Exemple de rezolvare a ecuațiilor cu un modul. Modulul numeric (valoarea absolută a unui număr), definiții, exemple, proprietăți. Modul numeric - definiție, notație și exemple
Nu alegem matematicaprofesia ei și ne alege pe noi.
Matematicianul rus Yu.I. Manin
Ecuații cu modul
Cele mai dificil de rezolvat probleme ale matematicii școlare sunt ecuațiile care conțin variabile sub semnul modulului. Pentru a rezolva cu succes astfel de ecuații, trebuie să cunoașteți definiția și proprietățile de bază ale modulului. Bineînțeles, elevii ar trebui să aibă abilitățile de a rezolva ecuații de acest tip.
Concepte și proprietăți de bază
Modulul (valoarea absolută) a unui număr real notat și este definit după cum urmează:
Proprietățile simple ale unui modul includ următoarele relații:
Notă, că ultimele două proprietăți sunt valabile pentru orice grad uniform.
În plus, dacă, unde, atunci
Proprietăți ale modulului mai complexe, care poate fi utilizat eficient pentru rezolvarea ecuațiilor cu module, sunt formulate prin intermediul următoarelor teoreme:
Teorema 1. Pentru orice funcții analitice și inegalitatea se menține
Teorema 2. Egalitatea este echivalentă cu inegalitatea.
Teorema 3. Egalitate echivalează cu inegalitatea.
Să luăm în considerare exemple tipice de rezolvare a problemelor pe tema „Ecuații, conținând variabile sub semnul modulului ".
Rezolvarea ecuațiilor cu modul
Cea mai comună metodă în matematica școlară pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul este metoda, bazat pe extinderea modulelor. Această metodă este versatilă, cu toate acestea, în general, aplicarea acestuia poate duce la calcule foarte greoaie. În acest sens, elevii ar trebui să cunoască altele, metode și tehnici mai eficiente pentru rezolvarea unor astfel de ecuații. În special, trebuie să aveți abilități în aplicarea teoremelor, prezentate în acest articol.
Exemplul 1.Rezolvați ecuația. (1)
Decizie. Ecuația (1) va fi rezolvată prin metoda „clasică” - metoda de extindere a modulelor. Pentru a face acest lucru, împărțim axa numerică puncte și în intervale și ia în considerare trei cazuri.
1. Dacă, atunci ,,, și ecuația (1) iau forma. De aici rezultă. Cu toate acestea, aici, prin urmare, valoarea găsită nu este rădăcina ecuației (1).
2. Dacă, apoi din ecuația (1) obținem sau.
De atunci rădăcina ecuației (1).
3. Dacă, atunci ecuația (1) ia forma sau. Rețineți că.
Răspuns:,.
Când rezolvăm ecuațiile ulterioare cu un modul, vom folosi în mod activ proprietățile modulelor pentru a crește eficiența rezolvării unor astfel de ecuații.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația.
Decizie. De când și, atunci ecuația implică... În această privință,,, iar ecuația ia forma... De aici ajungem... In orice caz , prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.
Răspuns: nu există rădăcini.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația.
Decizie. De atunci. Daca atunci, iar ecuația ia forma.
De aici ajungem.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația.
Decizie.Să rescriem ecuația într-o formă echivalentă. (2)
Ecuația rezultată aparține ecuațiilor de tip.
Luând în considerare teorema 2, se poate argumenta că ecuația (2) este echivalentă cu o inegalitate. De aici ajungem.
Răspuns:.
Exemplul 5. Rezolvați ecuația.
Decizie. Această ecuație are forma... Prin urmare, conform teoremei 3, aici avem inegalitatea sau.
Exemplul 6. Rezolvați ecuația.
Decizie. Să presupunem că. La fel de , atunci ecuația dată ia forma unei ecuații pătratice, (3)
unde ... Deoarece ecuația (3) are o singură rădăcină pozitivă și apoi ... Prin urmare, obținem două rădăcini ale ecuației originale: și.
Exemplul 7. Rezolvați ecuația. (4)
Decizie. Întrucât ecuația este echivalent cu o combinație de două ecuații: și, atunci, la rezolvarea ecuației (4), este necesar să se ia în considerare două cazuri.
1. Dacă, atunci sau.
De aici ajungem și.
2. Dacă, atunci sau.
De atunci.
Răspuns:,,,.
Exemplul 8. Rezolvați ecuația . (5)
Decizie. De atunci și atunci. Din aceasta și din ecuația (5) rezultă că și, adică aici avem sistemul de ecuații
Cu toate acestea, acest sistem de ecuații este inconsecvent.
Răspuns: nu există rădăcini.
Exemplul 9. Rezolvați ecuația. (6)
Decizie.Dacă denotăm, atunci iar din ecuația (6) obținem
Sau (7)
Deoarece ecuația (7) are forma, această ecuație este echivalentă cu o inegalitate. De aici ajungem. De când, atunci sau.
Răspuns:.
Exemplul 10. Rezolvați ecuația. (8)
Decizie. Conform teoremei 1, putem scrie
(9)
Luând în considerare ecuația (8), concluzionăm că ambele inegalități (9) se transformă în egalități, adică sistemul de ecuații se menține
Cu toate acestea, prin Teorema 3, sistemul de ecuații de mai sus este echivalent cu sistemul de inegalități
(10)
Rezolvând sistemul inegalităților (10), obținem. Deoarece sistemul de inegalități (10) este echivalent cu ecuația (8), ecuația inițială are o singură rădăcină.
Răspuns:.
Exemplul 11. Rezolvați ecuația. (11)
Decizie. Fie și, apoi egalitatea rezultă din ecuația (11).
De aici rezultă că și. Astfel, aici avem un sistem de inegalități
Soluția la acest sistem de inegalități este și.
Răspuns:,.
Exemplul 12. Rezolvați ecuația. (12)
Decizie. Ecuația (12) va fi rezolvată prin metoda de extindere secvențială a modulelor. Pentru a face acest lucru, luați în considerare mai multe cazuri.
1. Dacă, atunci.
1.1. Dacă, atunci și ,.
1.2. Daca atunci. In orice caz , prin urmare, în acest caz, ecuația (12) nu are rădăcini.
2. Dacă, atunci.
2.1. Dacă, atunci și ,.
2.2. Dacă, atunci și.
Răspuns:,,,,.
Exemplul 13. Rezolvați ecuația. (13)
Decizie. Deoarece partea stângă a ecuației (13) este non-negativă, atunci și. În acest sens și ecuația (13)
ia forma sau.
Se știe că ecuația este echivalent cu combinația a două ecuații și, rezolvarea pe care o primim,. La fel de , atunci ecuația (13) are o rădăcină.
Răspuns:.
Exemplul 14. Rezolvați sistemul de ecuații (14)
Decizie. De când și, apoi și. Prin urmare, din sistemul de ecuații (14) obținem patru sisteme de ecuații:
Rădăcinile sistemelor de ecuații de mai sus sunt rădăcinile sistemului de ecuații (14).
Răspuns: ,,,,,,,.
Exemplul 15. Rezolvați sistemul de ecuații (15)
Decizie. De atunci. În acest sens, din sistemul de ecuații (15), obținem două sisteme de ecuații
Rădăcinile primului sistem de ecuații sunt și, și din al doilea sistem de ecuații obținem și.
Răspuns:,,,.
Exemplul 16. Rezolvați sistemul de ecuații (16)
Decizie. Din prima ecuație a sistemului (16) rezultă că.
De atunci ... Luați în considerare a doua ecuație a sistemului. În măsura în careapoi, iar ecuația ia forma,, sau.
Dacă înlocuiți valoarea în prima ecuație a sistemului (16), atunci sau.
Răspuns:,.
Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, legat de rezolvarea ecuațiilor, conținând variabile sub semnul modulului, pot sfatui tutoriale din lista literaturii recomandate.
1. Colectarea problemelor în matematică pentru solicitanții la colegii tehnice / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Pace și educație, 2013 .-- 608 p.
2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: probleme de complexitate crescută. - M.: CD „Librokom” / URSS, 2017 .-- 200 p.
3. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: metode non-standard de rezolvare a problemelor. - M.: CD „Librokom” / URSS, 2017 .-- 296 p.
Mai aveți întrebări?
Pentru a obține ajutor de la un tutor - înregistrați-vă.
site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
Modulul este valoarea absolută a unei expresii. Pentru a denumi cumva un modul, este obișnuit să utilizați paranteze drepte. Valoarea care este inclusă între paranteze drepte este valoarea care este luată modulo. Procesul de rezolvare a oricărui modul constă în extinderea parantezelor foarte drepte, care se numesc paranteze modulare în limbaj matematic. Divulgarea lor are loc conform unui anumit număr de reguli. De asemenea, în ordinea rezolvării modulelor, există și seturile de valori ale acelor expresii care se aflau în parantezele modulului. În majoritatea cazurilor, un modul este extins în așa fel încât o expresie care a fost submodulară să obțină atât valori pozitive cât și negative, inclusiv valoarea zero. Dacă pornim de la proprietățile stabilite ale modulului, atunci în proces sunt elaborate diverse ecuații sau inegalități din expresia originală, care trebuie apoi rezolvate. Să ne dăm seama cum să rezolvăm module.
Procesul soluției
Soluția pentru modul începe prin scrierea ecuației originale cu modulul. Pentru a răspunde la întrebarea cum să rezolvați ecuațiile cu un modul, trebuie să îl extindeți complet. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, modulul este extins. Toate expresiile modulare trebuie luate în considerare. Este necesar să se determine la ce valori ale cantităților necunoscute incluse în compoziția sa, expresia modulară dintre paranteze se transformă la zero. Pentru a face acest lucru, este suficient să echivalați expresia dintre paranteze modulare la zero și apoi să calculați soluția ecuației rezultate. Valorile găsite trebuie înregistrate. În același mod, este, de asemenea, necesar să se determine valoarea tuturor variabilelor necunoscute pentru toate modulele din această ecuație. Apoi, trebuie să vă ocupați de definirea și luarea în considerare a tuturor cazurilor de existență a variabilelor în expresii atunci când acestea sunt diferite de valoarea zero. Pentru a face acest lucru, trebuie să notați un sistem de inegalități în conformitate cu toate modulele din inegalitatea inițială. Inegalitățile ar trebui să fie concepute astfel încât să acopere toate valorile disponibile și posibile pentru o variabilă care se găsește pe linia numerică. Apoi, trebuie să trasați această linie foarte numerică pentru vizualizare, pe care în viitor veți amâna toate valorile obținute.
Aproape totul se poate face acum pe internet. Modulul nu face excepție de la regulă. O puteți rezolva online folosind una dintre numeroasele resurse moderne. Toate acele valori ale variabilei care se află în modulul zero vor fi o constrângere specială care va fi utilizată în procesul de rezolvare a ecuației modulare. În ecuația originală, este necesar să extindeți toate parantezele modulare disponibile, schimbând în același timp semnul expresiei, astfel încât valorile variabilei dorite să coincidă cu acele valori care pot fi văzute pe linia numerică. Ecuația rezultată trebuie rezolvată. Valoarea variabilei care va fi obținută în cursul rezolvării ecuației trebuie verificată pentru constrângerea stabilită de modul în sine. Dacă valoarea variabilei satisface pe deplin condiția, atunci este corectă. Toate rădăcinile care vor fi obținute în timpul soluției ecuației, dar care nu se vor potrivi cu constrângerile, trebuie eliminate.
Unul dintre cele mai dificile subiecte pentru studenți este rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă sub semnul modulului. Să ne dăm seama pentru început, cu ce este legat acest lucru? De ce, de exemplu, ecuațiile pătratice fac majoritatea copiilor clic ca nucile, dar având un concept atât de departe de complicat ca un modul, are atât de multe probleme?
În opinia mea, toate aceste dificultăți sunt asociate cu lipsa unor reguli clar formulate pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Deci, hotărând ecuație pătratică, elevul știe sigur că trebuie să aplice mai întâi formula discriminantă, apoi formula pentru rădăcinile ecuației pătratice. Dar dacă există un modul în ecuație? Vom încerca să descriem clar planul de acțiune necesar pentru cazul în care ecuația conține o necunoscută sub semnul modulului. Iată câteva exemple pentru fiecare caz.
Dar mai întâi, să ne amintim definirea modulului... Deci, modulul numărului a acest număr în sine se numește dacă a non-negativ și -Adacă numărul a sub zero. Îl poți scrie astfel:
| a | \u003d a dacă a ≥ 0 și | a | \u003d -a dacă a< 0
Vorbind despre simțul geometric al modulului, trebuie amintit că fiecare număr real corespunde unui anumit punct de pe axa numerică - k-ul său 
coordona. Deci, modulul sau valoarea absolută a unui număr este distanța de la acest punct la originea axei numerice. Distanța este întotdeauna specificată ca număr pozitiv. Astfel, valoarea absolută a oricărui număr negativ este un număr pozitiv. Apropo, chiar și în această etapă, mulți studenți încep să se confunde. Orice număr poate fi în modul, dar rezultatul aplicării modulului este întotdeauna un număr pozitiv.
Acum să mergem direct la rezolvarea ecuațiilor.
1. Luați în considerare o ecuație a formei | x | \u003d c, unde c este un număr real. Această ecuație poate fi rezolvată folosind definiția modulului.
Împărțim toate numerele reale în trei grupuri: cele care sunt mai mari decât zero, cele care sunt mai mici decât zero, iar al treilea grup este numărul 0. Să scriem soluția sub forma unei diagrame:
(± c dacă c\u003e 0
Dacă | x | \u003d c, atunci x \u003d (0, dacă c \u003d 0
(fără rădăcini dacă cu< 0
1) | x | \u003d 5, pentru că 5\u003e 0, apoi x \u003d ± 5;
2) | x | \u003d -5, pentru că -cinci< 0, то уравнение не имеет корней;
3) | x | \u003d 0, apoi x \u003d 0.
2. O ecuație a formei | f (x) | \u003d b, unde b\u003e 0. Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să scăpați de modul. O facem astfel: f (x) \u003d b sau f (x) \u003d -b. Acum este necesar să rezolvați separat fiecare ecuație obținută. Dacă în ecuația originală b< 0, решений не будет.
1) | x + 2 | \u003d 4, pentru că 4\u003e 0, apoi
x + 2 \u003d 4 sau x + 2 \u003d -4
2) | x 2 - 5 | \u003d 11, pentru că 11\u003e 0, apoi
x 2 - 5 \u003d 11 sau x 2 - 5 \u003d -11
x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6
x \u003d ± 4 fără rădăcini
3) | x 2 - 5x | \u003d -8, pentru că -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. O ecuație a formei | f (x) | \u003d g (x). În sensul modulului, o astfel de ecuație va avea soluții dacă partea sa dreaptă este mai mare sau egală cu zero, adică g (x) ≥ 0. Atunci vom avea:
f (x) \u003d g (x)sau f (x) \u003d -g (x).
1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Această ecuație va avea rădăcini dacă 5x - 10 ≥ 0. Aici începe soluția unor astfel de ecuații.
1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0
2. Soluție:
2x - 1 \u003d 5x - 10 sau 2x - 1 \u003d - (5x - 10)
3. Unim ODZ. iar soluția este:
Rădăcina x \u003d 11/7 nu se potrivește conform O.D.Z., este mai mică de 2 și x \u003d 3 îndeplinește această condiție.
Răspuns: x \u003d 3
2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.
1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Să rezolvăm această inegalitate prin metoda intervalelor:
(1 - x) (1 + x) ≥ 0
2. Soluție:
x - 1 \u003d 1 - x 2 sau x - 1 \u003d - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0
x \u003d -2 sau x \u003d 1 x \u003d 0 sau x \u003d 1
3. Combinăm soluția și ODZ:
Doar rădăcinile x \u003d 1 și x \u003d 0 sunt potrivite.
Răspuns: x \u003d 0, x \u003d 1.
4. O ecuație a formei | f (x) | \u003d | g (x) |. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două ecuații f (x) \u003d g (x) sau f (x) \u003d -g (x).
1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Această ecuație este echivalentă cu următoarele două:
x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 sau x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5
x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0
x \u003d 3 sau x \u003d 4 x \u003d 2 sau x \u003d 1
Răspuns: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.
5. Ecuații rezolvate prin metoda substituției (substituție variabilă). Această metodă de soluție este mai ușor de explicat cu un exemplu specific. Deci, să se dea o ecuație pătratică cu un modul:
x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Prin proprietatea modulului x 2 \u003d | x | 2, deci ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:
| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Să înlocuim | x | \u003d t ≥ 0, atunci vom avea:
t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem că t \u003d 1 sau t \u003d 5. Să revenim la înlocuire:
| x | \u003d 1 sau | x | \u003d 5
x \u003d ± 1 x \u003d ± 5
Răspuns: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.
Să vedem un alt exemplu:
x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Prin proprietatea modulului x 2 \u003d | x | 2, prin urmare
| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Să facem înlocuirea | x | \u003d t ≥ 0, apoi:
t 2 + t - 2 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, obținem t \u003d -2 sau t \u003d 1. Să revenim la înlocuire:
| x | \u003d -2 sau | x | \u003d 1
Fără rădăcini x \u003d ± 1
Răspuns: x \u003d -1, x \u003d 1.
6. Un alt tip de ecuații - ecuații cu un modul „complex”. Aceste ecuații includ ecuații care au „module într-un modul”. Ecuațiile de acest fel pot fi rezolvate folosind proprietățile modulului.
1) | 3 - | x || \u003d 4. Vom proceda în același mod ca și în ecuațiile de al doilea tip. pentru că 4\u003e 0, atunci obținem două ecuații:
3 - | x | \u003d 4 sau 3 - | x | \u003d -4.
Acum exprimăm modulul x în fiecare ecuație, apoi | x | \u003d -1 sau | x | \u003d 7.
Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile obținute. Nu există rădăcini în prima ecuație, deoarece -1< 0, а во втором x = ±7.
Răspunsul este x \u003d -7, x \u003d 7.
2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Rezolvăm această ecuație în același mod:
3 + | x + 1 | \u003d 5 sau 3 + | x + 1 | \u003d -5
| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8
x + 1 \u003d 2 sau x + 1 \u003d -2. Fără rădăcini.
Răspuns: x \u003d -3, x \u003d 1.
Există, de asemenea, o metodă universală pentru rezolvarea ecuațiilor cu un modul. Aceasta este metoda de spațiere. Dar o vom lua în considerare mai târziu.
site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
Termenul (modul) tradus literal din latină înseamnă „măsură”. Acest concept a fost introdus în matematică de savantul englez R. Cotes. Și matematicianul german K. Weierstrass a introdus semnul modulului - simbolul care denotă acest concept atunci când scrie.
În contact cu
Pentru prima dată, acest concept este studiat în matematică în programa școlii secundare din clasa a VI-a. Conform unei definiții, modulul este valoarea absolută a unui număr real. Cu alte cuvinte, pentru a afla valoarea absolută a unui număr real, trebuie să aruncați semnul acestuia.
Valoare absolută grafic și notat ca | a |.
Principala caracteristică distinctivă a acestui concept este că este întotdeauna o cantitate non-negativă.
Numerele care diferă între ele numai în semn sunt numite opuse. Dacă valoarea este pozitivă, atunci opusul său va fi negativ, iar zero este opusul ei înșiși.
Semnificație geometrică
Dacă luăm în considerare conceptul de modul din punctul de vedere al geometriei, atunci acesta va indica distanța, care se măsoară în segmente unitare de la origine la set point... Această definiție relevă pe deplin semnificația geometrică a termenului studiat.
Aceasta poate fi exprimată grafic după cum urmează: | a | \u003d OA.
Proprietăți de magnitudine absolută
Mai jos vom lua în considerare toate proprietățile matematice ale acestui concept și metodele de scriere sub forma expresiilor literale:
Caracteristicile rezolvării ecuațiilor cu un modul
Dacă vorbim despre rezolvarea ecuațiilor matematice și a inegalităților care conțin modul, atunci trebuie să vă amintiți că pentru a le rezolva trebuie să deschideți acest semn.
De exemplu, dacă semnul unei valori absolute conține o anumită expresie matematică, atunci înainte de a deschide modulul, este necesar să se ia în considerare definițiile matematice actuale.
| A + 5 | \u003d A + 5dacă, A este mai mare sau egal cu zero.
5-Adacă și valoarea este mai mică decât zero.
În unele cazuri, semnul poate fi extins fără echivoc pentru orice valori ale variabilei.
Să luăm un alt exemplu. Să construim o linie de coordonate pe care să marcăm toate valorile numerice a căror valoare absolută va fi 5.
Mai întâi, trebuie să trasați o linie de coordonate, să marcați originea pe ea și să setați dimensiunea segmentului de unitate. În plus, linia trebuie să aibă o direcție. Acum, pe această linie dreaptă, este necesar să aplicați marcaje, care vor fi egale cu dimensiunea segmentului de unitate.
Astfel, putem vedea că pe această linie de coordonate vor exista două puncte de interes pentru noi cu valori de 5 și -5.
Unitatea unui număr este ușor de găsit, iar teoria din spatele acestuia este importantă atunci când rezolvă probleme.
Proprietățile și regulile de dezvăluire utilizate la rezolvarea exercițiilor și la examene vor fi utile școlarilor și elevilor. Câștigați bani cu cunoștințele dvs. la https://teachs.ru!
Ce este un modul în matematică
Modulul unui număr descrie distanța pe o linie numerică de la zero la un punct, indiferent de direcția în care punctul se află de la zero. Notatie matematica : | x |.
Cu alte cuvinte, este valoarea absolută a numărului. Definiția dovedește că valoarea nu este niciodată negativă.
Proprietățile modulului
Este important să rețineți următoarele proprietăți:
Modul de număr complex
Valoarea absolută a unui număr complex este lungimea unui segment direcționat trasat de la începutul planului complex până la punctul (a, b).
Această linie direcțională este, de asemenea, un vector care reprezintă un număr complex a + bi, deci valoarea absolută a unui număr complex este aceeași cu magnitudinea (sau lungimea) vectorului care reprezintă a + bi.
Cum se rezolvă ecuațiile cu un modul
O ecuație cu modul este o egalitate care conține o expresie de valoare absolută. Dacă, pentru un număr real, reprezintă distanța sa față de originea de pe linia numerică, atunci inegalitățile modulo sunt un tip de inegalitate care constă din valori absolute.
Ecuații de tip | x | \u003d a
Ecuația | x | \u003d a are două răspunsuri x \u003d a și x \u003d –adeoarece ambele opțiuni sunt situate pe linia de coordonate la o distanță de la 0.
Egalitatea cu valoarea absolută nu are nicio soluție dacă valoarea este negativă.
Dacă | x |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
Ecuații de tip | x | \u003d | y |
Atunci când există valori absolute de ambele părți ale ecuațiilor, trebuie să luați în considerare ambele posibilități pentru definiții acceptabile - expresii pozitive și negative.
De exemplu, pentru egalitatea | x - a | \u003d | x + b | există două opțiuni: (x - a) \u003d - (x + b) sau (x - a) \u003d (x + b).
Ecuații precum | x | \u003d y
Ecuațiile de acest fel conțin valoarea absolută a expresiei cu o variabilă la stânga zero și o altă necunoscută la dreapta. Variabila y poate fi mai mare sau mai mică decât zero.
Pentru a obține un răspuns în această egalitate, trebuie să rezolvați un sistem de mai multe ecuații, în care trebuie să vă asigurați că y este o valoare non-negativă:
Rezolvarea inegalităților cu modul
Pentru a înțelege mai bine cum să extindeți modulul în diferite tipuri de egalități și inegalități, trebuie să analizați exemple.
Ecuațiile formei | x | \u003d a
Exemplul 1 (algebra gradul 6). Rezolvați: | x | + 2 \u003d 4.
Decizie.
Astfel de ecuații sunt rezolvate în același mod ca egalitățile fără valori absolute. Aceasta înseamnă că mutând necunoscutele spre stânga și constantele spre dreapta, expresia nu se schimbă.
După ce am mutat constanta spre dreapta, am obținut: | x | \u003d 2.
Deoarece necunoscutele sunt legate de valoarea absolută, această egalitate are două răspunsuri: 2 și −2 .
Răspuns: 2 și −2 .
Exemplul 2(algebra gradul 7). Rezolvați inegalitatea | x + 2 | ≥ 1.
Decizie.
Primul lucru de făcut este să găsiți punctele în care se schimbă valoarea absolută. Pentru a face acest lucru, expresia echivalează cu 0 ... Primit: x \u003d –2.
Înseamnă că –2 - Punct de cotitură.
Să împărțim intervalul în 2 părți:
- pentru x + 2 ≥ 0
[−1; + ∞).
- pentru x + 2< 0
Răspunsul comun pentru aceste două inegalități este intervalul (−∞; –3].
Decizia finala – combinând răspunsurile părților individuale:
x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
Răspuns: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .
Ecuațiile formei | x | \u003d | y |
Exemplul 1 (algebra nota 8). Rezolvați ecuația cu două module: 2 * | x \u200b\u200b- 1 | + 3 \u003d 9 - | x - 1 |.
Decizie:
Răspuns: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d − 1.
Exemplul 2 (algebra nota 8). Rezolva inegalitatea:
Decizie:
Ecuațiile formei | x | \u003d y
Exemplul 1 (algebra nota 10). Găsiți x:
Decizie:
Este foarte important să verificați partea dreaptă, altfel puteți scrie rădăcini eronate ca răspuns. Din sistem puteți vedea ceea ce nu se află în decalaj.
Răspuns: x \u003d 0.
Modulul sumă
Modul de diferență
Valoarea absolută a diferenței dintre două numere x iar y este egal cu distanța dintre punctele cu coordonate X și Da pe linia de coordonate.
Exemplul 1.
Exemplul 2.
Modulul numărului negativ
Pentru a găsi valoarea absolută a unui număr mai mic decât zero, trebuie să știți cât de departe este de zero. Deoarece distanța este întotdeauna pozitivă (este imposibil să parcurgeți pași „negativi”, ei sunt doar pași în cealaltă direcție), rezultatul este întotdeauna pozitiv. Adică,
Pur și simplu, valoarea absolută a unui număr negativ are sensul opus.
Modul zero
Proprietate cunoscută:
De aceea nu se poate spune că valoarea absolută este un număr pozitiv: zero nu este nici negativ, nici pozitiv.
Modul pătrat
Modulul pătrat este întotdeauna egal cu expresia pătrată:
Exemple de grafice cu un modul
Adesea în teste și examene există sarcini care pot fi rezolvate numai prin analiza graficelor. Să luăm în considerare astfel de sarcini.
Exemplul 1.
O funcție f (x) \u003d | x | este dată. Este necesar să se construiască un grafic de la - 3 la 3 cu un pas de 1.
Decizie:
Explicaţie: figura arată că graficul este simetric față de axa Y.
Exemplul 2... Este necesar să se deseneze și să se compare graficele funcțiilor f (x) \u003d | x - 2 | și g (x) \u003d | x | –2.
Decizie:
Explicație: O constantă din interiorul unei valori absolute deplasează întregul grafic spre dreapta dacă valoarea sa este negativă și spre stânga dacă este pozitivă. Dar constanta din exterior va muta graficul în sus dacă valoarea este pozitivă și în jos dacă este negativă (cum ar fi - 2 în funcțiune g (x)).
Coordonată de vârf x (punctul în care se conectează două linii, partea de sus a graficului) este numărul prin care graficul este deplasat la stânga sau la dreapta. Și coordonata y Este valoarea cu care graficul se deplasează în sus sau în jos.
Puteți construi astfel de grafice utilizând aplicații de reprezentare online. Cu ajutorul lor, puteți vedea vizual modul în care constantele afectează funcțiile.
Metoda de intervale în sarcini cu un modul
Metoda de spațiere este una dintre cele mai bune modalități de a găsi răspunsul în problemele modulului, mai ales dacă există mai multe în expresie.
Pentru a utiliza metoda, trebuie să faceți următoarele:
- Setați fiecare expresie la zero.
- Găsiți valorile variabilelor.
- Aplicați pe linia numerică punctele obținute la pasul 2.
- Determinați semnul expresiilor (valoare negativă sau pozitivă) în intervale și desenați simbolul - sau respectiv +. Cel mai simplu mod de a determina semnul este utilizarea metodei de substituție (înlocuind orice valoare din interval).
- Rezolvați inegalitățile cu semnele rezultate.
Exemplul 1... Rezolvați prin metoda intervalelor.
Decizie:
