Математичко очекување на континуирана случајна променлива. Математичко очекување (Популација значи) е Модулот на математичко очекување

Математичкото очекување е распределба на веројатност на случајна променлива

Математичко очекување, дефиниција, математичко очекување на дискретни и континуирани случајни променливи, селективно, условно очекување, пресметка, својства, задачи, проценка на очекување, варијанса, функција на дистрибуција, формули, примери за пресметка

Проширете ја содржината

Собери содржина

Математичкото очекување е, дефиницијата

Еден од најважните концепти во математичката статистика и теоријата на веројатност, кој ја карактеризира дистрибуцијата на вредности или веројатности на случајна променлива. Обично се изразува како пондериран просек на сите можни параметри на случајна променлива. Широко се користи во техничката анализа, проучувањето на сериите на броеви, проучувањето на континуирани и долгорочни процеси. Тој е важен во проценката на ризиците, предвидувањето на индикаторите за цените при тргување на финансиските пазари и се користи во развојот на стратегии и методи на тактика на играта во теоријата на коцкање.

Математичкото очекување есредната вредност на случајна променлива, распределбата на веројатноста на случајна променлива се разгледува во теоријата на веројатност.

Математичкото очекување емерка на средната вредност на случајна променлива во теоријата на веројатност. Математичко очекување на случајна променлива xозначени M(x).

Математичкото очекување е

Математичкото очекување ево теоријата на веројатност, пондерираниот просек на сите можни вредности што може да ги земе оваа случајна променлива.

Математичкото очекување езбирот на производите на сите можни вредности на случајна променлива според веројатностите на овие вредности.

Математичкото очекување епросечната придобивка од одредена одлука, под услов таквата одлука да се разгледува во рамките на теоријата на големи броеви и долги растојанија.

Математичкото очекување ево теоријата на коцкање, износот на добивки што играчот може да ги заработи или изгуби, во просек, за секој облог. На јазикот на коцкарите, ова понекогаш се нарекува „работ на играчот“ (ако е позитивен за играчот) или „работ на куќата“ (ако е негативен за играчот).

Математичкото очекување еПроцент на добивка по победа помножен со просечна добивка минус веројатноста за загуба помножена со просечна загуба.

Математичко очекување на случајна променлива во математичката теорија

Една од важните нумерички карактеристики на случајната променлива е математичкото очекување. Да го воведеме концептот на систем на случајни променливи. Размислете за збир на случајни променливи кои се резултат на истиот случаен експеримент. Ако е една од можните вредности на системот, тогаш настанот одговара на одредена веројатност што ги задоволува аксиомите на Колмогоров. Функцијата дефинирана за сите можни вредности на случајни променливи се нарекува закон за заедничка дистрибуција. Оваа функција ви овозможува да ги пресметате веројатностите за какви било настани од. Конкретно, заедничкиот закон за распределба на случајни променливи и, кои земаат вредности од множеството и, е даден со веројатности.

Терминот „очекување“ беше воведен од Пјер Симон Маркиз де Лаплас (1795) и потекнува од концептот „очекувана вредност на исплатата“, кој првпат се појави во 17 век во теоријата на коцкањето во делата на Блез Паскал и Кристијан Хајгенс. . Сепак, првото целосно теоретско разбирање и евалуација на овој концепт го даде Пафнути Лвович Чебишев (средината на 19 век).

Законот за распределба на случајни нумерички променливи (функцијата на распределба и серијата на дистрибуција или густината на веројатноста) целосно го опишуваат однесувањето на случајната променлива. Но, во голем број проблеми доволно е да се знаат некои нумерички карактеристики на количината што се проучува (на пример, нејзината просечна вредност и можното отстапување од неа) за да се одговори на поставеното прашање. Главните нумерички карактеристики на случајните променливи се математичкото очекување, варијансата, режимот и медијаната.

Математичкото очекување на дискретна случајна променлива е збирот на производите на нејзините можни вредности и нивните соодветни веројатности. Понекогаш математичкото очекување се нарекува пондериран просек, бидејќи е приближно еднаков на аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајна променлива во голем број експерименти. Од дефиницијата за математичко очекување, произлегува дека неговата вредност не е помала од најмалата можна вредност на случајна променлива и не поголема од најголемата. Математичкото очекување на случајна променлива е неслучајна (константна) променлива.

Математичкото очекување има едноставно физичко значење: ако единична маса е поставена на права линија, ставајќи одредена маса во некои точки (за дискретна распределба) или „размачкајќи ја“ со одредена густина (за апсолутно континуирана распределба), тогаш точката што одговара на математичкото очекување ќе биде координатниот „центар на гравитација“ право.

Просечната вредност на случајната променлива е одредена бројка, која е, како што беше, нејзин „претставник“ и ја заменува во груби приближни пресметки. Кога велиме: „просечното време на работа на светилката е 100 часа“ или „просечната точка на удар е поместена во однос на целта за 2 m надесно“, со ова укажуваме одредена нумеричка карактеристика на случајна променлива која ја опишува нејзината локација на нумеричката оска, т.е. опис на позицијата.

Од карактеристиките на позицијата во теоријата на веројатност, најважна улога игра математичкото очекување на случајна променлива, што понекогаш се нарекува едноставно просечна вредност на случајна променлива.

Размислете за случајна променлива X, кој има можни вредности x1, x2, ..., xnсо веројатности p1, p2, ..., pn. Треба да ја карактеризираме со одреден број позицијата на вредностите на случајната променлива на оската x, земајќи го предвид фактот дека овие вредности имаат различни веројатности. За таа цел природно е да се користи таканаречениот „пондериран просек“ на вредностите xi, и секоја вредност xi за време на просекот треба да се земе предвид со „тежина“ пропорционална на веројатноста за оваа вредност. Така, ќе ја пресметаме средната вредност на случајната променлива X, што ќе го означиме M|X|:

Овој пондериран просек се нарекува математичко очекување на случајната променлива. Така, го воведовме во предвид еден од најважните концепти на теоријата на веројатност - концептот на математичко очекување. Математичкото очекување на случајна променлива е збирот на производите на сите можни вредности на случајната променлива и веројатностите на овие вредности.

Xпоради посебна зависност од аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајна променлива со голем број експерименти. Оваа зависност е од ист тип како и зависноста помеѓу фреквенцијата и веројатноста, имено: со голем број експерименти, аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајна променлива се приближува (конвергира по веројатност) на нејзиното математичко очекување. Од присуството на врска помеѓу фреквенцијата и веројатноста, како последица може да се заклучи постоењето на слична врска помеѓу аритметичката средина и математичкото очекување. Навистина, разгледајте случајна променлива X, се карактеризира со низа дистрибуции:

Нека се произведува Ннезависни експерименти, во секоја од кои вредноста Xдобива одредена вредност. Да претпоставиме дека вредноста x1се појави m1пати, вредност x2се појави m2пати, општо значење xiсе појави ми пати. Да ја пресметаме аритметичката средина на набљудуваните вредности на X, што, за разлика од математичкото очекување M|X|ќе означиме M*|X|:

Со зголемување на бројот на експерименти Нфреквенции пиќе се приближи (конвергираат во веројатноста) на соодветните веројатности. Затоа, аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајната променлива M|X|со зголемување на бројот на експерименти, ќе се приближи (конвергира по веројатност) до неговото математичко очекување. Врската помеѓу аритметичката средина и математичкото очекување формулирана погоре ја сочинува содржината на една од формите на законот за големи броеви.

Веќе знаеме дека сите форми на законот за големи броеви го наведуваат фактот дека одредени просеци се стабилни во текот на голем број експерименти. Овде зборуваме за стабилноста на аритметичката средина од низа набљудувања со иста вредност. Со мал број експерименти, аритметичката средина на нивните резултати е случајна; со доволно зголемување на бројот на експерименти, тој станува „речиси не случаен“ и, стабилизирајќи, се приближува кон константна вредност - математичкото очекување.

Својството на стабилност на просеците за голем број експерименти е лесно да се потврди експериментално. На пример, со мерење на кое било тело во лабораторија на точна вага, како резултат на мерењето добиваме нова вредност секој пат; за да се намали грешката на набљудување, го мериме телото неколку пати и ја користиме аритметичката средина на добиените вредности. Лесно е да се види дека со дополнително зголемување на бројот на експерименти (мерење), аритметичката средина реагира на ова зголемување се помалку и помалку, а со доволно голем број експерименти практично престанува да се менува.

Треба да се забележи дека најважната карактеристика на позицијата на случајна променлива - математичкото очекување - не постои за сите случајни променливи. Можно е да се направат примери на такви случајни променливи за кои математичкото очекување не постои, бидејќи соодветниот збир или интеграл се разминува. Меѓутоа, за пракса, ваквите случаи не се од значаен интерес. Обично, случајните променливи со кои се занимаваме имаат ограничен опсег на можни вредности и, се разбира, имаат очекување.

Покрај најважната од карактеристиките на позицијата на случајна променлива - математичкото очекување, понекогаш во пракса се користат и други карактеристики на позицијата, особено режимот и медијаната на случајната променлива.

Режимот на случајна променлива е неговата најверојатна вредност. Терминот „најверојатна вредност“, строго кажано, се однесува само на дисконтинуирани количини; за континуирана количина, режимот е вредноста на која густината на веројатноста е максимална. Сликите го прикажуваат режимот за дисконтинуирани и континуирани случајни променливи, соодветно.

Ако дистрибутивниот полигон (крива на дистрибуција) има повеќе од еден максимум, се вели дека распределбата е „полимодална“.

Понекогаш има дистрибуции кои имаат во средината не максимум, туку минимум. Ваквите распределби се нарекуваат „антимодални“.

Во општ случај, режимот и математичкото очекување на случајна променлива не се совпаѓаат. Во одреден случај, кога распределбата е симетрична и модална (т.е. има режим) и има математичко очекување, тогаш таа се совпаѓа со режимот и центарот на симетрија на распределбата.

Често се користи уште една карактеристика на позицијата - таканаречената медијана на случајна променлива. Оваа карактеристика обично се користи само за континуирани случајни променливи, иако формално може да се дефинира и за дисконтинуирана променлива. Геометриски, медијаната е апсциса на точката во која се преполовува областа ограничена со кривата на дистрибуција.

Во случај на симетрична модална дистрибуција, медијаната се совпаѓа со средната вредност и режимот.

Математичкото очекување е просечна вредност на случајна променлива - нумеричка карактеристика на распределбата на веројатноста на случајна променлива. На најопшт начин, математичкото очекување на случајна променлива X(w)се дефинира како интеграл на Лебез во однос на мерката на веројатност Рво оригиналниот простор за веројатност:

Математичкото очекување може да се пресмета и како интеграл на Лебез Xсо распределба на веројатност pxколичини X:

На природен начин, може да се дефинира концептот на случајна променлива со бесконечно математичко очекување. Типичен пример е времето на враќање во некои случајни прошетки.

Со помош на математичко очекување, се одредуваат многу нумерички и функционални карактеристики на распределбата (како математичко очекување на соодветните функции на случајна променлива), на пример, генерирачка функција, карактеристична функција, моменти од кој било редослед, особено дисперзија , коваријанса.

Математичкото очекување е карактеристика на локацијата на вредностите на случајна променлива (просечната вредност на нејзината дистрибуција). Во овој капацитет, математичкото очекување служи како некој „типичен“ параметар на дистрибуција и неговата улога е слична на улогата на статичкиот момент - координатата на центарот на гравитација на распределбата на масата - во механиката. Од другите локациски карактеристики, со помош на кои распределбата е опишана во општи поими - медијани, модуси, математичкото очекување се разликува по поголемата вредност што таа и соодветната карактеристика на расејување - дисперзија - ја имаат во граничните теореми на теоријата на веројатност. Со најголема комплетност, значењето на математичкото очекување се открива со законот за големи броеви (неравенка на Чебишев) и зајакнатиот закон за големи броеви.

Математичко очекување на дискретна случајна променлива

Нека има некоја случајна променлива што може да земе една од неколкуте нумерички вредности (на пример, бројот на точки во ролна матрица може да биде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често во пракса, за таква вредност, се поставува прашањето: која вредност ја зема „во просек“ со голем број тестови? Колкав ќе биде нашиот просечен принос (или загуба) од секоја од ризичните операции?

Да речеме дека има некаква лотарија. Сакаме да разбереме дали е профитабилно или не да учествуваме во него (или дури да учествуваме постојано, редовно). Да речеме дека секој четврти билет победува, наградата ќе биде 300 рубли, а цената на кој било билет ќе биде 100 рубли. Со бесконечен број учества, еве што се случува. Во три четвртини од случаите, ќе изгубиме, секои три загуби ќе чинат 300 рубли. Во секој четврти случај, ќе освоиме 200 рубли. (награда минус трошок), односно за четири учества губиме во просек 100 рубли, за едно - во просек 25 рубли. Севкупно, просечната стапка на нашата пропаст ќе биде 25 рубли по билет.

Фрламе коцка. Ако не е мамење (без поместување на центарот на гравитација итн.), тогаш колку поени во просек ќе имаме истовремено? Бидејќи секоја опција е подеднакво веројатна, ја земаме глупавата аритметичка средина и добиваме 3,5. Бидејќи ова е ПРОСЕЧНО, нема потреба да се огорчуваме што ниту едно посебно фрлање нема да даде 3,5 поени - добро, оваа коцка нема лице со таков број!

Сега да ги сумираме нашите примери:

Ајде да ја погледнеме сликата веднаш погоре. Лево е табела за распределба на случајна променлива. Вредноста на X може да земе една од n можните вредности (дадени во горниот ред). Не може да има други вредности. Под секоја можна вредност, нејзината веројатност е потпишана подолу. На десната страна е формулата, каде што M(X) се нарекува математичко очекување. Значењето на оваа вредност е дека со голем број на испитувања (со голем примерок), просечната вредност ќе се стреми кон ова математичко очекување.

Да се ​​вратиме на истата коцка за играње. Математичкото очекување за бројот на поени во фрлање е 3,5 (пресметајте сами користејќи ја формулата ако не верувате). Да речеме дека сте го фрлиле неколку пати. Испаднаа 4 и 6. Во просек испаднаа 5, односно далеку од 3,5. Пак го фрлија, испаднаа 3, односно во просек (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Некако далеку од математичкото очекување. Сега направете луд експеримент - тркалајте ја коцката 1000 пати! И ако просекот не е точно 3,5, тогаш ќе биде блиску до тоа.

Да го пресметаме математичкото очекување за погоре опишаната лотарија. Табелата ќе изгледа вака:

Тогаш математичкото очекување ќе биде, како што утврдивме погоре.:

Друга работа е тоа што е и „на прсти“, без формула тешко би имало повеќе опции. Па, да речеме дека имало 75% изгубени тикети, 20% добитни тикети и 5% добитни тикети.

Сега некои својства на математичкото очекување.

Лесно е да се докаже:

Константен множител може да се извади од знакот на очекување, односно:

Ова е посебен случај на својството на линеарност на математичкото очекување.

Друга последица на линеарноста на математичкото очекување:

односно математичкото очекување од збирот на случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања на случајните променливи.

Нека X, Y се независни случајни променливи, Потоа:

Ова е исто така лесно да се докаже) XYсама по себе е случајна променлива, додека ако првичните вредности би можеле да земат nИ мвредности, соодветно, тогаш XYможе да зема nm вредности. Веројатноста за секоја од вредностите се пресметува врз основа на фактот дека веројатностите за независни настани се множат. Како резултат, го добиваме ова:

Математичко очекување на континуирана случајна променлива

Континуираните случајни променливи имаат таква карактеристика како што е густината на дистрибуцијата (густина на веројатност). Тоа, всушност, ја карактеризира ситуацијата дека случајната променлива почесто зема некои вредности од множеството реални броеви, некои - поретко. На пример, разгледајте ја оваа табела:

Еве X- всушност случајна променлива, f(x)- густина на дистрибуција. Судејќи според овој график, за време на експериментите, вредноста Xчесто ќе биде број блиску до нула. шансите да се надминат 3 или да биде помалку -3 прилично чисто теоретски.

Нека, на пример, постои униформа дистрибуција:

Ова е сосема во согласност со интуитивното разбирање. Да речеме ако добиеме многу случајни реални броеви со рамномерна распределба, секој од сегментот |0; 1| , тогаш аритметичката средина треба да биде околу 0,5.

Својствата на математичкото очекување - линеарност и сл., применливи за дискретни случајни променливи, се применливи и овде.

Поврзаноста на математичкото очекување со другите статистички показатели

Во статистичката анализа, заедно со математичкото очекување, постои систем на меѓусебно зависни индикатори кои ја одразуваат хомогеноста на појавите и стабилноста на процесите. Честопати, индикаторите за варијација немаат независно значење и се користат за понатамошна анализа на податоците. Исклучок е коефициентот на варијација, кој ја карактеризира хомогеноста на податоците, што е вредна статистичка карактеристика.

Степенот на варијабилност или стабилност на процесите во статистичката наука може да се мери со помош на неколку индикатори.

Најважниот индикатор што ја карактеризира варијабилноста на случајната променлива е Дисперзија, што е најтесно и директно поврзано со математичкото очекување. Овој параметар активно се користи во други видови статистичка анализа (тестирање на хипотези, анализа на причинско-последични односи итн.). Како и средното линеарно отстапување, варијансата исто така го одразува степенот до кој податоците се шират околу средната вредност.

Корисно е да се преведе јазикот на знаците на јазикот на зборовите. Излегува дека варијансата е просечниот квадрат на отстапувањата. Односно, прво се пресметува просечната вредност, потоа се зема разликата помеѓу секоја оригинална и просечна вредност, се квадрира, се собира и потоа се дели со бројот на вредности во оваа популација. Разликата помеѓу индивидуалната вредност и средната вредност ја одразува мерката на отстапувањето. Тој е на квадрат за да се осигура дека сите отстапувања стануваат исклучиво позитивни броеви и да се избегне меѓусебно откажување на позитивните и негативните отстапувања кога ќе се сумираат. Потоа, со оглед на квадратните отстапувања, едноставно ја пресметуваме аритметичката средина. Просечни - квадратни - отстапувања. Отстапувањата се на квадрат, а просекот се смета. Одговорот на волшебниот збор „дисперзија“ е само три збора.

Меѓутоа, во својата чиста форма, како што е, на пример, аритметичката средина или индексот, дисперзијата не се користи. Тоа е повеќе помошен и среден индикатор кој се користи за други видови статистичка анализа. Таа нема ни нормална единица мерка. Судејќи според формулата, ова е квадратот на оригиналната единица за податоци.

Ајде да измериме случајна променлива Нпати, на пример, десет пати ја мериме брзината на ветерот и сакаме да ја најдеме просечната вредност. Како е поврзана средната вредност со функцијата на дистрибуција?

Или ќе ги склопиме коцките многу пати. Бројот на поени што ќе паднат на матрицата при секое фрлање е случајна променлива и може да земе какви било природни вредности од 1 до 6. Нсе стреми кон многу специфичен број - математичкото очекување Мх. Во овој случај, Mx = 3,5.

Како дојде до оваа вредност? Пушти внатре Ниспитувања n1штом ќе се намали 1 поен, n2пати - 2 поени и така натаму. Тогаш бројот на исходи во кои падна еден поен:

Слично за исходите кога испаднаа 2, 3, 4, 5 и 6 поени.

Сега да претпоставиме дека го знаеме законот за распределба на случајната променлива x, односно знаеме дека случајната променлива x може да ги земе вредностите x1, x2, ..., xk со веројатности p1, p2, ... , пк.

Математичкото очекување Mx на случајна променлива x е:

Математичкото очекување не е секогаш разумна проценка на некоја случајна променлива. Значи, за да се процени просечната плата, поразумно е да се користи концептот на медијана, односно таква вредност што бројот на луѓе кои примаат помалку од просечната плата и повеќе е ист.

Веројатноста p1 случајната променлива x да е помала од x1/2 и веројатноста p2 случајната променлива x да е поголема од x1/2 се исти и еднакви на 1/2. Медијаната не е единствено одредена за сите дистрибуции.

Стандардна или стандардна девијацијаво статистиката се нарекува степенот на отстапување на набљудувачките податоци или множества од ПРОСЕЧНА вредност. Се означува со буквите s или s. Мало стандардно отстапување покажува дека податоците се групирани околу средната вредност, а големо стандардно отстапување покажува дека почетните податоци се далеку од тоа. Стандардното отстапување е еднакво на квадратниот корен на количината наречена варијанса. Тоа е просекот на збирот на квадратните разлики на почетните податоци што отстапуваат од средната вредност. Стандардна девијација на случајна променлива е квадратниот корен на варијансата:

Пример. Во услови на тест кога пукате во цел, пресметајте ја варијансата и стандардното отстапување на случајна променлива:

Варијација- флуктуација, варијабилност на вредноста на атрибутот во единици на популација. Посебните нумерички вредности на карактеристиката што се јавуваат во проучуваната популација се нарекуваат варијанти на вредности. Недоволноста на просечната вредност за целосна карактеризација на популацијата прави неопходно да се надополнат просечните вредности со индикатори кои овозможуваат да се процени типичноста на овие просеци со мерење на флуктуацијата (варијацијата) на особината што се проучува. Коефициентот на варијација се пресметува со формулата:

Варијација на распон(R) е разликата помеѓу максималните и минималните вредности на особината во проучуваната популација. Овој индикатор ја дава најопштата идеја за флуктуацијата на особината што се проучува, бидејќи ја покажува разликата само помеѓу екстремните вредности на варијантите. Зависноста од екстремните вредности на атрибутот му дава на опсегот на варијација нестабилен, случаен карактер.

Просечно линеарно отстапувањее аритметичка средина на апсолутните (модуло) отстапувања на сите вредности на анализираната популација од нивната просечна вредност:

Математичко очекување во теоријата на коцкање

Математичкото очекување епросечната сума на пари што коцкар може да победи или изгуби на даден облог. Ова е многу значаен концепт за играчот, бидејќи е фундаментален за проценката на повеќето ситуации на играта. Математичкото очекување е исто така најдобрата алатка за анализа на основните распореди на картички и ситуации на играта.

Да речеме дека играте паричка со пријател, правејќи еднаков облог од 1 $ секој пат, без разлика што ќе се појави. Опашки - победувате, глави - губите. Шансите да дојде до опашки се еден спрема еден и се обложувате од 1 до 1 долар. Така, вашето математичко очекување е нула, бидејќи математички гледано, не можеш да знаеш дали ќе водиш или ќе изгубиш по две тркала или по 200.

Вашата часовна добивка е нула. Часовната исплата е износот на пари што очекувате да го освоите за еден час. Можете да превртите паричка 500 пати во рок од еден час, но нема да победите или изгубите затоа што вашите шанси не се ниту позитивни ниту негативни. Ако погледнете, од гледна точка на сериозен играч, таков систем на обложување не е лош. Но, тоа е само губење време.

Но, да претпоставиме дека некој сака да се обложи 2 $ против вашиот $1 во истата игра. Тогаш веднаш имате позитивно очекување од 50 центи од секој облог. Зошто 50 центи? Во просек, добивате еден облог, а го губите вториот. Обложете го првиот долар и изгубите 1 долар, обложите го вториот и освојте 2 долари. Сте обложиле 1 $ двапати и сте во предност од $1. Така, секој од вашите облози од еден долар ви даваше по 50 центи.

Ако паричката падне 500 пати во еден час, вашата часовна добивка ќе биде веќе 250 долари, затоа што. во просек сте изгубиле 1 250 долари, а сте освоиле 2 250 пати. $500 минус $250 е еднакво на $250, што е вкупната победа. Имајте предвид дека очекуваната вредност, што е износот што го добивате во просек на еден облог, е 50 центи. Добивте 250 долари со обложување на долар 500 пати, што е еднакво на 50 центи од вашиот облог.

Математичкото очекување нема никаква врска со краткорочните резултати. Вашиот противник, кој решил да се обложи 2 $ против вас, може да ве победи на првите десет фрлања по ред, но вие, со предност од 2 спрема 1 во обложување, додека се друго е еднакво, заработувате 50 центи на секој облог од 1 $ под кој било околности. Не е важно дали ќе победите или изгубите еден облог или неколку облози, туку само под услов да имате доволно пари за лесно да ги надоместите трошоците. Ако продолжите да се обложувате на ист начин, тогаш во подолг временски период вашите добивки ќе дојдат до збирот на очекуваните вредности во поединечни ролни.

Секој пат кога ќе направите подобар облог (облог што може да биде профитабилен на долг рок) кога шансите се во ваша корист, вие сте обврзани да освоите нешто на него, без разлика дали ќе го изгубите или не во дадена рака. Спротивно на тоа, ако сте направиле облог со полош исход (облог кој е неисплатлив на долг рок) кога шансите не се во ваша корист, вие губите нешто, без разлика дали сте победиле или изгубиле во оваа рака.

Се обложувате со најдобар исход ако вашите очекувања се позитивни, а позитивно е ако шансите се во ваша корист. Со обложување со најлош исход, имате негативно очекување, што се случува кога шансите се против вас. Сериозните играчи се обложуваат само со најдобар исход, со најлош - се преклопуваат. Што значат шансите во ваша корист? Може да завршите да освоите повеќе отколку што носат вистинските шанси. Вистинските шанси за удирање опашки се 1 спрема 1, но добивате 2 спрема 1 поради односот на обложување. Во овој случај, шансите се во ваша корист. Дефинитивно го добивате најдобриот исход со позитивно очекување од 50 центи по облог.

Еве еден покомплексен пример за математичко очекување. Пријателот ги запишува броевите од еден до пет и се обложува со 5 долари против вашиот 1 долар дека нема да го изберете бројот. Дали се согласувате на таков облог? Какви се очекувањата овде?

Во просек, ќе згрешите четири пати. Врз основа на ова, шансите да го погодите бројот ќе бидат 4 спрема 1. Шансите се дека ќе изгубите еден долар во еден обид. Сепак, добивате 5 спрема 1, со можност да изгубите 4 спрема 1. Затоа, шансите се во ваша корист, можете да го прифатите облогот и да се надевате на најдобар исход. Ако го направите овој облог пет пати, во просек ќе изгубите четири пати по 1 $ и еднаш ќе освоите 5 $. Врз основа на ова, за сите пет обиди ќе заработите 1 $ со позитивно математичко очекување од 20 центи по облог.

Играчот кој ќе освои повеќе отколку што се обложува, како во примерот погоре, ги фаќа шансите. Спротивно на тоа, тој ги уништува шансите кога очекува да добие помалку отколку што се обложува. Обложувачот може да има позитивно или негативно очекување во зависност од тоа дали ги фаќа или ги уништува шансите.

Ако се обложите 50 долари за да освоите 10 долари со 4 спрема 1 шанса за победа, ќе добиете негативно очекување од 2 долари, бидејќи во просек, ќе освоите четири пати по 10 долари, а еднаш ќе изгубите 50 долари, што покажува дека загубата по облог ќе биде 10 долари. Но, ако се обложите 30 долари за да освоите 10 долари, со исти шанси за победа 4 спрема 1, тогаш во овој случај имате позитивно очекување од 2 долари, бидејќи повторно добивате четири пати 10 долари и губите 30 долари еднаш, за добивка од 10 долари. Овие примери покажуваат дека првиот облог е лош, а вториот е добар.

Математичкото очекување е центарот на секоја ситуација во играта. Кога букмејкерот ги охрабрува фудбалските навивачи да се обложат 11 долари за да добијат 10 долари, тие имаат позитивни очекувања од 50 центи за секои 10 долари. Ако казиното исплати дури и пари од линијата Craps pass, тогаш позитивното очекување на куќата е приближно 1,40 долари за секои 100 долари; оваа игра е структурирана така што секој што се обложува на оваа линија губи 50,7% во просек и добива 49,3% од времето. Несомнено, токму ова навидум минимално позитивно очекување носи огромен профит на сопствениците на казината ширум светот. Како што забележа сопственикот на казиното во Вегас Ворлд, Боб Ступак, „негативната веројатност од илјада проценти на доволно долго растојание ќе го банкротира најбогатиот човек на светот“.

Математичко очекување кога играте покер

Играта покер е најилустративен и најилустративен пример во однос на користењето на теоријата и својствата на математичкото очекување.

Очекуваната вредност во покерот е просечната придобивка од одредена одлука, под услов таквата одлука да се разгледува во рамките на теоријата на големи броеви и долги растојанија. Успешниот покер е за секогаш прифаќање потези со позитивно математичко очекување.

Математичкото значење на математичкото очекување при играње покер лежи во фактот што често се среќаваме со случајни променливи при донесување одлука (не знаеме кои карти ги има противникот во рака, кои карти ќе дојдат во следните рунди за обложување). Мора да го разгледаме секое од решенијата од гледна точка на теоријата на големи броеви, која вели дека со доволно голем примерок, просечната вредност на случајната променлива ќе се стреми кон нејзиното математичко очекување.

Меѓу посебните формули за пресметување на математичкото очекување, следново е најприменливо во покерот:

Кога играте покер, математичкото очекување може да се пресмета и за облози и за повици. Во првиот случај, треба да се земе предвид капиталот на пати, во вториот, сопствените шанси на садот. При оценувањето на математичкото очекување на одреден потег, треба да се запомни дека преклопот секогаш има нула математичко очекување. Така, отфрлањето на картичките секогаш ќе биде попрофитабилна одлука од кој било негативен потег.

Очекувањата ви кажуваат што можете да очекувате (добивка или загуба) за секој долар што го ризикувате. Казината заработуваат затоа што математичкото очекување од сите игри што се практикуваат во нив е во корист на казиното. Со доволно долга серија на игри, може да се очекува дека клиентот ќе ги изгуби своите пари, бидејќи „веројатноста“ е во корист на казиното. Сепак, професионалните играчи на казино ги ограничуваат своите игри на кратки временски периоди, а со тоа ги зголемуваат шансите во нивна корист. Истото важи и за инвестирањето. Ако вашите очекувања се позитивни, можете да заработите повеќе пари со правење многу занаети за краток временски период. Очекувањата се процентот на добивка по победа повеќе од вашиот просечен профит минус вашата веројатност за загуба пати вашата просечна загуба.

Покерот може да се смета и во однос на математичкото очекување. Може да претпоставите дека одреден потег е профитабилен, но во некои случаи можеби не е најдобриот, бидејќи друг потег е попрофитабилен. Да речеме дека сте постигнале полна куќа во покер со пет карти. Вашиот противник се обложува. Знаеш дека ако се подигнеш, тој ќе се јави. Значи, подигањето изгледа како најдобра тактика. Но, ако навистина кренете, преостанатите двајца играчи сигурно ќе се преклопат. Но, ако го повикате облогот, ќе бидете целосно сигурни дека и другите двајца играчи после вас ќе го направат истото. Кога ќе го подигнете облогот, добивате една единица, а едноставно со повик добивате две. Значи, повикувањето ви дава поголема позитивна очекувана вредност и е најдобрата тактика.

Математичкото очекување може да даде и идеја за тоа кои покер тактики се помалку профитабилни, а кои се попрофитабилни. На пример, ако играте на одредена рака и мислите дека вашата просечна загуба е 75 центи вклучувајќи ги и мравките, тогаш треба да ја играте таа рака затоа што ова е подобро од преклопување кога антената е $1.

Друга важна причина за разбирање на очекуваната вредност е тоа што ви дава чувство на мир на умот без разлика дали сте добиле облог или не: ако направите добар облог или поминете на време, ќе знаете дека сте направиле или заштедиле одредена сума од пари, кои послаб играч не можеше да ги заштеди. Многу е потешко да се преклопите ако сте фрустрирани што вашиот противник има подобра рака при ждрепката. Тоа, рече, парите што ги заштедувате со неиграње, наместо обложување, се додаваат на вашите добивки преку ноќ или месечни.

Само запомнете дека ако ги смените рацете, вашиот противник ќе ве повика, и како што ќе видите во статијата за Основната теорема на покерот, ова е само една од вашите предности. Треба да се радувате кога тоа ќе се случи. Можете дури и да научите да уживате во губењето на раката, бидејќи знаете дека другите играчи во вашите чевли би изгубиле многу повеќе.

Како што беше дискутирано во примерот на играта со монети на почетокот, стапката на поврат на час е поврзана со математичкото очекување и овој концепт е особено важен за професионалните играчи. Кога ќе играте покер, мора ментално да процените колку можете да освоите за еден час игра. Во повеќето случаи, ќе треба да се потпрете на вашата интуиција и искуство, но можете да користите и некои математички пресметки. На пример, ако играте нерешено лоубол и гледате како тројца играчи се обложуваат 10 долари, а потоа извлекуваат две карти, што е многу лоша тактика, можете сами да пресметате дека секој пат кога ќе обложат 10 долари губат околу 2 долари. Секој од нив го прави ова осум пати на час, што значи дека сите тројца губат околу 48 долари на час. Вие сте еден од преостанатите четворица играчи, кои се приближно еднакви, така што овие четворица играчи (и вие меѓу нив) мора да поделат 48 долари и секој ќе оствари профит од 12 долари на час. Вашата саатница во овој случај е едноставно ваш дел од износот на пари изгубени од тројца лоши играчи на час.

Во текот на подолг временски период, вкупните добивки на играчот е збир на неговите математички очекувања во одделни распределби. Колку повеќе играте со позитивни очекувања, толку повеќе победувате, и обратно, колку повеќе раце играте со негативни очекувања, толку повеќе губите. Како резултат на тоа, треба да дадете приоритет на игра која може да ги максимизира вашите позитивни очекувања или да ги негира вашите негативни очекувања за да можете да ја максимизирате вашата часовна добивка.

Позитивно математичко очекување во стратегијата на играта

Ако знаете како да броите карти, можеби ќе имате предност во однос на казиното ако не забележат и не ве избркаат. Казината сакаат пијани коцкари и не поднесуваат броење карти. Предноста ќе ви овозможи да победите повеќе пати отколку што губите со текот на времето. Доброто управување со парите користејќи пресметки за очекувањата може да ви помогне да профитирате од вашата предност и да ги намалите загубите. Без предност, подобро е да ги дадете парите во добротворни цели. Во играта на берзата предност дава системот на игра кој создава повеќе профит отколку загуби, ценовни разлики и провизии. Ниту едно управување со пари нема да заштеди лош систем за игри.

Позитивното очекување се дефинира со вредност поголема од нула. Колку е поголема оваа бројка, толку е посилно статистичкото очекување. Ако вредноста е помала од нула, тогаш и математичкото очекување ќе биде негативно. Колку е поголем модулот на негативна вредност, толку е полоша ситуацијата. Ако резултатот е нула, тогаш очекувањата се израмнети. Можете да победите само кога имате позитивно математичко очекување, разумен систем на игра. Играњето на интуиција води до катастрофа.

Математичко очекување и тргување со акции

Математичкото очекување е прилично широко баран и популарен статистички показател во тргувањето со размена на финансиските пазари. Како прво, овој параметар се користи за анализа на успехот на тргувањето. Не е тешко да се погоди дека колку е поголема оваа вредност, толку е поголема причината да се смета за успешна трговијата што се проучува. Се разбира, анализата на работата на трговецот не може да се изврши само со помош на овој параметар. Сепак, пресметаната вредност, во комбинација со други методи за проценка на квалитетот на работата, може значително да ја зголеми точноста на анализата.

Математичкото очекување често се пресметува во услугите за следење на трговската сметка, што ви овозможува брзо да ја оцените работата извршена на депозитот. Како исклучок, можеме да наведеме стратегии кои користат „преостанување“ на загубата на занаети. Трговецот може да има среќа некое време, и затоа, во неговата работа може да нема никакви загуби. Во овој случај, нема да може да се движите само според очекувањата, бидејќи ризиците што се користат во работата нема да се земат предвид.

Во тргувањето на пазарот, математичкото очекување најчесто се користи кога се предвидува профитабилноста на стратегијата за тргување или кога се предвидува приходот на трговецот врз основа на статистиката на неговите претходни занаети.

Што се однесува до управувањето со пари, многу е важно да се разбере дека при тргување со негативни очекувања, не постои шема за управување со пари што дефинитивно може да донесе висок профит. Ако продолжите да ја играте размената под овие услови, тогаш без оглед на тоа како управувате со вашите пари, ќе ја изгубите целата ваша сметка, без разлика колку била голема на почетокот.

Оваа аксиома не е вистинита само за игрите со негативни очекувања или занаети, туку исто така важи и за игрите со парни шанси. Затоа, единствениот случај кога имате шанса да имате корист на долг рок е кога склучувате договори со позитивно математичко очекување.

Разликата помеѓу негативното очекување и позитивното очекување е разликата помеѓу животот и смртта. Не е важно колку е позитивно или колку е негативно очекувањето; важно е дали е позитивно или негативно. Затоа, пред да размислите за управување со пари, мора да најдете игра со позитивно очекување.

Ако ја немате таа игра, тогаш никакво управување со пари во светот нема да ве спаси. Од друга страна, ако имате позитивно очекување, тогаш можно е, преку правилно управување со парите, да ги претворите во функција на експоненцијален раст. Не е важно колку е мало позитивното очекување! Со други зборови, не е важно колку е профитабилен трговскиот систем заснован на еден договор. Ако имате систем кој добива 10 долари по договор на една трговија (по такси и лизгање), можете да користите техники за управување со пари за да го направите попрофитабилен од систем што покажува просечен профит од 1.000 долари по трговија (по одземање на провизии и лизгање).

Не е важно колку системот бил профитабилен, туку колку сигурно може да се каже дека системот во иднина ќе покаже барем минимален профит. Затоа, најважната подготовка што трговецот може да ја направи е да се погрижи системот да покаже позитивна очекувана вредност во иднина.

За да имате позитивна очекувана вредност во иднина, многу е важно да не ги ограничувате степените на слобода на вашиот систем. Ова се постигнува не само со елиминирање или намалување на бројот на параметри што треба да се оптимизираат, туку и со намалување на што е можно повеќе системски правила. Секој параметар што го додавате, секое правило што го правите, секоја мала промена што ја правите во системот го намалува бројот на степени на слобода. Идеално, сакате да изградите прилично примитивен и едноставен систем кој постојано ќе носи мал профит на речиси секој пазар. Повторно, важно е да разберете дека не е важно колку е профитабилен системот, се додека е профитабилен. Парите што ги заработувате во тргувањето ќе ги заработите преку ефективно управување со парите.

Системот за тргување е едноставно алатка која ви дава позитивно математичко очекување за да може да се искористи управувањето со парите. Системите кои работат (покажуваат барем минимален профит) само на еден или неколку пазари, или имаат различни правила или параметри за различни пазари, најверојатно нема да работат во реално време долго време. Проблемот со повеќето технички ориентирани трговци е што тие трошат премногу време и напор оптимизирајќи ги различните правила и параметри на системот за тргување. Ова дава сосема спротивни резултати. Наместо да трошите енергија и компјутерско време за зголемување на профитот на системот за тргување, насочете ја вашата енергија кон зголемување на нивото на сигурност за добивање минимален профит.

Знаејќи дека управувањето со парите е само игра со броеви која бара употреба на позитивни очекувања, трговецот може да престане да го бара „светиот грал“ на тргувањето со акции. Наместо тоа, тој може да почне да го тестира својот метод на тргување, да дознае како овој метод е логично здрав, дали дава позитивни очекувања. Соодветните методи за управување со пари применети на какви било, дури и многу просечни методи на тргување, ќе го завршат остатокот од работата.

Секој трговец за успех во својата работа треба да реши три најважни задачи: . Да се ​​осигура дека бројот на успешни трансакции ги надминува неизбежните грешки и погрешни пресметки; Поставете го вашиот систем за тргување така што можноста да заработите пари е што е можно почесто; Постигнете стабилен позитивен резултат од вашите операции.

И овде, за нас, работните трговци, математичкото очекување може да обезбеди добра помош. Овој термин во теоријата на веројатност е еден од клучните. Со него, можете да дадете просечна проценка на некоја случајна вредност. Математичкото очекување на случајна променлива е како тежиштето, ако ги замислиме сите можни веројатности како точки со различни маси.

Во однос на стратегијата за тргување, за да се оцени нејзината ефикасност, најчесто се користи математичкото очекување за добивка (или загуба). Овој параметар се дефинира како збир од производите на дадените нивоа на добивка и загуба и веројатноста за нивно појавување. На пример, развиената стратегија за тргување претпоставува дека 37% од сите операции ќе донесат профит, а останатиот дел - 63% - ќе биде непрофитабилен. Во исто време, просечниот приход од успешна трансакција ќе биде 7 долари, а просечната загуба ќе биде 1,4 долари. Ајде да го пресметаме математичкото очекување за тргување користејќи го следниов систем:

Што значи оваа бројка? Во него пишува дека, следејќи ги правилата на овој систем, во просек од секоја затворена трансакција добиваме 1.708 долари. Бидејќи добиениот резултат за ефикасност е поголем од нула, таков систем може да се користи за вистинска работа. Ако, како резултат на пресметката, математичкото очекување се покаже како негативно, тогаш ова веќе укажува на просечна загуба и таквото тргување ќе доведе до пропаст.

Износот на добивката по трговија може да се изрази и како релативна вредност во форма на%. На пример:

– процент на приход по 1 трансакција - 5%;

– процент на успешни трговски операции - 62%;

– процент на загуба по 1 трговија - 3%;

- процентот на неуспешни трансакции - 38%;

Односно, просечната трансакција ќе донесе 1,96%.

Можно е да се развие систем кој, и покрај доминацијата на губитните занаети, ќе даде позитивен резултат, бидејќи неговиот MO>0.

Сепак, само чекањето не е доволно. Тешко е да се заработат пари ако системот дава многу малку трговски сигнали. Во овој случај, неговата профитабилност ќе биде споредлива со банкарската камата. Нека секоја операција носи само 0,5 долари во просек, но што ако системот претпостави 1000 трансакции годишно? Ова ќе биде многу сериозна сума за релативно кратко време. Од ова логично произлегува дека уште еден белег на добар трговски систем може да се смета за краток период на одржување.

Извори и врски

dic.academic.ru - академски онлајн речник

mathematics.ru - едукативна страница за математика

nsu.ru – образовна веб-страница на Државниот универзитет во Новосибирск

webmath.ru е едукативен портал за студенти, апликанти и ученици.

образовна математичка страница exponenta.ru

ru.tradimo.com - бесплатно онлајн училиште за тргување

crypto.hut2.ru - мултидисциплинарен информативен ресурс

poker-wiki.ru - бесплатна енциклопедија на покер

sernam.ru - Научна библиотека на избрани природни научни публикации

reshim.su - веб-страница РЕШИРАЈТЕ предмети за контрола на задачите

unfx.ru – Forex на UNFX: образование, трговски сигнали, управување со доверба

slovopedia.com - Голем енциклопедиски речник

pokermansion.3dn.ru - Вашиот водич за светот на покерот

statanaliz.info - информативен блог „Статистичка анализа на податоци“

forex-trader.rf - портал Forex-Trader

megafx.ru - ажурирана аналитика на Forex

fx-by.com - сè за трговец

Теоријата на веројатност е посебна гранка од математиката која ја изучуваат само студенти на високообразовни институции. Дали обожавате пресметки и формули? Дали не се плашите од изгледите за запознавање со нормалната дистрибуција, ентропијата на ансамблот, математичкото очекување и варијансата на дискретна случајна променлива? Тогаш оваа тема ќе биде од голем интерес за вас. Ајде да се запознаеме со некои од најважните основни концепти на овој дел од науката.

Да се ​​потсетиме на основите

Дури и ако се сеќавате на наједноставните концепти на теоријата на веројатност, не ги занемарувајте првите ставови од статијата. Факт е дека без јасно разбирање на основите, нема да можете да работите со формулите дискутирани подолу.

Значи, има некој случаен настан, некој експеримент. Како резултат на извршените дејства, можеме да добиеме неколку исходи - некои од нив се почести, други поретки. Веројатноста за настан е односот на бројот на реално добиените исходи од еден тип до вкупниот број на можни. Само знаејќи ја класичната дефиниција на овој концепт, можете да започнете да ги проучувате математичкото очекување и дисперзијата на континуираните случајни променливи.

Просечна

Уште во училиште, на часовите по математика, почнавте да работите со аритметичката средина. Овој концепт е широко користен во теоријата на веројатност и затоа не може да се игнорира. Главното за нас во моментов е што ќе го сретнеме во формулите за математичко очекување и варијанса на случајна променлива.

Имаме низа од броеви и сакаме да ја најдеме аритметичката средина. Сè што се бара од нас е да сумираме се што е достапно и да се подели со бројот на елементи во низата. Нека имаме броеви од 1 до 9. Збирот на елементите ќе биде 45, а оваа вредност ќе ја поделиме со 9. Одговор: - 5.

Дисперзија

Во научна смисла, варијансата е просечниот квадрат на отстапувањата на добиените вредности на карактеристиките од аритметичката средина. Еден се означува со голема латинична буква D. Што е потребно за да се пресмета? За секој елемент од низата, ја пресметуваме разликата помеѓу достапниот број и аритметичката средина и ја квадратуваме. Ќе има точно онолку вредности колку што може да има исходи за настанот што го разгледуваме. Следно, резимираме сè што е примено и делиме со бројот на елементи во низата. Ако имаме пет можни исходи, тогаш подели со пет.

Варијансата има и својства што треба да ги запомните за да ја примените при решавање на проблеми. На пример, ако случајната променлива се зголеми за X пати, варијансата се зголемува за X пати од квадратот (т.е. X*X). Никогаш не е помал од нула и не зависи од поместување на вредностите за еднаква вредност нагоре или надолу. Исто така, за независни испитувања, варијансата на збирот е еднаква на збирот на варијансите.

Сега дефинитивно треба да разгледаме примери за варијанса на дискретна случајна променлива и математичко очекување.

Да речеме дека извршивме 21 експеримент и добивме 7 различни резултати. Ние го набљудувавме секој од нив, соодветно, 1,2,2,3,4,4 и 5 пати. Која ќе биде варијансата?

Прво, ја пресметуваме аритметичката средина: збирот на елементите, се разбира, е 21. Ние го делиме со 7, добивајќи 3. Сега од секој број во оригиналната низа одземаме 3, секоја вредност ја квадратураме и ги собираме резултатите заедно . Излегува 12. Сега ни останува да го поделиме бројот со бројот на елементи, и, се чини, тоа е сè. Но, постои финта! Ајде да го дискутираме.

Зависност од бројот на експерименти

Излегува дека кога се пресметува варијансата, именителот може да биде еден од двата броја: или N или N-1. Овде N е бројот на извршени експерименти или бројот на елементи во низата (што во суштина е иста работа). Од што зависи?

Ако бројот на тестови се мери во стотици, тогаш во именителот мора да ставиме N. Ако во единици, тогаш N-1. Научниците решија да ја исцртаат границата прилично симболично: денес таа се протега по бројот 30. Ако направивме помалку од 30 експерименти, тогаш количината ќе ја поделиме со N-1, а ако повеќе, тогаш со N.

Задача

Да се ​​вратиме на нашиот пример за решавање на проблемот со варијансата и очекувањата. Добивме среден број 12, кој требаше да се подели со N или N-1. Бидејќи спроведовме 21 експеримент, што е помалку од 30, ќе ја избереме втората опција. Значи, одговорот е: варијансата е 12/2 = 2.

Очекувана вредност

Ајде да преминеме на вториот концепт, кој мора да го разгледаме во оваа статија. Математичкото очекување е резултат на собирање на сите можни исходи помножени со соодветните веројатности. Важно е да се разбере дека добиената вредност, како и резултатот од пресметувањето на варијансата, се добиваат само еднаш за целата задача, без разлика колку исходи се разгледуваат.

Формулата за математичко очекување е прилично едноставна: го земаме исходот, го множиме со неговата веројатност, го додаваме истото за вториот, третиот резултат, итн. Сè што е поврзано со овој концепт е лесно да се пресмета. На пример, збирот на математичките очекувања е еднаков на математичкото очекување од збирот. Истото важи и за работата. Не секоја величина во теоријата на веројатност дозволува да се извршат такви едноставни операции. Ајде да преземеме задача и да ја пресметаме вредноста на два концепта што ги проучувавме одеднаш. Покрај тоа, ни беше расеан од теоријата - време е за вежбање.

Уште еден пример

Извршивме 50 испитувања и добивме 10 видови на исходи - бројки од 0 до 9 - што се појавуваат во различни проценти. Тоа се, соодветно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Потсетиме дека за да ги добиете веројатностите, треба да ги поделите процентуалните вредности со 100. Така, добиваме 0,02; 0,1 итн. Да претставиме пример за решавање на проблемот за варијансата на случајна променлива и математичкото очекување.

Ја пресметуваме аритметичката средина користејќи ја формулата што ја паметиме од основно училиште: 50/10 = 5.

Сега да ги преведеме веројатностите во бројот на исходи „на парчиња“ за да биде поудобно за броење. Добиваме 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Од секоја добиена вредност се одзема аритметичката средина, по што го квадратуваме секој од добиените резултати. Погледнете како да го направите ова со првиот елемент како пример: 1 - 5 = (-4). Понатаму: (-4) * (-4) = 16. За други вредности, направете ги овие операции сами. Ако сте направиле сè како што треба, тогаш откако ќе додадете сè ќе добиете 90.

Ајде да продолжиме со пресметување на варијансата и средната вредност со делење 90 со N. Зошто избираме N, а не N-1? Така е, бидејќи бројот на извршени експерименти надминува 30. Значи: 90/10 = 9. Ја добивме дисперзијата. Ако добиете друг број, не очајувајте. Најверојатно, сте направиле банална грешка во пресметките. Провери уште еднаш што си напишал, и сигурно се ќе си дојде на свое место.

Конечно, да се потсетиме на формулата за математичко очекување. Нема да ги дадеме сите пресметки, ќе го напишеме само одговорот со кој ќе можете да проверите откако ќе ги завршите сите потребни процедури. Очекуваната вредност ќе биде 5,48. Се сеќаваме само како да извршиме операции, користејќи го примерот на првите елементи: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... и така натаму. Како што можете да видите, ние едноставно ја множиме вредноста на исходот со неговата веројатност.

Отстапување

Друг концепт тесно поврзан со дисперзијата и математичкото очекување е стандардното отстапување. Се означува или со латинските букви sd, или со грчкото мало „сигма“. Овој концепт покажува како, во просек, вредностите отстапуваат од централната карактеристика. За да ја пронајдете неговата вредност, треба да го пресметате квадратниот корен на варијансата.

Ако нацртате нормална распределба и сакате да го видите квадратното отстапување директно на неа, тоа може да се направи во неколку чекори. Земете половина од сликата лево или десно од режимот (средишна вредност), нацртајте нормално на хоризонталната оска, така што областите на добиените фигури се еднакви. Вредноста на сегментот помеѓу средината на дистрибуцијата и добиената проекција на хоризонталната оска ќе биде стандардното отстапување.

Софтвер

Како што може да се види од описите на формулите и презентираните примери, пресметувањето на варијансата и математичкото очекување не е најлесната постапка од аритметичка гледна точка. За да не губите време, има смисла да се користи програмата што се користи во високото образование - таа се нарекува "Р". Има функции кои ви дозволуваат да пресметате вредности за многу концепти од статистиката и теоријата на веројатност.

На пример, вие дефинирате вектор на вредности. Ова се прави на следниов начин: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Конечно

Дисперзијата и математичкото очекување се без кои е тешко да се пресмета нешто во иднина. Во главниот тек на предавањата на универзитетите, тие се разгледуваат веќе во првите месеци од изучувањето на предметот. Токму поради неразбирањето на овие едноставни поими и неможноста да се пресметаат многу студенти веднаш почнуваат да заостануваат во програмата и подоцна добиваат лоши оценки на крајот од сесијата, што ги лишува од стипендија.

Вежбајте најмалку една недела по половина час дневно, решавајќи задачи слични на оние претставени во оваа статија. Потоа, на кој било тест за теоријата на веројатност, ќе се справите со примери без дополнителни совети и листови за измами.

Карактеристики на DSW и нивните својства. Математичко очекување, варијанса, стандардна девијација

Законот за распределба целосно ја карактеризира случајната променлива. Меѓутоа, кога е невозможно да се најде законот за распределба, или тоа не е потребно, може да се ограничи на наоѓање вредности, наречени нумерички карактеристики на случајна променлива. Овие количини одредуваат одредена просечна вредност околу која се групирани вредностите на случајната променлива и степенот на нивната дисперзија околу оваа просечна вредност.

математичко очекувањеДискретна случајна променлива е збир на производи од сите можни вредности на случајна променлива и нивните веројатности.

Математичкото очекување постои ако серијата од десната страна на еднаквоста апсолутно се спојува.

Од гледна точка на веројатност, можеме да кажеме дека математичкото очекување е приближно еднакво на аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајната променлива.

Пример. Познат е законот за распределба на дискретна случајна променлива. Најдете го математичкото очекување.

X
стр	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение:

9.2 Својства на очекување

1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа.

2. Константен фактор може да се извади од знакот на очекување.

3. Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.

Ова својство важи за произволен број случајни променливи.

4. Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите.

Ова својство важи и за произволен број на случајни променливи.

Нека се изведат n независни испитувања, веројатноста за појава на настанот А во кој е еднаква на стр.

Теорема.Математичкото очекување M(X) на бројот на појавувања на настанот А во n независни испитувања е еднакво на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава на настанот во секое испитување.

Пример. Најдете го математичкото очекување на случајна променлива Z ако се познати математичките очекувања на X и Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Решение:

9.3 Дисперзија на дискретна случајна променлива

Сепак, математичкото очекување не може целосно да карактеризира случаен процес. Покрај математичкото очекување, неопходно е да се воведе вредност што го карактеризира отстапувањето на вредностите на случајната променлива од математичкото очекување.

Ова отстапување е еднакво на разликата помеѓу случајната променлива и нејзиното математичко очекување. Во овој случај, математичкото очекување на отстапувањето е нула. Ова се објаснува со фактот дека некои можни отстапувања се позитивни, други се негативни, а како резултат на нивното меѓусебно откажување се добива нула.

Дисперзија (расфрлање)Дискретна случајна променлива се нарекува математичко очекување на квадратното отстапување на случајната променлива од нејзиното математичко очекување.

Во пракса, овој метод на пресметување на варијансата е незгоден, бидејќи доведува до незгодни пресметки за голем број вредности на случајна променлива.

Затоа, се користи друг метод.

Теорема. Варијансата е еднаква на разликата помеѓу математичкото очекување на квадратот на случајната променлива X и квадратот на нејзиното математичко очекување.

Доказ. Имајќи го предвид фактот дека математичкото очекување M (X) и квадратот на математичкото очекување M 2 (X) се константни вредности, можеме да напишеме:

Пример. Најдете ја варијансата на дискретна случајна променлива дадена со законот за распределба.

X
X 2
Р	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение:.

9.4 Карактеристики на дисперзија

1. Дисперзијата на константна вредност е нула. .

2. Константен фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање. .

3. Варијансата на збирот на две независни случајни променливи е еднаква на збирот на варијансите на овие променливи. .

4. Варијансата на разликата на две независни случајни променливи е еднаква на збирот на варијансите на овие променливи. .

Теорема. Варијансата на бројот на појавувања на настанот А во n независни испитувања, во секое од кои веројатноста p за појава на настанот е константна, е еднаква на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава и непојавување на настанот во секое судење.

9.5 Стандардна девијација на дискретна случајна променлива

Стандардна девијацијаслучајната променлива X се нарекува квадратен корен на варијансата.

Теорема. Стандардната девијација на збирот на конечен број меѓусебно независни случајни променливи е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратните стандардни отстапувања на овие променливи.

Математичкото очекување (средна вредност) на случајна променлива X , дадена на дискретно простор за веројатност, е бројот m =M[X]=∑x i p i , ако серијата апсолутно конвергира.

Доделување на услуги. Со онлајн услуга се пресметуваат математичкото очекување, варијансата и стандардното отстапување(види пример). Дополнително, се црта график на функцијата за распределба F(X).

Својства на математичкото очекување на случајна променлива

1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на себе: M[C]=C , C е константа;
2. M=C M[X]
3. Математичкото очекување од збирот на случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања: M=M[X]+M[Y]
4. Математичкото очекување од производот на независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања: M=M[X] M[Y] ако X и Y се независни.

Својства на дисперзија

1. Дисперзијата на константна вредност е еднаква на нула: D(c)=0.
2. Константниот фактор може да се извади од под знакот на дисперзија со негово квадратирање: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Ако случајните променливи X и Y се независни, тогаш варијансата на збирот е еднаква на збирот на варијансите: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Ако случајните променливи X и Y се зависни: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. За варијансата, пресметковната формула е валидна:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример. Познати се математичките очекувања и варијанси на две независни случајни променливи X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Најдете ги математичкото очекување и варијансата на случајната променлива Z=9X-8Y+7 .
Решение. Врз основа на својствата на математичкото очекување: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Врз основа на својствата на дисперзија: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритам за пресметување на математичкото очекување

Својства на дискретни случајни променливи: сите нивни вредности може да се пренумерираат со природни броеви; Доделете ја секоја вредност не-нулта веројатност.

1. Помножете ги паровите еден по еден: x i со p i .
2. Го додаваме производот на секој пар x i p i.
   На пример, за n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Дистрибутивна функција на дискретна случајна променливапостепено, нагло се зголемува во оние точки чии веројатности се позитивни.

Пример #1.

x i	1	3	4	7	9
пи	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математичкото очекување се наоѓа со формулата m = ∑x i p i .
Математичко очекување M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперзијата се наоѓа со формулата d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперзија D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандардна девијација σ(x).
σ = sqrt (D[X]) = sqrt (7,69) = 2,78

Пример #2. Дискретна случајна променлива ја има следната дистрибутивна серија:

X	-10	-5	0	5	10
Р	А	0,32	2а	0,41	0,03

Најдете ја вредноста a, математичкото очекување и стандардното отстапување на оваа случајна променлива.

Решение. Вредноста a се наоѓа од релацијата: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 или 0,24 = 3 a , од каде a = 0,08

Пример #3. Одреди го законот за распределба на дискретна случајна променлива ако е позната нејзината варијанса и x 1 x 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
стр 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; стр 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Решение.
Овде треба да направите формула за наоѓање на варијансата d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
каде очекување m(x)=x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
За нашите податоци
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соодветно на тоа, неопходно е да се најдат корените на равенката, а ќе има два од нив.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Го избираме оној што го задоволува условот x 1 x3=12

Закон за распределба на дискретна случајна променлива
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
стр 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; стр 4 \u003d 0,3

Во претходната, дадовме голем број формули кои ни овозможуваат да ги најдеме нумеричките карактеристики на функциите кога се познати законите за дистрибуција на аргументи. Меѓутоа, во многу случаи, за да се пронајдат нумеричките карактеристики на функциите, не треба ни да се знаат законите за распределба на аргументите, туку доволно е да се знаат само некои од нивните нумерички карактеристики; во овој случај, ние правиме без никакви закони за дистрибуција на сите. Утврдувањето на нумеричките карактеристики на функциите со дадени нумерички карактеристики на аргументите е широко користено во теоријата на веројатност и овозможува значително да се поедностави решавањето на голем број проблеми. Во најголем дел, ваквите поедноставени методи се однесуваат на линеарни функции; сепак, некои елементарни нелинеарни функции исто така го дозволуваат овој пристап.

Во моментов, презентираме голем број теореми за нумеричките карактеристики на функциите, кои во својата целина претставуваат многу едноставен апарат за пресметување на овие карактеристики, применлив во широк опсег на услови.

1. Математичко очекување на неслучајна променлива

Наведената сопственост е прилично очигледна; може да се докаже со разгледување на неслучајна променлива како посебен тип на случајна, со една можна вредност со веројатност од една; тогаш според општата формула за математичкото очекување:

.

2. Дисперзија на неслучајна променлива

Ако е неслучајна вредност, тогаш

3. Отстранување на неслучајна променлива надвор од знакот на математичко очекување

, (10.2.1)

т.е., неслучајна вредност може да се извади од знакот за очекување.

Доказ.

а) За дисконтинуирани количини

б) За континуирани количини

.

4. Отстранување на неслучајна вредност за знакот на варијанса и стандардна девијација

Ако е неслучајна променлива и е случајна, тогаш

, (10.2.2)

т.е., неслучајна вредност може да се извади од знакот за дисперзија со негово квадратирање.

Доказ. По дефиниција за варијанса

Последица

,

т.е., неслучајна вредност може да се извади од знакот на стандардното отстапување според неговата апсолутна вредност. Доказот го добиваме со извлекување на квадратниот корен од формулата (10.2.2) и земајќи предвид дека р.с.ц. е суштински позитивна вредност.

5. Математичко очекување на збирот на случајни променливи

Да докажеме дека за било кои две случајни променливи и

т.е. математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања.

Ова својство е познато како теорема за собирање на очекувањата.

Доказ.

а) Нека е систем од дисконтинуирани случајни променливи. Да ја примениме на збирот на случајни променливи општата формула (10.1.6) за математичко очекување на функција од два аргументи:

.

Ho не е ништо повеќе од вкупната веројатност дека вредноста ќе ја земе вредноста:

;

оттука,

.

На сличен начин тоа ќе го докажеме

,

а теоремата е докажана.

б) Нека е систем од континуирани случајни променливи. Според формулата (10.1.7)

. (10.2.4)

Го трансформираме првиот од интегралите (10.2.4):

;

исто така

,

а теоремата е докажана.

Посебно треба да се забележи дека теоремата за собирање на математички очекувања важи за сите случајни променливи - и зависни и независни.

Теоремата за собирање на очекувањата може да се генерализира на произволен број поими:

, (10.2.5)

т.е. математичкото очекување од збирот на неколку случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања.

За да се докаже тоа, доволно е да се примени методот на целосна индукција.

6. Математичко очекување на линеарна функција

Размислете за линеарна функција од неколку случајни аргументи:

каде се неслучајни коефициенти. Да го докажеме тоа

, (10.2.6)

т.е. средина на линеарна функција е еднаква на истата линеарна функција на средната вредност на аргументите.

Доказ. Користејќи ја теоремата за собирање m.o. и правилото за вадење на неслучајна променлива од знакот m. o., добиваме:

.

7. Диспеповој збир на случајни променливи

Варијансата на збирот на две случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси плус двојно поголем момент на корелација:

Доказ. Означи

Според теоремата за собирање на математичките очекувања

Да преминеме од случајни променливи на соодветните центрирани променливи. Одземање член по член од еднаквост (10.2.8) еднаквост (10.2.9), имаме:

По дефиниција за варијанса

Q.E.D.

Формулата (10.2.7) за варијансата на збирот може да се генерализира на кој било број поими:

, (10.2.10)

каде е моментот на корелација на вредностите, знакот под збирот значи дека сумирањето важи за сите можни парни комбинации на случајни променливи .

Доказот е сличен на претходниот и произлегува од формулата за квадрат на полином.

Формулата (10.2.10) може да се напише во друга форма:

, (10.2.11)

каде двојната сума се протега на сите елементи од корелациската матрица на системот на величини , кој содржи и корелација моменти и варијанси.

Ако сите случајни променливи , вклучени во системот, се неповрзани (т.е. во ), формулата (10.2.10) ја има формата:

, (10.2.12)

т.е., варијансата на збирот на неповрзани случајни променливи е еднаква на збирот на варијансите на поимите.

Овој предлог е познат како теорема за собирање на варијанса.

8. Дисперзија на линеарна функција

Размислете за линеарна функција од неколку случајни променливи.

каде се неслучајни променливи.

Да докажеме дека дисперзијата на оваа линеарна функција се изразува со формулата

, (10.2.13)

каде е корелациониот момент на величините , .

Доказ. Да ја воведеме ознаката:

. (10.2.14)

Применувајќи ја формулата (10.2.10) за варијансата на збирот на десната страна на изразот (10.2.14) и земајќи го предвид тоа, добиваме:

каде е моментот на корелација на количините:

.

Ајде да го пресметаме овој момент. Ние имаме:

;

исто така

Заменувајќи го овој израз во (10.2.15), доаѓаме до формулата (10.2.13).

Во конкретниот случај кога сите количини неповрзано, формулата (10.2.13) ја има формата:

, (10.2.16)

т.е.

9. Математичко очекување на производот од случајни променливи

Математичкото очекување од производот на две случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања плус моментот на корелација:

Доказ. Ќе продолжиме од дефиницијата на моментот на корелација:

Го трансформираме овој израз користејќи ги својствата на математичкото очекување:

што очигледно е еквивалентно на формулата (10.2.17).

Ако случајните променливи се неповрзани, тогаш формулата (10.2.17) ја има формата:

т.е., средната вредност на производот на две неповрзани случајни променливи е еднаква на производот од нивната средна вредност.

Оваа изјава е позната како теорема за множење на очекувањата.

Формулата (10.2.17) не е ништо повеќе од израз на вториот мешан централен момент на системот во однос на вториот мешан почетен момент и математичките очекувања:

. (10.2.19)

Овој израз често се користи во практиката при пресметување на корелациониот момент на ист начин како што за една случајна променлива варијансата често се пресметува преку вториот почетен момент и математичкото очекување.

Теоремата за множење на очекувањата може да се генерализира и на произволен број фактори, само во овој случај за нејзина примена не е доволно количините да се неповрзани, туку се бара да исчезнат и некои повисоки мешани моменти, чиј број зависи од бројот на термини во производот. Овие услови се секако задоволени доколку случајните променливи вклучени во производот се независни. Во овој случај

, (10.2.20)

т.е. математичкото очекување од производот на независните случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.

Овој предлог може лесно да се докаже со целосна индукција.

10. Дисперзија на производот на независни случајни променливи

Да го докажеме тоа за независните променливи

Доказ. Да означиме. По дефиниција за варијанса

Бидејќи количините се независни, и

За независни, количините се исто така независни; оттука,

,

Но, нема ништо друго освен вториот почетен момент на количината, и затоа се изразува во однос на варијансата:

;

исто така

.

Заменувајќи ги овие изрази во формулата (10.2.22) и донесувајќи слични термини, доаѓаме до формулата (10.2.21).

Во случај кога центрирани случајни променливи се множат (вредности со математички очекувања еднакви на нула), формулата (10.2.21) ја добива формата:

, (10.2.23)

т.е., варијансата на производот на независни центрирани случајни променливи е еднаква на производот на нивните варијанси.

11. Повисоки моменти од збирот на случајни променливи

Во некои случаи потребно е да се пресметаат повисоките моменти од збирот на независни случајни променливи. Дозволете ни да докажеме некои поврзани односи.

1) Ако количините се независни, тогаш

Доказ.

од каде со теоремата за множење на очекувањата

Но, првиот централен момент за која било количина е нула; два средни члена исчезнуваат и формулата (10.2.24) е докажана.

Релацијата (10.2.24) може лесно да се генерализира со индукција на произволен број независни поими:

. (10.2.25)

2) Четвртиот централен момент од збирот на две независни случајни променливи се изразува со формулата

каде се дисперзиите на и .

Доказот е потполно ист како и претходниот.

Користејќи го методот на целосна индукција, лесно е да се докаже генерализацијата на формулата (10.2.26) на произволен број независни поими.