Работата на Манов „логаритамски нееднаквости во испитот“. Работа на Манов "логаритамски нееднаквости во испит" Како да се реши испит за логаритамски нееднаквости 15 задача
ЛОГАРИТМСКИ НЕДВИСНОСТИ ВО УПОТРЕБА
Сечин Михаил Александрович
Мала академија на науките за студенти на Република Казахстан „Трагач“
МБОУ „Советскаја средно училиште №1“, одделение 11, град. Советски округ Советски
Гунко udудмила Дмитриевна, наставник на МБОУ „Советско училиште №1“
Советска област
Цел: истрага на механизмот за решение логаритамски нееднаквости C3 со употреба на нестандардни методи, идентификување интересни факти логаритам.
Предмет на студијата:
3) Научете да решавате специфични логаритамски нееднаквости C3 користејќи нестандардни методи.
Резултати:
содржина
Вовед ………………………………………………………………………… .4
Поглавје 1. Позадина ………………………………………………… ... 5
Поглавје 2. Колекција на логаритамски нееднаквости ………………………… 7
2.1. Еквивалентни транзиции и генерализиран метод на интервали …………… 7
2.2. Метод на рационализација ………………………………………………… 15
2.3. Нестандардна замена ……………… .......................................... ..... 22
2.4. Мисии за стапици 27 фунти
Заклучок 30 фунти
Литература……………………………………………………………………. 31
Вовед
Јас сум 11 одделение и планирам да влезам на универзитет, каде предмет на профил е математика. Затоа, работам многу со проблемите од делот C. Во задачата C3, треба да решите нестандардна нееднаквост или систем на нееднаквости, обично поврзан со логаритми. Додека се подготвував за испитот, се соочив со проблемот на недостаток на методи и техники за решавање на логаритамските нееднаквости на испитот понудени во С3. Методи научени во наставна програма на училиште на оваа тема, не давајте основа за решавање на C3 задачи. Наставничката по математика ме покани да работам со задачите C3 самостојно под нејзино водство. Покрај тоа, ме интересираше прашањето: дали има логаритми во нашиот живот?
Имајќи го ова предвид, темата беше избрана:
„Логаритамски нееднаквости во испитот“
Цел: истрага на механизмот за решавање на проблеми со C3 со употреба на нестандардни методи, откривање на интересни факти за логаритмот.
Предмет на студијата:
1) Пронајдете ги потребните информации за нестандардни методи за решавање на логаритамски нееднаквости.
2) Најдете повеќе информации за логаритмите.
3) Научете да решавате специфични проблеми со C3 користејќи нестандардни методи.
Резултати:
Практичното значење лежи во проширувањето на апаратот за решавање на проблемите со C3. Овој материјал може да се користи на некои лекции, за кругови, воннаставни активности во математиката.
Проектот на проектот ќе биде збирката „Логаритамски C3 нееднаквости со решенија“.
Поглавје 1. Позадина
Во текот на XVI век, бројот на приближни пресметки се зголемил рапидно, пред се во астрономијата. Подобрување на инструментите, проучување на движењата на планетите и друга работа бараа колосални, понекогаш многу години, пресметки. Астрономијата беше во реална опасност да се удави во неисполнети пресметки. Потешкотии се појавија во други области, на пример, во осигурителниот бизнис, потребни беа табели со сложен интерес за различни вредности на интерес. Главната тешкотија беше претставена со множење, поделба на повеќецифрени броеви, особено со тригонометриски величини.
Откривањето на логаритмите се засноваше на добро познатите својства на напредокот до крајот на 16 век. Архимед зборуваше за поврзаноста помеѓу членовите на геометриската прогресија q, q2, q3, ... и аритметичката прогресија на нивните експоненти 1, 2, 3, ... во Псалмот. Друг предуслов беше проширувањето на концептот на степен на негативни и фракциони индикатори. Многу автори истакнаа дека множењето, поделбата, експоненцијацијата и извлекувањето на коренот експоненцијално одговараат во аритметиката - по истиот редослед - собирање, одземање, множење и поделба.
Ова беше идејата зад логаритмот како експонент.
Поминаа неколку фази во историјата на развојот на доктрината на логаритмите.
Фаза 1
Логаритмите биле измислени најдоцна во 1594 година независно од шкотскиот барон Напиер (1550-1617) и десет години подоцна од швајцарскиот механичар Бурги (1552-1632). И двајцата сакаа да дадат ново пригодно средство за аритметички пресметки, иако и пристапија на оваа задача на различни начини. Непер кинематички ја изрази логаритамската функција и така влезе во ново поле на теорија на функции. Бурги остана врз основа на разгледување дискретни прогресии. Сепак, дефиницијата на логаритмот за двата не личи на модерната. Терминот „логаритам“ (логаритам) му припаѓа на Напиер. Тоа произлезе од комбинација на грчки зборови: логос - "однос" и арикмо - "број", што значеше "број на односи". Првично, Напиер користеше поинаков поим: нумерични вештачки - „вештачки броеви“, за разлика од нумеричките натурали - „природни броеви“.
Во 1615 година, во разговор со Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика на колеџот Греш во Лондон, Напиер предложи да се земе нула за логаритам на единство и 100 за логаритам од десет, или, што се сведува на истата работа, едноставно 1. Така се појавија децимални логаритми и беа испечатени првите логаритамски табели. Подоцна, табелите на Бригс беа надополнети од холандскиот книжар и lубител на математиката Андријан Флек (1600-1667). Напир и Бригс, иако дојдоа во логаритми порано од кој било друг, своите маси ги објавија подоцна од другите - во 1620 година. Логовите и знаците за најавување беа воведени во 1624 година од И. Кеплер. Терминот „природен логаритам“ беше воведен од Менголи во 1659 година, следен од Н. Меркатор во 1668 година, а лондонскиот учител Johnон Спејдел објави табели на природни логаритми со броеви од 1 до 1000 под насловот „Нови логаритми“.
Првите логаритамски табели на руски јазик беа објавени во 1703 година. Но, во сите логаритамски табели, направени се грешки во пресметката. Првите табели без грешки беа објавени во Берлин во 1857 година, изменето од германскиот математичар К. Бремикер (1804-1877).
Фаза 2
Понатамошниот развој на теоријата на логаритми е поврзан со поширока примена на аналитичка геометрија и бесконечно мал камен. Воспоставувањето врска помеѓу квадратурата на рамнострана хипербола и природниот логаритам датира од тоа време. Теоријата на логаритмите од овој период е поврзана со имињата на голем број математичари.
Германскиот математичар, астроном и инженер Николаус Меркатор во составот
„Логаритамска техника“ (1668) дава серија што дава проширување на ln (x + 1) во
моќ на x:
Овој израз точно одговара на текот на неговата мисла, иако, се разбира, тој не ги користеше знаците г, ..., туку повеќе незгодни симболи. Со откривањето на логаритамската серија, техниката за пресметување на логаритмите се смени: тие почнаа да се одредуваат со употреба на бесконечни серии. На неговите предавања „Елементарна математика од повисока гледна точка“, прочитана во 1907-1908 година, Ф. Клајн предложи да се користи формулата како почетна точка за конструирање на теоријата на логаритмите.
Фаза 3
Дефиниција логаритамска функција како функција на инверзната
експоненцијален, логаритам како индикатор за степенот на дадена основа
не беше веднаш формулиран. Композиција на Леонард Олер (1707-1783)
Вовед во анализата на бесконечно (1748) служеше како понатаму
развој на теоријата на логаритамската функција. Така,
поминаа 134 години од првото воведување на логаритмите
(сметајќи од 1614 година) пред математичарите да дојдат до дефиницијата
концептот на логаритам, кој сега е основа на училишниот курс.
Поглавје 2. Колекција на логаритамски нееднаквости
2.1. Еквивалентни транзиции и метод на генерализиран интервал.
Еквивалентни транзиции
ако a\u003e 1
ако 0 <
а <
1
Генерализиран метод на интервал
Овој метод е најразновиден за решавање на нееднаквости од скоро било кој тип. Шемата за решение изгледа вака:
1. Намалете ја нееднаквоста до формата каде што е функцијата 
, и десно 0.
2. Пронајдете го доменот на функцијата .
3. Пронајдете ги нулите на функцијата , односно да се реши равенката 
(и решавањето на равенка е обично полесно отколку решавањето на нееднаквост).
4. Нацртајте ги доменот и нулите на функцијата на бројната линија.
5. Одреди ги знаците на функцијата во добиените интервали.
6. Изберете интервали каде што функцијата ги зема потребните вредности и запишете го одговорот.
Пример 1.
Одлука:
Да го примениме методот на проред
од каде
За овие вредности, сите изрази под знакот на логаритмите се позитивни.
Одговор:
Пример 2.
Одлука:
1-ви начин . ODZ е одредена од нееднаквоста x \u003e 3. Преземање на логаритам за такви x основа 10, добиваме
Последната нееднаквост може да се реши со примена на правилата за распаѓање, т.е. споредување на факторите на нула. Меѓутоа, во овој случај, лесно е да се одредат интервалите на постојаноста на функцијата
затоа, можете да го примените методот на интервали.
Функција ѓ(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ е континуиран на x \u003e 3 и исчезнува на точките x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Така, ги дефинираме интервалите на постојаноста на функцијата ѓ(x):
Одговор:
2-ри начин . Дозволете ни да ги примениме идеите за методот на интервали директно на оригиналната нееднаквост.
За да го направите ова, потсетете се дека изразите а б - а в и ( а - 1)(б - 1) има еден знак. Тогаш нашата нееднаквост за x \u003e 3 е еквивалентно на нееднаквоста
или
Последната нееднаквост се решава со метод на интервали
Одговор:
Пример 3.
Одлука:
Да го примениме методот на проред
Одговор:
Пример 4.
Одлука:
Од 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 за сите реални xтогаш
За да ја решиме втората нееднаквост, го користиме методот на интервали
Во првата нееднаквост, ние ја правиме замената
тогаш стигнуваме до нееднаквоста 2y 2 - г. - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г.кои ја задоволуваат нееднаквоста -0,5< г. < 1.
Од каде, оттогаш
ја добиваме нееднаквоста
што се спроведува со оние xза кои 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Сега, земајќи го предвид решението за втората нееднаквост на системот, конечно го добиваме
Одговор:
Пример 5.
Одлука:
Нееднаквоста е еквивалентна на збир на системи
или
Да го примениме методот на интервали или
Одговор:
Пример 6.
Одлука:
Нееднаквоста е еквивалентна на системот
Нека биде
тогаш г. > 0,
и првата нееднаквост
системот има форма
или со проширување
квадратен трином според фактори,
Примена на методот на интервали до последната нееднаквост,
гледаме дека неговите решенија ја задоволуваат состојбата г. \u003e 0 ќе биде сè г. > 4.
Така, првичната нееднаквост е еквивалентна на системот:
Значи, решенијата за нееднаквоста се сите
2.2. Метод на рационализација.
Претходно, методот за рационализирање на нееднаквоста не беше решен, не беше познат. Ова е „нов модерен ефективен метод за решавање на експоненцијални и логаритамски нееднаквости“ (цитат од книгата на С. И. Колесникова)
И дури и ако наставникот го познавал, имало страв - дали испитувачот го познава, и зошто не му е даден на училиште? Имаше ситуации кога наставникот му рече на ученикот: "Каде го најдовте? Седнете - 2."
Сега методот е широко промовиран. А, за експертите има упатства поврзани со овој метод, и во „Најкомплетните изданија на варијантите на моделот ...“ во решението C3 се користи овој метод.
ПРЕКРАСЕН МЕТОД!
„Магична маса“
Во други извори
ако a\u003e 1 и b\u003e 1, потоа најавете ги a b\u003e 0 и (a -1) (b -1)\u003e 0;
ако a\u003e 1 и 0 ако 0<а<1 и b
>1, потоа најавете се a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ако 0<а<1 и 00 и (a -1) (b -1)\u003e 0. Горенаведеното резонирање е едноставно, но значително го поедноставува решението на логаритамските нееднаквости. Пример 4.
лог x (x 2 -3)<0
Одлука:
Пример 5.
лог 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Одлука: Пример 6.
За да се реши оваа нееднаквост, наместо именителот, пишуваме (x-1-1) (x-1), а наместо броителот - производот (x-1) (x-3-9 + x). Пример 7.
Пример 8.
2.3. Нестандардна замена. Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
лог 4 (3 x -1) дневник 0,25 Да ја направиме замената y \u003d 3 x -1; тогаш оваа нееднаквост добива форма Дневник 4 дневник 0,25 Како што дневник 0,25 Ние ја правиме промената t \u003d log 4 y и ја добиваме нееднаквоста t 2 -2t + ≥0, чие решение е интервалите - Така, за да ги најдеме вредностите на y, имаме збир од две наједноставни нееднаквости Затоа, оригиналната нееднаквост е еквивалентна на збир од две експоненцијални нееднаквости, Решението за првата нееднаквост на овој сет е интервалот 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Пример 8.
Одлука:
Нееднаквоста е еквивалентна на системот Решението за втората нееднаквост, што го одредува DHS, е множеството на тие x,
за кого x > 0.
За да ја решиме првата нееднаквост, ја правиме промената Потоа ја добиваме нееднаквоста или Множеството решенија за последната нееднаквост се наоѓа со методот интервали: -1< т < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, добиваме или Многу од тие xкои ја задоволуваат последната нееднаквост припаѓа на ОДЗ ( x \u003e 0), според тоа, е решение за системот а оттука и оригиналната нееднаквост. Одговор: 2.4. Трап потраги. Пример 1.
Одлука. Нееднаквостите на ОДЗ ги исполнуваат условите 0 Пример 2.
дневник 2 (2 x + 1-x 2)\u003e дневник 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Одговор... (0; 0,5) У.
Одговор :
(3;6)
.
\u003d -лог 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, а потоа ја запишуваме последната нееднаквост како 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Решението за овој сет е интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.
тоа е тоталитетот 
... Така, оригиналната нееднаквост важи за сите вредности на x од интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Затоа, сите x од интервалот 0
Заклучок
Не беше лесно да се најдат посебни методи за решавање на проблемите со C3 од големото изобилство на различни образовни извори. Во текот на сработеното, можев да проучам нестандардни методи за решавање на комплексни логаритамски нееднаквости. Тоа се: еквивалентни транзиции и генерализиран метод на интервали, метод на рационализација , нестандардна замена , задачи со стапици на ODZ. Овие методи се отсутни во училишната програма.
Користејќи различни методи, ги решив 27-те нееднаквости предложени на испитот во делот Ц, поточно C3. Овие нееднаквости со решенија по методи ја формираа основата на колекцијата „Логаритамски Ц3 нееднаквости со решенија“, која стана производ на проектот на мојата работа. Хипотезата што ја поставив на почетокот на проектот беше потврдена: задачите C3 можат ефикасно да се решат, знаејќи ги овие методи.
Покрај тоа, најдов интересни факти за логаритмите. За мене беше интересно да го сторам тоа. Моите производи за дизајн ќе бидат корисни и за учениците и за наставниците.
Заклучоци:
Така, поставената цел на проектот е постигната, проблемот е решен. И, го добив најкомплетното и разноврсно искуство во проектните активности во сите фази на работа. Во текот на работата на проектот, моето главно влијание врз развојот беше врз менталната компетентност, активности поврзани со логички ментални операции, развој на креативна компетентност, лична иницијатива, одговорност, истрајност, активност.
Гаранција за успех при креирање на истражувачки проект за Станав: значајно училишно искуство, можност за извлекување информации од разни извори, проверка на неговата сигурност, рангирање според важноста.
Покрај директното предметно знаење по математика, тој ги прошири своите практични вештини од областа на компјутерските науки, се здоби со нови знаења и искуства од областа на психологијата, воспостави контакти со соучениците и научи да соработува со возрасни. Во текот на проектните активности, беа развиени организациски, интелектуални и комуникативни општи образовни вештини и способности.
Литература
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Системи на нееднаквости со една варијабла (типични задачи C3).
2. Malkova AG Подготовка за испит по математика.
3. Самарова СС Решение на логаритамски нееднаквости.
4. Математика. Колекција на работи за обука изменето од А.Л. Семијонов и И.В. Јашченко. -М.: MTsNMO, 2009 година. - 72 стр. -
Написот е посветен на анализата на 15 задачи од профилот КОРИСТЕЕ во математиката за 2017 година. Во оваа задача, на студентите им се нуди да ги решат нееднаквостите, најчесто логаритамските. Иако може да има индикативни. Оваа статија дава анализа на примери на логаритамски нееднаквости, вклучувајќи ги и оние што содржат променлива во основата на логаритмот. Сите примери се земени од отворената банка на задачи КОРИСТЕЕ по математика (профил), така што ваквите нееднаквости веројатно ќе наидат на испит како задача 15. Идеални за оние кои сакаат да научат како да ја решат задачата 15 од вториот дел од профилот КОРИСТЕТЕ во краток временски период во математика за да добиете повеќе поени на испитот.
Анализа на 15 задачи од испит за профил по математика
| Пример 1. Решете ја нееднаквоста: |
Во задачите на 15-ти испит по математика (профил), честопати се среќаваат логаритамски нееднаквости. Решавањето на логаритамските нееднаквости започнува со одредување на опсегот на прифатливи вредности. Во овој случај, нема основа на двата логаритма, има само бројот 11, што во голема мера ја поедноставува задачата. Затоа, единственото ограничување што го имаме тука е дека двата израза под знакот на логаритмот се позитивни:
Наслов \u003d "(! LANG: Пренесено од QuickLaTeX.com">!}
Првата нееднаквост во системот е квадратната нееднаквост. За да го решиме, навистина не би болило да ја факторизираме левата страна во фактори. Мислам дека знаете дека секој квадратен трином на формата 
се факторизира како што следува:
каде и се корените на равенката. Во овој случај, коефициентот е 1 (ова е нумерички коефициент пред). Коефициентот е исто така 1, а коефициентот е пресретнување, тој е -20. Корените на триномот најлесно се одредуваат со теоремата на Виета. Равенката што ја дадовме, тогаш збирот на корените ќе биде еднаков на коефициентот со спротивниот знак, односно -1, а производот на овие корени ќе биде еднаков на коефициентот, односно -20. Лесно е да се погоди дека корените ќе бидат -5 и 4.
Сега левата страна на нееднаквоста може да се факторизира: title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X во точките -5 и 4. Оттука, посакуваното решение за нееднаквоста е интервал. За оние кои не разбираат што пишува тука, деталите можете да ги видите на видеото, почнувајќи од овој момент. Таму ќе најдете и детално објаснување за тоа како е решена втората нееднаквост на системот. Се решава. Покрај тоа, одговорот е потполно ист како и за првата нееднаквост на системот. Тоа е, множеството напишано погоре е регион на прифатливи вредности на нееднаквост.
Значи, земајќи ја предвид факторизацијата, првичната нееднаквост има форма:
Користејќи ја формулата, доведуваме 11 до моќта на изразот под знакот на првиот логаритам, а вториот логаритам го поместуваме на левата страна од нееднаквоста, додека го менуваме неговиот знак на спротивното:
По намалувањето добиваме:
Последната нееднаквост, како резултат на зголемената функција, е еквивалентна на нееднаквоста 
, чие решение е интервалот 
... Останува да се пресече со опсегот на прифатливи вредности на нееднаквост, и ова ќе биде одговорот на целата задача.
Значи, посакуваниот одговор на задачата е:
Ја сфативме оваа задача, сега се свртивме кон следниот пример за задачата 15 КОРИСТЕЕ по математика (профил).
| Пример 2. Решете ја нееднаквоста:
|
Решението го започнуваме со одредување на опсегот на прифатливи вредности на оваа нееднаквост. Во основата на секој логаритам мора да има позитивен број што не е еднаков на 1. Сите изрази под знакот на логаритмот мора да бидат позитивни. Не треба да има нула во именителот на дропката. Последниот услов е еквивалентен на тој, бидејќи само во спротивно исчезнуваат двата логаритма во именителот. Сите овие услови го одредуваат опсегот на прифатливи вредности на оваа нееднаквост, што е дефинирано од следниот систем на нееднаквости:
Наслов \u003d "(! LANG: Пренесено од QuickLaTeX.com">!}
Во опсегот на валидни вредности, можеме да ги користиме формулите за трансформација на логаритмот за да ја поедноставиме левата страна на нееднаквоста. Користење на формулата 
ослободи се од именителот:
Сега имаме само основни логаритми. Ова е веќе поудобно. Следно, ја користиме формулата, а исто така и формулата со цел да го донесеме изразот вреден слава во следнава форма:
Во пресметките, го искористивме она што е во опсегот на прифатливи вредности. Користејќи ја замената, доаѓаме до изразот:
Ние користиме уште една замена:. Како резултат, доаѓаме до следниот резултат:
Значи, постепено се враќаме на оригиналните варијабли. Прво до променливата:
„РЕШЕНИЕ НА ЛОГАРИТМСКИТЕ ИНДЕКВАЛИТЕТИ (ЗЕМЈА US15 КОРИСТЕЕ НА ПРОФИЛОТ). ПРИМЕНА НА ЛОГАРИТМИТЕ ВО РАЗЛИЧНИ СПЕРИ НА UMИВОТОТ НА ЧОВЕКОТ “
Епиграфот на лекцијата ќе биде зборовите на Морис Клајн „Музиката може да ја воздигне или смири душата, сликарството може да го задоволи окото, поезијата може да разбуди чувства, филозофијата може да ги задоволи потребите на умот, инженерството може да ја подобри материјалната страна на животот на луѓето иматематиката може да ги постигне сите овие цели »
Сега да создадеме расположение за успех!
Ние ќе одговориме на следниве прашања:
Практиката на проверка на испитни трудови, а јас сум испитувач за УСО во математиката од 2005 година, покажува дека најголема тешкотија за учениците е решението на трансценденталните нееднаквости, особено логаритамските нееднаквости со променлива основа.
Затоа, предлагам да се разгледа, прво, методот на рационализација (методот на распаѓање Моденов), или на друг начин наречен, методот на замена на мултипликаторите Голубев, што овозможува да се намалат сложените, особено логаритамските нееднаквости, до систем на поедноставни рационални нееднаквости.
Така, на пример, при решавање на нееднаквоста
во евалуативната верзија, предложена до експертите на испитот, дадено е следното решение:
Предлагам да го користите методот на рационализација:
Решавање на првата нееднаквост со метод на интервали и земање во предвид што го добиваме
Решение за следната нееднаквост
го видов вака:
И им објаснив на студентите дека понекогаш графичкото решение е поедноставно.
И како резултат, решението за оваа нееднаквост има форма:
Размислете за нееднаквоста
Решавајќи ја оваа нееднаквост, може да се користи формулата
но да се оди во базата е број, и апсолутно кој било:
и да ја решиме добиената нееднаквост со метод на интервали:
ОДЗ: 
и да ја решиме добиената нееднаквост со метод на интервали
и земајќи ја предвид ODZ добиваме:
И, решавајќи го следниот тип на нееднаквост, учениците, кога го запишуваат одговорот, обично губат едно од решенијата. Дефинитивно треба да обрнете внимание на ова.
Пронајдете ја ОДЗ:
и извршиме замена: добиваме:
Го привлекувам вашето внимание на фактот дека честопати студентите кои ја решаваат оваа, како резултат на нееднаквост, го отфрлаат именителот, со што губат едно од решенијата:
Со оглед на ОДЗ, добиваме: и
И на крајот од лекцијата, им нудам на студентите интересни факти за примената на логаритмите во различни области.
Каде и да има процеси што се менуваат со текот на времето, се користат логаритми.
Логаритмите се математички концепт што се користи во сите гранки на науката: хемија, биологија, физика, географија, компјутерски науки и многу други, но најшироката примена на логаритмите се наоѓа во економијата.
