atsitiktiniai dydžiai. Diskretusis atsitiktinis dydis.Matematiniai lūkesčiai. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija Portfelio teorijoje matematinės lūkesčių vidurkis rodo

Taip pat bus pateiktos užduotys savarankiškam sprendimui, į kurias matysite atsakymus.

Matematinės lūkesčiai ir dispersija yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Jie apibūdina svarbiausius skirstinio požymius: jo padėtį ir sklaidos laipsnį. Matematinis lūkestis dažnai vadinamas tiesiog vidurkiu. atsitiktinis kintamasis. Atsitiktinio dydžio sklaida - dispersijos charakteristika, atsitiktinio dydžio sklaida aplink jo matematinius lūkesčius.

Daugelyje praktikos problemų pilnas, išsamus atsitiktinio dydžio – pasiskirstymo dėsnio – aprašymas arba negali būti gautas, arba jo visai nereikia. Tokiais atvejais jie apsiriboja apytiksliu atsitiktinio dydžio aprašymu, naudojant skaitines charakteristikas.

Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis

Pereikime prie matematinio lūkesčio sampratos. Tegul kokios nors medžiagos masė pasiskirsto tarp x ašies taškų x1 , x 2 , ..., x n. Be to, kiekvienas materialus taškas turi masę, atitinkančią jį su tikimybe p1 , p 2 , ..., p n. Reikia pasirinkti vieną tašką x ašyje, kuris apibūdina visos materialių taškų sistemos padėtį, atsižvelgiant į jų mases. Natūralu tokiu tašku laikyti materialių taškų sistemos masės centrą. Tai yra atsitiktinio dydžio svertinis vidurkis X, kuriame kiekvieno taško abscisė xiįeina su „svoriu“, lygiu atitinkamai tikimybei. Taip gauta vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė X vadinamas jo matematiniu lūkesčiu.

Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkesčiai yra visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma:

1 pavyzdys Buvo surengta loterija, kurioje laimi. Yra 1000 laimėjimų, iš kurių 400 yra po 10 rublių. 300-20 rublių kiekvienas 200-100 rublių kiekvienas. ir po 100-200 rublių. Kokį vidutinį laimėjimą gauna žmogus, perkantis vieną bilietą?

Sprendimas. Vidutinį laimėjimą rasime, jei bendrą laimėjimų sumą, kuri lygi 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublių, padalinsime iš 1000 (bendra laimėjimų suma). Tada gauname 50000/1000 = 50 rublių. Tačiau vidutinio padidėjimo apskaičiavimo išraiška taip pat gali būti pateikta tokia forma:

Kita vertus, tokiomis sąlygomis laimėjimų suma yra atsitiktinis dydis, kuris gali būti 10, 20, 100 ir 200 rublių. su tikimybėmis, atitinkamai lygiomis 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Todėl numatomas vidutinis atlygis yra lygus išmokų dydžio ir tikimybės juos gauti sandaugų sumai.

2 pavyzdys Leidykla nusprendė išleisti naują knygą. Knygą jis ketina parduoti už 280 rublių, iš kurių 200 atiteks jam, 50 – knygynui, 30 – autoriui. Lentelėje pateikiama informacija apie knygos išleidimo kainą ir tikimybę parduoti tam tikrą knygos egzempliorių skaičių.

Raskite numatomą leidėjo pelną.

Sprendimas. Atsitiktinis dydis „pelnas“ yra lygus skirtumui tarp pardavimo pajamų ir išlaidų kaštų. Pavyzdžiui, jei parduodama 500 knygos egzempliorių, tada pardavimo pajamos yra 200 * 500 = 100 000, o leidybos kaina - 225 000 rublių. Taigi leidėjui gresia 125 000 rublių nuostolis. Šioje lentelėje apibendrinamos tikėtinos atsitiktinio dydžio – pelno – reikšmės:

Skaičius	Pelnas xi	Tikimybė pi	xi p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Iš viso:		1,00	25000

Taigi gauname matematinius leidėjo pelno lūkesčius:

.

3 pavyzdys Galimybė pataikyti vienu šūviu p= 0,2. Nustatykite apvalkalų sunaudojimą, kuris suteikia matematinį paspaudimų skaičių, lygų 5.

Sprendimas. Išreiškiame tą pačią lūkesčių formulę, kurią naudojome iki šiol x- kriauklių suvartojimas:

.

4 pavyzdys Nustatykite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą x smūgių skaičius trimis šūviais, jei tikimybė pataikyti kiekvienu šūviu p = 0,4 .

Užuomina: suraskite atsitiktinio dydžio reikšmių tikimybę pagal Bernulio formulė .

Laukimo savybės

Apsvarstykite matematinių lūkesčių savybes.

1 nuosavybė. Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus šiai konstantai:

2 nuosavybė. Pastovus veiksnys gali būti pašalintas iš lūkesčio ženklo:

3 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai (skirtumui):

4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

5 nuosavybė. Jei visos atsitiktinio dydžio reikšmės X sumažinti (padidėti) tuo pačiu skaičiumi SU, tada jo matematinis lūkestis sumažės (padidės) tokiu pat skaičiumi:

Kai negali apsiriboti tik matematiniais lūkesčiais

Daugeliu atvejų tik matematinis lūkestis negali tinkamai apibūdinti atsitiktinio kintamojo.

Tegul atsitiktiniai kintamieji X Ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:

Reikšmė X	Tikimybė
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Reikšmė Y	Tikimybė
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Šių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi – lygūs nuliui:

Tačiau jų pasiskirstymas skiriasi. Atsitiktinė vertė X gali imti tik tas vertes, kurios mažai skiriasi nuo matematinio lūkesčio ir atsitiktinio kintamojo Y gali priimti vertes, kurios labai skiriasi nuo matematinio lūkesčio. Panašus pavyzdys: vidutinis darbo užmokestis neleidžia spręsti apie daug ir mažai apmokamų darbuotojų proporciją. Kitaip tariant, pagal matematinius lūkesčius negalima spręsti, kokie nukrypimai nuo jo, bent jau vidutiniškai, galimi. Norėdami tai padaryti, turite rasti atsitiktinio dydžio dispersiją.

Diskretinio atsitiktinio dydžio sklaida

dispersija diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X vadinamas jo nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadrato matematiniu lūkesčiu:

Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis X yra jos dispersijos kvadratinės šaknies aritmetinė vertė:

.

5 pavyzdys Apskaičiuokite atsitiktinių dydžių dispersijas ir standartinius nuokrypius X Ir Y, kurių pasiskirstymo dėsniai pateikti aukščiau esančiose lentelėse.

Sprendimas. Atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai X Ir Y, kaip nurodyta aukščiau, yra lygūs nuliui. Pagal dispersijos formulę E(X)=E(y)=0 gauname:

Tada atsitiktinių dydžių standartiniai nuokrypiai X Ir Y sudaryti

.

Taigi su tais pačiais matematiniais lūkesčiais atsitiktinio dydžio dispersija X labai mažas ir atsitiktinis Y- reikšmingas. Tai yra jų pasiskirstymo skirtumo pasekmė.

6 pavyzdys Investuotojas turi 4 alternatyvius investicinius projektus. Lentelėje su atitinkama tikimybe apibendrinami duomenys apie numatomą pelną šiuose projektuose.

1 projektas	2 projektas	3 projektas	4 projektas
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Raskite kiekvienos alternatyvos matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.

Sprendimas. Parodykime, kaip šie dydžiai apskaičiuojami trečiajai alternatyvai:

Lentelėje apibendrinamos rastos visų alternatyvų reikšmės.

Visos alternatyvos turi tuos pačius matematinius lūkesčius. Tai reiškia, kad ilgainiui visi turi vienodas pajamas. Standartinis nuokrypis gali būti interpretuojamas kaip rizikos matas – kuo jis didesnis, tuo didesnė investicijos rizika. Investuotojas, kuris nenori didelės rizikos, rinksis 1 projektą, nes jo standartinis nuokrypis yra mažiausias (0). Jei investuotojas teikia pirmenybę rizikai ir didelei grąžai per trumpą laikotarpį, jis rinksis projektą su didžiausiu standartiniu nuokrypiu – 4 projektą.

Dispersijos savybės

Pateiksime dispersijos savybes.

1 nuosavybė. Pastovios vertės dispersija lygi nuliui:

2 nuosavybė. Pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu:

.

3 nuosavybė. Atsitiktinio dydžio dispersija yra lygi šios reikšmės kvadrato matematiniam lūkesčiui, iš kurio atimamas pačios reikšmės matematinio lūkesčio kvadratas:

,

Kur .

4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) dispersija yra lygi jų dispersijų sumai (skirtumui):

7 pavyzdys Yra žinoma, kad diskretinis atsitiktinis dydis X ima tik dvi reikšmes: −3 ir 7. Be to, žinomas matematinis lūkestis: E(X) = 4. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.

Sprendimas. Pažymėti p tikimybė, su kuria atsitiktinis dydis įgauna reikšmę x1 = −3 . Tada vertės tikimybė x2 = 7 bus 1 − p. Išveskime matematinio lūkesčio lygtį:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

kur gauname tikimybes: p= 0,3 ir 1 − p = 0,7 .

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Šio atsitiktinio dydžio dispersiją apskaičiuojame naudodami formulę iš 3 dispersijos savybės:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Pats suraskite matematinį atsitiktinio kintamojo lūkestį ir pamatykite sprendimą

8 pavyzdys Diskretus atsitiktinis dydis X ima tik dvi vertes. Ji turi didesnę reikšmę 3 su 0,4 tikimybe. Be to, žinoma atsitiktinio dydžio dispersija D(X) = 6 . Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą.

9 pavyzdys Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš urnos paimami 3 rutuliukai. Baltų rutulių skaičius tarp ištrauktų rutulių yra diskretusis atsitiktinis dydis X. Raskite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją.

Sprendimas. Atsitiktinė vertė X gali gauti reikšmes 0, 1, 2, 3. Atitinkamas tikimybes galima apskaičiuoti iš tikimybių daugybos taisyklė. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Taigi matematinis šio atsitiktinio kintamojo lūkestis:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Tam tikro atsitiktinio dydžio dispersija yra tokia:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Tolydinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir sklaida

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui mechaninis matematinio lūkesčio aiškinimas išliks ta pati reikšmė: masės centras masės vienetui, nuolat paskirstytam x ašyje su tankiu. f(x). Priešingai nei diskretiškasis atsitiktinis kintamasis, kurio funkcijos argumentas xi staigiai keičiasi, nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui argumentas keičiasi nuolat. Tačiau matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis taip pat yra susijęs su jo vidutine verte.

Norėdami rasti ištisinio atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį ir dispersiją, turite rasti apibrėžtuosius integralus . Jei pateikiama nuolatinio atsitiktinio dydžio tankio funkcija, ji patenka tiesiai į integrandą. Jei pateikiama tikimybių skirstinio funkcija, tada ją diferencijuojant reikia rasti tankio funkciją.

Visų galimų nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių aritmetinis vidurkis vadinamas jo matematinis lūkestis, žymimas arba .

Tikėtina vertė

Sklaida Ištisinis atsitiktinis dydis X, kurio galimos reikšmės priklauso visai ašiai Ox, nustatomas pagal lygybę:

Aptarnavimo užduotis. Internetinė skaičiuoklė skirta spręsti problemas, kuriose pasiskirstymo tankis f(x) , arba pasiskirstymo funkcija F(x) (žr. pavyzdį). Paprastai atliekant tokias užduotis reikia rasti matematinis lūkestis, standartinis nuokrypis, nubraižykite funkcijas f(x) ir F(x).

Instrukcija. Pasirinkite įvesties duomenų tipą: pasiskirstymo tankis f(x) arba pasiskirstymo funkcija F(x) .

Pasiskirstymo tankis f(x) pateikiamas:

Pasiskirstymo funkcija F(x) pateikta:

Nuolatinis atsitiktinis dydis apibrėžiamas tikimybių tankiu
(Rayleigh paskirstymo dėsnis – naudojamas radijo inžinerijoje). Raskite M(x) , D(x) .

Atsitiktinis dydis X vadinamas tęstinis , jei jos pasiskirstymo funkcija F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija naudojama apskaičiuojant tikimybes, kad atsitiktinis dydis patenka į tam tikrą intervalą:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
be to, ištisiniam atsitiktiniam dydžiui nesvarbu, ar jo ribos yra įtrauktos į šį intervalą, ar ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Pasiskirstymo tankis nuolatinis atsitiktinis kintamasis vadinamas funkcija
f(x)=F'(x) , skirstinio funkcijos išvestinė.

Pasiskirstymo tankio savybės

1. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis yra neneigiamas (f(x) ≥ 0) visoms x reikšmėms.
2. Normalizavimo sąlyga:

Normalizavimo sąlygos geometrinė reikšmė: plotas po pasiskirstymo tankio kreive lygus vienetui.
3. Tikimybę pataikyti į atsitiktinį kintamąjį X intervale nuo α iki β galima apskaičiuoti pagal formulę

Geometriškai tikimybė, kad ištisinis atsitiktinis dydis X pateks į intervalą (α, β), yra lygi kreivinės trapecijos plotui po pasiskirstymo tankio kreive, remiantis šiuo intervalu.
4. Pasiskirstymo funkcija tankiu išreiškiama taip:

Pasiskirstymo tankio reikšmė taške x nėra lygi šios reikšmės paėmimo tikimybei, nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui galime kalbėti tik apie tikimybę patekti į tam tikrą intervalą. Leisti )