Равенка на права линија преку 2 точки на рамнината. Равенка на права што поминува низ две дадени точки: примери, решенија. Нормална равенка на права

Карактеристики на права линија во евклидовата геометрија.

Можете да нацртате бесконечно многу права низ која било точка.

Една единствена права може да се повлече преку кои било две несовпаѓачки точки.

Две неусогласени прави линии во рамнината или се сечат во една точка, или се

паралелно (следи од претходниот).

Во 3Д простор, постојат три опции меѓусебно уредување две прави:

• права се сечат;

• прави линии се паралелни;

• права се сечат.

Прав линија - алгебарска крива од прв ред: во картезијански координатен систем, права линија

се дава на рамнината со равенка од прв степен (линеарна равенка).

Општа равенка на правата.

Дефиниција... Секоја права линија на рамнина може да се даде со равенка од прв ред

Axe + Wu + C \u003d 0,

со постојана А, Б. не е еднакво на нула во исто време. Оваа равенка од прв ред се нарекува заеднички

равенка на права линија. Во зависност од вредностите на константите А, Б. и ОД можни се следниве посебни случаи:

. C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - правата линија поминува низ потеклото

. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Со + C \u003d 0)- права линија паралелна со оската Ох

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - права линија паралелна со оската ОУ

. B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - права линија се совпаѓа со оската ОУ

. A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - права линија се совпаѓа со оската Ох

Равенката на права линија може да се претстави во различни форми, во зависност од која било дадена

почетни услови.

Равенка на права линија долж точка и нормален вектор.

Дефиниција... Во картезијански правоаголен координатен систем, вектор со компоненти (A, B)

нормално на права линија дадена со равенката

Секира + Ву + С \u003d 0.

Пример... Пронајдете ја равенката на права што минува низ точка А (1, 2) нормално на векторот (3, -1).

Одлука... На A \u003d 3 и B \u003d -1, ние составуваме равенка на права линија: 3x - y + C \u003d 0. Да го најдеме коефициентот C

заменете ги координатите на дадената точка A. во добиениот израз. Добиваме: 3 - 2 + C \u003d 0, според тоа

C \u003d -1. Вкупно: потребната равенка: 3x - y - 1 \u003d 0.

Равенка на права линија што минува низ две точки.

Нека бидат дадени две точки во просторот М 1 (x 1, y 1, z 1)и M2 (x 2, y 2, z 2), тогаш равенка на права линија,

минувајќи низ овие точки:

Ако кој било од именителите е нула, соодветниот броител треба да се изедначи на нула. На

рамнина, равенката на правата линија напишана погоре е поедноставена:

ако x 1 ≠ x 2 и x \u003d x 1 , ако x 1 \u003d x 2 .

Дропка \u003d к наречен наклон исправен.

Пример... Пронајдете ја равенката на права што минува низ точките А (1, 2) и Б (3, 4).

Одлука... Применувајќи ја горенаведената формула, добиваме:

Равенка на права линија по точка и наклон.

Ако општата равенка на права линија Секира + Ву + С \u003d 0 донесе до формата:

и назначи , тогаш се нарекува добиената равенка

равенка на права линија со наклон k.

Равенка на права линија долж точка и вектор на насока.

По аналогија со пасусот, со оглед на равенката на права линија преку нормалниот вектор, можете да ја внесете задачата

права линија преку точка и вектор на насока на права линија.

Дефиниција... Секој вектор без нула (α 1, α 2)чии компоненти ја задоволуваат состојбата

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 наречен насочувачки вектор на права линија.

Секира + Ву + С \u003d 0.

Пример... Пронајдете ја равенката на права со вектор на насока (1, -1) и поминува низ точката А (1, 2).

Одлука... Равенката на саканата права линија ќе се бара во форма: Axe + By + C \u003d 0. Според дефиницијата,

коефициентите мора да ги исполнуваат условите:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, т.е. А \u003d Б.

Тогаш равенката на права линија има форма: Секира + Ај + Ц \u003d 0, или x + y + C / A \u003d 0.

во x \u003d 1, y \u003d 2добиваме C / A \u003d -3, т.е. потребна равенка:

x + y - 3 \u003d 0

Равенка на права линија во сегменти.

Ако во општата равенка на права линија Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0, тогаш, делејќи се со -C, добиваме:

или каде

Геометриското значење на коефициентите е дека коефициентот a е координата на точката на пресек

прав со оска О, и б - координата на точката на пресек на права линија со оската ОУ

Пример... Дадена е општата равенка на права линија x - y + 1 \u003d 0.Пронајдете ја равенката на оваа права во сегментите.

C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.

Нормална равенка на права линија.

Ако двете страни на равенката Секира + Ву + С \u003d 0 дели со број што се нарекува

нормализирачки фактор, тогаш ќе добиеме

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -равенка на нормална линија.

Знакот of на факторот за нормализирање треба да биде избран така што μ * C< 0.

р. - должината на нормалното паднато од потекло до права линија,

и φ - аголот формиран од овој нормален со позитивната насока на оската Ох

Пример... Дадена е општата равенка на правата 12x - 5y - 65 \u003d 0... Потребно е да се напишат различни видови равенки

оваа права линија.

Равенката на оваа линија во сегменти:

Равенка на оваа линија со наклон: (подели со 5)

Равенка на права линија:

cos φ \u003d 12/13; грев φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Треба да се напомене дека не секоја права линија може да биде претставена со равенка во сегменти, на пример, права,

паралелно со оските или минувајќи низ потеклото.

Аголот помеѓу прави линии на рамнината.

Дефиниција... Ако се дадени две редови y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , тогаш акутен агол помеѓу овие линии

ќе се дефинира како

Две прави се паралелни ако k 1 \u003d k 2... Две прави се нормални,

ако k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорема.

Директен Секира + Ву + С \u003d 0и A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 се паралелни кога коефициентите се пропорционални

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ... Ако исто така С 1 \u003d λС, тогаш правите линии се совпаѓаат. Координати на точката на пресек на две прави

се наоѓаат како решение за системот на равенки на овие прави.

Равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на дадена права линија.

Дефиниција... Линија низ точка М 1 (x 1, y 1) и нормално на правата y \u003d kx + b

претставена со равенката:

Оддалеченост од точка до линија.

Теорема... Ако се даде точка М (x 0, y 0), растојанието до права линија Секира + Ву + С \u003d 0дефинирани како:

Доказ... Нека поентата М 1 (x 1, y 1) - основата на нормалното падна од точката М.за даден

права линија. Потоа, растојанието помеѓу точките М.и М 1:

(1)

Координати x 1 и на 1 може да се најде како решение за системот на равенки:

Втората равенка на системот е равенка на права линија што минува низ дадена точка М 0 нормално на

дадена права линија. Ако ја трансформираме првата равенка на системот во форма:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Axe 0 + Со 0 + C \u003d 0,

тогаш, решавајќи, добиваме:

Заменувајќи ги овие изрази во равенка (1), наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Нека линијата помине низ точките M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2). Равенката на права линија што минува низ точката М 1 има форма y-y 1 \u003d к (x - x 1), (10,6)

каде к - сè уште непознат коефициент.

Бидејќи права линија поминува низ точката M 2 (x 2 y 2), координатите на оваа точка мора да ја задоволат равенката (10.6): y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Оттука наоѓаме Замена на пронајдената вредност к во равенка (10.6), добиваме равенка на права линија што минува низ точките М 1 и М 2:

Се претпоставува дека во оваа равенка x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ако x 1 \u003d x 2, тогаш правата линија што минува низ точките M 1 (x 1, y I) и M 2 (x 2, y 2) е паралелна со оската на ординатата. Неговата равенка има форма x \u003d x 1 .

Ако y 2 \u003d y I, тогаш равенката на права може да се напише како y \u003d y 1, правата линија M 1 M 2 е паралелна со оската на апсцисата.

Равенка на права линија во сегменти

Нека права линија ја пресекува оската Ox во точката M 1 (a; 0), и Oy - во точката M 2 (0; b). Равенката станува:
оние.
... Оваа равенка се нарекува равенката на права линија во сегменти, бидејќи броевите a и b означуваат кои сегменти се отсечени со права линија на координатните оски.

Равенка на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор

Дозволете ни да ја најдеме равенката на права линија што минува низ дадена точка Mo (x O; y o) нормално на даден ненултен вектор n \u003d (A; B).

Земете произволна точка M (x; y) на права линија и разгледајте го векторот M 0 M (x - x 0; y - y o) (види слика 1). Бидејќи векторите n и M o M се нормални, нивниот скаларен производ е нула: тоа е

A (x - xo) + B (y - yo) \u003d 0. (10.8)

Се нарекува равенка (10,8) равенката на права линија што минува низ дадена точка нормална на даден вектор .

Векторот n \u003d (A; B), нормален на права, се нарекува нормален нормалниот вектор на оваа линија .

Равенката (10.8) може да се препише како Секира + Ву + С \u003d 0 , (10.9)

каде што A и B се координати на нормалниот вектор, C \u003d -Aх о - Ву о - слободен термин. Равенка (10,9) е општа равенка на права линија (види слика 2).

Сл. 1 Сл. 2

Канонски равенки на правата

,

Каде
- координати на точката низ која поминува права, и
- вектор на насока.

Круг на кривини од втор ред

Круг е збир на сите точки на рамнината, еднакво оддалечено од дадена точка, која се нарекува центар.

Канонска равенка на круг на радиус Р. центриран во точката
:

Особено, ако центарот на влогот се совпаѓа со потеклото, тогаш равенката ќе изгледа:

Елипса

Елипса е збир на точки на рамнина, збир на растојанија од секоја до две дадени точки и , кои се нарекуваат фокуси, се постојани
поголемо од растојанието помеѓу фокусите
.

Канонската равенка на елипса, чии фокуси лежат на оската Окс, а потеклото на координатите на средина помеѓу фокусите има форма
р деа должината на полу-главната оска;б - должината на полу-малата оска (слика 2).

Врска помеѓу параметрите на елипсата
и изразено со односот:

(4)

Елипса на ексцентричностнаречен сооднос на меѓуфокалното растојание2в до најголемата оска2а:

Режисери елипсите се нарекуваат прави линии паралелни со оската Oy, кои се на растојание од оваа оска. Равенки на Directrix:
.

Ако во равенката на елипсата
, тогаш фокусите на елипсата се наоѓаат на оската Oy.

Значи,

Нека се дадат две точки М 1 (x 1, y 1) и М 2 (x 2, y 2)... Ние ја пишуваме равенката на права линија во форма (5), каде к сè уште непознат коефициент:

Од поентата М 2припаѓа на дадена права линија, тогаш нејзините координати ја задоволуваат равенката (5):. Изразувајќи од ова и заменувајќи ја во равенка (5), ја добиваме потребната равенка:

Ако оваа равенка може да се препише во форма попогодна за меморирање:

(6)

Пример.Запиши ја равенката на права линија што минува низ точките М 1 (1,2) и М 2 (-2,3)

Одлука. ... Користејќи го својството на пропорција и извршувајќи ги потребните трансформации, ја добиваме општата равенка на права линија:

Агол помеѓу две прави

Размислете за две редови л 1 и л 2:

л 1: ,, и

л 2: , ,

φ е аголот помеѓу нив (). Слика 4 покажува:.

Од тука , или

Користејќи ја формулата (7), може да се одреди еден од аглите помеѓу правите. Вториот агол е.

Пример... Две прави се дадени со равенките y \u003d 2x + 3 и y \u003d -3x + 2. најдете го аголот помеѓу овие права.

Одлука... Од равенките може да се види дека k 1 \u003d 2, и k 2 \u003d -3. заменувајќи ги овие вредности во формулата (7), наоѓаме

... Така, аголот помеѓу овие линии е еднаков.

Услови за паралелизам и нормалност на две прави

Ако е исправен л 1 и л 2 се паралелни, значи φ=0 и tgφ \u003d 0... од формулата (7) произлегува дека, од каде k 2 \u003d k 1... Така, услов за паралелизам на две прави е еднаквоста на нивните наклони.

Ако е исправен л 1 и л 2 се нормални, значи φ \u003d π / 2, α 2 \u003d π / 2 + α 1. ... Така, условот на нормалноста на две прави е дека нивните наклони се реципрочни по големина и спротивни со знак.

Оддалеченост од точка до линија

Теорема. Ако е дадена точка М (x 0, y 0), тогаш растојанието до права линија Ax + Vy + C \u003d 0 се одредува како

Доказ. Нека точката М 1 (x 1, y 1) е основа на нормалниот пад од точката М на дадена права. Тогаш растојанието помеѓу точките М и М 1:

Координатите x 1 и y 1 може да се најдат како решение за системот на равенки:

Втората равенка на системот е равенка на права линија што минува низ дадена точка М 0 нормално на дадена права линија.

Ако ја трансформираме првата равенка на системот во форма:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Axe 0 + Со 0 + C \u003d 0,

тогаш, решавајќи, добиваме:

Заменувајќи ги овие изрази во равенка (1), наоѓаме:

Теоремата е докажана.

Пример. Одреди го аголот помеѓу правите: y \u003d -3x + 7; y \u003d 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2 tgj \u003d; j \u003d p / 4.

Пример. Покажете дека правите права 3x - 5y + 7 \u003d 0 и 10x + 6y - 3 \u003d 0 се нормални.

Пронаоѓаме: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, затоа, правите се нормални.

Пример. Дадени се темињата на триаголникот A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Пронајдете ја равенката за висината извлечена од темето В.

Ја наоѓаме равенката на страната AB :; 4x \u003d 6y - 6;

2x - 3y + 3 \u003d 0;

Потребната равенка на висината е: Ax + By + C \u003d 0 или y \u003d kx + b.

k \u003d Тогаш y \u003d. Бидејќи висината поминува низ точката C, тогаш нејзините координати ја задоволуваат дадената равенка: од каде b \u003d 17. Вкупно:.

Одговор: 3x + 2y - 34 \u003d 0.

Растојанието од точка до права линија се одредува според должината на нормалниот пад од точка до права линија.

Ако правата е паралелна со рамнината на проекцијата (ч | | П 1), тогаш со цел да се одреди растојанието од точката И да се исправи ч потребно е да се спушти нормалното од точката И на хоризонталата ч.

Да разгледаме покомплексен пример, кога права линија зазема општа позиција. Нека биде потребно да се одреди растојанието од точката М. да се исправи и општа позиција.

Задачата на утврдување растојание помеѓу паралелните права решено слично на претходното. На една линија, се зема точка, од која нормално се спушта на друга линија. Должината на нормалното е еднаква на растојанието помеѓу паралелните права.

Крива од втор ред наречена линија определена со равенка од втор степен во однос на тековните картезијански координати. Општо, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

каде што A, B, C, D, E, F се вистински броеви и барем еден од броевите A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

Круг

Центар на кругови Дали локусот на точките во рамнината е еднакво оддалечен од точката на рамнината C (a, b).

Кругот е даден со следната равенка:

Каде x, y се координати на произволна точка на кругот, R е радиус на кругот.

Равенка на обемот

1. Нема поим со x, y

2. Еднакви коефициенти на x 2 и y 2

Елипса

Елипса се нарекува локус на точките во рамнината, збирот на растојанијата на секоја од нив од две дадени точки на оваа рамнина се нарекува фокуси (постојана вредност).

Канонска равенка на елипса:

X и y припаѓаат на елипса.

а - полу-голема оска на елипсата

б - полуминорна оска на елипсата

Елипсата има 2 оски на симетрија OX и OY. Оските на симетријата на елипсата се нејзините оски, точката на нивното вкрстување е центарот на елипсата. Оската на која се наоѓа фокусот се нарекува фокусна оска... Точката на пресек на елипсата со оските е темето на елипсата.

Однос на компресија (истегнување): ε \u003d с / а - ексцентричност (го карактеризира обликот на елипсата), колку е помала, толку е елипсата е издолжена по фокусната оска.

Ако центрите на елипсата не се во центарот C (α, β)

Хипербола

Хипербола се нарекува локус на точки во рамнината, абсолутна вредност разликата во растојанија, од кои секоја од две дадени точки на оваа рамнина, наречена фокуси, е постојана вредност различна од нулата.

Канонска равенка на хипербола

Хиперболата има 2 оски на симетрија:

а - вистинска полуаксија на симетрија

б - замислена симетрија полуоска

Асимптоми на хипербола:

Парабола

Парабола се нарекува локус на точките во рамнината еднакво оддалечена од дадена точка F, наречена фокус и дадена права линија, наречена директна линија.

Канонска равенка на парабола:

Y 2 \u003d 2px, каде p е растојанието од фокусот до директната (параметар парабола)

Ако темето на параболата C (α, β), тогаш параболната равенка (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Ако фокусната оска е земена како оска на ордината, тогаш равенката на параболата ќе добие форма: x 2 \u003d 2qу

Нека се дадат две точки М.(X1 ,Имаат1) и Н.(X2, г.2) Дозволете ни да ја најдеме равенката на права што минува низ овие точки.

Бидејќи оваа линија поминува низ точката М., тогаш според формулата (1.13) нејзината равенка има форма

Имаат – Y1 = К.(X - x1),

Каде К. - непозната падина.

Вредноста на овој коефициент се одредува од условот што бараната линија минува низ точката Н., и оттука, нејзините координати ја задоволуваат равенката (1.13)

Y2 – Y1 = К.(X2 – X1),

Оттука можете да ја пронајдете наклонот на оваа линија:

,

Или по конверзијата

(1.14)

Формулата (1.14) одредува Равенка на права линија што минува низ две точки М.(X1, Y1) и Н.(X2, Y2).

Во посебниот случај кога бодовите М.(А., 0), Н.(0, Б.), И ¹ 0, Б. ¹ 0, лежи на координатните оски, равенката (1.14) има поедноставна форма

Равенка (1.15) наречен Равенката на права линија во сегменти, тука И и Б. означуваат сегменти отсечени со права линија на оските (слика 1.6).

Слика 1.6

Пример 1.10. Изедначете права линија низ точките М.(1, 2) и Б.(3, –1).

. Според (1.14), равенката на бараната линија има форма

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Пренесувајќи ги сите поими на левата страна, конечно ја добиваме посакуваната равенка

3X + 2Y – 7 = 0.

Пример 1.11. Изедначете права линија низ точка М.(2, 1) и точката на пресек на линиите X+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Ги наоѓаме координатите на точката на пресек на правите права решавајќи ги заедно дадените равенки

Ако ги додадеме овие равенки по термин, ќе добиеме 2 X + 1 \u003d 0, од \u200b\u200bкаде. Заменувајќи ја пронајдената вредност во која било равенка, ја наоѓаме вредноста на ординатата Имаат:

Сега ја пишуваме равенката на права линија што минува низ точките (2, 1) и:

или

Оттука, или –5 ( Y – 1) = X – 2.

Конечно, ја добиваме равенката на бараната линија во формата X + 5Y – 7 = 0.

Пример 1.12. Пронајдете ја равенката на права што минува низ точките М.(2,1) и Н.(2,3).

Користејќи ја формулата (1.14), ја добиваме равенката

Нема смисла бидејќи вториот именител е нула. Од изјавата за проблемот може да се види дека апсисите на обете точки имаат иста вредност. Оттука, бараната линија е паралелна со оската ОЈ и нејзината равенка е: x = 2.

Коментар . Ако, кога ја пишувате равенката на права линија според формулата (1.14), еден од именителите се покажа како нула, тогаш посакуваната равенка може да се добие со изедначување на соодветниот броител на нула.

Размислете за други начини да се дефинира права линија на рамнина.

1. Нека не-нулта вектор е нормален на дадената права Л.и точка М.0(X0, Y0) лежи на оваа права линија (Слика 1.7).

Слика 1.7

Ние означуваме М.(X, Y) произволна точка на линијата Л.... Вектори и Ортогонален. Користејќи ги условите за ортогоналност за овие вектори, добиваме или И(X – X0) + Б.(Y – Y0) = 0.

Добивме равенка на права линија што минува низ точка М.0 нормално на векторот. Овој вектор се нарекува Нормалниот вектор да се исправи Л.... Како резултат на равенката може да се преработи како

Ох + Уо + ОД \u003d 0, каде ОД = –(ИX0 + Од страна на0), (1.16),

Каде И и ИН- координати на нормалниот вектор.

Ја добиваме општата равенка на права линија во параметарска форма.

2. Правата линија на рамнината може да се специфицира на следниов начин: нека не-нулта вектор е паралелен со дадена права линија Л. и точка М.0(X0, Y0) лежи на оваа права линија. Повторно земете произволна точка М.(X, y) на права линија (Слика 1.8).

Слика 1.8

Вектори и колинеарна

Го запишуваме условот за колинеарност за овие вектори:, каде Т. - произволен број наречен параметар. Да ја напишеме оваа еднаквост во координати:

Овие равенки се нарекуваат Параметарски равенки Прав... Од овие равенки го исклучуваме параметарот Т.:

Овие равенки може инаку да бидат напишани во формата

. (1.18)

Како резултат на равенката се нарекува Канонската равенка на правата... Векторот се нарекува Вектор на насока на права линија .

Коментар . Лесно е да се види дали е нормален вектор на линијата Л., тогаш неговиот вектор на насока може да биде вектор, бидејќи, т.е.

Пример 1.13. Напишете ја равенката на права што минува низ точката М.0 (1, 1) паралелно со права 3 X + 2Имаат– 8 = 0.

Одлука . Векторот е нормален вектор на дадените и посакуваните права. Useе ја користиме равенката на права линија што минува низ точката М.0 со даден нормален вектор 3 ( X –1) + 2(Имаат - 1) \u003d 0 или 3 X + 2y - 5 \u003d 0. Ја прими равенката на саканата права линија.