Комплексни деривати. Логаритамски дериват.
Изводот на експоненцијалната функција

Ние продолжуваме да ја подобруваме нашата техника на диференцијација. На оваа лекција, ќе го консолидираме покриениот материјал, ќе разгледаме посложени деривати и исто така ќе се запознаеме со нови техники и трикови за наоѓање на дериватот, особено со логаритамскиот дериват.

Оние читатели со ниско ниво на обука треба да се повикаат на написот Како да го најдам дериватот? Примери за решение, што ќе ги подигне вашите вештини речиси од нула. Следно, треба внимателно да ја проучите страницата Дериват на комплексна функција, разберете и решете сите примерите што ги дадов. Оваа лекција е логично трета по ред и откако ќе ја совладате самоуверено ќе разликувате прилично сложени функции. Пожелно е да се придржуваме до позицијата „Каде на друго место? И доста е! “Бидејќи сите примери и решенија се земени од вистински тестови и често се наоѓаат во пракса.

Да почнеме со повторување. На лекцијата Дериват на комплексна функцијаразгледавме голем број примери со детални коментари. Во текот на проучувањето на диференцијалниот калкулус и другите гранки на математичката анализа, ќе мора многу често да разликувате и не е секогаш погодно (и не секогаш потребно) да пишувате примери во многу детали. Затоа, ќе вежбаме да наоѓаме деривати усно. Најсоодветни „кандидати“ за ова се деривати од наједноставните сложени функции, на пример:

Со правило на диференцијација на комплексна функција :

Кога проучувате други теми на матан во иднина, таквата детална белешка честопати не е потребна, се претпоставува дека студентот е во состојба да најде слични деривати на автоматскиот автоматски пилот. Замислете дека во 3 часот утрото заgвони телефонот и пријатен глас праша: „Кој е дериватот на тангентата на два Х?“ Ова треба да биде проследено со скоро инстантен и polубезен одговор: .

Првиот пример ќе биде веднаш наменет за независно решение.

Пример 1

Пронајдете ги следниве деривати усно, во еден чекор, на пример:. За да ја завршите задачата, треба да користите само табела на деривати на основните функции (ако сè уште не е запаметен). Ако имате било какви потешкотии, препорачувам да ја препрочитате лекцијата. Дериват на комплексна функција.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Одговори на крајот од лекцијата

Комплексни деривати

По прелиминарната подготовка на артилеријата, примерите со додатоци на функциите 3-4-5 ќе бидат помалку застрашувачки. Можеби следниве два примери за некои ќе изгледаат тешки, но ако ги разбирате (некој ќе страда), тогаш скоро сè друго во диференцијалниот калкулус ќе изгледа како детска шега.

Пример 2

Пронајдете дериват на функција

Како што веќе беше забележано, при наоѓање на дериват на комплексна функција, пред сè, потребно е нелиРАЗБИРАТЕ прилози. Во случаи кога има сомнежи, ве потсетувам на корисна техника: ја земаме експерименталната вредност на „Х“, на пример, и се обидуваме (ментално или нацрт) да ја замениме оваа вредност во „ужасниот израз“.

1) Прво треба да го пресметаме изразот, што значи дека износот е најдлабоката инвестиција.

2) Потоа треба да го пресметате логаритмот:

4) Потоа подигнете го косинусот на коцка:

5) На петтиот чекор, разликата:

6) И, конечно, најоддалечената функција е квадратниот корен:

Формула за диференцијација на комплексната функција се применуваат во обратен редослед, од најоддалечената функција до најдлабоката. Ние одлучуваме:

Се чини без грешки.

(1) Земете го дериватот на квадратниот корен.

(2) Земете го дериватот на разликата користејќи го правилото

(3) Изводот на тројката е нула. Во вториот мандат, го земаме дериватот на степенот (коцка).

(4) Земете го дериватот на косинусот.

(5) Земете го дериватот на логаритмот.

(6) Конечно, го земаме дериватот на најдлабокото гнездење.

Можеби звучи премногу тешко, но ова не е најбруталниот пример. Земете ја, на пример, колекцијата на Кузнецов и ќе ја цените целата привлечност и едноставност на анализираниот дериват. Забележав дека сакаат да дадат слична работа на испит за да проверат дали студентот разбира како да најде извод од комплексна функција или не разбира.

Следниот пример е за независно решение.

Пример 3

Пронајдете дериват на функција

Совет: Прво ги применуваме правилата за линеарност и правилото за диференцијација на производот

Целосно решение и одговор на крајот од упатството.

Сега е време да преминеме на нешто покомпактно и слатко.
Не е невообичаено за пример да се даде производ на не две, туку три функции. Како да се најде дериватот на производот од три фактори?

Пример 4

Пронајдете дериват на функција

Прво, да видиме дали е можно производот на три функции да се претвори во производ на две функции? На пример, ако имавме два полинома во производот, тогаш би можеле да ги прошириме заградите. Но, во овој пример, сите функции се различни: степен, експонент и логаритам.

Во такви случаи, тоа е потребно доследноприменуваат правило за диференцијација на производи двапати

Трикот е во тоа што за „y“ означуваме производ на две функции:, и за „ve“ - логаритмот:. Зошто може да се направи ова? Дали е тоа - ова не е производ на два фактори и правилото не работи?! Нема ништо комплицирано:

Сега останува да се примени правилото по втор пат до заградата:

Сè уште можете да бидете перверзни и да ставите нешто надвор од заградите, но во овој случај подобро е да го оставите одговорот во оваа форма - ќе биде полесно да се провери.

Разгледуваниот пример може да се реши на втор начин:

Двете решенија се апсолутно еквивалентни.

Пример 5

Пронајдете дериват на функција

Ова е пример за независно решение, во примерокот е решено на прв начин.

Да разгледаме слични примери со дропки.

Пример 6

Пронајдете дериват на функција

Постојат неколку начини да се оди тука:

Или вака:

Но, решението ќе биде напишано покомпактно ако пред сè го користиме правилото за диференцирање на количникот , земајќи за целиот бројач:

Во принцип, примерот е решен, и ако го оставите како што е, тоа нема да биде грешка. Но, ако имате време, секогаш е препорачливо да проверите нацрт, но дали е можно да се поедностави одговорот? Да го намалиме изразот на броителот на заеднички именител и ослободи се од трикатната фракција:

Недостаток на дополнителни поедноставувања е тоа што постои ризик да се направи грешка не кога се наоѓа дериват, туку кога станува збор за банални училишни трансформации. Од друга страна, наставниците често одбиваат задача и бараат да го „донесат на ум“ дериватот.

Поедноставен пример за решение „направи сам“:

Пример 7

Пронајдете дериват на функција

Ние продолжуваме да ги совладуваме методите за наоѓање на дериватот и сега ќе разгледаме типичен случај кога „страшниот“ логаритам е предложен за диференцијација

Пример 8

Пронајдете дериват на функција

Тука можете да одите далеку, користејќи го правилото за диференцирање на комплексна функција:

Но, првиот чекор веднаш ве втурнува во малодушност - мора да земете непријатен дериват од фракционо ниво, а потоа и од дел.

затоа порано како да се земе дериватот на „фенси“ логаритмот, тој прелиминарно се поедноставува со користење на добро познатите својства на училиштето:

! Ако имате тетратка за вежбање при рака, копирајте ги овие формули токму таму. Ако немате тетратка, прецртајте ги на парче хартија, бидејќи остатокот од примерите на лекцијата ќе се врти околу овие формули.

Самото решение може да се структурира вака:

Да ја трансформираме функцијата:

Пронајдете го дериватот:

Пред-конфигурирање на самата функција го направи решението многу полесно. Така, кога ваков логаритам е предложен за диференцијација, секогаш се препорачува да се „распадне“.

И сега неколку едноставни примери за независно решение:

Пример 9

Пронајдете дериват на функција

Пример 10

Пронајдете дериват на функција

Сите трансформации и одговори на крајот од лекцијата.

Логаритамски дериват

Ако дериват на логаритмите е толку слатка музика, тогаш се поставува прашањето, дали е можно во некои случаи да се организира логаритмот вештачки? Може! Па дури и потребно.

Пример 11

Пронајдете дериват на функција

Слични примери видовме неодамна. Што да се прави? Може постојано да го применувате правилото за диференцирање на количникот, а потоа и правилото за диференцирање на работата. Недостаток на овој метод е што добивате огромна трикатна фракција, со која воопшто не сакате да се справите.

Но, во теорија и практика, постои такво прекрасно нешто како логаритамскиот дериват. Логаритмите можат да се организираат вештачки со „обесување“ на обете страни:

Забелешка : оттогаш функцијата може да земе негативни вредности, тогаш, генерално, треба да користите модули: што ќе исчезне како резултат на диференцијација. Сепак, сегашниот дизајн е исто така прифатлив, каде што се земаат предвид стандардните вредности комплексен вредности. Но, ако со сета сериозност, тогаш и во двата случаи треба да се направи резервација за тоа.

Сега треба максимално да го „разбиете“ логаритмот на десната страна (формули пред вашите очи?). Јас ќе го опишам овој процес многу детално:

Всушност, продолжуваме кон диференцијација.
Ние ги затвораме двата дела под ударот:

Дериватот на десната страна е прилично едноставен, нема да го коментирам, бидејќи ако го читате овој текст, мора самоуверено да се справите со него.

Што е со левата страна?

Лево имаме комплексна функција... Јас го предвидувам прашањето: "Зошто, исто така, има една буква" игрек "под логаритмот?"

Факт е дека оваа „една буква игрек“ - САМО Е ФУНКЦИЈА (ако не е многу јасно, повикајте се на написот Изведен од имплицитна функција). Затоа, логаритмот е надворешна функција, а „играта“ е внатрешна функција. И ние го користиме правилото за диференцијација на комплексна функција :

На левата страна, како по магија, имаме дериват. Понатаму, според правилото за пропорција, ја фрламе „играта“ од именителот на левата страна до горниот дел од десната страна:

И сега се сеќаваме за каква функција „игра“ дискутиравме во диференцијација? Ние ја разгледуваме состојбата:

Конечен одговор:

Пример 12

Пронајдете дериват на функција

Ова е пример за решение „направи сам“. Пример за дизајн на пример од ваков тип на крајот од лекцијата.

Со помош на логаритамскиот дериват беше можно да се реши кој било од примерите 4-7, друга работа е што функциите таму се поедноставни и, можеби, употребата на логаритамскиот дериват не е многу оправдана.

Изводот на експоненцијалната функција

Оваа функција сè уште не ја разгледавме. Експоненцијална функција е функција во која а степенот и основата зависат од „x“... Класичен пример што ќе ви биде даден во кој било учебник или на кое било предавање:

Како да се најде изводот на експоненцијална функција?

Неопходно е да се користи штотуку разгледаната техника - логаритамскиот дериват. Ние обесуваме логаритми од двете страни:

Како по правило, степенот се вади од под логаритмот од десната страна:

Како резултат, од десната страна имаме производ од две функции, кои ќе се разликуваат според стандардната формула .

Пронајдете го дериватот, за ова ги приложуваме двата дела под ударите:

Понатамошните активности се едноставни:

Конечно:

Ако каква било трансформација не е целосно јасна, ве молиме, внимателно прочитајте ги објаснувањата на Пример # 11.

Во практични задачи, експоненцијалната функција секогаш ќе биде покомплицирана од разгледуваниот пример за предавање.

Пример 13

Пронајдете дериват на функција

Ние користиме дериват на логаритам.

На десната страна имаме константа и производ на два фактори - "x" и "логаритам на логаритмот на x" (друг логаритам е вграден под логаритмот). Кога ја разликуваме постојаната, како што се сеќаваме, подобро е веднаш да се извади знакот на дериватот за да не му застане на патот под нозете; и секако применувајте го познатото правило :

Ако г.(x) и ѓ(ти) Дали се разликуваат функциите на нивните аргументи, соодветно, во точките x и ти= г.(x), тогаш комплексната функција е исто така диференцирана во точката xи се наоѓа според формулата

Типична грешка при решавање на дериватни проблеми е автоматско пренесување на правилата за разликување на едноставни функции во сложени функции. Learnе научиме да ја избегнуваме оваа грешка.

Пример 2.Пронајдете дериват на функција

Погрешно решение: пресметај го природниот логаритам на секој израз во загради и побарај го збирот на дериватите:

Точно решение: повторно дефинираме каде е „јаболко“ и каде е „мелено месо“. Тука природниот логаритам на изразот во заградите е „јаболко“, односно функција од среден аргумент ти, а изразот во заградата е „критикувам“, односно среден аргумент ти по независна променлива x.

Потоа (користејќи ја формулата 14 од табелата на деривати)

Во многу реални проблеми, изразот со логаритмот е нешто покомплициран, затоа има лекција

Пример 3.Пронајдете дериват на функција

Погрешно решение:

Точно решение. Уште еднаш, дефинираме каде е „јаболко“ и каде е „мелено месо“. Еве, косинусот на изразот во загради (формула 7 во табелата со деривати) е „јаболко“, тој е подготвен во режим 1, влијаејќи само на него, а изразот во загради (изводот на моќноста е број 3 во табелата на деривати) е „мелено месо“, се подготвува со режим 2, што влијае само на него. И, како и секогаш, ги поврзуваме двата деривати со знак на производ. Резултат:

Изводот на комплексна логаритамска функција е честа задача во тест-трудови, затоа силно препорачуваме да ја посетите лекцијата „Дериват на логаритамската функција“.

Првите примери беа за сложени функции во кои средниот аргумент на независната променлива беше едноставна функција. Но, во практичните задачи честопати се бара да се најде дериват на комплексна функција, каде што средниот аргумент е или комплексна функција сама по себе или содржи таква функција. Што да правам во такви случаи? Пронајдете деривати на таквите функции користејќи табели и правила на диференцијација. Кога ќе се најде дериватот на средниот аргумент, тој едноставно се заменува на вистинското место во формулата. Подолу се дадени два примери за тоа како се прави тоа.

Исто така е корисно да се знае следново. Ако комплексната функција може да се претстави како синџир од три функции

тогаш неговиот дериват треба да се најде како производ на дериватите на секоја од овие функции:

Многу од вашите домашни задачи може да бараат отворање упатства за нови прозорци Дејства со моќ и корени и Акции на фракции .

Пример 4.Пронајдете дериват на функција

Ние го применуваме правилото за диференцијација на комплексната функција, не заборавајќи дека во добиениот производ на деривати, средниот аргумент во однос на независната променлива x не се менува:

Ние го подготвуваме вториот фактор на производот и го применуваме правилото за диференцирање на збирот:

Вториот поим е корен, затоа

Така, добивме дека средниот аргумент, што е збир, содржи комплексна функција како еден од поимите: зголемувањето на напојувањето е комплексна функција, а она што е подигнато на моќност е среден аргумент во однос на независната променлива x.

Затоа, повторно го применуваме правилото за диференцирање на комплексна функција:

Ние го трансформираме степенот на првиот фактор во корен, а разликувајќи го вториот фактор, не заборавајте дека дериватот на константа е еднаков на нула:

Сега можеме да го најдеме дериватот на средниот аргумент потребен за пресметување на изводот на комплексна функција потребна во состојбата на проблемот г.:

Пример 5.Пронајдете дериват на функција

Прво, да го искористиме правилото за диференцијација на збирот:

Доби збир на деривати на две комплексни функции. Го наоѓаме првиот од нив:

Тука подигнувањето на синусот на моќ е комплексна функција, а самиот синус е среден аргумент во однос на независната променлива x... Затоа, ќе го користиме правилото за диференцијација на комплексната функција, на патот факторизирање на факторот :

Сега го наоѓаме вториот поим од генераторите на дериватот на функцијата г.:

Тука подигнувањето на косинусот до моќ е комплексна функција ѓ, и самото косинус е среден аргумент во однос на независната променлива x... Ајде да го користиме правилото за диференцијација на комплексната функција повторно:

Резултатот е потребниот дериват:

Деривативна табела на некои комплексни функции

За сложените функции, засновани на правилото за диференцирање на комплексна функција, формулата за дериват на едноставна функција добива поинаква форма.

1. Дериват на функцијата на сложена моќност, каде ти x
2. Дериват на коренот на изразот
3. Дериват на експоненцијалната функција
4. Посебен случај на експоненцијална функција
5. Дериват на логаритамска функција со произволна позитивна основа и
6. Дериват на комплексна логаритамска функција, каде ти - диференцијабилна функција на аргументи x
7. Дериват на синус
8. Дериват на косинус
9. Дериват на тангентата
10. Дериват на котангентата
11. Дериват на лакот
12. Дериват на аркозин
13. Дериват на аркантангата
14. Дериват на лак котангента

Ако ја следиме дефиницијата, тогаш дериват на функција во одредена точка е граница на односот на зголемувањето на функцијата Δ г. до зголемувањето на аргументот Δ x:

Се чини дека сè е јасно. Но, обидете се да пресметате користејќи ја оваа формула, да речеме, дериват на функција ѓ(x) = x 2 + (2x + 3) д x Грев x... Ако направите сè по дефиниција, тогаш по неколку страници пресметки само ќе заспиете. Затоа, постојат поедноставни и поефикасни начини.

За почеток, забележуваме дека таканаречените основни функции можат да се разликуваат од целата разновидност на функции. Овие се релативно едноставни изрази, чии деривати веќе долго време се пресметуваат и се внесуваат во табелата. Таквите функции се доволно лесни за запомнување - заедно со нивните деривати.

Изводи на елементарни функции

Основните функции се сè што е наведено подолу. Дериватите на овие функции мора да бидат познати напамет. Згора на тоа, запомнувањето на нив воопшто не е тешко - затоа тие се основни.

Значи, дериватите на основните функции:

Име	Функција	Дериват
Постојан	ѓ(x) = В., В. ∈ Р.	0 (да, нула!)
Рационално одделение	ѓ(x) = x н	н · x н − 1
Синус	ѓ(x) \u003d грев x	кос x
Косинус	ѓ(x) \u003d кос x	- грев x (минус синус)
Тангента	ѓ(x) \u003d тг x	1 / кос 2 x
Котангент	ѓ(x) \u003d цтг x	- 1 / грев 2 x
Природен логаритам	ѓ(x) \u003d ln x	1/x
Произволен логаритам	ѓ(x) \u003d дневник а x	1/(x Ln а)
Експоненцијална функција	ѓ(x) = д x	д x (ништо не се смени)

Ако елементарната функција се множи со произволна константа, тогаш дериватот на новата функција исто така лесно се пресметува:

(В. · ѓ)’ = В. · ѓ ’.

Општо, константите може да се преместат надвор од дериватниот знак. На пример:

(2x 3) ’\u003d 2 · ( x 3) '\u003d 2 3 x 2 = 6x 2 .

Очигледно, елементарните функции можат да се додаваат едни на други, помножени, поделени - и многу повеќе. Значи, ќе се појават нови функции, кои повеќе не се особено основни, но исто така се разликуваат според одредени правила. Овие правила се дискутираат подолу.

Дериват на збир и разлика

Нека функции ѓ(x) и г.(x), чии деривати ни се познати. На пример, можете да ги земете основните функции дискутирани погоре. Потоа можете да го најдете дериватот на збирот и разликата на овие функции:

1. (ѓ + г.)’ = ѓ ’ + г. ’
2. (ѓ − г.)’ = ѓ ’ − г. ’

Значи, изводот на збирот (разликата) на две функции е еднаков на збирот (разликата) на дериватите. Може да има повеќе термини. На пример, ( ѓ + г. + ч)’ = ѓ ’ + г. ’ + ч ’.

Строго кажано, не постои концепт на „одземање“ во алгебрата. Постои концепт на „негативен елемент“. Затоа разликата ѓ − г. може да се препише како збир ѓ + (− 1) г., а потоа останува само една формула - изводот на збирот.

ѓ(x) = x 2 + грев x; г.(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функција ѓ(x) Дали е збир на две основни функции, затоа:

ѓ ’(x) = (x 2 + грев x)’ = (x 2) ’+ (грев x)’ = 2x + кос x;

Слично расудуваме за функцијата г.(x) Само што веќе има три поими (од гледна точка на алгебрата):

г. ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Одговор:
ѓ ’(x) = 2x + кос x;
г. ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Дериват на дело

Математиката е логичка наука, па многумина веруваат дека ако изводот на збирот е еднаков на збирот на изводите, тогаш изводот на производот штрајк"\u003e е еднаков на производот на деривати. Но, смокви! Дериватот на производот се пресметува со користење на сосема друга формула. Имено:

(ѓ · г.) ’ = ѓ ’ · г. + ѓ · г. ’

Формулата е едноставна, но често се занемарува. И не само ученици, туку и студенти. Резултатот е неправилно решени проблеми.

Задача. Пронајдете деривати на функциите: ѓ(x) = x 3 кос x; г.(x) = (x 2 + 7x - 7) д x .

Функција ѓ(x) е производ на две основни функции, така што сè е едноставно:

ѓ ’(x) = (x 3 кос x)’ = (x 3) ’кос x + x 3 (кос x)’ = 3x 2 кос x + x 3 (- грев x) = x 2 (3cos) x − x Грев x)

Функцијата г.(x) првиот фактор е малку посложен, но општата шема не се менува од оваа. Очигледно, првиот фактор на функцијата г.(x) е полином, а неговиот извод е извод на збирот. Ние имаме:

г. ’(x) = ((x 2 + 7x - 7) д x)’ = (x 2 + 7x - 7) ’ д x + (x 2 + 7x - 7) ( д x)’ = (2x + 7) д x + (x 2 + 7x - 7) д x = д x · (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · д x = x(x + 9) д x .

Одговор:
ѓ ’(x) = x 2 (3cos) x − x Грев x);
г. ’(x) = x(x + 9) д x .

Имајте на ум дека во последниот чекор, дериватот е факторизиран. Формално, ова не е потребно, но повеќето деривати не се пресметуваат сами по себе, туку со цел да се испита функцијата. Ова значи дека понатаму дериватот ќе се изедначи на нула, неговите знаци ќе бидат разјаснети итн. За таков случај подобро е да имате факторизиран израз.

Ако има две функции ѓ(x) и г.(x), и г.(x) ≠ 0 во собата на интерес за нас, можеме да дефинираме нова функција ч(x) = ѓ(x)/г.(x) За таква функција, можете да најдете и дериват:

Не е слаб, а? Од каде е минусот? Зошто г. 2? И вака! Ова е една од најтешките формули - не можете да дознаете без шише. Затоа, подобро е да го проучите со специфични примери.

Задача. Пронајдете деривати на функциите:

Броителот и именителот на секоја дропка содржи елементарни функции, така што сè што ни треба е формулата за изводот на количникот:

По традиција, факторирањето на броителот во фактори значително ќе го поедностави одговорот:

Сложената функција не е нужно долга половина километар формула. На пример, доволно е да ја преземете функцијата ѓ(x) \u003d грев x и заменете ја променливата xда речеме на x 2 + ln x... Е испадне ѓ(x) \u003d грев ( x 2 + ln x) Е комплексна функција. Исто така, има дериват, но нема да успее да се најде според правилата дискутирани погоре.

Како да се биде? Во такви случаи, променливата замена и формулата за дериват на комплексна функција помагаат:

ѓ ’(x) = ѓ ’(т) · т ', ако x се заменува со т(x).

Како по правило, со разбирање на оваа формула, ситуацијата е уште потажна отколку со изводот на количникот. Затоа, исто така е подобро да се објасни со специфични примери, со детален опис на секој чекор.

Задача. Пронајдете деривати на функциите: ѓ(x) = д 2x + 3 ; г.(x) \u003d грев ( x 2 + ln x)

Забележете дека ако функцијата ѓ(x) наместо израз 2 x + 3 ќе биде лесно x, тогаш добиваме елементарна функција ѓ(x) = д x ... Затоа, правиме замена: нека 2 x + 3 = т, ѓ(x) = ѓ(т) = д т ... Ние бараме дериват на комплексна функција според формулата:

ѓ ’(x) = ѓ ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’

И сега - внимание! Ние извршуваме обратна замена: т = 2x + 3. Добиваме:

ѓ ’(x) = д т · т ’ = д 2x + 3 (2 x + 3)’ = д 2x + 3 2 \u003d 2 д 2x + 3

Сега да се справиме со функцијата г.(x) Очигледно, треба да замените x 2 + ln x = т... Ние имаме:

г. ’(x) = г. ’(т) · т ’\u003d (Грев т)’ · т ’\u003d Кос т · т ’

Обратна замена: т = x 2 + ln x... Потоа:

г. ’(x) \u003d кос ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) ’\u003d Кос ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Тоа е се! Како што може да се види од последниот израз, целиот проблем се сведе на пресметување на добиената сума.

Одговор:
ѓ ’(x) \u003d 2 д 2x + 3 ;
г. ’(x) = (2x + 1/x) Кос ( x 2 + ln x).

Многу често на моите часови го користам зборот „мозочен удар“ наместо терминот „дериват“. На пример, главната вредност на збирот е еднаква на збирот на ударите. Дали е тоа појасно? Па тоа е добро.

Така, пресметувањето на дериватот се сведува на ослободување од овие потези според правилата дискутирани погоре. Како последен пример, да се вратиме на дериватот на експонентот со рационален експонент:

(x н)’ = н · x н − 1

Малкумина знаат каква е улогата н може да биде дробен број. На пример, коренот е x 0,5. Што ако има нешто фенси под коренот? Повторно, ќе се испостави комплексна функција - тие сакаат да даваат такви конструкции на тестови и испити.

Задача. Пронајдете дериват на функција:

Прво, да го препишеме коренот како моќ со рационален експонент:

ѓ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Сега направивме замена: нека x 2 + 8x − 7 = т... Дериватот го наоѓаме според формулата:

ѓ ’(x) = ѓ ’(т) · т ’ = (т 0,5) " т '\u003d 0,5 т 0,5 − т ’.

Ние правиме обратна замена: т = x 2 + 8x - 7. Имаме:

ѓ ’(x) \u003d 0,5 ( x 2 + 8x - 7) 0,5 − ( x 2 + 8x - 7) ’\u003d 0,5 · (2 x + 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Конечно, назад кон корените:

Комплексните функции не секогаш одговараат на дефиницијата за комплексна функција. Ако постои функција на формата y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, тогаш таа не може да се смета за сложена, за разлика од y \u003d sin 2 x.

Оваа статија ќе го прикаже концептот на комплексна функција и нејзината идентификација. Ајде да работиме со формули за наоѓање на дериватот со примери на решенија во заклучокот. Употребата на табелата на деривати и правилото за диференцијација значително го намалуваат времето за наоѓање на дериватот.

Основни дефиниции

Дефиниција 1

Комплексна функција е функција чиј аргумент е исто така функција.

Се бележи на овој начин: f (g (x)). Имаме дека функцијата g (x) се смета за аргумент на f (g (x)).

Дефиниција 2

Ако има функција f и е котангентна функција, тогаш g (x) \u003d ln x е функција на природниот логаритам. Добиваме дека сложената функција f (g (x)) ќе биде напишана како арктан (lnx). Или функција f, што е функција покачена на 4-та моќност, каде што g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 се смета за цела рационална функција, добиваме дека f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

Очигледно g (x) може да биде слабо. Од примерот y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, можете да видите дека вредноста на g има коцка корен со дел. Овој израз е дозволено да се означи како y \u003d f (f 1 (f 2 (x))). Од каде имаме дека f е синусна функција, а f 1 е функција лоцирана под квадратен корен, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 е фракциона рационална функција.

Дефиниција 3

Степенот на гнездење се определува од кој било природен број и се пишува како y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))).

Дефиниција 4

Концептот на составот на функцијата се однесува на бројот на вгнездени функции со изјава за проблем. За решението, формула за наоѓање на дериват на комплексна функција на формата

(f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x)

Примери за

Пример 1

Пронајдете дериват на сложена функција од формата y \u003d (2 x + 1) 2.

Одлука

Според условот, можете да видите дека f е функција за квадрирање, а g (x) \u003d 2 x + 1 се смета за линеарна функција.

Да ја примениме дериватната формула за комплексна функција и да напишеме:

f "(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)" \u003d 2 · (g (x)) 2 - 1 \u003d 2 · g (x) \u003d 2 · (2 \u200b\u200bx + 1); g "(x) \u003d (2 x + 1)" \u003d (2 x) "+ 1" \u003d 2 x "+ 0 \u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2" (f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 (2 x + 1) 2 \u003d 8 x + 4

Неопходно е да се најде дериват со поедноставена оригинална форма на функцијата. Добиваме:

y \u003d (2 x + 1) 2 \u003d 4 x 2 + 4 x + 1

Оттука го имаме тоа

y "\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)" \u003d (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "\u003d 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 \u003d \u003d 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 \u003d 8 x + 4

Резултатите се совпаднаа.

При решавање на проблеми од ваков вид, важно е да се разбере каде ќе се наоѓа функцијата на формите f и g (x).

Пример 2

Треба да ги најдете дериватите на сложените функции од формата y \u003d sin 2 x и y \u003d sin x 2.

Одлука

Првата нотација на функцијата вели дека f е функција на квадрат и g (x) е функција на синус. Тогаш го добиваме тоа

y "\u003d (sin 2 x)" \u003d 2 sin 2 - 1 x (sin x) "\u003d 2 sin x cos x

Вториот запис покажува дека f е синусна функција, а g (x) \u003d x 2 е функција за напојување. Следува дека производот на комплексна функција може да се напише како

y "\u003d (sin x 2)" \u003d cos (x 2) (x 2) "\u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Формулата за изводот y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x))))))) ќе се напише како y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( fn (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x)))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x)) )) ·. ... ... · F n "(x)

Пример 3

Пронајдете го дериватот на функцијата y \u003d sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Одлука

Овој пример ја покажува комплексноста на функциите за пишување и лоцирање. Тогаш y \u003d f (f 1 (f 2 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))))) означува, каде што f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) е синусна функција, функција на покачување во 3 степен, функција со логаритм и основа e, аркантантна функција и линеарна.

Од формулата за дефинирање на комплексна функција, го имаме тоа

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Добиваме што да најдеме

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) како синусен дериват според табелата на деривати, а потоа f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) како дериват на функцијата за напојување, а потоа f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) \u003d 3 ln 3 - 1 арктан (2 x) \u003d 3 ln 2 арктан (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) како дериват на логаритам, потоа f 2" (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)) како дериват на аркантангената, потоа f 3" (f 4 (x)) \u003d 1 1 + (2 x) 2 \u003d 1 1 + 4 x 2.
5. Кога наоѓате дериват f 4 (x) \u003d 2 x, одземете го 2 надвор од знакот на изводот користејќи ја формулата за дериват на функција на моќност со експонент еднаков на 1, тогаш f 4 "(x) \u003d (2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2.

Ние ги комбинираме средните резултати и го добиваме тоа

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) \u003d \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 арктан (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 \u003d \u003d 6 кос (ln 3 арктан (2 x)) ln 2 арктан (2 x) арктан (2 x) (1 + 4 x 2)

Парсирање на такви функции наликува на кукли од матриошка. Правилата за диференцијација не можат секогаш да се применуваат експлицитно со употреба на табела на деривати. Честопати е потребно да се користи формула за наоѓање деривати на сложени функции.

Постојат некои разлики помеѓу сложените и сложените функции. Со очигледна способност да се разликува ова, наоѓањето деривати ќе биде особено лесно.

Пример 4

Неопходно е да се разгледа да се даде сличен пример. Ако има функција од формата y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1, тогаш може да се смета како комплексна форма g (x) \u003d t g x, f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1. Очигледно, потребно е да се примени формула за комплексен дериват:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" \u003d (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "\u003d \u003d 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g "(x) \u003d (tgx)" \u003d 1 cos 2 x ⇒ y "\u003d (f (g (x)))" \u003d f "(g (x)) g" (x) \u003d (2 tgx + 3 ) 1 кос 2 х \u003d 2 тгх + 3 кос 2 х

Функција на формата y \u003d t g x 2 + 3 t g x + 1 не се смета за тешка, бидејќи има збир од t g x 2, 3 t g x и 1. Сепак, t g x 2 се смета за комплексна функција, тогаш добиваме функција за напојување на формата g (x) \u003d x 2 и f, што е функција на тангентата. За да го направите ова, треба да се разликувате според износот. Го добиваме тоа

y "\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)" \u003d (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "\u003d \u003d (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 \u003d (tgx 2)" + 3 кос 2 х

Ние продолжуваме да наоѓаме дериват на комплексна функција (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x)))" "\u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g" (x) \u003d (x 2) "\u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Добиваме дека y "\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)" \u003d (t g x 2) "+ 3 cos 2 x \u003d 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Комплексните функции можат да бидат вклучени во сложените функции, а самите комплексни функции можат да бидат сложени функции.

Пример 5

На пример, разгледајте комплексна функција од образецот y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Оваа функција може да биде претставена како y \u003d f (g (x)), каде што вредноста на f е функција на логаритмот до основата 3, а g (x) се смета за збир на две функции на формата h (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 и k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1). Очигледно, y \u003d f (h (x) + k (x)).

Размислете за функцијата h (x). Ова е односот l (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 кон m (x) \u003d e x 2 + 3 3

Имаме дека l (x) \u003d x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 \u003d n (x) + p (x) е збир на две функции n (x) \u003d x 2 + 7 и p (x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), каде p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) е комплексна функција со нумерички коефициент 3, а p 1 е функција за коцкање, p 2 како косинусна функција, p 3 (x) \u003d 2 x + 1 - линеарна функција.

Добивме дека m (x) \u003d ex 2 + 3 3 \u003d q (x) + r (x) е збир на две функции q (x) \u003d ex 2 и r (x) \u003d 3 3, каде q (x) \u003d q 1 (q 2 (x)) е комплексна функција, q 1 е функција со експоненцијална функција, q 2 (x) \u003d x 2 е функција за напојување.

Ова покажува дека h (x) \u003d l (x) m (x) \u003d n (x) + p (x) q (x) + r (x) \u003d n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Кога се преминува на израз на формата k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), може да се види дека функцијата е претставена во форма на комплексна функција s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) со рационален цел број t (x) \u003d x 2 + 1, каде што s 1 е функција за квадрат и s 2 (x) \u003d ln x е логаритам со основа e.

Оттука произлегува дека изразот има форма k (x) \u003d s (x) t (x) \u003d s 1 (s 2 (x)) t (x).

Тогаш го добиваме тоа

y \u003d лог 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) \u003d \u003d fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) \u003d r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Според структурите на функциите, стана јасно како и кои формули треба да се користат за поедноставување на изразот при диференцирање. За да се запознаете со ваквите проблеми и за концептот на нивно решавање, потребно е да се свртите до точката на диференцирање на функцијата, односно изнаоѓање на нејзиниот дериват.

Ако забележите грешка во текстот, изберете ја и притиснете Ctrl + Enter

На кои ги анализиравме наједноставните деривати, а исто така се запознавме со правилата на диференцијација и некои техники за наоѓање на деривати. Така, ако не сте многу добри со деривати на функции, или некои точки од овој напис не се целосно јасни, тогаш прво прочитајте ја горната лекција. Ве молам, прилагодете се на сериозно расположение - материјалот не е лесен, но ќе се обидам да го претставам едноставно и лесно.

Во пракса, треба многу често да се справувате со дериватот на комплексна функција, дури би рекол, скоро секогаш, кога ќе ви дадат задачи да најдете деривати.

Во табелата го разгледуваме правилото (бр. 5) за разликување на комплексна функција:

Разбирање Прво на сите, да обрнеме внимание на снимката. Тука имаме две функции - и, згора на тоа, функцијата, фигуративно кажано, е вградена во функцијата. Функција од овој вид (кога една функција е вгнездена во друга) се нарекува комплексна функција.

Јас ќе ја повикам функцијата надворешна функцијаи функцијата - внатрешна (или вгнездена) функција.

! Овие дефиниции не се теоретски и не треба да се појавуваат при завршувањето на задачите. Јас користам неформални изрази „надворешна функција“, „внатрешна“ функција само за полесно да го разберете материјалот.

Со цел да се разјасни ситуацијата, размислете:

Пример 1

Пронајдете дериват на функција

Под синус, ја имаме не само буквата "X", туку цел израз, така што нема да биде можно веднаш да се најде дериватот од табелата. Исто така, забележуваме дека тука е невозможно да се применат првите четири правила, се чини дека има разлика, но факт е дека не можете да „распарчите“ синус:

Во овој пример, веќе од моите објаснувања, интуитивно е јасно дека функцијата е комплексна функција, а полиномот е внатрешна функција (прилог) и надворешна функција.

Првиот чекор, што мора да се изврши при наоѓање на дериват на комплексна функција е да дознајте која функција е внатрешна, а која надворешна.

Кога едноставни примери се чини јасно дека полиномот е вграден под синусот. Но, што ако сè не е очигледно? Како точно да се утврди која функција е надворешна, а која внатрешна? За да го направите ова, предлагам да ја користите следнава техника, што може да се направи ментално или нацрт.

Замислете дека треба да ја пресметаме вредноста на изразот на калкулаторот (наместо еден, може да има кој било број).

Што прво ќе пресметаме? Прво ќе треба да го извршите следното дејство :, така што полиномот ќе биде внатрешна функција:

Второ ќе треба да се најде, затоа синусот ќе биде надворешна функција:

После нас Сфати со внатрешни и надворешни функции, време е да се примени правилото за диференцијација на комплексната функција .

Почнуваме да одлучуваме. Од лекцијата Како да го најдам изводот? се сеќаваме дека дизајнот на растворот на кој било дериват секогаш започнува вака - го приложуваме изразот во загради и ставаме удар горе десно:

Прво најдете го дериватот на надворешната функција (синус), погледнете ја табелата на изводите на елементарните функции и забележете дека. Сите табеларни формули се применливи и ако „x“ се замени со комплексен израз, во овој случај:

Забележете дека внатрешната функција не се смени, не го допираме.

Па, сосема е очигледно дека

Резултат на примена на формулата во финалниот дизајн изгледа вака:

Постојан фактор обично се поставува на почетокот на изразот:

Ако има забуна, запишете го решението и прочитајте ги објаснувањата повторно.

Пример 2

Пронајдете дериват на функција

Пример 3

Пронајдете дериват на функција

Како и секогаш, запишуваме:

Ајде да сфатиме каде имаме надворешна функција, а каде внатрешна. За да го направите ова, обидете се (ментално или нацрт) да ја пресметате вредноста на изразот на. Што треба да се направи прво? Пред сè, треба да пресметате со што е еднаква основата: што значи дека полиномот е внатрешна функција:

И, само тогаш се врши експоненцијацијата, затоа, функцијата за напојување е надворешна функција:

Според формулата , прво треба да го пронајдете дериватот на надворешната функција, во овој случај, од степенот. Ја бараме потребната формула во табелата:. Повторуваме повторно: секоја табеларна формула важи не само за „x“, туку и за сложен израз... Така, резултатот од примената на правилото за диференцијација на комплексната функција следново:

Повторно потенцирам дека кога ќе го земеме дериватот на надворешната функција, внатрешната функција не се менува:

Сега останува да најдеме многу едноставен дериват на внатрешната функција и малку да го „исчешламе“ резултатот:

Пример 4

Пронајдете дериват на функција

Ова е пример за независно решение (одговор на крајот од упатството).

За да го консолидирам разбирањето на дериватот на сложената функција, ќе дадам пример без коментари, обидете се да го дознаете самостојно, да шпекулирате каде е надворешната, а каде внатрешната функција, зошто беа решени задачите на овој начин?

Пример 5

а) Пронајдете го изводот на функцијата

б) Пронајдете го изводот на функцијата

Пример 6

Пронајдете дериват на функција

Тука имаме корен, а за да се разликува коренот, тој мора да биде претставен како степен. Така, прво ја внесуваме функцијата во форма соодветна за диференцијација:

Анализирајќи ја функцијата, доаѓаме до заклучок дека збирот од три поими е внатрешна функција, а експоненцијацијата е надворешна функција. Ние го применуваме правилото за диференцијација на комплексната функција :

Степенот е повторно претставен како радикал (корен), а за изводот на внатрешната функција применуваме едноставно правило за диференцирање на збирот:

Направено. Можете исто така да го доведете изразот до заеднички именител во загради и да запишете сè во една дропка. Убаво, се разбира, но кога ќе се добијат незгодни долги деривати, подобро е да не се прави ова (лесно е да се збуните, да направите непотребна грешка и ќе биде незгодно наставникот да провери).

Пример 7

Пронајдете дериват на функција

Ова е пример за независно решение (одговор на крајот од упатството).

Интересно е да се напомене дека понекогаш, наместо правилото за разликување на сложената функција, може да се користи правилото за диференцирање на количникот , но таквото решение ќе изгледа невообичаено како перверзија. Еве типичен пример:

Пример 8

Пронајдете дериват на функција

Тука можете да го користите правилото за диференцирање на количникот , но многу е попрофитабилно да се најде дериватот преку правилото за диференцијација на комплексната функција:

Ние ја подготвуваме функцијата за диференцијација - го поместуваме минусот надвор од знакот на дериватот и го креваме косинусот до броителот:

Косинусот е внатрешна функција, експоненцијацијата е надворешна функција.
Ние го користиме нашето правило :

Пронајдете го дериватот на внатрешната функција, ресетирајте го косинусот назад:

Направено. Во разгледуваниот пример, важно е да не се мешате во знаците. Патем, обидете се да го решите со правилото , одговорите мора да се совпаѓаат.

Пример 9

Пронајдете дериват на функција

Ова е пример за независно решение (одговор на крајот од упатството).

Досега, разгледавме случаи кога имавме само еден додаток во комплексна функција. Во практични задачи, честопати може да најдете деривати, каде што, како вгнездени кукли, една во друга, 3 или дури 4-5 функции се вгнездени одеднаш.

Пример 10

Пронајдете дериват на функција

Ајде да ги разбереме прилозите на оваа функција. Обидувајќи се да го оцениме изразот користејќи ја вредноста на тестот. Како би сметале на калкулатор?

Прво треба да пронајдете, што значи дека лакот е најдлабокото гнездење:

Тогаш, оваа аркина на еден треба да се квадрира:

И, конечно, подигнете ги 7-те на моќност:

Односно, во овој пример имаме три различни функции и два приврзаност, додека внатрешната функција е лакот, а најоддалечената функција е експоненцијалната функција.

Почнуваме да решаваме

Според правилото прво треба да земете дериват на надворешната функција. Ние ја разгледуваме табелата со деривати и го наоѓаме дериватот на експоненцијалната функција: Единствената разлика е во тоа што наместо „x“ имаме сложен израз, што не ја негира валидноста на оваа формула. Значи, резултат на примена на правилото за диференцијација на комплексната функција следниве