Pasiruošimas egzaminui. Logaritminių ir eksponentinių nelygybių sprendimas racionalizavimo metodu. Manovo darbas „logaritminės nelygybės egzamine“ logaritminių nelygybių sprendimas egzamino profilio lygis
Skyriai: Matematika
Dažnai, kai sprendžiama logaritminės nelygybės, yra problemų su kintama logaritmo baze. Taigi, formos nelygybė
yra standartinė mokyklų nelygybė. Paprastai, norint ją išspręsti, taikomas perėjimas prie lygiaverčio sistemų rinkinio:
Šio metodo trūkumas yra būtinybė išspręsti septynias nelygybes, neskaičiuojant dviejų sistemų ir vieno rinkinio. Jau esant tam tikroms kvadratinėms funkcijoms, rinkinio sprendimas gali užtrukti.
Galima pasiūlyti alternatyvų, mažiau darbščią šios standartinės nelygybės sprendimo būdą. Tam mes atsižvelgiame į šią teoremą.
Teorema 1. Tegul nenutrūkstamai didėja aibės X funkcija. Tada šioje aibėje funkcijos prieaugio ženklas sutaps su argumento prieaugio ženklu, tai yra, kur 
.
Pastaba: jei nenutrūkstamai mažėja rinkinio X funkcija, tada.
Grįžkime prie nelygybės. Pereikime prie dešimtainio logaritmo (galite pereiti prie bet kurio su pastovia baze, didesne nei viena).
Dabar galite naudoti teoremą, skaitiklyje pažymėdami funkcijų prieaugį 
ir vardiklyje. Taigi tai tiesa
Dėl to skaičiavimų, dėl kurių gaunamas atsakymas, skaičius yra maždaug perpus sumažėjęs, o tai ne tik taupo laiką, bet ir leidžia padaryti mažiau aritmetikos ir „neatidumo“ klaidų.
1 pavyzdys.
Palyginę su (1) randame 
, 
, .
Perėję į (2) turėsime:
2 pavyzdys.
Lyginant su (1) randame ,,.
Perėję į (2) turėsime:
3 pavyzdys.
Kadangi kairioji nelygybės pusė yra vis didesnė funkcija ir 
, tada atsakymas nustatomas.
Pavyzdžių rinkinį, kuriame galima pritaikyti 1 teoremą, galima lengvai išplėsti, jei atsižvelgiama į 2 teoremą.
Leiskite rinkinį X funkcijos ,,, ir šiame rinkinyje ženklai ir sutampa, t.y. , tada bus teisinga.
4 pavyzdys.
5 pavyzdys.
Taikant standartinį metodą, pavyzdys sprendžiamas pagal schemą: produktas yra mažesnis už nulį, kai veiksniai yra skirtingų ženklų. Tie. svarstomas dviejų nelygybių sistemų rinkinys, kuriame, kaip buvo nurodyta pradžioje, kiekviena nelygybė padalijama į dar septynias.
Jei atsižvelgsime į 2 teoremą, tai kiekvieną veiksnį, atsižvelgiant į (2), galima pakeisti kita funkcija, turinčia tą patį ženklą šiame pavyzdyje O.D.Z.
Funkcijos prieaugio pakeitimo argumento prieaugiu metodas, atsižvelgiant į 2 teoremą, pasirodo labai patogus sprendžiant tipines egzamino C3 problemas.
6 pavyzdys.
7 pavyzdys.
... Pažymėkime. Mes gauname
... Atkreipkite dėmesį, kad pakeitimas reiškia: Grįžtant prie lygties, gauname
.
8 pavyzdys.
Mūsų naudojamose teoremose nėra jokių funkcijų klasių apribojimų. Pavyzdžiui, šiame straipsnyje teoremos buvo pritaikytos logaritminių nelygybių sprendimui. Kiti keli pavyzdžiai parodys metodo pažadą spręsti kitas nelygybės rūšis.
VARTOJIMO LOGARITMINIAI NETALYBIAI
Sečinas Michailas Aleksandrovičius
Mažoji mokslų akademija Kazachstano Respublikos studentams „Seeker“
MBOU "Sovetskaja vidurinė mokykla Nr. 1", 11 klasė, miestas. Sovietų Sovetsky rajonas
Gunko Liudmila Dmitrievna, MBOU „Sovietinė mokykla №1“ mokytoja
Sovietinis rajonas
Tikslas: logaritminių nelygybių C3 sprendimo nestandartiniais metodais sprendimo mechanizmas, nustatant Įdomūs faktai logaritmas.
Studijos tema:
3) Išmokite spręsti specifines logaritmines nelygybes C3 naudodami nestandartinius metodus.
Rezultatai:
Turinys
Įvadas ………………………………………………………………………… .4
1 skyrius. Pagrindai ………………………………………………… ... 5
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkimas ………………………… 7
2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas …………… 7
2.2. Racionalizavimo metodas ………………………………………………… 15
2.3. Nestandartinis pakeitimas ……………… .......................................... ..... 22
2.4. Spąstų misijos ………………………………………………… 27
Išvada …………………………………………………………………… 30
Literatūra ……………………………………………………………………. 31
Įvadas
Aš einu 11 klasėje ir planuoju stoti į universitetą, kur profilio tema yra matematika. Todėl daug dirbu su C dalies problemomis. C3 užduotyje turite išspręsti nestandartinę nelygybę arba nelygybių sistemą, paprastai susijusią su logaritmais. Ruošiantis egzaminui susidūriau su metodų ir metodų trūkumu sprendžiant egzaminų logaritmines nelygybes, siūlomas C3. Metodai išmokti mokyklos mokymo programą šia tema nepateikite pagrindo spręsti C3 užduotis. Matematikos mokytoja pakvietė mane savarankiškai dirbti su C3 užduotimis, jai vadovaujant. Be to, mane domino klausimas: ar mūsų gyvenime yra logaritmų?
Atsižvelgiant į tai, buvo pasirinkta tema:
„Logaritminės nelygybės egzamine“
Tikslas: C3 problemų sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, atskleidžiant įdomius logaritmo faktus.
Studijos tema:
1) Raskite reikiamos informacijos apie nestandartinius metodus, kaip išspręsti logaritmines nelygybes.
2) Suraskite daugiau informacijos apie logaritmus.
3) Išmokite spręsti specifines C3 problemas naudodami nestandartinius metodus.
Rezultatai:
Praktinė reikšmė yra aparato išplėtimas sprendžiant C3 problemas. Ši medžiaga gali būti naudojama kai kuriose pamokose, būreliams, popamokinei matematikos veiklai.
Projekto produktas bus kolekcija „Logaritminės C3 nelygybės su sprendimais“.
1 skyrius. Pagrindas
Visame XVI amžiuje apytikslių skaičiavimų skaičius sparčiai didėjo, visų pirma astronomijoje. Norint patobulinti instrumentus, ištirti planetų judesius ir atlikti kitus darbus, reikėjo kolosalių, kartais daugelį metų, skaičiavimų. Neįvykdytais skaičiavimais astronomijai gresia realus skendimas. Sunkumų kilo kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle, norint sudaryti įvairias palūkanų vertes, reikėjo sudėtinių palūkanų lentelių. Pagrindinis sunkumas buvo dauginimas, daugybinių skaičių, ypač trigonometrinių dydžių, padalijimas.
Logaritmų atradimas buvo pagrįstas gerai žinomomis progresijų savybėmis iki XVI amžiaus pabaigos. Archimedas kalbėjo apie ryšį tarp geometrinės progresijos q, q2, q3, ... narių ir jų 1, 2, 3, ... rodiklių aritmetinės progresijos Psalmėje. Kita būtina sąlyga buvo laipsnio sąvokos išplėtimas į neigiamus ir dalinius rodiklius. Daugelis autorių atkreipė dėmesį į tai, kad dauginimas, dalijimasis, eksponavimas ir šaknų išskyrimas eksponentiškai aritmetikoje - ta pačia tvarka - atitinka sudėjimą, atimimą, dauginimą ir dalybą.
Tai buvo logaritmo, kaip eksponento, idėja.
Logaritmų doktrinos raidos istorijoje praėjo keli etapai.
1 etapas
Ne vėliau kaip 1594 m. Logaritmus išrado Škotijos baronas Napieras (1550–1617), o po dešimties metų - šveicarų mechanikas Burghi (1552–1632). Abi norėjo suteikti naują patogią aritmetinio skaičiavimo priemonę, nors prie šios užduoties priartėjo skirtingai. Neperis kinematiškai išreiškė logaritminę funkciją ir taip pateko į naują funkcijų teorijos lauką. Burghi liko atsižvelgdamas į diskretiškas progresijas. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas nėra panašus į šiuolaikinį. Terminas „logaritmas“ (logaritmas) priklauso Napieriui. Jis atsirado dėl graikiškų žodžių junginio: logos - „santykis“ ir ariqmo - „skaičius“, kuris reiškė „santykių skaičius“. Iš pradžių Napieras vartojo kitokį terminą: numeri dirbtiniai - „dirbtiniai skaičiai“, priešingai nei numeri natūralūs - „natūralūs skaičiai“.
1615 m., Kalbėdamasis su Londono Gresch koledžo matematikos profesoriumi Henry Briggs (1561-1631), Napier pasiūlė vienybės logaritmui imti nulį, o dešimties logaritmui - 100, arba, kalbant apie tą patį dalyką, tiesiog 1. Taip atsirado dešimtainiai logaritmai ir buvo atspausdintos pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau Briggso lenteles papildė olandų knygnešys ir matematikos mylėtojas Andrianas Flakkas (1600–1667). Napieras ir Briggsas, nors prie logaritmų atėjo anksčiau nei kas kitas, savo lenteles paskelbė vėliau nei kiti - 1620 m. Žurnalą ir žurnalo ženklus 1624 m. Pristatė I. Kepleris. Terminą „natūralusis logaritmas“ 1659 m. Įvedė Mengoli, vėliau - 1668 m. N. Mercator, o Londono mokytojas Johnas Speidelis pavadinimu „Naujieji logaritmai“ paskelbė skaičių nuo 1 iki 1000 natūralių logaritmų lenteles.
Pirmosios logaritminės lentelės rusų kalba buvo paskelbtos 1703 m. Tačiau visose logaritminėse lentelėse buvo padaryta klaidų skaičiuojant. Pirmosios lentelės be klaidų buvo paskelbtos Berlyne 1857 m., Redagavusios vokiečių matematiko K. Bremikerio (1804–1877).
2 etapas
Tolesnė logaritmų teorijos plėtra siejama su platesniu analitinės geometrijos ir begalinio skaičiavimo taikymu. Ryšys tarp lygiakraščio hiperbolio kvadratūros ir natūralaus logaritmo užmegztas tuo metu. Šio laikotarpio logaritmų teorija siejama su daugybės matematikų vardais.
Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolausas Mercatoris kompozicijoje
"Logaritminė technika" (1668) pateikia seriją, suteikiančią ln (x + 1) plėtimąsi
x galios:
Ši išraiška tiksliai atitinka jo minties eigą, nors, žinoma, jis naudojo ne ženklus d, ..., o sudėtingesnius simbolius. Atradus logaritmines eilutes, pasikeitė logaritmų skaičiavimo technika: juos pradėta nustatyti naudojant begalines eilutes. Savo paskaitose „Elementari matematika aukščiausiu požiūriu“, perskaityta 1907–1908 m., F. Kleinas pasiūlė formulę naudoti kaip atspirties tašką kuriant logaritmų teoriją.
3 etapas
Apibrėžimas logaritminė funkcija kaip atvirkštinės funkcijos
eksponentinis, logaritmas kaip tam tikros bazės laipsnio rodiklis
nebuvo iš karto suformuluotas. Leonardo Eulerio (1707–1783) kompozicija
Įžanga į begalinio mažiausio analizę (1748 m.) Tarnavo ir toliau
logaritminės funkcijos teorijos plėtra. Taigi,
praėjo 134 metai, kai pirmą kartą buvo įvesti logaritmai
(skaičiuojant nuo 1614 m.) prieš matematikams priėmus apibrėžimą
logaritmo samprata, kuri dabar yra mokyklos kurso pagrindas.
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkimas
2.1. Ekvivalentiški perėjimai ir apibendrinto intervalo metodas.
Lygiaverčiai perėjimai
jei a\u003e 1
jei 0 <
а <
1
Apibendrinto intervalo metodas
Šis metodas yra pats universaliausias sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybę. Sprendimo schema atrodo taip:
1. Sumažinkite nelygybę formoje, kur funkcija 
ir dešinėje 0.
2. Raskite funkcijos sritį .
3. Raskite funkcijos nulius , tai yra išspręsti lygtį 
(o išspręsti lygtį paprastai yra lengviau nei išspręsti nelygybę).
4. Nubraukite funkcijos sritį ir nulius skaičių eilutėje.
5. Nustatykite funkcijos požymius gautais intervalais.
6. Pasirinkite intervalus, kur funkcija paima reikiamus dydžius, ir užrašykite atsakymą.
1 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime tarpų metodą
iš kur
Šioms reikšmėms visos logaritmų ženklo išraiškos yra teigiamos.
Atsakymas:
2 pavyzdys.
Sprendimas:
1-oji būdu . ODZ lemia nelygybė x \u003e 3. Imant logaritmą tokiems x bazė 10, mes gauname
Paskutinę nelygybę būtų galima išspręsti taikant skaidymo taisykles, t. lyginant veiksnius su nuliu. Tačiau šiuo atveju lengva nustatyti funkcijos pastovumo intervalus
todėl galite taikyti intervalų metodą.
Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ yra nepertraukiamas x \u003e 3 ir taškuose išnyksta x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Taigi mes apibrėžiame funkcijos pastovumo intervalus f(x):
Atsakymas:
2 būdas . Taikykime intervalų metodo idėjas tiesiai į pirminę nelygybę.
Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kad išraiškos a b - a c ir ( a - 1)(b - 1) turi vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė x \u003e 3 yra lygi nelygybei
arba
Paskutinė nelygybė sprendžiama intervalų metodu
Atsakymas:
3 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime tarpų metodą
Atsakymas:
4 pavyzdys.
Sprendimas:
Nuo 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 visiems realiems xtada
Norėdami išspręsti antrąją nelygybę, naudojame intervalų metodą
Pagal pirmąją nelygybę mes padarome pakeitimą
tada pasiekiame nelygybę 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ykurie tenkina nelygybę -0,5< y < 1.
Iš kur, nuo tada
gauname nelygybę
kuris atliekamas su tais xuž kurį 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Dabar, atsižvelgdami į antrosios sistemos nelygybės sprendimą, mes pagaliau gauname
Atsakymas:
5 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra tolygi sistemų visumai
arba
Taikykime intervalų metodą arba
Atsakymas:
6 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra tolygi sistemai
Leisti būti
tada y > 0,
ir pirmoji nelygybė
sistema įgauna formą
arba plečiantis
kvadratinis trinomas pagal faktorius,
Taikant intervalų metodą paskutinei nelygybei,
matome, kad jos sprendimai tenkina sąlygą y \u003e 0 bus viskas y > 4.
Taigi pirminė nelygybė yra tolygi sistemai:
Taigi nelygybės sprendimai yra visi
2.2. Racionalizavimo metodas.
Anksčiau nelygybės racionalizavimo metodas nebuvo išspręstas, jis nebuvo žinomas. Tai „naujas modernus efektyvus būdas eksponentinėms ir logaritminėms nelygybėms spręsti“ (citata iš S. I. Kolesnikovos knygos)
Ir net jei mokytojas jį pažinojo, kilo baimė - ar egzaminuotojas jį pažįsta ir kodėl jam neduodama mokykloje? Buvo situacijų, kai mokytojas pasakė mokiniui: "Kur tu tai gavai? Sėsk - 2."
Dabar metodas plačiai populiarinamas. Ekspertams yra gairės, susijusios su šiuo metodu, o C3 tirpalo „Išsamiausiuose modelių variantų leidimuose ...“ šis metodas yra naudojamas.
NUOSTABUS METODAS!
"Stebuklingas stalas"
Kituose šaltiniuose
jeigu a\u003e 1 ir b\u003e 1, tada registruokite a b\u003e 0 ir (a -1) (b -1)\u003e 0;
jeigu a\u003e 1 ir 0 jei 0<a<1 и b
>1, tada užregistruokite a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jei 0<a<1 и 00 ir (a -1) (b -1)\u003e 0. Minėti argumentai yra paprasti, tačiau jie žymiai supaprastina logaritminių nelygybių sprendimą. 4 pavyzdys.
žurnalas x (x 2–3)<0
Sprendimas:
5 pavyzdys.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 + x) Sprendimas: 6 pavyzdys.
Norėdami išspręsti šią nelygybę, vietoj vardiklio rašome (x-1-1) (x-1), o vietoj skaitiklio - sandaugą (x-1) (x-3-9 + x). 7 pavyzdys.
8 pavyzdys.
2.3. Nestandartinis pakeitimas. 1 pavyzdys.
2 pavyzdys.
3 pavyzdys.
4 pavyzdys.
5 pavyzdys.
6 pavyzdys.
7 pavyzdys.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Padarykime pakaitalą y \u003d 3 x -1; tada ši nelygybė įgauna formą 4 žurnalas 0,25 Kaip log 0,25 Atliekame pokytį t \u003d log 4 y ir gauname nelygybę t 2 -2t + ≥0, kurios sprendimas yra intervalai - Taigi, norėdami rasti y reikšmes, turime dviejų paprasčiausių nelygybių rinkinį Todėl pirminė nelygybė yra lygi dviejų eksponentinių nelygybių rinkiniui, Pirmosios šios aibės nelygybės sprendimas yra intervalas 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra tolygi sistemai Antrosios nelygybės, lemiančios DHS, sprendimas yra tų visuma x,
kam x > 0.
Norėdami išspręsti pirmąją nelygybę, mes atliekame pakeitimą Tada mes gauname nelygybę arba Paskutinės nelygybės sprendinių rinkinys randamas metodu intervalai: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, mes gauname arba Daugelis iš jų xkurie patenkina paskutinę nelygybę priklauso ODZ ( x \u003e 0), todėl yra sistemos sprendimas taigi ir pirminė nelygybė. Atsakymas: 2.4. Spąstų ieškojimai. 1 pavyzdys.
Sprendimas. ODZ nelygybės yra visos, atitinkančios 0 sąlygą 2 pavyzdys.
log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Atsakymas... (0; 0,5) U.
Atsakymas :
(3;6)
.
\u003d -log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, tada perrašykite paskutinę nelygybę kaip 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Šio rinkinio sprendimas yra 0 intervalai<у≤2 и 8≤у<+.
tai yra visuma 
... Taigi pirminė nelygybė galioja visoms x reikšmėms nuo 0 intervalų<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Todėl visi x nuo 0 intervalo
Išvada
Iš didelės gausybės skirtingų švietimo šaltinių nebuvo lengva rasti specialių metodų C3 problemoms spręsti. Atlikdamas darbą galėjau ištirti nestandartinius metodus, kaip išspręsti kompleksines logaritmines nelygybes. Tai yra: lygiaverčiai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas, racionalizavimo metodas , nestandartinis pakeitimas , užduotys su spąstais ODZ. Šių metodų nėra mokyklos programoje.
Naudodamas skirtingus metodus, aš išsprendžiau 27 nelygybes, pasiūlytas egzamine C dalyje, būtent C3. Šios nelygybės su sprendimais metodais sudarė pagrindą kolekcijai „Logaritminės C3 nelygybės su sprendimais“, kuri tapo mano darbo projektiniu produktu. Hipotezė, kurią iškėliau projekto pradžioje, pasitvirtino: žinant šiuos metodus, C3 užduotis galima efektyviai išspręsti.
Be to, radau įdomių faktų apie logaritmus. Man buvo įdomu tai padaryti. Mano dizaino produktai bus naudingi tiek studentams, tiek mokytojams.
Išvados:
Taigi užsibrėžtas projekto tikslas buvo pasiektas, problema išspręsta. Aš gavau kuo išsamesnę ir įvairiapusiškesnę projektinės veiklos patirtį visais darbo etapais. Vykdant projektą, pagrindinis mano raidos poveikis buvo psichinei kompetencijai, veiklai, susijusiai su loginėmis protinėmis operacijomis, kūrybinės kompetencijos ugdymui, asmeninei iniciatyvai, atsakomybei, atkaklumui, veiklai.
Sėkmės garantas kuriant mokslinių tyrimų projektą Tapau: reikšminga mokyklos patirtis, gebėjimas išgauti informaciją iš įvairių šaltinių, patikrinti jos patikimumą, surikiuoti pagal svarbą.
Be tiesioginių matematikos dalykinių žinių, jis išplėtė praktinius įgūdžius informatikos srityje, įgijo naujų žinių ir patirties psichologijos srityje, užmezgė ryšius su klasės draugais ir išmoko bendradarbiauti su suaugusiaisiais. Vykdant projekto veiklas, buvo ugdomi organizaciniai, intelektiniai ir komunikaciniai bendrojo lavinimo įgūdžiai ir gebėjimai.
Literatūra
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Nelygybių sistemos su vienu kintamuoju (tipinės užduotys C3).
2. Malkova AG Pasirengimas matematikos egzaminui.
3. Samarova SS Logaritminių nelygybių sprendimas.
4. Matematika. Mokomųjų darbų rinkinys, redaguotas A.L. Semjonovas ir I.V. Jaščenka. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p. -
Straipsnis skirtas 15 užduočių analizei iš USE matematikos profilio 2017 m. Šioje užduotyje studentams siūloma spręsti nelygybę, dažniausiai logaritminę. Nors gali būti orientacinių. Šiame straipsnyje pateikiama logaritminių nelygybių pavyzdžių analizė, įskaitant tas, kuriose logaritmo pagrinde yra kintamasis. Visi pavyzdžiai yra paimti iš atviro USE užduočių matematikoje (profilio) banko, todėl tokios nelygybės greičiausiai susidursite su egzaminu kaip 15 užduotis. Idealiai tinka tiems, kurie nori išmokti išspręsti 15 užduotį iš antrosios profilio USE dalies per trumpą laiką matematikoje, kad gautumėte daugiau taškų egzamine.
15 užduočių iš matematikos profilio egzamino analizė
| 1 pavyzdys. Išspręskite nelygybę: |
15-ojo matematikos (profilio) egzamino užduotyse dažnai susiduriama su logaritminėmis nelygybėmis. Logaritminių nelygybių sprendimas pradedamas nustatant priimtinų verčių diapazoną. Šiuo atveju abiejų logaritmų pagrinde nėra kintamojo, yra tik skaičius 11, o tai labai supaprastina užduotį. Todėl vienintelis apribojimas, kurį čia turime, yra tas, kad abi logaritmo ženklo išraiškos yra teigiamos:
Pavadinimas \u003d "(! LANG: Pateikė QuickLaTeX.com">!}
Pirmoji nelygybė sistemoje yra kvadratinė nelygybė. Norėdami ją išspręsti, tikrai nepakenktume kairįjį kraštą įtraukti į veiksnius. Manau, kad jūs žinote, kad bet koks kvadratinis trinomas formos 
yra suskirstytas taip:
kur ir yra lygties šaknys. Šiuo atveju koeficientas yra 1 (tai yra skaitinis koeficientas priešais). Koeficientas taip pat yra 1, o koeficientas yra perėmimas, jis yra -20. Trinomialo šaknis lengviausiai nustato Vietos teorema. Mūsų pateikta lygtis, tada šaknų suma bus lygi koeficientui su priešingu ženklu, tai yra, -1, o šių šaknų sandauga bus lygi koeficientui, tai yra -20. Nesunku atspėti, kad šaknys bus –5 ir 4.
Kairiąją nelygybės pusę galima suskirstyti į faktūrą: title \u003d "(! LANG: Pateikė QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X taškuose -5 ir 4. Vadinasi, norimas nelygybės sprendimas yra intervalas. Tiems, kurie nesupranta, kas čia parašyta, galite pamatyti išsamią informaciją vaizdo įraše, pradedant nuo šios akimirkos. Čia taip pat rasite išsamų paaiškinimą, kaip pašalinama antroji sistemos nelygybė. Tai sprendžiama. Be to, atsakymas yra visiškai tas pats, kas į pirmąją sistemos nelygybę. Tai yra, aukščiau parašyta aibė yra leistinų nelygybės verčių sritis.
Taigi, atsižvelgiant į faktorizavimą, pirminė nelygybė pasireiškia tokia forma:
Naudodami formulę, mes suteikiame 11 prie išraiškos galios po pirmojo logaritmo ženklu, o antrąjį logaritmą perkeliame į kairę nelygybės pusę, tuo pačiu pakeisdami jo ženklą į priešingą:
Po sumažinimo gauname:
Paskutinė nelygybė dėl didėjančios funkcijos yra lygi nelygybei 
, kurio sprendimas yra intervalas 
... Belieka jį kirsti su leistinų nelygybės verčių diapazonu, ir tai bus atsakymas į visą užduotį.
Taigi, norimas atsakymas į užduotį yra:
Mes supratome šią užduotį, dabar mes einame prie kito 15 USE užduoties matematikos pavyzdžio (profilis).
| 2 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:
|
Sprendimą pradedame nustatydami šios nelygybės leistinų verčių diapazoną. Kiekvieno logaritmo pagrinde turi būti teigiamas skaičius, kuris nėra lygus 1. Visos išraiškos po logaritmo ženklu turi būti teigiamos. Dalies vardiklyje neturi būti nulio. Paskutinė sąlyga yra tolygi tam, nes tik priešingu atveju abu vardiklio logaritmai išnyksta. Visos šios sąlygos nustato šios nelygybės leistinų verčių diapazoną, kurį apibrėžia ši nelygybės sistema:
Pavadinimas \u003d "(! LANG: Pateikė QuickLaTeX.com">!}
Galiojančių verčių diapazone galime naudoti logaritmo transformavimo formules, kad supaprastintume kairę nelygybės pusę. Naudojant formulę 
atsikratyti vardiklio:
Dabar mes turime tik bazinius logaritmus. Tai jau yra patogiau. Tada mes naudojame formulę ir formulę, kad išraiškos verta išraiškos forma būtų tokia:
Skaičiavimuose naudojome tai, kas yra priimtinų verčių diapazone. Naudodami pakaitalą, pasiekiame išraišką:
Mes naudojame dar vieną pakaitalą:. Todėl mes pasiekėme tokį rezultatą:
Taigi palaipsniui grįžtame prie pirminių kintamųjų. Pirmasis prie kintamojo:
