Indiferent dacă este împărțit la. Poți împărți la zero? Răspunsuri matematicieni. Când a apărut zero

"Nu poți împărți la zero!" - majoritatea școlarilor memorează această regulă fără a pune întrebări. Toți copiii știu ce „nu este permis” și ce se va întâmpla dacă, ca răspuns la el, întreabă: „De ce?” Dar, de fapt, este foarte interesant și important să știm de ce este imposibil.

Ideea este că cele patru operații ale aritmeticii - adunare, scădere, multiplicare și împărțire - sunt de fapt inegale. Matematicienii recunosc doar două dintre ele ca fiind complete - adunarea și multiplicarea. Aceste operații și proprietățile lor sunt incluse în chiar definiția conceptului de număr. Toate celelalte acțiuni sunt construite într-un fel sau altul din aceste două.

Luați în considerare scăderea, de exemplu. Ce înseamnă 5 - 3? Elevul va răspunde la acest lucru simplu: trebuie să luați cinci obiecte, să le luați (să le scoateți) trei și să vedeți câte rămân. Dar matematicienii privesc această problemă într-un mod complet diferit. Nu există scădere, există doar adunare. Prin urmare, scrierea 5 - 3 înseamnă un număr care, adăugat la numărul 3, dă numărul 5. Adică, 5 - 3 este doar o notație prescurtată a ecuației: x + 3 \u003d 5. Nu există scădere în această ecuație. Există doar o sarcină - să găsiți un număr potrivit.

Același lucru este cazul înmulțirii și împărțirii. Notația 8: 4 poate fi înțeleasă ca rezultatul împărțirii a opt elemente în patru grămezi egale. Dar, în realitate, aceasta este doar o formă de stenografie a ecuației 4 x \u003d 8.

Aici devine clar de ce este imposibil (sau mai degrabă imposibil) împărțirea la zero. Notarea 5: 0 este o abreviere pentru 0 x \u003d 5. Adică, această sarcină este de a găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu 0, dă 5. Dar știm că atunci când este înmulțit cu 0, veți obține întotdeauna 0. Aceasta este o proprietate inerentă a zero, strict vorbind, parte a definiției sale.

Nu există un astfel de număr care, atunci când este înmulțit cu 0, va da altceva decât zero. Adică sarcina noastră nu are nicio soluție. (Da, acest lucru se întâmplă, nu fiecare problemă are o soluție.) Aceasta înseamnă că notația 5: 0 nu corespunde unui număr specific și pur și simplu nu înseamnă nimic și, prin urmare, nu are sens. Sensul acestei înregistrări este exprimat pe scurt, spunând că nu puteți împărți la zero.

Cei mai atenți cititori din acest loc vor întreba cu siguranță: se poate împărți zero la zero? Într-adevăr, ecuația 0 x \u003d 0 este rezolvată cu succes. De exemplu, puteți lua x \u003d 0, apoi obținem 0 0 \u003d 0. Deci, 0: 0 \u003d 0? Dar să nu ne grăbim. Să încercăm să luăm x \u003d 1. Obținem 0 1 \u003d 0. Nu? Deci 0: 0 \u003d 1? Dar puteți lua orice număr în acest fel și puteți obține 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317 etc.

Dar dacă orice număr este potrivit, atunci nu avem niciun motiv să optăm pentru vreunul dintre ele. Adică, nu putem spune la ce număr corespunde înregistrarea 0: 0. Și dacă da, atunci trebuie să recunoaștem că și această înregistrare nu are sens. Se pare că nici zero nu poate fi împărțit la zero. (În analiza matematică, există cazuri în care, datorită condițiilor suplimentare ale problemei, poate fi preferată una dintre soluțiile posibile la ecuația 0 x \u003d 0; în astfel de cazuri, matematicienii vorbesc despre „dezvăluirea incertitudinii”, dar în aritmetică astfel de cazuri nu apar.)

Aceasta este particularitatea operației de divizare. Mai exact, operația de multiplicare și numărul asociat au zero.

Ei bine, și cel mai meticulos, după ce a citit până aici, s-ar putea întreba: de ce este imposibil să împărțiți la zero, dar puteți scădea zero? Într-un sens, de aici începe matematica reală. Puteți răspunde la acesta numai după ce ați făcut cunoștință cu definițiile matematice formale ale seturilor numerice și operațiunilor pe ele. Nu este atât de dificil, dar din anumite motive nu este predat la școală. Dar la prelegerile despre matematică de la universitate, tu, în primul rând, vei fi învățat exact acest lucru.

Înapoi la școală, profesorii au încercat să pună în cap cea mai simplă regulă: "Orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero!", - dar totuși există o mulțime de controverse în jurul lui. Cineva tocmai și-a amintit regula și nu se deranjează cu întrebarea „de ce?”. "Nu poți și gata, pentru că așa au spus la școală, o regulă este o regulă!" Cineva poate umple jumătate de caiet cu formule, dovedind această regulă sau, dimpotrivă, ilogica sa.

În contact cu

Cine are dreptate până la urmă

În timpul acestor dispute, ambii oameni care au puncte de vedere opuse se privesc ca un berbec și își dovedesc cu toată puterea inocența. Deși, dacă îi privești din lateral, nu poți vedea unul, ci doi berbeci care își așează coarnele unul împotriva celuilalt. Singura diferență dintre ele este că una este puțin mai educată decât cealaltă.

Cel mai adesea, cei care cred că această regulă este incorectă încearcă să invoce logica în acest fel:

Am două mere pe masă, dacă le pun zero mere, adică nu pun niciunul, atunci cele două mere ale mele nu vor dispărea de aici! Regula este ilogică!

Într-adevăr, merele nu vor dispărea nicăieri, dar nu pentru că regula este ilogică, ci pentru că aici se folosește o ecuație ușor diferită: 2 + 0 \u003d 2. Deci, aruncăm o astfel de concluzie imediat - este ilogică, deși are scopul opus - să apelăm la logică.

Ce este multiplicarea

Regula inițială a multiplicării a fost definit doar pentru numerele naturale: multiplicarea este un număr adăugat la sine de un anumit număr de ori, ceea ce implică faptul că numărul este natural. Astfel, orice număr cu multiplicare poate fi redus la această ecuație:

25 × 3 \u003d 75
25 + 25 + 25 = 75
25 × 3 \u003d 25 + 25 + 25

Concluzia rezultă din această ecuație, că multiplicarea este o adunare simplificată.

Ce este zero

Orice persoană din copilărie știe: zero este gol, În ciuda faptului că acest gol are o denumire, nu poartă nimic deloc. Savanții orientali antici au gândit diferit - au abordat problema filozofic și au trasat unele paralele între vid și infinit și au văzut un sens profund în acest număr. La urma urmei, zero, care are semnificația de gol, stând lângă orice număr natural, îl înmulțește de zece ori. De aici și toată controversa cu privire la înmulțire - acest număr poartă atât de multă incoerență încât devine dificil să nu vă confundați. În plus, zero este utilizat în mod constant pentru a defini locurile goale în fracții zecimale, acest lucru se face atât înainte, cât și după punctul zecimal.

Este posibil să se înmulțească prin gol

Puteți înmulți cu zero, dar este inutil, pentru că, orice ar spune cineva, dar chiar și atunci când înmulțiți numerele negative, veți obține în continuare zero. Este suficient doar să ne amintim de această regulă simplă și să nu mai punem niciodată această întrebare. De fapt, totul este mai simplu decât pare la prima vedere. Nu există înțelesuri și secrete ascunse, așa cum credeau oamenii de știință antici. Mai jos, se va da cea mai logică explicație că această multiplicare este inutilă, deoarece atunci când un număr este înmulțit cu acesta, se va obține același lucru - zero.

Revenind la început, la argumentul despre două mere, de 2 ori 0 arată astfel:

Dacă mănânci două mere de cinci ori, atunci mănânci 2 × 5 \u003d 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \u003d 10 mere
Dacă le mănânci de două trei ori, atunci se mănâncă 2 × 3 \u003d 2 + 2 + 2 \u003d 6 mere
Dacă mâncați două mere de zero ori, atunci nu se va mânca nimic - 2 × 0 \u003d 0 × 2 \u003d 0 + 0 \u003d 0

La urma urmei, a mânca un măr de 0 ori înseamnă a nu mânca unul singur. Chiar și cel mai mic copil va înțelege acest lucru. Orice s-ar spune - 0 va ieși, un doi sau trei poate fi înlocuit cu absolut orice număr și va ieși absolut același. Pentru a o spune simplu, atunci zero nu este nimicși când ai acolo nu este nimic, indiferent cât de mult înmulțiți, nu contează va fi zero... Nu există magie și nimic nu va face un măr, chiar dacă înmulțiți 0 cu un milion. Aceasta este cea mai simplă, mai ușor de înțeles și logică explicație a regulii înmulțirii cu zero. Pentru o persoană departe de toate formulele și matematica, o astfel de explicație va fi suficientă pentru ca disonanța din cap să se disipeze și totul să cadă la locul său.

Divizia

O altă regulă importantă rezultă din toate cele de mai sus:

Nu poți împărți la zero!

Această regulă a fost, de asemenea, încăpățânată ciocănită în capul nostru încă din copilărie. Știm doar că este imposibil și totul fără a ne umple capul cu informații inutile. Dacă vi se pune neașteptat întrebarea de ce este interzisă împărțirea la zero, atunci majoritatea va fi confuză și nu va putea răspunde clar la cea mai simplă întrebare din programa școlară, deoarece nu există atât de multe controverse și contradicții în jurul acestei reguli.

Toată lumea a memorat regula și nu s-a împărțit la zero, nebănuind că răspunsul se află la suprafață. Adunarea, înmulțirea, împărțirea și scăderea sunt inegale, doar înmulțirea și adunarea sunt complete din cele de mai sus și toate celelalte manipulări cu numere sunt construite din ele. Adică, scrierea 10: 2 este o abreviere a ecuației 2 * x \u003d 10. Deci, scrierea 10: 0 este aceeași abreviere de la 0 * x \u003d 10. Se pare că împărțirea la zero este sarcina de a găsi un număr, înmulțindu-l cu 0, obțineți 10 Și deja ne-am dat seama că un astfel de număr nu există, ceea ce înseamnă că această ecuație nu are nicio soluție și va fi incorectă a priori.

Lasa-ma sa iti spun

Să nu împărțiți la 0!

Tăiați 1 după cum doriți, pe lungime,

Doar nu împărțiți la 0!

Evgeny SHIRYAEV, lector și șef al laboratorului de matematică al Muzeului Politehnicii, a spus „AiF” despre împărțirea la zero:

1. Jurisdicția problemei

De acord, interdicția dă o provocare specială regulii. Cum este imposibil? Cine a interzis-o? Dar drepturile noastre civile?

Nici constituția, nici Codul penal, nici chiar statutele școlii dvs. nu fac obiectul acțiunii intelectuale care ne interesează. Aceasta înseamnă că interdicția nu are forță juridică și nimic nu împiedică chiar aici, pe paginile „AiF”, să încerce să împartă ceva la zero. De exemplu, o mie.

2. Împărțiți așa cum ați învățat

Amintiți-vă, când ați învățat cum să împărțiți, primele exemple au fost rezolvate cu testul înmulțirii: rezultatul înmulțit cu divizorul trebuia să coincidă cu dividendul. Nu s-a potrivit - nu s-a decis.

Exemplul 1. 1000: 0 =...

Să uităm de regula interzisă un minut și să facem câteva încercări de a ghici răspunsul.

Verificările nevalide se vor întrerupe. Parcurgeți opțiunile: 100, 1, −23, 17, 0, 10.000. Pentru fiecare dintre ele, verificarea va da același rezultat:

100 0 \u003d 1 0 \u003d - 23 0 \u003d 17 0 \u003d 0 0 \u003d 10 000 0 \u003d 0

Zero prin multiplicare transformă totul în sine și niciodată într-o mie. Concluzia nu este dificil de formulat: niciun număr nu va trece testul. Adică, niciun număr nu poate fi rezultatul împărțirii unui număr diferit de zero la zero. O astfel de diviziune nu este interzisă, dar pur și simplu nu are rezultate.

3. Nuanță

Aproape am ratat o ocazie de a respinge interdicția. Da, admitem că un număr diferit de zero nu poate fi divizibil cu 0. Dar poate 0 în sine poate?

Exemplul 2. 0: 0 = ...

Sugestiile dvs. pentru un privat? o sută? Vă rugăm: coeficientul de 100 de ori divizorul 0 este egal cu dividendul 0.

Mai multe opțiuni! unu? Se potrivește, de asemenea. Și -23, și 17, și toate-toate-toate. În acest exemplu, testul va fi pozitiv pentru orice număr. Și, pentru a fi sincer, soluția din acest exemplu ar trebui numită nu un număr, ci un set de numere. Toata lumea. Și nu este mult să ajungem la un acord până la punctul în care Alice nu este Alice, ci Mary Ann și amândouă sunt visul unui iepure.

4. Dar matematica superioară?

Problema a fost rezolvată, nuanțele au fost luate în considerare, punctele au fost plasate, totul a devenit clar - răspunsul pentru exemplul cu împărțirea la zero nu poate fi un singur număr. Rezolvarea unor astfel de probleme este o sarcină imposibilă și fără speranță. Ceea ce înseamnă ... interesant! Ia doua.

Exemplul 3. Aflați cum să împărțiți 1000 la 0.

În nici un caz. Dar 1000 pot fi ușor împărțite la alte numere. Ei bine, să facem cel puțin ceea ce obținem, chiar dacă schimbăm sarcina. Și acolo, vedeți, ne vom lăsa purtați și răspunsul va apărea de la sine. Uităm de zero pentru un minut și împărțim la o sută:

O sută este departe de zero. Să facem un pas spre aceasta prin scăderea divizorului:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamică evidentă: cu cât divizorul este mai aproape de zero, cu atât este mai mare coeficientul. Tendința poate fi observată în continuare, trecând la fracții și continuând să scadă numeratorul:

Rămâne de menționat faptul că ne putem apropia de zero cât de aproape ne place, făcând coeficientul arbitrar mare.

În acest proces, nu există zero și nici ultimul coeficient. Am desemnat mișcarea către ei, înlocuind numărul cu o secvență care converge la numărul de interes pentru noi:

Aceasta implică o înlocuire similară a dividendului:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Săgețile nu sunt în zadar puse pe două fețe: unele secvențe pot converge la numere. Apoi putem atribui secvența limitei sale numerice.

Să ne uităm la secvența de coeficienți:

Crește la nesfârșit, fără a depune eforturi pentru orice număr și pentru a depăși vreunul. Matematicienii adaugă simbolul numerelor ∞ pentru a putea pune o săgeată cu două capete lângă o astfel de secvență:

Compararea numărului de secvențe cu o limită ne permite să propunem o soluție la al treilea exemplu:

Împărțind o secvență care converge la 1000 printr-o secvență de numere pozitive care converg la 0 elementar, obținem o secvență care converge la ∞.

5. Și iată o nuanță cu două zerouri

Care va fi rezultatul împărțirii a două secvențe de numere pozitive care converg la zero? Dacă sunt la fel, atunci sunt aceeași unitate. Dacă secvența dividendului converge la zero mai repede, atunci în coeficient este o secvență cu o limită zero. Și când elementele divizorului scad mult mai repede decât cel al dividendului, succesiunea coeficienților va crește puternic:

Situație incertă. Și așa se numește: incertitudinea speciei 0/0 ... Când matematicienii văd secvențe care sunt potrivite pentru o astfel de incertitudine, nu se grăbesc să împartă două numere identice între ele, ci își dau seama care dintre secvențe rulează mai rapid la zero și cât de exact. Și fiecare exemplu va avea propriul răspuns specific!

6. În viață

Legea lui Ohm raportează puterea curentului, tensiunea și rezistența într-un circuit. Este adesea scris în această formă:

Să ignorăm înțelegerea fizică exactă și să privim în mod formal partea dreaptă ca un coeficient de două numere. Imaginați-vă că rezolvăm o problemă de electricitate la școală. Condiția oferă tensiune în volți și rezistență în ohmi. Întrebarea este evidentă, o soluție într-un singur pas.

Acum să ne uităm la definiția superconductivității: aceasta este proprietatea unor metale de a avea rezistență electrică zero.

Ei bine, hai să rezolvăm problema circuitului supraconductor? Doar înlocuiți R \u003d0 nu va funcționa, fizica ridică o problemă interesantă, în spatele căreia, evident, există o descoperire științifică. Iar oamenii care au reușit să se împartă la zero în această situație au primit Premiul Nobel. Este util să poți ocoli orice interdicții!

Și iată o altă afirmație interesantă. "Nu poți împărți la zero!" - majoritatea școlarilor memorează această regulă fără a pune întrebări. Toți copiii știu ce „nu este permis” și ce se va întâmpla dacă ca răspuns la el întreabă: „De ce?”. Iată ce se va întâmpla dacă

Dar, de fapt, este foarte interesant și important să știm de ce este imposibil.

Același lucru este cazul înmulțirii și împărțirii. Notația 8: 4 poate fi înțeleasă ca rezultatul împărțirii a opt elemente în patru grămezi egale. Dar, în realitate, este doar o formă prescurtată a ecuației 4 x \u003d 8.

Aici devine clar de ce este imposibil (sau mai degrabă imposibil) împărțirea la zero. Notarea 5: 0 este o abreviere pentru 0 x \u003d 5. Adică, această sarcină este de a găsi un număr care, atunci când este multiplicat cu 0, dă 5. Dar știm că atunci când este înmulțit cu 0, veți obține întotdeauna 0. Aceasta este o proprietate inerentă a zero, strict vorbind , parte a definiției sale.

Un număr care, înmulțit cu 0, va da altceva decât zero, pur și simplu nu există. Adică sarcina noastră nu are nicio soluție. (Da, acest lucru se întâmplă, nu fiecare problemă are o soluție.) Aceasta înseamnă că notația 5: 0 nu corespunde unui număr specific și pur și simplu nu înseamnă nimic și, prin urmare, nu are sens. Sensul acestei înregistrări este exprimat pe scurt, spunând că nu puteți împărți la zero.

Cei mai atenți cititori din acest loc vor întreba cu siguranță: se poate împărți zero la zero? Într-adevăr, ecuația 0 x \u003d 0 poate fi rezolvată cu succes. De exemplu, putem lua x \u003d 0 și apoi obținem 0 · 0 \u003d 0. Se dovedește că 0: 0 \u003d 0? Dar să nu ne grăbim. Să încercăm să luăm x \u003d 1. Obținem 0 · 1 \u003d 0. Nu? Deci 0: 0 \u003d 1? Dar puteți lua orice număr în acest fel și puteți obține 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317 etc.

Dar dacă orice număr este potrivit, atunci nu avem niciun motiv să optăm pentru unul dintre ele. Adică, nu putem spune la ce număr corespunde intrarea 0: 0. Și dacă este așa, atunci trebuie să recunoaștem că nici această intrare nu are sens. Se pare că nici zero nu poate fi împărțit la zero. (În analiza matematică, există cazuri când, datorită condițiilor suplimentare ale problemei, poate fi preferată una dintre soluțiile posibile la ecuația 0 · x \u003d 0; în astfel de cazuri, matematicienii vorbesc despre „dezvăluirea incertitudinii”, dar în aritmetică astfel de cazuri nu apar.)

Aceasta este particularitatea operației de divizare. Mai exact, operația de multiplicare și numărul asociat au zero.

Numărul 0 poate fi gândit ca un fel de graniță care separă lumea numerelor reale de cele imaginare sau negative. Datorită poziției ambigue, multe operații cu această valoare numerică nu se supun logicii matematice. Imposibilitatea divizării cu zero este un prim exemplu în acest sens. Și operațiile aritmetice permise cu zero pot fi efectuate folosind definiții general acceptate.

Poveste zero

Zero este punctul de referință în toate sistemele standard de calcul. Europenii au început să folosească acest număr relativ recent, dar înțelepții din India antică au folosit zero cu o mie de ani înainte ca numărul gol să fie folosit în mod regulat de matematicienii europeni. Chiar înainte de indieni, zero era o valoare obligatorie în sistemul numeric maya. Acest popor american a folosit sistemul duodecimal al numărului și a început cu un zero în prima zi a fiecărei luni. Interesant este că semnul Maya pentru „zero” era exact același cu semnul pentru „infinit”. Astfel, vechii Maya au concluzionat că aceste valori erau identice și incognoscibile.

Operații matematice cu zero

Operațiile matematice standard cu zero pot fi reduse la câteva reguli.

Adăugare: dacă adăugați zero la un număr arbitrar, atunci acesta nu își va schimba valoarea (0 + x \u003d x).

Scădere: când scădem zero din orice număr, valoarea scăzută rămâne neschimbată (x-0 \u003d x).

Înmulțire: orice număr înmulțit cu 0 dă 0 în produs (a * 0 \u003d 0).

Diviziunea: zero poate fi împărțit la orice număr diferit de zero. În acest caz, valoarea unei astfel de fracțiuni va fi 0. Și împărțirea la zero este interzisă.

Exponențierea. Această acțiune poate fi efectuată cu orice număr. Un număr arbitrar ridicat la puterea zero va da 1 (x 0 \u003d 1).

Zero la orice putere este 0 (0 a \u003d 0).

În acest caz, apare imediat o contradicție: expresia 0 0 nu are sens.

Paradoxurile matematicii

Mulți oameni știu că împărțirea la zero este imposibilă de la școală. Dar, dintr-un anumit motiv, nu este posibil să se explice motivul unei astfel de interdicții. Într-adevăr, de ce nu există formula diviziunii cu zero, dar alte acțiuni cu acest număr sunt destul de rezonabile și posibile? Răspunsul la această întrebare este dat de matematicieni.

Lucrul este că operațiunile aritmetice obișnuite pe care elevii le învață în clasele elementare, de fapt, sunt departe de a fi la fel de egale pe cât credem. Toate operațiile simple cu numere pot fi reduse la două: adunare și multiplicare. Aceste acțiuni sunt esența însăși a conceptului de număr, iar restul operațiunilor se bazează pe utilizarea acestor două.

Adunare și multiplicare

Să luăm un exemplu standard de scădere: 10-2 \u003d 8. La școală, este considerat simplu: dacă două sunt luate de la zece subiecți, rămân opt. Dar matematicienii privesc această operație într-un mod complet diferit. La urma urmei, o astfel de operație ca scăderea nu există pentru ei. Acest exemplu poate fi scris într-un alt mod: x + 2 \u003d 10. Pentru matematicieni, diferența necunoscută este pur și simplu un număr care trebuie adăugat la doi pentru a face opt. Și nu este necesară nicio scădere aici, trebuie doar să găsiți o valoare numerică adecvată.

Înmulțirea și divizarea sunt tratate în același mod. În exemplul 12: 4 \u003d 3, puteți înțelege că vorbim despre împărțirea a opt obiecte în două grămezi egale. Dar, în realitate, este doar o formulă inversată pentru scrierea 3x4 \u003d 12 și există exemple nesfârșite de diviziune.

Împărțire prin 0 exemple

Aici devine puțin clar de ce nu poți împărți la zero. Înmulțirea și împărțirea cu zero respectă propriile reguli. Toate exemplele de împărțire a acestei mărimi pot fi formulate ca 6: 0 \u003d x. Dar aceasta este notația inversată a expresiei 6 * x \u003d 0. Dar, după cum știți, orice număr înmulțit cu 0 dă în produs doar 0. Această proprietate este inerentă chiar în conceptul de valoare zero.

Se pare că un astfel de număr care, atunci când este înmulțit cu 0, dă o anumită valoare tangibilă, nu există, adică această problemă nu are nicio soluție. Nu trebuie să vă fie frică de un astfel de răspuns, este un răspuns firesc pentru probleme de acest tip. Doar că 6-0 nu are niciun sens și nu poate explica nimic. Pe scurt, această expresie poate fi explicată prin nemurirea „diviziunea cu zero este imposibilă”.

Există o operație 0: 0? Într-adevăr, dacă operațiunea de înmulțire cu 0 este legală, zero poate fi împărțit la zero? La urma urmei, o ecuație de forma 0x 5 \u003d 0 este complet legală. În loc de numărul 5, puteți pune 0, produsul nu se va schimba de la acesta.

Într-adevăr, 0x0 \u003d 0. Dar tot nu poți împărți la 0. După cum sa spus, diviziunea este pur și simplu inversul înmulțirii. Astfel, dacă în exemplul 0x5 \u003d 0, trebuie să determinați al doilea factor, obținem 0x0 \u003d 5. Sau 10. Sau infinit. Împărțirea infinitului la zero - cum îți place?

Dar dacă un număr se încadrează în expresie, atunci nu are sens, nu putem alege unul dintre setul infinit de numere. Și dacă da, înseamnă că expresia 0: 0 nu are sens. Se pare că nici zero în sine nu poate fi împărțit la zero.

Matematică superioară

Împărțirea la zero este o durere de cap pentru matematica școlară. Analiza matematică studiată în universitățile tehnice extinde ușor conceptul de probleme care nu au soluție. De exemplu, la expresia deja cunoscută 0: 0, se adaugă altele noi care nu au nicio soluție la cursurile școlare de matematică:

infinit împărțit la infinit:?:?;
infinit minus infinit: ???;
unul ridicat la o putere infinită: 1? ;
timpi infiniti 0 :? * 0;
unele altele.

Este imposibil să se rezolve astfel de expresii prin metode elementare. Dar matematica superioară, datorită posibilităților suplimentare pentru o serie de exemple similare, oferă soluții finale. Acest lucru este evident mai ales în luarea în considerare a problemelor din teoria limitelor.

Dezvăluirea incertitudinii

În teoria limitelor, valoarea 0 este înlocuită de o variabilă infinitesimală condițională. Și expresiile în care împărțirea la zero este obținută atunci când valoarea dorită este substituită, sunt convertite. Mai jos este un exemplu standard de expansiune limită folosind transformări algebrice obișnuite:

După cum puteți vedea în exemplu, o simplă reducere a fracției duce valoarea acesteia la un răspuns complet rațional.

Atunci când se iau în considerare limitele funcțiilor trigonometrice, expresiile lor tind să fie reduse la prima limită remarcabilă. Când se iau în considerare limitele în care numitorul merge la 0 atunci când limita este substituită, se folosește o a doua limită remarcabilă.

Metoda lui Lopital

În unele cazuri, limitele expresiilor pot fi înlocuite cu limita derivatelor lor. Guillaume Lopital - matematician francez, fondator al școlii franceze de analiză matematică. El a demonstrat că limitele expresiilor sunt egale cu limitele derivatelor acestor expresii. În notația matematică, regula sa este următoarea.

În prezent, metoda L'Hôpital este utilizată cu succes pentru a rezolva incertitudini precum 0: 0 sau?:?.

Cum se împarte și se înmulțește cu 0,1; 0,01; 0,001 etc.?

Scrieți regulile pentru împărțire și multiplicare.

Pentru a înmulți un număr cu 0,1, trebuie doar să mutați virgula.

De exemplu, a fost 56 , a devenit 5,6 .

Pentru a împărți la același număr, trebuie să mutați virgula în direcția opusă:

De exemplu, a fost 56 , a devenit 560 .

Cu numărul 0.01, totul este la fel, dar trebuie să-l transferați cu 2 caractere, nu unul.

În general, la fel de multe zerouri, transferați la fel de mult.

De exemplu, există un număr 123456789.

Trebuie să-l înmulțiți cu 0,000000001

Există nouă zerouri în numărul 0.000000001 (zero la stânga virgulei este, de asemenea, numărat), deci schimbăm numărul 123456789 cu 9 cifre:

Era 123456789 acum 0.123456789.

Pentru a nu se înmulți, ci pentru a împărți la același număr, trecem la cealaltă parte:

Era 123456789 acum 123456789000000000.

Pentru a schimba un număr întreg în acest fel, pur și simplu atribuiți un zero. Și în fracționare mutăm virgula.

Împărțirea unui număr cu 0,1 este la fel ca înmulțirea acelui număr cu 10

Împărțirea unui număr cu 0,01 este la fel ca înmulțirea acelui număr cu 100

Împărțirea cu 0,001 se înmulțește cu 1000.

Pentru a face mai ușor de reținut - citim numărul cu care trebuie să împărțim de la dreapta la stânga, ignorând virgula și înmulțim cu numărul rezultat.

Exemplu: 50: 0,0001. Este de 50 de ori (citește de la dreapta la stânga fără virgulă - 10000) 10000. Asta este 500000.

Este la fel cu multiplicarea, exact opusul:

400 x 0,01 este același cu împărțirea a 400 la (citit de la dreapta la stânga fără virgulă - 100) 100: 400: 100 \u003d 4.

Cine este mai convenabil să transfere virgule la dreapta atunci când se împarte și la stânga când se înmulțește atunci când se înmulțește și se împarte cu astfel de numere, puteți face acest lucru.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Împărțire cu zecimal

I. Pentru a împărți un număr cu o fracție zecimală, trebuie să mutați virgulele din dividend și divizor cu câte cifre la dreapta sunt după punctul zecimal din divizor și apoi împărțiți cu un număr natural.

Hai sa luamry.

Efectuați divizarea: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Decizie.

Exemplu 1) 16,38: 0,7.

În divizor 0,7 există o cifră după virgulă, prin urmare, mutați virgulele din dividend și divizor cu o cifră spre dreapta.

Atunci va trebui să ne despărțim 163,8 pe 7 .

Să împărțim prin regula împărțirii unei fracții zecimale la un număr natural.

Împărțiți după cum se divid numerele naturale. Cum să demolăm o cifră 8 - prima cifră după punctul zecimal (adică cifra de pe locul zecea), deci imediat pune o virgulă privată și continuați să vă împărțiți.

Răspuns: 23.4.

Exemplu 2) 15,6: 0,15.

Avem virgulă în dividend ( 15,6 ) și divizor ( 0,15 ) două cifre la dreapta, deoarece în divizor 0,15 există două cifre după punctul zecimal.

Amintiți-vă că oricâte zerouri doriți pot fi atribuite zecimalei din dreapta și acest lucru nu va schimba zecimalul.

15,6:0,15=1560:15.

Efectuăm împărțirea numerelor naturale.

Răspuns: 104.

Exemplu 3) 3,114: 4,5.

Mutați virgulele din dividend și divizor cu o cifră la dreapta și împărțiți 31,14 pe 45 conform regulii împărțirii unei fracții zecimale la un număr natural.

3,114:4,5=31,14:45.

În privat, punem o virgulă imediat ce demolăm o cifră 1 pe locul zece. Apoi continuăm să ne împărțim.

Pentru a finaliza divizarea, a trebuit să atribuim zero la număr 9 - diferența de numere 414 și 405 . (știm că zero poate fi atribuit la dreapta la fracția zecimală)

Răspuns: 0,692.

Exemplu 4) 53,84: 0,1.

Mutați virgulele în dividend și divizor cu 1 cifră la dreapta.

Primim: 538,4:1=538,4.

Să analizăm egalitatea: 53,84:0,1=538,4. Acordați atenție virgulei din dividend în acest exemplu și virgula din coeficientul rezultat. Rețineți că virgula din dividend a fost mutată în 1 cifră la dreapta, de parcă ne-am înmulți 53,84 pe 10. (Urmăriți videoclipul „Înmulțirea unei zecimale cu 10, 100, 1000 etc.”) De unde regula pentru împărțirea unei zecimale la 0,1; 0,01; 0,001 etc.

II. Pentru a împărți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 și așa mai departe, trebuie să mutați virgula spre dreapta cu 1, 2, 3 etc. cifre. (Împărțirea unei fracții zecimale cu 0,1; 0,01; 0,001 etc. echivalează cu înmulțirea acelei fracții zecimale cu 10, 100, 1000 etc.)

Exemple.

Efectuați divizarea: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Decizie.

Exemplu 1) 617,35: 0,1.

Conform regulii II împărțire prin 0,1 echivalează cu înmulțirea cu 10 , și mutați virgula în dividend 1 cifră la dreapta:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Exemplu 2) 0,235: 0,01.

Împărțire după 0,01 echivalează cu înmulțirea cu 100 , ceea ce înseamnă că virgula din dividend este transferată pe 2 cifre la dreapta:

2) 0,235:0,01=23,5.

Exemplu 3) 2,7845: 0,001.

La fel de împărțire prin 0,001 echivalează cu înmulțirea cu 1000 , apoi mutați virgula 3 cifre la dreapta:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Exemplu 4) 26,397: 0,0001.

Împarte zecimalul la 0,0001 - parcă îl înmulțești cu 10000 (poartă virgula 4 cifre la dreapta). Primim:

www.mathematics-repetition.com

Înmulțirea și împărțirea cu numere de forma 10, 100, 0,1, 0,01

Acest tutorial video este disponibil prin abonament

Aveți deja un abonament? A intra

Această lecție va discuta despre cum se efectuează înmulțirea și împărțirea cu numere de forma 10, 100, 0,1, 0,001. Diferite exemple pe această temă vor fi, de asemenea, rezolvate.

Înmulțiți numerele cu 10, 100

Un exercitiu. Cum se înmulțește 25,78 cu 10?

Notația zecimală pentru acest număr este o notație prescurtată pentru sumă. Este necesar să-l pictați mai detaliat:

Astfel, trebuie să înmulțiți suma. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu înmulți fiecare termen:

Se pare că.

Putem concluziona că înmulțirea unei fracții zecimale cu 10 este foarte simplă: trebuie să schimbați virgula spre dreapta cu o poziție.

Un exercitiu. Înmulțiți 25,486 cu 100.

Înmulțirea cu 100 este la fel ca înmulțirea de două ori cu 10. Cu alte cuvinte, trebuie să mutați virgula spre dreapta de două ori:

Împărțirea numerelor cu 10, 100

Un exercitiu. Împărțiți 25,78 la 10.

Ca și în cazul precedent, este necesar să se prezinte numărul 25,78 ca sumă:

Deoarece trebuie să împărțiți suma, aceasta este echivalentă cu împărțirea fiecărui termen:

Se pare că pentru a împărți la 10, trebuie să mutați virgula în poziția stângă. De exemplu:

Un exercitiu. Împarte 124.478 la 100.

Împărțirea la 100 este aceeași cu împărțirea la 10 de două ori, astfel încât virgula este deplasată la stânga 2 poziții:

Regula înmulțirii și împărțirii cu 10, 100, 1000

Dacă fracția zecimală trebuie să fie înmulțită cu 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să schimbați virgula spre dreapta cu câte poziții există zerouri în factor.

În schimb, dacă fracția zecimală trebuie împărțită la 10, 100, 1000 și așa mai departe, trebuie să schimbați virgula spre stânga cu câte poziții există zerouri în factor.

Exemple când este necesar să schimbați virgula, dar nu mai sunt numere

Înmulțirea cu 100 înseamnă schimbarea virgulei două locuri la dreapta.

După schimbare, puteți constata că nu există numere după punctul zecimal, ceea ce înseamnă că partea fracțională lipsește. Atunci virgula nu este necesară, numărul este un număr întreg.

Trebuie să schimbați 4 poziții spre dreapta. Dar există doar două cifre după punctul zecimal. Merită să ne amintim că există o notație echivalentă pentru fracțiunea 56.14.

Acum, înmulțirea cu 10.000 este ușoară:

Dacă nu este foarte clar de ce puteți adăuga două zerouri la fracția din exemplul anterior, atunci videoclipul suplimentar de pe link vă poate ajuta.

Notare zecimală echivalentă

Mențiunea 52 înseamnă următoarele:

Dacă puneți 0 în față, obțineți intrarea 052. Aceste intrări sunt echivalente.

Poți pune două zerouri în față? Da, aceste intrări sunt echivalente.

Acum să ne uităm la fracția zecimală:

Dacă atribuiți zero, se dovedește:

Aceste intrări sunt echivalente. În mod similar, puteți atribui mai multe zerouri.

Astfel, oricărui număr i se pot atribui mai multe zerouri după partea fracționată și mai multe zerouri înaintea părții întregi. Acestea vor fi intrări echivalente pentru același număr.

Deoarece apare divizarea la 100, este necesar să deplasați virgula 2 poziții spre stânga. Nu mai există numere din virgulă. Întreaga parte lipsește. Această notație este adesea utilizată de programatori. În matematică, dacă nu există o parte întreagă, atunci ei pun zero în locul ei.

Trebuie să vă deplasați la stânga cu trei poziții, dar există doar două poziții. Dacă scrieți mai multe zerouri în fața numărului, atunci aceasta va fi o înregistrare echivalentă.

Adică, când vă deplasați spre stânga, dacă numerele se epuizează, trebuie să le completați cu zerouri.

În acest caz, amintiți-vă că virgula vine întotdeauna după întreaga parte. Atunci:

Înmulțirea și divizarea cu 0,1, 0,01, 0,001

Înmulțirea și împărțirea cu numerele 10, 100, 1000 este o procedură foarte simplă. Situația este exact aceeași cu numerele 0,1, 0,01, 0,001.

Exemplu... Înmulțiți 25,34 cu 0,1.

Să scriem fracția zecimală 0,1 ca una obișnuită. Dar înmulțirea cu este la fel cu împărțirea la 10. Prin urmare, trebuie să schimbați poziția virgulei 1 la stânga:

În mod similar, înmulțirea cu 0,01 se împarte la 100:

Exemplu. 5,235 împărțit la 0,1.

Soluția la acest exemplu este construită într-un mod similar: 0,1 este exprimat ca o fracție obișnuită, iar împărțirea la este la fel cu înmulțirea cu 10:

Adică, pentru a împărți la 0,1, trebuie să mutați virgula în poziția corectă, ceea ce echivalează cu înmulțirea cu 10.

Regula înmulțirii și împărțirii cu 0,1, 0,01, 0,001

Înmulțirea cu 10 și împărțirea la 0,1 sunt același lucru. Virgula trebuie deplasată spre dreapta cu 1 poziție.

Împărțiți cu 10 și multiplicați cu 0,1 sunt același lucru. Virgula trebuie deplasată spre dreapta cu 1 poziție:

Exemple de soluții

Concluzie

În această lecție au fost studiate regulile de împărțire și înmulțire cu 10, 100 și 1000. În plus, au fost luate în considerare regulile înmulțirii și împărțirii cu 0,1, 0,01, 0,001.

Exemple privind aplicarea acestor reguli au fost revizuite și rezolvate.

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya. Matematică: manual. pentru 5 cl. general uchr. Ediția a XVII-a. - M.: Mnemosina, 2005.

2. Shevkin A.V. Probleme de cuvinte în matematică: 5-6. - M.: Ileksa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Toată matematica școlii în lucrări independente și test. Matematică 5-6. - M.: Ileksa, 2006.

4. Khlevnyuk NN, Ivanova MV. Formarea abilităților de calcul în lecțiile de matematică. 5-9 clase. - M.: Ileksa, 2011 .

1. Portal de internet „Festivalul ideilor pedagogice” (sursă)

2. Portalul de internet „Matematika-na.ru” (Sursa)

3. Portalul de internet „School.xvatit.com” (sursă)

Teme pentru acasă

3. Comparați valorile expresiilor:

Acțiuni cu zero

În matematică, numărul zero ocupă un loc special. Faptul este că, de fapt, înseamnă „nimic”, „vid”, dar sensul său este cu adevărat dificil de supraestimat. Pentru a face acest lucru, este suficient să ne amintim cel puțin cu ce anume marca zeroși începe să numere coordonatele poziției punctului în orice sistem de coordonate.

Zero Este utilizat pe scară largă în fracțiile zecimale pentru a defini valorile cifrelor „goale” situate atât înainte, cât și după punctul zecimal. În plus, este cu el că se asociază una dintre regulile fundamentale ale aritmeticii, care afirmă că pe zero nu poate fi divizat. Logica sa, de fapt, provine din însăși esența acestui număr: într-adevăr, este imposibil să ne imaginăm că o anumită semnificație diferită de aceasta (și și ea însăși) a fost împărțită în „nimic”.

DIN zero toate operațiunile aritmetice sunt efectuate, iar ca „parteneri” ai acestora în ele pot fi utilizate numere întregi, fracții ordinare și zecimale, și toate pot avea atât valori pozitive, cât și negative. Iată exemple de implementare a acestora și câteva explicații pentru acestea.

Când adăugați zgârietură la un anumit număr (atât integral, cât și fracționat, atât pozitiv cât și negativ) valoarea sa rămâne absolut neschimbată.

Douăzeci și patru de plus zero este egal cu douăzeci și patru.

Șaptesprezece puncte trei optimi plus zero este egal cu șaptesprezece puncte trei optimi.

Forme de declarații fiscale Vă aducem la cunoștință formularele de declarații pentru toate tipurile de impozite și taxe: 1. Impozit pe venit. Atenție, din 10.02.2014, raportul privind impozitul pe venit se depune conform noilor mostre de declarații aprobate prin ordin al Ministerului Veniturilor nr. 872 din 30.12.2013.1. 1. Declarație fiscală pentru impozitul pe [...]
Suma pătrată Regula diferenței pătrate Scop: Obținerea de formule pentru pătratul sumei și diferenței expresiilor. Rezultate așteptate: învățați să utilizați formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței. Tipul lecției: lecție cu enunțul problemei I. Comunicarea subiectului și scopul lecției II. Lucrați la tema lecției Când multiplicați [...]
Care este diferența dintre privatizarea unui apartament cu copii minori și privatizarea fără copii? Caracteristicile participării lor, documente Orice tranzacții imobiliare necesită o atenție deosebită a participanților. Mai ales dacă intenționați să privatizați un apartament cu copii minori. Pentru ca acesta să fie recunoscut ca valid și [...]
Mărimea taxei de stat pentru un pașaport vechi pentru un copil sub 14 ani și unde să-l plătească. Contactarea organelor de stat pentru a primi orice serviciu este întotdeauna însoțită de plata unei taxe de stat. Pentru a obține un pașaport străin, trebuie să plătiți și o taxă federală. Cât de mare este dimensiunea [...]
Cum se completează un formular de cerere pentru înlocuirea unui pașaport la 45 de ani Pașapoartele rușilor trebuie înlocuite la atingerea vârstei - 20 sau 45 de ani. Pentru a primi un serviciu public, trebuie să depuneți o cerere în forma stabilită, să atașați documentele necesare și să plătiți pentru stat [...]
Cum și unde să emite o donație pentru o acțiune într-un apartament Mulți cetățeni se confruntă cu o procedură legală precum donația de bunuri imobile în proprietate comună. Există destul de multe informații despre cum să emiteți corect o donație pentru o acțiune într-un apartament și nu este întotdeauna de încredere. Inainte sa incepi, [...]