Równoległobok w problemach. Jak znaleźć obszar równoległoboku, trójkąta, trapezu Jak obliczyć obszar równoległoboku

Obszar geometryczny- numeryczna charakterystyka figury geometrycznej pokazująca wielkość tej figury (część powierzchni ograniczona zamkniętym konturem tej figury). Wielkość obszaru wyraża się liczbą zawartych w nim jednostek kwadratowych.

Wzory na pole trójkąta

1. Wzór na pole trójkąta na bok i wysokość
   Powierzchnia trójkąta równa połowie iloczynu długości boku trójkąta i długości wysokości poprowadzonej na ten bok
   
2. Wzór na pole trójkąta, biorąc pod uwagę trzy boki i promień opisanego koła
   
3. Wzór na pole trójkąta, biorąc pod uwagę trzy boki i promień wpisanego okręgu
   Powierzchnia trójkąta jest równy iloczynowi połowy obwodu trójkąta i promienia wpisanego okręgu.
   
gdzie S jest obszarem trójkąta,
- długości boków trójkąta,
- wysokość trójkąta,
- kąt między bokami a,
- promień okręgu wpisanego,
R - promień okręgu opisanego,

Formuły kwadratowe

1. Wzór na pole kwadratu przy danej długości boku
   kwadratowy obszar jest równy kwadratowi długości jego boku.
2. Wzór na pole kwadratu przy danej długości przekątnej
   kwadratowy obszar równy połowie kwadratu długości jego przekątnej.
   

   S=	1	2
   	2

gdzie S jest polem kwadratu,
to długość boku kwadratu,
jest długością przekątnej kwadratu.

Wzór na pole prostokąta

Obszar prostokąta jest równy iloczynowi długości dwóch sąsiednich boków

gdzie S jest polem prostokąta,
to długości boków prostokąta.

Wzory na pole równoległoboku

1. Wzór na pole równoległoboku na długość i wysokość boku
   Obszar równoległoboku
2. Wzór na pole równoległoboku, biorąc pod uwagę dwa boki i kąt między nimi
   Obszar równoległoboku jest równy iloczynowi długości jego boków i sinusa kąta między nimi.
   

   a b sinα

gdzie S jest obszarem równoległoboku,
to długości boków równoległoboku,
jest wysokością równoległoboku,
jest kątem między bokami równoległoboku.

Wzory na obszar rombu

1. Wzór na pole rombu przy danej długości i wysokości boku
   Obszar rombu jest równy iloczynowi długości jego boku i długości wysokości obniżonej na ten bok.
2. Wzór na pole rombu, biorąc pod uwagę długość boku i kąt
   Obszar rombu jest równy iloczynowi kwadratu długości jego boku i sinusa kąta między bokami rombu.
3. Wzór na pole rombu z długości jego przekątnych
   Obszar rombu jest równy połowie iloczynu długości jego przekątnych.
gdzie S jest obszarem rombu,
- długość boku rombu,
- długość wysokości rombu,
- kąt między bokami rombu,
1, 2 - długości przekątnych.

Wzory na pole trapezu

1. Wzór Herona na trapez

   Gdzie S jest obszarem trapezu,
   - długość podstaw trapezu,
   - długość boków trapezu,
   

Równoległobok jest czworokątem, którego boki są parami równoległe.

Na tym rysunku przeciwległe boki i kąty są sobie równe. Przekątne równoległoboku przecinają się w jednym punkcie i dzielą go na pół. Formuły pola równoległoboku pozwalają znaleźć wartość na podstawie boków, wysokości i przekątnych. Równoległobok można również przedstawić w szczególnych przypadkach. Są uważane za prostokąt, kwadrat i romb.
Najpierw rozważmy przykład obliczania powierzchni równoległoboku według wysokości i boku, na który jest obniżony.

Ten przypadek jest uważany za klasyczny i nie wymaga dalszego badania. Lepiej jest rozważyć wzór do obliczania obszaru przez dwie strony i kąt między nimi. Ta sama metoda jest stosowana w obliczeniach. Jeśli podane są boki i kąt między nimi, wówczas obszar oblicza się w następujący sposób:

Załóżmy, że mamy równoległobok o bokach a = 4 cm, b = 6 cm, a kąt między nimi wynosi α = 30°. Znajdźmy obszar:

Obszar równoległoboku pod względem przekątnych

Wzór na pole równoległoboku pod względem przekątnych pozwala szybko znaleźć wartość.
Do obliczeń potrzebna jest wartość kąta znajdującego się między przekątnymi.

Rozważ przykład obliczania obszaru równoległoboku za pomocą przekątnych. Niech dany równoległobok ma przekątne D = 7 cm, d = 5 cm, a kąt między nimi wynosi α = 30°. Zastąp dane we wzorze:

Przykład obliczenia pola równoległoboku przez przekątną dał nam doskonały wynik - 8,75.

Znając wzór na pole równoległoboku pod względem przekątnej, możesz rozwiązać wiele interesujących problemów. Przyjrzyjmy się jednemu z nich.

Zadanie: Biorąc pod uwagę równoległobok o powierzchni 92 mkw. patrz Punkt F znajduje się pośrodku jego boku BC. Znajdźmy obszar trapezu ADFB, który będzie leżeć w naszym równoległoboku. Na początek narysujmy wszystko, co otrzymaliśmy zgodnie z warunkami.
Przejdźmy do rozwiązania:

Zgodnie z naszymi warunkami ah \u003d 92, a zatem powierzchnia naszego trapezu będzie równa

Zanim nauczymy się, jak znaleźć obszar równoległoboku, musimy pamiętać, czym jest równoległobok i jak nazywa się jego wysokość. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe (leżą na prostych równoległych). Prostopadła poprowadzona z dowolnego punktu po przeciwnej stronie do linii zawierającej ten bok nazywana jest wysokością równoległoboku.

Kwadrat, prostokąt i romb to szczególne przypadki równoległoboku.

Obszar równoległoboku jest oznaczony jako (S).

Wzory na znalezienie obszaru równoległoboku

S=a*h, gdzie a to podstawa, h to wysokość poprowadzona do podstawy.

S=a*b*sinα, gdzie a i b to podstawy, a α to kąt między podstawami a i b.

S \u003d p * r, gdzie p jest półobwodem, r jest promieniem okręgu wpisanego w równoległobok.

Obszar równoległoboku utworzony przez wektory aib jest równy modułowi iloczynu danych wektorów, a mianowicie:

Rozważ przykład nr 1: Podano równoległobok, którego bok ma 7 cm, a wysokość 3 cm Jak znaleźć obszar równoległoboku, potrzebujemy wzoru do rozwiązania.

Więc S= 7x3. S=21. Odpowiedź: 21 cm 2.

Rozważ przykład nr 2: podstawy mają 6 i 7 cm, a kąt między podstawami wynosi 60 stopni. Jak znaleźć obszar równoległoboku? Formuła użyta do rozwiązania:

W ten sposób najpierw znajdujemy sinus kąta. Sinus 60 \u003d 0,5, odpowiednio S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Odpowiedź: 21 cm 2.

Mam nadzieję, że te przykłady pomogą ci w rozwiązywaniu problemów. I pamiętaj, najważniejsza jest znajomość formuł i uważność

Co to jest równoległobok? Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe.

1. Powierzchnię równoległoboku oblicza się według wzoru:

\[ \DUŻE S = a \cdot h_(a)\]

Gdzie:
a jest bokiem równoległoboku,
h a to wysokość poprowadzona po tej stronie.

2. Jeżeli znane są długości dwóch sąsiednich boków równoległoboku i kąt między nimi, wówczas obszar równoległoboku oblicza się według wzoru:

\[ \DUŻE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Jeżeli podane są przekątne równoległoboku i znany jest kąt między nimi, wówczas obszar równoległoboku oblicza się według wzoru:

\[ \DUŻA S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Właściwości równoległoboku

W równoległoboku przeciwległe boki są równe: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

W równoległoboku przeciwległe kąty to: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)

Przekątne równoległoboku w punkcie przecięcia są podzielone na pół \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa równe trójkąty.

Suma kątów równoległoboku przylegającego do jednego boku wynosi 180o:

\(\kąt A + \kąt B = 180^(o) \), \(\kąt B + \kąt C = 180^(o)\)

\(\kąt C + \angle D = 180^(o) \), \(\kąt D + \angle A = 180^(o)\)

Przekątne i boki równoległoboku są powiązane następującą zależnością:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

W równoległoboku kąt między wysokościami jest równy jego kątowi ostremu: \(\kąt K B H =\kąt A \) .

Dwusieczne kątów przylegających do jednego boku równoległoboku są wzajemnie prostopadłe.

Dwusieczne dwóch przeciwległych kątów równoległoboku są równoległe.

Funkcje równoległoboku

Czworokąt jest równoległobokiem, jeśli:

\(AB = CD \) i \(AB || CD \)

\(AB = CD \) i \(BC = AD \)

\(AO = OC \) i \(BO = OD \)

\(\kąt A = \kąt C \) i \(\kąt B = \kąt D \)

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Kontrolki ActiveX muszą być włączone, aby można było wykonywać obliczenia!

Podobnie jak w geometrii euklidesowej punkt i prosta są głównymi elementami teorii płaszczyzn, tak równoległobok jest jedną z kluczowych figur wypukłych czworoboków. Z niego, jak nici z kuli, wypływają pojęcia „prostokąta”, „kwadratu”, „rombu” i innych wielkości geometrycznych.

W kontakcie z

Definicja równoległoboku

wypukły czworobok, składający się z segmentów, z których każda para jest równoległa, jest znany w geometrii jako równoległobok.

Jak wygląda klasyczny równoległobok, to czworokąt ABCD. Boki nazywamy podstawami (AB, BC, CD i AD), prostopadła poprowadzona z dowolnego wierzchołka na przeciwległy bok tego wierzchołka nazywana jest wysokością (BE i BF), proste AC i BD to przekątne.

Uwaga! Kwadrat, romb i prostokąt to szczególne przypadki równoległoboku.

Boki i kąty: cechy proporcji

Kluczowe właściwości, ogólnie rzecz biorąc, z góry określone przez samą nazwę, są one udowodnione przez twierdzenie. Cechy te są następujące:

1. Boki, które są przeciwne, są identyczne w parach.
2. Kąty leżące naprzeciw siebie są równe w parach.

Dowód: rozważ ∆ABC i ∆ADC, które otrzymujemy dzieląc czworokąt ABCD przez prostą AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, ponieważ AC jest dla nich wspólne (odpowiednio kąty pionowe dla BC||AD i AB||CD). Wynika z tego: ∆ABC = ∆ADC (drugie kryterium równości trójkątów).

Odcinki AB i BC w ∆ABC odpowiadają parami prostym CD i AD w ∆ADC, co oznacza, że ​​są one identyczne: AB = CD, BC = AD. Zatem ∠B odpowiada ∠D i są one równe. Ponieważ ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, które również są identyczne w parach, to ∠A = ∠C. Właściwość została udowodniona.

Charakterystyka przekątnych figury

Główna cecha te linie równoległoboku: punkt przecięcia przecina je na pół.

Dowód: niech m. E będzie punktem przecięcia przekątnych AC i BD figury ABCD. Tworzą one dwa współmierne trójkąty - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD, ponieważ są przeciwne. Zgodnie z prostymi i siecznymi, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Zgodnie z drugim znakiem równości ∆ABE = ∆CDE. Oznacza to, że elementy ∆ABE i ∆CDE to: AE = CE, BE = DE, a ponadto są to części współmierne AC i BD. Właściwość została udowodniona.

Cechy sąsiednich narożników

Na sąsiednich bokach suma kątów wynosi 180°, ponieważ leżą po tej samej stronie prostych równoległych i siecznej. Dla czworokąta ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Właściwości dwusiecznej:

1. , opuszczone na bok, są prostopadłe;
2. przeciwległe wierzchołki mają dwusieczne równoległe;
3. trójkąt uzyskany przez narysowanie dwusiecznej będzie równoramienny.

Wyznaczanie cech charakterystycznych równoległoboku za pomocą twierdzenia

Cechy tej figury wynikają z jej głównego twierdzenia, które brzmi następująco: czworokąt jest uważany za równoległobok w przypadku, gdy jego przekątne się przecinają, a ten punkt dzieli je na równe segmenty.

Dowód: Niech proste AC i BD czworokąta ABCD przecinają się w t. E. Skoro ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, to ∆AED = ∆BEC (przy pierwszym znaku równości trójkątów). Oznacza to, że ∠EAD = ∠ECB. Są to również wewnętrzne kąty przecięcia siecznej AC dla linii AD i BC. Zatem z definicji równoległości - AD || PNE. Wyprowadzono również podobną właściwość linii BC i CD. Twierdzenie zostało udowodnione.

Obliczanie pola figury

Obszar tej figury znaleźć na kilka sposobów jeden z najprostszych: pomnożenie wysokości i podstawy, do której jest rysowany.

Dowód: Narysuj prostopadłe BE i CF z wierzchołków B i C. ∆ABE i ∆DCF są równe, ponieważ AB = CD i BE = CF. ABCD jest równe prostokątowi EBCF, ponieważ składają się one również z cyfr proporcjonalnych: SABE i S EBCD oraz S DCF i S EBCD. Wynika z tego, że obszar tej figury geometrycznej jest taki sam jak prostokąta:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Aby określić ogólny wzór na obszar równoległoboku, oznaczamy wysokość jako hb i bok B. Odpowiednio:

Inne sposoby znajdowania obszaru

Obliczenia powierzchni przez boki równoległoboku i kąt, które tworzą, jest drugą znaną metodą.

,

Spr-ma - obszar;

a i b to jego boki

α - kąt między odcinkami a i b.

Ta metoda jest praktycznie oparta na pierwszej, ale w przypadku, gdy jest nieznana. zawsze odcina trójkąt prostokątny, którego parametry znajdują się za pomocą tożsamości trygonometrycznych, tj. Przekształcając stosunek, otrzymujemy . W równaniu pierwszej metody zastępujemy wysokość tym iloczynem i uzyskujemy dowód ważności tego wzoru.

Przez przekątne równoległoboku i kąta które tworzą, gdy się przecinają, możesz również znaleźć obszar.

Dowód: AC i BD przecinające się tworzą cztery trójkąty: ABE, BEC, CDE i AED. Ich suma jest równa polu tego czworoboku.

Powierzchnię każdego z tych ∆ można znaleźć z wyrażenia , gdzie a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Skoro , to do obliczeń używana jest pojedyncza wartość sinusa. To jest . Ponieważ AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2 , wzór na pole redukuje się do:

.

Zastosowanie w algebrze wektorów

Cechy części składowych tego czworokąta znalazły zastosowanie w algebrze wektorów, a mianowicie: dodawanie dwóch wektorów. Mówi o tym reguła równoległoboku jeśli dane wektoryINiesą współliniowe, to ich suma będzie równa przekątnej tej figury, której podstawy odpowiadają tym wektorom.

Dowód: z arbitralnie wybranego początku - tj. - budujemy wektory i . Następnie budujemy równoległobok OASV, gdzie odcinki OA i OB są bokami. Zatem system operacyjny leży na wektorze lub sumie.

Wzory do obliczania parametrów równoległoboku

Tożsamości są podawane pod następującymi warunkami:

1. aib, α - boki i kąt między nimi;
2. re 1 i re 2 , γ - przekątne iw punkcie ich przecięcia;
3. h a i h b - wysokości obniżone na boki a i b;

Parametr	Formuła
Znalezienie stron
wzdłuż przekątnych i cosinusa kąta między nimi
po przekątnej i na boki
przez wysokość i przeciwny wierzchołek
Znalezienie długości przekątnych
po bokach i wielkości blatu pomiędzy nimi
wzdłuż boków i jednej z przekątnych	 Wniosek Równoległobok, jako jedna z kluczowych figur geometrii, jest używany w życiu, na przykład w budownictwie, przy obliczaniu powierzchni terenu lub innych pomiarów. Dlatego wiedza o cechach wyróżniających i metodach obliczania różnych jego parametrów może być przydatna w każdym momencie życia.