Сите формули на тема скаларен производ на вектори. Како да се најде скаларниот производ на вектори. Дефиниција на скаларен производ на вектори во однос на координати

Скаларен производвектори (во натамошниот текст СП). Драги пријатели! Испитот по математика опфаќа група задачи за решавање вектори. Веќе разгледавме некои проблеми. Можете да ги видите во категоријата „Вектори“. Во принцип, теоријата на вектори е едноставна, главната работа е да ја проучуваме доследно. Пресметките и дејствата со вектори во училишниот курс по математика се едноставни, формулите не се комплицирани. Погледни во . Во оваа статија, ќе ги анализираме задачите за заедничко вложување вектори (вклучени во испитот). Сега „потопување“ во теоријата:

Х За да ги пронајдете координатите на векторот, треба да одземете од координатите на неговиот крајсоодветните координати на неговиот почеток

И понатаму:

*Векторската должина (модул) е дефинирана на следниов начин:

Овие формули мора да се запаметат!!!

Да го прикажеме аголот помеѓу векторите:

Јасно е дека може да варира од 0 до 180 0(или во радијани од 0 до Пи).

Можеме да извлечеме некои заклучоци за знакот на скаларниот производ. Должините на векторите се позитивни, очигледно. Значи, знакот на скаларниот производ зависи од вредноста на косинусот на аголот помеѓу векторите.

Можни случаи:

1. Ако аголот помеѓу векторите е остар (од 0 0 до 90 0), тогаш косинусот на аголот ќе има позитивна вредност.

2. Ако аголот помеѓу векторите е тап (од 90 0 до 180 0), тогаш косинусот на аголот ќе има негативна вредност.

*При нула степени, односно кога векторите имаат иста насока, косинусот е еднаков на еден и, соодветно, резултатот ќе биде позитивен.

На 180 o, односно кога векторите имаат спротивни насоки, косинусот е еднаков на минус еден,а резултатот ќе биде негативен.

Сега ВАЖНАТА ТОЧКА!

На 90 o, односно кога векторите се нормални еден на друг, косинусот е нула, а оттука и заедничкото вложување е нула. Овој факт (последица, заклучок) се користи при решавање на многу проблеми каде што зборуваме релативна положбавектори, вклучително и во задачите вклучени во отворената банка на задачи по математика.

Ја формулираме изјавата: скаларниот производ е еднаков на нула ако и само ако дадените вектори лежат на нормални линии.

Значи, формулите за SP вектори се:

Ако се познати координатите на векторите или координатите на точките на нивните почетоци и краеви, тогаш секогаш можеме да го најдеме аголот помеѓу векторите:

Размислете за задачите:

27724 Најдете го внатрешниот производ на векторите a и b .

Можеме да го најдеме скаларниот производ на вектори користејќи една од двете формули:

Аголот помеѓу векторите е непознат, но лесно можеме да ги најдеме координатите на векторите и потоа да ја користиме првата формула. Бидејќи почетоците на двата вектори се совпаѓаат со потеклото, координатите на овие вектори се еднакви со координатите на нивните краеви, т.е.

Како да се најдат координатите на векторот е опишано во.

Ние пресметуваме:

Одговор: 40

Најдете ги координатите на векторите и користете ја формулата:

За да се најдат координатите на векторот, потребно е да се одземат соодветните координати на неговиот почеток од координатите на крајот на векторот, што значи

Го пресметуваме скаларниот производ:

Одговор: 40

Најдете го аголот помеѓу векторите a и b. Дајте го вашиот одговор во степени.

Нека координатите на векторите имаат форма:

За да го пронајдеме аголот помеѓу векторите, ја користиме формулата за скаларен производ на вектори:

Косинусот на аголот помеѓу векторите:

Оттука:

Координатите на овие вектори се:

Ајде да ги приклучиме во формулата:

Аголот помеѓу векторите е 45 степени.

Одговор: 45

Во случај на проблем со рамнина, скаларниот производ на векторите a = (a x ; a y ) и b = (b x ; b y ) може да се најде со помош на следнава формула:

a b = a x b x + a y b y

Формулата за скаларен производ на вектори за просторни проблеми

Во случај на просторен проблем, скаларниот производ на векторите a = (a x ; a y ; a z ) и b = (b x ; b y ; b z ) може да се најде со помош на следнава формула:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Точка производ формула на n-димензионални вектори

Во случај на n-димензионален простор, скаларниот производ на векторите a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) и b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) може да се најде со користење следнава формула:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Својства на точка производ на вектори

1. Скаларниот производ на вектор со самиот себе е секогаш поголем или еднаков на нула:

2. Скаларниот производ на вектор со себе е еднаков на нула ако и само ако векторот е еднаков на нултиот вектор:

a a = 0<=>a = 0

3. Скаларниот производ на вектор сам по себе е еднаков на квадратот на неговиот модул:

4. Операцијата на скаларно множење е комуникативна:

5. Ако скаларниот производ на два ненулта вектори е еднаков на нула, тогаш овие вектори се ортогонални:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Операцијата на скаларно множење е дистрибутивна:

(a + b) c = a c + b c

Примери на задачи за пресметување на скаларен производ на вектори

Примери за пресметување на скаларен производ на вектори за рамни проблеми

Најдете го скаларниот производ на векторите a = (1; 2) и b = (4; 8).

Решение: a b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

Најдете го скаларниот производ на векторите a и b ако нивните должини |a| = 3, |b| = 6, а аголот помеѓу векторите е 60˚.

Решение: a · b = |a| |б| cos α = 3 6 cos 60˚ = 9.

Најдете го внатрешниот производ на векторите p = a + 3b и q = 5a - 3 b ако нивните должини |a| = 3, |b| = 2, а аголот помеѓу векторите a и b е 60˚.

Решение:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |а| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Пример за пресметување на скаларен производ на вектори за просторни проблеми

Најдете го скаларниот производ на векторите a = (1; 2; -5) и b = (4; 8; 1).

Решение: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Пример за пресметување на производ со точки за n-димензионални вектори

Најдете го скаларниот производ на векторите a = (1; 2; -5; 2) и b = (4; 8; 1; -2).

Решение: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Вкрстен производ на вектори и вектор се нарекува трет вектор , дефинирано како што следува:

2) нормално, нормално. (1"")

3) векторите се ориентирани на ист начин како и основата на целиот простор (позитивно или негативно).

Назначи: .

физичко значењевекторски производ

е моментот на сила во однос на точката О; е радиус е векторот на точката на примена на сила, тогаш

згора на тоа, ако се пренесе во точката О, тогаш тројката мора да биде ориентирана како вектор на основата.

1. Дефиниција и едноставни својства. Да ги земеме не-нула вектори a и b и да ги ставиме настрана од произволна точка O: OA = a и OB = b. Вредноста на аголот AOB се нарекува агол помеѓу векторите a и b и се означува (а, б). Ако барем еден од двата вектори е нула, тогаш аголот меѓу нив, по дефиниција, се смета за правилен. Забележете дека, по дефиниција, аголот помеѓу векторите е најмалку 0 и најмногу . Покрај тоа, аголот помеѓу два вектори не-нула е еднаков на 0 ако и само ако овие вектори се истонасочни и еднакви на ако и само ако се во спротивни насоки.

Да провериме дали аголот помеѓу векторите не зависи од изборот на точката O. Ова е очигледно ако векторите се колинеарни. Во спротивно, издвојуваме произволна точка О 1 вектори О 1 А 1 = а и о 1 ВО 1 = b и забележете дека триаголниците AOB и A 1 ЗА 1 ВО 1 се еднакви на три страни, бидејќи |OA| = |О 1 А 1 | = |а|, |ОБ| = |О 1 ВО 1 | = |b|, |AB| = |А 1 ВО 1 | = |b–а|. Според тоа, аглите AOB и A 1 ЗА 1 ВО 1 се еднакви.

Сега можеме да ја дадеме главната работа во овој пасус

(5.1) Дефиниција. Скаларниот производ на два вектори a и b (означен со ab) е бројот 6 , еднаков на производот од должините на овие вектори и косинусот на аголот помеѓу векторите. Накратко кажано:

ab = |a||b|cos (а, б).

Операцијата за наоѓање на скаларниот производ се нарекува скаларно множење на вектори. Скаларниот производ aa на вектор со себе се нарекува скаларен квадрат на овој вектор и е означен со 2 .

(5.2) Скаларниот квадрат на векторот е еднаков на квадратот на неговата должина.

 Ако |а|  0, тогаш (а, а) = 0, од каде а 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Ако a = 0, тогаш a 2 = |а| 2 = 0. 

(5.3) Нееднаквост на Коши. Модулот на скаларниот производ на два вектори не го надминува производот на модули на фактори: |ab| |а||б|. Во овој случај, еднаквост се постигнува ако и само ако векторите a и b се колинеарни.

 По дефиниција |ab| = ||а||б|кос (а, б)| = |a||b||cos (а, б)|  |а||б. Ова ја докажува самата нееднаквост на Коши. Сега да забележиме. дека за ненулта вектори a и b еднаквост во него се постигнува ако и само ако |cos (а, б)| = 1, т.е. на (а, б) = 0 или (а, б) =  . Последново е еквивалентно на фактот дека векторите a и b се ко-насочени или спротивно насочени, т.е. колинеарна. Ако барем еден од векторите a и b е нула, тогаш тие се колинеарни и |ab| = |а||б| = 0. 

2. Основни својства на скаларното множење. Тие го вклучуваат следново:

(CS1) ab = ba (комутативност);

(CS2) (xa)b = x(ab) (асоцијативност);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (дистрибутивноста).

Комутативноста овде е очигледна, затоа што ab =  ба. Асоцијативноста за x = 0 е исто така очигледна. Ако x > 0 тогаш

(ха) б = |ха||б|кос (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (а, б) = x (ab),

за (xa, b) = (а,б) (од конасочувањето на векторите xa и a - Сл. 21). Ако x< 0, тогаш

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (а,б)) = x|a||b|cos (а, б) = x (ab),

за (xa, b) = –  (а,б) (од спротивна насока на векторите xa и a - Сл.22). Така се докажува и асоцијативноста.

Докажувањето на дистрибутивноста е потешко. За ова ни требаат такви

(5.4) Лема. Нека a е ненула вектор паралелен на правата l и b произволен вектор. Потоа ортогоналната проекцијаб„ од векторот b до правата l е еднаква на
.



Ако b = 0, тогашб" = 0 и ab = 0, така што во овој случај лемата е точна. Во следново, ќе претпоставиме дека векторот b" не е нула. Во овој случај, од произволна точка O на правата линија l, ги издвојуваме векторите OA = a и OB = b, а исто така ја испуштаме нормалната BB "од точката B на правата линија l. По дефиницијаОБ" = б„И (а, б) =  AOW. Означи AOB преку и докажете ја лемата посебно за секој од следните три случаи:

1)  <  /2. Потоа векторите a и ко-режија (сл. 23) и

б" = =
=
.

2)  >  /2. Потоа векторите a иб„спротивно насочен (сл. 24) и

б" = – = –
= .

3)  =  /2. Потоаб" = 0 и ab = 0, од кадеб" =
= 0. 

Сега ја докажуваме дистрибутивноста на (CS3). Очигледно е дали векторот a е нула. Нека а  0. Потоа повлечете линија l || а, и означете соб„Ив" ортогонални проекции на векторите b и c на него и низг"да биде ортогонална проекција на векторот d = b + c врз неа. Според теорема 3.5г" = б"+ в„. Применувајќи ја лемата 5.4 на последното равенство, ја добиваме еднаквоста
=
. Помножувајќи го скаларно со a, го наоѓаме тоа 2 =
, од каде ad = ab+ac, што требаше да се докаже.

Својствата на скаларното множење на вектори докажани од нас се слични на соодветните својства на множење на броеви. Но, не сите својства на множење на броеви се пренесуваат на скаларно множење на вектори. Еве типични примери:

) Ако ab = 0, тогаш тоа не значи дека a = 0 или b = 0. Пример: два вектори не-нула што формираат прав агол.

2) Ако ab = ac, тогаш тоа не значи дека b = c, дури и ако векторот a е не-нула. Пример: b и c се два различни вектори со иста должина, кои формираат еднакви агли со векторот a (сл. 25).

3) Не е точно дека секогаш a(bc) = (ab)c: ако само затоа што валидноста на таквата еднаквост за bc, ab 0 имплицира дека векторите a и c се колинеарни.

3. Ортогоналност на вектори. Два вектори се нарекуваат ортогонални ако аголот меѓу нив е правилен. Ортогоналноста на векторите е означена со иконата .

Кога го дефиниравме аголот помеѓу векторите, се согласивме да го сметаме аголот помеѓу векторот нула и кој било друг вектор како права линија. Според тоа, нултиот вектор е ортогонален на кој било. Овој договор ни овозможува да го докажеме тоа

(5.5) Знак за ортогоналност на два вектори. Два вектори се ортогонални ако и само ако нивниот производ со точки е 0.

 Нека a и b се произволни вектори. Ако барем еден од нив е нула, тогаш тие се ортогонални, а нивниот скаларен производ е еднаков на 0. Така, во овој случај теоремата е вистинита. Сега да претпоставиме дека двата дадени вектори се не-нула. По дефиниција, ab = |a||b|cos (а, б). Бидејќи по наша претпоставка бројките |a| и |b| не се еднакви на 0, тогаш ab = 0 cos (а, б) = 0  (а, б) = /2, што требаше да се докаже.

Равенството ab = 0 често се зема како дефиниција за ортогоналноста на векторите.

(5.6) Последица. Ако векторот a е ортогонален на секој од векторите a 1 , …, А П , тогаш тој е исто така ортогонален на која било од нивните линеарни комбинации.

 Доволно е да се забележи дека од еднаквоста аа 1 = … = аа П = 0 имплицира еднаквост a(x 1 А 1 + … +x П А П ) = x 1 (ах 1 ) + … + x П (ах П ) = 0. 

Од заклучокот 5.6 лесно може да се изведе школскиот критериум за нормалност на права и рамнина. Навистина, нека некоја права MN е нормална на две права што се пресекуваат AB и AC. Тогаш векторот MN е ортогонален на векторите AB и AC. Да земеме која било права линија DE во рамнината ABC. Векторот DE е компланарен со неколинеарните вектори AB и AC, и затоа се шири во нив. Но, тогаш тој е и ортогонален на векторот MN, односно правите MN и DE се нормални. Излегува дека правата MN е нормална на која било права од рамнината ABC, што требаше да се докаже.

4. Ортонормални основи. (5.7) Дефиниција. Основата на векторскиот простор се вели дека е ортонормална ако, прво, сите негови вектори имаат единечна должина и, второ, кои било два од неговите вектори се ортогонални.

Векторите на ортонормална основа во тродимензионалниот простор обично се означуваат со буквите i, j и k, а на векторската рамнина со буквите i и j. Земајќи го предвид знакот за ортогоналност на два вектори и еднаквоста на скаларниот квадрат на векторот со квадратот на неговата должина, условите за ортонормалност за основата (i,j,k) на просторот V 3 може да се напише вака:

(5.8) и 2 = ј 2 = k 2 = 1, ij = ik = jk = 0,

и основата (i,j) на векторската рамнина како што следува:

(5.9) и 2 = ј 2 = 1, ij = 0.

Нека векторите a и b ги имаат во ортонормална основа (i,j,k) просторите V 3 координати (а 1 , А 2 , А 3 ) и (б 1 б 2 , б 3 ) соодветно. Потоаab = (А 1 јас+А 2 j+А 3 и) (б 1 јас+б 2 j+b 3 к) = а 1 б 1 јас 2 +а 2 б 2 ј 2 +а 3 б 3 к 2 +а 1 б 2 иј+а 1 б 3 ик+а 2 б 1 џи+а 2 б 3 јк+а 3 б 1 ки+а 3 б 2 kj = а 1 б 1 +а 2 б 2 +а 3 б 3 . Ова е како формулата за скаларниот производ на векторите a (a 1 , А 2 , А 3 ) и б(б 1 , б 2 , б 3 ) дадени со нивните координати во ортонормалната основа на просторот V 3 :

(5.10) ab = a 1 б 1 +а 2 б 2 +а 3 б 3 .

За вектори a(a 1 , А 2 ) и б(б 1 , б 2 ) дадени по нивните координати во ортонормална основа на векторската рамнина, ја има формата

(5.11) ab = a 1 б 1 +а 2 б 2 .

Да го замениме b = a во формулата (5.10). Излегува дека во ортонормална основа а 2 = а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 . Бидејќи а 2 = |а| 2 , добиваме таква формула за наоѓање на должината на векторот a (а 1 , А 2 , А 3 ) дефинирани со неговите координати во ортонормалната основа на просторот V 3 :

(5.12) |а| =
.

На векторската рамнина, врз основа на (5.11), таа добива форма

(5.13) |а| =
.

Заменувајќи ги b = i, b = j, b = k во формулата (5.10), добиваме уште три корисни еднаквости:

(5.14) ai = a 1 , ај = а 2 , ак = а 3 .

Едноставноста на координатните формули за пронаоѓање на скаларниот производ на векторите и должината на векторите е главната предност на ортонормалните бази. За неортонормални бази, овие формули се генерално кажано неточни, а нивната примена во овој случај е груба грешка.

5. Косинуси на насока. Земете ги во ортонормална основа (i,j,k) просторите V 3 вектор a(a 1 , А 2 , А 3 ). Потоаai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (а, јас).Од друга страна, ai = a 1 според формулата 5.14. Излегува дека

(5.15) а 1 = |a|cos (а, јас).

и, исто така,

А 2 = |a|cos (а, ј) и 3 = |a|cos (а, к).

Ако векторот a е единица, овие три еднаквости добиваат особено едноставна форма:

(5.16) А 1 = коз (а, јас),А 2 = коз (а, ј),А 3 = коз (а, к).

Косинусите на аглите формирани од вектор со вектори на ортонормална основа се нарекуваат косинуси на насоката на овој вектор во дадената основа. Како што покажуваат формулите 5.16, координатите на единечниот вектор во ортонормална основа се еднакви на неговите косинуси на насоката.

Од 5.15 следува дека а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |а| 2 (кос 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (а, к)). Од друга страна, А 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |а| 2 . Излегува дека

(5.17) збирот на косинусите на правецот на квадрат на ненулта вектор е еднаков на 1.

Овој факт е корисен за решавање на некои проблеми.

(5.18) Проблем. Дијагоналата на правоаголен паралелепипед се формира со два негови рабови кои излегуваат од исти агли на теме од 60 . Каков агол формира со третиот раб што излегува од ова теме?

 Размислете за ортонормална основа на просторот V 3 , чии вектори се претставени со рабовите на паралелепипедот што излегува од даденото теме. Бидејќи дијагоналниот вектор формира агли од 60 со два вектори од оваа основа , квадратите на два од неговите три косинуси на насока се еднакви на cos 2 60  = 1/4. Според тоа, квадратот на третиот косинус е 1/2, а самиот овој косинус е 1/
. Значи саканиот агол е 45 . 

Агол помеѓу вектори

Размислете за два дадени вектори $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$. Да ги оставиме настрана векторите $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ и $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ од произволно избраната точка $O$, тогаш аголот $AOB$ се нарекува аголот помеѓу векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ (сл. 1).

Слика 1.

Забележете овде дека ако векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ се конасочни, или еден од нив е нула вектор, тогаш аголот помеѓу векторите е еднаков на $0^0$.

Нотација: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Концептот на скаларниот производ на вектори

Математички, оваа дефиниција може да се напише на следниов начин:

Скаларниот производ може да биде нула во два случаи:

Ако еден од векторите ќе биде нула вектор (Од тогаш неговата должина е нула).

Ако векторите се меѓусебно нормални (т.е. $cos(90)^0=0$).

Забележете исто така дека внатрешниот производ е поголем од нула ако аголот помеѓу овие вектори е остар (бидејќи $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , и помал од нула ако аголот помеѓу овие вектори е тап (бидејќи $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Концептот на скаларен квадрат е поврзан со концептот на скаларен производ.

Дефиниција 2

Скаларниот квадрат на векторот $\overrightarrow(a)$ е скаларниот производ на овој вектор со самиот себе.

Добиваме дека скаларниот квадрат е

Пресметка на скаларниот производ по координати на вектори

Покрај стандардниот начин на пронаоѓање на вредноста на производ со точки, што произлегува од дефиницијата, постои и друг начин.

Ајде да го разгледаме.

Нека векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ имаат координати $\left(a_1,b_1\right)$ и $\left(a_2,b_2\right)$, соодветно.

Теорема 1

Скаларниот производ на векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ е еднаков на збирот на производите на соодветните координати.

Математички, ова може да се напише на следниов начин

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Доказ.

Теоремата е докажана.

Оваа теорема има неколку импликации:

Заклучок 1: Векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ се нормални ако и само ако $a_1a_2+b_1b_2=0$

Последица 2: Косинусот на аголот помеѓу векторите е $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Својства на точка производ на вектори

За кои било три вектори и реален број $k$, точно е следново:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Ова својство произлегува од дефиницијата за скаларен квадрат (Дефиниција 2).

закон за поместување:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Ова својство произлегува од дефиницијата за внатрешниот производ (Дефиниција 1).

Дистрибутивно право:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \крај (наброј)

Според теорема 1, имаме:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\десно)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\десно)a_3+\left(b_1+b_2\десно)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Комбиниран закон:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \крај (наброј)

Според теорема 1, имаме:

\[\лево(k\overrightarrow(a)\десно)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\десно)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Пример за проблем за пресметување на скаларен производ на вектори

Пример 1

Најдете го внатрешниот производ на векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ ако $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ и $\left|\overrightarrow(b)\десно| = 2$, а аголот помеѓу нив е $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Решение.

Користејќи ја дефиницијата 1, добиваме

За $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3) \]

За $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2) \]

За $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\десно)\ )=6\cdot 0=0\]

За $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ десно)=-3\sqrt(2)\]

Ако во задачата и должините на векторите и аголот меѓу нив се претставени „на сребрен послужавник“, тогаш состојбата на проблемот и неговото решение изгледаат вака:

Пример 1Дадени се вектори. Најдете го скаларниот производ на вектори ако нивните должини и аголот меѓу нив се претставени со следните вредности:

Валидна е и друга дефиниција, која е целосно еквивалентна на дефиницијата 1.

Дефиниција 2. Скаларниот производ на вектори е број (скаларен) еднаков на производот од должината на еден од овие вектори и проекцијата на друг вектор на оската одредена од првиот од овие вектори. Формула според дефиницијата 2:

Ќе го решиме проблемот користејќи ја оваа формула по следната важна теоретска точка.

Дефиниција на скаларен производ на вектори во однос на координати

Истиот број може да се добие ако помножените вектори се дадени со нивните координати.

Дефиниција 3.Производот со точки на вектори е бројот еднаков на збирот на парните производи на нивните соодветни координати.

На површината

Ако два вектори и во рамнината се дефинирани со нивните два Декартови координати

тогаш точкастиот производ на овие вектори е еднаков на збирот на парните производи на нивните соодветни координати:

Пример 2Најдете ја бројната вредност на проекцијата на векторот на оската паралелна на векторот.

Решение. Го наоѓаме скаларниот производ на вектори со додавање на парните производи на нивните координати:

Сега треба да го изедначиме добиениот скаларен производ со производот од должината на векторот и проекцијата на векторот на оската паралелна на векторот (во согласност со формулата).

Ја наоѓаме должината на векторот како Квадратен коренод збирот на квадратите на неговите координати:

Напиши равенка и реши ја:

Одговори. Посакуваната нумеричка вредност е минус 8.

Во вселената

Ако два вектори и во просторот се дефинираат со нивните три Декартови правоаголни координати

тогаш скаларниот производ на овие вектори е исто така еднаков на збирот на парните производи на нивните соодветни координати, само што веќе има три координати:

Задачата да се најде скаларниот производ на разгледуваниот начин е по анализа на својствата на скаларниот производ. Бидејќи во задачата ќе биде неопходно да се одреди каков агол формираат множените вектори.

Својства на точка производ на вектори

Алгебарски својства

1. (комутативно својство: вредноста на нивниот скаларен производ не се менува од менувањето на местата на множените вектори).

2. (асоцијативно својство во однос на нумерички фактор: скаларниот производ на вектор помножен со некој фактор и друг вектор е еднаков на скаларниот производ на овие вектори помножен со истиот фактор).

3. (дистрибутивно својство во однос на збирот на вектори: скаларниот производ од збирот на два вектори од третиот вектор е еднаков на збирот на скаларните производи на првиот вектор за третиот вектор и вториот вектор од третиот вектор).

4. (скаларен квадрат на вектор поголем од нула) ако е ненулти вектор, и , ако е нула вектор.

Геометриски својства

Во дефинициите на операцијата што се проучува, веќе го допревме концептот на агол помеѓу два вектори. Време е да се разјасни овој концепт.

На сликата погоре, видливи се два вектори, кои се доведени до заеднички почеток. И првото нешто на што треба да обрнете внимание: има два агли помеѓу овие вектори - φ 1 И φ 2 . Кој од овие агли се појавува во дефинициите и својствата на скаларниот производ на вектори? Збирот на разгледаните агли е 2 π и затоа косинусите на овие агли се еднакви. Дефиницијата за производ со точки го вклучува само косинусот на аголот, а не вредноста на неговиот израз. Но, во имотот се зема предвид само еден агол. И ова е оној од двата агли што не надминува π односно 180 степени. Овој агол е прикажан на сликата како φ 1 .

1. Се повикуваат два вектори ортогонални И аголот помеѓу овие вектори е прав (90 степени или π /2 ) ако скаларниот производ на овие вектори е нула :

Ортогоналноста во векторската алгебра е нормалност на два вектори.

2. Сочинуваат два не-нула вектори остар агол (од 0 до 90 степени или, што е исто, помалку π точка производ е позитивен .

3. Сочинуваат два не-нула вектори тап агол (од 90 до 180 степени, или, што е исто - повеќе π /2 ) ако и само ако точка производ е негативен .

Пример 3Векторите се дадени во координати:

Пресметај ги производните точки од сите парови дадени вектори. Каков агол (акутен, десен, тап) формираат овие парови вектори?

Решение. Ќе пресметаме со собирање на производите на соодветните координати.

Добивме негативен број, па затоа векторите формираат тап агол.

Добивме позитивен број, така што векторите формираат остар агол.

Добивме нула, па векторите формираат прав агол.

Добивме позитивен број, така што векторите формираат остар агол.

За само-тестирање, можете да го користите онлајн калкулатор Точка производ на вектори и косинус на аголот меѓу нив .

Пример 4Со оглед на должината на два вектори и аголот меѓу нив:

Определи на која вредност на бројот векторите и се ортогонални (нормални).

Решение. Векторите ги множиме според правилото за множење на полиноми:

Сега да го пресметаме секој член:

Ајде да составиме равенка (равенство на производот на нула), да дадеме слични членови и да ја решиме равенката:

Одговор: ја добивме вредноста λ = 1,8 , при што векторите се ортогонални.

Пример 5Докажи дека векторот ортогонален (нормален) на векторот

Решение. За да ја провериме ортогоналноста, ги множиме векторите и како полиноми, заменувајќи го изразот даден во проблемската состојба наместо него:

За да го направите ова, треба да го помножите секој член (член) од првиот полином со секој член од вториот и да ги додадете добиените производи:

Како резултат на тоа, делот што се должи е намален. Се добива следниов резултат:

Заклучок: како резултат на множење добивме нула, затоа се докажува ортогоналноста (нормалноста) на векторите.

Решете го проблемот сами и потоа видете го решението

Пример 6Со оглед на должините на векторите и , и аголот помеѓу овие вектори е π /4. Одреди по која вредност μ вектори и се меѓусебно нормални.

Матричен приказ на скаларниот производ на вектори и производот на n-димензионални вектори

Понекогаш, за јасност, поволно е да се претстават два помножени вектори во форма на матрици. Тогаш првиот вектор е претставен како матрица на ред, а вториот - како матрица на колона:

Тогаш скаларниот производ на вектори ќе биде производ на овие матрици :

Резултатот е ист како оној добиен со методот што веќе го разгледавме. Добивме еден единечен број, а производот на матричната редица по матрицата-колона е исто така еден единствен број.

Во форма на матрица, погодно е да се претстави производот на апстрактни n-димензионални вектори. Така, производот на два четиридимензионални вектори ќе биде производ на матрица на ред со четири елементи со матрица од колона исто така со четири елементи, производот на два петдимензионални вектори ќе биде производ на матрица на ред со пет елементи со матрица на колони исто така со пет елементи итн.

Пример 7Најдете Производи со точки од парови вектори

користејќи матрична репрезентација.

Решение. Првиот пар вектори. Првиот вектор го претставуваме како матрица на ред, а вториот како матрица со колона. Го наоѓаме скаларниот производ на овие вектори како производ на матрицата на редови од матрицата на колоните:

Слично, го претставуваме вториот пар и наоѓаме:

Како што можете да видите, резултатите се исти како и за истите парови од примерот 2.

Агол помеѓу два вектори

Изведувањето на формулата за косинус на аголот помеѓу два вектори е многу убаво и концизно.

Да се изрази точкаст производ на вектори

(1)

В координатна форма, прво го наоѓаме скаларниот производ на ортите. Скаларниот производ на вектор со себе по дефиниција е:

Она што е напишано во формулата погоре значи: скаларниот производ на векторот со себе е еднаков на квадратот на неговата должина. Косинусот од нула е еднаков на еден, така што квадратот на секој правоаголник ќе биде еднаков на еден: