Формулирајте ја дефиницијата за корен на квадратна равенка. Корени на квадратна равенка. Решавање нецелосни квадратни равенки

Само. Според формули и јасни, едноставни правила. Во првата фаза

потребно е да се намали дадената равенка на стандардна форма, т.е. да гледа:

Ако равенката е веќе дадена во оваа форма, не треба да го направите првиот чекор. Најважно е правилно

одреди ги сите коефициенти, а, би в.

Формула за пронаоѓање на корените на квадратна равенка.

Се нарекува израз под знакот за корен дискриминаторски ... Како што можете да видите, за да најдеме x, ние

употреба само a, b и c. Оние. коефициенти од квадратна равенка... Само внимателно заменете

значење а, б и вво оваа формула и брои. Заменете со од нивназнаци!

На пример, во равенката:

а =1; б = 3; в = -4.

Заменете ги вредностите и напишете:

Примерот е скоро решен:

Ова е одговорот.

Најчестите грешки се конфузија со знаци на значење. а, би со... Наместо тоа, со замена

негативни вредности во формулата за пресметување на корените. Тука, деталната нотација на формулата заштедува

со конкретни броеви. Ако имате пресметковни проблеми, направете го тоа!

Да претпоставиме дека треба да го решите овој пример:

Еве а = -6; б = -5; в = -1

Ние сликаме с everything детално, внимателно, без да пропуштиме ништо со сите знаци и загради:

Квадратните равенки честопати изгледаат малку поинаку. На пример, вака:

Засега, забележете ги најдобрите практики што драстично ќе ги намалат грешките.

Прв прием... Немојте да бидете мрзливи порано решение на квадратната равенкадоведете го во стандардна форма.

Што значи тоа?

Да речеме, по некои трансформации, ја добивте следнава равенка:

Не брзајте да ја напишете основната формула! Речиси сигурно ќе ги измешате шансите. а, б и в

Правилно изградете го примерот. Прво, X е квадрат, потоа без квадрат, потоа слободниот член. Како ова:

Ослободете се од минусот. Како? Треба да ја помножите целата равенка со -1. Добиваме:

Но, сега можете безбедно да ја запишете формулата за корените, да го пресметате дискриминаторниот и да го пополните примерот.

Направи го сам. Треба да имате корени 2 и -1.

Прием на второто.Проверете ги корените! Од страна на Теорема на Виета.

За решавање на дадените квадратни равенки, т.е. ако коефициентот

x 2 + bx + c = 0,

тогашx 1 x 2 = в

x 1 + x 2 = -б

За целосна квадратна равенка во која а ≠ 1:

x 2 +бx +в=0,

подели ја целата равенка со а:

→ →

каде x 1и x 2 - корените на равенката.

Трет прием... Ако имате фракциони коефициенти во вашата равенка, ослободете се од дропките! Множете се

заеднички именител равенка.

Излез. Практичен совет:

1. Пред решавање, ја доведуваме квадратната равенка во стандардна форма, ја градиме право.

2. Ако има негативен коефициент пред x во квадрат, го елиминираме со множење на вкупниот

равенки за -1.

3. Ако коефициентите се фракциони, ги елиминираме дропките со множење на целата равенка со соодветната

фактор.

4. Ако x квадрат е чист, коефициентот кај него е еднаков, решението лесно може да се провери со

Видео туторијал 2: Решавање квадратни равенки

Предавање: Квадратни равенки

Равенката

Равенката- ова е некаква еднаквост, во чии изрази има променлива.

Реши ја равенката- значи да се најде таков број наместо променлива што ќе го доведе во правилна еднаквост.

Равенката може да има едно решение, неколку решенија или воопшто да нема решение.

За да се реши секоја равенка, треба да се поедностави колку што е можно до формата:

Линеарна: a * x = b;

Плоштад: a * x 2 + b * x + c = 0.

Односно, секоја равенка мора да се претвори во стандардна форма пред да се реши.

Секоја равенка може да се реши на два начина: аналитичка и графичка.

На графикот, решението на равенката се смета за точките на кои графикот ја сече оската OX.

Квадратни равенки

Равенката може да се нарече квадрат ако, кога е поедноставена, има форма:

a * x 2 + b * x + c = 0.

При што а, б, все коефициентите на равенката кои се разликуваат од нула. А "НС"- коренот на равенката. Се верува дека квадратната равенка има два корени или можеби нема решение. Корените што произлегуваат може да бидат исти.

"а"е коефициентот пред квадратниот корен.

"б"- стои пред непознатото во прв степен.

"со"е слободен член на равенката.

Ако, на пример, имаме равенка на формата:

2x 2 -5x + 3 = 0

Во него, "2" е коефициентот на највисокиот износ на равенката, "-5" е вториот коефициент, а "3" е слободниот термин.

Решавање квадратна равенка

Постојат многу начини да се реши квадратна равенка. Меѓутоа, на курсот по училишна математика, решението се изучува според теоремата на Виета, како и со користење на дискриминатор.

Дискриминирачко решение:

Кога се решава со користење на овој метод, неопходно е да се пресмета дискриминаторот користејќи ја формулата:

Ако за време на пресметките добиете дека дискриминаторот е помал од нула, тоа значи дека оваа равенка нема решенија.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш равенката има две идентични решенија. Во овој случај, полиномот може да се сруши со скратена формула за множење до квадратот на збирот или разликата. Потоа решете го како линеарна равенка. Или користете ја формулата:

Ако дискриминаторот е поголем од нула, тогаш мора да го користите следниот метод:

Теорема на Виета

Ако равенката е намалена, односно, коефициентот на водечкиот термин е еднаков, тогаш можете да го користите Теорема на Виета.

Значи, да претпоставиме дека равенката е:

Корените на равенката се наоѓаат на следниов начин:

Нецелосна квадратна равенка

Постојат неколку опции за добивање нецелосна квадратна равенка, чија форма зависи од достапноста на коефициентите.

1. Ако вториот и третиот коефициент се нула (b = 0, c = 0), тогаш квадратната равенка ќе биде:

Оваа равенка ќе има единствено решение. Еднаквоста ќе биде вистинска само ако има нула како решение за равенката.

Ве потсетуваме дека целосната квадратна равенка е равенка на формата:

Решавањето на целосни квадратни равенки е малку потешко (само малку) од дадените.

Запомни, секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор!

Дури и нецелосно.

Останатите методи ќе ви помогнат да го направите ова побрзо, но ако имате проблеми со квадратни равенки, прво научете го решението користејќи го дискриминаторот.

1. Решавање квадратни равенки со користење на дискриминатор.

Решавањето на квадратни равенки на овој начин е многу едноставно, главната работа е да се запамети редоследот на дејствата и неколку формули.

Ако, тогаш равенката има 2 корени. Треба да обрнете посебно внимание на чекор 2.

Дискриминаторот Д ни го кажува бројот на корени во равенката.

• Ако, тогаш формулата во чекор ќе се сведе на. Така, равенката ќе го има целиот корен.
• Ако, тогаш нема да можеме да го извлечеме коренот од дискриминаторот на чекор. Ова покажува дека равенката нема корени.

Ајде да се свртиме кон геометриското значење на квадратната равенка.

Графиконот за функции е парабола:

Да се ​​вратиме на нашите равенки и да погледнеме неколку примери.

Пример 9

Реши ја равенката

Чекор 1прескокни

Чекор 2.

Ние го наоѓаме дискриминаторот:

Значи, равенката има два корени.

Чекор 3.

Одговор:

Пример 10

Реши ја равенката

Затоа, равенката е претставена во стандардна форма Чекор 1прескокни

Чекор 2.

Ние го наоѓаме дискриминаторот:

Значи, равенката има еден корен.

Одговор:

Пример 11

Реши ја равенката

Затоа, равенката е претставена во стандардна форма Чекор 1прескокни

Чекор 2.

Ние го наоѓаме дискриминаторот:

Затоа, нема да можеме да го извлечеме коренот од дискриминаторката. Нема корени од равенката.

Сега знаеме како правилно да ги запишеме таквите одговори.

Одговор:Нема корени

2. Решавање квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета

Ако се сеќавате, тогаш постои овој тип равенки што се нарекуваат намалени (кога коефициентот a е еднаков):

Многу лесно се решаваат ваквите равенки со помош на теоремата на Виета:

Збир на корени дадениквадратната равенка е еднаква, а производот на корените е еднаков на.

Само треба да изберете пар броеви, чиј производ е еднаков на слободниот член на равенката, а збирот е вториот коефициент, земен со спротивен знак.

Пример 12

Реши ја равенката

Оваа равенка е погодна за решавање користејќи ја теоремата на Виета, бидејќи ...

Збирот на корените на равенката е еднаков, т.е. ја добиваме првата равенка:

И производот е еднаков на:

Ајде да го составиме и решиме системот:

• и Износот е еднаков;
• и Износот е еднаков;
• и Износот е еднаков.

и се решение на системот:

Одговор: ; .

Пример 13

Реши ја равенката

Одговор:

Пример 14

Реши ја равенката

Равенката е намалена, што значи:

Одговор:

КВАДРАТИЧКИ РАВЕНКИ. СРЕДНО НИВО

Што е квадратна равенка?

Со други зборови, квадратна равенка е равенка на формата, каде е непознатото, има некои броеви и.

Бројот се нарекува најстар или првите коефициентиквадратна равенка, - втор коефициент, а - слободен член.

Бидејќи ако, равенката веднаш ќе стане линеарна, бидејќи исчезне.

Покрај тоа, и може да биде еднаква на нула. Во овој стол, равенката се нарекува нецелосно.

Ако сите услови се на место, односно равенката - заврши.

Методи за решавање на нецелосни квадратни равенки

За почеток, ќе ги анализираме методите за решавање на нецелосни квадратни равенки - тие се поедноставни.

Може да се разликуваат следниве видови равенки:

I., во оваа равенка коефициентот и пресекот се еднакви.

II. , во оваа равенка коефициентот е.

III. , во оваа равенка слободниот израз е.

Сега да разгледаме решение за секој од овие подтипови.

Очигледно, оваа равенка секогаш има само еден корен:

Квадратниот број не може да биде негативен, бидејќи кога множите два негативни или два позитивни броја, резултатот секогаш ќе биде позитивен број. Затоа:

ако, тогаш равенката нема решенија;

ако, имаме два корени

Овие формули не треба да се меморираат. Главната работа што треба да се запамети е дека не може да биде помалку.

Примери за решавање квадратни равенки

Пример 15

Одговор:

Никогаш не заборавајте на негативните корени!

Пример 16

Квадратот на број не може да биде негативен, што значи дека равенката

без корени.

За кратко да забележиме дека проблемот нема решенија, ја користиме празната икона за сет.

Одговор:

Пример 17

Значи, оваа равенка има два корени: и.

Одговор:

Извлечете го заедничкиот фактор од заградата:

Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Ова значи дека равенката има решение кога:

Значи, оваа квадратна равенка има два корени: и.

Пример:

Реши ја равенката.

Решение:

Факторирајте ја левата страна на равенката и пронајдете ги корените:

Одговор:

Методи за решавање на целосни квадратни равенки

1. Дискриминаторски

Решавањето на квадратни равенки на овој начин е лесно, главната работа е да се запамети редоследот на дејствата и неколку формули. Запомнете, секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор! Дури и нецелосно.

Дали го забележавте коренот на дискриминаторот во основната формула?

Но, дискриминаторката може да биде негативна.

Што да се прави?

Неопходно е да се обрне посебно внимание на чекор 2. Дискриминаторот ни го покажува бројот на корените на равенката.

• Ако, тогаш равенката има корен:
• Ако, тогаш равенката има ист корен, но всушност, еден корен:

  Таквите корени се нарекуваат двојни корени.

• Ако, тогаш коренот на дискриминаторот не е извлечен. Ова покажува дека равенката нема корени.

Зошто има различен број на корени?

Ајде да се свртиме кон геометриското значење на квадратната равенка. Графиконот за функции е парабола:

Во посебен случај, што е квадратна равенка ,.

И ова значи дека корените на квадратната равенка се точките на пресек со оската на апсцисата (оска).

Параболата може воопшто да не ја пресекува оската, или да ја пресече на една (кога темето на параболата лежи на оската) или две точки.

Покрај тоа, коефициентот е одговорен за насоката на гранките на параболата. Ако, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре, и ако - тогаш надолу.

4 примери за решавање квадратни равенки

Пример 18

Одговор:

Пример 19

Одговор:.

Пример 20

Одговор:

Пример 21

Значи нема решенија.

Одговор:.

2. Теорема на Виета

Многу е лесно да се користи теоремата на Виета.

Ти треба само земамтаков пар броеви, чиј производ е еднаков на слободниот член на равенката, а збирот е вториот коефициент, земен со спротивен знак.

Важно е да се запамети дека теоремата на Виета може да се примени само во намалени квадратни равенки ().

Ајде да погледнеме неколку примери:

Пример 22

Реши ја равенката.

Решение:

Оваа равенка е погодна за решавање користејќи ја теоремата на Виета, бидејќи ... Други коефициенти :; ...

Збирот на корените на равенката е:

И производот е еднаков на:

Ајде да избереме такви парови броеви, чиј производ е еднаков и да провериме дали нивниот збир е еднаков:

• и Износот е еднаков;
• и Износот е еднаков;
• и Износот е еднаков.

и се решение на системот:

Така, и се корените на нашата равенка.

Одговор:; ...

Пример 23

Решение:

Дозволете ни да избереме такви парови броеви што даваат во производот, а потоа да провериме дали нивниот збир е еднаков:

и: збирот е даден.

и: збирот е даден. За да се добие, доволно е само да се сменат знаците на наводните корени: и, на крајот на краиштата, работата.

Одговор:

Пример 24

Решение:

Слободниот термин на равенката е негативен, што значи дека производот на корените е негативен број. Ова е можно само ако едниот корен е негативен, а другиот е позитивен. Затоа, збирот на корените е разлика на нивните модули.

Ајде да избереме такви парови броеви што даваат во производот, а чија разлика е еднаква на:

и: нивната разлика е еднаква - не одговара;

и: - не одговара;

и: - не одговара;

и: - одговара. Останува само да се запамети дека еден од корените е негативен. Бидејќи нивниот збир мора да биде еднаков, коренот мора да биде негативен во апсолутна вредност:. Ние проверуваме:

Одговор:

Пример 25

Реши ја равенката.

Решение:

Равенката е намалена, што значи:

Бесплатниот термин е негативен, што значи дека производот на корените е негативен. И ова е можно само кога едниот корен од равенката е негативен, а другиот е позитивен.

Ајде да избереме такви парови броеви, чиј производ е еднаков, а потоа да одредиме кои корени треба да имаат негативен знак:

Очигледно, само корените и се погодни за првиот услов:

Одговор:

Пример 26

Реши ја равенката.

Решение:

Равенката е намалена, што значи:

Збирот на корените е негативен, што значи дека барем еден од корените е негативен. Но, бидејќи нивниот производ е позитивен, тогаш двата корени се со знак минус.

Ајде да избереме такви парови броеви, чиј производ е еднаков на:

Очигледно, бројките и се корените.

Одговор:

Се согласувам, многу е погодно да се излезе со корени усно, наместо да се брои овој непријатен дискриминатор.

Обидете се да ја користите теоремата на Виета што е можно почесто!

Но, теоремата на Виета е потребна со цел да се олесни и забрза пронаоѓањето на корените.

За да го искористите профитабилно, мора да ги доведете дејствата до автоматизам. И за ова, одлучете се за уште пет примери.

Но, не изневерувајте: не можете да користите дискриминатор! Само теорема на Виета!

5 примери за теоремата на Виета за самостојна работа

Пример 27

Задача 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Според теоремата на Виета:

Како и обично, го започнуваме изборот со парче:

Не е соодветен, бидејќи износот;

: износот е она што ви треба.

Одговор:; ...

Пример 28

Задача 2.

И повторно, нашата омилена теорема Виета: збирот треба да работи, но производот е еднаков.

Но, бидејќи не треба да има, туку, ги менуваме знаците на корените: и (вкупно).

Одговор:; ...

Пример 29

Задача 3.

Хм ... Каде е тоа?

Неопходно е да се пренесат сите услови во еден дел:

Збирот на корените е еднаков на производот.

Затоа престани! Равенката не е дадена.

Но, теоремата на Виета е применлива само во горенаведените равенки.

Значи, прво треба да ја донесете равенката.

Ако не можете да го истакнете, откажете се од овој потфат и решете го на друг начин (на пример, преку дискриминатор).

Дозволете ми да ве потсетам дека да се донесе квадратна равенка значи да се направи водечкиот коефициент еднаков на:

Тогаш збирот на корените е еднаков, а производот.

Лесно е да се подигне овде: на крајот на краиштата - прост број (извини за тавтологијата).

Одговор:; ...

Пример 30

Задача 4.

Бесплатниот термин е негативен.

Што е толку посебно во тоа?

И фактот дека корените ќе бидат со различни знаци.

И сега, за време на изборот, не го проверуваме збирот на корените, туку разликата во нивните модули: оваа разлика е еднаква, туку производот.

Значи, корените се еднакви и, но еден од нив е со минус.

Теоремата на Виета ни кажува дека збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, односно.

Ова значи дека помалиот корен ќе има минус: и, бидејќи.

Одговор:; ...

Пример 31

Задача 5.

Која е првата работа што треба да се направи?

Точно, дадете ја равенката:

Повторно: ги избираме факторите на бројот и нивната разлика треба да биде:

Корените се еднакви и, но еден од нив е со минус. Кои? Нивниот збир треба да биде еднаков, што значи дека со минус ќе има поголем корен.

Одговор:; ...

Сумирајте

1. Теоремата на Виета се користи само во дадените квадратни равенки.
2. Користејќи ја теоремата на Виета, можете да ги најдете корените со селекција, усно.
3. Ако равенката не е дадена или нема ниту еден соодветен пар бесплатни множители на термини, тогаш нема цели корени, и треба да ги решите на друг начин (на пример, преку дискриминатор).

3. Метод на избор на целосен квадрат

Ако сите термини што содржат непознато се претставени во форма на термини од скратените формули за множење - квадратот на збирот или разликата - тогаш по менување на променливите, равенката може да се претстави како нецелосна квадратна равенка од типот.

На пример:

Пример 32

Реши ја равенката:.

Решение:

Одговор:

Пример 33

Реши ја равенката:.

Решение:

Одговор:

Во принцип, трансформацијата ќе изгледа вака:

Ова подразбира:.

Не личи на ништо?

Ова е дискриминаторски! Така е, ја добивме дискриминаторската формула.

КВАДРАТИЧКИ РАВЕНКИ. КРАТКО ЗА ГЛАВНАТА

Квадратна равенкае равенка на формата, каде е непознатото, дали се коефициентите на квадратната равенка, е слободен термин.

Целосна квадратна равенка- равенка во која коефициентите не се еднакви на нула.

Намалена квадратна равенка- равенка во која коефициентот, односно:.

Нецелосна квадратна равенка- равенка во која коефициентот и или слободниот член c се еднакви на нула:

• ако коефициентот, равенката има форма:
• ако слободниот термин, равенката има форма:
• ако и, равенката има форма :.

1. Алгоритам за решавање на нецелосни квадратни равенки

1.1. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што ,:

1) Дозволете ни да го изразиме непознатото:

2) Проверете го знакот на изразот:

• ако, тогаш равенката нема решенија,
• ако, тогаш равенката има два корени.

1.2. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што ,:

1) Извлечете го заедничкиот фактор од заградите:

2) Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Затоа, равенката има два корени:

1.3. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што:

Оваа равенка секогаш има само еден корен :.

2. Алгоритам за решавање на целосни квадратни равенки на формата каде

2.1. Дискриминирачко решение

1) Дозволете ни да ја доведеме равенката во стандардна форма:

2) Ние го пресметуваме дискриминаторот со формулата :, што го покажува бројот на корените на равенката:

3) Најдете ги корените на равенката:

• ако, тогаш равенката има корени, кои се наоѓаат со формулата:
• ако, тогаш равенката има корен, кој се наоѓа со формулата:
• ако, тогаш равенката нема корени.

2.2. Решение користејќи ја теоремата на Виета

Збирот на корените на намалената квадратна равенка (равенки на формата, каде) е еднаков, а производот на корените е еднаков, т.е. , а.

2.3. Целосно квадратно решение

Формули за корените на квадратна равенка. Се разгледуваат случаи на вистински, повеќекратни и сложени корени. Факторирање на квадратен триномијал. Геометриско толкување. Примери за одредување корени и факторинг.

содржина

Исто така види: Решавање квадратни равенки преку Интернет

Основни формули

Размислете за квадратна равенка:
(1) .
Квадратни корени(1) се одредуваат со формулите:
; .
Овие формули може да се комбинираат вака:
.
Кога се познати корените на квадратната равенка, тогаш полиномот од втор степен може да се претстави како производ на фактори (факторизирани):
.

Понатаму, претпоставуваме дека се реални броеви.
Да се ​​разгледа квадратна дискриминација:
.
Ако дискриминаторот е позитивен, тогаш квадратната равенка (1) има два различни реални корени:
; .
Тогаш факторизацијата на квадратниот триномиј е:
.
Ако дискриминаторот е нула, тогаш квадратната равенка (1) има два повеќекратни (еднакви) реални корени:
.
Факторизација:
.
Ако дискриминаторот е негативен, тогаш квадратната равенка (1) има два сложени конјугирани корени:
;
.
Еве една имагинарна единица ,;
и - вистински и имагинарни делови од корените:
; .
Тогаш

.

Графичко толкување

Ако ја зацртате функцијата
,
што е парабола, тогаш точките на пресек на графикот со оската ќе бидат корените на равенката
.
Кога, графикот ја преминува оската на апсцисата (оска) во две точки ().
Кога, графикот ја допира оската на апсцисата во една точка ().
Кога, графикот не ја преминува оската на апсцисата ().

Корисни квадратни равенки

(ф.1) ;
(ф.2) ;
(ф.3) .

Изведување на формулата за корените на квадратна равенка

Вршиме трансформации и применуваме формули (f.1) и (f.3):




,
каде
; .

Значи, добивме формула за полином од втор степен во форма:
.
Оттука се гледа дека равенката

изведена на
и
Тоа е, тие се корените на квадратната равенка
.

Примери за одредување на корените на квадратна равенка

Пример 1

(1.1) .

.
Во споредба со нашата равенка (1.1), ги наоѓаме вредностите на коефициентите:
.
Ние го наоѓаме дискриминаторот:
.
Бидејќи дискриминаторот е позитивен, равенката има два вистински корени:
;
;
.

Од ова добиваме факторизација на квадратниот триномиј:

.

Графикон за функција y = 2 x 2 + 7 x + 3ја преминува оската на апсцисата во две точки.

Ајде да ја зацртаме функцијата
.
Графикот на оваа функција е парабола. Ја преминува оската на апсцисата (оска) во две точки:
и
Овие точки се корените на оригиналната равенка (1.1).

;
;
.

Пример 2

Најдете ги корените на квадратна равенка:
(2.1) .

Ајде да ја напишеме квадратната равенка во општа форма:
.
Во споредба со оригиналната равенка (2.1), ги наоѓаме вредностите на коефициентите:
.
Ние го наоѓаме дискриминаторот:
.
Бидејќи дискриминаторот е нула, равенката има два повеќекратни (еднакви) корени:
;
.

Тогаш факторизацијата на триномот е:
.

График на функција y = x 2 - 4 x + 4ја допира оската на апсцисата во еден момент.

Ајде да ја зацртаме функцијата
.
Графикот на оваа функција е парабола. Ја допира оската на апсцисата (оска) во еден момент:
.
Оваа точка е коренот на оригиналната равенка (2.1). Бидејќи овој корен влегува во факторизација два пати:
,
тогаш таков корен обично се нарекува повеќекратно. Тоа е, тие веруваат дека постојат два еднакви корени:
.

;
.

Пример 3

Најдете ги корените на квадратна равенка:
(3.1) .

Ајде да ја напишеме квадратната равенка во општа форма:
(1) .
Ја препишуваме оригиналната равенка (3.1):
.
Споредувајќи се со (1), ги наоѓаме вредностите на коефициентите:
.
Ние го наоѓаме дискриминаторот:
.
Дискриминаторката е негативна ,. Затоа, не постојат валидни корени.

Може да се најдат комплексни корени:
;
;
.

Тогаш


.

Графикот на функцијата не ја преминува оската на апсцисата. Нема валидни корени.

Ајде да ја зацртаме функцијата
.
Графикот на оваа функција е парабола. Не ја преминува оската на апсцисата (оската). Затоа, не постојат валидни корени.

Нема валидни корени. Комплексни корени:
;
;
.

Исто така види:

», Односно равенки од прв степен. Во оваа лекција ќе анализираме она што се нарекува квадратна равенкаи како да се реши.

Она што се нарекува квадратна равенка

Важно!

Степенот на равенката се одредува според најголемиот степен во кој стои непознатото.

Ако максималната моќност во која стои непознатото е "2", тогаш имате квадратна равенка пред вас.

Примери за квадратни равенки

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Важно! Општиот поглед на квадратната равенка изгледа вака:

A x 2 + b x + c = 0

"А", "б" и "в" се дадени броеви.

• "А" - првиот или најзначајниот коефициент;
• "Б" е вториот коефициент;
• „Ц“ е бесплатен член.

За да пронајдете „а“, „б“ и „в“, треба да ја споредите вашата равенка со општата форма на квадратната равенка „секира 2 + bx + c = 0“.

Ајде да вежбаме дефинирање на коефициентите "a", "b" и "c" во квадратни равенки.

5x 2 - 14x + 17 = 0 X7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Равенката	Коефициенти
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• в =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Како да се решат квадратни равенки

За разлика од линеарните равенки, за решавање квадратни равенки, специјална формула за наоѓање корени.

Запомни!

За да решите квадратна равенка ви требаат:

• донесе квадратна равенка до општата форма "секира 2 + bx + c = 0". Тоа е, само "0" треба да остане на десната страна;
• користете формула за корени:

Да земеме пример како да се користи формула за да се пронајдат корените на квадратната равенка. Ајде да ја решиме квадратната равенка.

X 2 - 3x - 4 = 0

Равенката "x 2 - 3x - 4 = 0" веќе е сведена на општата форма "ax 2 + bx + c = 0" и не бара дополнителни поедноставувања. За да го решиме, само треба да аплицираме формулата за пронаоѓање на корените на квадратна равенка.

Ајде да ги дефинираме коефициентите "a", "b" и "c" за оваа равенка.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Со негова помош, секоја квадратна равенка е решена.

Во формулата "x 1; 2 =" радикалниот израз често се заменува
„Б 2 - 4ац“ со буквата „Д“ и се нарекува дискриминатор. Поимот дискриминатор подетално се дискутира во часот „Што е дискриминатор“.

Размислете за друг пример за квадратна равенка.

x 2 + 9 + x = 7x

Прилично е тешко да се одредат коефициентите „а“, „б“ и „в“ во оваа форма. Ајде прво да ја доведеме равенката до општата форма "секира 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Сега можете да ја користите основната формула.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Одговор: x = 3

Има моменти кога нема корени во квадратни равенки. Оваа ситуација се јавува кога се наоѓа негативен број под коренот во формулата.