausiai nepatinka šioje lygtyje?

95 žmonės iš 100 atsakys: trupmenos ! Atsakymas teisingas. Taigi atsikratykime jų. Todėl mes pradedame iš karto antroji tapatybės transformacija... Ko jums reikia padauginti trupmeną kairėje, kad būtų galima visiškai sumažinti vardiklį? Teisingai, 3. O dešinėje? Iki 4. Bet matematika leidžia padauginti abi puses iš tas pats numeris... Kaip mums išeiti? Padauginkime abi puses iš 12! Tie. bendro vardiklio. Tada sumažės ir trys, ir keturi. Nepamirškite, kad reikia padauginti kiekvieną dalį visiškai... Taip atrodo pirmasis žingsnis:

Išskleiskite skliaustus:

Atkreipkite dėmesį! Skaitiklis (x + 2) Aš skliausteliuose! Taip yra todėl, kad padauginus trupmenas, skaitiklis padauginamas visiškai, visiškai! O dabar trupmenas galima sumažinti:

Išskleiskite likusius skliaustus:

Ne pavyzdys, o vien malonumas!) Dabar mes priminsime burtą iš pradinių klasių: su x - į kairę, be x - į dešinę! Ir pritaikykite šią transformaciją:

Čia yra panašių:

Ir abi dalis padalijame iš 25, t.y. vėl pritaikykite antrą transformaciją:

Tai viskas. Atsakymas: x=0,16

Atkreipkite dėmesį: kad pradinė netvarkinga lygtis būtų maloni, naudojome dvi (tik dvi!) identiškos transformacijos - perkelkite kairę į dešinę, pakeisdami ženklą ir padauginę padalijimą iš lygties tuo pačiu numeriu. Tai universalus būdas! Mes dirbsime tokiu būdu su bet koks lygtis! Visiškai bet koks. Štai kodėl aš nuolat kartoju šias tapačias transformacijas.)

Kaip matote, linijinių lygčių sprendimo principas yra paprastas. Paimkite lygtį ir supaprastinkite ją identiškos transformacijos kol nebus gautas atsakymas. Pagrindinės problemos čia yra skaičiavime, o ne iš esmės sprendime.

Bet ... elementariausių tiesinių lygčių sprendimo procese yra tokie netikėtumai, kad jie gali priversti jus patekti į stiprų stuporą ...) Laimei, tokių staigmenų gali būti tik dvi. Pavadinkime juos ypatingais atvejais.

Ypatingi atvejai sprendžiant tiesines lygtis.

Pirmoji staigmena.

Tarkime, kad susidūrėte su elementaria lygtimi, panašiai:

2x + 3 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

Šiek tiek nuobodžiaujant, perkeliame jį su x į kairę, be x į dešinę ... Pakeitus ženklą, viskas yra smakras-chinaras ... Gauname:

2x-5x + 3x \u003d 5-2-3

Mes svarstome, ir ... o šūdas !!! Mes gauname:

Ši lygybė savaime nėra neprieštaraujama. Nulis iš tikrųjų yra nulis. Bet X nebėra! Ir mes turime parašyti atsakymą kas yra x. Kitu atveju sprendimas nesiskaito, taip ...) Aklavietė?

Ramus! Tokiais abejotinais atvejais gelbsti pačios bendros taisyklės. Kaip išspręsti lygtis? Ką reiškia išspręsti lygtį? Tai reiškia, suraskite visas x reikšmes, kurios, pakeitus pradine lygtimi, suteiks mums teisingą lygybę.

Bet mes turime tikrą lygybę jau įvyko! 0 \u003d 0, kiek tiksliau? Belieka išsiaiškinti, kokiu xx pasirodo. Kokias x reikšmes galima pakeisti pradinis lygtis, jei šie x vis tiek sumažės iki nulio? Nagi?)

Taip !!! X gali būti pakeistas bet koks! Ko nori. Mažiausiai 5, mažiausiai 0,05, mažiausiai -220. Jie vis tiek sumažės. Jei netikite, galite tai patikrinti.) Pakeiskite visas x reikšmes pradinis lygtis ir skaičius. Visą laiką bus gauta gryna tiesa: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7,1 \u003d -7,1 ir pan.

Štai atsakymas: x - bet koks skaičius.

Atsakymą galima parašyti skirtingais matematiniais simboliais, esmė nesikeičia. Tai visiškai teisingas ir išsamus atsakymas.

Antra staigmena.

Paimkime tą pačią elementarią tiesinę lygtį ir pakeiskime joje tik vieną skaičių. Tai mes išspręsime:

2x + 1 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

Po tų pačių tapačių virsmų gauname kažką intriguojančio:

Kaip šitas. Išsprendė tiesinę lygtį, gavo keistą lygybę. Matematiškai kalbant, mes gavome neteisinga lygybė. Ir kalbėdamas paprasta kalba, tai netiesa. Rave. Nepaisant to, ši nesąmonė yra labai gera priežastis teisingai išspręsti lygtį.)

Vėlgi, mes galvojame remdamiesi bendrosiomis taisyklėmis. Ką mums suteiks x, pakeistas į pradinę lygtį tiesa lygybė? Taip, nė vieno! Tokių x nėra. Kad ir ką pakeistumėte, viskas sumažės, kliedesys išliks.)

Štai atsakymas: jokių sprendimų.

Tai taip pat išsamus atsakymas. Matematikoje tokie atsakymai yra dažni.

Kaip šitas. Dabar, tikiuosi, x praradimas sprendžiant bet kokią (ne tik tiesinę) lygtį jūsų visiškai nesupainios. Klausimas jau yra žinomas.)

Dabar, kai išsiaiškinome visas linijinių lygčių spąstus, prasminga juos išspręsti.

Jei jums patinka ši svetainė ...

Beje, turiu jums dar porą įdomių svetainių.)

Galite praktikuoti sprendžiant pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Momentinis patvirtinimo testavimas. Mokymasis - su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir dariniais.

Skliausteliai naudojami nurodant veiksmų atlikimo tvarką skaitine, pažodine ir kintama išraiškomis. Patogu pereiti nuo išraiškos su skliaustais prie identiškai lygios išraiškos be skliaustų. Ši technika vadinama skliaustų išplėtimu.

Išskleisti skliaustus reiškia atsikratyti išraiškos iš tų skliaustų.

Ypatingas dėmesys nusipelno dar vieno dalyko, kuris susijęs su sprendimų įrašymo ypatumais atidarant skliaustus. Pradinę išraišką galime užrašyti skliaustais, o rezultatą, gautą išplėtę skliaustus, galime rašyti kaip lygybę. Pvz., Išplėtę skliaustus, vietoj išraiškos
3− (5−7) gauname išraišką 3−5 + 7. Abi šias išraiškas galime parašyti lygybe 3− (5−7) \u003d 3−5 + 7.

Ir dar vienas svarbus momentas. Matematikoje, norint sutrumpinti įrašus, įprasta nerašyti pliuso ženklo, jei jis pirmiausia rodomas išraiškoje ar skliausteliuose. Pavyzdžiui, jei pridedame du teigiamus skaičius, pavyzdžiui, septynis ir tris, tada rašome ne + 7 + 3, o tiesiog 7 + 3, nepaisant to, kad septyni taip pat yra teigiamas skaičius. Panašiai, jei matote, pavyzdžiui, išraišką (5 + x) - žinokite, kad prieš skliaustus yra pliusas, kuris nėra parašytas, o prieš penkis yra pliusas + (+ 5 + x).

Be to, skliaustų išplėtimo taisyklė

Išplečiant skliaustus, jei prieš skliausteliuose yra pliusas, šis pliusas praleidžiamas kartu su skliaustais.

Pavyzdys. Išskleisti skliaustus išraiška 2 + (7 + 3) Prieš skliaustus, plius, todėl ženklai prieš skaičius skliaustuose nesikeičia.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Parenthesis išplėtimo taisyklė atimant

Jei prieš skliausteliuose yra minusas, šis minusas praleidžiamas kartu su skliaustais, tačiau skliaustuose buvę terminai pakeičia ženklą į priešingą. Ženklo nebuvimas prieš skliausteliuose esantį pirmąjį terminą reiškia + ženklą.

Pavyzdys. Išskleisti skliaustus 2 išraiškoje - (7 + 3)

Prieš skliausteliuose yra minusas, o tai reiškia, kad reikia pakeisti ženklus prieš skaičius iš skliausteliuose. Prieš skaičių 7 skliaustuose nėra jokio ženklo, tai reiškia, kad septyni yra teigiami, laikoma, kad prieš jį yra + ženklas.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Išplėsdami skliaustus, iš pavyzdžio pašaliname minusą, kuris buvo prieš skliaustelius, ir pačius skliaustus 2 - (+ 7 + 3), o skliausteliuose buvę ženklai yra pakeisti.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Skliaustai išplečiami dauginant

Jei prieš skliausteliuose yra daugybos ženklas, kiekvienas skliaustuose esantis skaičius padauginamas iš koeficiento prieš skliausteliuose. Šiuo atveju padauginus minusą iš minuso gaunamas pliusas, o padauginus minusą iš pliuso, taip pat padauginus pliusą iš minuso, gaunamas minusas.

Taigi skliaustai darbuose išplečiami atsižvelgiant į daugybos skirstomąją savybę.

Pavyzdys. 2 (9–7) \u003d 2 9–2 7

Padauginus skliaustus iš skliaustų, kiekvienas pirmojo skliausto narys padauginamas iš kiekvieno antrojo skliausto nario.

(2 + 3) (4 + 5) \u003d 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Tiesą sakant, nereikia įsiminti visų taisyklių, pakanka prisiminti tik vieną, tai yra: c (a-b) \u003d ca-cb. Kodėl? Nes jei vietoj c pakeisite joje vieną, gausite taisyklę (a - b) \u003d a - b. Ir jei pakeisime minusą vieną, gausime taisyklę - (a - b) \u003d - a + b. Na, jei vietoj c pakeisite kitą skliaustą, galite gauti paskutinę taisyklę.

Skliaustų išplėtimas dalijant

Jei po skliaustuose yra dalijimo ženklas, tada kiekvienas skliaustuose esantis skaičius padalinamas dalikliu po skliaustais ir atvirkščiai.

Pavyzdys. (9 + 6): 3 \u003d 9: 3 + 6: 3

Kaip išplėsti įdėtus skliaustus

Jei išraiškoje yra įdėtų skliaustų, jie išplečiami tvarka, pradedant išoriniais arba vidiniais.

Tuo pačiu metu, atidarant vieną iš skliaustų, svarbu neliesti likusių skliaustų, tiesiog perrašyti juos tokius, kokie yra.

Pavyzdys. 12 - (a + (6 - b) - 3) \u003d 12 - a - (6 - b) + 3 \u003d 12 - a - 6 + b + 3 \u003d 9 - a + b

Lygtis su vienu nežinomu, kuri, atidarius skliaustus ir sumažinus panašius terminus, įgauna formą

kirvis + b \u003d 0, kur a ir b yra savavališki skaičiai, vadinami tiesinė lygtis su vienu nežinomu. Šiandien mes išsiaiškinsime, kaip išspręsti šias tiesines lygtis.

Pavyzdžiui, visos lygtys:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - tiesinis.

Vadinama nežinomybės vertė, paverčianti lygtį tikra lygybe sprendimas arba lygties šaknis .

Pavyzdžiui, jei lygtyje 3x + 7 \u003d 13 vietoj nežinomo x pakeisime skaičių 2, tada gausime teisingą lygybę 3 · 2 +7 \u003d 13. Taigi reikšmė x \u003d 2 yra lygties sprendimas arba šaknis.

Reikšmė x \u003d 3 nepaverčia lygties 3x + 7 \u003d 13 tikra lygybe, nes 3,2 +7 ≠ 13. Taigi reikšmė x \u003d 3 nėra lygties sprendimas ar šaknis.

Bet kokių tiesinių lygčių sprendimas yra sumažintas iki formos lygčių sprendimo

kirvis + b \u003d 0.

Perkeldami laisvąjį terminą iš kairės lygties pusės į dešinę, pakeisdami ženklą priešais b į priešingą, gausime

Jei a ≠ 0, tada x \u003d - b / a .

1 pavyzdys. Išspręskite 3x + 2 \u003d 11 lygtį.

Perkelkite 2 iš kairės lygties pusės į dešinę, pakeisdami ženklą priešais 2 į priešingą, gausime
3x \u003d 11 - 2.

Tada atimkite
3x \u003d 9.

Norėdami rasti x, turite padalyti produktą iš žinomo veiksnio, tai yra
x \u003d 9: 3.

Taigi reikšmė x \u003d 3 yra lygties sprendimas arba šaknis.

Atsakymas: x \u003d 3.

Jei a \u003d 0 ir b \u003d 0, tada gausime lygtį 0x \u003d 0. Ši lygtis turi be galo daug sprendimų, nes dauginant bet kurį skaičių iš 0 gauname 0, bet b taip pat yra 0. Bet kuris skaičius yra šios lygties sprendimas.

2 pavyzdys.Išspręskite 5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1 lygtį.

Išplėskime skliaustus:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Čia yra panašių terminų:
0x \u003d 0.

Atsakymas: x yra bet kuris skaičius.

Jei a \u003d 0 ir b ≠ 0, tada gauname lygtį 0x \u003d - b. Ši lygtis neturi sprendimų, nes padauginę bet kurį skaičių iš 0, gausime 0, bet b ≠ 0.

3 pavyzdys.Išspręskite x + 8 \u003d x + 5 lygtį.

Grupuokime narius, kurių kairėje yra nežinomieji, o dešinėje - laisvus narius:
x - x \u003d 5 - 8.

Čia yra panašių terminų:
0x \u003d - 3.

Atsakymas: sprendimų nėra.

Ant 1 paveikslas parodyta tiesinės lygties sprendimo schema

Paruoškime bendrą lygčių su vienu kintamuoju sprendimo schemą. Apsvarstykite 4 pavyzdžio sprendimą.

4 pavyzdys. Tegul bus išspręsta lygtis

1) Padauginkite visas lygties sąlygas iš mažiausio vardiklių daugiklio, lygus 12.

2) Po redukcijos gauname
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Norėdami atskirti narius, kuriuose yra nežinomų ir laisvų narių, išplėsime skliaustus:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Grupuokime vienoje dalyje narius, kuriuose yra nežinomieji, o kitoje - laisvuosius narius:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Čia yra panašių terminų:
- 22x \u003d - 154.

6) Padalinti iš - 22, gauname
x \u003d 7.

Kaip matote, lygties šaknis yra septyni.

Paprastai toks lygtis galima išspręsti pagal šią schemą:

a) paversti lygtį visa jos forma;

b) atidarykite skliaustus;

c) vienoje lygties dalyje sugrupuokite terminus, kuriuose yra nežinoma, o kitoje - laisvuosius;

d) pritraukti panašių narių;

e) išspręskite formos ax \u003d b lygtį, kuri buvo gauta atvedus panašius terminus.

Tačiau ši schema nereikalinga kiekvienai lygčiai. Sprendžiant daug paprastesnių lygčių, reikia pradėti ne nuo pirmosios, o nuo antrosios ( Pavyzdys. 2), trečias ( Pavyzdys. 13) ir net nuo penkto etapo, kaip 5 pavyzdyje.

5 pavyzdys.Išspręskite lygtį 2x \u003d 1/4.

Raskite nežinomą x \u003d 1/4: 2,
x \u003d 1/8 .

Apsvarstykite kai kurių tiesinių lygčių, rastų pagrindiniame valstybiniame egzamine, sprendimą.

6 pavyzdys.Išspręskite 2 lygtį (x + 3) \u003d 5 - 6x.

2x + 6 \u003d 5 - 6x

2x + 6x \u003d 5 - 6

Atsakymas: - 0, 125

7 pavyzdys.Išspręskite lygtį - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

- 30 + 18x \u003d 8x - 7

18x - 8x \u003d - 7 +30

Atsakymas: 2.3

8 pavyzdys. Išspręskite lygtį

3 (3x - 4) \u003d 4,7x + 24

9x - 12 \u003d 28x + 24

9x - 28x \u003d 24 + 12

9 pavyzdys.Raskite f (6), jei f (x + 2) \u003d 3 7

Sprendimas

Kadangi turime rasti f (6) ir žinome f (x + 2),
tada x + 2 \u003d 6.

Išspręskite tiesinę lygtį x + 2 \u003d 6,
gauname x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Jei x \u003d 4, tada
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

Atsakymas: 27.

Jei vis dar turite klausimų, norima išsamiau suprasti lygčių sprendimą. Mielai jums padėsiu!

„TutorOnline“ taip pat pataria žiūrėti naują mūsų vadovės Olgos Aleksandrovnos vaizdo įrašo pamoką, kuri padės suprasti tiek tiesines, tiek kitas lygtis.

tinklaraščio svetainėje reikia visiškai arba iš dalies nukopijuoti medžiagą, reikalinga nuoroda į šaltinį.