Linia prosta. Równoległe linie. Podstawowe koncepcje. Znaki równoległości dwóch prostych. Własności prostych równoległych Pierwszy znak równoległości dwóch prostych

Równoległość dwóch prostych można udowodnić na podstawie twierdzenia, zgodnie z którym dwie prostopadłe poprowadzone względem jednej prostej będą równoległe. Istnieją pewne znaki równoległych linii - są trzy z nich i rozważymy je wszystkie bardziej szczegółowo.

Pierwszy znak równoległości

Linie są równoległe, jeśli na przecięciu ich trzeciej prostej utworzone kąty wewnętrzne leżące w poprzek są równe.

Załóżmy, że na przecięciu prostych AB i CD z prostą EF powstały kąty /1 i /2. Są równe, ponieważ prosta EF przebiega pod tym samym kątem względem pozostałych dwóch prostych. Na przecięciu prostych stawiamy punkty Ki L - mamy odcinek siecznej EF. Znajdujemy jego środek i stawiamy punkt O (ryc. 189).

Na prostej AB opuszczamy prostopadłą z punktu O. Nazwijmy ją OM. Kontynuujemy prostopadłość, aż przecina się z linią CD. W rezultacie pierwotna prosta AB jest ściśle prostopadła do MN, co oznacza, że ​​CD _ | _ MN, ale to stwierdzenie wymaga dowodu. W wyniku narysowania prostopadłej i linii przecięcia powstały dwa trójkąty. Jeden z nich jest MÓJ, drugi to NOK. Rozważmy je bardziej szczegółowo. znaki linii równoległych stopień 7

Trójkąty te są równe, ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia /1 = /2 i zgodnie z konstrukcją trójkątów bok OK = bok OL. Kąt MOL =/NOK, ponieważ są to kąty pionowe. Wynika z tego, że bok i dwa sąsiednie kąty jednego z trójkątów są odpowiednio równe bokowi i dwóm sąsiednim kątom drugiego z trójkątów. Zatem trójkąt MOL \u003d trójkąt NOK, a zatem kąt LMO \u003d kąt KNO, ale wiemy, że / LMO jest prosty, co oznacza, że ​​\u200b\u200bodpowiadający mu kąt KNO jest również prosty. Oznacza to, że udało nam się udowodnić, że zarówno prosta AB, jak i prosta CD są prostopadłe do prostej MN. Oznacza to, że AB i CD są do siebie równoległe. To właśnie musieliśmy udowodnić. Rozważmy pozostałe znaki prostych równoległych (klasa 7), które różnią się od pierwszego znaku sposobem dowodowym.

Drugi znak równoległości

Zgodnie z drugim znakiem równoległości prostych musimy udowodnić, że kąty otrzymane w procesie przecięcia prostych równoległych AB i CD przez prostą EF będą równe. Zatem znaki równoległości dwóch linii, zarówno pierwszej, jak i drugiej, opierają się na równości kątów uzyskanych, gdy przecinają je trzecia linia. Zakładamy, że /3 = /2, a kąt 1 = /3, ponieważ jest do niego prostopadły. Zatem i /2 będzie równe kątowi 1, należy jednak wziąć pod uwagę, że zarówno kąt 1, jak i kąt 2 są kątami wewnętrznymi, przecinającymi się. Pozostaje nam zatem zastosować naszą wiedzę, a mianowicie, że dwa odcinki będą równoległe, jeśli na ich przecięciu z trzecią prostą utworzone, przecinające się kąty będą równe. W ten sposób dowiedzieliśmy się, że AB || PŁYTA CD.

Udało nam się udowodnić, że pod warunkiem, że dwie prostopadłe są równoległe do jednej prostej, zgodnie z odpowiednim twierdzeniem znak równoległych jest oczywisty.

Trzeci znak równoległości

Istnieje również trzecie kryterium równoległości, które jest udowodnione za pomocą sumy jednostronnych kątów wewnętrznych. Taki dowód znaku równoległości prostych pozwala stwierdzić, że dwie proste będą równoległe, jeśli przecinając się z trzecią prostą, suma uzyskanych kątów wewnętrznych jednostronnych będzie równa 2d. Patrz rysunek 192.

Ten artykuł dotyczy linii równoległych i linii równoległych. Najpierw podano definicję prostych równoległych w płaszczyźnie iw przestrzeni, wprowadzono notację, podano przykłady i ilustracje graficzne prostych równoległych. Następnie analizowane są znaki i warunki równoległości prostych. W podsumowaniu przedstawiono rozwiązania typowych problemów dowodzenia równoległości prostych, które dają pewne równania prostej w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie iw przestrzeni trójwymiarowej.

Nawigacja po stronie.

Linie równoległe - podstawowe informacje.

Definicja.

Nazywa się dwie linie na płaszczyźnie równoległy jeśli nie mają punktów wspólnych.

Definicja.

Nazywa się dwie linie w trzech wymiarach równoległy jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Zauważ, że klauzula „jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie” w definicji prostych równoległych w przestrzeni jest bardzo ważna. Wyjaśnijmy ten punkt: dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej, które nie mają wspólnych punktów i nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nie są równoległe, ale są skośne.

Oto kilka przykładów prostych równoległych. Przeciwległe krawędzie arkusza zeszytu leżą na równoległych liniach. Proste, wzdłuż których płaszczyzna ściany domu przecina płaszczyzny sufitu i podłogi, są równoległe. Tory kolejowe na równym terenie można również traktować jako linie równoległe.

Symbol „” jest używany do oznaczenia linii równoległych. Oznacza to, że jeśli linie a i b są równoległe, możesz krótko napisać a b.

Zauważ, że jeśli proste a i b są równoległe, to możemy powiedzieć, że prosta a jest równoległa do prostej b, a prosta b jest równoległa do prostej a.

Wypowiedzmy stwierdzenie, które odgrywa ważną rolę w badaniu prostych równoległych na płaszczyźnie: przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzi jedyna prosta równoległa do danej. Twierdzenie to przyjmuje się jako fakt (nie można go udowodnić na podstawie znanych aksjomatów planimetrii) i nazywa się aksjomatem prostych równoległych.

W przypadku w przestrzeni twierdzenie jest prawdziwe: przez dowolny punkt w przestrzeni, który nie leży na danej prostej, przechodzi pojedyncza prosta równoległa do danej. Twierdzenie to można łatwo udowodnić za pomocą podanego powyżej aksjomatu prostych równoległych (jego dowód można znaleźć w podręczniku do geometrii dla klas 10-11, który znajduje się na końcu artykułu w bibliografii).

W przypadku w przestrzeni twierdzenie jest prawdziwe: przez dowolny punkt w przestrzeni, który nie leży na danej prostej, przechodzi pojedyncza prosta równoległa do danej. Twierdzenie to można łatwo udowodnić za pomocą podanego powyżej aksjomatu linii równoległych.

Równoległość prostych - znaki i warunki równoległości.

Znak linii równoległych jest warunkiem wystarczającym dla prostych równoległych, czyli takim warunkiem, którego spełnienie gwarantuje proste równoległe. Innymi słowy, spełnienie tego warunku wystarczy, aby stwierdzić, że proste są równoległe.

Istnieją również warunki konieczne i wystarczające dla prostych równoległych w płaszczyźnie iw przestrzeni trójwymiarowej.

Wyjaśnijmy znaczenie wyrażenia „warunek konieczny i wystarczający dla prostych równoległych”.

Omówiliśmy już warunek wystarczający dla prostych równoległych. A jaki jest „warunek konieczny dla linii równoległych”? Pod nazwą „niezbędne” jasne jest, że spełnienie tego warunku jest konieczne, aby linie były równoległe. Innymi słowy, jeśli warunek konieczny dla prostych równoległych nie jest spełniony, to proste nie są równoległe. Zatem, warunek konieczny i wystarczający, aby proste były równoległe jest warunkiem, którego spełnienie jest zarówno konieczne, jak i wystarczające dla prostych równoległych. Oznacza to, że z jednej strony jest to znak równoległych linii, az drugiej strony jest to właściwość, którą mają równoległe linie.

Przed określeniem warunku koniecznego i wystarczającego równoległości prostych warto przypomnieć kilka definicji pomocniczych.

linia sieczna jest linią, która przecina każdą z dwóch danych nie pokrywających się linii.

Na przecięciu dwóch linii siecznej powstaje osiem nierozmieszczonych. Tak zwany leżące na krzyż, odpowiadające I narożniki jednostronne. Pokażmy je na rysunku.

Twierdzenie.

Jeżeli dwie proste na płaszczyźnie przecina sieczna, to dla ich równoległości konieczne i wystarczające jest, aby poprzeczne kąty leżące były równe lub odpowiednie kąty były równe lub suma kątów jednostronnych była równa 180 stopni .

Pokażmy graficzną ilustrację tego warunku koniecznego i wystarczającego dla prostych równoległych na płaszczyźnie.

Dowody tych warunków dla linii równoległych można znaleźć w podręcznikach do geometrii dla klas 7-9.

Zauważ, że te warunki można również zastosować w przestrzeni trójwymiarowej - najważniejsze jest to, że dwie proste i sieczna leżą w tej samej płaszczyźnie.

Oto kilka innych twierdzeń, które są często używane do udowodnienia równoległości prostych.

Twierdzenie.

Jeśli dwie proste w płaszczyźnie są równoległe do trzeciej prostej, to są równoległe. Dowód tej cechy wynika z aksjomatu linii równoległych.

Podobny warunek istnieje dla linii równoległych w przestrzeni trójwymiarowej.

Twierdzenie.

Jeśli dwie proste w przestrzeni są równoległe do trzeciej prostej, to są równoległe. Dowód tej cechy jest rozważany na lekcjach geometrii w klasie 10.

Zilustrujmy twierdzenia dźwięczne.

Podajmy jeszcze jedno twierdzenie, które pozwala nam udowodnić równoległość prostych na płaszczyźnie.

Twierdzenie.

Jeśli dwie proste w płaszczyźnie są prostopadłe do trzeciej linii, to są równoległe.

Podobne twierdzenie dotyczy linii w przestrzeni.

Twierdzenie.

Jeśli dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, to są równoległe.

Narysujmy rysunki odpowiadające tym twierdzeniom.

Wszystkie sformułowane powyżej twierdzenia, znaki oraz warunki konieczne i wystarczające doskonale nadają się do udowodnienia równoległości prostych metodami geometrii. To znaczy, aby udowodnić równoległość dwóch danych prostych, trzeba wykazać, że są one równoległe do trzeciej prostej, lub wykazać równość kątów krzyżujących się itp. Wiele z tych problemów rozwiązuje się na lekcjach geometrii w szkole średniej. Należy jednak zauważyć, że w wielu przypadkach do udowodnienia równoległości prostych na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej wygodnie jest użyć metody współrzędnych. Sformułujmy warunki konieczne i wystarczające równoległości prostych podanych w prostokątnym układzie współrzędnych.

Równoległość prostych w prostokątnym układzie współrzędnych.

W tej części artykułu sformułujemy warunki konieczne i wystarczające dla prostych równoległych w prostokątnym układzie współrzędnych, w zależności od rodzaju równań określających te linie, a także podamy szczegółowe rozwiązania typowych problemów.

Zacznijmy od warunku równoległości dwóch prostych na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy . Jego dowód opiera się na definicji wektora kierunkowego prostej i definicji wektora normalnego prostej na płaszczyźnie.

Twierdzenie.

Aby dwie nie pokrywające się proste były równoległe w płaszczyźnie, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe tych prostych były współliniowe lub wektory normalne tych prostych były współliniowe lub wektor kierunkowy jednej prostej był prostopadły do ​​normalnej wektor drugiej linii.

Oczywiście warunek równoległości dwóch prostych w płaszczyźnie sprowadza się do (kierunków prostych lub wektorów normalnych prostych) lub do (wektor kierunkowy jednej prostej i wektor normalny drugiej prostej). Zatem jeśli i są wektorami kierunkowymi linii a i b oraz I są wektorami normalnymi odpowiednio prostych a i b, to warunek konieczny i wystarczający dla prostych równoległych a i b można zapisać jako , Lub , lub , gdzie t jest pewną liczbą rzeczywistą. Z kolei współrzędne wektorów kierujących i (lub) wektorów normalnych prostych a i b znajdują się ze znanych równań prostych.

W szczególności, jeżeli prosta a w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy na płaszczyźnie definiuje ogólne równanie prostej postaci , a prosta b - , to wektory normalne tych prostych mają odpowiednio współrzędne i, a warunek równoległości prostych aib zapiszemy jako .

Jeżeli prosta a odpowiada równaniu prostej ze współczynnikiem nachylenia postaci . Dlatego, jeśli proste na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są równoległe i można je podać za pomocą równań prostych ze współczynnikami nachylenia, wówczas współczynniki nachylenia prostych będą równe. I odwrotnie: jeśli nie pokrywające się linie proste na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych można podać równaniami prostej o równych współczynnikach nachylenia, to takie proste są równoległe.

Jeżeli prosta a i prosta b w prostokątnym układzie współrzędnych definiują równania kanoniczne prostej na płaszczyźnie postaci I , czyli parametryczne równania prostej na płaszczyźnie postaci I odpowiednio, to wektory kierunkowe tych prostych mają współrzędne i , a warunek równoległości dla prostych a i b jest zapisany jako .

Rzućmy okiem na kilka przykładów.

Przykład.

Czy linie są równoległe? I ?

Rozwiązanie.

Przepisujemy równanie linii prostej w odcinkach w postaci ogólnego równania linii prostej: . Teraz jest jasne, że jest to wektor normalny linii prostej , i jest wektorem normalnym prostej. Te wektory nie są współliniowe, ponieważ nie ma liczby rzeczywistej t, dla której równość ( ). W konsekwencji warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych na płaszczyźnie nie jest spełniony, więc dane proste nie są równoległe.

Odpowiedź:

Nie, linie nie są równoległe.

Przykład.

Czy linie i równoległości są

Rozwiązanie.

Doprowadzamy kanoniczne równanie prostej do równania prostej o nachyleniu: . Oczywiście równania linii i nie są takie same (w tym przypadku podane linie byłyby takie same), a nachylenia linii są równe, dlatego pierwotne linie są równoległe.

Drugie rozwiązanie.

Najpierw pokażmy, że oryginalne proste nie pokrywają się: weź dowolny punkt linii, na przykład (0, 1) , współrzędne tego punktu nie spełniają równania linii, dlatego proste nie pokrywają się. Sprawdźmy teraz, czy spełniony jest warunek równoległości tych prostych. Normalny wektor linii to wektor , a wektor kierunkowy linii to wektor . Obliczamy i: . W konsekwencji wektory i są prostopadłe, co oznacza, że ​​spełniony jest warunek konieczny i wystarczający równoległości danych prostych. Więc proste są równoległe.

Odpowiedź:

Podane proste są równoległe.

Aby udowodnić równoległość prostych w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej, stosuje się następujący warunek konieczny i wystarczający.

Twierdzenie.

Aby linie, które się nie pokrywają, były równoległe w przestrzeni trójwymiarowej, konieczne i wystarczające jest, aby ich wektory kierunkowe były współliniowe.

Tak więc, jeśli znane są równania prostych w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej i musisz odpowiedzieć na pytanie, czy te proste są równoległe, czy nie, to musisz znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych i sprawdzić spełnienie warunku współliniowości wektorów kierunkowych. Innymi słowy, jeśli I - wektory kierunkowe prostych dane linie mają współrzędne i . Ponieważ , To . Zatem warunek konieczny i wystarczający, aby dwie proste były równoległe w przestrzeni, jest spełniony. Dowodzi to równoległości prostych I .

Bibliografia.

• Atanasyan LS, Butuzov VF, Kadomtsev SB, Poznyak EG, Yudina I.I. Geometria. Klasy 7 - 9: podręcznik dla placówek oświatowych.
• Atanasyan LS, Butuzov VF, Kadomtsev SB, Kiseleva LS, Poznyak EG Geometria. Podręcznik dla 10-11 klas szkoły średniej.
• Pogorelov A.V., Geometria. Podręcznik dla klas 7-11 placówek oświatowych.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej .
• Ilyin VA, Poznyak EG Geometria analityczna.

Klasa: 2

Cel lekcji:

• uformuj koncepcję równoległości 2 linii, rozważ pierwszy znak równoległych linii;
• rozwinąć umiejętność stosowania znaku w rozwiązywaniu problemów.

Zadania:

1. Edukacyjne: powtórzenie i utrwalenie przerobionego materiału, ukształtowanie koncepcji równoległości 2 prostych, dowód pierwszego znaku równoległości 2 prostych.
2. Edukacyjne: kultywowanie umiejętności dokładnego prowadzenia notatek w zeszycie oraz przestrzegania zasad konstruowania rysunków.
3. Zadania rozwojowe: rozwój logicznego myślenia, pamięci, uwagi.

Wyposażenie lekcji:

• projektor multimedialny;
• ekran, prezentacje;
• narzędzia do rysowania.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Pozdrawiam, sprawdzam gotowość do lekcji.

II. Przygotowanie do aktywnego UPD.

Scena 1.

Na pierwszej lekcji geometrii rozważaliśmy względne położenie 2 linii na płaszczyźnie.

Pytanie. Ile punktów wspólnych mogą mieć dwie proste?
Odpowiedź. Dwie proste mogą mieć jeden punkt wspólny lub nie więcej niż jeden punkt wspólny.

Pytanie. W jaki sposób te dwie linie będą usytuowane względem siebie, jeśli mają jeden wspólny punkt?
Odpowiedź. Jeśli linie mają jeden wspólny punkt, to się przecinają

Pytanie. W jaki sposób dwie linie są położone względem siebie, jeśli nie mają punktów wspólnych?
Odpowiedź. W tym przypadku linie nie przecinają się.

Etap 2.

Na ostatniej lekcji otrzymaliście zadanie wykonania prezentacji, w której spotykamy się z nie przecinającymi się liniami w naszym życiu iw przyrodzie. Teraz przyjrzymy się tym prezentacjom i wybierzemy najlepsze z nich. (W skład jury weszli uczniowie, którym ze względu na niską inteligencję trudno jest tworzyć własne prezentacje.)

Przeglądanie przygotowanych przez uczniów prezentacji: „Równoległość linii w przyrodzie i życiu” i wybór najlepszej z nich.

III. Aktywny UPD (wyjaśnienie nowego materiału).

Scena 1.

Obrazek 1

Definicja. Dwie linie na płaszczyźnie, które się nie przecinają, nazywamy równoległymi.

Ta tabela pokazuje różne przypadki ułożenia 2 równoległych linii na płaszczyźnie.

Zastanów się, które segmenty będą równoległe.

Rysunek 2

1) Jeżeli prosta a jest równoległa do b, to odcinki AB i CD są również równoległe.

2) Odcinek linii może być równoległy do ​​linii prostej. Zatem odcinek MN jest równoległy do ​​prostej a.

Rysunek 3

3) Odcinek AB jest równoległy do ​​promienia h. Promień h jest równoległy do ​​wiązki k.

4) Jeżeli prosta a jest prostopadła do prostej c, a prosta b jest prostopadła do prostej c, to proste a i b są równoległe.

Etap 2.

Kąty utworzone przez dwie linie równoległe i prostą poprzeczną.

Rysunek 4

Dwie równoległe proste przecinają trzecią prostą w dwóch punktach. W takim przypadku powstaje osiem rogów, oznaczonych na rysunku liczbami.

Niektóre pary tych kątów mają specjalne nazwy (patrz rysunek 4).

istnieje trzy znaki, równoległość dwóch linii związane z tymi kątami. W tej lekcji przyjrzymy się pierwszy znak.

Etap 3.

Powtórzmy materiał potrzebny do udowodnienia tej cechy.

Rysunek 5

Pytanie. Jak nazywają się narożniki pokazane na rysunku 5?
Odpowiedź. Kąty AOC i COB nazywamy sąsiednimi.

Pytanie. Jakie kąty nazywamy sąsiednimi? Podaj definicję.
Odpowiedź. Dwa kąty nazywamy sąsiednimi, jeśli mają jeden wspólny bok, a dwa pozostałe są wzajemnymi przedłużeniami.

Pytanie. Jakie są własności sąsiednich kątów?
Odpowiedź. Kąty przyległe sumują się do 180 stopni.
AOC + COB = 180°

Pytanie. Jak nazywają się kąty 1 i 2?
Odpowiedź. Kąty 1 i 2 nazywamy pionowymi.

Pytanie. Jakie są własności kątów wierzchołkowych?
Odpowiedź. Kąty pionowe są sobie równe.

Etap 4.

Dowód pierwszego znaku równoległości.

Twierdzenie. Jeżeli na przecięciu dwóch prostych przez poprzeczną kąty leżące są równe, to proste są równoległe.

Rysunek 6

Dany: aib są proste
AB - sieczna
1 = 2
Udowodnić: a//b.

1 przypadek.

Rysunek 7

Jeśli 1 i 2 są liniami prostymi, to a jest prostopadła do AB, a b jest prostopadła do AB, to a//b.

2. przypadek.

Cyfra 8

Rozważmy przypadek, gdy 1 i 2 nie są liniami prostymi.Odcinek AB dzielimy na pół przez punkt O.

Pytanie. Jaka będzie długość odcinków AO i OB?
Odpowiedź. Odcinki AO i OB są równej długości.

1) Z punktu O rysujemy prostopadłą do linii a, OH jest prostopadła do a.

Pytanie. Jaki będzie kąt 3?
Odpowiedź. Narożnik 3 będzie właściwy.

2) Z punktu A na prostej b odkładamy kompasem odcinek AH 1 = BH.

3) Narysujmy odcinek OH 1.

Pytanie. Jakie trójkąty powstały w wyniku dowodu?
Odpowiedź. Trójkąt ONV i trójkąt OH 1 A.

Udowodnijmy, że są sobie równe.

Pytanie. Jakie kąty są równe zgodnie z hipotezą twierdzenia?
Odpowiedź. Kąt 1 jest równy kątowi 2.

Pytanie. Które boki są równe w budowie.
Odpowiedź. AO = OB i AN1 = VN

Pytanie. Na jakiej podstawie trójkąty są przystające?
Odpowiedź. Trójkąty są równe z dwóch boków i kąta między nimi (pierwszy znak równości trójkątów).

Pytanie. Jaką właściwość mają trójkąty przystające?
Odpowiedź. Równe trójkąty mają równe kąty naprzeciw równych boków.

Pytanie. Jakie kąty będą równe?
Odpowiedź. 5 = 6, 3 = 4.

Pytanie. Jak nazywają się 5 i 6?
Odpowiedź. Kąty te nazywane są pionowymi.

Z tego wynika, że ​​punkty: H 1 , O, H leżą na jednej prostej.
Ponieważ 3 jest proste, a 3 = 4, wtedy 4 jest proste.

Pytanie. Jak linie aib mają się do prostej HH 1, jeśli kąty 3 i 4 są proste?
Odpowiedź. Proste aib są prostopadłe do HH1.

Pytanie. Co możemy powiedzieć o dwóch prostopadłych do jednej prostej?
Odpowiedź. Dwie prostopadłe jednej prostej są równoległe.

Więc a//b. Twierdzenie zostało udowodnione.

Teraz powtórzę cały dowód od początku, a ty posłuchaj mnie uważnie i postaraj się zrozumieć wszystko, co trzeba zapamiętać.

IV. Konsolidacja nowego materiału.

Pracuj w grupach o różnym poziomie inteligencji, a następnie sprawdź na ekranie i na tablicy. Przy tablicy pracuje 3 uczniów (po jednym z każdej grupy).

№1 (dla uczniów z obniżonym poziomem rozwoju intelektualnego).

Dany: aib są proste
c - sieczna
1 = 37°
7 = 143°
Udowodnić: a//b.

Rozwiązanie.

7 = 6 (pionowo) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (sąsiedni) 4 =180° – 37° = 143°
4 \u003d 6 \u003d 143 ° i leżą poprzecznie a//b 5 \u003d 48 °, 3 i 5 to kąty krzyżujące się, są równe a//b.

Rysunek 11

V. Podsumowanie lekcji.

Wynik lekcji odbywa się za pomocą rysunków 1-8.

Oceniana jest aktywność uczniów na lekcji (każdy uczeń otrzymuje odpowiednią emotikonkę).

Praca domowa: nauczać - s. 52-53; rozwiązać nr 186 (b, c).

Równoległość jest bardzo przydatną właściwością w geometrii. W prawdziwym życiu równoległe boki pozwalają tworzyć piękne, symetryczne rzeczy, które są przyjemne dla każdego oka, więc geometria zawsze potrzebowała sposobów sprawdzania tej równoległości. W tym artykule porozmawiamy o znakach linii równoległych.

Definicja równoległości

Wyróżnijmy definicje, które musisz znać, aby udowodnić znaki równoległości dwóch prostych.

Proste nazywamy równoległymi, jeśli nie mają punktów przecięcia. Ponadto w rozwiązaniach linie równoległe zwykle występują w połączeniu z linią sieczną.

Linia sieczna to prosta, która przecina obie proste równoległe. W tym przypadku kąty leżące, odpowiadające i jednostronne są tworzone poprzecznie. Pary kątów 1 i 4 będą leżeć w poprzek; 2 i 3; 8 i 6; 7 i 5. Odpowiednie będzie 7 i 2; 1 i 6; 8 i 4; 3 i 5.

Jednostronne 1 i 2; 7 i 6; 8 i 5; 3 i 4.

Przy prawidłowym sformatowaniu jest napisane: „Kąty przekrojowe z dwiema równoległymi liniami a i b oraz sieczną c”, ponieważ dla dwóch równoległych prostych może istnieć nieskończona liczba siecznych, więc musisz określić, o którą sieczną ci chodzi.

Ponadto do dowodu potrzebujemy twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta, które mówi, że kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów trójkąta, które do niego nie przylegają.

oznaki

Wszystkie znaki prostych równoległych są związane ze znajomością własności kątów i twierdzeniem o kącie zewnętrznym trójkąta.

Cecha 1

Dwie proste są równoległe, jeśli kąty przecięcia są równe.

Rozważmy dwie proste a i b z sieczną c. Kąty leżące poprzecznie 1 i 4 są sobie równe. Załóżmy, że proste nie są równoległe. Oznacza to, że proste przecinają się i musi istnieć punkt przecięcia M. Wtedy powstaje trójkąt AVM o kącie zewnętrznym równym 1. Kąt zewnętrzny musi być równy sumie kątów 4 i AVM jako nieprzylegający do niego zgodnie z twierdzenie o kącie zewnętrznym w trójkącie. Ale wtedy okazuje się, że kąt 1 jest większy niż kąt 4, a to jest sprzeczne z warunkiem problemu, czyli że punkt M nie istnieje, proste nie przecinają się, to znaczy są równoległe.

Ryż. 1. Rysunek do dowodu.

Cecha 2

Dwie proste są równoległe, jeśli odpowiednie kąty sieczne są równe.

Rozważmy dwie proste a i b z sieczną c. Odpowiednie kąty 7 i 2 są równe. Zwróćmy uwagę na kąt 3. Jest on pionowy dla kąta 7. Zatem kąty 7 i 3 są równe. Więc kąty 3 i 2 są również równe, ponieważ<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Ryż. 2. Rysunek do dowodu.

Cecha 3

Dwie proste są równoległe, jeśli suma kątów jednostronnych wynosi 180 stopni.

Ryż. 3. Rysunek do dowodu.

Rozważmy dwie proste a i b z sieczną c. Suma kątów jednostronnych 1 i 2 wynosi 180 stopni. Zwróćmy uwagę na kąty 1 i 7. Są one sąsiadujące. To jest:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Odejmij drugie od pierwszego wyrażenia:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Czego się nauczyliśmy?

Szczegółowo przeanalizowaliśmy, jakie kąty uzyskuje się podczas cięcia linii równoległych trzecią linią, zidentyfikowaliśmy i szczegółowo opisaliśmy dowód trzech znaków równoległości linii.

Kwiz tematyczny

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.1. Łączna liczba otrzymanych ocen: 220.

1. Pierwszy znak równoległości.

Jeżeli na przecięciu dwóch linii z trzecią kąty wewnętrzne leżące w poprzek są równe, to proste te są równoległe.

Niech proste AB i CD przecina prosta EF i ∠1 = ∠2. Weźmy punkt O - środek odcinka KL siecznej EF (ryc.).

Opuśćmy prostopadłą OM od punktu O do prostej AB i kontynuujmy ją aż do przecięcia się z prostą CD, AB ⊥ MN. Udowodnijmy, że również CD ⊥ MN.

Aby to zrobić, rozważ dwa trójkąty: MOE i NOK. Te trójkąty są sobie równe. Rzeczywiście: ∠1 = ∠2 przez hipotezę twierdzenia; OK = OL - według konstrukcji;

∠MOL = ∠NOK jako kąty pionowe. Zatem bok i dwa sąsiednie kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe bokowi i dwóm sąsiednim kątom innego trójkąta; zatem ΔMOL = ΔNOK, a stąd ∠LMO = ∠KNO,
ale ∠LMO jest bezpośrednie, stąd ∠KNO jest również bezpośrednie. Zatem proste AB i CD są prostopadłe do tej samej prostej MN, a więc są równoległe, co należało udowodnić.

Notatka. Przecięcie prostych MO i CD można wyznaczyć, obracając trójkąt MOL wokół punktu O o 180°.

2. Drugi znak równoległości.

Sprawdźmy, czy proste AB i CD są równoległe, jeśli na przecięciu ich trzeciej prostej EF odpowiednie kąty są równe.

Niech niektóre odpowiednie kąty będą równe, na przykład ∠ 3 = ∠2 (ryc.);

∠3 = ∠1 jako kąty pionowe; więc ∠2 będzie równe ∠1. Ale kąty 2 i 1 są wewnętrznymi kątami poprzecznymi i wiemy już, że jeśli na przecięciu dwóch linii przez trzecią wewnętrzne kąty leżące w poprzek są równe, to linie te są równoległe. Dlatego AB || PŁYTA CD.

Jeżeli na przecięciu dwóch linii trzeciej odpowiednie kąty są równe, to te dwie linie są równoległe.

Na tej właściwości opiera się konstrukcja równoległych linii za pomocą linijki i trójkąta rysunkowego. Odbywa się to w następujący sposób.

Przymocujmy trójkąt do linijki, jak pokazano na ryc. Przesuniemy trójkąt tak, aby jeden jego bok przesuwał się wzdłuż linijki i narysujemy kilka linii prostych wzdłuż dowolnego innego boku trójkąta. Linie te będą równoległe.

3. Trzeci znak równoległości.

Powiedzmy, że na przecięciu dwóch prostych AB i CD trzecią prostą suma dowolnych wewnętrznych kątów jednostronnych jest równa 2 D(lub 180°). Czy proste AB i CD będą w tym przypadku równoległe (ryc.).

Niech ∠1 i ∠2 będą jednostronnymi kątami wewnętrznymi i dodają do 2 D.

Ale ∠3 + ∠2 = 2 D jako sąsiednie kąty. Dlatego ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Stąd ∠1 = ∠3, a te kąty wewnętrzne są poprzeczne. Dlatego AB || PŁYTA CD.

Jeśli na przecięciu dwóch linii przez trzecią suma wewnętrznych kątów jednostronnych jest równa 2 d (lub 180°), to dwie linie są równoległe.

Znaki linii równoległych:

1. Jeżeli na przecięciu dwóch linii prostych przez trzecią wewnętrzne kąty leżące na krzyżu są równe, to linie te są równoległe.

2. Jeżeli na przecięciu dwóch linii trzeciej odpowiednie kąty są równe, to te dwie linie są równoległe.

3. Jeżeli na przecięciu dwóch linii trzeciej suma wewnętrznych kątów jednostronnych wynosi 180 °, to te dwie linie są równoległe.

4. Jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe do siebie.

5. Jeśli dwie linie są prostopadłe do trzeciej linii, to są do siebie równoległe.

Aksjomat równoległości Euklidesa

Zadanie. Przez punkt M wyprowadzony poza prostą AB poprowadź linię równoległą do prostej AB.

Korzystając ze sprawdzonych twierdzeń o znakach równoległości prostych, problem ten można rozwiązać na różne sposoby,

Rozwiązanie. 1. s o s o b (ryc. 199).

Rysujemy MN⊥AB i przez punkt M rysujemy CD⊥MN;

otrzymujemy CD⊥MN i AB⊥MN.

Na podstawie twierdzenia („Jeżeli dwie proste są prostopadłe do tej samej prostej, to są równoległe”) wnioskujemy, że СD || AB.

2. s o s o b (ryc. 200).

Rysujemy MK przecinającą AB pod dowolnym kątem α i przez punkt M prowadzimy prostą EF, tworzącą kąt EMK z prostą MK, równą kątowi α. Na podstawie twierdzenia () wnioskujemy, że EF || AB.

Po rozwiązaniu tego problemu możemy uznać, że udowodniono, że przez dowolny punkt M, wyprowadzony poza linię AB, można narysować linię równoległą do niego. Powstaje pytanie, ile może istnieć prostych równoległych do danej prostej i przechodzących przez dany punkt?

Praktyka konstrukcji pozwala przypuszczać, że taka linia jest tylko jedna, ponieważ przy starannie wykonanym rysunku linie poprowadzone w różny sposób przez ten sam punkt równolegle do tej samej linii łączą się.

Teoretycznie odpowiedzi na to pytanie udziela tzw. aksjomat równoległości Euklidesa; jest sformułowane w ten sposób:

Przez punkt poprowadzony poza daną prostą można poprowadzić tylko jedną linię równoległą do tej prostej.

Na rysunku 201 prosta SK jest poprowadzona przez punkt O, równolegle do prostej AB.

Każda inna prosta przechodząca przez punkt O nie będzie już równoległa do prostej AB, ale ją przetnie.

Aksjomat przyjęty przez Euklidesa w jego Elementach, który mówi, że na płaszczyźnie przechodzącej przez punkt poprowadzony poza daną prostą, można poprowadzić tylko jedną linię równoległą do tej prostej, nazywa się Aksjomat równoległości Euklidesa.

Przez ponad dwa tysiące lat po Euklidesie wielu matematyków próbowało udowodnić to matematyczne twierdzenie, ale ich próby zawsze kończyły się niepowodzeniem. Dopiero w 1826 r. wielki rosyjski naukowiec, profesor Uniwersytetu Kazańskiego Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski udowodnił, że przy użyciu wszystkich innych aksjomatów Euklidesa nie da się udowodnić tego twierdzenia matematycznego, że naprawdę należy je traktować jako aksjomat. N. I. Łobaczewski stworzył nową geometrię, którą w przeciwieństwie do geometrii Euklidesa nazwano geometrią Łobaczewskiego.