Integracija – MT1205: Matematinė analizė ekonomistams – Verslo informatika. Iracionaliųjų funkcijų integravimo metodai (šaknys) Iracionalių funkcijų integralų pavyzdžiai

Šis internetinis skaičiuotuvas naudojamas , , formos neracionaliųjų trupmenų integralams apskaičiuoti.

Leisti – racionali funkcija Ši funkcija, taigi ir jos integralas, racionalizuojamas pakeičiant x=t r, kur r yra mažiausias bendras skaičių r 1, r 2,…, r n kartotinis. Tada dx=rt r -1 ir po integralu yra racionali t funkcija. Panašiai, jei integrandas yra racionali funkcija , tada integrando funkcija racionalizuojama pakaitalu, kur t yra mažiausias bendrasis skaičių r 1 , r 2 ,…, r n kartotinis. Tada pakeisdami pradine išraiška, gauname racionaliąją t funkciją.

Pavyzdys. Apskaičiuoti. Mažiausias bendras 2 ir 3 kartotinis yra 6. Todėl padarome pakeitimą x = t 6. Tada dx = 6t 5 dt ir

Iracionalių funkcijų integravimas

1 pavyzdys. Apskaičiuokite iracionaliosios funkcijos apibrėžtąjį integralą:

Sprendimas. R(x α1, x α2,..., x αk)dx formos integralas, kur R yra racionali x αi funkcija, α i =p i /q i - racionalios trupmenos (i = 1,2,... , k) , redukuojamas į racionaliosios funkcijos integralą, naudojant pakeitimą x = t q, kur q yra trupmenų a 1, a 2,..., a k vardiklių mažiausias bendras kartotinis (LCM). Mūsų atveju a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, taigi mažiausias bendras jų vardiklių kartotinis yra q = LCM(2,3,6) = 6. Pakeitus kintamąjį x = t 6 trupmeninės racionalios funkcijos integralas, kuris apskaičiuojamas taip, kaip aprašyta pavyzdyje:

Pateikiami pagrindiniai neracionalių funkcijų (šaknių) integravimo metodai. Jie apima: tiesinio trupmeninio neracionalumo integravimą, diferencialinį binomį, integralus su kvadratinio trinalio kvadratine šaknimi. Pateikiami trigonometriniai pakaitalai ir Eulerio pakaitalai. Nagrinėjami kai kurie elipsiniai integralai, išreikšti elementariomis funkcijomis.

Turinys

Integralai iš diferencialinių dvinarių

Integralai iš diferencialinių dvinarių turi tokią formą:
,
kur m, n, p yra racionalieji skaičiai, a, b yra realieji skaičiai.
Tokie integralai trimis atvejais redukuojasi į racionaliųjų funkcijų integralus.

1) Jei p yra sveikas skaičius. Pakeitimas x = t N, kur N yra bendrasis trupmenų m ir n vardiklis.
2) Jei – sveikasis skaičius. Pakeitimas a x n + b = t M, kur M yra skaičiaus p vardiklis.
3) Jei – sveikasis skaičius. Pakeitimas a + b x - n = t M, kur M yra skaičiaus p vardiklis.

Kitais atvejais tokie integralai elementariomis funkcijomis neišreiškiami.

Kartais tokius integralus galima supaprastinti naudojant redukcijos formules:
;
.

Integralai, kuriuose yra kvadratinio trinalio kvadratinė šaknis

Tokie integralai turi tokią formą:
,
kur R yra racionali funkcija. Kiekvienam tokiam integralui yra keli jo sprendimo būdai.
1) Naudojant transformacijas gaunami paprastesni integralai.
2) Taikykite trigonometrinius arba hiperbolinius pakeitimus.
3) Taikykite Eulerio pakaitalus.

Pažvelkime į šiuos metodus išsamiau.

1) Integrando funkcijos transformacija

Taikydami formulę ir atlikdami algebrines transformacijas, integrando funkciją sumažiname iki formos:
,
kur φ(x), ω(x) yra racionalios funkcijos.

I tipas

Formos integralas:
,
čia P n (x) yra n laipsnio daugianario.

Tokie integralai randami neapibrėžtų koeficientų metodu, naudojant tapatybę:

.
Diferencijuodami šią lygtį ir sulyginę kairę ir dešinę puses, randame koeficientus A i.

II tipas

Formos integralas:
,
čia P m (x) yra m laipsnio daugianario.

Pakeitimas t = (x - α) -1šis integralas sumažinamas iki ankstesnio tipo. Jei m ≥ n, tai trupmena turi turėti sveikąjį skaičių.

III tipas

Čia atliekame pakeitimą:
.
Po to integralas įgis tokią formą:
.
Toliau konstantos α, β turi būti parinktos tokias, kad t koeficientai vardiklyje būtų lygūs nuliui:
B = 0, B 1 = 0.
Tada integralas išskaidomas į dviejų tipų integralų sumą:
,
,
kurie yra integruoti pakaitalais:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Trigonometriniai ir hiperboliniai pakaitalai

Formos integralams a > 0 ,
turime tris pagrindinius pakaitalus:
;
;
;

Integralams a > 0 ,
turime šiuos pakaitalus:
;
;
;

Ir galiausiai integralams a > 0 ,
pakaitalai yra tokie:
;
;
;

3) Eilerio pakaitalai

Taip pat integralus galima redukuoti į vieno iš trijų Eulerio pakaitų racionalių funkcijų integralus:
, jei a > 0;
, kai c > 0;
, kur x 1 yra lygties a x 2 + b x + c = 0 šaknis. Jei ši lygtis turi realias šaknis.

Elipsiniai integralai

Pabaigoje apsvarstykite formos integralus:
,
kur R yra racionali funkcija, . Tokie integralai vadinami elipsiniais. Apskritai jie nėra išreikšti elementariomis funkcijomis. Tačiau pasitaiko atvejų, kai tarp koeficientų A, B, C, D, E yra ryšiai, kuriuose tokie integralai išreiškiami per elementariąsias funkcijas.

Žemiau pateikiamas pavyzdys, susijęs su refleksiniais daugianariais. Tokie integralai apskaičiuojami naudojant pakaitalus:
.

Pavyzdys

Apskaičiuokite integralą:
.

Padarykime pakaitalą.

.
Čia x > 0 (u> 0 ) paimkite viršutinį ženklą „+“. Prie x< 0 (u< 0 ) - apatinis "-".

.

Nuorodos:
N.M. Gunteris, R.O. Kuzminas, Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys, „Lan“, 2003 m.

Taip pat žiūrėkite:

Nėra universalaus būdo išspręsti neracionalias lygtis, nes jų klasė skiriasi kiekiu. Straipsnyje bus išryškinti būdingi lygčių tipai su pakeitimu integravimo metodu.

Norint naudoti tiesioginės integracijos metodą, reikia apskaičiuoti ∫ tipo neapibrėžtuosius integralus k x + b p d x , kur p – racionalioji trupmena, k ir b – realieji koeficientai.

1 pavyzdys

Raskite ir apskaičiuokite funkcijos y = 1 3 x - 1 3 antidarinius.

Sprendimas

Pagal integravimo taisyklę reikia taikyti formulę ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, o antidarinių lentelė rodo, kad yra paruoštas šios funkcijos sprendimas. . Mes tai gauname

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Atsakymas:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Pasitaiko atvejų, kai galima panaudoti diferencialinio ženklo susumavimo būdą. Tai išsprendžiama ∫ f formos neapibrėžtųjų integralų radimo principu (x) · (f (x)) p d x , kai p reikšmė laikoma racionalia trupmena.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Sprendimas

Atkreipkite dėmesį, kad d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Tada diferencialinį ženklą reikia susumuoti naudojant antidarinių lenteles. Gauname, kad

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Atsakymas:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Neapibrėžtų integralų sprendimas apima ∫ d x x 2 + p x + q formos formulę, kur p ir q yra realieji koeficientai. Tada iš po šaknies reikia pasirinkti visą kvadratą. Mes tai gauname

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Taikydami formulę, esančią neapibrėžtų integralų lentelėje, gauname:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Tada apskaičiuojamas integralas:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

3 pavyzdys

Raskite formos ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 neapibrėžtinį integralą.

Sprendimas

Norėdami apskaičiuoti, turite išimti skaičių 2 ir įdėti jį prieš radikalą:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Pasirinkite visą kvadratą radikalioje išraiškoje. Mes tai gauname

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Tada gauname neapibrėžtą integralą formos 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Atsakymas: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Iracionalių funkcijų integravimas vykdomas panašiai. Taikoma y = 1 - x 2 + p x + q formos funkcijoms.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtinį integralą ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Sprendimas

Pirmiausia iš po šaknies reikia išvesti išraiškos vardiklio kvadratą.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x – (x – 2) 2 + 9

Lentelės integralas turi formą ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, tada gauname, kad ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Atsakymas:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Formos y = M x + N x 2 + p x + q antidarinių iracionaliųjų funkcijų radimo procesas, kur esami M, N, p, q yra realieji koeficientai ir yra panašūs į trečiojo tipo paprastųjų trupmenų integravimą. . Ši transformacija susideda iš kelių etapų:

sumuojant diferencialą po šaknimi, išskiriant visą išraiškos kvadratą po šaknimi, naudojant lentelės formules.

5 pavyzdys

Raskite funkcijos y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 antidarinius.

Sprendimas

Iš sąlygos gauname, kad d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x ir x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, tada (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Apskaičiuokime integralą: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Atsakymas:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Funkcijos ∫ x m (a + b x n) p d x neapibrėžtinių integralų paieška atliekama keitimo metodu.

Norint išspręsti, būtina įvesti naujus kintamuosius:

1. Kai p yra sveikas skaičius, tai yra x = z N, o N yra bendras m, n vardiklis.
2. Kai m + 1 n yra sveikas skaičius, tai a + b x n = z N, o N yra p vardiklis.
3. Kai m + 1 n + p yra sveikas skaičius, tai reikalingas kintamasis a x - n + b = z N, o N yra skaičiaus p vardiklis.

6 pavyzdys

Raskite apibrėžtąjį integralą ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Sprendimas

Gauname, kad ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Iš to seka, kad m = - 1, n = 1, p = - 1 2, tada m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 yra sveikas skaičius. Galite įvesti naują formos kintamąjį - 9 + 2 x = z 2. Būtina x išreikšti z. Kaip išvestį gauname tai

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Būtina pakeisti duotąjį integralą. Mes tai turime

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Atsakymas:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Iracionaliųjų lygčių sprendimui supaprastinti naudojami pagrindiniai integravimo metodai.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pagal neracionalus suprasti išraišką, kurioje nepriklausomas kintamasis %%x%% arba polinomas %%P_n(x)%% laipsnio %%n \in \mathbb(N)%% yra įtrauktas po ženklu radikalus(iš lotynų kalbos radix- šaknis), t.y. pakeltas iki trupmeninės galios. Pakeitus kintamąjį, kai kurios integrandų klasės, kurios yra neracionalios %%x%% atžvilgiu, gali būti sumažintos iki racionalių išraiškų naujo kintamojo atžvilgiu.

Vieno kintamojo racionalios funkcijos sąvoka gali būti išplėsta iki kelių argumentų. Jei kiekvienam argumentui %%u, v, \dotsc, w%%, skaičiuojant funkcijos reikšmę pateikiamos tik aritmetinės operacijos ir didinimas iki sveikojo skaičiaus laipsnio, tai mes kalbame apie racionalią šių argumentų funkciją, kuri dažniausiai yra žymimas %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Tokios funkcijos argumentai patys gali būti nepriklausomo kintamojo %%x%%, įskaitant %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% formos radikalus. Pavyzdžiui, racionali funkcija $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$, kai %%u = x, v = \sqrt(x)%% ir %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% yra racionali funkcija $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ nuo %%x%% ir radikalai %%\sqrt(x)%% ir %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, o funkcija %%f(x)%% bus neracionali (algebrinė) vieno nepriklausomo kintamojo %%x%% funkcija.

Panagrinėkime formos %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% integralus. Tokie integralai racionalizuojami pakeičiant kintamąjį %%t = \sqrt[n](x)%%, tada %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

1 pavyzdys

Raskite %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Norimo argumento integrandas rašomas kaip %%2%% ir %%3%% laipsnio radikalų funkcija. Kadangi mažiausias bendras %%2%% ir %%3%% kartotinis yra %%6%%, šis integralas yra %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) tipo integralas x %% ir gali būti racionalizuotas pakeitus %%\sqrt(x) = t%%. Tada %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Todėl $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Paimkime %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% ir $$ \begin(masyvas)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d) ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(masyvas) $$

Formos %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% integralai yra ypatingas trupmeninių tiesinių iracionalumų atvejis, t.y. formos %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, kur %% integralai ad - bc \neq 0%%, kurį galima racionalizuoti pakeitus kintamąjį %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, tada %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Tada $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

2 pavyzdys

Raskite %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Paimkime %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, tada %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(masyvas)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(masyvas) $$ Todėl $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(masyvas) $$

Panagrinėkime formos %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% integralus. Paprasčiausiais atvejais tokie integralai redukuojami į lenteles, jei, išskyrus pilną kvadratą, keičiami kintamieji.

3 pavyzdys

Raskite integralą %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Atsižvelgdami į tai, kad %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, imame %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, tada $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(masyvas) $$

Sudėtingesniais atvejais, norint rasti formos %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) integralus, naudojami \mathrm(d)x%%

Formos integralai (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - sveikieji skaičiai). Šiuose integraluose integrandas yra racionalus integravimo kintamojo ir x radikalų atžvilgiu. Jie apskaičiuojami pakeičiant x=t s, kur s yra bendrasis trupmenų vardiklis, ... Taip pakeitus kintamąjį visi ryšiai = r 1, = r 2, ... yra sveikieji skaičiai, t.y integralas yra redukuota iki racionalios kintamojo t funkcijos:

Formos integralai (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - sveikieji skaičiai). Šie integralai yra pakeičiami:

kur s yra bendrasis trupmenų vardiklis, ..., redukuojami iki racionalios kintamojo t funkcijos.

Formos integralai Norėdami apskaičiuoti integralą I 1, pasirinkite pilną kvadratą po radikalo ženklu:

ir taikomas pakaitalas:

Dėl to šis integralas sumažinamas iki lentelės:

Integralo I 2 skaitiklyje išskiriamas išraiškos po radikalo ženklu diferencialas ir šis integralas vaizduojamas kaip dviejų integralų suma:

kur I 1 yra aukščiau apskaičiuotas integralas.

Integralo I 3 apskaičiavimas sumažinamas iki integralo I 1 skaičiavimo pakeičiant:

Formos integralas Ankstesnėje pastraipoje nagrinėjami specialūs tokio tipo integralų skaičiavimo atvejai. Yra keli skirtingi jų apskaičiavimo būdai. Panagrinėkime vieną iš šių metodų, pagrįstų trigonometriniais pakaitalais.

Kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c, išskiriant visą kvadratą ir keičiant kintamąjį, gali būti pavaizduotas forma Taigi, pakanka apsiriboti trijų tipų integralų svarstymu:

Integralus pakeitimu

u=ksint (arba u=kcost)

redukuoja iki racionalios funkcijos integralo sint ir savikainos atžvilgiu.

Formos integralai (m, n, p є Q, a, b є R). Nagrinėjami integralai, vadinami diferencialinio dvinario integralais, elementariomis funkcijomis išreiškiami tik šiais trimis atvejais:

1) jei p є Z, tada taikomas pakaitalas:

čia s yra bendrasis trupmenų m ir n vardiklis;

2) jei Z, tada naudojamas pakaitalas:

kur s yra trupmenos vardiklis

3) jei Z, tai taikomas pakaitalas:

kur s yra trupmenos vardiklis