Raskite išvestinės vertę taške x0 1. Raskite funkcijos išvestinės vertę taške x0. Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalų radimas

B9 užduotyje pateikiamas funkcijos arba išvestinės schema, pagal kurią norite nustatyti vieną iš šių dydžių:

1. Darinio vertė tam tikrame taške x 0,
2. Aukšti arba žemi taškai (ekstremalūs taškai),
3. Funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalai (monotoniškumo intervalai).

Šioje problemoje pateikiamos funkcijos ir išvestinės priemonės yra ištisinės, o tai labai supaprastina sprendimą. Nepaisant to, kad užduotis priklauso matematinės analizės skyriui, ji gana galinga net silpniausiems studentams, nes čia nereikia gilių teorinių žinių.

Yra paprasti ir universalūs išvestinių, ekstremalių taškų ir monotoninių intervalų vertės radimo algoritmai - visi jie bus aptarti toliau.

Atidžiai perskaitykite problemos B9 teiginį, kad išvengtumėte kvailų klaidų: kartais susiduriate su gana ilgais tekstais, tačiau yra keletas svarbių sąlygų, turinčių įtakos sprendimo eigai.

Skaičiuojant išvestinės priemonės vertę. Dviejų taškų metodas

Jei uždavinyje pateikiamas funkcijos f (x) grafikas, liestinis prie šio grafiko tam tikrame taške x 0, ir šiame punkte reikia rasti išvestinės vertę, taikomas šis algoritmas:

1. Liestinės grafike raskite du „tinkamus“ taškus: jų koordinatės turi būti sveikasis skaičius. Pažymėkime šiuos taškus A (x 1; y 1) ir B (x 2; y 2). Teisingai užrašykite koordinates - tai yra pagrindinis sprendimo taškas, o bet kokia čia esanti klaida lemia neteisingą atsakymą.
2. Žinant koordinates, lengva apskaičiuoti argumento Δx \u003d x 2 - x 1 prieaugį ir funkcijos Δy \u003d y 2 - y 1 prieaugį.
3. Galiausiai randame išvestinės D \u003d Δy / Δx vertę. Kitaip tariant, reikia padalyti funkcijos prieaugį iš argumento prieaugio - ir tai bus atsakymas.

Dar kartą atkreipkite dėmesį: taškų A ir B reikia ieškoti tiksliai ant liestinės tiesės, o ne funkcijos f (x) grafike, kaip dažnai būna. Liečiamojoje eilutėje būtinai bus bent du tokie taškai - kitaip problema parašyta neteisingai.

Apsvarstykite taškus A (−3; 2) ir B (−1; 6) ir raskite prieaugius:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d −1 - (−3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Raskite išvestinės reikšmę: D \u003d Δy / Δx \u003d 4/2 \u003d 2.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y \u003d f (x) grafikas ir jos liestinė taške, kuriame yra abscisė x 0. Raskite funkcijos f (x) išvestinės vertę taške x 0.

Apsvarstykite taškus A (0; 3) ir B (3; 0), raskite prieaugius:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d −3.

Dabar randame išvestinės vertę: D \u003d Δy / Δx \u003d −3/3 \u003d −1.

Užduotis. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y \u003d f (x) grafikas ir jos liestinė taške, kuriame yra abscisė x 0. Raskite funkcijos f (x) išvestinės vertę taške x 0.

Apsvarstykite taškus A (0; 2) ir B (5; 2) ir raskite prieaugius:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 2 - 2 \u003d 0.

Belieka rasti išvestinės vertę: D \u003d Δy / Δx \u003d 0/5 \u003d 0.

Iš paskutinio pavyzdžio galime suformuluoti taisyklę: jei liestinė yra lygiagreti OX ašiai, funkcijos išvestinė liestinės vietoje yra lygi nuliui. Tokiu atveju jums net nereikia nieko skaičiuoti - tiesiog pažiūrėkite į diagramą.

Skaičiuojant didžiausią ir mažiausią balus

Kartais vietoj funkcijos grafiko užduotyje B9 pateikiamas darinio grafikas ir reikalaujama rasti maksimalų arba mažiausią funkcijos tašką. Šioje situacijoje dviejų taškų metodas yra nenaudingas, tačiau yra dar vienas, dar paprastesnis algoritmas. Pirmiausia apibrėžkime terminologiją:

1. Taškas x 0 vadinamas didžiausiu funkcijos f (x) tašku, jei tam tikroje šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f (x 0) ≥ f (x).
2. Taškas x 0 vadinamas funkcijos f (x) minimaliu tašku, jei tam tikroje šio taško kaimynystėje galioja ši nelygybė: f (x 0) ≤ f (x).

Norint rasti maksimalų ir mažiausią tašką išvestinės grafike, pakanka atlikti šiuos veiksmus:

1. Perkraukite išvestinės grafiką, pašalindami visą nereikalingą informaciją. Praktika rodo, kad nereikalingi duomenys tik trukdo sprendimui. Todėl koordinačių ašyje pažymime darinio nulius - viskas.
2. Išsiaiškinkite darinio ženklus intervalais tarp nulių. Jei tam tikram taškui x 0 yra žinoma, kad f '(x 0) ≠ 0, tada galimi tik du variantai: f' (x 0) ≥ 0 arba f '(x 0) ≤ 0. Išvestinio ženklą galima lengvai nustatyti iš pradinio brėžinio: jei darinio grafikas yra virš OX ašies, tada f '(x) ≥ 0. Ir atvirkščiai, jei darinio grafikas yra žemiau OX ašies, tada f' (x) ≤ 0.
3. Dar kartą patikrinkite darinio nulius ir ženklus. Kur ženklas keičiasi iš minuso į pliusą, yra minimalus taškas. Ir atvirkščiai, jei darinio ženklas keičiasi iš pliuso į minusą, tai yra didžiausias taškas. Skaičiavimas visada atliekamas iš kairės į dešinę.

Ši schema tinka tik tęstinėms funkcijoms - B9 uždavinyje nėra kitų.

Užduotis. Paveiksle parodytas segmente apibrėžtos funkcijos f (x) išvestinės grafikas [−5; penki]. Šiame segmente raskite minimalų funkcijos f (x) tašką.

Atsikratykime nereikalingos informacijos - paliksime tik sienas [−5; 5] ir darinio x \u003d −3 ir x \u003d 2,5 nuliai. Taip pat atkreipkite dėmesį į ženklus:

Akivaizdu, kad taške x \u003d −3 darinio ženklas keičiasi iš minuso į pliusą. Tai yra minimalus taškas.

Užduotis. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f (x) darinio, apibrėžto segmente, grafikas [−3; 7]. Raskite maksimalų funkcijos f (x) tašką šiame segmente.

Perbraižykime grafiką, palikdami tik ribas [−3; 7] ir darinio nuliai x \u003d −1,7 ir x \u003d 5. Gautame grafike atkreipkite dėmesį į darinio ženklus. Mes turime:

Akivaizdu, kad taške x \u003d 5 išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą - tai yra didžiausias taškas.

Užduotis. Paveiksle parodytas segmente apibrėžtos funkcijos f (x) išvestinės grafikas [−6; 4]. Raskite maksimalų funkcijos f (x) taškų skaičių, priklausantis segmentui [−4; 3].

Iš problemos teiginio išplaukia, kad pakanka atsižvelgti tik į grafiko dalį, kurią riboja segmentas [−4; 3]. Todėl mes kuriame naują diagramą, ant kurios pažymime tik ribas [−4; 3] ir darinio nuliai jo viduje. Būtent taškai x \u003d −3,5 ir x \u003d 2. Gauname:

Šis grafikas turi tik vieną maksimalų tašką x \u003d 2. Būtent ten išvestinės ženklas keičiasi iš pliuso į minusą.

Greita pastaba apie taškus, kurių koordinatės nėra sveikos. Pavyzdžiui, paskutinėje užduotyje taškas buvo laikomas x \u003d −3,5, tačiau lygiai taip pat galite paimti x \u003d −3,4. Jei problema suformuluota teisingai, tokie pakeitimai neturėtų paveikti atsakymo, nes taškai „nėra fiksuotos buveinės“ nėra tiesiogiai susiję su problemos sprendimu. Žinoma, ši gudrybė neveiks su sveikaisiais skaičiais.

Didėjančių ir mažėjančių funkcijų intervalų radimas

Esant tokiai problemai, kaip maksimalus ir mažiausias balai, siūloma išvedimo grafike rasti regionus, kuriuose pati funkcija didėja arba mažėja. Pirmiausia apibrėžkime, kas didėja ir mažėja:

1. Funkcija f (x) vadinama didėjančia segmente, jei bet kuriam dviem šio segmento taškams x 1 ir x 2 galioja šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Kitaip tariant, kuo didesnė argumento reikšmė, tuo didesnė funkcijos reikšmė.
2. Funkcija f (x) vadinama mažėjančia segmente, jei bet kuriam dviem šio segmento taškams x 1 ir x 2 galioja šis teiginys: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Tie. kuo didesnė argumento reikšmė, tuo mažesnė funkcijos reikšmė.

Suformuluokime pakankamas sąlygas didėti ir mažėti:

1. Norint, kad segmente padidėtų nenutrūkstama funkcija f (x), pakanka, kad jos išvestinė segmento viduje būtų teigiama, t.y. f '(x) ≥ 0.
2. Kad tęstinė funkcija f (x) sumažėtų segmente, pakanka, kad jos išvestinė segmento viduje būtų neigiama, t.y. f '(x) ≤ 0.

Priimkime šiuos teiginius be įrodymų. Taigi gauname schemą didėjimo ir mažėjimo intervalams rasti, kuri daugeliu atžvilgių yra panaši į ekstremalių taškų skaičiavimo algoritmą:

1. Pašalinkite visą nereikalingą informaciją. Pirminiame išvestinės grafike mus pirmiausia domina funkcijos nuliai, todėl juos tik paliksime.
2. Atkreipkite dėmesį į darinio ženklus intervalais tarp nulių. Kur f ’(x) ≥ 0, funkcija didėja, o kur f’ (x) ≤ 0, mažėja. Jei problema turi kintamojo x apribojimus, papildomai pažymėkite juos naujame grafike.
3. Dabar, kai žinome funkcijos ir apribojimo elgseną, belieka apskaičiuoti problemai reikalingą vertę.

Užduotis. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f (x) darinio, apibrėžto segmente, grafikas [−3; 7,5]. Raskite mažėjančios funkcijos f (x) intervalus. Atsakyme nurodykite sveikų skaičių, įtraukto į šiuos intervalus, sumą.

Kaip įprasta, perbraižykite grafiką ir pažymėkite ribas [−3; 7.5], taip pat darinio nuliai \u003d \u003d -1,5 ir x \u003d 5,3. Tada pažymime darinio ženklus. Mes turime:

Kadangi išvestinė yra neigiama intervale (- 1,5), tai yra mažėjančios funkcijos intervalas. Belieka susumuoti visus skaičius, esančius šiame intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Užduotis. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f (x) darinio grafikas, apibrėžtas intervale [−10; 4]. Raskite funkcijos f (x) didinimo intervalus. Atsakyme nurodykite ilgiausio iš jų ilgį.

Atsikratykime nereikalingos informacijos. Palikite tik kraštus [−10; 4] ir darinio nuliai, kurie šįkart pasirodė keturi: x \u003d −8, x \u003d −6, x \u003d −3 ir x \u003d 2. Atkreipkite dėmesį į darinio ženklus ir gaukite tokį vaizdą:

Mus domina funkcijos didinimo intervalai, t.y. toks, kur f ’(x) ≥ 0. Grafike yra du tokie intervalai: (−8; −6) ir (−3; 2). Apskaičiuokime jų ilgius:
1 \u003d - 6 - (−8) \u003d 2;
l 2 \u003d 2 - (−3) \u003d 5.

Kadangi reikia rasti didžiausio intervalo ilgį, atsakyme užrašome reikšmę l 2 \u003d 5.

1 pavyzdys

Nuoroda: Šie funkcijos žymėjimo būdai yra lygiaverčiai: Kai kuriose užduotyse funkciją patogu nurodyti kaip „žaidimą“, o kai kuriose - „ff from x“.

Pirma, mes randame darinį:

2 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos išvestinę taške

, , visos funkcijos tyrimas ir kt.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos išvestinę taške. Pirmiausia raskime darinį:

Na, tai visai kitas reikalas. Apskaičiuokime išvestinės vertę taške:

Jei nesuprantate, kaip buvo rastas darinys, grįžkite prie pirmųjų dviejų temos pamokų. Jei kyla sunkumų (nesusipratimas) su arkangangentu ir jo reikšmėmis, būtinai mokytis mokymo medžiagos Pagrindinių funkcijų grafikai ir savybės - naujausia pastraipa. Nes studentų amžiui arktangentų vis dar pakanka.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos išvestinę taške.

Funkcijos grafiko liestinės lygtis

Norėdami sustiprinti ankstesnį skyrių, apsvarstykite problemą, kaip rasti liestinę funkcijos grafika Šiuo atveju. Su šia užduotimi susidūrėme mokykloje, ji įvyksta ir aukštosios matematikos metu.

Panagrinėkime „demo“ paprasčiausią pavyzdį.

Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį taške su abscisu. Aš nedelsdamas pateiksiu paruoštą grafinį problemos sprendimą (praktiškai tai daugeliu atvejų nėra būtina):

Griežtą liestinės apibrėžimą pateikia funkcijos išvestinės apibrėžimas, bet kol kas įvaldysime techninę klausimo dalį. Tikrai beveik visi intuityviai supranta, kas yra liestinė. Jei paaiškinti „ant pirštų“, tai grafiko liestinė funkcija yra tiesiai, kuris susijęs su funkcijos grafiku vienintelėtaškas. Be to, visi netoliese esantys tiesiosios linijos taškai yra kuo arčiau funkcijos grafiko.

Mūsų atveju: at, tangentas (standartinis žymėjimas) paliečia funkcijos grafiką viename taške.

Ir mūsų užduotis yra surasti tiesės lygtį.

Funkcijos išvestinė taške

Kaip rasti funkcijos išvestinę taške? Iš formuluotės kyla du akivaizdūs šios užduoties dalykai:

1) Būtina rasti darinį.

2) Būtina apskaičiuoti išvestinės vertės vertę tam tikrame taške.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos išvestinę taške

Pagalba: Šie funkcijos žymėjimo būdai yra lygiaverčiai:


Kai kuriose užduotyse funkciją patogu nurodyti kaip „žaidimą“, o kai kuriose - „ff from x“.

Pirma, mes randame darinį:

Tikiuosi, kad daugelis jau įprato rasti tokius darinius žodžiu.

Antrame etape apskaičiuojame išvestinės finansinės priemonės vertę taške:

Mažas apšilimo pavyzdys nepriklausomam sprendimui:

2 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos išvestinę taške

Išsamus sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Poreikis rasti išvestinę tam tikroje vietoje kyla dėl šių problemų: funkcijos grafiko liestinės konstrukcijos (kita pastraipa), ekstremumo funkcijos tyrimas , linksniavimo funkcijos tyrimas , visos funkcijos tyrimas ir kt.

Tačiau nagrinėjama užduotis randama testuose ir pati. Paprastai tokiais atvejais funkcija suteikiama gana sudėtinga. Apsvarstykite dar du pavyzdžius šiuo klausimu.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite funkcijos išvestinę taške.
Pirmiausia raskime darinį:

Išvestinis darinys iš esmės buvo rastas ir reikiamą vertę galima pakeisti. Bet nelabai noriu to daryti. Išraiška yra labai ilga, o „X“ reikšmė yra trupmeninė. Todėl mes stengiamės kiek įmanoma supaprastinti savo išvestinę priemonę. Šiuo atveju pabandykime pastaruosius tris terminus suvesti į bendrą vardiklį: taške.

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys.

Kaip rasti funkcijos F (x) išvestinės vertę taške Xo? Kaip apskritai tai išspręsti?

Jei pateikta formulė, tada raskite darinį ir pakeiskite X X-nuliu. Apskaičiuoti
Jei mes kalbame apie b-8 NAUDOJIMAS, grafikas, tada reikia rasti kampo (aštrus arba bukas) liestinį, kuris suformuoja liestinę su X ašimi (naudojant mentinio stačiakampio trikampio konstrukciją ir nustatant kampo liestinę)

Timuras adilkhodžajevas

Pirmiausia turite nuspręsti dėl ženklo. Jei taškas x0 yra apatinėje koordinačių plokštumos dalyje, tada ženklas atsakyme bus minusas, o jei jis didesnis, tada +.
Antra, jūs turite žinoti, kas yra stačiakampio stačiakampio grioveliai. Ir tai yra priešingos pusės (kojos) ir gretimos pusės (taip pat kojos) santykis. Dažniausiai ant paveikslo yra keletas juodų žymių. Iš šių žymių jūs darote taisyklingas trikampis ir tu randi sąvaržų.

Kaip rasti funkcijos f x išvestinės vertę taške x0?

nebuvo pateiktas konkretus klausimas - prieš 3 metus

Bendru atveju, norint rasti bet kurios funkcijos išvestinės vertę kurio nors kintamojo atžvilgiu bet kuriame taške, reikia diferencijuoti nurodytą funkciją šio kintamojo atžvilgiu. Jūsų atveju kintamasis X. Gautoje išraiškoje vietoj X vietoj to, kuriam turite rasti išvestinės reikšmę, įdėkite x reikšmę, t.y. jūsų atveju pakeiskite nulį X ir apskaičiuokite gautą išraišką.

Na, o jūsų noras suprasti šį klausimą, mano nuomone, neabejotinai nusipelno +, kurį aš įdėjau ramia sąžine.

Šis išvestinio radimo problemos formulavimas dažnai keliamas siekiant pritvirtinti medžiagą prie išvestinės geometrinės prasmės. Siūlomas tam tikros funkcijos grafikas, visiškai savavališkas ir nepateikiamas lygtimi, todėl reikia rasti išvestinės vertę (ne patį išvestinį, atkreipkite dėmesį!) Nurodytame taške X0. Tam sukonstruojama tam tikros funkcijos liestinė tiesė ir randamas jos susikirtimo su koordinačių ašimis taškas. Tada šios liestinės tiesės lygtis sudaroma formos y \u003d kx + b.

Šioje lygtyje koeficientas k ir bus išvestinės vertė. belieka tik rasti koeficiento b vertę. Norėdami tai padaryti, randame y reikšmę ties x \u003d o, tegul ji yra lygi 3 - tai yra koeficiento b vertė. X0 ir Y0 reikšmes pakeičiame į pradinę lygtį ir randame k - mūsų išvestinės reikšmę šioje vietoje.