Пресметајте ја инверзната матрица. Алгоритам за пресметување на инверзната матрица со употреба на алгебарски комплементи: метод на придружна (придружна) матрица. Матрикс метод во економска анализа

Матрична алгебра - Инверзна матрица

инверзна матрица

Инверзна матрица се нарекува матрица која, кога се множи и десно и лево со дадена матрица, ја дава матрицата на идентитетот.
Дозволете ни да ја означиме матрицата обратна со матрицата И преку, тогаш според дефиницијата добиваме:

каде Е. Дали е идентитет матрицата.
Квадратна матрица наречен не-специјални (не-дегенериран) ако неговата одредница не е нула. Инаку, тоа се нарекува посебен (дегенериран) или еднина.

Следната теорема важи: секоја несингуларна матрица има обратна насока.

Операцијата за наоѓање на инверзна матрица се нарекува жалба матрици. Размислете за алгоритмот на инверзијата на матрицата. Нека се даде несингуларна матрица н-та нарачка:

каде Δ \u003d дете А. ≠ 0.

Алгебарски додаток на елементматрици н -th ред И детерминанта на матрицата ( н –1) та нарачка добиена со бришење јас-th линија и јта колона на матрицата И:

Ајде да составиме т.н. во прилог матрица:

каде се алгебарските комплементи на соодветните елементи на матрицата И.
Забележете дека алгебарските комплементи на елементите на редовите на матрицата И се ставаат во соодветните колони на матрицата Ã , тоа е, матрицата е транспонирана во исто време.
Поделување на сите елементи на матрицата Ã со Δ - вредноста на детерминантата на матрицата И, ја добиваме инверзната матрица како резултат:

Забележуваме голем број посебни својства на инверзната матрица:
1) за дадена матрица И нејзината инверзна матрица е единствениот;
2) ако има обратна матрица, тогаш десно обратно и лево рикверц матриците се совпаѓаат со него;
3) специјална (дегенерирана) квадратна матрица нема обратна матрица.

Главни својства на инверзната матрица:
1) детерминанта на инверзната матрица и детерминанта на оригиналната матрица се реципрочни вредности;
2) инверзната матрица на производот на квадратни матрици е еднаква на производот на инверзни матрици на фактори, земени во обратен редослед:

3) транспонираната инверзна матрица е еднаква на инверзната на дадената транспонирана матрица:

PRI me r. Пресметај ја инверзната на дадената матрица.

За која било негенерирана матрица А, постои и, згора на тоа, единствена матрица А -1 таква што

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

каде Е е идентитетска матрица со истите наредби како А. Матрицата А -1 се нарекува инверзна на матрицата А.

Во случај некој да заборави, во идентитетската матрица, освен дијагоналата исполнета со единици, сите други позиции се полни со нули, пример за матрицата на идентитетот:

Наоѓање на инверзна матрица со методот на придружна матрица

Инверзната матрица е дефинирана со формулата:

каде A ij се елементи a ij.

Оние за да ја пресметате инверзната матрица, треба да ја пресметате детерминантата на оваа матрица. Потоа пронајдете ги алгебарските комплементи за сите нејзини елементи и составете нова матрица од нив. Следно, треба да ја пренесете оваа матрица. И поделете го секој елемент од новата матрица со детерминантата на оригиналната матрица.

Ајде да погледнеме неколку примери.

Пронајдете А -1 за Матрикс

Решение. Дозволете ни да најдеме А-1 со методот на придружна матрица. Имаме det A \u003d 2. Да ги најдеме алгебарските комплементи на елементите на матрицата A. Во овој случај, алгебарските комплементи на елементите на матрицата ќе бидат соодветните елементи на самата матрица, земени со знак во согласност со формулата

Имаме A 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. Ние ја формираме придружната матрица

Ние ја транспортираме матрицата А *:

Инверзната матрица ја наоѓаме според формулата:

Добиваме:

Пронајдете А -1 користејќи го методот на придружна матрица ако

Решение. Пред сè, ја пресметуваме дефиницијата за дадена матрица за да се осигураме дека инверзната матрица постои. Ние имаме

Тука на елементите од вториот ред ги додадовме елементите од третиот ред, претходно множени со (-1), а потоа ја проширивме детерминантата на вториот ред. Бидејќи дадената матрица е утврдено дека не е нула, инверзната матрица постои. За да ја конструираме придружната матрица, наоѓаме алгебарски комплементи на елементите на оваа матрица. Ние имаме

Според формулата

транспортирајте ја матрицата А *:

Потоа според формулата

Наоѓање на инверзна матрица со методот на елементарни трансформации

Покрај методот за наоѓање на инверзната матрица што произлегува од формулата (методот на придружната матрица), постои и метод за наоѓање на инверзната матрица, наречен метод на елементарни трансформации.

Елементарни трансформации на матрицата

Следните трансформации се нарекуваат елементарни трансформации на матрицата:

1) пермутација на редови (колони);

2) множење на ред (колона) со не нула број;

3) додавање на елементите на редот (колоната) на соодветните елементи на друг ред (колона), претходно помножени со одреден број.

За да ја пронајдеме матрицата A -1, ние конструираме правоаголна матрица B \u003d (A | E) на налози (n; 2n), доделувајќи to на матрицата A на десната страна идентитетска матрица E преку линијата на поделба:

Да погледнеме еден пример.

Користејќи го методот на елементарни трансформации, пронајдете А -1 ако

Решение. Дозволете ни да ја формираме матрицата Б:

Да ги означиме редовите на матрицата B со α 1, α 2, α 3. Дозволете ни да ги извршиме следните трансформации на редовите на матрицата Б.

Дефиниција 1: матрицата се нарекува дегенерирана ако нејзината детерминанта е нула.

Дефиниција 2: матрицата се нарекува неродена ако нејзината детерминанта не е нула.

Матрицата "А" се нарекува инверзна матрицаако е исполнет условот A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (идентитетска матрица).

Квадратната матрица е превртена само ако не е дегенерирана.

Шема за пресметување на инверзна матрица:

1) Пресметај ја детерминантата на матрицата „А“ ако ∆ A \u003d 0, тогаш инверзната матрица не постои.

2) Пронајдете ги сите алгебарски комплементи на матрицата „А“.

3) Создадете матрица на алгебарски комплементи (Aij)

4) Транспонирајте ја матрицата на алгебарски комплементи (Aij) T

5) Помножете ја транспонираната матрица со обратна од детерминантата на оваа матрица.

6) Проверете:

На прв поглед, може да изгледа дека е тешко, но всушност, сè е многу едноставно. Сите решенија се базираат на едноставни аритметички операции, главната работа кога одлучувате е да не се мешате со знаците "-" и "+" и да не ги изгубите.

Сега да решиме практична задача заедно со вас со пресметување на инверзната матрица.

Задача: пронајдете ја инверзната матрица „А“ прикажана на сликата подолу:

Ние решаваме сè точно како што е наведено во планот за пресметка на инверзната матрица.

1. Првото нешто што треба да направите е да ја пронајдете детерминантата на матрицата "А":

Објаснување:

Ние го поедноставивме нашиот квалификант со искористување на неговата основна функционалност. Прво, во редовите 2 и 3 ги додадовме елементите од првиот ред, помножени со еден број.

Второ, ги сменивме колоните 2 и 3 од детерминантата, и според неговите својства, го сменивме знакот пред него.

Трето, го иселивме заедничкиот фактор (-1) од втората линија, со што повторно го сменивме знакот и стана позитивен. Ние исто така ја поедноставивме линијата 3 исто како на самиот почеток на примерот.

Добивме триаголна одредница, во која елементите под дијагоналата се еднакви на нула, а според својството 7, е еднакво на производот на елементите на дијагоналата. Како резултат, добивме ∆ A \u003d 26, па оттука и инверзната постои.

A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

3. Следниот чекор е да составиме матрица од добиените додатоци:

5. Помножете ја оваа матрица со обратна страна на детерминантата, односно со 1/26:

6. Па, сега треба само да провериме:

За време на проверката, ја добивме матрицата на идентитет, затоа, решението беше извршено апсолутно правилно.

2 начин да се пресмета инверзната матрица.

1. Елементарна трансформација на матрицата

2. Инверзна матрица преку елементарен трансформатор.

Елементарната трансформација на матрицата вклучува:

1. Множење на низа со не нула број.

2. Додавање на која било линија друга низа помножена со број.

3. Замена на редовите на матрицата.

4. Применувајќи синџир на елементарни трансформации, добиваме друга матрица.

И -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2.А -1 * А \u003d Е

Да разгледаме практичен пример со реални броеви.

Задачата: Пронајдете ја инверзната матрица.

Одлука:

Ајде да провериме:

Мало појаснување за решението:

Прво, ги преуредивме редовите 1 и 2 од матрицата, а потоа го помноживме првиот ред со (-1).

После тоа, првиот ред беше помножен со (-2) и се додаде во вториот ред на матрицата. Потоа го помноживме 2-риот ред со 1/4.

Последната фаза на трансформацијата беше множење на втората линија со 2 и додавање од првата. Како резултат, ја имаме матрицата на идентитетот лево, затоа, инверзната е матрицата десно.

По проверка, се уверивме дека решението е точно.

Како што можете да видите, пресметувањето на инверзната матрица е многу лесно.

Како заклучок на ова предавање, би сакал да посветам извесно време на својствата на таквата матрица.

АЛГЕБРАИЧНИ КОМПОНЕНТИ И МАЛОЛНИЦИ

Дозволете ни да имаме детерминанта на третиот ред: .

Малолетничкашто одговара на овој елемент ај детерминанта на третиот ред, се нарекува детерминанта на вториот ред, добиена од дадената со бришење на редот и колоната на пресекот на кои се наоѓа дадениот елемент, т.е. јас-th линија и јта колона. Малолетници што одговараат на даден елемент ај ќе означи М иј.

на пример, малолетник М 12што одговара на елементот а 12, ќе има одредница , што се добива со бришење на 1-виот ред и 2-та колона од дадената одредница.

Така, формулата што ја дефинира детерминантата од третиот ред покажува дека оваа одредница е еднаква на збирот на производите на елементите од 1-виот ред од соодветните малолетни лица; малолетникот што одговара на елементот а 12, земени со знак „-“, т.е. можеме да го напишеме тоа

.

(1)

Слично на тоа, можеме да воведеме дефиниции за малолетници за детерминанти од втор и повисок ред.

Да воведеме уште еден концепт.

Алгебарски комплементелемент ај детерминанта се нарекува нејзина минорна М ијпомножено со (–1) i + j.

Алгебарски додаток на елемент ај означен А иј.

Од дефиницијата, добиваме дека врската помеѓу алгебарскиот комплемент на елементот и неговиот помал се изразува со еднаквоста А иј \u003d (–1) i + j М иј.

На пример,

Пример. Дадена е детерминанта. Да најде А 13, А 21, А 32.

Лесно е да се види дека со употреба на алгебарски комплементи на елементи, формулата (1) може да се напише во форма:

Слично на оваа формула, можете да го добиете распаѓањето на детерминантата во елементите на кој било ред или колона.

На пример, факторизацијата на детерминантата од страна на елементите од 2-та линија може да се добие на следниов начин. Според својството 2 на детерминантата, имаме:

Дозволете ни да ја прошириме добиената одредница според елементите од 1-виот ред.

.

(2)

Од тука оттогаш детерминанти од втор ред во формулата (2) се малолетници на елементите а 21, 22, 23... Така, т.е. го добивме распаѓањето на детерминантата во елементите од 2-ри ред.

Слично на тоа, можете да добиете факторизација на детерминантата според елементите од третиот ред. Користејќи го својството 1 на детерминантите (за транспонирање), може да се покаже дека слични проширувања важат и за проширувањето во однос на елементите на колоната.

Така, следнава теорема е точна.

Теорема (за проширување на детерминанта во даден ред или колона). Детерминантата е еднаква на збирот на производите на елементите од кој било нејзин ред (или колона) според нивните алгебарски комплементи.

Сето горенаведено важи и за детерминанти од кој било повисок ред.

Примери.

Обратен матрикс

Концептот на инверзна матрица е воведен само за квадратни матрици.

Ако А. Значи, е квадратна матрица обратна за него, матрицата е матрица означена А -1 и задоволување на условот. (Оваа дефиниција се воведува по аналогија со множење на броеви)

Во оваа статија, ќе зборуваме за матричниот метод за решавање на систем на линеарни алгебарски равенки, ќе ја пронајдеме нејзината дефиниција и ќе дадеме примери за решението.

Дефиниција 1

Метод на инверзна матрица е метод што се користи за решавање на SLAE во случај бројот на непознати да биде еднаков на бројот на равенки.

Пример 1

Пронајдете решение за систем на n линеарни равенки со n непознати:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. ... ... + a 1 n x n \u003d b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. ... ... + a n n x n \u003d b n

Снимање на матрицата : A × X \u003d B

каде А \u003d а 11 а 12 ⋯ а 1 n на 21 а 22 ⋯ на 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица на системот.

X \u003d x 1 x 2 ⋮ x n - колона на непознати,

B \u003d b 1 b 2 ⋮ b n - колона на слободни коефициенти.

Од равенката што ја добивме, треба да искажете X. За да го направите ова, треба да ги помножите двете страни на равенката на матрицата лево со A - 1:

A - 1 × A × X \u003d A - 1 × Б.

Бидејќи A - 1 × A \u003d E, тогаш E × X \u003d A - 1 × B или X \u003d A - 1 × B.

Коментар

Инверзната матрица на матрицата А има право да постои само доколку условот d e t A не е еднаков на нула. Затоа, при решавање на SLAE со методот на инверзна матрица, пред сè, d e t A.

Во случај кога d e t A не е еднаков на нула, системот има само едно решение: користење на методот на обратна матрица. Ако d e t А \u003d 0, тогаш системот не може да се реши со овој метод.

Пример за решавање на систем на линеарни равенки со употреба на методот на инверзна матрица

Пример 2

Ние го решаваме SLAE со методот на инверзна матрица:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 \u003d 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 \u003d 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 \u003d 2

Како да се реши?

• Ние го пишуваме системот во форма на равенка на матрицата A X \u003d B, каде

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Изразуваме од оваа равенка X:

• Пронајдете детерминанта на матрицата А:

det A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t А не е еднакво на 0, затоа методот на решение за инверзна матрица е погоден за овој систем.

• Пронајдете ја инверзната матрица А - 1 користејќи ја матрицата на унијата. Ние ги пресметуваме алгебарските комплементи A i j на соодветните елементи на матрицата A:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Ја запишуваме матрицата на унијата A *, која е составена од алгебарски комплементи на матрицата А:

A * \u003d - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Ја пишуваме инверзната матрица според формулата:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Ние ја множиме инверзната матрица А - 1 со колоната слободни термини Б и го добиваме решението за системот:

X \u003d A - 1 × B \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

Одговор : x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1

Ако забележите грешка во текстот, ве молиме изберете ја и притиснете Ctrl + Enter