Sukimosi figūros tūris internete. Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį naudojant apibrėžtąjį integralą? plokščia figūra aplink ašį

Tegul linija būna ribota. plokštumos figūra yra apibrėžta polinėje koordinačių sistemoje.

Pavyzdys: Apskaičiuokite apskritimą: x 2 +y 2 =R 2

Apskaičiuokite 4-osios apskritimo dalies, esančios pirmajame kvadrante, ilgį (x≥0, y≥0):

Jei kreivės lygtis nurodyta parametro formoje:
, funkcijos x(t), y(t) yra apibrėžtos ir tolydžios kartu su jų išvestinėmis intervale [α,β]. Išvestinė, tada pakeičiama į formulę:
ir atsižvelgiant į tai

mes gauname
pridėti daugiklį
po šaknies ženklu ir pagaliau gauname

Pastaba: atsižvelgiant į plokštumos kreivę, taip pat galite apsvarstyti funkciją, kuriai suteiktas parametras erdvėje, tada pridėti funkciją z=z(t) ir formulę

Pavyzdys: Apskaičiuokite astroido ilgį, kuris pateikiamas pagal lygtį: x=a*cos 3 (t), y=a*sin 3 (t), a>0

Apskaičiuokite 4-osios dalies ilgį:

pagal formulę

Plokštumos kreivės lanko ilgis, nurodytas polinių koordinačių sistemoje:

Tegu kreivės lygtis pateikiama polinių koordinačių sistemoje:
- ištisinė funkcija kartu su jos išvestine intervale [α,β].

Perėjimo iš polinių koordinačių formulės:

laikyti parametriniais:

ϕ - parametras, pagal f-le

2

Pvz.: Apskaičiuokite kreivės ilgį:
>0

Koncepcija: apskaičiuokime pusę apskritimo:

Kūno tūris, skaičiuojamas pagal kūno skerspjūvio plotą.

Tegul kūnas yra ribojamas uždaro paviršiaus, o bet kurios šio kūno atkarpos plotas yra žinomas pagal plokštumą, statmeną Ox ašiai. Ši sritis priklausys nuo pjovimo plokštumos padėties.

tegul visas kūnas yra tarp 2 plokštumų, statmenų Ox ašiai, kertančių ją taškuose x=a, x=b (a

Norint nustatyti tokio kūno tūrį, mes jį padalijame į sluoksnius naudodami pjovimo plokštumas, statmenas Ox ašiai ir susikertant ją taškuose. Kiekviename daliniame intervale
. Rinksim

ir kiekvienai reikšmei i=1,….,n sukonstruosime cilindrinį kūną, kurio generatorius yra lygiagretus Ox, o kreiptuvas yra kūno pjūvio kontūras plokštuma x=C i, tūris toks elementarus cilindras, kurio pagrindo plotas S=C i ir aukštis ∆x i . V i =S(C i)∆x i . Visų tokių elementarių cilindrų tūris bus
. Šios sumos riba, jeigu ji egzistuoja ir yra baigtinė ties max ∆х  0, vadinama duoto kūno tūriu.

. Kadangi V n yra tolydžios intervale funkcijos S(x) integralioji suma, tai nurodyta riba egzistuoja (egzistavimo sąlygos) ir išreiškiama def. Integralinis.

- kūno tūris, skaičiuojamas pagal skerspjūvio plotą.

Revoliucijos kūno tūris:

Tegul kūnas susidaro sukantis aplink Ox ašį kreivinės trapecijos, ribojamos funkcijos y=f(x), Ox ašies ir tiesių x=a, x=b grafiku.

Tegul funkcija y=f(x) yra apibrėžta ir tolydi atkarpoje ir neneigiama, tada šio kūno pjūvis plokštuma, statmena Ox, yra apskritimas, kurio spindulys R=y(x)=f(x) ). Apskritimo plotas S(x)=Пy 2 (x)=П 2. Formulės pakeitimas
gauname sukimosi aplink Ox ašį kūno tūrio apskaičiavimo formulę:

Jei kreivinė trapecija, apribota tolydžios funkcijos grafiku, sukasi aplink Oy ašį, tai tokio sukimosi kūno tūris yra:

Tą patį tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę:
. Jei linija nurodyta parametrinėmis lygtimis:

Pakeitę kintamąjį gauname:

Jei linija nurodyta parametrinėmis lygtimis:

y (α) = c , y (β) = d . Pakeitę y = y (t), gauname:

Apskaičiuokite apsisukimų kūnus aplink parabolės ašį, .

2) Apskaičiuokite V kūno, besisukančio aplink OX ašį išlenktos trapecijos, apribotos tiese y=0, lanku (su centru taške (1; 0), o spinduliu = 1), su .

Sukimosi kūno paviršiaus plotas

Tegul duotas paviršius susidaro sukdamas kreivę y =f(x) aplink Ox ašį. Būtina nustatyti šio paviršiaus S ties .

Tegul funkcija y =f(x) yra apibrėžta ir tolydi, turi nenatūralų ir neneigiamą visuose atkarpos [a;b] taškuose

Nubrėžkime ilgio akordus, kuriuos atitinkamai pažymime (n akordai)

pagal Lagrange'o teoremą:

Visos aprašytos laužytos linijos paviršiaus plotas bus lygus

Apibrėžimas: šios sumos riba, jei ji yra baigtinė, kai didžiausia trūkinės linijos grandis yra max, vadinama nagrinėjamo apsisukimo paviršiaus plotu.

Galima įrodyti, kad šimtas sumos riba yra lygi integruotos sumos ribai p-oji

Apsisukimo kūno S paviršiaus formulė =

S paviršiaus, kurį sudaro kreivės lanko sukimasis x=g(x) aplink Oy ašį ties

Tęsinys su jo dariniu

Jei kreivė parametriškai pateikiama ur-mix=x(t) ,y= t(t) f-iix’(t), y’(t), x(t), y(t) yra apibrėžti intervale [a; b], x(a)= a, x(b)= btada pakeiskite jį pakeitimux= x(t)

Jei kreivė pateikiama parametriškai, pakeitę formulę gauname:

Jei kreivės lygtis pateikta polinėje koordinačių sistemoje

Ssukimosi aplink ašį paviršius bus lygus

Be to plokštumos figūros ploto radimas naudojant apibrėžtąjį integralą svarbiausias temos pritaikymas yra apskaičiuojant besisukančio kūno tūrį. Medžiaga paprasta, bet skaitytojas turi būti pasiruošęs: jūs turite mokėti išspręsti neapibrėžtieji integralai vidutinio sudėtingumo ir pritaikykite Niutono-Leibnizo formulę apibrėžtasis integralas . Kaip ir sprendžiant srities radimo problemą, jums reikia užtikrintų piešimo įgūdžių - tai beveik svarbiausias dalykas (nes patys integralai dažnai bus lengvi). Kompetentingus ir greitus diagramų sudarymo būdus galite įvaldyti pasitelkę metodinę medžiagą . Bet, tiesą sakant, apie piešinių svarbą jau ne kartą kalbėjau klasėje. .

Apskritai integraliniame skaičiavime yra daug įdomių pritaikymų; naudodami apibrėžtąjį integralą galite apskaičiuoti figūros plotą, sukimosi kūno tūrį, lanko ilgį, paviršiaus plotą. kūnas ir daug daugiau. Taigi bus smagu, būkite optimistiški!

Įsivaizduokite kokią nors plokščią figūrą koordinačių plokštumoje. Pristatė? ... Įdomu, kas ką pristatė... =))) Jo plotą jau radome. Be to, šią figūrą taip pat galima pasukti ir pasukti dviem būdais:

– aplink x ašį; – aplink ordinačių ašį.

Šiame straipsnyje bus nagrinėjami abu atvejai. Antrasis sukimo būdas yra ypač įdomus, jis sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir įprastesniame sukimosi aplink x ašį. Kaip premiją grįšiu figūros ploto radimo problema , ir aš jums pasakysiu, kaip rasti sritį antruoju būdu - išilgai ašies. Tai ne tiek premija, kiek medžiaga puikiai tinka temai.

Pradėkime nuo populiariausio sukimosi tipo.

Kūno, susidariusio sukant plokščią figūrą aplink ašį, tūrio apskaičiavimas

1 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant linijomis ribojamą figūrą aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir vietovės radimo problema, sprendimas pradedamas nuo plokščios figūros piešinio. Tai yra, plokštumoje būtina sukurti figūrą, ribojamą tiesių , ir nepamirškite, kad lygtis nurodo ašį. Kaip efektyviau ir greičiau užbaigti piešinį, rasite puslapiuose Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės Ir Apibrėžtasis integralas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą . Tai yra kinų priminimas, ir šiuo metu aš daugiau nesigilinsiu.

Piešinys čia yra gana paprastas:

Norima plokščia figūra nudažyta mėlyna spalva, būtent ta, kuri sukasi aplink ašį. Dėl sukimosi gaunama šiek tiek kiaušinio formos skraidanti lėkštė, kuri yra simetriška ašies atžvilgiu. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, bet aš tingiu ieškoti žinyno, todėl judame toliau.

Kaip apskaičiuoti apsisukimo kūno tūrį?

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos „a“ ir „būti“ ribas.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokštumos figūrą riboja viršuje esančios parabolės grafikas. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – funkcija formulėje kvadratu: , taigi revoliucijos kūno tūris visada yra neneigiamas, o tai labai logiška.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidarantį sukantis aplink figūros ašį, ribojamą linijomis , ,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos , ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, kurią riboja linijos , , , , nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime apsisukimo kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį .

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Jo tūrį pažymėkime .

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Sukimosi kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva pažymėta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo apsisukimo kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, kurias knygoje pastebėjo Perelmanas (ne tas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, eilinis žmogus per visą savo gyvenimą išgeria 18 kvadratinių metrų kambario ekvivalentą skysčio, kuris, priešingai, atrodo per mažas tūris.

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, parašyta jo dar 1950 m., labai gerai lavina, kaip sakė humoristas, mąstymą ir moko ieškoti originalių, nestandartinių problemų sprendimo būdų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidarantį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis , , kur .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad viskas vyksta juostoje, kitaip tariant, pateikiamos praktiškai paruoštos integracijos ribos. Taip pat pabandykite teisingai nubraižyti trigonometrinių funkcijų grafikus; jei argumentas padalintas iš dviejų: tada grafikai ištempiami du kartus išilgai ašies. Pabandykite surasti bent 3-4 taškus pagal trigonometrines lenteles ir tiksliau užbaigti piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.

plokščia figūra aplink ašį

3 pavyzdys

Pateikta plokščia figūra, apribota linijų , , .

1) Raskite plokščios figūros plotą, kurį riboja šios linijos.

2) Raskite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį plokščią figūrą, kurią riboja šios linijos.

Dėmesio! Net jei norite perskaityti tik antrąjį punktą, pirmiausia Būtinai skaityk pirmą!

Sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo aikštės.

1) Padarykime piešinį:

Nesunku pastebėti, kad funkcija nurodo viršutinę parabolės šaką, o funkcija – apatinę parabolės šaką. Prieš mus yra triviali parabolė, kuri „guli ant šono“.

Norima figūra, kurios plotą reikia rasti, nuspalvinta mėlyna spalva.

Kaip rasti figūros plotą? Jį galima rasti „įprastu“ būdu. Be to, figūros plotas randamas kaip plotų suma:

– segmente;

- segmente.

Štai kodėl:

Yra racionalesnis sprendimas: jį sudaro perjungimas į atvirkštines funkcijas ir integravimas išilgai ašies.

Kaip pasiekti atvirkštines funkcijas? Grubiai tariant, reikia išreikšti „x“ per „y“. Pirmiausia pažvelkime į parabolę:

To pakanka, bet įsitikinkime, kad tą pačią funkciją galima išvesti iš apatinės šakos:

Tai lengviau su tiesia linija:

Dabar pažiūrėkite į ašį: paaiškindami, periodiškai pakreipkite galvą į dešinę 90 laipsnių (tai ne pokštas!). Mums reikalinga figūra yra atkarpoje, kuri pažymėta raudona punktyrine linija. Šiuo atveju atkarpoje tiesi linija yra virš parabolės, o tai reiškia, kad figūros plotą reikia rasti naudojant jums jau žinomą formulę:. Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.

! Pastaba : ašies integravimo ribos turėtų būti dedamasgriežtai iš apačios į viršų !

Vietos radimas:

Todėl segmente:

Atkreipkite dėmesį, kaip aš atlikau integraciją, tai yra racionaliausias būdas, o kitoje užduoties pastraipoje bus aišku, kodėl.

Skaitytojams, abejojantiems integracijos teisingumu, rasiu išvestinių:

Gaunama pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integracija atlikta teisingai.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokime kūno tūrį, susidarantį sukant šią figūrą aplink ašį.

Piešinį perbraižysiu kiek kitokiu dizainu:

Taigi, mėlynai nuspalvinta figūra sukasi aplink ašį. Rezultatas yra "svyrantis drugelis", kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti sukimosi kūno tūrį, integruosime išilgai ašies. Pirmiausia turime pereiti prie atvirkštinių funkcijų. Tai jau buvo padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar vėl pakreipiame galvą į dešinę ir tyrinėjame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno tūris turėtų būti rastas kaip tūrių skirtumas.

Aplink ašį pasukame raudonai apvestą figūrą, todėl gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šį tūrį .

Aplink ašį pasukame žaliai apvestą figūrą ir pažymime ją gauto sukimosi kūno tūriu.

Mūsų drugelio tūris yra lygus tūrių skirtumui.

Revoliucijos kūno tūriui rasti naudojame formulę:

Kuo skiriasi ankstesnėje pastraipoje pateikta formulė? Tik laiške.

Tačiau integracijos pranašumą, apie kurį neseniai kalbėjau, rasti daug lengviau, nei pirmą kartą pakelti integrandą į 4 laipsnį.

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad jei tą pačią plokščią figūrą pasuksite aplink ašį, natūraliai gausite visiškai kitokį sukimosi kūną, kitokio tūrio.

7 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidariusį sukantis aplink figūros, apribotos kreivių ir , ašį.

Sprendimas: Padarykime piešinį:

Pakeliui susipažįstame su kai kurių kitų funkcijų grafikais. Čia yra įdomus lyginės funkcijos grafikas...

Norint rasti apsisukimo kūno tūrį, pakanka naudoti dešinę figūros pusę, kurią nuspalvinau mėlyna spalva. Abi funkcijos yra lygios, jų grafikai yra simetriški ašies atžvilgiu, o mūsų figūra yra simetriška. Taigi, užtamsinta dešinė dalis, besisukanti aplink ašį, tikrai sutaps su kairiąja neužtamsinta dalimi. arba . Tiesą sakant, aš pats visada apsidraudžiau, pakeisdamas porą grafiko taškų į rastą atvirkštinę funkciją.

Dabar pakreipiame galvą į dešinę ir pastebime šį dalyką:

– atkarpoje virš ašies yra funkcijos grafikas;

Logiška manyti, kad sukimosi kūno tūrio reikia ieškoti kaip sukimosi kūnų tūrių sumos!

Mes naudojame formulę:

Tokiu atveju.

I. Revoliucijos kūnų tūriai. Preliminariai išstudijuokite XII skyriaus 197, 198 pastraipas iš G. M. Fikhtengoltso vadovėlio * Išsamiai išanalizuokite 198 pastraipoje pateiktus pavyzdžius.

508. Apskaičiuokite kūno, susidariusio sukant elipsę aplink Ox ašį, tūrį.

Taigi,

530. Raskite sinusoidinio lanko y = sin x sukimosi aplink Ox ašį paviršiaus plotą nuo taško X = 0 iki taško X = It.

531. Apskaičiuokite kūgio, kurio aukštis h ir spindulys r, paviršiaus plotą.

532. Apskaičiuokite susidariusį paviršiaus plotą

astroido x3 -)- y* - a3 sukimasis aplink Ox ašį.

533. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukant kreivės kilpą 18 ug - x (6 - x) z aplink Ox ašį.

534. Raskite toro paviršių, susidarantį sukantis apskritimui X2 - j - (y-3)2 = 4 aplink Ox ašį.

535. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis apskritimui X = kaina, y = asint aplink Ox ašį.

536. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis kreivės x = 9t2, y = St - 9t3 kilpai aplink Ox ašį.

537. Raskite paviršiaus plotą, susidarantį sukant kreivės lanką x = e*sint, y = el kaina aplink Ox ašį

nuo t = 0 iki t = —.

538. Parodykite, kad paviršius, susidaręs sukantis cikloidiniam lankui x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) aplink Oy ašį, lygus 16 u2 o2.

539. Raskite paviršių, gautą sukant kardioidą aplink poliarinę ašį.

540. Raskite lemniskato sukimosi suformuotą paviršiaus plotą Aplink poliarinę ašį.

Papildomos IV skyriaus užduotys

Plokštumos figūrų plotai

541. Raskite visą kreivės apribotos srities plotą Ir ašis Jautis.

542. Raskite kreivės ribojamos srities plotą

Ir ašis Jautis.

543. Raskite regiono ploto dalį, esančią pirmame kvadrante ir apribotą kreivės

l koordinačių ašys.

544. Raskite viduje esančios srities plotą

kilpos:

545. Raskite srities, kurią riboja viena kreivės kilpa, plotą:

546. Raskite srities, esančios kilpoje, plotą:

547. Raskite kreivės apribotos srities plotą

Ir ašis Jautis.

548. Raskite kreivės apribotos srities plotą

Ir ašis Jautis.

549. Raskite srities, kurią riboja Oxr ašis, plotą

tiesus ir kreivas

Apsisukimo kūno tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę:

Formulėje skaičius turi būti prieš integralą. Taip ir atsitiko – viskas, kas sukasi gyvenime, yra susijusi su šia konstanta.

Manau, nesunku atspėti, kaip iš baigto brėžinio nustatyti integracijos „a“ ir „būti“ ribas.

Funkcija... kas tai per funkcija? Pažiūrėkime į piešinį. Plokščią figūrą riboja parabolės grafikas viršuje. Tai funkcija, kuri yra numanoma formulėje.

Praktinėse užduotyse plokščia figūra kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia – integrandas formulėje yra kvadratas: taigi integralas visada yra neneigiamas , o tai labai logiška.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį naudodami šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada pasirodo paprastas, svarbiausia būti atsargiems.

Atsakymas:

Atsakyme turite nurodyti matmenis – kubinius vienetus. Tai reiškia, kad mūsų sukimosi kūne yra maždaug 3,35 „kubo“. Kodėl kubinis vienetų? Nes pati universaliausia formuluotė. Gali būti kubinių centimetrų, gali būti kubinių metrų, gali būti kubinių kilometrų ir t. t., tiek žalių žmogeliukų jūsų vaizduotė gali įdėti į skraidančią lėkštę.

2 pavyzdys

Raskite kūno tūrį, susidariusį sukantis aplink figūros, apribotos linijomis, ašį,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime dvi sudėtingesnes problemas, su kuriomis taip pat dažnai susiduriama praktikoje.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink figūros abscisių ašį, kurią riboja linijos, ir

Sprendimas: Brėžinyje pavaizduokime plokščią figūrą, apribotą linijomis ,,,, nepamirštant, kad lygtis apibrėžia ašį:

Norima figūra nuspalvinta mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink savo ašį, pasirodo, kad tai siurrealistinė spurga su keturiais kampais.

Apskaičiuokime sukimosi kūno tūrį kaip kūnų tūrių skirtumas.

Pirmiausia pažvelkime į figūrą, apibrėžtą raudonai. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas nupjautas kūgis. Pažymėkime šio nupjauto kūgio tūrį.

Apsvarstykite figūrą, kuri apjuosta žaliai. Jei pasuksite šią figūrą aplink ašį, taip pat gausite nupjautą kūgį, tik šiek tiek mažesnį. Pažymėkime jo tūrį.

Ir, aišku, tūrių skirtumas yra būtent toks, kaip mūsų „spurga“.

Apsisukimo kūno tūriui nustatyti naudojame standartinę formulę:

1) Raudonai apvestą figūrą viršuje riboja tiesia linija, todėl:

2) Žalia spalva pažymėta figūra viršuje yra ribojama tiesia linija, todėl:

3) Norimo apsisukimo kūno tūris:

Atsakymas:

Įdomu, kad šiuo atveju sprendimą galima patikrinti naudojant mokyklos formulę, skirtą nupjauto kūgio tūriui apskaičiuoti.

Pats sprendimas dažnai rašomas trumpiau, maždaug taip:

Dabar šiek tiek pailsėkime ir papasakokime apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tomais, ką knygoje pastebėjo Perelmanas (kitas). Linksma geometrija. Pažvelkite į plokščią figūrą išspręstoje užduotyje - atrodo, kad jos plotas yra mažas, o revoliucijos korpuso tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, o tai atrodo per didelis. Beje, eilinis žmogus per visą savo gyvenimą išgeria 18 kvadratinių metrų kambario ekvivalentą skysčio, kuris, priešingai, atrodo per mažas tūris.

Apskritai SSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelmano knyga, išleista dar 1950 m., labai gerai lavina, kaip sakė humoristas, mąstymą ir moko ieškoti originalių, nestandartinių problemų sprendimo būdų. Neseniai su dideliu susidomėjimu perskaičiau kai kuriuos skyrius, rekomenduoju, jis prieinamas net humanistams. Ne, nereikia šypsotis, kad pasiūliau laisvalaikį, erudicija ir platus akiratis bendraujant yra puikus dalykas.

Po lyrinio nukrypimo tiesiog dera išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite kūno tūrį, susidariusį sukantis apie plokščios figūros ašį, apribotą linijomis,, kur.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atkreipkite dėmesį, kad visi atvejai pasitaiko juostoje, kitaip tariant, iš tikrųjų pateikiamos paruoštos integracijos ribos. Teisingai nubraižykite trigonometrinių funkcijų grafikus, priminsiu pamokos medžiagą apie tai grafikų geometrinės transformacijos : jei argumentas dalinamas iš dviejų: , tai grafikai ištempiami išilgai ašies du kartus. Patartina rasti bent 3-4 balus pagal trigonometrines lenteles kad tiksliau užbaigtumėte piešinį. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotį galima išspręsti racionaliai ir nelabai racionaliai.