Identiškos transformacijos. Išraiškų konvertavimas. Išsami teorija (2020 m.) Išraiška ir identiškos jų transformacijos
Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė apskaičiuojant išraiškos vertę, yra „pagrindinė“.
Tai yra, jei vietoj raidžių pakeisite keletą (bet kokių) skaičių ir bandysite apskaičiuoti išraiškos vertę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada mes turime sandaugą (išraiška yra faktorizuota).
Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas ar atimimas, tai reiškia, kad išraiška nėra suskirstyta į faktorius (todėl jos negalima atšaukti).
Norėdami patys išspręsti sprendimą, paimkite keletą pavyzdžių:
Pavyzdžiai:
Sprendimai:
1. Tikiuosi, kad tu nepuolei tuoj pat pjauti? Vis tiek nepakako „iškirpti“ tokius vienetus:
Pirmasis veiksmas turėtų būti faktoringas:
4. Sudedamos ir atimamos trupmenos. Dalinti trupmenas į bendrą vardiklį.
Paprastų trupmenų susiejimas ir atėmimas yra labai įprasta operacija: mes ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame / atimame skaitiklius.
Prisiminkime:
Atsakymai:
1. Vardikliai ir yra vienas kito pagrindiniai, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:
2. Čia bendras vardiklis yra:
3. Čia visų pirma sumaišytas trupmenas paverčiame neteisingomis, o tada - pagal įprastą schemą:
Visai kas kita, jei trupmenose yra raidės, pavyzdžiui:
Pradėkime paprastai:
a) Vardikliuose nėra raidžių
Čia viskas taip pat, kaip ir paprastose skaitinėse trupmenose: suraskite bendrą vardiklį, padauginkite kiekvieną trupmeną iš trūkstamo koeficiento ir suskaičiuokite / atimkite skaitiklius:
dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaidyti į veiksnius:
Išbandykite patys:
Atsakymai:
b) Vardikliuose yra raidės
Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:
· Pirmiausia nustatome bendrus veiksnius;
· Tada vieną kartą užrašykite visus įprastus veiksnius;
· Padauginkite juos iš visų kitų veiksnių, kurie nėra įprasti.
Norėdami nustatyti bendruosius vardiklių veiksnius, pirmiausia juos suskaidome į pagrindinius veiksnius:
Pabrėžkime bendrus veiksnius:
Dabar vieną kartą išrašykime bendruosius veiksnius ir pridėkime prie jų visus ne įprastus (ne pabrauktus) veiksnius:
Tai yra bendras vardiklis.
Grįžkime prie raidžių. Vardikliai rodomi lygiai taip pat:
· Skirstome vardiklius į veiksnius;
· Nustatome bendrus (identiškus) veiksnius;
· Vieną kartą parašykite visus įprastus veiksnius;
· Padauginame juos iš visų kitų, o ne dažnai pasitaikančių, veiksnių.
Taigi, eilės tvarka:
1) suskirstome vardiklius į veiksnius:
2) nustatome bendruosius (identiškus) veiksnius:
3) vieną kartą išrašome visus bendrus veiksnius ir padauginame juos iš visų kitų (neakcentuotų) veiksnių:
Taigi čia yra bendras vardiklis. Pirmoji dalis turi būti padauginta iš, antroji - iš:
Beje, yra vienas triukas:
Pavyzdžiui: .
Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi turi skirtingus rodiklius. Bendras vardiklis bus:
kiek
kiek
kiek
laipsniu.
Sudėtinkime užduotį:
Kaip trupmenas padaryti tą patį vardiklį?
Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:
Niekur nėra sakoma, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!
Patys įsitikinkite: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir, pavyzdžiui, pridėkite skaičių prie skaitiklio ir vardiklio. Ką tu išmokai?
Taigi, dar viena nepajudinama taisyklė:
Atvesdami trupmenas į bendrą vardiklį, naudokite tik dauginimą!
Bet ką reikia padauginti, kad gautum?
Čia ir padaugink. Ir padauginkite iš:
Išraiškos, kurių negalima suskaidyti į veiksnius, bus vadinamos „elementariaisiais veiksniais“.
Pavyzdžiui, yra elementarus veiksnys. - taip pat. Bet - ne: jis yra suskirstytas.
Ką manote apie išraišką? Ar tai elementaru?
Ne, nes tai galima suskirstyti į faktorius:
(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").
Taigi, elementarūs veiksniai, į kuriuos išskleidžiate išraišką raidėmis, yra analogiški pagrindiniams veiksniams, į kuriuos išskleidžiate skaičius. Ir su jais elgsimės taip pat.
Matome, kad abu vardikliai turi veiksnį. Jis atiteks bendram valdovo vardikliui (prisimeni kodėl?).
Veiksnys yra elementarus ir jiems nėra įprastas, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną paprasčiausiai teks padauginti iš jo:
Kitas pavyzdys:
Sprendimas:
Prieš panikoje padauginę šiuos vardiklius, turite pagalvoti, kaip juos suskirstyti į veiksnius? Jie abu atstovauja:
Puiku! Tada:
Kitas pavyzdys:
Sprendimas:
Kaip įprasta, suskirstykite vardiklius. Pirmajame vardiklyje mes paprasčiausiai padėjome jį už skliaustų; antrame - kvadratų skirtumas:
Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai įsižiūrėsite, jie bus tokie panašūs ... Ir tiesa:
Taigi parašykime:
Tai yra, pasirodė taip: skliaustų viduje mes pakeitėme terminus, o tuo pačiu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atkreipkite dėmesį, turėsite tai padaryti dažnai.
Dabar mes pasiekiame bendrą vardiklį:
Supratau? Patikrinkime dabar.
Nepriklausomo sprendimo užduotys:
Atsakymai:
Čia turime prisiminti dar vieną - skirtumą tarp kubelių:
Atkreipkite dėmesį, kad antrosios trupmenos vardiklis nėra formulės „sumos kvadratas“! Sumos kvadratas atrodytų taip:.
A yra vadinamasis neišsamus sumos kvadratas: antrasis terminas joje yra pirmojo ir paskutinio sandauga, o ne jų dvigubas sandauga. Nebaigtas sumos kvadratas yra vienas iš veiksnių, didinančių kubelių skirtumą:
Ką daryti, jei jau yra trys trupmenos?
Taip, tas pats! Pirmiausia įsitikinsime, kad maksimalus veiksnių skaičius vardikliuose yra vienodas:
Atkreipkite dėmesį: jei pakeisite ženklus viename skliauste, ženklas prieš trupmeną pasikeis į priešingą. Kai pakeičiame ženklus antroje skliaustoje, ženklas prieš trupmeną vėl apsisuka. Todėl jis (ženklas prieš trupmeną) nepasikeitė.
Užrašykite pirmąjį vardiklį bendrame vardiklyje ir pridėkite prie jo visus dar neparašytus veiksnius nuo antrojo, o paskui ir nuo trečiojo (ir taip toliau, jei yra daugiau trupmenų). Tai yra, pasirodo taip:
Hmm ... Su trupmenomis aišku, ką daryti. Bet kaip su deuce?
Tai paprasta: jūs žinote, kaip pridėti trupmenas, tiesa? Tai reiškia, kad mes turime padaryti, kad sutartis taptų trupmena! Atminkite: trupmena yra dalijimo operacija (skaitiklis padalinamas iš vardiklio, jei staiga pamiršote). Ir nieko nėra paprasčiau, nei padalinti skaičių iš. Tokiu atveju pats skaičius nepasikeis, bet virs dalimi:
Būtent tai, ko reikia!
5. trupmenų dauginimas ir dalijimas.
Na, dabar sunkiausia baigėsi. Mūsų laukia paprasčiausias, bet tuo pačiu ir pats svarbiausias dalykas:
Procedūra
Kokia yra skaitinės išraiškos skaičiavimo procedūra? Prisiminkite suskaičiavę šios išraiškos reikšmę:
Ar suskaičiavai?
Tai turėtų veikti.
Taigi, primenu.
Pirmiausia reikia apskaičiuoti laipsnį.
Antrasis yra dauginimas ir dalijimas. Jei vienu metu yra keli dauginimai ir dalybos, galite juos atlikti bet kokia tvarka.
Galiausiai mes darome sudėjimą ir atimimą. Vėlgi, bet kokia tvarka.
Bet: skliaustuose esanti išraiška vertinama ne eilės tvarka!
Jei keli skliaustai padauginami arba padalijami vienas į kitą, pirmiausia apskaičiuokite kiekvieno skliausto išraišką, tada padauginkite arba padalykite.
Ką daryti, jei skliaustuose yra daugiau skliaustų? Na, pagalvokime: skliausteliuose parašyta tam tikra išraiška. O ką pirmiausia reikia vertinti išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Na, mes tai supratome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.
Taigi aukščiau pateiktos išraiškos veiksmų tvarka yra tokia (dabartinis veiksmas yra paryškintas raudonai, ty veiksmas, kurį atlieku dabar):
Gerai, viskas paprasta.
Bet tai nėra tas pats, kas posakis raidėmis?
Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinių operacijų turite atlikti algebrines operacijas, ty veiksmus, aprašytus ankstesniame skyriuje: atnešdami panašius, frakcijų pridėjimas, trupmenų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas yra faktoringo daugianarių poveikis (kurį dažnai naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai faktoringuojant reikia naudoti „i“ arba tiesiog uždėti bendrą veiksnį skliausteliuose.
Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kūrinio ar konkretaus kūrinio forma.
Pavyzdžiui:
Supaprastinkime išraišką.
1) Pirmiausia supaprastiname skliaustuose esančią išraišką. Čia mes turime trupmenų skirtumą ir mūsų tikslas yra pateikti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi trupmenas pridedame prie bendro vardiklio ir pridedame:
Šios išraiškos supaprastinti nebeįmanoma, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar dar atsimenate, ką tai reiškia?).
2) Gauname:
Dalių dauginimas: kas gali būti lengviau.
3) Dabar galite sutrumpinti:
Viskas. Nieko sudėtinga, tiesa?
Kitas pavyzdys:
Supaprastinkite išraišką.
Pirmiausia pabandykite išspręsti patys, o tik tada pamatykite sprendimą.
Sprendimas:
Pirmiausia apibrėžkime veiksmų tvarką.
Pirma, skliausteliuose pridedame trupmenas, vietoj dviejų trupmenų gauname vieną.
Tada mes padalinsime trupmenas. Na, pridėkite rezultatą su paskutine trupmena.
Aš išvardysiu veiksmus schematiškai:
Dabar aš parodysiu visą procesą, dabartinį veiksmą nuspalvinsiu raudonai:
1. Jei yra panašių, juos reikia nedelsiant atvežti. Bet kurią akimirką turime panašių, pageidautina juos atsinešti iš karto.
2. Tas pats pasakytina ir apie frakcijų redukciją: kai tik yra galimybė sumažinti, ji turi būti naudojama. Išimtis yra trupmenos, kurias pridedate arba atimate: jei dabar jie turi tuos pačius vardiklius, tada redukciją reikėtų palikti vėliau.
Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:
Ir pažadėjo pačioje pradžioje:
Atsakymai:
Sprendimai (glausti):
Jei susidorojote bent su pirmaisiais trim pavyzdžiais, tada įvaldėte temą.
Dabar laukiame mokymosi!
RAIŠKŲ TRANSFORMAVIMAS. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS
Pagrindinės supaprastinimo operacijos:
- Atneša panašų: norėdami pridėti (atnešti) tokius terminus, turite pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
- Faktorizacija:išskiriant bendrą veiksnį, taikymą ir kt.
- Frakcijos mažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties nulio skaičiaus, kuris nepakeičia trupmenos vertės.
1) skaitiklis ir vardiklis faktorius
2) jei skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima perbraukti.SVARBU: Galima sumažinti tik daugiklius!
- Frakcijų sudėjimas ir atimimas:
; - Dalelių dauginimas ir dalijimas:
;
Tapatybės konversijos reiškia darbą, kurį atliekame skaitinėmis ir pažodinėmis išraiškomis, taip pat išraiškomis, kuriose yra kintamųjų. Mes atliekame visas šias transformacijas, kad pradinė išraiška būtų tokia, kad būtų patogu išspręsti problemą. Mes apsvarstysime pagrindinius tapačių transformacijų tipus šioje temoje.
Identiškas išraiškos pavertimas. Kas tai yra?
Pirmą kartą susitinkame su identiškos transformacijos samprata, esame 7 klasės algebros pamokose. Kartu pirmiausia susipažįstame su identiškai lygių išraiškų samprata. Pasidomėkime sąvokomis ir apibrėžimais, kad tema būtų lengviau suprantama.
1 apibrėžimas
Identiškas išraiškos pavertimas - tai veiksmai, atliekami siekiant pakeisti originalią išraišką išraiška, kuri bus identiškai lygi originalui.
Šis apibrėžimas dažnai vartojamas sutrumpintai, praleidžiant žodį „identiškas“. Daroma prielaida, kad bet kuriuo atveju išraiškos transformaciją atliekame taip, kad gautume originalui identišką išraišką, ir to nereikia atskirai pabrėžti.
Mes iliustruosime šį apibrėžimą pavyzdžių.
1 pavyzdys
Jei pakeisime išraišką x + 3 - 2 į identišką išraišką x + 1, tada atliksime identišką išraiškos transformaciją x + 3 - 2.
2 pavyzdys
2 iš 6 išraiškos pakeitimas išraiška a 3 Ar identiška transformacija, o išraiškos pakeitimas x dėl išraiškos x 2 nėra identiška transformacija, nes išraiškos x ir x 2 nėra identiškai lygūs.
Atkreipiame jūsų dėmesį į išraiškų rašymo formą atliekant identiškas transformacijas. Paprastai originalią išraišką ir iš jos gautą išraišką rašome kaip lygybę. Taigi, parašius x + 1 + 2 \u003d x + 3, reiškinys x x 1 + 2 sumažintas iki formos x + 3.
Nuoseklus veiksmų atlikimas veda mus į lygybės grandinę, kuri yra keletas identiškų transformacijų, esančių iš eilės. Taigi, žymėjimą x + 1 + 2 \u003d x + 3 \u003d 3 + x suprantame kaip nuoseklų dviejų transformacijų įgyvendinimą: pirma, išraiška x + 1 + 2 buvo perkelta į formą x + 3, o ji - į formą 3 + x.
Identiškos transformacijos ir ODU
Daugybė posakių, kuriuos pradedame mokytis 8 klasėje, nėra prasmingi visoms kintamųjų reikšmėms. Tokiais atvejais atlikdami identiškas transformacijas reikia atkreipti dėmesį į leistinų kintamųjų verčių diapazoną (ADV). Atliekant identiškas transformacijas, ODZ gali likti nepakitęs arba susiaurinti.
3 pavyzdys
Peršokus nuo išraiškos a + (- b) prie išraiškos a - b kintamas diapazonas a ir b išlieka tas pats.
4 pavyzdys
Pereiti nuo išraiškos x prie išraiškos x 2 x lemia kintamojo x leistinų reikšmių intervalo susiaurėjimą nuo visų realiųjų skaičių aibės iki visų realiųjų skaičių aibės, iš kurios nulis nebuvo įtrauktas.
5 pavyzdys
Identiškas išraiškos pavertimas x 2 xišraiška x lemia kintamojo x leistinų reikšmių diapazono išplėtimą nuo visų realiųjų skaičių aibės, išskyrus nulį, iki visų realiųjų skaičių aibės.
Sprendžiant problemas svarbu susiaurinti ar išplėsti kintamųjų leistinų verčių diapazoną atliekant identiškas transformacijas, nes tai gali turėti įtakos skaičiavimų tikslumui ir sukelti klaidų.
Pagrindinės tapatybės transformacijos
Pažiūrėkime, kas yra tapačios transformacijos ir kaip jos atliekamos. Išskirkime tuos pačius transformacijų tipus, su kuriais dažniausiai tenka susidurti, į pagrindinę grupę.
Be pagrindinių identiškų transformacijų, yra nemažai transformacijų, susijusių su konkretaus tipo išraiškomis. Dalims tai yra redukcijos ir sumažinimo iki naujo vardiklio metodai. Išreiškimams, turintiems šaknis ir galias, visi veiksmai, atliekami remiantis šaknų ir galių savybėmis. Logaritminėms išraiškoms - veiksmai, kurie atliekami remiantis logaritmų savybėmis. Dėl trigonometrinės išraiškos visi veiksmai naudojant trigonometrinės formulės... Visi šie privatūs pertvarkymai yra išsamiai aprašyti atskiromis temomis, kurias galite rasti mūsų šaltinyje. Šiuo klausimu šiame straipsnyje nenustosime apsistoti.
Pereikime prie pagrindinių identiškų transformacijų svarstymo.
Terminų, veiksnių skverbtis
Pradėkime nuo sąlygų pertvarkymo. Dažniausiai susiduriame su šia identiška transformacija. Ir pagrindiniu taisykle čia galima laikyti šį teiginį: bet kokia suma terminų permutacija vietomis neturi įtakos rezultatui.
Ši taisyklė grindžiama papildymo poslinkio ir derinio savybėmis. Šios savybės leidžia mums pertvarkyti terminus vietose ir gauti išraiškas, kurios yra identiškos pirminėms. Štai kodėl terminų permutacija vietose sumoje yra tapatybės transformacija.
6 pavyzdys
Turime trijų terminų sumą 3 + 5 + 7. Jei pakeisime 3 ir 5 terminus, tai išraiška bus 5 + 3 + 7. Šiuo atveju yra keletas terminų pertvarkymo variantų. Visi jie leidžia gauti išraiškas, kurios yra identiškos originalioms.
Ne tik skaičiai, bet ir posakiai gali veikti kaip terminai sumoje. Jie, kaip ir skaičiai, gali būti pertvarkyti vietose, nedarant įtakos galutiniam skaičiavimų rezultatui.
7 pavyzdys
Trijų terminų 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 ir - 12 a formos 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) · terminus galima pertvarkyti, pavyzdžiui, taip (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3. Savo ruožtu jūs galite pertvarkyti 1 a + b trupmenos vardiklyje esančius terminus, o trupmena įgaus 1 b + a formą. Ir posakis po šaknies ženklu a 2 + 2 a + 5 taip pat yra suma, kuria galima pakeisti terminus.
Panašiai kaip ir terminai, originaliose išraiškose galite pakeisti daugiklius ir gauti identiškai teisingas lygtis. Šiam veiksmui taikoma ši taisyklė:
2 apibrėžimas
Produkte veiksnių pertvarkymas vietose neturi įtakos skaičiavimų rezultatui.
Ši taisyklė pagrįsta dauginimo poslinkio ir derinio savybėmis, kurios patvirtina identiškos transformacijos teisingumą.
8 pavyzdys
Kompozicija 3 5 7 veiksnių permutacija gali būti pateikiama viena iš šių formų: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 arba 3 7 5.
9 pavyzdys
Leidžiant sandaugos veiksnius x + 1 x 2 - x + 1 x gaunami x 2 - x + 1 x x + 1
Skliaustų išplėtimas
Skliausteliuose gali būti skaitinės ir kintamos išraiškos. Šiuos posakius galima paversti identiškai vienodais posakiais, kuriuose skliaustų apskritai nebus arba jų bus mažiau nei originaliuose posakiuose. Šis išraiškų konvertavimo būdas vadinamas skliaustų išplėtimu.
10 pavyzdys
Atlikime veiksmus su skliaustais formos išraiškoje 3 + x - 1 x siekiant gauti identiškai teisingą išraišką 3 + x - 1 x.
Išraišką 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x galima konvertuoti į identiškai vienodą išraišką be skliaustų 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.
Išsamias išraiškų konvertavimo skliausteliuose taisykles pateikiame temoje „Skliaustų išplėtimas“, kuri yra paskelbta mūsų šaltinyje.
Terminų, veiksnių grupavimas
Tais atvejais, kai kalbama apie tris ar daugiau terminų, galime pasinaudoti tokia identiškų transformacijų forma kaip terminų grupavimas. Šis transformacijų metodas reiškia kelių terminų sujungimą į grupę, pertvarkant juos ir įtraukiant juos į skliaustus.
Grupavimo metu terminai keičiami taip, kad grupuojami terminai išraiškoje atsirastų greta. Tada juos galima uždėti skliausteliuose.
11 pavyzdys
Paimkime išraišką 5 + 7 + 1 ... Jei sugrupuosime pirmą kadenciją su trečiąja, gausime (5 + 1) + 7 .
Veiksnių grupavimas atliekamas panašiai kaip terminų grupavimas.
12 pavyzdys
Darbe 2 3 4 5 galite sugrupuoti pirmąjį faktorių su trečiuoju, o antrąjį - su ketvirtuoju, ir mes pasieksime išraišką (2 4) (3 5)... Ir jei sugrupuotume pirmąjį, antrąjį ir ketvirtąjį veiksnius, gautume išraišką (2 3 5) 4.
Grupuojami terminai ir veiksniai gali būti pateikiami ir pirminiais skaičiais, ir išraiškomis. Grupavimo taisyklės buvo išsamiai aptartos temoje „Terminų ir veiksnių grupavimas“.
Skirtumų pakeitimas sumomis, daliniais produktais ir atvirkščiai
Skirtumus pakeisti sumomis tapo įmanoma dėl mūsų pažinties su priešingais skaičiais. Dabar atimama iš skaičiaus a skaičiai b gali būti vertinamas kaip skaičiaus papildymas a skaičiai - b... Lygybė a - b \u003d a + (- b)gali būti laikoma teisinga ir jos pagrindu skirtumus pakeisti sumomis.
13 pavyzdys
Paimkime išraišką 4 + 3 − 2 , kuriame skaičių skirtumas 3 − 2 galime parašyti kaip sumą 3 + (− 2) ... Mes gauname 4 + 3 + (− 2) .
14 pavyzdys
Visi išraiškos skirtumai 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 galima pakeisti tokiomis sumomis kaip 5 + 2 x + (- x 2) + (- 3 x 3) + (- 0, 2).
Galime pereiti prie sumų iš bet kokių skirtumų. Panašiai galime atlikti ir atvirkštinį pakeitimą.
Dalijimą pakeisti daugikliu daliklio abipusiu leidžia abipusių skaičių samprata. Ši transformacija gali būti parašyta lygybe a: b \u003d a (b - 1).
Ši taisyklė buvo pagrindas taisyklei dalinti paprastąsias trupmenas.
15 pavyzdys
Privatus 1 2: 3 5 gali būti pakeistas formos gaminiu 1 2 5 3.
Panašiai pagal analogiją dalijimą galima pakeisti dauginimu.
16 pavyzdys
Išraiškos atveju 1 + 5: x: (x + 3)padalijimą pakeiskite x galima padauginti iš 1 x... Skirstymas pagal x + 3 galime pakeisti padauginę iš 1 x + 3... Transformacija leidžia mums gauti išraišką, identišką originalui: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.
Padauginimas iš dalijimo pakeičiamas pagal schemą a b \u003d a: (b - 1).
17 pavyzdys
Išraiškoje 5 x x 2 + 1 - 3 dauginimą galima pakeisti dalijimu kaip 5: x 2 + 1 x - 3.
Veiksmų atlikimas skaičiais
Atliekant veiksmus su skaičiais, laikomasi veiksmų tvarkos taisyklės. Pirma, veiksmai atliekami turint skaičių galias ir skaičių šaknis. Po to mes pakeisime logaritmus, trigonometrines ir kitas funkcijas jų reikšmėmis. Tada atliekami skliaustuose esantys veiksmai. Tada visus kitus veiksmus galima atlikti iš kairės į dešinę. Svarbu atsiminti, kad dauginimas ir dalijimas atliekamas prieš sudedant ir atimant.
Operacijos su skaičiais leidžia konvertuoti pradinę išraišką į tą pačią, kuri lygi jai.
18 pavyzdys
Perrašykite išraišką 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, atlikdami visus galimus veiksmus su skaičiais.
Sprendimas
Pirmiausia atkreipkime dėmesį į laipsnį 2 3 ir šaknis 4 ir apskaičiuokite jų vertes: 2 3 = 8 ir 4 \u003d 2 2 \u003d 2.
Pakeiskite gautas reikšmes į pradinę išraišką ir gaukite: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x).
Dabar atlikime veiksmus skliaustuose: 8 − 1 = 7 ... Ir pereikite prie išraiškos 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x).
Mums belieka atlikti skaičių dauginimą 3 ir 7 ... Gauname: 21 a + 2 (x 2 + 5 x).
Atsakymas: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x \u003d 21 a + 2 (x 2 + 5 x)
Prieš veiksmus su skaičiais gali būti atliekami kiti identiški transformacijos tipai, pavyzdžiui, grupuojant skaičius arba skliaustų išplėtimas.
19 pavyzdys
Paimkime išraišką 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.
Sprendimas
Pirmasis žingsnis yra skliausteliuose esančio daliklio pakeitimas 6: 3 dėl jo vertės 2 ... Gauname: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11.
Išplėskime skliaustus: 3 + 2 2 x (y 3 4) - 2 + 11 \u003d 3 + 2 2 x y 3 4 - 2 + 11.
Sugrupuokime produkto skaitinius veiksnius ir terminus, kurie yra skaičiai: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.
Atlikime veiksmus skliaustuose: (3 - 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 \u003d 12 + 16 x y 3
Atsakymas: 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 \u003d 12 + 16 x y 3
Jei dirbame su skaitinėmis išraiškomis, tada mūsų darbo tikslas bus rasti išraiškos prasmę. Jei transformuosime išraiškas kintamaisiais, tada mūsų veiksmų tikslas bus supaprastinti išraišką.
Bendro faktoriaus apskaičiavimas
Tais atvejais, kai išraiškos terminai turi tą patį veiksnį, tada šį bendrą veiksnį galime išimti iš skliaustų. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turime pateikti pirminę išraišką kaip bendrojo veiksnio ir skliaustuose esančios išraiškos sandaugą, kurią sudaro originalūs terminai be bendro veiksnio.
20 pavyzdys
Skaitmeniškai 2 7 + 2 3 galime pašalinti bendrą veiksnį 2 skliausteliuose ir gauti identiškai teisingą formos išraišką 2 (7 + 3).
Galite atnaujinti atmintį apie taisykles, susijusias su bendro veiksnio pateikimu už skliausteliuose atitinkamame mūsų šaltinio skyriuje. Medžiagoje išsamiai aptariamos bendro veiksnio skliaustuose uždarymo taisyklės ir pateikiama daugybė pavyzdžių.
Panašių terminų sumažinimas
Dabar pereikime prie sumų, kuriose yra panašių terminų. Galimi du variantai: sumos, kuriose yra tie patys terminai, ir sumos, kurių sąlygos skiriasi skaitiniu koeficientu. Veiksmai su sumomis, kuriose yra tokių terminų, vadinami tokių terminų sumažinimu. Tai atliekama taip: išimame skliausteliuose esančią bendrą raidės dalį ir skliausteliuose apskaičiuojame skaitinių koeficientų sumą.
21 pavyzdys
Apsvarstykite išraišką 1 + 4 x - 2 x... Pažodinę x dalį galime uždėti už skliaustų ir gauti išraišką 1 + x (4–2)... Apskaičiuokime skliaustuose esančios išraiškos vertę ir gausime formos 1 + x · 2 sumą.
Skaičių ir išraiškų pakeitimas vienodai lygiomis išraiškomis
Skaičius ir išraiškas, iš kurių sudaroma pradinė išraiška, galima pakeisti vienodai lygiomis išraiškomis. Tokia pirminės išraiškos transformacija veda prie išraiškos, identiškai jai lygios.
22 pavyzdys 23 pavyzdys
Apsvarstykite išraišką 1 + a 5, kuriame 5 laipsnį galime pakeisti identiškai lygiu sandaugu, pavyzdžiui, formos a a 4... Tai suteiks mums išraišką 1 + a a 4.
Atlikta transformacija yra dirbtinė. Tai prasminga tik ruošiantis kitoms transformacijoms.
24 pavyzdys
Apsvarstykite sumos transformaciją 4 x 3 + 2 x 2... Čia terminas 4 x 3 galime įsivaizduoti kaip kūrinį 2 x 2 2 x... Todėl originali išraiška įgauna formą 2 x 2 2 x + 2 x 2... Dabar galime pasirinkti bendrą veiksnį 2 x 2 ir padėkite jį už skliaustų: 2 x 2 (2 x + 1).
Sudėkite ir atimkite tą patį skaičių
To paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimas ir atėmimas tuo pačiu metu yra dirbtinė išraiškų transformavimo technika.
25 pavyzdys
Apsvarstykite išraišką x 2 + 2 x... Galime iš jo pridėti arba atimti, kas leis mums vėliau atlikti dar vieną identišką transformaciją - pasirinkti dvinarės dalies kvadratą: x 2 + 2 x \u003d x 2 + 2 x + 1 - 1 \u003d (x + 1) 2 - 1.
Jei pastebite teksto klaidą, pasirinkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter
„Tapatybės. Identiška išraiškų transformacija “.
Pamokos tikslai
Mokomasis:
supažindinti ir pirmiausia įtvirtinti sąvokas „tapatiai lygios išraiškos“, „tapatumas“, „tapačios transformacijos“;
apsvarstyti tapatybės įrodymo būdus, padėti ugdyti tapatybės įrodymo įgūdžius;
patikrinti, ar mokiniai įsisavino perduotą medžiagą, suformuoti įgūdžius pritaikyti išmoktą suvokti naują.
Vystosi : lavina mokinių mąstymą, kalbą.
Švietimo : lavinti kruopštumą, tikslumą, pratimų sprendimo įrašymo teisingumą.
Pamokos tipas: mokytis naujos medžiagos
Įranga : Multimedijos lenta, lenta, vadovėlis, sąsiuvinis.
P lanas pamoka
Organizacinis momentas (nukreipkite mokinius į pamoką)
Namų darbų patikrinimas (klaidų taisymas)
Burnos pratimai
Naujos medžiagos studijavimas („tapatybės“, „tapačių virsmų“ sąvokų susipažinimas ir pirminis įtvirtinimas).
Treniruotės („tapatybės“, „tapačių virsmų“ sąvokų formavimas).
Apibendrinti pamokos rezultatus (apibendrinti pamokoje gautą teorinę informaciją).
Pranešimas apie namų darbus (paaiškinkite namų darbo turinį)
Užsiėmimų metu
I. Organizacinis momentas.
Namų darbų patikrinimas.
Klausimai apie namų darbus.
Tirpalo prie lentos analizė.
Reikia matematikos
Jūs negalite gyventi be jos
Mes mokome, mokome, draugus,
Ką mes atsimename iš ryto?
II ... Burnos pratimai.
Padarykime apšilimą.
Papildymo rezultatas. (Suma)
Kiek skaičių tu žinai? (Dešimt)
Šimtoji skaičiaus dalis. (Proc.)
Skyriaus rezultatas? (Privatus)
Mažiausias natūralusis skaičius? (1)
Ar įmanoma dalijant natūralieji skaičiai gauti nulį? (ne)
Kokia yra skaičių nuo -200 iki 200 suma? (0)
Koks yra didžiausias neigiamas sveikasis skaičius. (-1)
Koks skaičius negali būti padalintas iš? (0)
Padauginimo rezultatas? (Kompozicija)
Didžiausias dviženklis skaičius? (99)
Koks produktas nuo -200 iki 200? (0)
Atimties rezultatas. (Skirtumas)
Kiek gramų yra kilograme? (1 000)
Papildymo poslinkio savybė. (Suma nesikeičia keičiant terminų vietas)
Padauginimas kelionėje. (Produktas nesikeičia nuo multiplikatorių permutacijos)
Derinio papildymo savybė. (Norėdami pridėti skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo numerio galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičius.)
Kombinuota daugybos savybė. (norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, galite padauginti pirmąjį skaičių iš antrojo ir trečiojo sandaugos)
Paskirstymo turtas. (Norėdami skaičių padauginti iš dviejų skaičių, galite padauginti jį iš kiekvieno termino ir sudėti rezultatus)
III ... Mokymasis naujos medžiagos .
Mokytojas. Raskite išraiškų vertę x \u003d 5 ir y \u003d 4
3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 * 9 \u003d 27
3x + 3y \u003d 3 * 5 + 3 * 4 \u003d 27
Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybių išplaukia, kad paprastai bet kurioms kintamųjų reikšmėms išraiškos 3 (x + y) ir 3x + 3y reikšmės yra lygios.
Dabar apsvarstykite išraiškas 2x + y ir 2xy. Jei x \u003d 1 ir y \u003d 2, jie turi lygias reikšmes:
2x + y \u003d 2 * 1 + 2 \u003d 4
2xy \u003d 2 * 1 * 2 \u003d 4
Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x \u003d 3, y \u003d 4, tada
2x + y \u003d 2 * 3 + 4 \u003d 10
2xy \u003d 2 * 3 * 4 \u003d 24
Apibrėžimas: Dvi išraiškos, kurių vertės yra lygios bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinamos identiškai lygiomis.
Išraiškos 3 (x + y) ir 3x + 3y yra identiškai vienodos, tačiau išraiškos 2x + y ir 2xy nėra identiškos.
3 (x + y) ir 3x + 3y lygybė taikoma bet kurioms x ir y reikšmėms. Tokios lygybės vadinamos tapatybėmis.
Apibrėžimas: Lygybė, teisinga bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.
Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis. Mes jau susipažinome su tapatybėmis. Tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes (Studentai komentuoja kiekvieną savybę, tardami ją).
a + b \u003d b + a ab \u003d ba (a + b) + c \u003d a + (b + c) (ab) c \u003d a (bc) a (b + c) \u003d ab + ac
Kiti tapatybių pavyzdžiai (Studentai komentuoja kiekvieną nuosavybę kalbėdami.)
a + 0 \u003d a
a * 1 \u003d a
a + (-a) \u003d 0
ir * (- b ) = - ab
a - b = a + (- b )
(- a ) * (- b ) = ab
Apibrėžimas: Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai vienoda išraiška, vadinama tapatybės transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.
Mokytojas:
Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos, remiantis veiksmais skaičiais.
Identiškos išraiškų transformacijos plačiai naudojamos apskaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Jūs jau turėjote atlikti keletą identiškų transformacijų, pavyzdžiui, lieti panašius terminus, išplėsti skliaustuose. Prisiminkime šių transformacijų taisykles:
Studentai:
Norėdami suteikti tokias sąvokas, turite sudėti jų koeficientus ir padauginti rezultatą iš bendros raidės dalies;
Jei prieš skliaustelius yra pliuso ženklas, skliaustelius galima praleisti, kiekvieno žodžio ženklą laikant skliausteliuose;
Jei prieš skliaustelius yra minuso ženklas, skliaustelius galima praleisti keičiant kiekvieno žodžio skliausteliuose esantį ženklą.
Mokytojas:
1 pavyzdys. Pateikime panašius terminus
5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x
Kurią taisyklę mes naudojome?
Mokinys:
Mes naudojome tokių terminų mažinimo taisyklę. Ši transformacija pagrįsta daugybos pasiskirstymo savybėmis.
Mokytojas:
2 pavyzdys. Išskleiskime posakių išraišką 2a + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c
Mes taikėme skliaustų plėtimo taisyklę, prieš kurią rašomas pliuso ženklas.
Mokinys:
Atlikta transformacija pagrįsta kombinuotąja papildymo savybe.
Mokytojas:
3 pavyzdys. Išplečiame skliaustelius a - (4b - s) \u003da – 4 b + c
Mes taikėme skliaustų atidarymo taisyklę, prieš kurią buvo minuso ženklas.
Kokiomis savybėmis grindžiamas šis virsmas?
Mokinys:
Atlikta transformacija pagrįsta daugybos pasiskirstymo savybėmis ir sudėjimo derinio savybėmis.
IV ... Treniruotės
(Prieš pradedant praleidžiame fizinį lavinimą
Greitai atsikėlėme ir nusišypsojome.
Jie driekėsi vis aukščiau ir aukščiau.
Na, ištiesk pečius,
Pakelkite, nuleiskite.
Pasukite į dešinę, kairę,
Jie atsisėdo, atsikėlė. Jie atsisėdo, atsikėlė.
Ir jie važiavo vietoje.
(Gerai padaryta, turi sėdėti).
Atlikkime savarankišką mini darbą - susirašinėjimą, o tie, kurie mano, kad tema yra gerai įvaldyta, nusprendžia išbandyti internetinėje erdvėje.
1) 5 (3x -2) - (4x + 9) A) 5-10: x
2) 5x-4 (2x-5) +5 B) 11x -19
3) (5x-10): x B) 3x + 25
4) 11x-4 (x - 3) + 5x D) -3x + 25
D) 12x +12
V ... Pamokos santrauka .
Mokytojas užduoda klausimus, o mokiniai į juos atsako kaip nori.
Kurios dvi išraiškos yra sakomos vienodai lygios? Pateikite pavyzdžių.
Kokia lygybė vadinama tapatybe? Pateikite pavyzdį.
Kokias tapačias transformacijas žinote?
VI ... Namų darbai ... 5 psl., naudodamiesi internetu raskite senas identiškas išraiškas
Norėdami naudoti pateikčių peržiūrą, susikurkite sau „Google“ paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Tapatybės. Identiškos išraiškos transformacijos. 7 klasė.
Raskite išraiškų vertę x \u003d 5 ir y \u003d 4 3 (x + y) \u003d 3 (5 + 4) \u003d 3 * 9 \u003d 27 3x + 3y \u003d 3 * 5 + 3 * 4 \u003d 27 Raskite išraiškų vertę, kai x \u003d 6 ir y \u003d 5 3 (x + y) \u003d 3 (6 + 5) \u003d 3 * 11 \u003d 33 3x + 3y \u003d 3 * 6 + 3 * 5 \u003d 33
IŠVADA: Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybių išplaukia, kad paprastai bet kurioms kintamųjų reikšmėms išraiškos 3 (x + y) ir 3x + 3y reikšmės yra lygios. 3 (x + y) \u003d 3x + 3y
Dabar apsvarstykite išraiškas 2x + y ir 2xy. jei x \u003d 1 ir y \u003d 2, jie imasi vienodų verčių: 2x + y \u003d 2 * 1 + 2 \u003d 4 2xy \u003d 2 * 1 * 2 \u003d 4 x \u003d 3, y \u003d 4 išraiškų reikšmės skiriasi 2x + y \u003d 2 * 3 + 4 \u003d 10 2xy \u003d 2 * 3 * 4 \u003d 24
IŠVADA: 3 (x + y) ir 3x + 3y išraiškos yra identiškai vienodos, tačiau išraiškos 2x + y ir 2xy nėra identiškos. Apibrėžimas: Dvi išraiškos, kurių vertės yra lygios bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinamos identiškai lygiomis.
Tapatumas 3 (x + y) ir 3x + 3y lygybė galioja bet kurioms x ir y reikšmėms. Tokios lygybės vadinamos tapatybėmis. Apibrėžimas: Lygybė, teisinga bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe. Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis. Mes jau susipažinome su tapatybėmis.
Tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes. a + b \u003d b + a ab \u003d ba (a + b) + c \u003d a + (b + c) (ab) c \u003d a (bc) a (b + c) \u003d ab + ac
Galima pateikti kitų tapatybių pavyzdžių: a + 0 \u003d a a * 1 \u003d a a + (-a) \u003d 0 a * (- b) \u003d - ab a- b \u003d a + (- b) (-a) * ( -b) \u003d ab Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiška jos išraiškai, vadinamas tapatybės konvertavimu arba tiesiog išraiškos konvertavimu.
Norėdami pareikšti tokius terminus, turite sudėti jų koeficientus ir padauginti rezultatą iš bendros raidės dalies. 1 pavyzdys. Pateikkime panašius terminus 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x
Jei prieš skliaustelius yra pliuso ženklas, skliaustelius galima praleisti, kiekvieno žodžio ženklą laikant skliausteliuose. 2 pavyzdys. Išskleiskime skliaustelius išrašu 2а + (b -3 c) \u003d 2 a + b - 3 c
Jei prieš skliaustelius yra minuso ženklas, skliaustelius galima praleisti keičiant kiekvieno žodžio skliausteliuose esantį ženklą. 3 pavyzdys. Atidarykime skliaustelius a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c
Namų darbai: 5 psl., Nr. 91, 97, 99, ačiū už pamoką!
Tema: metodologiniai pokyčiai, pristatymai ir pastabos
Studentų paruošimo egzaminui skyriuje „Išraiškos ir raiškos transformacija“ metodika
Šis projektas buvo parengtas siekiant paruošti mokinius valstybiniams egzaminams 9 klasėse ir toliau - vieningam valstybiniam egzaminui 11 klasėje ...
Studijuodami algebrą, mes susidūrėme su polinomo (pvz., $ Yx $, $ \\ 2x ^ 2-2x $ ir kt.) Ir algebrinės trupmenos (pvz., $ \\ Frac (x + 5) (x) $, $ \\ frac (2x) sąvokomis. ^ 2) (2x ^ 2-2x) $, $ \\ \\ frac (xy) (yx) $ ir tt). Šių sąvokų panašumas yra tas, kad tiek daugianarėse, tiek algebrinėse trupmenose yra kintamieji ir skaitinės reikšmės, aritmetinė. Veiksmai: sudėjimas, atimtis, daugyba, didinimas iki galios. Šios sąvokos skiriasi tuo, kad polinomuose nėra padalijimo pagal kintamąjį, tačiau algebrinėse trupmenose galima padalyti iš kintamojo.
Tiek polinomai, tiek algebrinės trupmenos matematikoje vadinami racionaliomis algebrinėmis išraiškomis. Bet polinomai yra ištisos racionalios išraiškos, o algebrinės trupmenos - truputį racionalus išraiškos.
Iš trupmeninės-racionaliosios išraiškos galite gauti visą algebrinę išraišką, naudodami identišką virsmą, kuris šiuo atveju bus pagrindinė trupmenos savybė - trupmenų sumažinimas. Patikrinkime tai praktiškai:
1 pavyzdys
Atlikite transformaciją: $ \\ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $
Sprendimas: Ši trupmeninė-racionalioji lygtis gali būti transformuota, naudojant pagrindinę trupmeninio-redukavimo savybę, t. dalijant skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus ar išraiškos, išskyrus 0 USD.
Šios frakcijos negalima iš karto atšaukti, skaitiklis turi būti pakeistas.
Mes keičiame išraišką trupmenos skaitiklyje, tam naudojame skirtumo kvadrato formulę: $ a ^ 2-2ab + b ^ 2 \u003d ((a-b)) ^ 2 $
Dalis atrodo
\\ [\\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) \u003d \\ frac (\\ kairė (x-2 \\ dešinė) (x-2)) (x-2) \\]
Dabar matome, kad skaitiklis ir vardiklis turi bendrą veiksnį - tai yra išraiška $ x-2 $, kuriuo panaikinsime trupmeną
\\ [\\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) \u003d \\ frac (((x-2)) ^ 2) ( x-2) \u003d \\ frac (\\ kairė (x-2 \\ dešinė) (x-2)) (x-2) \u003d x-2 \\]
Po redukcijos mes gavome, kad pradinė trupmeninė racionalioji išraiška $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ tapo polinomu $ x-2 $, t. visa racionali.
Dabar atkreipkime dėmesį į tai, kad išraiškos $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ ir $ x-2 \\ $ gali būti laikomos tapačiomis ne visoms kintamojo reikšmėms, nes norint, kad trupmeninė racionalioji išraiška egzistuotų ir būtų galima sumažinti daugianariu $ x-2 $, trupmenos vardiklis neturėtų būti lygus 0 $ (taip pat ir veiksnys, kuriuo mes sumažiname. Šiame pavyzdyje vardiklis ir faktorius sutampa, bet tai ne visada būna).
Kintamojo, kuriame egzistuos algebrinė frakcija, vertės vadinamos leistinomis kintamojo reikšmėmis.
Dalies vardikliui pateikiame sąlygą: $ x-2 ≠ 0 $, tada $ x ≠ 2 $.
Taigi išraiškos $ \\ frac (x ^ 2-4x + 4) (x-2) $ ir $ x-2 $ yra identiškos visoms kintamojo reikšmėms, išskyrus 2 $.
1 apibrėžimas
Tapatiškai lygus išraiškos yra tos, kurios yra lygios visoms leistinoms kintamojo reikšmėms.
Tapatybės transformacija - tai bet koks pradinės išraiškos pakeitimas identiškai jai lygiaverte. Tokios transformacijos apima atlikimo veiksmus: sudėjimas, atimtis, daugyba, bendro faktoriaus išmetimas iš skliausteliuose, algebrinių trupmenų atnešimas į bendrą vardiklį, algebrinių trupmenų sumažinimas, panašių terminų sumažinimas ir kt. Reikėtų nepamiršti, kad daugybė transformacijų, tokių kaip redukcija, tokių terminų sumažinimas, gali pakeisti leistinas kintamojo reikšmes.
Tapatybės patvirtinimo metodai
Iškelkite kairę tapatybės pusę į dešinę arba atvirkščiai, naudodamiesi tapatybės transformacijomis
Sumažinkite abi puses ta pačia išraiška, naudodamiesi identiškais virsmais
Perkelkite išraiškas iš vienos išraiškos dalių į kitas ir įrodykite, kad gaunamas skirtumas yra 0 USD
Kurį iš aukščiau paminėtų metodų naudoti tam tikros tapatybės įrodymui, priklauso nuo originalios tapatybės.
2 pavyzdys
Įrodykite tapatybę $ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $
Sprendimas: Norėdami įrodyti šią tapatybę, mes naudojame pirmąjį iš aukščiau paminėtų metodų, būtent, kairiąją tapatybės pusę paverčiame jos lygybe dešinei.
Apsvarstykite kairiąją tapatybės pusę: $ \\ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) $ - tai dviejų polinomų skirtumas. Pirmasis daugianaris yra trijų dėmenų sumos kvadratas. Norėdami padalinti kelių dėmenų sumą, naudojame formulę:
\\ [((a + b + c)) ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc \\]
Norėdami tai padaryti, turime padauginti skaičių iš daugianario. Atminkite, kad tam reikia padauginti bendrą skliausteliuose esantį bendrąjį faktorių iš kiekvieno polinomo termino skliausteliuose. Tada gausime:
2 USD (ab + ac + bc) \u003d 2ab + 2ac + 2bc $
Grįžtant prie pradinio polinomo, jis bus toks:
$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) $
Atminkite, kad prieš skliaustelius yra ženklas „-“, tai reiškia, kad atidarius skliaustus visi simboliai, esantys skliaustuose, yra atvirkštiniai.
$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc $
Pateikiame panašias sąlygas, tada gauname, kad monomaliukai $ 2ab $, $ 2ac $, $ \\ 2bc $ ir $ -2ab $, $ - 2ac $, $ -2bc $ abipusiai sunaikinami, t. jų suma lygi 0 USD.
$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc- (2ab + 2ac + 2bc) \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2ac + 2bc-2ab-2ac-2bc \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $
Taigi identiškų transformacijų dėka mes gavome identišką išraišką kairėje originalios tapatybės pusėje
$ ((a + b + c)) ^ 2- 2 (ab + ac + bc) \u003d \\ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $
Atminkite, kad gauta išraiška parodo, kad originali tapatybė yra tiesa.
Atminkite, kad pirminiame tapatume visos kintamojo vertės yra leistinos, tai reiškia, kad tapatumą įrodėme naudodamiesi identiškomis transformacijomis, ir tai pasakytina apie visas leistinas kintamojo reikšmes.
