КОДЕКС НА ТЕКСТ НА ЧАСОТ:

Веќе знаете два случаи на меѓусебно распоредување на прави линии во вселената:

1. пресечни права;

2. Паралелни права.

Да се \u200b\u200bпотсетиме на нивните дефиниции.

Дефиниција Линиите во вселената се нарекуваат пресечни ако лежат во иста рамнина и имаат една заедничка точка

Дефиниција Линиите во вселената се нарекуваат паралелни ако лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.

Заедничко за овие дефиниции е дека линиите лежат во иста рамнина.

Ова не е секогаш случај во вселената. Можеме да се справиме со неколку авиони, и не секоја две права ќе лежат во иста рамнина.

На пример, рабовите на коцката ABCDA1B1C1D1

AB и A1D1 лежат во различни рамнини.

Дефиниција Две линии се нарекуваат пресечни ако нема рамнина што би минувала низ овие линии. Од дефиницијата е јасно дека овие права не се пресекуваат и не се паралелни.

Дозволете ни да докажеме теорема што го изразува критериумот за пресек на прави.

Теорема (знак на пресечни линии).

Ако една од правите лежи во одредена рамнина, а другата права ја сече оваа рамнина во точка што не припаѓа на оваа права, тогаш овие права се пресекуваат.

Правата AB лежи во рамнината α. Линијата ЦД ја пресекува рамнината α во точката Ц, што не припаѓа на правата АБ.

Докажете дека линиите AB и DC се прекрстени.

Доказ

Доказот ќе биде изведен со противречност.

Да претпоставиме дека АБ и ЦД лежат во иста рамнина, да ги означиме со β.

Тогаш рамнината β поминува низ линијата AB и точката В.

Како резултат на аксиомите, рамнината може да се повлече преку линијата АБ и точката Ц што не лежи на неа, и, згора на тоа, само една.

Но, веќе имаме таква рамнина - рамнината α.

Следствено, рамнините β и α се совпаѓаат.

Но, ова е невозможно, бидејќи ЦД-то се вкрстува со α, но не лежи во него.

Дојдовме до контрадикција, затоа, нашата претпоставка е погрешна. АБ и ЦД лежат внатре

различни рамнини и се прекрстени.

Теоремата е докажана.

Значи, постојат три можни начини на меѓусебно уредување на прави линии во вселената:

А) Линиите се сечат, односно тие имаат само една заедничка точка.

Б) Линиите се паралелни, т.е. лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.

В) Правите линии се преминуваат, т.е. не лежи во иста рамнина.

Размислете за друга теорема на пресечната линија

Теорема. Низ секоја од двете пресечни линии поминува рамнина паралелна со другата линија, и згора на тоа, само една.

АБ и ЦД - премин на права

Докажете дека постои рамнина α таква што правата AB лежи во рамнината α, а линијата ЦД е паралелна со рамнината α.

Доказ

Дозволете ни да го докажеме постоењето на ваков авион.

1) Нацртај ја линијата АЕ низ точката А паралелно со ЦД.

2) Бидејќи правите права AE и AB се сечат, низ нив може да се повлече рамнина. Да го означиме со α.

3) Бидејќи правата ЦД е паралелна со АЕ, а АЕ лежи во рамнината α, тогаш правата ЦД ∥ на рамнината α (според теоремата за нормалноста на правата и рамнината).

Авионот α е посакуваната рамнина.

Дозволете ни да докажеме дека рамнината α е единствената што ја задоволува состојбата.

Било која друга рамнина што минува низ линијата АБ ќе ја пресекува АЕ, а со тоа и ЦД-паралелата со неа. Тоа е, секоја друга рамнина што минува низ АБ се пресекува со линијата ЦД, затоа не е паралелна со неа.

Следствено, рамнината α е единствена. Теоремата е докажана.

Во оваа статија, прво ќе ја дадеме дефиницијата за аголот помеѓу водотеците и ќе дадеме графичка илустрација. Следно, ќе одговориме на прашањето: "Како да го пронајдете аголот помеѓу вкрстувањето на прави линии, ако се познати координатите на векторите на насоката на овие права во правоаголен координатен систем?" Како заклучок, ќе вежбаме да го наоѓаме аголот помеѓу водотеците при решавање примери и проблеми.

Навигација на страницата.

Агол помеѓу вкрстени линии - дефиниција.

Постепено ќе пристапиме кон дефиницијата на аголот помеѓу вкрстените линии.

Прво, потсетете се на дефиницијата за пресечни линии: се нарекуваат две линии во тродимензионален простор вкрстувањеако не лежат во иста рамнина. Од оваа дефиниција произлегува дека линиите на премин не се пресекуваат, не се паралелни и, згора на тоа, не се совпаѓаат, инаку и двајцата би лежеле во некоја рамнина.

Еве уште неколку помошни аргументи.

Нека бидат дадени две пресечни права а и б во тродимензионален простор. Да ги конструираме правите a 1 и b 1 така што тие ќе бидат паралелни на пресечните права, соодветно, и да минуваат низ некоја точка на просторот M 1. Така, добиваме две пресечни права a 1 и b 1. Аголот помеѓу пресечните права 1 и b 1 нека биде еднаков на аголот. Сега ќе конструираме права a 2 и b 2, паралелно со пресечните права a и b, соодветно, минувајќи низ точката М 2, различна од точката М 1. Аголот помеѓу пресечните права 2 и b 2 исто така ќе биде еднаков на аголот. Оваа изјава е вистинита, бидејќи правите линии a 1 и b 1 се совпаѓаат со правите линии a 2 и b 2, соодветно, ако извршите паралелен превод, во кој момент М 1 оди до точката М 2. Така, мерката на аголот помеѓу две пресечни права во точката М, соодветно паралелна со дадените пресечни права, не зависи од изборот на точката М.

Сега сме подготвени да го дефинираме аголот помеѓу водотеците.

Дефиниција

Аголот помеѓу водотеците Дали е аголот помеѓу две пресечни права, кои се соодветно паралелни со дадена пресечна права линија.

Од дефиницијата произлегува дека аголот помеѓу водотеците исто така нема да зависи од изборот на точката М. Затоа, како точка М може да земете која било точка што припаѓа на една од пресечните линии.

Еве илустрација за дефиницијата на аголот помеѓу вкрстените линии.

Наоѓање на аголот помеѓу вкрстените линии.

Бидејќи аголот помеѓу пресечните права се одредува преку аголот помеѓу пресечните права, тогаш наоѓањето на аголот помеѓу пресечните права се сведува на наоѓање на аголот помеѓу соодветните пресечни права во тродимензионален простор.

Несомнено, методите што се предаваат на часовите по геометрија во средно училиште се погодни за наоѓање на аголот помеѓу вкрстените линии. Тоа е, откако ги завршивте потребните конструкции, можете да го поврзете посакуваниот агол со кој било агол познат од состојбата, врз основа на еднаквоста или сличноста на фигурите, во некои случаи тоа ќе помогне теорема на косинус, а понекогаш и резултатот е дефиниција на синус, косинус и тангента на агол правоаголен триаголник.

Сепак, многу е погодно да се реши проблемот со наоѓање на аголот помеѓу преминувањето на прави линии со координатниот метод. Ова е она што ќе го разгледаме.

Нека Oxyz биде воведен во тродимензионален простор (сепак, во многу проблеми треба да се внесе независно).

Ајде да си поставиме задача: да го најдеме аголот помеѓу вкрстените права а и б, кои одговараат на некои равенки на права линија во просторот во правоаголниот координатен систем Оксиз.

Ајде да го решиме.

Земете произволна точка на тродимензионалниот простор М и претпоставувајте дека низ неа минуваат права права 1 и б 1, паралелно со пресечните линии а и б, соодветно. Тогаш потребниот агол помеѓу пресечните права а и б е по дефиниција еднаков на аголот помеѓу пресечните права 1 и б 1.

Така, останува за нас да го најдеме аголот помеѓу пресечните права а 1 и б 1. За да ја примениме формулата за наоѓање на аголот помеѓу две пресечни права во просторот, треба да ги знаеме координатите на векторите на правецот на правите права a 1 и b 1.

Како можеме да ги набавиме? Тоа е многу едноставно. Дефиницијата на векторот на насока на права линија ни овозможува да тврдиме дека множествата вектори на насока на паралелни права се совпаѓаат. Затоа, како вектори на насоки на прави линии a 1 и b 1, можеме да ги земеме векторите на насоката и права а и б, соодветно.

Значи, аголот помеѓу две вкрстени права а и б се пресметува со формулата
каде и - вектори на насоки на прави линии a и b, соодветно.

Формула за наоѓање на косинусот на аголот помеѓу вкрстените права а и б има форма .

Ви овозможува да го најдете синусот на аголот помеѓу водотеците, ако е познато косинусот: .

Останува да се анализираат решенијата на примерите.

Пример.

Пронајдете го аголот помеѓу вкрстените права а и б, кои се дефинирани во правоаголниот координатен систем Оксиз со равенките и .

Одлука.

Канонските равенки на права линија во просторот ви овозможуваат веднаш да ги одредите координатите на насочувачкиот вектор на оваа права - тие се дадени со броевите во именителите на дропките, т.е. ... Параметарските равенки на права линија во просторот исто така овозможуваат веднаш да се запишат координатите на векторот на насоката - тие се еднакви на коефициентите пред параметарот, т.е. - насочувачки вектор на права линија ... Така, ги имаме сите потребни податоци за да ја примениме формулата со која се пресметува аголот помеѓу водотеците:

Одговор:

Аголот помеѓу дадените водови на премин е.

Пример.

Пронајдете синус и косинус на аголот помеѓу вкрстувањето на прави линии на кои лежат рабовите AD и BC на пирамидата ABCD, ако се познати координатите на нејзините темиња:.

Одлука.

Насочувачки вектори на премин линии АД и СРД се вектори и. Да ги пресметаме нивните координати како разлика на соодветните координати на точките на крајот и почетокот на векторот:

Според формулата можеме да го пресметаме косинусот на аголот помеѓу наведените линии на премин:

Сега да го пресметаме синусот на аголот помеѓу водотеците:

Одговор:

Како заклучок, да го разгледаме решението за проблемот во кој се бара да се најде аголот помеѓу вкрстените прави, а правоаголниот координатен систем треба да се внесе независно.

Пример.

Дадено е правоаголен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, во кој AB \u003d 3, AD \u003d 2 и AA 1 \u003d 7 единици. Точката Е лежи на работ AA 1 и ја дели во сооднос од 5 до 2 сметајќи од точката А. Пронајдете го аголот помеѓу вкрстените линии BE и A 1 C.

Одлука.

Бидејќи рабовите на правоаголниот паралелепипед на едно теме се меѓусебно нормални, погодно е да се внесе правоаголен координатен систем и да се одреди аголот помеѓу посочените вкрстени линии со употреба на координатниот метод преку аголот помеѓу векторите на насоките на овие линии.

Дозволете ни да воведеме правоаголен координатен систем Oxyz на следниов начин: нека потеклото се совпадне со темето A, оската Ox се совпаѓа со AD правата линија, оската Oy со AB правата линија и оската Oz - со AA 1 правата линија.

Тогаш точката Б има координати, точката Е - (доколку е потребно, видете ја статијата), точката А 1 - и точката Ц -. Од координатите на овие точки, можеме да ги пресметаме координатите на векторите и. Ние имаме , .

Останува да се примени формулата за да се најде аголот помеѓу линиите на вкрстување според координатите на векторите на насоката:

Одговор:

Список на препораки.

• Атанасијан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позњак Е.Г. Геометрија. Учебник за 10-11 одделение во средно училиште.
• Погорелов А.В., геометрија. Учебник за 7-11 одделение на образовни институции.
• Бугров Ј.С., Николски С.М. Повисока математика. Том еден: Елементи на линеарна алгебра и аналитичка геометрија.
• Иlyин В.А., Позњак Е.Г. Аналитичка геометрија.

Прекрстените прави линии лесно се препознаваат според овие карактеристики. Знак 1. Ако на две линии има четири точки кои не лежат во иста рамнина, тогаш овие права се пресекуваат (слика 1.21).

Навистина, ако овие права се пресекуваат или би биле паралелни, тогаш тие би лежеле во иста рамнина, а потоа овие точки би лежеле во иста рамнина, што е во спротивност со состојбата.

Знак 2. Ако правата О лежи во рамнината, а правата б во некоја точка ја пресекува рамнината а

М, што не лежи на права линија а, тогаш правите права а и б се пресекуваат (слика 1.22).

Навистина, земајќи какви било две точки на правата а и какви било две точки на правата б, стигнуваме до критериумот 1, т.е. а и б испреплетуваат.

Вистински примери на пресечни права се дадени со транспортни клучки (слика 1.23).

Во вселената, има повеќе парови на пресечни права отколку што има пара паралелни или пресечни права. Ова може да се објасни како што следува.

Дозволете ни да земеме во просторот некоја точка А и некоја права линија а што не поминува низ точката А. За да се повлече права линија низ точката А паралелно со правата а, потребно е да се повлече рамнина а низ точките А и правата а (Предлог 2, клаузула 1.1), а потоа во рамнината црта права линија b паралелно со права линија a (Слика 1.24).

Има само една таква права линија б. Сите линии што минуваат низ точката А и ја пресекуваат линијата О исто така лежат во рамнината а и сето тоа го исполнуваат со исклучок на правата б. Сите останати линии што минуваат низ А и го исполнуваат целиот простор, освен рамнината а, ќе се пресекуваат со линијата а. Можеме да кажеме дека пресечните линии во вселената се општ случај, а пресечните и паралелните линии се посебни случаи. „Малите пертурбации“ на линиите на премин ги оставаат да преминуваат. Но, својствата да се биде паралелен или да се сече со „мали пертурбации“ во вселената не се зачувани.

Меѓусебно уредување две прави во вселената.

Релативната позиција на две права и простор се карактеризира со следниве три можности.

Линиите лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки - паралелни линии.

Линиите лежат на иста рамнина и имаат една заедничка точка - линиите се сечат.

Во вселената може да се лоцираат и две прави, така што тие да не лежат во ниту една рамнина. Таквите линии се нарекуваат пресечни (не се пресекуваат и не се паралелни).

ПРИМЕР:

ПРОБЛЕМ 434 Во рамнината лежи триаголник ABC, a

Триаголникот АБЦ лежи во рамнината, а точката Д не е во оваа рамнина. Точките М, N и K, соодветно, се средните точки на сегментите DA, DB и DC

Теорема. Ако една од двете права се наоѓа во одредена рамнина, а другата ја пресекува оваа рамнина и точка што не лежи на првата права, тогаш овие права се пресекуваат.

На сл. 26 права линија a лежи во рамнината, а права c се сече во точката N. Линиите a и c се пресекуваат.

Теорема.Само една рамнина поминува низ секоја од двете пресечни линии, паралелно со другата линија.

На сл. 26 права права а и б крст. Црна права линија и нацртана рамнина a (алфа) || b (линијата a1 || b е означена во рамнината Б (бета)).

Теорема 3.2.

Две прави, паралелни со третата, се паралелни.

Овој имот се нарекува транзитивностпаралелизам на прави линии.

Доказ

Нека правите a и b се истовремено паралелни со правата c. Да претпоставиме дека a не е паралелна со b, тогаш правата a се пресекува со правата b во одредена точка A што не лежи на правата c според хипотезата. Затоа, имаме две прави a и b кои минуваат низ точката A, не лежат на дадената права c, и истовремено паралелно со неа. Ова е во спротивност со Аксиома 3.1. Теоремата е докажана.

Теорема 3.3.

Преку точка што не лежи на дадена права линија, може да се повлече една и единствена права паралелна со дадената.

Доказ

Нека (AB) е дадена линија, C е точка што не лежи на неа. Линијата AC го дели авионот на два полу-рамнина. Точката Б лежи во една од нив. Во согласност со аксиомата 3.2, можно е да се одложи аголот (ACD) еднаков на аголот (CAB) од зракот C A во друга полу-рамнина. ACD и CAB се еднакви внатрешни вкрстени линии со линии AB и CD и секант (AC) Потоа, според теоремата 3.1 (AB) || (ЦД). Земајќи ја предвид аксиомата 3.1. Теоремата е докажана.

Својството на паралелните права е дадено со следната теорема, што е обратна кон теоремата 3.1.

Теорема 3.4.

Ако две паралелни права се пресекуваат со трета права, тогаш внатрешните агли што лежат попречно се еднакви.

Доказ

Нека (АБ) || (ЦД). Да претпоставиме дека ACD ≠ BAC. Нацртај ја линијата AE низ точката A така што EAC \u003d ACD. Но, тогаш, од Теорема 3.1 (AE) || (ЦД), и според хипотеза - (АБ) || (ЦД). Според теорема 3.2 (АЕ) || (АБ) Ова е во спротивност со теоремата 3.3, според која може да се повлече единствена права паралелна со неа преку точката А што не лежи на ЦД. Теоремата е докажана.

Слика 3.3.1.

Врз основа на оваа теорема, следниве својства се лесно оправдани.

Ако две паралелни права се прекрстени со трета права, тогаш соодветните агли се еднакви.

Ако две паралелни права се пресекуваат со трета права, тогаш збирот на внатрешните еднострани агли е 180 °.

Резултат 3.2.

Ако права е нормална на една од паралелните права, тогаш таа е нормална на другата.

Концептот на паралелизам ни овозможува да го воведеме следниов нов концепт, кој ќе биде потребен подоцна во Поглавје 11.

Двата зрака се нарекуваат подеднакво насочениако постои права линија таква што, прво, тие се нормални на оваа права линија, и второ, зраците лежат во истата полу-рамнина во однос на оваа права линија.

Двата зрака се нарекуваат спротивно режијаако секој од нив е подеднакво насочен со зрак комплементарен на другиот.

Equе се означат еднакво насочени зраци AB и CD: и спротивно насочени зраци AB и CD -

Слика 3.3.2.

Знак за преминување на линиите.

Ако една од двете права се наоѓа во одредена рамнина, а другата права ја сече оваа рамнина во точка што не лежи на првата права, тогаш овие линии се пресекуваат.

Случаи на меѓусебно уредување на прави линии во вселената.

1. Постојат четири различни случаи на две прави во вселената:

   
   

   - прав премин, т.е. не лежи во иста рамнина;

   - права сечат, т.е. лежат во иста рамнина и имаат една заедничка точка;

   - прави линии паралелни, т.е. лежат во иста рамнина и не се пресекуваат;

   - правите линии се совпаѓаат.

   
   

   Дозволете ни да добиеме знаци на овие случаи на меѓусебно распоредување на прави линии дадени од канонските равенки

   
   
   каде - точки што припаѓаат на прави линии и соодветно, a - вектори на насока (Слика 4.34). Дозволете ни да означиме со вектор што ги поврзува дадените точки.
   
   

   Горенаведените случаи на меѓусебно уредување на прави линии и одговараат на следниве знаци:

   
   

   - директните и вкрстените вектори не се копланарни;

   
   

   - прави линии и пресечни вектори се копланарни, но векторите не се колинеарни;

   
   

   - директните и паралелните вектори се колинеарни, но векторите не се колинеарни;

   
   

   - векторите и совпаѓачките вектори се колинеарни.

   
   

   Овие услови може да се запишат со употреба на својствата на мешаните и векторските производи. Потсетиме дека мешаниот производ на вектори во десниот правоаголен координатен систем се наоѓа според формулата:

   
   
   и детерминантата се сече е нула, а нејзината втора и трета права не се пропорционални, т.е.
   

   - права и паралелна втора и трета линија на детерминантата се пропорционални, т.е. а првите две редови не се пропорционални, т.е.

   
   

   - сите права на детерминантата се прави и се совпаѓаат пропорционално, т.е.

Доказ за знакот на пресечени линии.

Ако една од двете права се наоѓа во рамнина, а другата ја пресекува оваа рамнина во точка што не припаѓа на првата права, тогаш овие две прави се сечат.

Доказ

Нека a припаѓа на α, b пресекува α \u003d A, A не припаѓа на а (цртеж 2.1.2). Да претпоставиме дека линиите а и б не се пресекуваат, односно се сечат. Потоа, постои рамнина β на која припаѓаат правите a и b. Правата а и точката А лежат во оваа рамнина β. Бидејќи правата а и точката А надвор од неа дефинираат единствена рамнина, тогаш β \u003d α. Но, b води β и b не припаѓа на α, па затоа еднаквоста β \u003d α е невозможна.

За помалку од една минута, создадов нова датотека Vord и продолжив со ваква возбудлива тема. Треба да ги фатите моментите на работното расположение, така што нема да има лирски вовед. Beе има прозаично камшикување \u003d)

Два прави празни места можат:

1) вкрстени;

2) се пресекуваат во точка;

3) да биде паралелен;

4) натпревар.

Случајот број 1 е суштински различен од другите случаи. Две прави се сечат ако не лежат во иста рамнина... Подигнете ја едната рака нагоре, и подадете ја другата рака напред - еве еден пример за преминување на прави линии. Во точките 2-4, правилните лаги нужно лежат во една рамнина.

Како да се открие релативната положба на правите во вселената?

Размислете за два прави празни места:

- директно, дадена точка и насока вектор;
- права линија дадена со точка и вектор на насока.

За подобро разбирање, ајде да изведеме шематски цртеж:

На цртежот се прикажани вкрстени права како пример.

Како да се справите со овие прави линии?

Бидејќи точките се познати, лесно е да се најде векторот.

Ако е исправен вкрстени, потоа вектори не копланарна (види лекција Линеарна (не) зависност на вектори. Векторска основа), и, според тоа, детерминантата составена од нивните координати е не нула. Или, што е всушност исто, ќе биде не нула: .

Во случаите бр. 2-4, нашата конструкција „паѓа“ во една рамнина, додека векторите копланарна, и мешаниот производ на линеарно зависни вектори е еднаков на нула: .

Ние го вртиме алгоритмот понатаму. Да се \u200b\u200bпреправаме така затоа, линиите или се пресекуваат, или паралелни, или се совпаѓаат.

Ако векторите на насоката колинеарна, тогаш линиите се или паралелни или се совпаѓаат. Како последна шајка, ја предлагам следнава техника: земете некоја точка од една права линија и заменете ги нејзините координати во равенката на втората права линија; ако координатите „одговараат“, тогаш правите се совпаѓаат; ако тие „не се вклопуваат“, тогаш правите се паралелни.

Протокот на алгоритмот е едноставен, но практичните примери сè уште не штетат:

Пример 11

Откријте ја релативната позиција на две прави

Одлука: како и во многу проблеми со геометријата, погодно е да се изготви решението според точките:

1) Од равенките ги вадиме векторите на точките и насоките:

2) Пронајдете го векторот:

Така, векторите се копланарни, што значи дека линиите лежат во иста рамнина и можат да се пресекуваат, да бидат паралелни или да се совпаѓаат.

4) Проверете ги векторите на насоката за колинеарност.

Ајде да составиме систем на соодветните координати на овие вектори:

На секој равенката имплицира дека системот е постојан, соодветните координати на векторите се пропорционални, а векторите се колинеарни.

Заклучок: правилните линии се паралелни или се совпаѓаат.

5) Дозволете ни да откриеме дали линиите имаат заеднички точки. Земете точка што припаѓа на првата линија и заменете ги нејзините координати во равенките на линијата:

Така, линиите немаат заеднички точки и немаат друг избор освен да бидат паралелни.

Одговор:

Интересен пример за независно решение:

Пример 12

Откријте ја релативната положба на правите

Ова е пример за решение „направи сам“. Забележете дека втората линија има буква како параметар. Логично е. Во принцип, ова се две различни прави, така што секоја права има свој параметар.

И повторно ве повикувам да не прескокнувате примери, ќе ги камшикувам проблемите што ги нудам се далеку од случајни ;-)

Проблеми со права линија во вселената

Во последниот дел од лекцијата, ќе се обидам да разгледам максимален број на различни проблеми со просторните линии. Во овој случај, почетниот редослед на нарацијата ќе се почитува: прво ќе ги разгледаме проблемите со пресек на права, потоа со пресечни права, и на крајот ќе зборуваме за паралелни линии во просторот. Сепак, морам да кажам дека некои задачи на оваа лекција може да се формулираат одеднаш за неколку случаи на распоредување на прави линии, и во врска со ова, поделбата на делот во ставовите е донекаде произволна. Има повеќе едноставни примери, постојат посложени примери и се надевам дека секој ќе го најде она што му треба.

Преминати права

Потсетувам дека прави линии се сечат ако нема рамнина во која лежат и двајцата. Кога размислував за вежбањето, ми падна на ум проблем со чудовиште, и сега мило ми е што ви го претставив вниманието на змеј со четири глави:

Пример 13

Дадени се прави линии. Задолжително:

а) да докаже дека права се сечат;

б) најдете ги равенките на права линија што минуваат низ точка нормална на овие права;

в) составува равенки на права линија што содржи заедничка нормална преминување на прави линии;

г) најдете го растојанието помеѓу правите.

Одлука: Патот ќе се совлада со одење:

а) Дозволете ни да докажеме дека линиите се пресекуваат. Пронајдете ги точките и векторите на насоката на овие редови:

Пронајдете го векторот:

Ние пресметуваме мешан производ на вектори:

Така векторите не копланарна, што значи дека линиите се пресекуваат, како што се бара.

Веројатно, сите одамна забележаа дека за премин на линии, алгоритмот за верификација се покажува како најкраток.

б) Пронајдете ги равенките на права што поминува низ точка и е нормално на правите. Ајде да извршиме шематски цртеж:

За промена, поставив права линија Позади директно, видете како е бришено благо на премините. Вкрстени крстови? Да, во општ случај, права линија "де" ќе се пресече со оригиналните права. Иако не нè интересира овој момент, само треба да изградиме нормална линија и тоа е тоа.

Што е познато за директното „де“? Поентата што и припаѓа е позната. Недостасува вектор на насока.

По услов, правата линија мора да биде нормална на правите, што значи дека нејзиниот вектор на насока ќе биде ортогонален на векторите на насоката. Веќе запознаен од мотивот за пример 9, пронајдете го вкрстениот производ:

Ајде да ги составиме равенките на права линија "de" според точката и векторот на насоката:

Направено. Во принцип, можете да ги промените знаците во именителите и да го напишете одговорот во формата , но нема потреба од ова.

За да се провери, потребно е да се заменат координатите на точката во добиените равенки на права линија, а потоа да се користат точка производ на векторипроверете дали векторот е навистина ортогонален на векторите на насоката „пе еден“ и „пе два“.

Како да најдете равенки на права линија што содржи заедничка нормална?

в) Оваа задача ќе биде потешка. Кукла препорачуваат да ја прескокнете оваа точка, не сакам да ја разладам вашата искрена симпатија за аналитичка геометрија \u003d) Патем, за поподготвени читатели, можеби е подобро и да почекате, факт е дека во однос на сложеноста, примерот треба да се стави последен во статијата, но според логиката треба да се наоѓа тука.

Значи, потребно е да се најдат равенките на права линија, која ја содржи заедничката нормална на пресечните права.

Дали е линиски сегмент што ги поврзува дадените линии и е нормален на дадените линии:

Еве го нашиот убав човек: - заедничко нормално на вкрстените линии. Тој е единствениот. Нема друго такво. Исто така, треба да ги составиме равенките на права што го содржи дадениот сегмент.

Што е познато за правилното „ух“? Познат е неговиот вектор на насока, пронајден во претходниот пасус. Но, за жал, не знаеме ниту една точка што припаѓа на права линија „ух“, не ги знаеме краевите на нормалните - точки. Каде оваа нормална линија ги пресекува двете оригинални права? Во Африка, на Антарктикот? Од првичниот преглед и анализа на состојбата воопшто не е јасно како да се реши проблемот. Но, постои незгоден потег поврзан со употреба на параметарски равенки на права линија.

Одлуката ќе ја издадеме според точките:

1) Ајде да ги препишеме равенките на првата права во параметарска форма:

Размислете за една точка. Не ги знаеме координатите. НО... Ако една точка припаѓа на дадена права линија, тогаш таа одговара на нејзините координати, ние ја означуваме со. Тогаш координатите на точката ќе бидат запишани во форма:

Lifeивотот се подобрува, едно непознато - на крајот на краиштата, не три непознати.

2) Истиот бес мора да се изврши и на втората точка. Ајде да ги препишеме равенките на втората права линија во параметарска форма:

Ако една точка припаѓа на дадена права линија, тогаш со многу специфична вредностнеговите координати мора да ги задоволуваат параметарските равенки:

Или:

3) Векторот, како и претходно пронајдениот вектор, ќе биде вектор на насока на права линија. Како да се состави вектор за две точки, се сметаше на лекцијата во античко време Вектори за кукла... Сега разликата е во тоа што координатите на векторите се напишани со непознати вредности на параметрите. Па што? Никој не забранува одземање од координатите на крајот на векторот, соодветните координати на почетокот на векторот.

Постојат две точки: .

Пронајдете го векторот:

4) Бидејќи векторите на насоката се колинеарни, тогаш едниот вектор е линеарно изразен во однос на другиот со одреден коефициент на пропорционалност „ламбда“:

Или координирајте исто:

Се покажа најмногу, дека ниту едното и другото не е вообичаено систем на линеарни равенки со три непознати, што е решено во стандардот, на пример, метод на Крамер... Но, тука постои можност да се ослободиме од малку крв, од третата равенка изразуваме „ламбда“ и ја заменуваме во првата и втората равенка:

На овој начин: , и не ни треба ламбда. Фактот дека вредностите на параметрите се покажаа исти е чиста случајност.

5) Небото е целосно чисто, заменете ги пронајдените вредности до нашите точки:

Векторот на насока не е особено потребен, бидејќи неговиот колега е веќе пронајден.

По долго патување, секогаш е забавно да се провери.

:

Се добиваат точните еднаквости.

Заменете ги координатите на точката во равенките :

Се добиваат точните еднаквости.

6) Завршен акорд: компонирајте равенки на права линија долж точка (можете да ја земете) и вектор на насока:

Во принцип, можете да земете "добра" точка со цели координати, но ова е веќе козметика.

Како да се најде растојанието помеѓу вкрстените линии?

г) Исечете ја четвртата глава на змеј.

Метод еден... Дури ни начин, туку мал посебен случај. Растојанието помеѓу водотеците е еднакво на должината на нивниот заеднички нормален: .

Екстремните точки на заедничката нормална се најде во претходниот пасус, а задачата е основна:

Метод два... Во пракса, најчесто краевите на заедничката нормала се непознати, па затоа се користи поинаков пристап. Паралелните рамнини може да се повлечат преку две водови на премин, а растојанието помеѓу овие рамнини е еднакво на растојанието помеѓу овие линии. Особено, помеѓу овие рамнини се појавува заедничка нормала.

Во текот на аналитичката геометрија, од горенаведените размислувања, се доби формула за наоѓање на растојанието помеѓу преминувањето на прави линии:
(наместо нашите точки „ух еден, два“ \u200b\u200bможе да земете произволни точки на линии).

Мешан производ на вектори веќе се најде во став "а": .

Векторски производ на вектори се најде во ставката „бае“: , ајде да ја пресметаме нејзината должина:

На овој начин:

Ајде гордо да ги поставиме трофеите во еден ред:

Одговор:
и) , што значи дека линиите се пресекуваат, што беше потребно да се докаже;
б) ;
во) ;
г)

Што друго можете да ни кажете за преминување на прави линии? Агол е дефиниран меѓу нив. Но, ќе ја разгледаме универзалната формула за агол во следниот пасус:

Пресечните права на просторот нужно лежат во иста рамнина:

Првата мисла е да се потпрете на раскрсницата со сета своја моќ. И веднаш помислив, зошто да си ги ускратите вистинските желби?! Ајде да се нафрлиме на неа сега!

Како да се најде точката на пресек на просторните линии?

Пример 14

Пронајдете ја точката на пресек на линиите

Одлука: Ајде да ги препишеме равенките на прави линии во параметарска форма:

Оваа задача детално беше дискутирана во примерот бр. 7 на овој час (види. Равенки на права линија во просторот) И самите права, патем, ги зедов од Пример бр. 12. Нема да лажам, јас сум премногу мрзлив да измислувам нови.

Решението е стандардно и веќе се сретнало кога ги мелеме равенките на заедничката нормала на пресечните линии.

Точката на пресек на правите линии припаѓа на права, затоа нејзините координати ги задоволуваат параметарските равенки на дадената права линија и тие одговараат на прилично специфична вредност на параметарот:

Но, истата точка припаѓа на втората права линија, затоа:

Ние ги изедначуваме соодветните равенки и правиме поедноставувања:

Добиен е систем од три линеарни равенки со две непознати. Ако линиите се пресекуваат (како што е докажано во Пример 12), тогаш системот е нужно постојан и има единствено решение. Може да се реши гаусов метод, но нема да згрешиме со таков фетишизам во градинка, ќе го сториме полесно: од првата равенка изразуваме „те нула“ и ја заменуваме во втората и третата равенка:

Последните две равенки се покажаа, всушност, исти, и од нив произлегува дека. Потоа:

Заменете ја пронајдената вредност на параметарот во равенките:

Одговор:

За да провериме, пронајдената вредност на параметарот ја заменуваме во равенките:
Добиени се истите координати како што се бара да бидат проверени. Прецизните читатели можат да ги заменат координатите на една точка во оригиналните канонски равенки на прави линии.

Патем, беше можно да се направи спротивното: да се најде точката преку „ес нула“ и да се провери - преку „те нула“.

Еден добро познат математички знак вели: онаму каде што се дискутира за пресек на права, тој секогаш мириса на нормални.

Како да се конструира линија на просторот нормално на дадена?

(линиите се сечат)

Пример 15

а) Составете ги равенките на права што минуваат низ точка нормална на права (линиите се сечат).

б) Пронајдете го растојанието од точка до права.

Забелешка : клаузула „линиите се сечат“ - суштински... Преку точка
можете да нацртате бесконечно многу нормални права што ќе се пресекуваат со правилниот „але“. Единственото решение се одвива кога права линија ќе се повлече низ оваа точка, нормално на двајца дадени со права линија (види Пример бр. 13, точка „б“).

и) Одлука: Непознатата линија се означува со. Ајде да извршиме шематски цртеж:

Што е познато за права линија? По услов, дадена е точка. За да се соберат равенките на права, потребно е да се најде векторот на насоката. Вектор е доста погоден како таков вектор, и ние ќе се справиме со него. Поточно, да го земеме непознатиот крај на векторот од страна на скруфот.

1) Дозволете ни да го извадиме неговиот вектор на насока од равенките на права линија "ел" и да ги препишеме равенките во параметарска форма:

Многумина претпоставија дека сега по трет пат на лекција волшебникот ќе извади бел лебед од капа. Размислете за точка со непознати координати. Од точката, тогаш неговите координати ги задоволуваат параметарските равенки на права линија "ел" и тие одговараат на одредена вредност на параметарот:

Или во една линија:

2) По услов, правите права мора да бидат нормални, затоа, векторите на нивните насоки се ортогонални. И, ако векторите се ортогонални, тогаш нивните скаларен производ е еднаква на нула:

Што се случи? Наједноставниот линеарна равенка со една непозната:

3) Вредноста на параметарот е позната, ја наоѓаме поентата:

И векторот на насоката:
.

4) Дозволете ни да ги составиме равенките на права со точка и вектор на насока:

Назначувачите на пропорциите се покажаа како дропки, и тоа е токму случајот кога е соодветно да се ослободат од дропките. Само ќе ги помножам со -2:

Одговор:

Забелешка : се формира поригорозен крај на решението на следниов начин: составуваме равенки на права линија долж точка и вектор на насока. Навистина, ако векторот е насочен вектор на права линија, тогаш векторот колинеарен кон него, природно, исто така ќе биде насочен вектор на дадена права линија.

Проверката се состои од две фази:

1) проверете ги векторите на насоките на прави линии за ортогоналност;

2) ги заменуваме координатите на точката во равенките на секоја права линија, тие мора да "се вклопат" и таму и таму.

Многу беше кажано за типични активности, па проверив нацрт.

Патем, ја заборавив и поентата - да изградам точка „сиу“ симетрична со точката „ен“ во однос на правилната линија „ел“. Сепак, постои добар "рамен аналог", што може да се најде во статијата Наједноставни проблеми со права линија во авион... Тука, целата разлика ќе биде во дополнителната координата „зета“.

Како да се најде растојанието од точка до права во просторот?

б) Одлука: Пронајдете го растојанието од точка до права.

Метод еден... Ова растојание е точно еднакво на должината на нормалното:. Решението е очигледно: ако точките се познати , тогаш:

Метод два... Во практични задачи, основата на нормалното честопати е тајна зад седум заптивки, па затоа е порационално да се користи готова формула.

Растојанието од точка до права се изразува со формулата:
, каде е насочувачкиот вектор на права линија "ел", и - произволноточка што припаѓа на оваа линија.

1) Од равенките на права го добиваме векторот на насоката и најпристапната точка.

2) Поентата е позната од состојбата, изостри го векторот:

3) Пронајди вкрстен производ и пресметај ја нејзината должина:

4) Пресметајте ја должината на векторот на насоката:

5) Така, растојанието од точка до права: