Antivirusinis ir vientisas. Neapibrėžtas integralas, jo savybės ir skaičiavimas. Antivertinis ir neapibrėžtas integralas Antivertinio ir neapibrėžto integralo pateikimo samprata

1 skaidrė

2 skaidrė

Istorinė informacija Integralus skaičiavimas atsirado dėl poreikio sukurti bendrą metodą rasti plotus, tūrius ir svorio centrus. Savo embrionine forma šį metodą naudojo Archimedas. XVII amžiuje jis buvo sistemingai tobulinamas Cavalieri, Torricelli, Fermam, Pascal darbuose. 1659 m. I. Barrowas nustatė ryšį tarp vietovės ir liestinės radimo problemos. Niutonas ir Leibas-Nitzas, XVII a. 70-aisiais, atitraukė šį ryšį nuo minėtų ypatingų geometrinių problemų. Tuo pačiu metu buvo nustatytas ryšys tarp integralo ir diferencialinio skaičiavimo. Šį ryšį panaudojo Newtonas, Leibnizas ir jų mokiniai, kurdami integracijos techniką. Integracijos metodai pasiekė dabartinę būklę L. Eulerio darbuose. MV Ostrogradsko-Go ir PL Čebyševo darbai užbaigė šių metodų kūrimą.

3 skaidrė

Integrali sąvoka. Tegul tiesė MN pateikiama lygtimi. Ir reikia rasti kreivosios trapecijos aABb plotą F ". Padalijame segmentą ab į n dalis (lygią ar nevienodą) ir sukonstruojame laiptuotą figūrą, pavaizduotą šešėliniu pav. 1 pav. 3) be galo dideliam n. Leibnizas įvedė šios ribos žymėjimą (4) Kuris (kursyvas s) yra žodžio summa (suma) pradinė raidė, E išraiška nurodo tipinę atskirų terminų formą - Ms. Leibnizo išraiška pradėta vadinti vientisu - iš lotyniško žodžio integralis - integralu. JB Fourier patobulino Leibnizo žymėjimą, suteikdamas jam formą. Čia aiškiai nurodomos pradinės ir galutinės x vertės.

4 skaidrė

Integracijos ir diferenciacijos santykis. Mes apsvarstysime konstantą, o b - kintamąjį. Tada integralas bus b funkcijos. Šios funkcijos skirtumas yra

5 skaidrė

Antivirusinė funkcija. Tegul funkcija yra funkcijos darinys T.S. Yra funkcijos skirtumas: Tada funkcija vadinama antivirusine funkcijai

6 skaidrė

Antivirusinės priemonės pavyzdys. Funkcija yra antivirusinė TS. Yra funkcijos diferencialas. Funkcija yra funkcijos priešprieša

7 skaidrė

Neapibrėžtas integralas. Neapibrėžtas šios išraiškos integralas yra bendriausia jos antivertinės funkcijos forma. Neapibrėžtas išraiškos integralas žymimas Išraiška vadinama integrandu, funkcija yra integrandas, kintamasis x yra integracijos kintamasis. Neapibrėžto tam tikros funkcijos integralo radimas vadinamas integracija. Anoshina O.V.

Pagrindinė literatūra

1. Šipachevas V. S. Aukštoji matematika. Pagrindinis kursas: vadovėlis ir
dirbtuvės bakalaurams [Rusijos Federacijos švietimo ministerijos antspaudas] / V.S.
Šipachevas; red. A.N.Tichonovas. - 8-asis leid. ir pridėkite. Maskva: Yurayt, 2015 m. - 447 p.
2. Šipachevas V. S. Aukštoji matematika. Baigti kursą: pamoka
už akad. bakalauro laipsnis [Grif UMO] / V. Šipachevas; red. A.
N. Tichonova. - 4-asis leidimas, Rev. ir pridėkite. - Maskva: Yurayt, 2015 m. - 608
nuo
3. Danko P.E., Popovas A.G., Kozhevnikova T.Ya. Aukštoji matematika
pratybose ir užduotyse. [Tekstas] / P.E. Danko, A.G. Popovas, T. Ya.
Koževnikovas. 14 val. - M.: aukštoji mokykla, 2007 m. - 304 + 415c.

Ataskaitos

1.
Testas. Atliekama pagal:
Testų vykdymo užduotys ir gairės
disciplinoje „TAIKYTA MATEMATIKA“, Jekaterinburgas, FGAOU
VO "Rusijos valstybinis profesionalas ir pedagogas
Universitetas “, 2016 - 30s.
Pasirinkite bandymo parinktį pagal paskutinį skaičiaus skaitmenį
pažymių knyga.
2.
Egzaminas

Neapibrėžtas integralas, jo savybės ir skaičiavimas Antivirusinis ir neapibrėžtas integralas

Apibrėžimas. Iškviečiama funkcija F x
antivertančioji funkcija f x apibrėžta
tam tikras intervalas, jei F x f x už
kiekvienas x nuo šio intervalo.
Pavyzdžiui, funkcija cos x yra
nuodėmės x antivertinė funkcija, nes
cos x sin x.

Akivaizdu, kad jei F x yra antivirusas
funkcija f x, tada taip pat yra F x C, kur C yra kokia nors konstanta
antivirusinė funkcija f x.
Jei F x yra koks nors antivirusinis
funkcija f x, tada bet kuri formos funkcija
Ф x F x C taip pat yra
antivirusinė funkcija f x ir bet kuri
antivirusas yra atvaizduojamas šia forma.

Apibrėžimas. Visų visuma
funkcijos f x antiderivatai,
kai kuriuose identifikuoti
vadinamas intervalas
neapibrėžtas integralas
funkcija f x šiame intervale ir
žymima f x dx.

Jei F x yra tam tikras funkcijos antivirusas
f x, tada parašykite f x dx F x C, nors
teisingiau būtų parašyti f x dx F x C.
Pagal nusistovėjusią tradiciją rašysime
f x gx F x C.
Taigi tas pats simbolis
f x dx žymės kaip visus
funkcijos f x antiderivatų rinkinys,
ir bet kuris šio rinkinio elementas.

Integralios savybės

Neapibrėžto integralo išvestinė yra
integrandas, o jo skirtumas yra subintegrinė išraiška. Tikrai:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.

Integralios savybės

3. Neapibrėžtas integralas
skirtumas nuolat (x)
diferencijuojama funkcija yra lygi
šią funkciją iki pastovios:
d (x) (x) dx (x) C,
kadangi (x) yra antivertyvus (x).

Integralios savybės

4. Jei funkcijos f1 x ir f 2 x turi
antideratyvai, tada funkcija f1 x f 2 x
taip pat turi antivartojimo priemonę ir
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6.f x dx f x C;
7.f x x dx F x C.

1. dx x C.
a 1
x
2.x a dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C.
x
x
a
4.a x dx
C.
ln
5. e x dx e x C.
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C.
dx
8,2 ctgx C.
nuodėmė x
dx
9,2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Neapibrėžta vientisa lentelė

11.
dx
arcsinas x C.
1 x 2
dx
1
x
12,2 2 arktano C.
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C ..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C.
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C.
17.šxdx chx C.
18.chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x

Diferencinės savybės

Integruojant patogu naudoti
savybės: 1
1. dx d (kirvis)
a
1
2. dx d (kirvis b),
a
1 2
3.xdx dx,
2
1 3
2
4.x dx dx.
3

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Įvertinkite cos 5xdx.
Sprendimas. Integralų lentelėje randame
cos xdx sin x C.
Mes pertvarkome šį integralą į lentelę,
pasinaudodamas tuo, kad d ax adx.
Tada:
d 5 x 1
\u003d cos 5 xd 5 x \u003d
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
\u003d nuodėmė 5 x C.
5

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuokite x
3x x 1 dx.
Sprendimas. Kadangi po integraliniu ženklu
tada randama keturių terminų suma
išplėsti integralą į keturių sumą
integralai:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C.
3
4
2

Kintama nepriklausomybė

Skaičiuojant integralus, patogu
naudokite šias savybes
integralai:
Jei f x dx F x C, tada
f x b dx F x b C.
Jei f x dx F x C, tada
1
f ax b dx F ax b C.
a

Pavyzdys

Paskaičiuokime
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Integravimo metodai Integravimas dalimis

Šis metodas pagrįstas udv uv vdu formule.
Šie integralai imami integravimo dalimis metodu:
a) x n sin xdx, kur n 1,2 ... k;
b) x n e x dx, kur n 1,2 ... k;
c) x n arctgxdx, kur n 0, 1, 2, ... k. ;
d) x n ln xdx, kur n 0, 1, 2, ... k.
Skaičiuodami a) ir b) integralus, įveskite
n 1
žymėjimas: x n u, tada du nx dx ir, pvz
sin xdx dv, tada v cos x.
Skaičiuojant integralus c), d) funkciją žymime u
arctgx, ln x, o dv atveju imkite x n dx.

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Įvertinkite x cos xdx.
Sprendimas.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x x sin xdx x sin x cos x C.

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuoti
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, t
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Kintamasis pakeitimo metodas

Tebūna reikalaujama rasti f x dx ir
tiesiogiai pasirinkti antivirusinį vaistą
už f x mes negalime, bet mes tai žinome
ji egzistuoja. Dažnai galite rasti
antivirusinis, įvedant naują kintamąjį,
pagal formulę
f x dx f t t dt, kur x t ir t - naujas
kintamasis

Funkcijų, kuriose yra kvadratinis trinomas, integravimas

Apsvarstykite integralą
kirvis b
dx,
x px q
kuriame yra kvadratinis trinomas
integrando vardiklis
išraiškos. Taip pat imamas toks integralas
kintamo keitimo metodas,
išankstinis paryškinimas
vardiklis yra visas kvadratas.
2

Pavyzdys

Apskaičiuoti
dx
.
x 4x5
Sprendimas. Konvertuoti x 2 4 x 5,
2
parenkant visą kvadratą pagal formulę a b 2 a 2 2ab b 2.
Tada mes gauname:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

Pavyzdys

Rasti
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln (t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln (t 2 1) 2t 2arkt C
2
ln (x 1) 2 x 2ctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Neabejotinas integralas, jo pagrindinės savybės. Niutono-Leibnizo formulė. Tam tikros integralios programos.

Tikrojo integralo sampratai vadovauja
kreivinės srities nustatymo problema
trapecija.
Tegul bus duotas tam tikras intervalas
tęstinė funkcija y f (x) 0
Užduotis:
Nubraižykite jo grafiką ir raskite paveikslo F plotą,
kurią riboja ši kreivė, dviem tiesiomis linijomis x \u003d a ir x
\u003d b, o iš apačios - abscisės ašies segmentas tarp taškų
x \u003d a ir x \u003d b.

Skaičiuojama aABb
lenkta trapecija

Apibrėžimas

b
f (x) dx
Pagal apibrėžtą integralą
a
duotos nenutrūkstamos funkcijos f (x) įjungimas
šis segmentas suprantamas
atitinkamas jo prieaugis
antivirusinis, tai yra
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Skaičiai a ir b yra integracijos ribos,
- integracijos intervalas.

Taisyklė:

Tikrasis integralas yra lygus skirtumui
antivirusinio integrando reikšmės
viršutinės ir apatinės ribų funkcijos
integracija.
Pristatome skirtumo žymėjimą
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x) dx F (b) F (a)
a
Niutono-Leibnizo formulė.

Pagrindinės apibrėžto integralo savybės.

1) Tikrojo integralo reikšmė nepriklauso
integracijos kintamojo žymėjimas, t.y.
b
b
a
a
f (x) dx f (t) dt
kur x ir t yra bet kurios raidės.
2) Neabejotinas integralas su tuo pačiu
lauke
integracija lygi nuliui
a
f (x) dx F (a) F (a) 0
a

3) Keičiantis integracijos riboms
apibrėžtas integralinis atvirkštinis ženklas
b
a
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
a
b
(adityvumo savybė)
4) Jei intervalas padalintas į baigtinį skaičių
daliniai intervalai, tada apibrėžtas integralas,
perimtas intervalas yra lygus tam tikrų
integralai perėmė visus jos dalinius intervalus.
b
c
b
f (x) dx f (x) dx
c
a
a
f (x) dx

5) Galima išimti pastovų daugiklį
apibrėžto integralo ženklui.
6) Neapibrėžtas algebros integralas
baigtinio skaičiaus ištisinių sumos
funkcijos yra lygios tai pačiai algebrinei
jų apibrėžtų integralų suma
funkcijos.

3. Kintamojo pokytis apibrėžtame integrale.

3. Kintamojo pakeitimas konkrečiame
vientisas.
b
f (x) dx f (t) (t) dt
a
a (), b (), t)
Kur
fortas [; ], funkcijos (t) ir (t) yra nepertraukiamos;
5
Pavyzdys:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Netinkami integralai.

Netinkami integralai.
Apibrėžimas. Tegul bus apibrėžta funkcija f (x)
begalinis intervalas, kur b< + . Если
egzistuoja
b
lim
f (x) dx,
b
a
tada ši riba vadinama netinkama
funkcijos f (x) integralas intervale
}