Teste de divizibilitate pentru numere- acestea sunt reguli care vă permit să aflați relativ rapid, fără împărțire, dacă acest număr este divizibil cu unul dat, fără rest.
Unele criterii de divizibilitate destul de simplu, unele mai dificile. Pe această pagină veți găsi atât criteriile de divizibilitate pentru numerele prime, cum ar fi, de exemplu, 2, 3, 5, 7, 11, cât și criteriile de divizibilitate pentru numerele compuse, cum ar fi 6 sau 12.
Sper că aceste informații vă vor fi utile.
Învățare fericită!

Divizibilitate cu 2

Acesta este unul dintre cele mai simple criterii de divizibilitate. Sună așa: dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu o cifră pară, atunci este pară (divizibilă cu 2 fără rest), iar dacă înregistrarea unui număr se termină cu o cifră impară, atunci acest număr este impar.
Cu alte cuvinte, dacă ultima cifră a numărului este 2 , 4 , 6 , 8 sau 0 - numărul este divizibil cu 2, dacă nu, atunci nu este divizibil
De exemplu, numerele: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 sunt divizibile cu 2 deoarece sunt pare.
Și cifre: 23 5 , 137 , 2303
nu sunt divizibile cu 2 deoarece sunt impare.

Divizibilitate cu 3

Acest criteriu de divizibilitate are reguli complet diferite: dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3, atunci numărul este, de asemenea, divizibil cu 3; dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă cu 3, atunci nici numărul nu este divizibil cu 3.
Deci, pentru a înțelege dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie doar să adunați numerele din care constă.
Arată astfel: 3987 și 141 sunt divizibile cu 3, deoarece în primul caz 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 3 \u003d 9 - divizibil cu 3 fără ostak), iar în al doilea 1 + 4 + 1 \u003d 6 (6: 3 \u003d 2 - divizibil și cu 3 fără ostak).
Dar numerele: 235 și 566 nu sunt divizibile cu 3, deoarece 2 + 3 + 5 \u003d 10 și 5 + 6 + 6 \u003d 17 (și știm că nici 10, nici 17 nu sunt divizibile cu 3 fără rest).

Divizibilitate cu 4

Acest criteriu de divizibilitate va fi mai complicat. Dacă ultimele 2 cifre ale numărului formează un număr divizibil cu 4 sau este 00, atunci numărul este divizibil cu 4, în caz contrar acest număr nu este divizibil cu 4 fără rest.
De exemplu: 1 00 și 3 64 sunt împărțite la 4, deoarece în primul caz, numărul se termină cu 00 , iar în al doilea 64 , care la rândul său este divizibil cu 4 fără rest (64: 4 \u003d 16)
Numere 3 57 și 8 86 nu sunt divizibile cu 4, deoarece nici unul 57 nici 86 nu sunt divizibile cu 4, ceea ce înseamnă că nu corespund criteriului dat de divizibilitate.

Divizibilitate cu 5

Și din nou avem un semn de divizibilitate destul de simplu: dacă înregistrarea unui număr natural se termină cu o cifră 0 sau 5, atunci acest număr este divizibil fără rest cu 5. Dacă înregistrarea unui număr se termină cu o altă cifră, atunci numărul nu este divizibil cu 5 fără rest.
Aceasta înseamnă că orice numere care se termină în cifre 0 și 5 de ex. 1235 5 și 43 0 , intră sub regulă și sunt divizibile cu 5.
Și, de exemplu, 1549 3 și 56 4 nu se termină cu 5 sau 0, ceea ce înseamnă că nu pot fi divizibile cu 5 fără rest.

Divizibilitate cu 6

Avem în față un număr compus 6, care este produsul numerelor 2 și 3. Prin urmare, divizibilitatea cu 6 este, de asemenea, compusă: pentru ca un număr să fie divizibil cu 6, trebuie să corespundă cu două caracteristici de divizibilitate în același timp: caracteristica de divizibilitate cu 2 și caracteristica de divizibilitate cu 3. În același timp, rețineți că un astfel de număr compus ca 4 are un semn individual de divizibilitate, deoarece este produsul numărului 2 de la sine. Revenim însă la criteriul divizibilității cu 6.
Numerele 138 și 474 sunt pare și corespund criteriilor de divizibilitate cu 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 și 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), ceea ce înseamnă că sunt divizibile cu 6. Dar 123 și 447, deși sunt divizibile cu 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 și 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), dar sunt impare, ceea ce înseamnă că nu corespund criteriului de divizibilitate cu 2, și, prin urmare, nu corespund criteriului de divizibilitate cu 6.

Divizibilitate cu 7

Acest semn al divizibilității este mai complex: un număr este divizibil cu 7 dacă rezultatul scăderii ultimei cifre dublate din zecile acestui număr este divizibil cu 7 sau egal cu 0.
Sună destul de confuz, dar simplu în practică. Vedeți singur: numărul 95 9 este divizibil cu 7 deoarece 95 -2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 este divizibil cu 7 fără rest). Mai mult, dacă au apărut dificultăți cu numărul obținut în timpul transformărilor (din cauza dimensiunii sale este dificil de înțeles dacă este divizibil cu 7 sau nu, atunci această procedură poate fi continuată de câte ori considerați necesar).
De exemplu, 45 5 și 4580 1 au semne de divizibilitate cu 7. În primul caz, totul este destul de simplu: 45 -2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. În al doilea caz, vom face acest lucru: 4580 -2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Ne este greu să înțelegem dacă 457 8 cu 7, deci să repetăm \u200b\u200bprocesul: 457 -2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. Și din nou vom folosi criteriul de divizibilitate, deoarece avem încă un număr din trei cifre 44 1. Deci, 44 -2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, adică 42 este divizibil cu 7 fără rest, ceea ce înseamnă că 45801 este divizibil cu 7.
Dar numerele 11 1 și 34 5 nu este divizibil cu 7 deoarece 11 -2 * 1 \u003d 11 - 2 \u003d 9 (9 nu este divizibil în mod egal cu 7) și 34 -2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 nu este divizibil în mod egal cu 7).

Divizibilitate cu 8

Divizibilitatea cu 8 este următoarea: dacă ultimele 3 cifre formează un număr divizibil cu 8 sau 000, atunci numărul dat este divizibil cu 8.
Numere 1 000 sau 1 088 divizibil cu 8: primul se termină cu 000 , al doilea 88 : 8 \u003d 11 (divizibil cu 8 fără rest).
Dar numerele 1 100 sau 4 757 nu sunt divizibile cu 8, deoarece numerele 100 și 757 nu sunt divizibile în mod egal cu 8.

Divizibilitate cu 9

Acest semn de divizibilitate este similar cu semnul divizibilității cu 3: dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 9, atunci numărul este, de asemenea, divizibil cu 9; dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă cu 9, atunci nici numărul nu este divizibil cu 9.
De exemplu: 3987 și 144 sunt divizibile cu 9, deoarece în primul caz 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27 (27: 9 \u003d 3 - divizibil cu 9 fără ostak), iar în al doilea 1 + 4 + 4 \u003d 9 (9: 9 \u003d 1 - de asemenea divizibil cu 9 fără un ostak).
Dar numerele: 235 și 141 nu sunt divizibile cu 9, deoarece 2 + 3 + 5 \u003d 10 și 1 + 4 + 1 \u003d 6 (și știm că nici 10, nici 6 nu sunt divizibile cu 9 fără rest).

Divizibilitate cu 10, 100, 1000 și alte unități de biți

Am combinat aceste semne de divizibilitate pentru că pot fi descrise în același mod: un număr este împărțit la o unitate de biți dacă numărul de zerouri de la sfârșitul numărului este mai mare sau egal cu numărul de zerouri dintr-o unitate de biți dată.
Cu alte cuvinte, de exemplu, avem numere de acest fel: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... dintre care toate sunt divizibile cu 1 0 ; 46400 și 867 000 sunt, de asemenea, împărțite la 1 00 ; și doar unul dintre ei - 867 000 divizibil cu 1 000 .
Orice numere care au mai puține zerouri la sfârșit decât o unitate de biți nu sunt divizibile cu acea unitate de biți, de exemplu 600 30 și 7 93 nu este divizibil 1 00 .

Divizibilitatea cu 11

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu 11, trebuie să obțineți diferența dintre sumele cifrelor pare și impare ale acestui număr. Dacă această diferență este egală cu 0 sau este divizibilă cu 11 fără rest, atunci numărul în sine este divizibil cu 11 fără rest.
Pentru a fi mai clar, propun să luăm în considerare exemple: 2 35 4 este divizibil cu 11 deoarece ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 este, de asemenea, divizibil cu 11, deoarece ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Dar 1 1 1 sau 4 35 4 nu este divizibil cu 11, deoarece în primul caz obținem (1 + 1) - 1 \u003d 1, iar în al doilea ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Divizibilitate cu 12

Numărul 12 este compus. Criteriul său de divizibilitate este corespondența cu criteriile de divizibilitate cu 3 și 4 în același timp.
De exemplu, 300 și 636 corespund semnelor de divizibilitate cu 4 (ultimele 2 cifre sunt zerouri sau sunt divizibile cu 4) și semnele de divizibilitate cu 3 (suma cifrelor și prima și de trei ori numărul este divizibil cu 3) și znit, acestea sunt divizibile cu 12 fără rest.
Dar 200 sau 630 nu sunt divizibile cu 12, deoarece în primul caz numărul corespunde doar divizibilității cu 4, iar în al doilea - doar divizibilității cu 3. dar nu ambelor semne în același timp.

Divizibilitate cu 13

Semnul divizibilității cu 13 este că, dacă numărul zecilor unui număr, adăugat cu înmulțit cu 4 unități din acest număr, este multiplu de 13 sau egal cu 0, atunci numărul în sine este divizibil cu 13.
Să luăm de exemplu 70 2. Deci, 70 + 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 este divizibil cu 13 fără rest), ceea ce înseamnă 70 2 este divizibil cu 13 fără rest. Un alt exemplu este un număr 114 4. 114 + 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Numărul 130 este divizibil cu 13 fără rest, ceea ce înseamnă că numărul dat corespunde criteriului de divizibilitate cu 13.
Dacă luăm numerele 12 5 sau 21 2, apoi ajungem 12 + 4 * 5 \u003d 32 și 21 + 4 * 2 \u003d 29, respectiv, și nici 32 și nici 29 nu sunt divizibile cu 13 fără rest, ceea ce înseamnă că numerele date nu sunt divizibile în mod egal cu 13.

Divizibilitatea numerelor

După cum se poate vedea din cele de mai sus, se poate presupune că la oricare dintre numere naturale puteți alege propria caracteristică de divizibilitate individuală sau o caracteristică „compusă” dacă numărul este multiplu de mai multe numere diferite. Dar, după cum arată practica, în general, cu cât numărul este mai mare, cu atât semnul său este mai complex. Este posibil ca timpul petrecut pentru verificarea criteriului de divizibilitate să fie egal sau mai mare decât diviziunea în sine. Prin urmare, folosim de obicei cele mai simple criterii de divizibilitate.

Articolul discută conceptul de divizare a numerelor întregi cu rest. Să dovedim teorema divizibilității întregi cu rest și să examinăm legăturile dintre dividende și divizori, coeficienți incompleti și resturi. Să luăm în considerare regulile atunci când se efectuează împărțirea numerelor întregi cu resturi, luând în considerare în detaliu exemple. La sfârșitul soluției, să verificăm.

Înțelegerea diviziunii întregi cu resturi

Împărțirea numerelor întregi cu rest este considerată diviziune generalizată cu restul numerelor naturale. Acest lucru se face deoarece numerele naturale sunt o parte constitutivă a numerelor întregi.

Împărțirea cu restul unui număr arbitrar înseamnă că întregul a este divizibil cu un număr nenul b. Dacă b \u003d 0, atunci nu se efectuează nici o împărțire a restului.

Pe lângă împărțirea numerelor naturale cu rest, se realizează împărțirea numerelor întregi a și b, dacă b este diferit de zero, prin c și d. În acest caz, a și b se numesc dividend și divizor, iar d este restul diviziunii, c este un număr întreg sau un coeficient incomplet.

Dacă presupunem că restul este un număr întreg negativ, atunci valoarea sa nu este mai mare decât modulul numărului b. Să scriem astfel: 0 ≤ d ≤ b. Acest lanț de inegalități este utilizat atunci când se compară 3 sau mai multe numere.

Dacă c este un coeficient incomplet, atunci d este restul împărțirii unui întreg a la b, îl puteți repara pe scurt: a: b \u003d c (restul d).

Restul la împărțirea numerelor a la b este posibil zero, apoi se spune că a este divizibil cu b complet, adică fără rest. Împărțirea fără rest este considerată un caz special de împărțire.

Dacă împărțim zero la un număr, obținem zero ca rezultat. Restul diviziei va fi, de asemenea, zero. Acest lucru poate fi urmărit înapoi la teoria împărțirii zero la un număr întreg.

Acum să ne uităm la semnificația divizării întregi cu rest.

Se știe că numerele întregi pozitive sunt naturale, atunci când împărțiți cu un rest obțineți același sens ca atunci când împărțiți numerele naturale cu un rest.

Când se împarte un număr întreg a negativ cu un întreg pozitiv b are sens. Să vedem un exemplu. Imaginându-ne o situație în care avem o datorie de articole în valoare a, care trebuie rambursată de b persoane. Acest lucru necesită ca toată lumea să aducă aceeași contribuție. Pentru a determina suma datoriei pentru fiecare, trebuie să acordați atenție sumei de private p. Restul d spune că este cunoscut numărul de articole după achitarea datoriilor.

Să luăm un exemplu cu mere. Dacă 2 persoane au nevoie de 7 mere. Dacă calculați că toată lumea trebuie să returneze 4 mere, după calculul complet vor avea 1 măr. Să scriem acest lucru sub forma unei egalități: (- 7): 2 \u003d - 4 (o cu punctul 1).

Împărțirea oricărui număr a la un număr întreg nu are sens, dar este posibilă ca opțiune.

Teorema divizibilității pentru numere întregi cu rest

Am constatat că a este un dividend, atunci b este un divizor, c este un coeficient incomplet și d este un rest. Sunt legate între ele. Vom arăta această conexiune folosind egalitatea a \u003d b c + d. Conexiunea dintre ele se caracterizează prin teorema restului de divizibilitate.

Teorema

Orice număr întreg poate fi reprezentat doar printr-un număr întreg și nenul b în acest fel: a \u003d b q + r, unde q și r sunt niște numere întregi. Aici avem 0 ≤ r ≤ b.

Să dovedim posibilitatea existenței a \u003d b q + r.

Dovezi

Dacă există două numere a și b, iar a este divizibil cu b fără rest, atunci din definiție rezultă că există un număr q, care va fi adevărat egalitatea a \u003d b q. Atunci egalitatea poate fi considerată adevărată: a \u003d b q + r pentru r \u003d 0.

Atunci este necesar să se ia q astfel încât dat de inegalitatea b q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Avem că valoarea expresiei a - b q este mai mare decât zero și nu mai mare decât valoarea numărului b, rezultă că r \u003d a - b q. Obținem că numărul a poate fi reprezentat ca a \u003d b q + r.

Acum este necesar să se ia în considerare posibilitatea de a reprezenta a \u003d b q + r pentru valorile negative ale lui b.

Valoarea absolută a numărului este pozitivă, atunci obținem a \u003d b q 1 + r, unde valoarea q 1 este un număr întreg, r este un număr întreg care se potrivește cu condiția 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Dovada unicității

Să presupunem că a \u003d bq + r, q și r sunt numere întregi cu condiția adevărată 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 și r 1 sunt câteva numere, unde q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b .

Când inegalitatea este scăzută din laturile stânga și dreapta, atunci obținem 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1, care este echivalent cu r - r 1 \u003d b · q 1 - q. Deoarece modulul este utilizat, obținem egalitatea r - r 1 \u003d b q 1 - q.

Condiția dată spune că 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qși q 1- numere întregi și q ≠ q 1, apoi q 1 - q ≥ 1. Prin urmare, avem că b q 1 - q ≥ b. Inegalitățile rezultate r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Prin urmare, rezultă că numărul a nu poate fi reprezentat în alt mod, decât printr-o astfel de notație a \u003d b q + r.

Relația dintre dividend, divizor, coeficient incomplet și rest

Folosind egalitatea a \u003d b c + d, puteți găsi dividendul necunoscut a atunci când cunoașteți divizorul b cu coeficientul incomplet c și restul d.

Exemplul 1

Determinați dividendul, dacă în diviziune obținem - 21, coeficientul incomplet 5 și restul 12.

Decizie

Este necesar să se calculeze dividendul a cu divizorul cunoscut b \u003d - 21, coeficientul incomplet c \u003d 5 și restul d \u003d 12. Este necesar să apelăm la egalitatea a \u003d b c + d, din care obținem a \u003d (- 21) 5 + 12. Sub rezerva ordinii de efectuare a acțiunilor, înmulțim - 21 cu 5, după care obținem (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93.

Răspuns: - 93 .

Conexiunea dintre divizor și coeficientul incomplet și restul poate fi exprimată folosind egalitățile: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b și d \u003d a - b c. Cu ajutorul lor, putem calcula divizorul, coeficientul parțial și restul. Acest lucru se reduce la găsirea constantă a restului după împărțirea unui întreg a la b cu un dividend cunoscut, divizor și coeficient incomplet. Formula se aplică d \u003d a - b c. Să luăm în considerare soluția în detaliu.

Exemplul 2

Găsiți restul împărțirii unui întreg - 19 la un întreg 3 cu un coeficient incomplet cunoscut egal cu - 7.

Decizie

Pentru a calcula restul împărțirii, aplicați o formulă precum d \u003d a - b · c. În funcție de condiție, toate datele sunt disponibile a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7. Din aceasta obținem d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (diferența este - 19 - (- 21). Acest exemplu este calculat prin regula scăderii un număr negativ întreg.

Răspuns: 2 .

Toate numerele întregi pozitive sunt naturale. Rezultă că împărțirea se realizează conform tuturor regulilor de împărțire, cu restul numerelor naturale. Viteza împărțirii cu restul numerelor naturale este importantă, deoarece nu numai împărțirea celor pozitive, ci și regulile de împărțire a numerelor întregi arbitrare se bazează pe ea.

Cea mai convenabilă metodă de divizare este coloana, deoarece este mai ușor și mai rapid să obții un incomplet sau doar un coeficient cu rest. Să luăm în considerare soluția în detaliu.

Exemplul 3

Împarte 14671 la 54.

Decizie

Această împărțire trebuie efectuată într-o coloană:

Adică, coeficientul incomplet se dovedește a fi 271, iar restul este 37.

Răspuns: 14 671: 54 \u003d 271. (opriți 37)

Regula divizării cu restul unui întreg pozitiv cu un întreg negativ, exemple

Pentru a efectua împărțirea cu restul unui număr pozitiv cu un întreg negativ, este necesar să se formuleze o regulă.

Definiția 1

Coeficientul incomplet din împărțirea unui întreg pozitiv a la un întreg negativ b obținem un număr care este opus coeficientului incomplet din împărțirea valorilor absolute ale numerelor a la b. Atunci restul este egal cu restul când a este împărțit la b.

Prin urmare, avem că coeficientul incomplet al împărțirii unui număr întreg pozitiv la un întreg negativ este considerat un număr întreg pozitiv.

Obținem algoritmul:

• împărțiți modulul divizibilului cu modulul divizorului, apoi obținem un coeficient incomplet și
• restul;
• notăm numărul opus celui primit.

Să luăm în considerare un exemplu de algoritm pentru împărțirea unui întreg pozitiv la un întreg negativ.

Exemplul 4

Împărțiți cu restul de 17 la - 5.

Decizie

Să aplicăm algoritmul diviziunii cu restul unui întreg pozitiv cu un întreg negativ. Este necesar să împărțiți 17 la - 5 modulo. Din aceasta obținem că coeficientul incomplet este 3, iar restul este 2.

Obținem că numărul necesar împărțind 17 la - 5 \u003d - 3 cu restul de 2.

Răspuns: 17: (- 5) \u003d - 3 (restul 2).

Exemplul 5

Împarte 45 la - 15.

Decizie

Este necesar să împărțiți numerele modulo. Împărțiți numărul 45 la 15, obținem coeficientul 3 fără rest. Aceasta înseamnă că numărul 45 este divizibil cu 15 fără rest. În răspuns, obținem - 3, deoarece diviziunea a fost efectuată modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Răspuns: 45: (− 15) = − 3 .

Formularea regulii de divizare cu rest este următoarea.

Definiția 2

Pentru a obține un coeficient incomplet c atunci când împărțiți un întreg negativ a la un b pozitiv, trebuie să aplicați opusul numărului dat și să scădeți 1 din acesta, apoi restul d va fi calculat prin formula: d \u003d a - b · c.

Pe baza regulii, putem concluziona că atunci când împărțim obținem un număr întreg non-negativ. Pentru acuratețea soluției, se utilizează algoritmul pentru împărțirea lui la b cu un rest:

• găsiți modulele dividendului și divizorului;
• împărțiți după modul;
• scrieți numărul opus și scădeți 1;
• folosiți formula pentru restul d \u003d a - b · c.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție în care se aplică acest algoritm.

Exemplul 6

Găsiți coeficientul incomplet și restul diviziunii - 17 cu 5.

Decizie

Împarte numerele date modulo. Obținem că atunci când împărțim coeficientul este 3, iar restul este 2. Din moment ce avem 3, opusul este 3. Trebuie să scazi 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Obținem valoarea dorită egală cu - 4.

Pentru a calcula restul, aveți nevoie de a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, apoi d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3.

Aceasta înseamnă că coeficientul incomplet al divizării este numărul - 4 cu restul egal cu 3.

Răspuns: (- 17): 5 \u003d - 4 (rest. 3).

Exemplul 7

Împarte numărul întreg 1404 negativ la 26 pozitiv.

Decizie

Este necesar să se împartă la o coloană și la un catâr.

Am obținut împărțirea valorilor absolute ale numerelor fără rest. Aceasta înseamnă că împărțirea se efectuează fără rest și coeficientul dorit \u003d - 54.

Răspuns: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Regula diviziunii cu restul de numere întregi negative, exemple

Este necesar să se formuleze o regulă de diviziune cu un rest de numere întregi negative.

Definiție 3

Pentru a obține un coeficient incomplet c din împărțirea unui întreg negativ a la un număr negativ b, este necesar să se efectueze calcule modulo, apoi să se adauge 1, apoi putem efectua calcule folosind formula d \u003d a - b · c.

Rezultă că coeficientul incomplet din divizarea numerelor întregi negative va fi un număr pozitiv.

Să formulăm această regulă sub forma unui algoritm:

• găsiți modulele dividendului și divizorului;
• împărțiți modulul divizibilului cu modulul divizorului pentru a obține un coeficient incomplet cu
• restul;
• adăugarea 1 la coeficientul incomplet;
• calculând restul, pe baza formulei d \u003d a - b · c.

Să luăm în considerare acest algoritm folosind un exemplu.

Exemplul 8

Găsiți coeficientul incomplet și restul când împărțiți - 17 la - 5.

Decizie

Pentru corectitudinea soluției, vom aplica algoritmul pentru divizare cu rest. Mai întâi, împărțiți numerele modulo. De aici obținem că coeficientul incomplet \u003d 3, iar restul este 2. Conform regulii, este necesar să adăugați coeficientul incomplet și 1. Obținem acel 3 + 1 \u003d 4. Din aceasta obținem că coeficientul incomplet al împărțirii numerelor date este 4.

Pentru a calcula restul, vom folosi formula. Prin ipoteză, avem că a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, apoi, folosind formula, obținem d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Răspunsul dorit, adică restul, este 3, iar coeficientul incomplet este 4.

Răspuns: (- 17): (- 5) \u003d 4 (restul 3).

Verificarea rezultatului împărțirii întregi cu rest

După efectuarea împărțirii numerelor cu restul, trebuie să verificați. Această verificare implică 2 etape. În primul rând, restul d este verificat pentru non-negativitate, condiția 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 9

Împărțirea a fost făcută - 521 cu - 12. Coeficientul este 44, restul este 7. Verifica.

Decizie

Deoarece restul este un număr pozitiv, valoarea sa este mai mică decât modulul divizorului. Divizorul este - 12, ceea ce înseamnă că modulul său este 12. Puteți trece la următorul punct de control.

Prin ipoteză, avem că a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. De aici calculăm b c + d, unde b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. De aici rezultă că egalitatea este adevărată. Verificarea a trecut.

Exemplul 10

Efectuați verificarea diviziunii (- 17): 5 \u003d - 3 (restul - 2). Este adevărată egalitatea?

Decizie

Punctul primei etape este că este necesar să se verifice împărțirea numerelor întregi cu rest. Prin urmare, este clar că acțiunea a fost efectuată incorect, deoarece restul este dat, egal cu - 2. Restul nu este negativ.

Considerăm că a doua condiție este îndeplinită, dar insuficientă pentru acest caz.

Răspuns: Nu.

Exemplul 11

Număr - 19 împărțit la - 3. Coeficientul incomplet este 7, iar restul este 1. Verificați dacă calculul este corect.

Decizie

Se dă un rest de 1. Este pozitiv. Este mai puțin decât modulul divizor, ceea ce înseamnă că prima etapă este efectuată. Să trecem la a doua etapă.

Să calculăm valoarea expresiei b c + d. Prin ipoteză, avem că b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, prin urmare, înlocuind valorile numerice, obținem b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Rezultă că a \u003d b c + d egalitatea nu se menține, deoarece a \u003d - 19 este dat în condiție.

De aici concluzia că împărțirea a fost făcută cu o eroare.

Răspuns: Nu.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

În acest articol vom analiza divizarea numerelor întregi cu rest... Să începem cu principiul general al divizării numerelor întregi cu rest, formulăm și dovedim teorema privind divizibilitatea numerelor întregi cu rest, urmărim legăturile dintre dividend, divizor, coeficient incomplet și rest. Apoi, vom exprima regulile prin care se efectuează împărțirea numerelor întregi cu rest și vom lua în considerare aplicarea acestor reguli atunci când rezolvăm exemple. După aceea, vom învăța cum să verificăm rezultatul împărțirii întregi cu rest.

Navigare în pagină.

Înțelegerea Diviziei întregi rămase

Vom considera divizarea numerelor întregi cu rest ca o generalizare a diviziunii cu restul numerelor naturale. Acest lucru se datorează faptului că numerele naturale sunt o parte constitutivă a numerelor întregi.

Să începem cu termenii și denumirile care sunt utilizate în descriere.

Prin analogie cu împărțirea numerelor naturale cu rest, vom presupune că rezultatul împărțirii cu restul a două numere întregi a și b (b nu este egal cu zero) sunt două numere întregi c și d. Numerele a și b sunt numite divizibil și despărțitor respectiv, numărul d - restul din împărțirea lui la b, iar numărul întreg c se numește privat incomplet (sau pur și simplu privatdacă restul este zero).

Să acceptăm să presupunem că restul este un număr întreg non-negativ, iar valoarea sa nu depășește b, adică (am întâlnit astfel de lanțuri de inegalități când am vorbit despre compararea a trei sau mai multe numere întregi).

Dacă numărul c este un coeficient incomplet, iar numărul d este restul împărțirii unui întreg a la un întreg b, atunci vom scrie pe scurt acest fapt ca o egalitate a formei a: b \u003d c (restul d).

Rețineți că, atunci când împărțiți un întreg a la un întreg b, restul poate fi zero. În acest caz a se spune că este divizibil cu b fără reziduuri (sau în întregime). Astfel, împărțirea numerelor întregi fără rest este un caz special de împărțire a numerelor întregi cu rest.

De asemenea, merită să spunem că atunci când împărțim zero la un număr întreg, ne ocupăm întotdeauna de diviziunea fără rest, deoarece în acest caz coeficientul va fi zero (a se vedea secțiunea privind teoria diviziunii zero cu un număr întreg), iar restul va fi, de asemenea, zero.

Am decis terminologia și denumirile, acum să ne dăm seama de semnificația divizării întregi cu un rest.

Împărțirea unui întreg negativ a la un întreg pozitiv b poate avea, de asemenea, sens. Pentru a face acest lucru, considerați un număr întreg negativ ca datorie. Să ne imaginăm următoarea situație. Datoria, care constituie elementele, trebuie plătită de b persoane, făcând aceeași contribuție. Valoare absolută c privat incomplet în acest caz va determina suma datoriei fiecăreia dintre aceste persoane, iar restul d va arăta câte articole vor rămâne după plata datoriei. Să dăm un exemplu. Să presupunem că 2 persoane au nevoie de 7 mere. Dacă presupunem că fiecare dintre ei datorează 4 mere, atunci după achitarea datoriei vor avea 1 măr. Această situație corespunde egalității (−7): 2 \u003d −4 (restul 1).

Nu vom da nici un sens diviziunii cu restul unui întreg arbitrar a cu un întreg negativ, dar îl vom lăsa cu dreptul de a exista.

Teorema divizibilității pentru numere întregi cu rest

Când am vorbit despre împărțirea numerelor naturale cu rest, am aflat că dividendul a, divizorul b, coeficientul incomplet c și restul d sunt legate de egalitatea a \u003d b c + d. Întregii a, b, c și d au aceeași relație. Această conexiune este aprobată de următoarele teorema divizibilității restului.

Teorema.

Orice număr întreg a poate fi reprezentat în mod unic printr-un număr întreg și nenul b sub forma a \u003d b q + r, unde q și r sunt niște numere întregi, în plus.

Dovezi.

În primul rând, demonstrăm posibilitatea de a reprezenta a \u003d b q + r.

Dacă numerele întregi a și b sunt astfel încât a este divizibil în mod egal cu b, atunci prin definiție există un întreg q astfel încât a \u003d b q. În acest caz, egalitatea a \u003d b q + r este valabilă pentru r \u003d 0.

Acum vom presupune că b este un număr întreg pozitiv. Să alegem un număr întreg q astfel încât produsul b q să nu depășească a, iar produsul b (q + 1) să fie deja mai mare decât a. Adică luăm q astfel încât inegalitățile b q

Rămâne să dovedim posibilitatea de a reprezenta a \u003d b q + r pentru negativ b.

Deoarece modulul numărului b în acest caz este un număr pozitiv, atunci există o reprezentare, unde q 1 este un număr întreg, iar r este un număr întreg care îndeplinește condițiile. Apoi, luând q \u003d −q 1, obținem reprezentarea necesară a \u003d b q + r pentru b negativ.

Trecem la dovada unicității.

Să presupunem că, pe lângă reprezentarea a \u003d bq + r, q și r sunt numere întregi și, mai există o reprezentare a \u003d bq 1 + r 1, unde q 1 și r 1 sunt niște numere întregi și q 1 ≠ q și.

După scăderea din partea stângă și dreaptă a primei egalități, respectiv, laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua egalități, obținem 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1, care este echivalent cu egalitatea r - r 1 \u003d b (q 1 −q) ... Apoi egalitatea formei , și în virtutea proprietăților modulului unui număr, egalitatea .

Din condiții și putem concluziona că. Deoarece q și q 1 sunt numere întregi și q ≠ q 1, de unde concluzionăm că ... Din inegalitățile obținute și rezultă că o egalitate a formei imposibil sub presupunerea noastră. Prin urmare, nu există altă reprezentare a numărului a, cu excepția a \u003d b q + r.

Legături între dividend, divizor, coeficient incomplet și rest

Egalitatea a \u003d b c + d vă permite să găsiți dividendul necunoscut a dacă cunoașteți divizorul b, cocientul incomplet c și restul d. Să vedem un exemplu.

Exemplu.

Care este dividendul dacă îl împărțiți cu numărul întreg −21 rezultă într-un coeficient incomplet 5 și un rest de 12?

Decizie.

Trebuie să calculăm dividendul a atunci când cunoaștem divizorul b \u003d −21, coeficientul parțial c \u003d 5, iar restul d \u003d 12. Trecând la egalitatea a \u003d b c + d, obținem a \u003d (- 21) 5 + 12. Observând, mai întâi înmulțim numerele întregi −21 și 5 după regula înmulțirii numerelor întregi cu semne diferite, după care adăugăm numere întregi cu semne diferite: (−21) 5 + 12 \u003d −105 + 12 \u003d −93.

Răspuns:

−93 .

Conexiunile dintre dividend, divizor, coeficient parțial și rest sunt exprimate și prin egalități de forma b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b și d \u003d a - b · c. Aceste egalități permit calcularea divizorului, a coeficientului parțial și, respectiv, a restului. De multe ori trebuie să găsim restul împărțirii unui număr întreg a la un număr întreg b, când sunt cunoscuți dividendul, divizorul și parțialul, folosind formula d \u003d a - b · c. Pentru a evita alte întrebări, să analizăm un exemplu de calcul al restului.

Exemplu.

Găsiți restul împărțirii întregului −19 la întregul 3 dacă știți că coeficientul parțial este −7.

Decizie.

Pentru a calcula restul împărțirii, folosim o formulă de forma d \u003d a - b · c. Din condiție avem toate datele necesare a \u003d −19, b \u003d 3, c \u003d −7. Obținem d \u003d a - b c \u003d −19−3 (−7) \u003d −19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (diferența −19 - (- 21) am calculat prin regula scăderii unui număr întreg negativ ).

Răspuns:

Împărțirea cu restul de numere întregi pozitive, exemple

După cum am remarcat de mai multe ori, numerele întregi pozitive sunt numere naturale. Prin urmare, împărțirea cu restul de numere întregi pozitive se efectuează conform tuturor regulilor de divizare cu restul de numere naturale. Este foarte important să poți efectua cu ușurință împărțirea cu restul numerelor naturale, deoarece tocmai această împărțire stă la baza nu numai împărțirii numerelor întregi pozitive, ci și a bazei tuturor regulilor de împărțire cu restul de numere întregi arbitrare.

Din punctul nostru de vedere, este cel mai convenabil să efectuați o împărțire lungă, această metodă vă permite să obțineți atât coeficientul incomplet (sau doar coeficientul) și restul. Luați în considerare un exemplu de divizare cu restul de numere întregi pozitive.

Exemplu.

Împarte 14 671 la 54 cu restul.

Decizie.

Să împărțim aceste numere întregi pozitive la o coloană:

Coeficientul parțial sa dovedit a fi 271, iar restul este 37.

Răspuns:

14 671: 54 \u003d 271 (restul 37).

Regula divizării cu restul unui întreg pozitiv cu un întreg negativ, exemple

Să formulăm o regulă care permite efectuarea împărțirii cu restul unui întreg pozitiv cu un întreg negativ.

Coeficientul incomplet al împărțirii unui întreg pozitiv a la un întreg negativ b este opusul coeficientului incomplet al împărțirii a la modulul lui b, iar restul împărțirii a la b este egal cu restul împărțirii cu.

Din această regulă rezultă că câtul incomplet al împărțirii unui întreg pozitiv la un întreg negativ este un număr întreg ne-pozitiv.

Să refacem regula anunțată într-un algoritm pentru împărțirea cu restul unui întreg pozitiv cu un întreg negativ:

• Împărțim modulul divizibilului cu modulul divizorului, obținem un coeficient incomplet și restul. (Dacă restul este egal cu zero, atunci numerele originale sunt împărțite fără rest și, conform regulii de împărțire a numerelor întregi cu semne opuse, coeficientul dorit este egal cu numărul opus coeficientului diviziunii modulo.)
• Scriem numărul opus coeficientului incomplet primit și restul. Aceste numere sunt, respectiv, coeficientul dorit și restul împărțirii întregului pozitiv original cu un întreg negativ.

Să dăm un exemplu de utilizare a algoritmului pentru împărțirea unui întreg pozitiv la un întreg negativ.

Exemplu.

Împarte întregul pozitiv 17 la întregul negativ −5.

Decizie.

Să folosim algoritmul diviziunii cu restul unui întreg pozitiv cu un întreg negativ.

Împărțirea

Opusul lui 3 este −3. Astfel, coeficientul parțial dorit al împărțirii 17 la −5 este −3, iar restul este 2.

Răspuns:

17: (- 5) \u003d - 3 (restul 2).

Exemplu.

Divide 45 la -15.

Decizie.

Modulele dividendului și ale divizorului sunt 45 și respectiv 15. Numărul 45 este divizibil cu 15 fără rest, în timp ce coeficientul este 3. Prin urmare, întregul pozitiv 45 este divizibil cu întregul negativ −15 fără rest și coeficientul este egal cu opusul lui 3, adică −3. Într-adevăr, conform regulii de divizare a numerelor întregi cu semne diferite, avem.

Răspuns:

45:(−15)=−3 .

Împărțirea cu restul unui întreg negativ cu un întreg pozitiv, exemple

Să dăm formularea regulii împărțirii cu restul unui întreg negativ cu un întreg pozitiv.

Pentru a obține un coeficient incomplet c din împărțirea unui întreg negativ a la un întreg pozitiv b, trebuie să luați opusul coeficientului incomplet de la împărțirea modulelor numerelor originale și să scădeți unul din acesta, apoi calculați restul d cu formula d \u003d a - b c.

Din această regulă de împărțire cu rest, rezultă că câtul incomplet al împărțirii unui întreg negativ la un întreg pozitiv este un întreg negativ.

Din regula sunată urmează algoritmul de divizare cu restul unui întreg negativ a cu un întreg pozitiv b:

• Găsiți modulele dividendului și ale divizorului.
• Împărțim modulul divizibilului cu modulul divizorului, obținem un coeficient incomplet și restul. (Dacă restul este zero, atunci numerele întregi originale sunt divizibile fără rest, iar coeficientul dorit este egal cu numărul opus coeficientului diviziunii modulo.)
• Scriem numărul opus coeficientului incomplet obținut și scădem numărul 1 din acesta. Numărul calculat este coeficientul incomplet necesar c din împărțirea întregului negativ original la un întreg pozitiv.

Să analizăm soluția exemplului, în care folosim algoritmul de divizare scrisă cu rest.

Exemplu.

Găsiți câtul incomplet și restul întregului negativ -17 împărțit la întregul pozitiv 5.

Decizie.

Modulul dividendului −17 este 17, iar modulul divizorului 5 este 5.

Împărțirea 17 pe 5, obținem coeficientul incomplet 3 și restul 2.

Opusul lui 3 este −3. Se scade unul din −3: −3−1 \u003d −4. Deci, coeficientul incomplet necesar este −4.

Rămâne să calculăm restul. În exemplul nostru, a \u003d −17, b \u003d 5, c \u003d −4, apoi d \u003d a - b c \u003d −17−5 (−4) \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Astfel, coeficientul parțial al împărțirii unui număr întreg negativ -17 la un număr întreg pozitiv 5 este -4, iar restul este 3.

Răspuns:

(−17): 5 \u003d −4 (restul 3).

Exemplu.

Împarte numărul întreg -1404 la întregul pozitiv 26.

Decizie.

Modulul dividendului este 1 404, modulul divizorului este 26.

Împarte 1 404 la 26 cu o coloană:

Deoarece modulul dividendului a fost împărțit la modulul divizorului fără rest, numerele întregi originale sunt divizibile fără rest, iar coeficientul dorit este egal cu numărul opus lui 54, adică −54.

Răspuns:

(−1 404):26=−54 .

Regula diviziunii cu restul de numere întregi negative, exemple

Să formulăm regula împărțirii cu restul de numere întregi negative.

Pentru a obține un coeficient incomplet c din împărțirea unui număr întreg a negativ cu un număr întreg negativ b, trebuie să calculați coeficientul incomplet din împărțirea modulelor numerelor originale și adăugați unul la acesta, apoi calculați restul d cu formula d \u003d a - b c.

Din această regulă rezultă că câtul incomplet al diviziunii numerelor întregi negative este un număr întreg pozitiv.

Să rescriem regula menționată ca algoritm pentru divizarea numerelor întregi negative:

• Găsiți modulele dividendului și ale divizorului.
• Împărțim modulul divizibilului cu modulul divizorului, obținem un coeficient incomplet și restul. (Dacă restul este zero, atunci numerele întregi originale sunt divizibile fără rest și coeficientul dorit este egal cu coeficientul împărțirii modulului dividendului la modulul divizorului.)
• Adăugăm unul la coeficientul incomplet rezultat, acest număr este coeficientul incomplet necesar din divizarea numerelor întregi negative originale.
• Calculăm restul cu formula d \u003d a - b · c.

Luați în considerare utilizarea algoritmului pentru divizarea numerelor întregi negative atunci când rezolvați un exemplu.

Exemplu.

Găsiți coeficientul parțial și restul întregului negativ -17 împărțit la întregul negativ -5.

Decizie.

Să folosim algoritmul corespunzător de diviziune modulo.

Modulul dividendului este 17, modulul divizorului este 5.

Divizia 17 cu 5 oferă un coeficient incomplet 3 și un rest de 2.

Adăugați unul la coeficientul incomplet 3: 3 + 1 \u003d 4. Prin urmare, coeficientul parțial dorit al împărțirii −17 la −5 este 4.

Rămâne să calculăm restul. În acest exemplu, a \u003d −17, b \u003d −5, c \u003d 4, apoi d \u003d a - b c \u003d −17 - (- 5) 4 \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ...

Deci, coeficientul incomplet al împărțirii întregului negativ -17 la întregul negativ -5 este 4, iar restul este 3.

Răspuns:

(−17): (- 5) \u003d 4 (restul 3).

Verificarea rezultatului împărțirii întregi cu rest

După împărțirea numerelor întregi cu rest, este util să verificați rezultatul. Verificarea se efectuează în două etape. În prima etapă, se verifică dacă restul d este un număr non-negativ și se verifică și starea. Dacă sunt îndeplinite toate condițiile din prima etapă a verificării, puteți trece la cea de-a doua etapă a verificării, altfel se poate argumenta că a fost comisă o eroare undeva în timpul divizării cu restul. În a doua etapă, se verifică validitatea egalității a \u003d b c + d. Dacă această egalitate este adevărată, atunci împărțirea cu restul a fost efectuată corect, în caz contrar, s-a făcut o greșeală undeva.

Să luăm în considerare soluțiile de exemple în care se verifică rezultatul împărțirii numerelor întregi cu rest.

Exemplu.

Când împărțiți numărul −521 la −12, ați obținut un coeficient incomplet 44 și un rest de 7, verificați rezultatul.

Decizie. −2 pentru b \u003d −3, c \u003d 7, d \u003d 1. Noi avem b c + d \u003d −3 7 + 1 \u003d −21 + 1 \u003d −20... Astfel, egalitatea a \u003d b c + d este incorectă (în exemplul nostru, a \u003d −19).

Prin urmare, împărțirea cu restul a fost efectuată incorect.