Kaip žinoma, netiesiogiai duota vieno kintamojo funkcija apibrėžiama taip: nepriklausomo kintamojo x funkcija y vadinama numanoma, jei ji pateikiama lygtimi, kuri nėra išspręsta y atžvilgiu:

1.11 pavyzdys.

Lygtis

netiesiogiai nurodo dvi funkcijas:

Ir lygtis

nenurodo jokios funkcijos.

1.2 teorema (netiesioginės funkcijos buvimas).

Tegul funkcija z =f(x,y) ir jos dalinės išvestinės f"x ir f"y yra apibrėžtos ir tolydžios tam tikroje taško M0(x0y0) kaimynystėje UM0. Be to, f(x0,y0)=0 ir f"(x0,y0)≠0, tada lygtis (1.33) apibrėžia UM0 kaimynystėje numanomą funkciją y= y(x), nuolatinę ir diferencijuojamą tam tikru intervalu D kurių centras yra taške x0, o y(x0)=y0.

Jokio įrodymo.

Iš 1.2 teoremos išplaukia, kad šiame intervale D:

tai yra, yra tapatybė

kur „bendra“ išvestinė randama pagal (1.31)

Tai yra, (1.35) pateikia formulę, kaip rasti vieno kintamojo x netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę.

Netiesioginė dviejų ar daugiau kintamųjų funkcija apibrėžiama panašiai.

Pavyzdžiui, jei kurioje nors Oxyz erdvės V srityje galioja lygtis:

tada tam tikromis funkcijos F sąlygomis ji netiesiogiai apibrėžia funkciją

Be to, pagal analogiją su (1.35), jo dalinės išvestinės randamos taip:

1.12 pavyzdys. Darant prielaidą, kad lygtis

netiesiogiai apibrėžia funkciją

rasti z"x, z"y.

todėl pagal (1.37) gauname atsakymą.

11.Dalinių išvestinių panaudojimas geometrijoje.

12.Dviejų kintamųjų funkcijos ekstremuma.

Dviejų kintamųjų funkcijos maksimumo, minimumo ir ekstremumo sąvokos yra panašios į atitinkamas vieno nepriklausomo kintamojo funkcijos sąvokas (žr. 25.4 skyrių).

Tegul funkcija z = ƒ(x;y) yra apibrėžta kurioje nors srityje D, taške N(x0;y0) О D.

Taškas (x0;y0) vadinamas maksimaliu funkcijos z=ƒ(x;y) tašku, jei taško (x0;y0) kaimynystė yra tokia, kad kiekviename taške (x;y) skiriasi nuo (xo;yo), iš šios apylinkės galioja nelygybė ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Mažiausias funkcijos taškas nustatomas panašiai: visiems taškams (x; y), išskyrus (x0; y0), iš taško d kaimynystės (xo; yo) galioja ši nelygybė: ƒ(x) ; y)>ƒ(x0; y0).

210 paveiksle: N1 yra maksimalus taškas, o N2 yra mažiausias funkcijos z=ƒ(x;y) taškas.

Funkcijos reikšmė maksimumo (minimumo) taške vadinama funkcijos maksimumu (minimumu). Funkcijos maksimumas ir minimumas vadinami jos ekstremumais.

Atkreipkite dėmesį, kad pagal apibrėžimą funkcijos ekstremumo taškas yra funkcijos apibrėžimo srityje; maksimalus ir minimumas turi vietinį (vietinį) pobūdį: funkcijos reikšmė taške (x0; y0) lyginama su jos reikšmėmis pakankamai arti (x0; y0) esančiuose taškuose. D regione funkcija gali turėti kelis kraštutinumus arba jų nebūti.

46.2. Būtinos ir pakankamos sąlygos ekstremumui

Panagrinėkime funkcijos ekstremumo egzistavimo sąlygas.

46.1 teorema (būtinos ekstremumo sąlygos). Jei taške N(x0;y0) diferencijuojama funkcija z=ƒ(x;y) turi ekstremumą, tai jos dalinės išvestinės šiame taške lygios nuliui: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Pataisykime vieną iš kintamųjų. Tarkime, y=y0. Tada gauname vieno kintamojo funkciją ƒ(x;y0)=φ(x), kurios ekstremumas x = x0. Todėl pagal būtinąją vieno kintamojo funkcijos ekstremumo sąlygą (žr. 25.4 skyrių) φ"(x0) = 0, t.y. ƒ"x(x0;y0)=0.

Panašiai galima parodyti, kad ƒ"y(x0;y0) = 0.

Geometriškai lygybės ƒ"x(x0;y0)=0 ir ƒ"y(x0;y0)=0 reiškia, kad funkcijos z=ƒ(x;y) kraštutiniame taške paviršiaus liestinės plokštuma, vaizduojanti funkcija ƒ(x;y) ), lygiagreti Oxy plokštumai, nes liestinės plokštumos lygtis z=z0 (žr. (45.2) formulę).

Z pastaba. Funkcija gali turėti ekstremumą taškuose, kuriuose bent viena iš dalinių išvestinių neegzistuoja. Pavyzdžiui, funkcija turi maksimumą taške O(0;0) (žr. 211 pav.), bet dalinių išvestinių šiame taške neturi.

Taškas, kuriame funkcijos z ≈ ƒ(x; y) pirmos eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui, t.y. f"x=0, f"y=0, vadinamas stacionariuoju funkcijos z tašku.

Stacionarūs taškai ir taškai, kuriuose neegzistuoja bent viena dalinė išvestinė, vadinami kritiniais taškais.

Kritiniuose taškuose funkcija gali turėti arba neturėti ekstremumo. Dalinių išvestinių lygybė nuliui yra būtina, bet nepakankama ekstremumo egzistavimo sąlyga. Apsvarstykite, pavyzdžiui, funkciją z = xy. Jam taškas O(0; 0) yra kritinis (jame z"x=y ir z"y - x išnyksta). Tačiau funkcija z=xy neturi ekstremumo, nes pakankamai mažoje taško O(0; 0) kaimynystėje yra taškai, kuriems z>0 (pirmojo ir trečiojo ketvirčių taškai) ir z< 0 (точки II и IV четвертей).

Taigi, norint rasti funkcijos ekstremalumą tam tikroje srityje, būtina kiekvieną kritinį funkcijos tašką atlikti papildomiems tyrimams.

46.2 teorema (pakankama ekstremumo sąlyga). Tegul funkcija ƒ(x;y) stacionariame taške (xo; y) ir kai kuriose jo apylinkėse turi ištisines dalines išvestines iki antros eilės imtinai. Apskaičiuokime taške (x0;y0) reikšmes A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Pažymėkime

1. jei Δ > 0, tai funkcija ƒ(x;y) taške (x0;y0) turi ekstremumą: maksimalus, jei A< 0; минимум, если А > 0;

2. jei Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Esant Δ = 0, taške (x0;y0) ekstremumas gali būti arba nebūti. Reikia daugiau tyrimų.

UŽDUOTYS

1.

Pavyzdys. Raskite didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalus. Sprendimas. Pirmas žingsnis yra funkcijos apibrėžimo srities radimas. Mūsų pavyzdyje išraiška vardiklyje neturėtų eiti į nulį, todėl . Pereikime prie išvestinės funkcijos: Norėdami nustatyti funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus remiantis pakankamu kriterijumi, sprendžiame apibrėžimo srities nelygybes. Naudokime intervalo metodo apibendrinimą. Vienintelė tikroji skaitiklio šaknis yra x = 2, o vardiklis tampa nuliu x = 0. Šie taškai padalija apibrėžimo sritį į intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė išlaiko savo ženklą. Pažymėkime šiuos taškus skaičių eilutėje. Mes sutartinai žymime pliusais ir minusais intervalus, kuriais išvestinė yra teigiama arba neigiama. Žemiau esančios rodyklės schematiškai rodo funkcijos padidėjimą arba sumažėjimą atitinkamame intervale. Taigi, Ir . Taške x = 2 funkcija yra apibrėžta ir tęstinė, todėl ją reikia pridėti ir prie didėjančių, ir į mažėjančių intervalų. Taške x = 0 funkcija neapibrėžta, todėl šio taško neįtraukiame į reikiamus intervalus. Pateikiame funkcijos grafiką, kad palygintume su ja gautus rezultatus. Atsakymas: funkcija didėja su , mažėja intervale (0; 2] .

2.

Pavyzdžiai.

Nustatykite kreivės išgaubimo ir įgaubimo intervalus y = 2 – x 2 .

Mes surasime y"" ir nustatykite, kur antroji išvestinė yra teigiama, o kur neigiama. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Nes y"" = e x > 0 bet kuriai x, tada kreivė visur yra įgaubta.

y = x 3 . Nes y"" = 6x, Tai y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 val x> 0. Todėl kai x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 yra įgaubtas.

3.

4. Duota funkcija z=x^2-y^2+5x+4y, vektorius l=3i-4j ir taškas A(3,2). Raskite dz/dl (kaip suprantu, funkcijos išvestinę vektoriaus kryptimi), gradz(A), |gradz(A)|. Raskime dalines išvestines: z(x atžvilgiu)=2x+5 z(y)=-2y+4 Raskime išvestinių taške A(3,2) reikšmes: z(su x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y)(3,2)=-2*2+4=0 Iš kur gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Funkcijos z išvestinė vektoriaus l kryptimi: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y) *cosb, a, b vektoriaus l kampai su koordinačių ašimis. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Išmoksime rasti funkcijų, nurodytų netiesiogiai, tai yra, nurodytų tam tikromis kintamuosius jungiančiomis lygtimis, išvestines x Ir y. Netiesiogiai nurodytų funkcijų pavyzdžiai:

,

Netiesiogiai nurodytų funkcijų išvestinės arba implicitinių funkcijų išvestinės randamos gana paprastai. Dabar pažvelkime į atitinkamą taisyklę ir pavyzdį, o tada išsiaiškinkime, kodėl tai apskritai reikalinga.

Norint rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinę, reikia atskirti abi lygties puses x atžvilgiu. Tie terminai, kuriuose yra tik X, pavirs įprastu funkcijos išvestiniu iš X. Ir žaidimo terminai turi būti diferencijuojami naudojant sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklę, nes žaidimas yra X funkcija. Paprasčiau tariant, gauta termino išvestinė su x turėtų gautis: funkcijos iš y išvestinė, padauginta iš išvestinės iš y. Pavyzdžiui, termino vedinys bus parašytas kaip , termino vedinys bus parašytas kaip . Toliau iš viso to reikia išreikšti šį „žaidimo taktą“ ir bus gauta norima netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

1 pavyzdys.

Sprendimas. Mes išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu, darydami prielaidą, kad i yra x funkcija:

Iš čia gauname išvestinę, kurios reikia užduotyje:

Dabar šiek tiek apie neaiškią netiesiogiai nurodytų funkcijų savybę ir kodėl reikalingos specialios jų diferencijavimo taisyklės. Kai kuriais atvejais galite įsitikinti, kad raišką x pakeitus į nurodytą lygtį (žr. anksčiau pateiktus pavyzdžius), o ne žaidimą, ši lygtis virsta tapatybe. Taigi. Aukščiau pateikta lygtis netiesiogiai apibrėžia šias funkcijas:

Pradinėje lygtyje pakeitę žaidimo kvadratu išraišką per x, gauname tapatybę:

.

Išraiškos, kurias pakeitėme, buvo gautos išsprendus žaidimo lygtį.

Jei atskirtume atitinkamą aiškią funkciją

tada gautume atsakymą kaip 1 pavyzdyje – iš funkcijos, nurodytos netiesiogiai:

Tačiau ne kiekviena netiesiogiai nurodyta funkcija gali būti pavaizduota formoje y = f(x) . Taigi, pavyzdžiui, netiesiogiai nurodytos funkcijos

nėra išreikštos elementariomis funkcijomis, tai yra, šios lygtys negali būti išspręstos žaidimo atžvilgiu. Todėl egzistuoja netiesiogiai nurodytos funkcijos diferencijavimo taisyklė, kurią mes jau ištyrėme ir toliau nuosekliai taikysime kituose pavyzdžiuose.

2 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Išreiškiame netiesiogiai nurodytos funkcijos pirminį dydį ir – išvestyje – išvestinę:

3 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Sprendimas. Išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu:

.

4 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

.

Sprendimas. Išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu:

.

Išreiškiame ir gauname išvestinę:

.

5 pavyzdys. Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę:

Sprendimas. Dešinėje lygties pusėje esančius terminus perkeliame į kairę pusę, o dešinėje paliekame nulį. Išskiriame abi lygties puses x atžvilgiu.

Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė.
Parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė

Šiame straipsnyje apžvelgsime dar dvi tipines užduotis, kurios dažnai randamos aukštosios matematikos testuose. Norėdami sėkmingai įsisavinti medžiagą, turite mokėti rasti išvestinių bent jau vidutinio lygio. Praktiškai nuo nulio galite išmokti rasti išvestines dviejose pagrindinėse pamokose ir Sudėtingos funkcijos išvestinė. Jei jūsų diferenciacijos įgūdžiai yra tinkami, tada eikime.

Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė

Arba, trumpai tariant, numanomos funkcijos išvestinė. Kas yra numanoma funkcija? Pirmiausia prisiminkime patį vieno kintamojo funkcijos apibrėžimą:

Vieno kintamo funkcija yra taisyklė, pagal kurią kiekviena nepriklausomo kintamojo reikšmė atitinka vieną ir tik vieną funkcijos reikšmę.

Kintamasis vadinamas nepriklausomas kintamasis arba argumentas.
Kintamasis vadinamas priklausomas kintamasis arba funkcija .

Iki šiol apžvelgėme funkcijas, apibrėžtas aiškus forma. Ką tai reiškia? Atlikime apibendrinimą naudodami konkrečius pavyzdžius.

Apsvarstykite funkciją

Matome, kad kairėje pusėje yra vienas „žaidėjas“, o dešinėje - tik "X". Tai yra, funkcija aiškiai išreikštas nepriklausomu kintamuoju.

Pažvelkime į kitą funkciją:

Čia susimaišo kintamieji. Be to jokiu būdu neįmanoma Išreikškite „Y“ tik per „X“. Kokie tai metodai? Terminų perkėlimas iš dalies į dalį keičiant ženklą, išbraukimas iš skliaustų, koeficientų metimas pagal proporcingumo taisyklę ir pan. Perrašykite lygybę ir pabandykite aiškiai išreikšti „y“: . Galite sukti ir vartyti lygtį valandų valandas, bet jums nepavyks.

Leiskite jums pristatyti: – pavyzdys numanoma funkcija.

Matematinės analizės metu buvo įrodyta, kad numanoma funkcija egzistuoja(tačiau ne visada), jis turi grafiką (kaip ir „normali“ funkcija). Netiesioginė funkcija yra lygiai tokia pati egzistuoja pirmasis vedinys, antrasis vedinys ir kt. Kaip sakoma, gerbiamos visos seksualinių mažumų teisės.

Ir šioje pamokoje sužinosime, kaip rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinę. Tai nėra taip sunku! Visos diferenciacijos taisyklės ir elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė lieka galioti. Skirtumas yra viename savotiškame momente, į kurį pažvelgsime dabar.

Taip, ir aš jums pasakysiu geras naujienas - toliau aptariamos užduotys atliekamos pagal gana griežtą ir aiškų algoritmą be akmens priešais tris takelius.

1 pavyzdys

1) Pirmajame etape prie abiejų dalių pritvirtiname potėpius:

2) Mes naudojame išvestinės tiesiškumo taisykles (pirmas dvi pamokos taisykles Kaip rasti išvestinę priemonę? Sprendimų pavyzdžiai):

3) Tiesioginė diferenciacija.
Kaip atskirti – visiškai aišku. Ką daryti ten, kur po smūgiais yra „žaidimų“?

- iki gėdos taško, funkcijos išvestinė lygi jos išvestinei: .

Kaip atskirti
Štai mes turime sudėtinga funkcija. Kodėl? Atrodo, kad po sinusu yra tik viena raidė „Y“. Tačiau faktas yra tas, kad yra tik viena raidė „y“ - PATS YRA FUNKCIJA(žr. apibrėžimą pamokos pradžioje). Taigi sinusas yra išorinė funkcija ir yra vidinė funkcija. Taisyklę naudojame sudėtingai funkcijai atskirti :

Prekę išskiriame pagal įprastą taisyklę :

Atkreipkite dėmesį, kad taip pat yra sudėtinga funkcija, bet koks „žaidimas su varpais ir švilpukais“ yra sudėtinga funkcija:

Pats sprendimas turėtų atrodyti maždaug taip:


Jei yra skliaustų, išplėskite juos:

4) Kairėje pusėje renkame terminus, kuriuose yra „Y“ su pirminiu skaitmeniu. Perkelkite visa kita į dešinę pusę:

5) Kairėje pusėje iš skliaustų išimame išvestinę:

6) Ir pagal proporcingumo taisyklę įtraukiame šiuos skliaustus į dešinės pusės vardiklį:

Darinys rastas. Paruošta.

Įdomu pastebėti, kad bet kurią funkciją galima netiesiogiai perrašyti. Pavyzdžiui, funkcija galima perrašyti taip: . Ir atskirkite jį naudodami ką tik aptartą algoritmą. Tiesą sakant, frazės „numanoma funkcija“ ir „numanoma funkcija“ skiriasi vienu semantiniu niuansu. Frazė „netiesiogiai nurodyta funkcija“ yra bendresnė ir teisingesnė, – ši funkcija nurodyta netiesiogiai, tačiau čia galite išreikšti „žaidimą“ ir pateikti funkciją aiškiai. Žodžiai „netiesioginė funkcija“ dažniau reiškia „klasikinę“ numanomą funkciją, kai „žaidimas“ negali būti išreikštas.

Taip pat reikėtų pažymėti, kad „netiesioginė lygtis“ gali netiesiogiai nurodyti dvi ar net daugiau funkcijų vienu metu, pavyzdžiui, apskritimo lygtis netiesiogiai apibrėžia funkcijas , , kurios apibrėžia puslankius. Tačiau šio straipsnio rėmuose mes nepadarys ypatingo skirtumo tarp terminų ir niuansų, tai buvo tik informacija bendrai plėtrai.

Antras sprendimas

Dėmesio! Su antruoju metodu galite susipažinti tik tada, kai žinote, kaip užtikrintai rasti daliniai dariniai. Prašom skaičiuoti pradedantiesiems ir manekenams neskaitykite ir praleiskite šį punktą, kitaip tavo galva bus visiška netvarka.

Antruoju metodu suraskime implicitinės funkcijos išvestinę.

Visus terminus perkeliame į kairę pusę:

Ir apsvarstykite dviejų kintamųjų funkciją:

Tada mūsų išvestinę galima rasti naudojant formulę
Raskime dalines išvestines:

Taigi:

Antrasis sprendimas leidžia atlikti patikrinimą. Tačiau jiems nepatartina rašyti galutinio užduoties varianto, nes dalinės išvestinės yra įsisavinamos vėliau, o studentas, studijuojantis temą „Vieno kintamojo funkcijos išvestinė“, dalinių išvestinių dar neturėtų žinoti.

Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.

2 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Pridėkite potėpius prie abiejų dalių:

Mes naudojame tiesiškumo taisykles:

Išvestinių priemonių paieška:

Visų skliaustų atidarymas:

Visus terminus perkeliame į kairę, likusius į dešinę:

Galutinis atsakymas:

3 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Neretai po diferenciacijos atsiranda trupmenos. Tokiais atvejais reikia atsikratyti frakcijų. Pažvelkime į dar du pavyzdžius.

4 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Abi dalis įtraukiame po brūkšniais ir naudojame tiesiškumo taisyklę:

Atskirkite naudodami sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę ir koeficientų diferenciacijos taisyklė :

Skliaustų išplėtimas:

Dabar turime atsikratyti frakcijos. Tai galima padaryti vėliau, tačiau racionaliau tai padaryti iš karto. Trupmenos vardiklyje yra . Padauginti ant . Išsamiau tai atrodys taip:

Kartais po diferenciacijos atsiranda 2-3 frakcijos. Jeigu turėtume, pavyzdžiui, kitą trupmeną, tai operaciją reikėtų kartoti – padauginti kiekvienas kiekvienos dalies terminasįjungta

Kairėje pusėje mes jį ištraukiame iš skliaustų:

Galutinis atsakymas:

5 pavyzdys

Raskite netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Vienintelis dalykas yra tai, kad prieš atsikratydami frakcijos pirmiausia turėsite atsikratyti trijų aukštų pačios frakcijos struktūros. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė

Nestresuokime, viskas šioje pastraipoje taip pat gana paprasta. Galite užrašyti bendrąją parametriškai apibrėžtos funkcijos formulę, bet, kad būtų aišku, iškart parašysiu konkretų pavyzdį. Parametrine forma funkcija pateikiama dviem lygtimis: . Dažnai lygtys rašomos ne po riestiniais skliaustais, o paeiliui: , .

Kintamasis vadinamas parametru ir gali paimti reikšmes nuo „minus begalybės“ iki „pliuso begalybės“. Apsvarstykite, pavyzdžiui, reikšmę ir pakeiskite ją į abi lygtis: . Arba žmogiškai kalbant: „jei x lygus keturiems, tai y lygus vienetui“. Galite pažymėti tašką koordinačių plokštumoje, ir šis taškas atitiks parametro reikšmę. Panašiai galite rasti tašką bet kuriai parametro „te“ reikšmei. Kalbant apie „įprastą“ funkciją, parametriškai apibrėžtos funkcijos Amerikos indėnams taip pat gerbiamos visos teisės: galite sudaryti grafiką, rasti išvestinius ir pan. Beje, jei reikia nubraižyti parametriškai apibrėžtos funkcijos grafiką, galite pasinaudoti mano programa.

Paprasčiausiais atvejais funkciją galima pavaizduoti aiškiai. Išreikškime parametrą: – iš pirmosios lygties ir pakeiskime jį antrąja lygtimi: . Rezultatas yra įprasta kubinė funkcija.

„Sunkesniais“ atvejais šis triukas neveikia. Bet tai nesvarbu, nes yra formulė, kaip rasti parametrinės funkcijos išvestinę:

Randame „žaidimo kintamojo te“ išvestinę:

Visos diferenciacijos taisyklės ir išvestinių lentelė, žinoma, galioja raidei , taigi, darinių paieškos procese nėra naujovių. Tiesiog mintyse pakeiskite visus „X“ lentelėje raide „Te“.

Mes randame „x“ išvestinę kintamojo te atžvilgiu:

Dabar belieka rastus darinius pakeisti į mūsų formulę:

Paruošta. Išvestinė, kaip ir pati funkcija, taip pat priklauso nuo parametro.

Kalbant apie žymėjimą, užuot jį parašius formulėje, būtų galima tiesiog parašyti be indekso, nes tai yra „įprasta“ išvestinė „X atžvilgiu“. Bet literatūroje visada yra galimybė, todėl nuo standarto nenukrypsiu.

6 pavyzdys

Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Taigi:

Ypatinga parametrinės funkcijos išvestinės radimo ypatybė yra tai, kad kiekviename žingsnyje naudinga kiek įmanoma supaprastinti rezultatą. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje, kai jį radau, atidariau skliaustus po šaknimi (nors galbūt to nepadariau). Yra didelė tikimybė, kad pakeitus formulę daug dalykų bus gerai sumažinta. Nors, žinoma, yra pavyzdžių su nerangiais atsakymais.

7 pavyzdys

Raskite parametriškai nurodytos funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Straipsnyje Paprasčiausios tipinės problemos su išvestinėmis priemonėmis pažvelgėme į pavyzdžius, kuriuose reikėjo rasti antrąją funkcijos išvestinę. Parametrai apibrėžtai funkcijai taip pat galite rasti antrąją išvestinę, kuri randama naudojant šią formulę: . Visiškai akivaizdu, kad norėdami rasti antrą išvestinę, pirmiausia turite rasti pirmąjį išvestinį.

8 pavyzdys

Raskite parametriškai pateiktos funkcijos pirmąją ir antrąją išvestines

Pirmiausia suraskime pirmąjį išvestinį.
Mes naudojame formulę

Tokiu atveju:

Aukštesnės eilės išvestinės randamos nuosekliai diferencijuojant (1) formulę.

Pavyzdys. Raskite ir jei (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Sprendimas. Kairiąją šios lygties pusę žymėdami f(x,y) raskite dalines išvestines

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Iš čia, taikydami (1) formulę, gauname:

.

Norėdami rasti antrąją išvestinę, atskirkite pagal X pirmasis rastas vedinys, atsižvelgiant į tai adresu yra funkcija x:

.

2°. Kelių nepriklausomų kintamųjų atvejis. Taip pat, jei lygtis F(x, y, z) = 0, Kur F(x, y, z) – diferencijuojama kintamųjų funkcija x, y Ir z, nustato z kaip nepriklausomų kintamųjų funkcija X Ir adresu Ir Fz(x, y, z)≠ 0, tada šios netiesiogiai pateiktos funkcijos dalines išvestines, paprastai tariant, galima rasti naudojant formules

.

Kitas būdas rasti funkcijos z išvestinius yra toks: diferencijuojant lygtį F(x, y, z) = 0, mes gauname:

.

Iš čia galime nustatyti dz, ir todėl .

Pavyzdys. Raskite ir jei x ² - 2y²+3z² –yz +y = 0.

1-as metodas. Kairiąją šios lygties pusę žymėdami F(x, y, z), raskime dalines išvestines F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Taikydami formules (2), gauname:

2-as metodas. Diferencijuodami šią lygtį gauname:

2xdx -4ydy +6zdz-ydz-zdy +dy = 0

Iš čia mes nustatome dz, ty bendras numanomos funkcijos skirtumas:

.

Lyginant su formule , mes tai matome

.

3°. Numanoma funkcijų sistema. Jei dviejų lygčių sistema

apibrėžia u Ir v kaip kintamųjų x ir y bei Jakobijos funkcijos

,

tada iš lygčių sistemos galima rasti šių funkcijų diferencialus (taigi ir jų dalines išvestines)

Pavyzdys: lygtys u+v=x+y, xu+yv=1 nustatyti u Ir v kaip funkcijas X Ir adresu; rasti .

Sprendimas. 1-as metodas. Atskirdami abi lygtis x atžvilgiu, gauname:

.

Panašiu būdu mes randame:

.

2-as metodas. Diferencijuodami randame dvi lygtis, jungiančias visų keturių kintamųjų diferencialus: du +dv =dx +dy,xdu +udx +ydv+vdy = 0.

Šios diferencialų sistemos sprendimas du Ir dv, mes gauname:

4°. Parametrinės funkcijos specifikacija. Jei r kintamųjų funkcija X Ir adresu lygtis pateikiama parametriškai x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) Ir

,

tada šios funkcijos diferencialą galima rasti iš lygčių sistemos

Žinant skirtumą dz=p dx+q dy, randame dalines išvestines ir .

Pavyzdys. Funkcija z argumentai X Ir adresu pateiktos lygtimis x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Raskite ir.

Sprendimas. 1-as metodas. Diferencijuodami randame tris lygtis, jungiančias visų penkių kintamųjų diferencialus:

Iš pirmųjų dviejų lygčių nustatome du Ir dv:

.

Rastas reikšmes pakeiskime trečiąja lygtimi du Ir dv:

.

2-as metodas. Iš trečiosios pateiktos lygties galime rasti:

Išskirkime pirmąsias dvi lygtis pagal X, tada iki adresu:

Iš pirmosios sistemos randame: .

Iš antrosios sistemos randame: .

Pakeitę išraiškas į formulę (5), gauname:

Kintamųjų pakeitimas

Keičiant kintamuosius diferencialinėse išraiškose, į juos įtrauktos išvestinės turi būti išreikštos kitomis išvestinėmis pagal sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisykles.

1°. Kintamųjų pakeitimas išraiškose, kuriose yra įprastinių išvestinių žodžių.

,

tikėdamas .

adresu Autorius X per darinius adresu Autorius t. Mes turime:

,

.

Rastų išvestinių reiškinių pakeitimas į šią lygtį ir pakeitimas X per , gauname:

Pavyzdys. Konvertuoti lygtį

,

priimdamas tai kaip argumentą adresu, o funkcijai x.

Sprendimas. Išreikškime išvestinius adresu Autorius X per darinius X Autorius u.

.

Pakeitę šias išvestines išraiškas į šią lygtį, gauname:

,

arba pagaliau

.

Pavyzdys. Konvertuoti lygtį

einant į poliarines koordinates

x=r cos φ, y=r cos φ.

Sprendimas. Atsižvelgiant į r kaip funkcija φ , iš (1) formulių gauname:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Yra žinoma, kad funkcija y= f(x) gali būti nurodyta netiesiogiai naudojant lygtį, jungiančią kintamuosius x ir y:

F(x,y)=0.

Suformuluokime sąlygas, kurioms esant lygtis F(x,y)=0 apibrėžia vieną iš kintamųjų kaip kito funkciją. Tai tiesa

Teorema (netiesioginės funkcijos buvimas) Tegul funkcija F(x,y)=0 atitinka šias sąlygas:

1) yra taškas P˳(x˳,y˳) , kuriame F(x˳,y˳)=0

2) F'y(x˳,y˳)≠ 0

3) funkcijos F’x (x ,y)ir F'y (x ,y) ištisinis tam tikroje taško kaimynystėje

P 0 (x 0 ,y 0).

Tada yra unikali funkcija y =f (x), apibrėžta tam tikrame intervale, kuriame yra taškas, ir tenkinanti lygtį F(x,y)=0 bet kuriam x iš šio intervalo, kad f(x) 0)=y0

Jei y turi numanomą funkciją iš X, tai yra, jis nustatomas pagal lygtį F ( X, adresu) = 0, tada, darant prielaidą, kad adresu yra funkcija nuo X, mes gauname tapatybę F (X, adresu(X)) = 0, kurią galima laikyti pastovia funkcija. Atskirdami šią pastovią funkciją, gauname:

Jei tokiu santykiu, tada galite rasti.

Vėlgi diferencijuodami ryšį (1), gauname:

Santykis (2) gali būti laikomas lygtimi, skirta nustatyti antrąją išvestinę. Vėl diferencijuodami ryšį (2), gauname lygtį trečiajai išvestinei nustatyti ir t.t.

Kryptinė išvestinė. Krypties vektorius dviejų ir trijų kintamųjų atveju (krypties kosinusai). Funkcijos padidėjimas tam tikra kryptimi. Kryptinės išvestinės apibrėžimas, raiška dalinėmis išvestinėmis. Funkcijų gradientas. Gradiento ir lygio linijos santykinė padėtis tam tikrame taške dviejų kintamųjų funkcijai.

Dviejų kintamųjų z=f(x;y) funkcijos I krypties išvestinė z'I vadinama funkcijos didėjimo šia kryptimi santykio su poslinkio ∆I dydžiu, nes pastarasis linkęs. iki 0: z'i=lim∆iz /∆I

Išvestinė z’ I apibūdina funkcijos kitimo greitį i kryptimi.

Jei funkcija z=f(x;y) taške М(x;y) turi ištisines dalines išvestines, tai šiame taške yra išvestinė bet kuria kryptimi, kylanti iš taško М(x;y), kuri apskaičiuojama. pagal formulę z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ, kur cosα, cosβ yra vektoriaus kryptinės ašys.

Funkcijos z=f(x,y) gradientas yra vektorius, kurio koordinatės f’x, f’y. Žymima z=(f'x,f'y) arba .

Krypties išvestinė yra lygi gradiento ir vieneto vektoriaus, apibrėžiančio I kryptį, skaliarinei sandaugai.

Vektorius z kiekviename taške yra nukreiptas į lygiagrečią liniją, einnčią per šį tašką funkcijos didėjimo kryptimi.

Dalinės išvestinės f’x ir f’y yra funkcijos z=f(x,y) išvestinės išilgai dviejų dalinių Ox ir Oy ašių krypčių.

Tegul z=f(x,y) yra diferencijuojama funkcija tam tikroje srityje D, M(x,y) . Tegu I yra kokia nors kryptis (vektorius, kurio pradžia taške M), ir =(cosα;cosβ).

Judant nurodyta kryptimi I tašką M(x,y) į tašką M1(x+∆x;y+∆y), funkcija z gaus prieaugį ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- f(x;y) vadinamas funkcijos z prieaugiu tam tikra kryptimi I.

Jei MM1=∆I, tai ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, vadinasi, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).