Примери за решавање на равенки со модул. Број на модул (апсолутна вредност на број), дефиниции, примери, својства. Број на модул - дефиниција, нотација и примери
Ние не избираме математиканејзината професија, и таа нè избира нас.
Рускиот математичар Ју.И. Манин
Равенки со модул
Најтешки за решавање на проблемите на училишната математика се равенките што содржат променливи под знакот на модул. За успешно решавање на ваквите равенки, треба да ја знаете дефиницијата и основните својства на модулот. Нормално, студентите треба да имаат вештини за решавање равенки од овој тип.
Основни концепти и својства
Модул (апсолутна вредност) на реален број означен и се дефинира како што следува:
Едноставните својства на модулот ги вклучуваат следниве односи:
Забелешка, дека последните две својства се валидни за кој било парен степен.
Покрај тоа, ако, каде, тогаш
Покомплексни својства на модулот, кои можат ефикасно да се користат за решавање на равенки со модули, се формулирани со помош на следниве теореми:
Теорема 1. За какви било аналитички функции и важи нееднаквоста
Теорема 2. Еднаквоста е еквивалентна на нееднаквоста.
Теорема 3. Еднаквост еднакво на нееднаквост.
Да разгледаме типични примери за решавање проблеми на темата „Равенки, што содржи променливи под знакот на модулот ".
Решавање на равенки со модул
Најчестиот метод во училишната математика за решавање на равенки со модул е \u200b\u200bметодот, врз основа на проширување на модулите. Овој метод е разноврсна, сепак, генерално, неговата примена може да доведе до многу незгодни пресметки. Во овој поглед, студентите треба да знаат и други, поефикасни методи и техники за решавање на такви равенки. Особено, мора да имате вештини за примена на теоремите, дадени во овој напис.
Пример 1.Решете ја равенката. (1)
Одлука. Равенката (1) ќе се реши со „класичниот“ метод - методот на проширување на модулите. За да го направите ова, ја поделивме оската на броеви поени и во интервали и разгледајте три случаи.
1. Ако, тогаш ,,, и равенката (1) добие форма. Оттука следува. Сепак, тука, според тоа, пронајдената вредност не е коренот на равенката (1).
2. Ако, тогаш од равенката (1) добиваме или
Од тогаш корен на равенка (1).
3. Ако, тогаш равенката (1) има форма или Забележи го тоа.
Одговор:,.
При решавање на последователни равенки со модул, ние активно ќе ги користиме својствата на модулите со цел да ја зголемиме ефикасноста на решавањето на таквите равенки.
Пример 2. Решете ја равенката.
Одлука. Бидејќи и, тогаш равенката подразбира... Во таа смисла,,, а равенката има форма... Оттука и ние... Сепак, затоа, оригиналната равенка нема корени.
Одговор: нема корени.
Пример 3. Решете ја равенката.
Одлука. Од тогаш. Ако тогаш, а равенката има форма.
Од тука добиваме.
Пример 4. Решете ја равенката.
Одлука.Ние ја препишуваме равенката во еквивалентна форма. (2)
Резултирачката равенка припаѓа на равенки од типот.
Земајќи ја предвид Теорема 2, може да се тврди дека равенката (2) е еквивалентна на нееднаквост. Од тука добиваме.
Одговор:.
Пример 5. Решете ја равенката.
Одлука. Оваа равенка има форма... Затоа, според теорема 3, тука ја имаме нееднаквоста или
Пример 6. Решете ја равенката.
Одлука. Да претпоставиме дека. Како, тогаш дадената равенка има форма на квадратна равенка, (3)
каде ... Бидејќи равенката (3) има единствен позитивен корен и потоа ... Оттука, добиваме два корени на оригиналната равенка: и.
Пример 7. Решете ја равенката. (4)
Одлука. Од равенката е еквивалентно на комбинација од две равенки: и, тогаш, при решавање на равенката (4), потребно е да се разгледаат два случаи.
1. Ако, тогаш или.
Од тука добиваме, и.
2. Ако, тогаш или.
Од тогаш.
Одговор: ,,,.
Пример 8. Решете ја равенката . (5)
Одлука. Од и тогаш. Од ова и од Eq. (5) произлегува дека и, т.е. тука го имаме системот на равенки
Сепак, овој систем на равенки е неконзистентен.
Одговор: нема корени.
Пример 9. Решете ја равенката. (6)
Одлука.Ако означиме, тогаш и од равенката (6) добиваме
Или (7)
Бидејќи равенката (7) има форма, оваа равенка е еквивалентна на нееднаквост. Од тука добиваме. Оттогаш, или.
Одговор:.
Пример 10. Решете ја равенката. (8)
Одлука. Според теорема 1, можеме да напишеме
(9)
Земајќи ја предвид равенката (8), заклучуваме дека и двете нееднаквости (9) се претвораат во еднаквости, т.е. важи системот на равенки
Сепак, според теорема 3, горенаведениот систем на равенки е еквивалентен на системот на нееднаквости
(10)
Решавајќи го системот на нееднаквости (10), добиваме. Бидејќи системот на нееднаквости (10) е еквивалентен на равенка (8), првичната равенка има еден корен.
Одговор:.
Пример 11. Решете ја равенката. (11)
Одлука. Нека, тогаш еднаквоста следи од равенката (11).
Оттука следува дека и. Така, тука имаме систем на нееднаквости
Решението за овој систем на нееднаквости е и.
Одговор:,.
Пример 12. Решете ја равенката. (12)
Одлука. Равенката (12) ќе се реши со методот на последователно проширување на модулите. За да го направите ова, разгледајте неколку случаи.
1. Ако, тогаш.
1.1. Ако, тогаш и ,.
1.2. Ако тогаш. Сепак, затоа, во овој случај, равенката (12) нема корени.
2. Ако, тогаш.
2.1. Ако, тогаш и ,.
2.2. Ако, тогаш и.
Одговор: ,,,,.
Пример 13. Решете ја равенката. (13)
Одлука. Бидејќи левата страна на Eq. (13) е негативна, и. Во врска со ова, и равенката (13)
има форма или.
Познато е дека равенката е еквивалентно на комбинацијата на две равенки и, одлучувајќи кои ќе ги добиеме, Како, тогаш равенката (13) има еден корен.
Одговор:.
Пример 14. Реши систем на равенки (14)
Одлука. Од и, тогаш и. Затоа, од системот на равенки (14) добиваме четири системи на равенки:
Корените на горенаведените системи на равенки се корените на системот на равенки (14).
Одговор: ,,,,,,,.
Пример 15. Реши систем на равенки (15)
Одлука. Од тогаш. Во овој поглед, од системот на равенки (15), добиваме два система на равенки
Корените на првиот систем на равенки се и, и од вториот систем на равенки добиваме и.
Одговор: ,,,.
Пример 16. Реши систем на равенки (16)
Одлука. Од првата равенка на системот (16) следува дека.
Од тогаш ... Размислете за втората равенка на системот. Колку штотогаш, а равенката има форма,, или.
Ако ја замените вредноста во првата равенка на системот (16), тогаш, или.
Одговор:,.
За подлабоко проучување на методите за решавање проблеми, поврзани со решавање на равенки, што содржи променливи под знакот на модулот, може ли да советувам упатства од списокот на препорачана литература.
1. Колекција на проблеми во математиката за апликантите за технички колеџи / Ед. М.И. Сканави. - М: Мир и образование, 2013 година .-- 608 стр.
2. Супрун В.П. Математика за средношколци: проблеми со зголемена сложеност. - М.: ЦД „Либроком“ / УРСС, 2017 година .-- 200 стр.
3. Супрун В.П. Математика за средношколци: нестандардни методи за решавање проблеми. - М.: ЦД „Либроком“ / УРСС, 2017 година .-- 296 стр.
Сè уште имате прашања?
За да добиете помош од тутор - регистрирајте се.
страница, со целосно или делумно копирање на материјалот, потребна е врска до изворот.
Модулот е апсолутна вредност на изразот. Барем некако да се означи модулот, вообичаено е да се користат директни загради. Вредноста што е затворена во прави загради е вредноста што се зема модул. Процесот на решавање на кој било модул се состои во проширување на многу десните загради, кои се нарекуваат модуларни загради на математички јазик. Нивното откривање се одвива според одреден број правила. Исто така, по редослед на решавање на модулите, тука се и множествата вредности на оние изрази што беа во заградите на модулите. Во повеќето од случаите, модулот се проширува на таков начин што изразот што беше субмодуларен добива и позитивни и негативни вредности, вклучувајќи ја и вредноста нула. Ако тргнеме од утврдените својства на модулот, тогаш во процесот се изготвуваат разни равенки или нееднаквости од оригиналниот израз, кои потоа треба да се решат. Ајде да дознаеме како да ги решиме модулите.
Процес на решение
Решението за модулот започнува со пишување на оригиналната равенка со модулот. За да одговорите на прашањето како да ги решите равенките со модул, треба целосно да ги проширите. За да се реши таквата равенка, модулот е проширен. Сите модуларни изрази мора да бидат земени предвид. Неопходно е да се утврди кои вредности на непознатите количини се вклучени во неговиот состав, модуларниот израз во заградите се претвора во нула. За да го направите ова, доволно е изразот да се изедначи во модуларни загради на нула, а потоа да се пресмета решението на добиената равенка. Пронајдените вредности мора да бидат евидентирани. На ист начин, исто така е неопходно да се одреди вредноста на сите непознати променливи за сите модули во оваа равенка. Следно, треба да се занимавате со дефинирање и разгледување на сите случаи на постоење на променливи во изразите кога тие се различни од вредноста нула. За да го направите ова, треба да напишете некој систем на нееднаквости според сите модули во оригиналната нееднаквост. Нееднаквостите треба да бидат дизајнирани така што да ги покриваат сите достапни и можни вредности за променливата што се наоѓаат на бројната линија. Тогаш треба да ја нацртате оваа многу нумеричка линија за визуелизација, на која во иднина ќе ги одложите сите добиени вредности.
Скоро сè сега може да се направи на Интернет. Модулот не е исклучок од правилото. Можете да го решите преку Интернет на еден од многуте современи ресурси. Сите оние вредности на променливата што се наоѓаат во нула модул ќе бидат посебна ограничување што ќе се користи во процесот на решавање на модуларната равенка. Во оригиналната равенка, потребно е да се прошират сите достапни модуларни загради, додека се менува знакот на изразот, така што вредностите на саканата променлива се совпаѓаат со оние вредности што може да се видат на бројната линија. Како резултат на равенката мора да се реши. Вредноста на променливата што ќе се добие при решавањето на равенката мора да се провери наспроти ограничувањето поставено од самиот модул. Ако вредноста на променливата целосно го задоволува условот, тогаш е точна. Сите корени што ќе се добијат за време на решението на равенката, но нема да одговараат на ограничувањата, мора да се отфрлат.
Една од најтешките теми за учениците е решавање равенки што содржат променлива под знакот на модул. Ајде да сфатиме за почеток, со што е ова поврзано? Зошто, на пример, квадратните равенки се кликови како ореви за повеќето деца, но со толку далеку од комплициран концепт како модул има толку многу проблеми?
Според мое мислење, сите овие потешкотии се поврзани со недостаток на јасно формулирани правила за решавање на равенки со модул. Значи, одлучувајќи квадратна равенка, ученикот сигурно знае дека треба прво да ја примени формулата за дискриминација, а потоа и формулата за корените на квадратната равенка. Но, што ако има модул во равенката? Tryе се обидеме јасно да го опишеме потребниот план за акција за случајот кога равенката содржи непозната под знакот на модул. Еве неколку примери за секој случај.
Но, прво, да се потсетиме дефиниција на модулот... Значи, модулот на бројот а самиот овој број се нарекува ако а негативно и -аако бројот а помалку од нула. Можете да го напишете вака:
| а | \u003d a ако a ≥ 0 и | a | \u003d -а ако а< 0
Говорејќи за геометриското чувство на модулот, треба да се запомни дека секој реален број одговара на одредена точка на нумеричката оска - нејзиниот k 
координира. Значи, модулот или апсолутната вредност на бројот е растојанието од оваа точка до потеклото на нумеричката оска. Растојанието е секогаш одредено како позитивен број. Така, апсолутната вредност на кој било негативен број е позитивен број. Патем, дури и во оваа фаза, многу студенти почнуваат да се збунуваат. Било кој број може да биде во модулот, но резултатот од примената на модулот е секогаш позитивен број.
Сега одиме директно на решавање на равенките.
1. Размислете за равенка на формата | x | \u003d c, каде c е реален број. Оваа равенка може да се реши со користење на дефиницијата за модул.
Сите реални броеви ги делиме на три групи: оние што се поголеми од нула, оние кои се помали од нула, а третата група е бројот 0. Да го напишеме решението во форма на дијаграм:
(± c ако c\u003e 0
Ако | x | \u003d c, тогаш x \u003d (0, ако c \u003d 0
(без корени ако се со< 0
1) | x | \u003d 5, затоа што 5\u003e 0, потоа x \u003d ± 5;
2) | x | \u003d -5, затоа што -пет< 0, то уравнение не имеет корней;
3) | x | \u003d 0, тогаш x \u003d 0.
2. Равенка на формата | f (x) | \u003d b, каде b\u003e 0. За да се реши оваа равенка, потребно е да се ослободиме од модулот. Ние го правиме тоа вака: f (x) \u003d b или f (x) \u003d -b. Сега е потребно да се решат одделно секоја од добиените равенки. Ако во оригиналната равенка b< 0, решений не будет.
1) | x + 2 | \u003d 4, затоа што 4\u003e 0, тогаш
x + 2 \u003d 4 или x + 2 \u003d -4
2) | x 2 - 5 | \u003d 11, затоа што 11\u003e 0, тогаш
x 2 - 5 \u003d 11 или x 2 - 5 \u003d -11
x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6
x \u003d ± 4 без корени
3) | x 2 - 5x | \u003d -8, затоа што -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Равенка на формата | f (x) | \u003d g (x). Во рамките на значењето на модулот, таквата равенка ќе има решенија ако нејзината десна страна е поголема или еднаква на нула, т.е. g (x) ≥ 0. Тогаш ќе имаме:
f (x) \u003d g (x)или f (x) \u003d -g (x).
1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Оваа равенка ќе има корени ако 5x - 10 ≥ 0. Овде започнува решението на таквите равенки.
1. О.Д.З. 5x - 10 ≥ 0
2. Решение:
2x - 1 \u003d 5x - 10 или 2x - 1 \u003d - (5x - 10)
3. Ние ја обединуваме ОДЗ. а решението е:
Коренот x \u003d 11/7 не се вклопува според O.D.Z., тој е помал од 2, а x \u003d 3 ја исполнува оваа состојба.
Одговор: x \u003d 3
2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.
1. О.Д.З. 1 - x 2 ≥ 0. Да ја решиме оваа нееднаквост со метод на интервали:
(1 - x) (1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x - 1 \u003d 1 - x 2 или x - 1 \u003d - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0
x \u003d -2 или x \u003d 1 x \u003d 0 или x \u003d 1
3. Ние го комбинираме растворот и ODZ:
Само корените x \u003d 1 и x \u003d 0 се соодветни.
Одговор: x \u003d 0, x \u003d 1.
4. Равенка на формата | f (x) | \u003d | g (x) |. Таквата равенка е еквивалентна на следниве две равенки f (x) \u003d g (x) или f (x) \u003d -g (x).
1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Оваа равенка е еквивалентна на следниве две:
x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 или x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5
x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0
x \u003d 3 или x \u003d 4 x \u003d 2 или x \u003d 1
Одговор: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.
5. Равенки решени со методот на замена (променлива замена). Овој метод на решение е најлесно да се објасни со специфичен пример. Значи, нека се даде квадратна равенка со модул:
x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Според својството на модулот x 2 \u003d | x | 2, така што равенката може да се препише на следниов начин:
| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Дозволете ни да ги замениме | x | \u003d t ≥ 0, тогаш ќе имаме:
t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Решавајќи ја оваа равенка, добиваме дека t \u003d 1 или t \u003d 5. Да се \u200b\u200bвратиме на замената:
| x | \u003d 1 или | x | \u003d 5
x \u003d ± 1 x \u003d ± 5
Одговор: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.
Да погледнеме друг пример:
x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Според својството на модулот x 2 \u003d | x | 2, затоа
| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Да ја направиме замената | x | \u003d t ≥ 0, тогаш:
t 2 + t - 2 \u003d 0. Решавајќи ја оваа равенка, добиваме t \u003d -2 или t \u003d 1. Да се \u200b\u200bвратиме на замената:
| x | \u003d -2 или | x | \u003d 1
Без корени x \u003d ± 1
Одговор: x \u003d -1, x \u003d 1.
6. Друг вид на равенки - равенки со „комплексен“ модул. Овие равенки вклучуваат равенки кои имаат „модули во модул“. Равенки од овој вид може да се решат со користење на својствата на модулот.
1) | 3 - | x || \u003d 4. Ние ќе продолжиме на ист начин како и во равенки од втор тип. Бидејќи 4\u003e 0, тогаш добиваме две равенки:
3 - | x | \u003d 4 или 3 - | x | \u003d -4.
Сега го изразуваме модулот x во секоја равенка, тогаш | x | \u003d -1 или | x | \u003d 7
Ние ја решаваме секоја од добиените равенки. Во првата равенка нема корени, затоа што -1< 0, а во втором x = ±7.
Одговорот е x \u003d -7, x \u003d 7.
2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Ние ја решаваме оваа равенка на ист начин:
3 + | x + 1 | \u003d 5 или 3 + | x + 1 | \u003d -5
| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8
x + 1 \u003d 2 или x + 1 \u003d -2. Без корени.
Одговор: x \u003d -3, x \u003d 1.
Постои и универзален метод за решавање на равенки со модул. Ова е методот на проред. Но, ќе го разгледаме подоцна.
страница, со целосно или делумно копирање на материјалот, потребна е врска до изворот.
Терминот (модул) буквално преведен од латински значи „мерка“. Овој концепт беше воведен во математиката од страна на англискиот научник Р. Котес. И германскиот математичар К.Вајертрас го воведе знакот за модул - симболот што го означува овој концепт при пишувањето.
Во контакт со
За прв пат, овој концепт се изучува по математика во програмата за средно училиште во 6 одделение. Според една дефиниција, модулот е апсолутна вредност на реалниот број. Со други зборови, за да ја дознаете апсолутната вредност на реалниот број, мора да го отфрлите неговиот знак.
Графички апсолутна вредност и означен како | а |.
Главната карактеристична карактеристика на овој концепт е тоа што тој секогаш е не-негативна величина.
Броевите кои се разликуваат едни од други само со знак се нарекуваат спротивни. Ако вредноста е позитивна, тогаш нејзината спротивност ќе биде негативна, а нулата е спротивна од самата себе.
Геометриско значење
Ако го разгледаме концептот на модул од гледна точка на геометријата, тогаш тој ќе го означи растојанието, кое се мери во единечни сегменти од потеклото до поставена точка... Оваа дефиниција целосно го открива геометриското значење на терминот што се изучува.
Ова може графички да се изрази на следниов начин: | а | \u003d ОА.
Апсолутни големини својства
Подолу ќе ги разгледаме сите математички својства на овој концепт и методите на пишување во форма на буквални изрази:
Карактеристики на решавање на равенки со модул
Ако зборуваме за решавање математички равенки и нееднаквости што содржат модул, тогаш треба да запомните дека за да ги решите треба да го отворите овој знак.
На пример, ако знакот на апсолутна вредност содржи некој математички израз, тогаш пред да го отворите модулот, потребно е да се земат предвид тековните математички дефиниции.
| А + 5 | \u003d А + 5ако, А е поголема или еднаква на нула.
5-А.ако, и вредноста е помала од нула.
Во некои случаи, знакот може да се прошири недвосмислено за какви било вредности на променливата.
Да земеме уште еден пример. Да изградиме координатна линија на која ги обележуваме сите нумерички вредности чија апсолутна вредност ќе биде 5.
Прво, треба да нацртате координатна линија, да го обележите потеклото на неа и да ја поставите големината на единичниот сегмент. Покрај тоа, линијата мора да има насока. Сега на оваа права линија е потребно да се применат ознаки, кои ќе бидат еднакви на вредноста на единичниот сегмент.
Така, можеме да видиме дека на оваа координатна линија ќе има две точки од интерес за нас со вредности од 5 и -5.
Единицата на број е лесно да се најде, а теоријата што стои зад неа е важна при решавање на проблеми.
Карактеристиките и правилата на обелоденување што се користат при решавање вежби и испити ќе бидат корисни за учениците и учениците. Заработете пари со вашето знаење на https://teachs.ru!
Што е модул во математиката
Модулот на број го опишува растојанието на бројната линија од нула до точка, без оглед на насоката во која лежи точката од нула. Математичка нотација : | x |.
Со други зборови, тоа е апсолутна вредност на бројот. Дефиницијата докажува дека вредноста никогаш не е негативна.
Карактеристики на модулот
Важно е да се запамети следниве својства:
Комплексен модул со број
Апсолутната вредност на сложениот број е должината на насочениот сегмент извлечен од почетокот на сложената рамнина до точката (a, b).
Оваа насочна линија е исто така вектор што претставува комплексен број a + би, така што апсолутната вредност на сложениот број е иста како големината (или должината) на векторот што претставува a + би.
Како да се решат равенките со модул
Равенка со модул е \u200b\u200bеднаквост што содржи израз на апсолутна вредност. Ако, за реален број, тоа претставува негово растојание од потеклото на бројната линија, тогаш нееднаквостите на модулите се вид на нееднаквост што се состои од апсолутни вредности.
Равенки како | x | \u003d а
Равенката | x | \u003d има два одговори x \u003d a и x \u003d –aбидејќи и двете опции се наоѓаат на координатната линија на растојание од 0.
Еднаквоста со апсолутната вредност нема решение ако вредноста е негативна.
Ако | x |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
Равенки од типот | x | \u003d | y |
Кога има апсолутни вредности од двете страни на равенките, треба да ги разгледате двете можности за прифатливи дефиниции - позитивни и негативни изрази.
На пример, за еднаквоста | x - a | \u003d | x + b | постојат две опции: (x - a) \u003d - (x + b) или (x - a) \u003d (x + b).
Равенки како | x | \u003d г.
Равенки од овој вид содржат апсолутна вредност на изразот со променлива лево од нула, и друга непозната десно. Променливата y може да биде поголема или помала од нула.
За да добиете одговор во оваа еднаквост, треба да решите систем од неколку равенки, во кој треба да бидете сигурни дека y е негативна вредност:
Решавање на нееднаквости со модул
За подобро разбирање како да го проширите модулот во различни видови на еднаквости и нееднаквости, треба да анализирате примери.
Равенки на формата | x | \u003d а
Пример 1 (алгебра одделение 6). Реши: | x | + 2 \u003d 4.
Одлука.
Таквите равенки се решаваат на ист начин како и еднаквостите без апсолутни вредности. Ова значи дека со поместување на непознатите налево и константите надесно, изразот не се менува.
Откако ја поместивме константата надесно, добивме: | x | \u003d 2.
Бидејќи непознатите се поврзани со апсолутна вредност, оваа еднаквост има два одговори: 2 и −2 .
Одговор: 2 и −2 .
Пример 2(алгебра одделение 7). Решете ја нееднаквоста | x + 2 | ≥ 1
Одлука.
Првото нешто што треба да направите е да ги пронајдете точките каде што се менува апсолутната вредност. За да го направите ова, изразот е еднаков на 0 ... Добиени: x \u003d –2.
Тоа значи дека –2 - пресвртна точка.
Да го поделиме интервалот на 2 дела:
- за x + 2 ≥ 0
[−1; + ∞).
- за x + 2< 0
Заеднички одговор за овие две нееднаквости е интервалот (−∞; –3].
Конечна одлука – комбинирање на одговорите на одделните делови:
x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
Одговор: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .
Равенки на формата | x | \u003d | y |
Пример 1 (алгебра одделение 8). Решете ја равенката со два модула: 2 * | x \u200b\u200b- 1 | + 3 \u003d 9 - | x - 1 |.
Одлука:
Одговор: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d − 1.
Пример 2 (алгебра одделение 8). Реши нееднаквост:
Одлука:
Равенки на формата | x | \u003d г.
Пример 1 (алгебра одделение 10). Пронајдете x:
Одлука:
Многу е важно да ја проверите десната страна, во спротивно можете да напишете погрешни корени како одговор. Од системот можете да видите што не лежи во јазот.
Одговор: x \u003d 0.
Збирен модул
Модул на разлика
Апсолутната вредност на разликата помеѓу два броја x и y е еднакво на растојанието помеѓу точките со координати X и Y на координатната линија.
Пример 1.
Пример 2.
Модул на негативен број
За да ја пронајдете апсолутната вредност на бројот што е помал од нула, треба да знаете колку е далеку од нула. Бидејќи растојанието е секогаш позитивно (невозможно е да се помине низ „негативни“ чекори, тие се само чекори во друга насока), резултатот е секогаш позитивен. Т.е.
Едноставно кажано, апсолутната вредност на негативниот број има спротивно значење.
Нула модул
Познат имот:
Ова е причината зошто апсолутната вредност не може да се каже дека е позитивна бројка: нулата не е ниту негативна ниту позитивна.
Модул на квадрат
Модулот на квадрат е секогаш еднаков на изразот на квадрат:
Примери на графикони со модул
Често на тестови и испити има задачи што можат да се решат само со анализа на графиконите. Да ги разгледаме таквите задачи.
Пример 1.
Дадена е функција f (x) \u003d | x | Неопходно е да се изгради графикон од - 3 до 3 со чекор од 1.
Одлука:
Објаснување: сликата покажува дека графикот е симетричен во однос на Y-оската.
Пример 2... Потребно е да се нацртаат и да се споредат графиконите на функциите f (x) \u003d | x - 2 | и g (x) \u003d | x | –2.
Одлука:
Објаснување: Константа во апсолутна вредност го поместува целиот граф надесно, ако неговата вредност е негативна, и лево ако е позитивна. Но, постојаната надворешност ќе го помести графиконот нагоре ако вредноста е позитивна, и надолу ако е негативна (како - 2 во функција g (x)).
Вертекс координира x (точката на која се поврзуваат две прави, горниот дел од графикот) е бројот со кој графот се поместува налево или надесно. И координата г. Дали е вредноста со која графикот се движи нагоре или надолу.
Можете да градите такви графикони користејќи апликации за заговор преку Интернет. Со нивна помош, визуелно може да видите како константите влијаат на функциите.
Интервал на методот во задачи со модул
Методот на проред е еден од најдобрите начини да се најде одговорот во проблемите на модулот, особено ако има неколку во изразот.
За да го користите методот, треба да го направите следново:
- Поставете го секој израз на нула.
- Пронајдете ги вредностите на променливите.
- Нанесете ги на нумеричката линија поените добиени во чекор 2.
- Одредете го знакот на изрази (негативна или позитивна вредност) во интервалите и нацртајте го симболот - или +, соодветно. Најлесен начин да се одреди знакот е користење на методот на замена (замена на која било вредност од интервалот).
- Решајте ги нееднаквостите со добиените знаци.
Пример 1... Решавање со метод на интервали.
Одлука:
