STOSOWANIE 2018. Matematyka. poziom profilu. Rozwiązywanie równań i nierówności. Sadovnichiy Yu.V.

M.: 2018. - 96 s.

Książka ta poświęcona jest zadaniom podobnym do zadania 15 Unified State Examination z matematyki (rozwiązywanie równań i nierówności). Rozważane są różne metody rozwiązywania takich problemów, w tym oryginalne. Książka będzie przydatna dla uczniów szkół średnich, nauczycieli matematyki, korepetytorów.

Format: pdf

Rozmiar: 860 KB

Obejrzyj, pobierz:drive.google

SPIS TREŚCI
WSTĘP 4
ROZDZIAŁ 1. METODA PRZEDZIAŁOWA ROZWIĄZYWANIA NIERÓWNOŚCI 6
Zadania dla niezależne rozwiązanie 10
ROZDZIAŁ 2. ZASTRZEŻENIE DOTYCZĄCE MODUŁÓW W RÓWNANIACH I NIERÓWNOŚCIACH 13
Zadania do samodzielnego rozwiązania 23
ROZDZIAŁ 3. IRRRACYJNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 25
Zadania do samodzielnego rozwiązania 33
ROZDZIAŁ 4. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYKŁADNICZE I LOGARYCZNE 35
4.1. Podstawowe wzory i rozwiązania najprostszych równań i nierówności 35
4.2. Przeliczanie sumy i różnicy logarytmów 36
Zadania do samodzielnego rozwiązania 41
4.3. Metoda podstawienia zmiennej 42
Zadania do samodzielnego rozwiązania 47
4.4. Dzielenie nierówności 49
Zadania do samodzielnego rozwiązania 55
4,5. Przejście do nowej bazy 56
Zadania do samodzielnego rozwiązania 60
ROZDZIAŁ 5. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI TYPU MIESZANEGO 61
Zadania do samodzielnego rozwiązania 68
ROZDZIAŁ 6
Zadania do samodzielnego rozwiązania 75
ROZDZIAŁ 7. UKŁADY RÓWNAŃ ALGEBRAI I NIERÓWNOŚCI 76
Zadania do samodzielnego rozwiązania 84
ODPOWIEDZI NA ZADANIA DO NIEZALEŻNEGO ROZWIĄZANIA 88

Książka ta poświęcona jest problemom podobnym do zadania 15 egzamin profilowy z matematyki (równania i nierówności). Książka podzielona jest na rozdziały tematyczne, materiał w każdym rozdziale przedstawiony jest „od prostych do złożonych”.
Nie jest tajemnicą, że zadania 16-19 (planimetria, zadanie tekstowe, zadanie z parametrami, zadanie z liczbami całkowitymi) sprawiają trudności zdecydowanej większości absolwentów Liceum. To samo można powiedzieć o zadaniu 14 (stereometria). Zatem rozwiązane zadanie 15 (wraz z zadaniem 13) jest okazją do podniesienia swojego wyniku z USE do dobrego poziomu.
Pierwsze trzy rozdziały mają charakter przygotowawczy, dotyczą rozwiązywania nierówności metodą przedziałową, równań i nierówności zawierających moduł, równań niewymiernych i nierówności.
Rozdział czwarty jest głównym w tej książce, ponieważ zawarte w nim zadania są najbliższe rzeczywistemu zadaniu egzaminu 15-go profilu z matematyki. Rozdział ten jest podzielony na kilka sekcji, z których każda opisuje jakąś metodę rozwiązania takiego problemu.

W tym samouczku wideo szczegółowo przeanalizowałem dość poważne zadanie 15 z Unified State Examination z matematyki, które zawiera zarówno logarytmię, jak i ułamkowa nierówność racjonalna. Szczególną uwagę zwrócono na twierdzenie Bezouta (o znajdowaniu pierwiastków wielomianu) oraz metodę dzielenia wielomianów przez róg (dla rozkładu na czynniki).

Na tej lekcji przeanalizujemy układ dwóch nierówności z zastosowania USE w matematyce:

⎧⎩⎨⎪⎪ dziennik7-2x(x+6) ≤0x− x-3x+6−X2 +27x+90X2 +8x+12≤−1 \left\( \begin(align)& ((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\end(align) \right.

Rozwiązywanie układu nierówności

Jak widać, system składa się z nierówności logarytmicznej, a także klasycznej ułamkowej nierówności racjonalnej, ale w procesie rozwiązywania okaże się, że ta nierówność nie jest tak prosta, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Zacznijmy od logarytmiki. Aby to zrobić, napisz osobno:

dziennik7-2x(x+6) ≤ 0

((\log )_(7-2x))\lewo(x+6 \prawo)\le \text( )0

Jak każdy nierówność logarytmiczna, konstrukcja ta jest zredukowana do Forma kanoniczna, czyli po lewej stronie zostawiamy wszystko bez zmian, natomiast po prawej piszemy następująco:

dziennik7-2x(x+6) ≤ dziennik7-2x 1

((\log )_(7-2x))\lewo(x+6 \prawo)\le ((\log )_(7-2x))1

Jak korzystać z metody racjonalizacji

Teraz zastosujemy metodę racjonalizacji. Przypomnę, że jeśli mamy nierówność formy

dziennikk (X) f(x) ⋃ dziennikk (X) g(x) ,

((\log )_(k\left(x \right)))f\left(x \right)\bigcup ((\log )_(k\left(x \right)))g\left(x \ Prawidłowy),

to możemy przejść do czegoś takiego:

(F (x) −g(x) )(k (x) -1)⋃0

\left(f\left(x \right)-g\left(x \right) \right)\left(k\left(x \right)-1 \right)\bigcup 0

Oczywiście nierówność ta nie uwzględnia dziedziny logarytmu:

F (x) > 0

f\lewo(x\prawo)>0

G (x) > 0

g\lewo(x\prawo)>0

1≠k (x) > 0

1\ne k\lewo(x\prawo)>0

A więc w roli F (X) f\lewo(x \prawo) jest funkcja liniowa x+6 x+6 i w roli G (X) g\left(x \right) wynosi po prostu 1. Dlatego przepisujemy naszą nierówność systemu logarytmicznego w następujący sposób:

(x+6−1) (7−2x−1)

\left(x+6-1 \right)\left(7-2x-1 \right)

Ostatnia 1 to ta x-1 x-1, które znajduje się w drugim nawiasie. Wszystkie są mniejsze lub równe 0. Znak nierówności zostaje zachowany podczas wykonywania tej transformacji. Oto podobne w każdym nawiasie:

(x+5) (6−2x) ≤0

\left(x+5 \right)\left(6-2x \right)\le 0

Zastosowanie metody interwałowej

Mamy oczywiście najprostszą nierówność, którą łatwo rozwiązać metodą przedziałową. Ustaw każdy nawias na 0:

(+5) =0→= −5

\left(+5 \right)=0\to =-5

6−2=0→2=6

x=3

Wszystkie te punkty zaznaczamy (są dwa takie punkty) na linii współrzędnych. Zwróć uwagę, że są zacienione:

Zwróć uwagę na znaki. Aby to zrobić, weź dowolną liczbę większą niż 3. Pierwszą będzie „minus”. Wtedy znaki zmieniają się wszędzie, bo nie ma pierwiastków parzystej mnogości. Nas interesuje znak mniejszy lub równy, czyli znak minus. Malujemy niezbędne obszary. Przypomnę, że rozwiązując nierówności metodą przedziałową, w ostatnim wyrażeniu, które otrzymaliśmy przed przejściem do równań, podstawiamy 1 miliard.

Znaleźliśmy więc zestawy. Ale, jak rozumiesz, nie jest to jeszcze rozwiązanie nierówności. Teraz musimy znaleźć dziedzinę logarytmu. W tym celu piszemy następujące funkcje:

Błędne zagnieżdżanie struktur równań

\left[ \begin(align)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\end(align) \right.=>\left[ \begin(align)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.

Otrzymaliśmy więc trzy jednoczesne wymagania, czyli wszystkie te nierówności muszą być spełnione jednocześnie. Narysujmy linię równoległą do naszego kandydata na odpowiedź:

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź na pierwszy element systemu:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \right). W tym miejscu wielu uczniów ma pytanie. Spójrz, liczba 3 jest wyłupana z jednej strony, ale z drugiej strony , ten sam punkt jest wypełniony. Jak zatem to oznaczyć? Aby poprawnie i raz na zawsze uporać się z tym problemem, pamiętaj o jednej prostej zasadzie.

Co oznacza przecięcie zbiorów? Jest to zestaw, który jednocześnie wchodzi zarówno do pierwszego seta, jak i do drugiego. Innymi słowy, wypełniając poniższy obrazek, szukamy punktów, które należą jednocześnie do pierwszej i drugiej prostej. Dlatego jeśli jakiś punkt nie należy do przynajmniej jednej z tych linii, to niezależnie od tego, jak wygląda na drugiej linii, nie pasuje nam. I w szczególności z 3 dzieje się dokładnie taka historia: z jednej strony punkt 3 pasuje nam u kandydatów do odpowiedzi, bo jest zamalowany, ale z drugiej strony 3 jest przebity ze względu na domenę logarytm i dlatego w ostatnim zestawie ten punkt musi zostać przebity. Wszystko, odpowiedź na pierwszą nierówność logarytmiczną układu jest w pełni uzasadniona. Dla pewności powtórzę jeszcze raz:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \right)

Rozwiązywanie nierówności ułamkowo-wymiernej

x− x-3x+6−X2 +27x+90X2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le - 1

Teraz przesuń -1 w lewo:

x+1− x-3x+6−X2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\lewo(x+6 \prawo)\lewo(x+2 \right))\le 0

x+1 1 −x-3x+6−X2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right )\lewo(x+2 \prawo))\le 0

Sprowadzamy całą strukturę do wspólnego mianownika:

(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (X2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)-\left(x-3 \right)\left(x+2 \right)- \left(((x)^(2))+27x+90 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Rozwińmy nawiasy:

(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−X2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+2 \right)\left(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)-\left(x-3 \right) \right)-((x )^(2))-27x-90)(\lewo(x+6 \prawo)\lewo(x+2 \prawo))\le 0

X3 +6X2 +9x+2 X2 +12x+18− X2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2((x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\lewo(x+6\prawo)\lewo(x+2 \prawo))\le 0

X3 +7X2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Co można powiedzieć o powstałej nierówności? Po pierwsze, jest to ułamkowo racjonalne, a mianownik został już uwzględniony. Dlatego najlepszym rozwiązaniem byłoby rozwiązanie tej nierówności metodą przedziałową. Aby jednak rozwiązać to metodą przedziałową, konieczne jest również rozłożenie licznika na czynniki. To jest główna trudność, ponieważ licznikiem jest wielomian trzeciego stopnia. Kto pamięta wzór na pierwiastki trzeciego stopnia? Osobiście nie pamiętam. Ale nie będziemy tego potrzebować.

Potrzebujemy jedynie twierdzenia Bezouta, a dokładniej nie samego twierdzenia, ale jednego z jego najważniejszych następstw, które stwierdza, co następuje: jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek X1 ((x)_(1)), i jest to liczba całkowita, to wolny współczynnik (w naszym przypadku 72) będzie koniecznie podzielny przez X1 ((x)_(1)). Innymi słowy, jeśli chcemy znaleźć pierwiastki tego równania sześciennego, wystarczy, że „zagłębimy się” w czynniki, na które rozkładana jest liczba 72.

Rozłóżmy liczbę 72 na czynniki pierwsze:

72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3

72=8\cdot 9=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3

Musimy więc przejść przez wszystkie kombinacje dwójek i trójek, aby uzyskać przynajmniej jeden pierwiastek naszego wyrażenia sześciennego. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że jest to zadanie kombinatoryczne, ale w rzeczywistości wszystko nie jest takie straszne. Zacznijmy od liczby minimalnej:

x=2

Sprawdźmy, czy 2 jest odpowiedzią. Aby to zrobić, pamiętaj, czym jest korzeń. Jest to liczba, która po podstawieniu do wielomianu zamienia ją na 0. Podstawmy:

(2) =8+28−12−72<0

\lewo(2\prawo)=8+28-12-72<0

Rozumiemy to x-2 x-2 nie jest odpowiednie. Zacząć robić. Weźmy 4:

(4) =64+112−24−72>0

\left(4\right)=64+112-24-72>0

x=4 x=4 również nie jest pierwiastkiem naszej konstrukcji.

Zacząć robić. Co dalej X x będziemy analizować? Aby odpowiedzieć na to pytanie, zwróćmy uwagę na ciekawy fakt: kiedy x-2 x-2 nasz wielomian był ujemny i dla x=4 x=4 okazało się, że jest już dodatni. Oznacza to, że gdzieś pomiędzy punktami 2 i 4 nasz wielomian przecina oś X X. Innymi słowy, gdzieś w tym segmencie nasza zamienia się w 0. Oznacza to, że tym punktem będzie pożądana liczba. Zastanówmy się, jaka liczba całkowita znajduje się pomiędzy 4 a 2. Oczywiście w rozwinięciu obecne są tylko 3 i 3, więc rzeczywiście mogą one być pierwiastkiem naszego wyrażenia. Rozważ tę opcję:

x=3

(3) =27+63−18−72=90−90=0

\lewo(3\prawo)=27+63-18-72=90-90=0

Świetnie, nasza hipoteza została potwierdzona. Naprawdę, x=3 x=3 jest pierwiastkiem naszej konstrukcji. Ale w jaki sposób pomaga nam to rozłożyć dany wielomian? Bardzo prosta. Wszystko z tego samego twierdzenia Bézouta wynika, że ​​jeśli X1 ((x)_(1)) jest pierwiastkiem wielomianu P (X) p\left(x \right), co oznacza, że ​​możemy napisać co następuje:

X1 :p(x)=Q(x) (x- X1 )

((x)_(1)):p\lewo(x \prawo)=Q\lewo(x \prawo)\lewo(x-((x)_(1)) \prawo)

Inaczej mówiąc, wiedzieć X1 ((x)_(1)) możemy stwierdzić, że przy faktoryzacji naszego wyrażenia koniecznie będzie istniał czynnik X1 ((x)_(1)). W naszym przypadku możemy napisać, że nasz wielomian koniecznie ma czynnik w jego rozwinięciu (x-3)\left(x-3 \right), ponieważ 3 jest pierwiastkiem.

X3 +7X2 −6x−72x-3=X2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24

Innymi słowy, możemy przepisać naszą nierówność z układu w następujący sposób:

(x+3) (X2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))+10x+24 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right ))\le 0

Zauważ, że w drugim nawiasie licznika znajduje się trójmian kwadratowy, który również jest bardzo prosto rozłożony na czynniki, otrzymujemy:

(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(x+6 \right)\left(x+4 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) )\le 0

To wszystko, pozostaje tylko napisać korzenie:

x=3

≠−6(2 tys.)

\ne -6\w lewo(2k\w prawo)

=−4

≠−2

Zaznaczmy wszystkie te punkty, które mogą być rozwiązaniem układu, na osi współrzędnych X X:

Aby określić znaki, bierzemy dowolną liczbę większą niż 3, podstawiamy w każdym z tych nawiasów i otrzymujemy pięć liczb dodatnich, czyli na prawo od 3 znajduje się znak plus. Wtedy znaki zmieniają się wszędzie, ale w -6 nic się nie zmienia, ponieważ -6 jest pierwiastkiem drugiej krotności. Interesują nas te obszary, w których znak funkcji jest ujemny, dlatego zacieniamy „minusy”.

W sumie możemy zapisać rozwiązanie naszej pierwotnej nierówności - będzie ono wyglądało następująco:

(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]

\left(-\infty ;-6 \right)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \right]

Ostatnie kroki

Rozwiązaliśmy drugą nierówność naszego układu, pozostaje teraz rozwiązać sam układ, czyli przeciąć otrzymane zbiory. Aby to zrobić, proponuję zbudować kolejną prostą równoległą do naszych dwóch starych linii odpowiedzialnych za nierówność logarytmiczną z układu:

Ostateczną odpowiedź drugiego elementu układu nierówności możemy napisać: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Teraz możemy wrócić do naszego systemu i zapisać końcowy zestaw:

x∈ (−6; −5]

x\in \left(-6;\text( )-5 \right]

Kluczowe punkty

W tym zadaniu jest kilka kluczowych punktów jednocześnie:

1. Trzeba umieć rozwiązywać nierówności logarytmiczne, stosując przejście do postaci kanonicznej.
2. Musisz umieć pracować z ułamkowymi nierównościami wymiernymi. Jest to ogólnie materiał dla klas 8-9, więc jeśli będziesz pracować z logarytmami, zrozumiesz ułamkowe nierówności racjonalne.
3. Twierdzenie Bezouta. Najważniejszą konsekwencją tego twierdzenia jest fakt, że pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami jego wolnego członu.

W przeciwnym razie jest to proste, choć dość obszerne zadanie rozwiązania układu równań. Pewne trudności w rozwiązaniu układu mogą pojawić się także na przecięciu wszystkich zbiorów, szczególnie tych związanych z punktem 3. Tutaj wszystko jest bardzo proste: pamiętajmy tylko, że przecięcie oznacza wymóg, aby wszystkie nierówności były spełnione jednocześnie, czyli musi być wypełniony żądany punkt we wszystkich trzech osiach. Jeśli przynajmniej na jednej osi nie jest on wypełniony lub wycięty, wówczas taki punkt nie może być częścią odpowiedzi.