Poisson paskirstymo režimas. Pasiskirstymas ir Puasono formulė. Atsitiktinio dydžio X skaitinės charakteristikos

Nagrinėjant mažos tikimybės įvykius, kurie įvyksta didelėje nepriklausomų bandymų serijoje tam tikrą (baigtinį) skaičių kartų, šių įvykių atsiradimo tikimybės atitinka Puasono dėsnį arba retų įvykių dėsnį, kur λ yra lygus vidutiniam įvykių pasireiškimai identiškuose nepriklausomuose tyrimuose, t.y. λ = n × p, čia p – įvykio tikimybė vieno bandymo metu, e = 2,71828, m – šio įvykio dažnis, matematinė lūkestis M[X] lygi λ.

Puasono įstatymo paskirstymo serija yra tokia:

Atsitiktinio dydžio X skaitinės charakteristikos

Tikėtina vertė Puasono pasiskirstymas
M[X] = λ

Puasono skirstinio dispersija
D[X] = λ

Puasono dėsnis gali būti naudojamas populiacijoms, kurių tūris yra pakankamai didelis (n > 100) ir turi pakankamai mažą vienetų dalį, turinčią šią charakteristiką (p< 0,1).
Šiuo atveju Puasono skirstinys gali būti taikomas, kai n reikšmė nežinoma – iš viso galimi rezultatai, bet ir tada, kai galutinis skaičius, kurį gali reikšti n, nėra žinomas. Kai yra vidutinis įvykio įvykių skaičius, įvykio tikimybė apibūdinama išplėtimo sąlygomis:
.
Todėl atitinkamos tikimybės yra:

Todėl, jei vidutinis žemės drebėjimų skaičius yra vienas per mėnesį, tada m = 1, o įvykių tikimybė per mėnesį bus tokia, skaičiuojant pagal apytikslę reikšmę e - m = 0,3679:

Pavyzdys. Patikrinus 1000 identiškų gaminių partijų, gautas toks nekokybiškų gaminių skaičiaus pasiskirstymas partijoje:

Nustatykime vidutinį sugedusių gaminių skaičių partijoje:
.
Mes randame teorinius Puasono dėsnio dažnius:


Empiriškai ir teoriškai nustatytas Puasono skirstinys:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Palyginimas rodo, kad empirinis skirstinys atitinka Puasono skirstinį.

2 pavyzdys. Techninės kontrolės skyrius patikrino n panašių gaminių partijų ir nustatė, kad nestandartinių gaminių skaičius X vienoje partijoje turi empirinį pasiskirstymą, parodytą lentelėje, kurios vienoje eilutėje nurodomas nestandartinių gaminių skaičius x i vienoje partijoje, o kitoje eilutėje nurodomas n i partijų, kuriose yra x i nestandartinių gaminių, skaičius. Reikšmingumo lygiu α=0,05 reikia patikrinti hipotezę, kad atsitiktinis dydis X (nestandartinių gaminių skaičius vienoje partijoje) paskirstytas pagal Puasono dėsnį.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Patikrinkime hipotezę, kad X yra paskirstytas Puasono dėsnis Naudojimasis paslauga, statistinių hipotezių tikrinimas.


kur p i – smūgio tikimybė i-asis intervalas atsitiktinis kintamasis, paskirstytas pagal hipotetinį dėsnį; λ = x vid.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17 = 14 + 3
i = 6: 18,39 = 15,33 + 3,07

i	Stebimas dažnis n i	p i	Numatomas dažnis np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Nustatykime kritinės srities ribą. Kadangi Pirsono statistika matuoja skirtumą tarp empirinio ir teorinio skirstinių, kuo didesnė jo stebima reikšmė K obs, tuo stipresnis argumentas prieš pagrindinę hipotezę.
Todėl šios statistikos kritinė sritis visada yra dešiniarankė :)