Ogólna idea dzielenia liczb naturalnych z resztą. Dzielenie liczb całkowitych z resztą, zasady, przykłady Jak wykonać dzielenie z resztą

Dzielenie liczb wielocyfrowych najłatwiej wykonać w kolumnie. Podział kolumn jest również nazywany podział narożnika.

Zanim przystąpimy do wykonywania dzielenia przez kolumnę, rozważmy szczegółowo samą formę zapisu dzielenia przez kolumnę. Najpierw zapisujemy dywidendę i umieszczamy pionową kreskę po jej prawej stronie:

Za linią pionową, naprzeciw dywidendy, piszemy dzielnik i rysujemy pod nim poziomą linię:

Pod linią poziomą iloraz wynikający z obliczeń zostanie zapisany etapami:

Pod dywidendą zostaną zapisane obliczenia pośrednie:

Pełna postać podziału przez kolumnę jest następująca:

Jak podzielić przez kolumnę

Powiedzmy, że musimy podzielić 780 przez 12, zapisać akcję w kolumnie i zacząć dzielić:

Podział według kolumny odbywa się etapami. Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, to zdefiniować niepełną dywidendę. Spójrz na pierwszą cyfrę dywidendy:

ta liczba to 7, ponieważ jest mniejsza od dzielnika, to nie możemy zacząć od niej dzielić, więc musimy wziąć jeszcze jedną cyfrę z dzielnej, liczba 78 jest większa od dzielnika, więc zaczynamy od niej dzielić:

W naszym przypadku liczba 78 będzie niekompletna podzielna, nazywa się to niezupełnym, ponieważ jest tylko częścią podzielnej.

Po ustaleniu niepełnej dywidendy możemy dowiedzieć się, ile cyfr będzie w ilorazie, w tym celu musimy obliczyć, ile cyfr pozostało w dywidendzie po niepełnej dywidendzie, w naszym przypadku jest tylko jedna cyfra - 0, co oznacza, że ​​iloraz będzie się składał z 2 cyfr.

Po ustaleniu liczby cyfr, które powinny pojawić się w prywatnej, możesz wstawić kropki w jej miejsce. Jeśli na końcu podziału liczba cyfr okazała się większa lub mniejsza niż wskazane punkty, to gdzieś popełniono błąd:

Zacznijmy dzielić. Musimy ustalić, ile razy 12 zawiera się w liczbie 78. W tym celu mnożymy kolejno dzielnik przez liczby naturalne 1, 2, 3, ... aż do uzyskania liczby jak najbardziej zbliżonej do niepełnej podzielnej lub równy, ale nie przekraczający go. W ten sposób otrzymujemy liczbę 6, zapisujemy ją pod dzielnikiem i odejmujemy 72 od 78 (zgodnie z zasadami odejmowania kolumn) (12 6 \u003d 72). Po odjęciu 72 od 78 otrzymaliśmy resztę 6:

Należy pamiętać, że reszta z dzielenia pokazuje nam, czy wybraliśmy właściwą liczbę. Jeśli reszta jest równa lub większa od dzielnika, to nie wybraliśmy właściwej liczby i musimy wziąć większą liczbę.

Do powstałej reszty - 6, burzymy kolejną cyfrę dywidendy - 0. W rezultacie otrzymaliśmy niepełną dywidendę - 60. Ustalamy, ile razy 12 zawiera się w liczbie 60. Otrzymujemy liczbę 5, piszemy to do ilorazu po liczbie 6 i odejmij 60 od 60 ( 12 5 = 60). reszta to zero:

Ponieważ w dzielnej nie ma już cyfr, oznacza to, że 780 dzieli się całkowicie przez 12. W wyniku dzielenia przez kolumnę znaleźliśmy iloraz - jest on zapisany pod dzielnikiem:

Rozważ przykład, w którym z ilorazu uzyskuje się zera. Powiedzmy, że musimy podzielić 9027 przez 9.

Określamy niepełną dywidendę - jest to liczba 9. Zapisujemy ją do ilorazu 1 i odejmujemy 9 od 9. Reszta okazała się zerowa. Zwykle, jeśli w obliczeniach pośrednich reszta wynosi zero, nie jest zapisywana:

Niszczymy kolejną cyfrę dywidendy - 0. Przypominamy, że dzieląc zero przez dowolną liczbę, będzie zero. Piszemy do prywatnego zera (0:9 = 0) i w obliczeniach pośrednich odejmujemy 0 od 0. Zwykle, aby nie piętrzyć obliczeń pośrednich, obliczenia z zerem nie są zapisywane:

Niszczymy kolejną cyfrę dywidendy - 2. W obliczeniach pośrednich okazało się, że dywidenda niepełna (2) jest mniejsza niż dzielnik (9). W takim przypadku zero jest wpisywane do ilorazu, a następna cyfra dywidendy jest usuwana:

Ustalamy, ile razy 9 zawiera się w liczbie 27. Otrzymujemy liczbę 3, zapisujemy ją jako iloraz i odejmujemy 27 od 27. Reszta wynosi zero:

Ponieważ w dzielnej nie ma już cyfr, oznacza to, że liczba 9027 jest całkowicie podzielona przez 9:

Rozważmy przykład, w którym dywidenda kończy się zerami. Powiedzmy, że musimy podzielić 3000 przez 6.

Wyznaczamy niepełną dywidendę - jest to liczba 30. Zapisujemy ją do ilorazu 5 i odejmujemy 30 od 30. Reszta to zero. Jak już wspomniano, nie jest konieczne zapisywanie zera w pozostałej części w obliczeniach pośrednich:

Niszczymy kolejną cyfrę dywidendy - 0. Ponieważ przy dzieleniu zera przez dowolną liczbę będzie zero, zapisujemy ją do prywatnego zera i odejmujemy 0 od 0 w obliczeniach pośrednich:

Niszczymy kolejną cyfrę dywidendy - 0. Do ilorazu wpisujemy jeszcze jedno zero i w obliczeniach pośrednich odejmujemy 0 od 0. na samym końcu obliczeń zwykle pisze się, aby pokazać, że dzielenie jest zakończone:

Ponieważ w dzielnej nie ma już cyfr, oznacza to, że 3000 dzieli się całkowicie przez 6:

Dzielenie przez kolumnę z resztą

Powiedzmy, że musimy podzielić 1340 przez 23.

Ustalamy niepełną dywidendę - jest to liczba 134. Piszemy iloraz 5 i odejmujemy 115 od 134. Reszta okazała się 19:

Niszczymy kolejną cyfrę dywidendy - 0. Ustalamy, ile razy 23 zawiera się w liczbie 190. Otrzymujemy liczbę 8, zapisujemy ją w iloraz i odejmujemy 184 od 190. Otrzymujemy resztę 6:

Ponieważ w dzielnej nie ma już cyfr, podział jest zakończony. Rezultatem jest niepełny iloraz 58 i reszta 6:

1340: 23 = 58 (reszta 6)

Pozostaje rozważyć przykład dzielenia z resztą, gdy dywidenda jest mniejsza niż dzielnik. Załóżmy, że musimy podzielić 3 przez 10. Widzimy, że 10 nigdy nie jest zawarte w liczbie 3, więc zapisujemy ją do ilorazu 0 i odejmujemy 0 od 3 (10 0 = 0). Rysujemy poziomą linię i zapisujemy resztę - 3:

3: 10 = 0 (reszta 3)

Kalkulator dzielenia kolumn

Ten kalkulator pomoże Ci wykonać dzielenie przez kolumnę. Po prostu wprowadź dywidendę i dzielnik i kliknij przycisk Oblicz.

Co robi trzecia klasa z matematyki? Dzielenie z resztą, przykłady i zadania - tego uczymy się na lekcjach. Dzielenie z resztą i algorytm takich obliczeń zostaną omówione w artykule.

Osobliwości

Rozważ tematy zawarte w programie, którego uczy się klasa 3. Dzielenie z resztą to specjalny dział matematyki. O czym to jest? Jeśli dywidenda nie jest równo podzielna przez dzielnik, to reszta pozostaje. Na przykład dzielimy 21 przez 6. Okazuje się, że 3, ale reszta pozostaje 3.

W przypadkach, gdy podczas dzielenia liczb naturalnych reszta jest równa zeru, mówią, że dzielenia dokonano liczbą całkowitą. Na przykład, jeśli 25 jest dzielone przez 5, wynikiem jest 5. Reszta wynosi zero.

Rozwiązanie przykładów

Aby wykonać dzielenie z resztą, stosuje się specjalny zapis.

Podajmy przykłady z matematyki (klasa 3). Dzielenie z resztą można pominąć. Wystarczy w jednym wierszu napisać: 13:4=3 (reszta 1) lub 17:5=3 (reszta 2).

Przeanalizujmy wszystko bardziej szczegółowo. Na przykład, gdy 17 jest dzielone przez trzy, otrzymuje się liczbę całkowitą pięć, a reszta to dwa. Jaka jest procedura rozwiązania takiego przykładu dzielenia z resztą? Najpierw musisz znaleźć maksymalną liczbę do 17, którą można podzielić bez reszty przez trzy. Największy będzie miał 15.

Następnie 15 jest dzielone przez liczbę trzy, wynikiem działania będzie liczba pięć. Teraz odejmujemy znalezioną liczbę od podzielnej, to znaczy odejmujemy 15 od 17, otrzymujemy dwa. Obowiązkowym działaniem jest uzgodnienie dzielnika i reszty. Po weryfikacji reakcja na podjęte działanie jest koniecznie rejestrowana. 17:3=15 (reszta 2).

Jeśli reszta jest większa niż dzielnik, czynność nie została wykonana poprawnie. Zgodnie z tym algorytmem wykonuje się dzielenie klasy 3 z resztą. Przykłady są najpierw analizowane przez nauczyciela na tablicy, następnie dzieci są proszone o sprawdzenie swojej wiedzy poprzez wykonanie samodzielnej pracy.

Przykład mnożenia

Jednym z najtrudniejszych tematów, przed którymi stoi klasa 3, jest dzielenie z resztą. Przykłady mogą być złożone, zwłaszcza gdy wymagane są dodatkowe obliczenia kolumn.

Powiedzmy, że musisz podzielić liczbę 190 przez 27, aby uzyskać minimalną resztę. Spróbujmy rozwiązać problem za pomocą mnożenia.

Wybieramy liczbę, która po pomnożeniu da liczbę jak najbardziej zbliżoną do liczby 190. Jeśli pomnożymy 27 przez 6, otrzymamy liczbę 162. Odejmij liczbę 162 od 190, a reszta wyniesie 28. Okazało się być czymś więcej niż pierwotnym dzielnikiem. Dlatego liczba sześć nie nadaje się do naszego przykładu jako mnożnik. Kontynuujmy rozwiązanie przykładu, biorąc liczbę 7 do mnożenia.

Mnożąc 27 przez 7 otrzymujemy iloczyn 189. Następnie sprawdzimy poprawność rozwiązania, w tym celu odejmujemy otrzymany wynik od 190, czyli odejmujemy liczbę 189. Reszta wyniesie 1, czyli wyraźnie mniej niż 27. Tak rozwiązuje się wyrażenia złożone w szkole (klasa 3, dzielenie z resztą). Przykłady zawsze obejmują rekord odpowiedzi. Całe wyrażenie matematyczne można sformułować następująco: 190:27=7 (reszta 1). Podobne obliczenia można wykonać w kolumnie.

Tak działa dzielenie klasy 3 z resztą. Podane powyżej przykłady pomogą zrozumieć algorytm rozwiązywania takich problemów.

Wniosek

Aby uczniowie szkoły podstawowej wykształcili prawidłowe umiejętności obliczeniowe, nauczyciel podczas zajęć z matematyki musi zwrócić uwagę na wyjaśnienie algorytmu działań dziecka przy rozwiązywaniu zadań dzielenia przez resztę.

Zgodnie z nowymi federalnymi standardami edukacyjnymi szczególną uwagę zwraca się na indywidualne podejście do nauki. Nauczyciel powinien dobrać zadania dla każdego dziecka, biorąc pod uwagę jego indywidualne możliwości. Na każdym etapie nauczania zasad dzielenia z resztą nauczyciel musi przeprowadzić kontrolę pośrednią. Pozwala mu zidentyfikować główne problemy, które pojawiają się przy przyswajaniu materiału dla każdego ucznia, na czas korygować wiedzę i umiejętności, eliminować pojawiające się problemy i uzyskać pożądany rezultat.

Od ogólnej idei dzielenia liczb naturalnych z resztą przejdziemy dalej, aw tym artykule zajmiemy się zasadami, według których przeprowadzana jest ta akcja. W ogóle dzielenie z resztą ma wiele wspólnego z dzieleniem liczb naturalnych bez reszty, dlatego często będziemy odwoływać się do materiału tego artykułu.

Najpierw zajmijmy się dzieleniem liczb naturalnych z resztą w kolumnie. Następnie pokażemy, jak znaleźć wynik dzielenia liczb naturalnych z resztą przez odejmowanie sekwencyjne. Następnie przejdziemy do metody wyboru niepełnego ilorazu, nie zapominając o podaniu przykładów ze szczegółowym opisem rozwiązania. Następnie piszemy algorytm, który pozwala nam dzielić liczby naturalne z resztą w przypadku ogólnym. Na końcu artykułu pokażemy, jak sprawdzić wynik dzielenia liczb naturalnych z resztą.

Nawigacja po stronie.

Dzielenie liczb naturalnych w kolumnie z resztą

Jednym z najwygodniejszych sposobów dzielenia liczb naturalnych z resztą jest dzielenie przez kolumnę. W artykule Podział liczb naturalnych przez kolumnę bardzo szczegółowo przeanalizowaliśmy tę metodę dzielenia. Nie będziemy się tutaj powtarzać, ale po prostu podamy rozwiązanie na jednym przykładzie.

Przykład.

Wykonaj dzielenie z resztą z liczby naturalnej 273844 przez liczbę naturalną 97 .

Rozwiązanie.

Podzielmy przez kolumnę:

Więc iloraz częściowy 273844 podzielony przez 97 to 2823, a reszta to 13.

Odpowiedź:

273 844:97=2 823 (reszta 13) .

Dzielenie liczb naturalnych z resztą przez kolejne odejmowanie

Możesz znaleźć niepełny iloraz i resztę z dzielenia liczb naturalnych, sukcesywnie odejmując dzielnik.

Istota tego podejścia jest prosta: z elementów istniejącego zbioru tworzy się sekwencyjnie zbiory z wymaganą liczbą elementów, aż będzie to możliwe, liczba uzyskanych zbiorów daje niepełny iloraz, a liczba pozostałych elementów w pierwotnym zbiór to reszta z dzielenia.

Weźmy przykład.

Przykład.

Powiedzmy, że musimy podzielić 7 przez 3 .

Rozwiązanie.

Wyobraź sobie, że musimy włożyć 7 jabłek do worków po 3 jabłka. Z początkowej liczby jabłek bierzemy 3 sztuki i wkładamy je do pierwszej torby. W tym przypadku, ze względu na znaczenie odejmowania liczb naturalnych, zostaje nam 7−3=4 jabłka. Spośród nich ponownie bierzemy 3 sztuki i wkładamy je do drugiej torby. Po tym zostaje nam 4−3=1 jabłko. Oczywiste jest, że proces kończy się tutaj (nie możemy utworzyć kolejnej paczki z wymaganą liczbą jabłek, ponieważ pozostała liczba jabłek 1 jest mniejsza niż liczba, której potrzebujemy 3). W rezultacie mamy dwie paczki z wymaganą liczbą jabłek i jedno jabłko w bilansie.

Wtedy, na mocy sensu dzielenia liczb naturalnych z resztą, można argumentować, że otrzymaliśmy następujący wynik 7:3=2 (reszta 1) .

Odpowiedź:

7:3=2 (reszta 1).

Rozważ rozwiązanie innego przykładu, podczas gdy my przedstawiamy tylko obliczenia matematyczne.

Przykład.

Podziel liczbę naturalną 145 przez 46, kolejno odejmując.

Rozwiązanie.

145−46=99 (w razie potrzeby patrz artykuł odejmowanie liczb naturalnych). Ponieważ 99 jest większe niż 46 , odejmujemy dzielnik po raz drugi: 99−46=53 . Ponieważ 53>46 , odejmujemy dzielnik po raz trzeci: 53−46=7 . Ponieważ 7 jest mniejsze niż 46, nie będziemy mogli ponownie odejmować, czyli na tym kończy się proces sekwencyjnego odejmowania.

W rezultacie musieliśmy kolejno odjąć dzielnik 46 od dywidendy 145 3 razy, po czym otrzymaliśmy resztę 7. Zatem 145:46=3 (rez. 7).

Odpowiedź:

145:46=3 (reszta 7).

Należy zauważyć, że jeśli dzielna jest mniejsza niż dzielnik, to nie będziemy mogli przeprowadzić odejmowania sekwencyjnego. Tak, nie jest to konieczne, ponieważ w tym przypadku możemy od razu napisać odpowiedź. W tym przypadku niepełny iloraz jest równy zeru, a reszta jest równa dywidendzie. To znaczy, jeśli A

Należy również powiedzieć, że dzielenie liczb naturalnych z resztą w rozważany sposób dobrze jest wykonywać tylko wtedy, gdy do uzyskania wyniku wymagana jest niewielka liczba kolejnych odejmowań.

Wybór niepełnego ilorazu

Dzieląc podane liczby naturalne a i b z resztą, można znaleźć niepełny iloraz c. Teraz pokażemy, na czym opiera się proces selekcji i jak powinien przebiegać.

Najpierw zdecydujmy, wśród których liczb szukać niepełnego ilorazu. Kiedy rozmawialiśmy o znaczeniu dzielenia liczb naturalnych przez resztę, dowiedzieliśmy się, że niepełny iloraz może być albo zerem, albo liczbą naturalną, czyli jedną z liczb 0, 1, 2, 3, ... Zatem pożądanym niepełnym ilorazem jest jedna z zapisanych liczb i pozostaje nam je przejrzeć, aby określić, która liczba jest niepełnym ilorazem.

Następnie potrzebujemy równania postaci d=a−b c , określające , a także fakt, że reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika (wspomnieliśmy o tym również, gdy mówiliśmy o znaczeniu dzielenia liczb naturalnych przez resztę) .

Teraz możemy przejść bezpośrednio do opisu procesu wybierania niepełnego ilorazu. Dzielna a i dzielnik b są nam znane od początku, jako niepełny iloraz c bierzemy kolejno liczby 0 , 1 , 2 , 3 , ..., każdorazowo obliczając wartość d=a−b·c i porównując ją z dzielnikiem. Ten proces kończy się, gdy wynikowa wartość jest mniejsza niż dzielnik. Co więcej, liczba c na tym etapie jest pożądanym niezupełnym ilorazem, a wartość d=a-b·c jest resztą z dzielenia.

Pozostaje przeanalizować proces wybierania niezupełnego ilorazu na przykładzie.

Przykład.

Wykonaj dzielenie z resztą liczby naturalnej 267 przez 21.

Rozwiązanie.

Wybierzmy niepełny iloraz. W naszym przykładzie a=267 , b=21 . Będziemy kolejno nadawać c wartości 0 , 1 , 2 , 3 , …, obliczając w każdym kroku wartość d=a−b·c i porównując ją z dzielnikiem 21 .

Na c=0 mamy d=a−b c=267−21 0=267−0=267(najpierw wykonuje się mnożenie liczb naturalnych, a następnie odejmowanie, jest to napisane w artykule). Wynikowa liczba jest większa niż 21 (w razie potrzeby przestudiuj materiał artykułu porównujący liczby naturalne). Dlatego kontynuujemy proces selekcji.

Na c=1 mamy d=a−b c=267−21 1=267−21=246. Ponieważ 246>21 kontynuujemy proces.

Na c=2 otrzymujemy d=a−b c=267−21 2=267−42=225. Ponieważ 225>21 , idziemy dalej.

Na c=3 mamy d=a−b c=267−21 3=267−63=204. Ponieważ 204>21 kontynuujemy selekcję.

Na c=12 otrzymujemy d=a−b c=267−21 12=267−252=15. Otrzymaliśmy liczbę 15 , która jest mniejsza niż 21 , więc proces można uznać za zakończony. Otrzymaliśmy niepełny iloraz c=12 , podczas gdy reszta d okazała się równa 15 .

Odpowiedź:

267:21=12 (reszta 15).

Algorytm dzielenia liczb naturalnych z resztą, przykłady, rozwiązania

W tym podrozdziale rozważymy algorytm, który pozwala nam przeprowadzić dzielenie z resztą z liczby naturalnej a przez liczbę naturalną b w przypadkach, gdy metoda kolejnego odejmowania (i metoda wyboru niezupełnego ilorazu) wymaga zbyt wielu obliczeń operacje.

Zauważmy od razu, że jeśli dzielna a jest mniejsza od dzielnika b, to znamy zarówno niezupełny iloraz, jak i resztę: dla a B.

Zanim szczegółowo opiszemy wszystkie kroki algorytmu dzielenia liczb naturalnych przez resztę, odpowiemy na trzy pytania: co wiemy na początek, co musimy znaleźć i na podstawie jakich rozważań to zrobimy? Na początku znamy dzielną a i dzielnik b . Musimy znaleźć niepełny iloraz c i resztę d . Równość a=b c+d określa zależność między dzielną, dzielnikiem, ilorazem częściowym i resztą. Z zapisanej równości wynika, że ​​jeśli dywidendę a przedstawimy jako sumę b c + d, w której d jest mniejsze od b (ponieważ reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika), to zobaczymy zarówno niepełny iloraz c, jak i pozostałość d.

Pozostaje tylko wymyślić, jak przedstawić dywidendę a jako sumę b c + d. Algorytm tego działania jest bardzo podobny do algorytmu dzielenia liczb naturalnych bez reszty. Opiszemy wszystkie kroki, a jednocześnie wykonamy rozwiązanie przykładu dla większej przejrzystości. Podziel 899 przez 47.

Pierwsze pięć punktów algorytmu pozwoli ci przedstawić dywidendę jako sumę kilku wyrazów. Należy zauważyć, że działania z tych punktów są cyklicznie powtarzane w kółko, aż zostaną znalezione wszystkie warunki, które sumują się do dywidendy. W ostatnim szóstym akapicie wynikowa suma jest zamieniana na postać b c + d (jeśli suma wynikowa nie ma jeszcze tej postaci), z której widoczny staje się pożądany niepełny iloraz i reszta.

Przechodzimy więc do przedstawienia dywidendy 899 jako sumy kilku wyrazów.

Najpierw obliczamy, o ile liczba znaków we wpisie dzielenia jest większa niż liczba znaków we wpisie dzielnika i zapamiętujemy tę liczbę.

W naszym przykładzie w zapisie dywidendy są 3 cyfry (899 to liczba trzycyfrowa), a w zapisie dzielnika są dwie cyfry (47 to liczba dwucyfrowa), więc w rekord dywidendy, a my pamiętamy numer 1.

Teraz we wpisie dzielnika po prawej stronie dodajemy cyfry 0 w ilości określonej przez liczbę uzyskaną w poprzednim akapicie. Ponadto, jeśli zapisana liczba jest większa niż dywidenda, odejmij 1 od liczby zapamiętanej w poprzednim akapicie.

Wróćmy do naszego przykładu. W zapisie dzielnika 47 dodajemy jedną cyfrę po prawej stronie 0 i otrzymujemy liczbę 470. Od 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .

Następnie do cyfry 1 po prawej stronie przypisujemy cyfry 0 w ilości określonej przez liczbę zapamiętaną w poprzednim akapicie. W takim przypadku otrzymujemy jednostkę rozładowania, z którą będziemy dalej pracować.

W naszym przykładzie do liczby 1 przypisujemy 1 liczbę 0, w tym przypadku otrzymujemy liczbę 10, czyli będziemy pracować z cyfrą dziesiątek.

Teraz kolejno mnożymy dzielnik przez 1, 2, 3, ... jednostki cyfry roboczej, aż otrzymamy liczbę większą lub równą podzielnej.

Dowiedzieliśmy się, że w naszym przykładzie cyfrą roboczą jest cyfra dziesiątek. Dlatego najpierw mnożymy dzielnik przez jedną jednostkę miejsca dziesiątek, to znaczy mnożymy 47 przez 10, otrzymujemy 47 10 \u003d 470 . Wynikowa liczba 470 jest mniejsza niż dywidenda 899, więc przystępujemy do mnożenia dzielnika przez dwie jednostki cyfry dziesiątek, czyli mnożymy 47 przez 20. Mamy 47 20=940 . Otrzymaliśmy liczbę większą niż 899 .

Liczba uzyskana w przedostatnim kroku mnożenia sekwencyjnego jest pierwszym z wymaganych wyrazów.

W analizowanym przykładzie poszukiwanym wyrazem jest liczba 470 (ta liczba jest równa iloczynowi 47 100 , z tej równości skorzystamy później).

Następnie znajdujemy różnicę między dywidendą a pierwszym znalezionym wyrazem. Jeśli wynikowa liczba jest większa niż dzielnik, przejdź do znalezienia drugiego wyrazu. Aby to zrobić, powtarzamy wszystkie opisane kroki algorytmu, ale otrzymaną tutaj liczbę bierzemy już jako dywidendę. Jeśli w tym momencie ponownie otrzymamy liczbę większą od dzielnika, przystępujemy do znalezienia trzeciego wyrazu, ponownie powtarzając kroki algorytmu, biorąc wynikową liczbę jako dywidendę. I tak postępujemy dalej, znajdując czwarty, piąty i kolejne wyrazy, aż uzyskana w tym momencie liczba będzie mniejsza od dzielnika. Gdy tylko to nastąpi, bierzemy otrzymaną tutaj liczbę jako ostatni wymagany wyraz (patrząc w przyszłość, powiedzmy, że jest równy reszcie) i przechodzimy do ostatniego etapu.

Wróćmy do naszego przykładu. Na tym etapie mamy 899−470=429 . Ponieważ 429>47 bierzemy tę liczbę jako dywidendę i powtarzamy z nią wszystkie kroki algorytmu.

We wpisie numeru 429 jest o jeden znak więcej niż we wpisie numeru 47, dlatego pamiętaj o numerze 1.

Teraz w zapisie dywidendy po prawej stronie dodamy jedną cyfrę 0, otrzymamy liczbę 470, która jest większa od liczby 429. Dlatego od liczby 1 zapamiętanej w poprzednim akapicie odejmujemy 1, otrzymujemy liczbę 0, którą pamiętamy.

Ponieważ w poprzednim akapicie pamiętaliśmy liczbę 0, to do liczby 1 nie trzeba przypisywać ani jednej cyfry 0 po prawej stronie. W tym przypadku mamy liczbę 1, czyli cyfrą roboczą jest cyfra jednostek.

Teraz sukcesywnie mnożymy dzielnik 47 przez 1, 2, 3, ... Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić. Powiedzmy, że 47 9=423<429 , а 47·10=470>429 . Drugim wymaganym wyrazem jest liczba 423 (która jest równa 47 9 , którą będziemy się dalej posługiwać).

Różnica między 429 a 423 wynosi 6 . Ta liczba jest mniejsza niż dzielnik 47 , więc jest to trzeci (i ostatni) wyraz, którego szukamy. Teraz możemy przejść do ostatniego kroku.

No to dochodzimy do ostatniego etapu. Wszystkie dotychczasowe działania miały na celu przedstawienie dywidendy jako sumy kilku terminów. Teraz pozostaje przeliczyć wynikową sumę na postać b·c+d . Dystrybucyjna właściwość mnożenia względem dodawania pomoże nam poradzić sobie z tym zadaniem. Następnie pożądany niepełny iloraz i reszta staną się widoczne.

W naszym przykładzie dywidenda 899 jest równa sumie trzech wyrazów 470, 423 i 6. Sumę 470+423+6 można zapisać jako 47 10+47 9+6 (pamiętajmy, że zwracaliśmy uwagę na równości 470=47 10 i 423=47 9 ). Teraz stosujemy właściwość mnożenia liczby naturalnej przez sumę i otrzymujemy 47 10+47 9+6= 47 (10+9)+6= 47 19+6 . W ten sposób dzielna została przekształcona do postaci, której potrzebujemy 899=47 19+6 , z której łatwo znaleźć niepełny iloraz 19 i resztę 6 .

Zatem 899:47=19 (rez. 6).

Oczywiście, rozwiązując przykłady, nie będziesz tak szczegółowo opisywać procesu dzielenia z resztą.

Przeczytaj temat lekcji: „Dzielenie z resztą”. Co już wiesz na ten temat?

Czy 8 śliwek można równo rozłożyć na dwóch talerzach (rys. 1)?

Ryż. 1. Na przykład ilustracja

Na każdym talerzu można umieścić 4 śliwki (ryc. 2).

Ryż. 2. Na przykład ilustracja

Czynność, którą wykonaliśmy, można zapisać w następujący sposób.

8: 2 = 4

Jak myślisz, czy można równo podzielić 8 śliwek na 3 talerze (ryc. 3)?

Ryż. 3. Na przykład ilustracja

Zachowujmy się tak. Najpierw umieść jedną śliwkę na każdym talerzu, a następnie drugą śliwkę. Zostaną nam 2 śliwki, ale 3 talerze. Więc nie możemy tego równo podzielić. Wkładamy po 2 śliwki do każdego talerza i zostają nam 2 śliwki (ryc. 4).

Ryż. 4. Na przykład ilustracja

Kontynuujmy monitorowanie.

Przeczytaj liczby. Wśród podanych liczb znajdź te, które są podzielne przez 3.

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Sprawdź się.

Pozostałe liczby (11, 13, 14, 16, 17, 19) nie są podzielne przez 3 lub mówią „podzielić z resztą”.

Znajdźmy wartość private.

Dowiedzmy się, ile razy 3 zawiera się w liczbie 17 (ryc. 5).

Ryż. 5. Na przykład ilustracja

Widzimy, że 3 owale pasują 5 razy i pozostały 2 owale.

Podjęte działanie można zapisać w następujący sposób.

17: 3 = 5 (reszta 2)

Można to również zapisać w kolumnie (ryc. 6)

Ryż. 6. Na przykład ilustracja

Przejrzyj rysunki. Wyjaśnij podpisy pod tymi rysunkami (ryc. 7).

Ryż. 7. Na przykład ilustracja

Rozważ pierwszy rysunek (ryc. 8).

Ryż. 8. Na przykład ilustracja

Widzimy, że 15 owali zostało podzielonych przez 2. 2 powtórzono 7 razy, w pozostałej części - 1 owal.

Rozważ drugą figurę (ryc. 9).

Ryż. 9. Na przykład ilustracja

Na tej figurze 15 kwadratów podzielono przez 4. 4 powtórzono 3 razy, w pozostałej części - 3 kwadraty.

Rozważ trzeci rysunek (ryc. 10).

Ryż. 10. Na przykład ilustracja

Można powiedzieć, że 15 owali podzielono na 3. 3 powtórzono równo 5 razy. W takich przypadkach reszta jest równa 0.

Zróbmy podział.

Dzielimy siedem kwadratów na trzy. Otrzymujemy dwie grupy i pozostaje jeden kwadrat. Zapiszmy rozwiązanie (ryc. 11).

Ryż. 11. Na przykład ilustracja

Zróbmy podział.

Dowiadujemy się, ile razy cztery zawiera się w liczbie 10. Widzimy, że w liczbie 10 cztery zawiera się 2 razy i pozostają 2 kwadraty. Zapiszmy rozwiązanie (ryc. 12).

Ryż. 12. Na przykład ilustracja

Zróbmy podział.

Dowiadujemy się, ile razy dwa zawiera się w liczbie 11. Widzimy, że w liczbie 11 dwa zawiera się 5 razy i pozostaje 1 kwadrat. Zapiszmy rozwiązanie (ryc. 13).

Ryż. 13. Na przykład ilustracja

Wyciągnijmy wniosek. Dzielenie z resztą oznacza ustalenie, ile razy dzielnik zawiera się w dywidendzie i ile jednostek pozostało.

Dzielenie z resztą można również wykonać na osi liczbowej.

Na linii liczb zaznaczamy segmenty 3 podziałów i zobaczymy, że trzy podziały okazały się trzykrotne i pozostał jeden podział (ryc. 14).

Ryż. 14. Na przykład ilustracja

Zapiszmy rozwiązanie.

10: 3 = 3 (reszta 1)

Zróbmy podział.

Na belce numerycznej zaznaczamy segmenty 3 podziałów i zobaczymy, że trzy podziały okazały się trzykrotne i pozostały dwa podziały (ryc. 15).

Ryż. 15. Na przykład ilustracja

Zapiszmy rozwiązanie.

11: 3 = 3 (reszta 2)

Zróbmy podział.

Na promieniu numerycznym zaznaczamy odcinki 3 podziałów i zobaczymy, że otrzymaliśmy dokładnie 4 razy, nie ma reszty (ryc. 16).

Ryż. 16. Na przykład ilustracja

Zapiszmy rozwiązanie.

12: 3 = 4

Dzisiaj na lekcji zapoznaliśmy się z dzieleniem z resztą, nauczyliśmy się wykonywać nazwaną czynność za pomocą obrazka i belki liczbowej, ćwiczyliśmy rozwiązywanie przykładów na temat lekcji.

Bibliografia

1. MI. Moro, MA Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa 3: w 2 częściach, część 1. - M .: „Oświecenie”, 2012.
2. MI. Moro, MA Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa 3: w 2 częściach, część 2. - M .: „Oświecenie”, 2012.
3. MI. Moreau. Lekcje matematyki: Wytyczne dla nauczycieli. Ocena 3 - M.: Edukacja, 2012.
4. Dokument regulacyjny. Monitorowanie i ocena efektów uczenia się. - M.: "Oświecenie", 2011.
5. „Szkoła Rosji”: Programy dla szkoły podstawowej. - M.: "Oświecenie", 2011.
6. SI. Wołkow. Matematyka: Testowanie pracy. Ocena 3 - M.: Edukacja, 2012.
7. V.N. Rudnickaja. Testy. - M.: "Egzamin", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Praca domowa

1. Zapisz liczby, które są podzielne przez 2 bez reszty.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

2. Wykonaj dzielenie z resztą korzystając z rysunku.

3. Wykonaj dzielenie z resztą za pomocą osi liczbowej.

4. Zrób zadanie dla swoich towarzyszy na temat lekcji.

Dzielenie z resztą jest dzieleniem jednej liczby przez drugą, tak że reszta nie jest równa zeru.

Nie zawsze można wykonać dzielenie, ponieważ zdarzają się przypadki, gdy jedna liczba nie jest podzielna przez inną. Na przykład liczba 11 nie jest podzielna przez 3, ponieważ nie ma takiej liczby naturalnej, która po pomnożeniu przez 3 dałaby 11.

Gdy podziału nie można było dokonać, postanowiono podzielić nie całość tego, co podzielne, a tylko jego największą część, którą można podzielić tylko na dzielnik. W tym przykładzie największa część dywidendy, którą można podzielić przez 3 to 9 (w rezultacie otrzymujemy 3), pozostała mniejsza część dywidendy - 2 nie zostanie podzielona przez 3.

Mówiąc o dzieleniu 11 przez 3, 11 nadal nazywa się podzielnym, 3 jest dzielnikiem, wynikiem dzielenia jest liczba 3, nazywają niekompletny prywatny, a liczba 2 - reszta z dzielenia. Samo dzielenie w tym przypadku nazywa się dzieleniem z resztą.

Iloraz niepełny to największa liczba, która po pomnożeniu przez dzielnik daje iloczyn nieprzekraczający liczby podzielnej. Różnica między dywidendą a tym produktem nazywana jest resztą. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika, w przeciwnym razie mogłaby być również podzielona przez dzielnik.

Dzielenie z resztą można zapisać w następujący sposób:

11: 3 = 3 (reszta 2)

Jeśli przy dzieleniu jednej liczby naturalnej przez drugą reszta wynosi 0, to mówimy, że pierwsza liczba jest podzielna przez drugą. Na przykład 4 jest równo podzielne przez 2. Liczba 5 nie jest nawet podzielna przez 2. Całe słowo jest zwykle pomijane dla zwięzłości i mówią: taka a taka liczba jest podzielna przez inną, na przykład: 4 jest podzielne przez 2, a 5 nie jest podzielne przez 2.

Sprawdzanie dzielenia z resztą

Możesz sprawdzić wynik dzielenia z resztą w następujący sposób: pomnóż niepełny iloraz przez dzielnik (lub odwrotnie) i dodaj resztę do otrzymanego iloczynu. Jeśli wynikiem jest liczba równa dywidendzie, to dzielenie z resztą odbywa się poprawnie:

11: 3 = 3 (reszta 2)