Предавање

Тригонометриска форма на комплексен број

Планирајте

1. Геометриски приказ на сложени броеви.

2. Тригонометриско означување на сложени броеви.

3. Дејства на сложени броеви во тригонометриска форма.

Геометриски приказ на сложени броеви.

а) Сложените броеви се претставени со точки на рамнина според следново правило: а + би = М ( а ; б ) (сл. 1).

Слика 1

б) Комплексен број може да се претстави со вектор кој започнува во точкатаЗА а крајот во дадена точка (сл. 2).

Слика 2

Пример 7. Конструирај точки што претставуваат сложени броеви:1; - јас ; - 1 + јас ; 2 – 3 јас (сл. 3).

Слика 3

Тригонометриско означување на сложени броеви.

Комплексен бројz = а + би може да се специфицира со користење на векторот на радиус со координати( а ; б ) (сл. 4).

Слика 4

Дефиниција . Векторска должина , што претставува комплексен бројz , се нарекува модул на овој број и се означува илир .

За кој било сложен бројz неговиот модулр = | z | се одредува единствено со формулата .

Дефиниција . Големината на аголот помеѓу позитивната насока на реалната оска и векторот , што претставува комплексен број, се нарекува аргумент на овој комплексен број и се означуваА рг z илиφ .

Аргумент за сложен бројz = 0 недефинирано. Аргумент за сложен бројz≠ 0 – количество со повеќе вредности и се определува во рок од член2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Арг z = арг z + 2πk , Кадеарг z – главната вредност на аргументот содржан во интервалот(-π; π] , тоа е-π < арг z ≤ π (понекогаш како главна вредност на аргументот се зема вредноста што припаѓа на интервалот .

Оваа формула когар =1 често се нарекува формула на Моивр:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Пример 11: Пресметај(1 + јас ) 100 .

Ајде да напишеме комплексен број1 + јас во тригонометриска форма.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , грев φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (кос + грешам )] 100 = ( ) 100 (кос 100 + грешам ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Извлекување на квадратен корен од комплексен број.

Кога се зема квадратен корен од комплексен броја + би имаме два случаи:

Акоб >о , Тоа ;

3.1. Поларни координати

Често се користи во авион поларен координатен систем . Се дефинира ако е дадена точка О, повикана столб, и зракот што произлегува од полот (за нас ова е оската Вол) – поларна оска.Позицијата на точката М е фиксирана со два броја: радиус (или радиус вектор) и агол φ помеѓу поларната оска и векторот.Се нарекува аголот φ поларен агол; мерено во радијани и броено спротивно од стрелките на часовникот од поларната оска.

Положбата на точка во поларниот координатен систем е дадена со подреден пар броеви (r; φ). На Пол r = 0,а φ не е дефиниран. За сите други точки r > 0,а φ се дефинира до член кој е множител на 2π. Во овој случај, паровите броеви (r; φ) и (r 1 ; φ 1) се поврзани со истата точка ако .

За правоаголен координатен систем xOyДекартовските координати на точка лесно се изразуваат во однос на нејзините поларни координати на следниов начин:

3.2. Геометриска интерпретација на комплексен број

Да разгледаме декартов правоаголен координатен систем на рамнината xOy.

Секој комплексен број z=(a, b) е поврзан со точка на рамнината со координати ( x, y), Каде координата x = a, т.е. реалниот дел од сложениот број, а координатата y = bi е имагинарниот дел.

Рамнина чии точки се сложени броеви е сложена рамнина.

На сликата, комплексниот број z = (а, б)одговара на точка M(x, y).

Вежбајте.Нацртајте сложени броеви на координатната рамнина:

3.3. Тригонометриска форма на комплексен број

Комплексен број на рамнината има координати на точка M(x;y). При што:

Пишување сложен број - тригонометриска форма на комплексен број.

Се нарекува бројот r модул комплексен број zи е назначен . Модулот е ненегативен реален број. За .

Модулот е нула ако и само ако z = 0, т.е. a = b = 0.

Се повикува бројот φ аргумент з и е назначен. Аргументот z е дефиниран двосмислено, како поларниот агол во поларниот координатен систем, имено до член кој е множител на 2π.

Тогаш прифаќаме: , каде φ е најмалата вредност на аргументот. Очигледно е дека

.

При подлабоко проучување на темата се воведува помошен аргумент φ*, таков што

Пример 1. Најдете ја тригонометриската форма на сложен број.

Решение. 1) разгледајте го модулот: ;

2) барате φ: ;

3) тригонометриска форма:

Пример 2.Најдете ја алгебарската форма на сложен број .

Тука е доволно да се заменат вредностите на тригонометриските функции и да се трансформира изразот:

Пример 3.Најдете го модулот и аргументот на комплексен број;

1) ;

2) ; φ – во 4 четвртини:

3.4. Операции со сложени броеви во тригонометриска форма

· Собирање и одземањеПопогодно е да се прави со сложени броеви во алгебарска форма:

· Множење– користејќи едноставни тригонометриски трансформации може да се покаже дека При множење, модулите на броеви се множат, а аргументите се додаваат: ;

2.3. Тригонометриска форма на сложени броеви

Нека векторот е наведен на сложената рамнина со бројот .

Да го означиме со φ аголот помеѓу позитивната полуоска Ox и векторот (аголот φ се смета за позитивен ако се мери спротивно од стрелките на часовникот, а инаку негативен).

Должината на векторот да ја означиме со r. Потоа. Означуваме и

Запишување на ненула комплексен број z во форма

се нарекува тригонометриска форма на комплексниот број z. Бројот r се нарекува модул на сложениот број z, а бројот φ се нарекува аргумент на овој комплексен број и се означува со Arg z.

Тригонометриска форма на запишување сложен број - (формула на Ојлер) - експоненцијална форма на пишување сложен број:

Комплексниот број z има бесконечно многу аргументи: ако φ0 е кој било аргумент на бројот z, тогаш сите останати може да се најдат со помош на формулата

За сложен број, аргументот и тригонометриската форма не се дефинирани.

Така, аргументот на ненулта комплексен број е секое решение на системот равенки:

(3)

Вредноста φ на аргументот на комплексен број z, кој ги задоволува неравенките, се нарекува главна вредност и се означува со arg z.

Аргументите Arg z и arg z се поврзани со

, (4)

Формулата (5) е последица на системот (3), затоа сите аргументи на сложен број ја задоволуваат еднаквоста (5), но не сите решенија φ од равенката (5) се аргументи на бројот z.

Главната вредност на аргументот на комплексен број не-нулта се наоѓа според формулите:

Формулите за множење и делење сложени броеви во тригонометриска форма се како што следува:

. (7)

Кога се подига комплексен број до природна моќност, се користи формулата Moivre:

При извлекување на коренот на комплексен број, се користи формулата:

, (9)

каде k=0, 1, 2, ..., n-1.

Задача 54. Пресметај каде .

Да го претставиме решението на овој израз во експоненцијална форма на пишување комплексен број: .

Ако тогаш.

Потоа, . Затоа, тогаш И , Каде.

Одговор: , во.

Задача 55. Запиши сложени броеви во тригонометриска форма:

А) ; б) ; V) ; G) ; г) ; д) ; и) .

Бидејќи тригонометриската форма на комплексен број е , тогаш:

а) Во сложен број: .

,

Затоа

б) , Каде ,

G) , Каде ,

д) .

и) , А , Тоа .

Затоа

Одговор: ; 4; ; ; ; ; .

Задача 56. Најдете ја тригонометриската форма на сложен број

.

Нека, .

Потоа, , .

Бидејќи и , , тогаш , и

Затоа, затоа

Одговор: , Каде.

Задача 57. Користејќи ја тригонометриската форма на сложен број, извршете ги следните дејства: .

Да ги замислиме бројките и во тригонометриска форма.

1), каде Потоа

Најдете ја вредноста на главниот аргумент:

Да ги замениме вредностите и во изразот, добиваме

2) , каде тогаш

Потоа

3) Да го најдеме количникот

Претпоставувајќи k=0, 1, 2, добиваме три различни вредности на саканиот корен:

Ако тогаш

ако тогаш

ако тогаш .

Одговор::

:

: .

Задача 58. Нека , , , се различни сложени броеви и . Докажете го тоа

број е реален позитивен број;

б) еднаквоста важи:

а) Да ги претставиме овие сложени броеви во тригонометриска форма:

Бидејќи .

Ајде да се преправаме дека. Потоа

.

Последниот израз е позитивен број, бидејќи синусните знаци содржат броеви од интервалот.

од бројот реално и позитивно. Навистина, ако a и b се сложени броеви и се реални и поголеми од нула, тогаш .

Освен тоа,

затоа се докажува потребната еднаквост.

Задача 59. Запиши го бројот во алгебарска форма .

Да го претставиме бројот во тригонометриска форма и потоа да ја најдеме неговата алгебарска форма. Ние имаме . За го добиваме системот:

Ова подразбира еднаквост: .

Примена на формулата на Moivre:

добиваме

Пронајдена е тригонометриската форма на дадениот број.

Сега да го напишеме овој број во алгебарска форма:

.

Одговор: .

Задача 60. Најдете го збирот , ,

Да ја разгледаме сумата

Применувајќи ја формулата на Моивр, наоѓаме

Оваа сума е збир од n членови на геометриска прогресија со именителот и првиот член .

Применувајќи ја формулата за збир на членовите на таквата прогресија, имаме

Изолирајќи го имагинарниот дел во последниот израз, наоѓаме

Изолирајќи го реалниот дел ја добиваме и следната формула: , , .

Задача 61. Најдете го збирот:

А) ; б) .

Според Њутновата формула за степенување имаме

Користејќи ја формулата на Моивр, наоѓаме:

Изедначувајќи ги реалните и имагинарните делови од добиените изрази за , имаме:

И .

Овие формули можат да бидат напишани во компактна форма како што следува:

,

, каде е целиот дел од бројот a.

Задача 62. Најди ги сите , за кои .

Затоа што , потоа, користејќи ја формулата

, За да ги извлечеме корените, добиваме ,

Оттука, , ,

, .

Точките што одговараат на броевите се наоѓаат на темињата на квадрат впишан во круг со радиус 2 со центар во точката (0;0) (сл. 30).

Одговор: , ,

, .

Задача 63. Решете ја равенката , .

По услов; затоа оваа равенка нема корен и затоа е еквивалентна на равенката.

За да може бројот z да биде корен на оваа равенка, бројот мора да биде n-ти корен од бројот 1.

Од тука заклучуваме дека првобитната равенка има корени утврдени од еднаквостите

,

Така,

,

т.е. ,

Одговор: .

Задача 64. Решете ја равенката во множеството сложени броеви.

Бидејќи бројот не е коренот на оваа равенка, тогаш за оваа равенка е еквивалентна на равенката

Тоа е, равенката.

Сите корени на оваа равенка се добиени од формулата (види задача 62):

; ; ; ; .

Задача 65. На сложената рамнина нацртајте множество точки што ги задоволуваат неравенките: . (втор начин за решавање на проблемот 45)

Нека .

Сложените броеви кои имаат идентични модули одговараат на точките во рамнината што лежат на круг центриран на почетокот, па затоа неравенката ги задоволува сите точки на отворен прстен ограничен со кругови со заеднички центар на почетокот и радиусите и (сл. 31). Нека некоја точка од сложената рамнина одговара на бројот w0. Број , има модул неколку пати помал од модулот w0 и аргумент поголем од аргументот w0. Од геометриска гледна точка, точката што одговара на w1 може да се добие со помош на хомотетија со центар на почетокот и коефициент, како и ротација во однос на потеклото со агол спротивно од стрелките на часовникот. Како резултат на примената на овие две трансформации на точките на прстенот (сл. 31), вториот ќе се трансформира во прстен ограничен со кругови со ист центар и радиуси 1 и 2 (сл. 32).

Конверзија имплементирано со помош на паралелен трансфер во вектор. Со пренесување на прстенот со центар во точката на наведениот вектор, добиваме прстен со иста големина со центарот во точката (сл. 22).

Предложениот метод, кој ја користи идејата за геометриски трансформации на авион, веројатно е помалку удобен за опишување, но е многу елегантен и ефективен.

Задача 66. Најдете ако .

Нека , тогаш и . Почетната еднаквост ќе има форма . Од условот за еднаквост на два сложени броја добиваме , , од кои , . Така,.

Да го запишеме бројот z во тригонометриска форма:

, Каде , . Според формулата на Моивр, наоѓаме .

Одговор: – 64.

Задача 67. За комплексен број најдете ги сите сложени броеви такви што , и .

Да го претставиме бројот во тригонометриска форма:

. Од тука, . За бројот што го добиваме , може да биде еднаков на или .

Во првиот случај , во вториот

.

Одговор:, .

Задача 68. Најдете го збирот на таквите броеви кои . Ве молиме наведете еден од овие броеви.

Забележете дека од самата формулација на проблемот може да се разбере дека збирот на корените на равенката може да се најде без да се пресметаат самите корени. Навистина, збирот на корените на равенката е коефициентот за , земен со спротивен знак (генерализирана теорема на Виета), т.е.

Учениците, училишната документација, извлекуваат заклучоци за степенот на владеење на овој концепт. Сумирајте го проучувањето на карактеристиките на математичкото размислување и процесот на формирање на концептот на комплексен број. Опис на методи. Дијагностички: Фаза I. Разговорот се водеше со наставник по математика кој предава алгебра и геометрија во 10-то одделение. Разговорот се случил откако поминало извесно време од почетокот...

Резонанца" (!)), која вклучува и проценка на сопственото однесување. 4. Критичка проценка на сопственото разбирање на ситуацијата (сомнежи). 5. Конечно, употреба на препораки од правната психологија (адвокатот го зема предвид психолошкиот аспекти на извршените професионални дејствија - професионална психолошка подготвеност).Да разгледаме сега психолошка анализа на правните факти...

Математика на тригонометриска замена и тестирање на ефективноста на развиената наставна методологија. Фази на работа: 1. Изработка на изборен предмет на тема: „Примена на тригонометриска замена за решавање на алгебарски задачи“ со ученици на часови со напредна математика. 2. Спроведување на развиениот изборен предмет. 3. Спроведување на дијагностички тест...

Когнитивните задачи се наменети само за дополнување на постоечките наставни средства и мора да бидат во соодветна комбинација со сите традиционални средства и елементи на воспитно-образовниот процес. Разликата меѓу образовните проблеми во наставата на хуманистичките и точните, од математичките, е само тоа што во историските проблеми нема формули, строги алгоритми и слично, што го отежнува нивното решавање. ...

За да ја одредите позицијата на точка на рамнина, можете да користите поларни координати [g, (r), Каде Ге растојанието на точката од потеклото, и (Р- аголот што го прави радиусот - векторот на оваа точка со позитивната насока на оската О.Позитивна насока на промена на аголот (РРазгледуваната насока е спротивно од стрелките на часовникот. Искористување на врската помеѓу Декартов и поларните координати: x = g cos avg,y = g грев (стр,

ја добиваме тригонометриската форма на запишување комплексен број

z - r(грев (p + i грев

Каде Г

Xi + y2, (p е аргумент на комплексен број, кој се наоѓа од

l X . y y

формули cos(p --, грев^9 = - или поради фактот што tg(p --, (p-arctg

Забележете дека при изборот на вредности срод последната равенка потребно е да се земат предвид знаците x и y.

Пример 47. Напиши комплексен број во тригонометриска форма 2 = -1 + l/Z /.

Решение. Да ги најдеме модулот и аргументот на комплексен број:

= yj 1 + 3 = 2 . Катче срдознаваме од односите cos(стр = -, sin(p = -.Потоа

добиваме cos(p = -,сууп

u/z g~

• - -. Очигледно се наоѓа точката z = -1 + V3-/
• 2 До 3

во вториот квартал: (Р= 120 °

Замена

2 к.. cos--h; грев

во формулата (1) пронајден 27Г L

Коментар. Аргументот за сложен број не е уникатно дефиниран, туку во рамките на член кој е повеќекратен од 2 стр.Потоа преку sp^gозначуваат

вредноста на аргументот затворена во (стр 0 %2 Потоа

А) ^ г = + 2кк.

Користејќи ја познатата формула на Ојлер д, ја добиваме експоненцијалната форма на пишување комплексен број.

Ние имаме r = g(co^(p + i?, p (p) = ge,

Операции на сложени броеви

• 1. Збирот на два комплексни броја r, = X] + y x/ и g 2 - x 2 + y 2 / се одредува според формулата r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' r
• 2. Операцијата на одземање сложени броеви се дефинира како инверзна операција на собирање. Комплексен број g = g x - g 2,Ако g 2 + g = g x,

е разликата на сложените броеви 2, и g 2.Тогаш r = (x, - x 2) + (y, - на 2) /.

• 3. Производ на два сложени броја g x= x, +y, -z и 2 2 = x 2+ U2 r се одредува со формулата
• *1*2 =(* + U„0 (Х 2+ Т 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + У1 У2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

Особено, г-год= (x + y-y) (x-y /) = x 2 + y 2.

Можете да добиете формули за множење сложени броеви во експоненцијални и тригонометриски форми. Ние имаме:

• 1^ 2 - G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + просечно 2) + изин
• 4. Поделбата на сложените броеви се дефинира како инверзна операција

множење, т.е. број Г--наречен количник на делење r! на g 2,

Ако g x -1 2 ? 2 . Потоа

X + Ti _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 д

јас (р г

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (Р-,)] >2 >2
• 5. Подигнувањето на комплексен број до позитивна цел бројна моќ најдобро се прави ако бројот е напишан во експоненцијални или тригонометриски форми.

Навистина, ако g = ge 1 тогаш

=(ge,) = g p e t = Г"(ко8 psr+ιт gkr).

Формула g" =r n (cosn(p+е n(p)наречена формула на Моивр.

6. Екстракција на корен П-та моќ на комплексен број е дефинирана како инверзна операција на подигање до моќ стр, п- 1,2,3,... т.е. комплексен број = y[gнаречен корен П-та моќ на комплексен број

е, ако Г = g x. Од оваа дефиниција произлегува дека g - g", А g x= l/g. (r-psr x,А sr^-sr/p, што следи од формулата на Моивр напишана за бројот = r/*+ іьіпп(р).

Како што е наведено погоре, аргументот на комплексен број не е уникатно дефиниран, туку до член кој е повеќекратен од 2 и.Затоа = (p + 2 pk, и аргументот на бројот r, во зависност од До,да означиме (р ки бу

дем пресметајте користејќи ја формулата (р к= - +. Јасно е дека постои Пком-

комплексни броеви, П- чија моќ е еднаква на бројот 2. Овие броеви имаат еден

и истиот модул еднаков y[g,а аргументите на овие бројки се добиваат со До = 0, 1, П - 1. Така, во тригонометриска форма, i-тиот корен се пресметува со формулата:

(стр + 2кп . . среда + 2кп

, До = 0, 1, 77-1,

.(p+2kg

а во експоненцијална форма - според формулата l[g - y[ge стр

Пример 48. Изврши операции на сложени броеви во алгебарска форма:

а) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 /? 3)(3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

Пример 49. Подигнете го бројот r = Uz - / до петтата сила.

Решение. Ја добиваме тригонометриската форма на запишување на бројот r.

G =л/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (Р =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

О - 2.-X2 + о

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (з-О“ (з-О

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) 'з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

Од тука О--, А r = 2

Го добиваме Moivre: јас -2

/ ^ _ 7G,. ?Г

• -СС-- ІБІП -

• --б / -

= -(l/w + g)= -2.

Пример 50: Најдете ги сите вредности

Решение, r = 2, a срнаоѓаме од равенката sob(p = -,zt--.

Оваа точка 1 - /d/z се наоѓа во четвртиот квартал, т.е. f =--. Потоа

• 1 - 2
• ( (УГ Л

Ги наоѓаме коренските вредности од изразот

V1 - /l/z = l/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- и 81P-

На До - 0 имаме 2 0 = l/2

Можете да ги најдете вредностите на коренот на бројот 2 со претставување на бројот на екранот

-* ДО/ 3 + 2 cl

На До= 1 имаме друга коренска вредност:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . ч

7G . . 7Г Л-С05- + 181П - 6 6

• --N-

ко? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

телијална форма. Бидејќи r= 2, а ср= , тогаш g = 2e 3, a y[g = г/2д 2