Înregistrări etichetate „produs punctat de vectori”. Produsul de puncte al vectorilor Testul produsului de 6 puncte al vectorilor
Acest test poate fi utilizat în clasa de control intermediar, generalizator sau final al cunoștințelor elevilor. Pentru ca testul să funcționeze corect, trebuie să setați un nivel scăzut de securitate (service-macro-securitate)
Descarca:
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați-vă un cont Google (cont) și conectați-vă la acesta: https://accounts.google.com
Subtitrări de diapozitive:
Opțiunea 1 Opțiunea 2 Am folosit un șablon pentru crearea testelor în PowerPoint MCOU „Școala secundară Pogorelskaya” MM Koscheev
Rezultatul testului Corect: 14 Erori: 0 Marcaj: 5 Timp: 3 min. 29 sec. încă remediază
Opțiunea 1 b) 360 ° a) 180 ° c) 246 ° d) 274 ° e) 454 °
Opțiunea 1 c) 22 a) -22 b) 0 d) 8 e) 1
Opțiunea 1 e) 5 d) 0 a) 7
Opțiunea 1 b) contondent e) nu există, deoarece originile lor nu coincid c) 0 ° d) acut a) drept
Opțiunea 1 b) 10,5 e) pentru nu a) -10,5
Opțiunea 1 a) -10,5 b) 10,5 e) în niciun caz
Opțiunea 1 e) 0 b) este imposibil să se determine a) -6 d) 4 c) 6
Opțiunea 1 b) 28 e) imposibil de determinat a) 70 d) -45,5 c) 91
Opțiunea 1 9. Cele două laturi ale triunghiului sunt 16 și 5, iar unghiul dintre ele este de 120 °. Care dintre intervalele specificate aparține celei de-a treia lungimi laterale? d) e) (19; 31] a) (0; 7] b) (7; 11] c) a) (0; 7] b) (7; 11] d)
Opțiunea 1 13. Raza cercului circumscris în jurul triunghiului ABC este 0,5. Găsiți raportul dintre sinusul unghiului B și lungimea laturii AC. e) 1 c) 1, 3 a) 0,5 d) 2
Opțiunea 1 14. Într-un triunghi ABC, lungimile laturilor BC și AB sunt 5 și respectiv 7 și
Opțiunea 2 c) 360 ° a) 180 ° b) 246 ° d) 274 ° e) 454 °
Opțiunea 2 e) 22 a) -22 b) 0 d) 8 c) 4
Opțiunea 2 a) 10 d) 17 e) 15
Opțiunea 2 c) este egală cu 0 ° e) nu există, deoarece originile lor nu coincid c) contondent d) acut a) drept
Opțiunea 2 b) 10,5 e) pentru nu a) -10,5
Opțiunea 2 a) - 10,5 e) pentru nu c) 10,5
Opțiunea 2 d) 0 b) este imposibil să se determine a) -6 e) 4 c) 6
Opțiunea 2 a) 70 e) imposibil de determinat b) 28 d) -45,5 c) 91
Opțiunea 2 9. Cele două laturi ale triunghiului sunt 12 și 7, iar unghiul dintre ele este de 60 °. Care dintre intervalele specificate aparține celei de-a treia lungimi laterale? e) (7; 11) d) (19; 31] a) (0; 7] b) c) e) (19; 31] c)
Opțiunea 2 13. Raza cercului circumscris în jurul triunghiului ABC este egală cu 2. Găsiți raportul dintre sinusul unghiului B și lungimea laturii AC. a) 0,25 c) 1, 3 e) 1 d) 2
Opțiunea 2 14. Într-un triunghi ABC, lungimile laturilor AC și AB sunt 9 și respectiv 7 și
Cheile testului: „Dot produs de vectori. Teoremele triunghiului ”. Opțiunea 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Repl. b c e b c a e b d a c c e d 2 opțiunea 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Otv. c d a c d b d a d d c a a d Literatura L.I. Zvavich, E, V. Potoskuev Testele de geometrie Gradul 9 la manualul L.S. Atanasyan et al. M .: Editura „Exam” 2013 - 128 p.
2. Simplificați ecuația înmulțind ambele părți cu 7. Obținem 7y 2 -9y + 2 \u003d 0. Prin teorema lui Vieta, suma rădăcinilor ecuației pătratice ax 2 + bx + c \u003d 0 este –b / a. Mijloace:
3. În total 880 de pasageri. Dintre aceștia, 35% sunt bărbați, ceea ce înseamnă femei și copii 100% -35% \u003d 65%. Găsiți 65% din 880. Pentru a găsi procentajul numărului, trebuie să convertiți procentajul în zecimal și să înmulțiți cu numărul dat.
65% \u003d 0,65; înmulțim 880 cu 0,65, obținem 572. Atât de multe femei și copii, iar 75% dintre ele sunt femei, restul de 25% din 572 sunt copii. Găsiți din nou procentajul numărului. 25% din 572. Transformăm 25% într-o fracție zecimală (va fi 0,25) și înmulțim cu 572. Considerăm: 572 · 0,25 \u003d 143. Aceștia sunt copii. Femei: 572-143 \u003d 429 .
Este mai scurt?
25% este un sfert de 100%, prin urmare, motivăm astfel: împărțim 572 la 4, obținem 143 (este mai ușor să împărțiți cu 4 decât să înmulțiți cu 0,25) - aceștia sunt copii și 75% dintre femei sunt trei sferturi, prin urmare, 143 se înmulțește cu 3 și obținem 429.
4. Prin condiție, alcătuim inegalitatea:
11x + 3<5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:
11x-5x<-6-3; приводим подобные слагаемые:
6x<-9; делим обе части неравенства на 6:
x<-1,5. Ответ: E).
5. Scriem 990 ° ca 2 · 360 ° + 270 °. Atunci cos 990 °\u003d cos (2 360 ° + 270 °) \u003d cos 270 ° \u003d 0.
6. Să aplicăm formula pentru rezolvarea celei mai simple ecuații tg t \u003d a.
t \u003d arctan a + πn, nєZ. Avem t \u003d 4x.
7. Avem: primul termen al progresiei aritmetice a 1 \u003d 25... Diferența progresiei aritmetice d\u003d a 2 -a 1 \u003d 30-25 =5. Să aplicăm formula pentru a găsi suma primei n membri ai progresiei aritmetice și ne substituie valorile în ea a 1 \u003d 25, d \u003d 5 și n \u003d 22, deoarece este necesar să se găsească suma 22 membrii progresiei.
8. Graficul acestei funcții pătratice y \u003d x 2 -x-6 servește ca o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar vârful parabolei se află în punctul O '(m; n)... Acesta este cel mai mic punct al graficului, prin urmare, cea mai mică valoare a acestuia n funcția va avea la x \u003d m \u003d -b / (2a) \u003d 1/2. Răspuns: D).
9. Într-un triunghi isoscel, laturile sunt egale între ele. Notăm baza prin x... Atunci fiecare parte va fi egală cu (x + 3)... Știind că perimetrul unui triunghi este 15,6 cm, compuneți ecuația:
x + (x + 3) + (x + 3) \u003d 15,6;
3x \u003d 9,6 → x \u003d 3,2 Este baza triunghiului și fiecare parte va fi 3,2 + 3 \u003d 6,2 ... Răspuns: laturile triunghiului sunt egale 6,2 cm; 6,2 cm vs 3,2 cm.
10. Totul este clar cu prima inegalitate a sistemului. Rezolvăm a doua inegalitate prin metoda intervalelor. Pentru a face acest lucru, găsim rădăcinile trinomului pătrat 4x 2 + 5x-6 și extindeți-l în factori liniari.
11. În dreapta, prin identitatea logaritmică principală, obținem 7 ... Omiterea bazelor gradelor (7) pe partea stângă și dreaptă a egalității. Rămâne: x 2 \u003d 1, de aici x \u003d ± 1. Răspuns: C).
12. Să pătrăm ambele părți ale egalității. Aplicând formulele pentru logaritmul gradului și logaritmul produsului, obținem o ecuație pătratică în raport cu logaritmul numărului 5 prin rațiune x... Să introducem variabila la, rezolvăm ecuația pătratică în raport cu la și înapoi la variabilă x... Găsiți valorile x și analizează răspunsurile.
13. Sarcină: rezolvați sistemul. Nu vom decide - vom face un control. Să substituim răspunsurile propuse în a doua ecuație a sistemului, deoarece este mai simplu: x + y \u003d 35... Dintre toate perechile de soluții propuse pentru sistem, numai răspunsul este potrivit D).
8+27=35 și 27+8=35 ... Nu merită să înlocuiți aceste perechi în prima ecuație a sistemului, dar dacă încă unul dintre răspunsuri ar ajunge la a doua ecuație, atunci ar trebui să faceți o înlocuire în prima egalitate a sistemului.
14. Domeniul funcției este setul de valori ale argumentelor x, pentru care partea dreaptă a egalității are sens. Deoarece rădăcina pătrată aritmetică poate fi extrasă doar dintr-un număr non-negativ, trebuie îndeplinită următoarea condiție: 6 + 2x≥0, rezultă că 2x≥-6 sau x≥-3. Deoarece numitorul fracției trebuie să fie diferit de zero, atunci scriem: x ≠ 5... Se pare că puteți lua toate numerele mai mari sau egale -3 dar nu egal 5 . Răspuns: [-3; 5) U (5; + ∞).
15. Pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un anumit segment, trebuie să găsiți valorile acestei funcții la capetele segmentului și în acele puncte critice care aparțin acestui segment, apoi selectați cel mai mare și cel mai mic dintre toate valorile obținute ale funcției.
16 ... Luați în considerare un cerc înscris într-un hexagon regulat și amintiți-vă cum este exprimată raza unui cerc înscris r peste latura unui hexagon obișnuit și... Găsiți raza, apoi partea și perimetrul hexagonului.
17 ... Deoarece toate marginile laterale ale piramidei sunt înclinate spre bază în același unghi, vârful piramidei este proiectat într-un punct DESPRE - intersecția diagonalelor dreptunghiului care se află la baza piramidei, deoarece punctul DESPRE trebuie să fie echidistant de toate vârfurile bazei piramidei.
Găsiți diagonala AC a dreptunghiului ABCD. AC2 \u003d AD2 + CD2;
AC 2 \u003d 32 2 +24 2 \u003d 1024 + 576 \u003d 1600 → AC \u003d 40cm. Apoi OS \u003d 20cm. Deoarece Δ \u200b\u200bMOS este dreptunghiular și isoscel (/ OSM \u003d 45 °), atunci MO \u003d OS \u003d 20cm. Să aplicăm formula pentru volumul piramidei, înlocuind valorile necesare.
18. Orice secțiune a unei sfere de către un plan este un cerc.
Fie cercul cu centrul în punctul O 1 și raza OA să fie perpendiculare pe raza mingii OB și să treacă prin mijlocul său O 1. Apoi, într-un triunghi unghiular AO 1 O hipotenuză OA \u003d 10 cm (raza mingii), piciorul OO 1 \u003d 5 cm. Prin teorema lui Pitagora О 1 А 2 \u003d ОА 2 -ОО 1 2. Prin urmare, O 1 A 2 \u003d 10 2 -5 2 \u003d 100-25 \u003d 75. Aria secțiunii transversale este aria cercului nostru, găsim prin formula S \u003d πr 2 \u003d π ∙ O 1 A 2 \u003d 75π cm 2.
19. Lasa a 1și a 2 - coordonatele necesare ale vectorului. Deoarece vectorii sunt reciproc perpendiculari, produsul lor punct este zero. Să notăm: 2a 1 + 7a 2 \u003d 0. Să exprimăm de la 1 la 2. Apoi a 1 \u003d -3,5a 2. Deoarece lungimile vectorilor sunt egale, avem egalitatea: a 1 2 + a 2 2 \u003d 2 2 +7 2... Înlocuiți în această egalitate valoarea a 1. Obținem: (3.5a 2) 2 + a 2 2 \u003d 4 + 49; simplifica: 12.25a 2 2 + a 2 2 \u003d 53;
13.25a 2 2 \u003d 53, deci un 2 2 \u003d 53: 13.25 \u003d 4. Rezultă două valori a 2 \u003d ± 2. Dacă a 2 \u003d -2, atunci a 1 \u003d -3,5 ∙ (-2) \u003d 7. Dacă a 2 \u003d 2, atunci a 1 \u003d -7. Coordonatele căutate (7; -2) sau (-7; 2) ... Răspuns: ÎN).
20. Să simplificăm numitorul fracției. Pentru a face acest lucru, deschidem parantezele și aducem fracțiile sub semnul rădăcină la un numitor comun.
21. Să aducem expresia între paranteze la un numitor comun. Împărțirea este înlocuită de înmulțirea cu inversul divizorului. Aplicăm formulele pentru pătratul diferenței dintre două expresii și diferența dintre pătratele a două expresii. Să reducem fracția.
22. Pentru a rezolva acest sistem de inegalități, trebuie să rezolvați fiecare inegalitate separat și să găsiți o soluție generală la cele două inegalități. Rezolvăm Primul inegalitate. Mutați toți termenii spre stânga, luați factorul comun în afara parantezei.
x 2 ∙ 4 x -4 x +1\u003e 0;
x 2 ∙ 4 x -4 x ∙ 4\u003e 0;
4 x (x 2 -4)\u003e 0. Deoarece funcția exponențială pentru orice indicator ia doar valori pozitive, atunci 4 x\u003e 0, prin urmare, x 2 -4\u003e 0.
(x-2) (x + 2)\u003e 0.
Rezolvăm Al 2-lea inegalitate.
Reprezentați laturile stânga și dreapta ca grade cu baza 2.
2 - x ≥2 3. Deoarece funcția exponențială cu o bază mai mare decât una, crește cu R, omitem bazele, păstrând semnul inegalității.
X≥3 → x≤-3.
Găsim o soluție generală.
Răspuns: (-∞; -3].
23. Conform formulei de turnare, cosinusul este transformat în sinus 3x... După reducerea termenilor similari și împărțirea ambelor părți ale inegalității la 2 , obținem cea mai simplă inegalitate a formei: sin t\u003e a... Găsim soluția la această inegalitate prin formula:
arcsin a + 2πn
24. Să simplificăm această funcție. Prin teorema lui Vieta, găsim rădăcinile trinomului pătrat x 2 -x-6 (x 1 \u003d -2 , x 2 \u003d 3 ), extindem numitorul fracției în factori liniari (x-3) (x + 2) și anulați fracția cu (x-3)... Găsiți antiderivativul H (x) funcția rezultată 1 / (x + 2).
25. Deci vor juca 126 de jucători 63 jocuri, dintre care 63 de participanți se vor califica drept câștigători în runda a doua. În total, 63 + 1 \u003d 64 de participanți vor lupta în runda a doua. Vor juca 32 jocuri, deci încă 32 de câștigători care vor juca 16 jocuri. Vor juca 16 câștigători 8 jocuri, vor juca 8 câștigători 4 jocuri. Cei patru câștigători vor juca 2 jocuri și, în cele din urmă, cei doi câștigători vor trebui să joace ultimul joc... Numărăm meciuri: 63+32+16+8+4+2+1=126.
Opțiunea 1.
Opțiunea 2.
e) Este acest unghi acut, drept sau obtuz (justifică răspunsul)?
Opțiunea 1.
1. Date punctele A (1; 3), B (4; 7), C (-1; -1), D (7; 5), Q (x; 3)
a) Găsiți coordonatele vectorilor AB și CD.
b) Găsiți lungimile vectorilor AB și CD.
c) Găsiți produsul punct al vectorilor AB și CD.
d) Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii AB și CD.
e) Este acest unghi acut, drept sau obtuz (justifică răspunsul)?
f) La ce valoare a x sunt perpendiculari vectorii CB și DQ?
2. Într-un triunghi isoscel ABC, unghiul B este drept, AC \u003d 2√2, BD este mediana triunghiului. Calculați produsele punct ale vectorilor BD AC, BD BC, BD BD.
Opțiunea 2.
1. Dat punctele M (2; 3), P (-2; 0), O (0; 0), K (-5; -12), R (4; y).
a) Găsiți coordonatele vectorilor МР și OK.
b) Găsiți lungimile vectorilor МР și ОК.
c) Găsiți produsul punct al vectorilor МР și OK.
d) Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii МР și OK.
e) Este acest unghi acut, drept sau obtuz (justifică răspunsul)?
f) La ce valoare a y sunt perpendiculari vectorii RK și MR?
2. Într-un triunghi echilateral МНР НК - bisectoare, МН \u003d 2. Calculați produsele scalare ale vectorilor НК МР, НК НР, РМ РМ
Opțiunea 1.
1. Date punctele A (1; 3), B (4; 7), C (-1; -1), D (7; 5), Q (x; 3)
a) Găsiți coordonatele vectorilor AB și CD.
b) Găsiți lungimile vectorilor AB și CD.
c) Găsiți produsul punct al vectorilor AB și CD.
d) Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii AB și CD.
e) Este acest unghi acut, drept sau obtuz (justifică răspunsul)?
f) La ce valoare a x sunt perpendiculari vectorii CB și DQ?
2. Într-un triunghi isoscel ABC, unghiul B este drept, AC \u003d 2√2, BD este mediana triunghiului. Calculați produsele punct ale vectorilor BD AC, BD BC, BD BD.
Opțiunea 2.
1. Dat punctele M (2; 3), P (-2; 0), O (0; 0), K (-5; -12), R (4; y).
a) Găsiți coordonatele vectorilor МР și OK.
b) Găsiți lungimile vectorilor МР și ОК.
c) Găsiți produsul punct al vectorilor МР și OK.
d) Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii МР și OK.
e) Este acest unghi acut, drept sau obtuz (justifică răspunsul)?
f) La ce valoare a y sunt perpendiculari vectorii RK și MR?
2. Într-un triunghi echilateral МНР НК - bisectoare, МН \u003d 2. Calculați produsele scalare ale vectorilor НК МР, НК НР, РМ РМ
Produs dot a b doi vectori diferiți de zero a și b este un număr egal cu produsul lungimilor acestor vectori de cosinusul unghiului dintre ei. Dacă cel puțin unul dintre acești vectori este egal cu zero, produsul scalar este egal cu zero. Astfel, prin definiție, avem
unde este unghiul dintre vectori a și b .
Produsul dot al vectorilor a , b indicat și prin simboluri ab .
Semnul produsului punct este determinat de valoarea :
dacă 0 
atunci a
b
0,
dacă 
, atunci a
b
0.
Produsul punct este definit doar pentru doi vectori.
Operații pe vectori în formă de coordonate
Lăsați să intre în sistemul de coordonate Oohvectori datori a = (x 1 ; y 1) = x 1 eu + y 1 j și b = (x 2 ; y 2) = x 2 eu + y 2 j .
1. Fiecare coordonată a sumei a doi (sau mai mulți) vectori este egală cu suma coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor-sumandi, adică a + b = = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2).
2. Fiecare coordonată a diferenței dintre doi vectori este egală cu diferența coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori, adică a – b = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2).
3. Fiecare coordonată a produsului unui vector și un număr este egală cu produsul coordonatei corespunzătoare a acestui vector cu , adică și = ( x 1 ; la 1).
4. Produsul scalar a doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori, adică. a b = x 1 x 2 + + y 1 y 2 .
Consecinţă. Lungimea vectorului și = (x; y) este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale, adică
=
(5)
Exemplul 4.
Date vectori 
b
= 3eu
– j
.
Necesar:
1. Găsiți 
2. Găsiți produsul punct al vectorilor din , d .
3. Găsiți lungimea vectorului din .
Decizie
1. Prin proprietatea 3, găsim coordonatele vectorilor 2 și , –și , 3b , 2b : 2și = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –și = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).
Prin proprietățile 2, 1, găsim coordonatele vectorilor din , d : din = 2a – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –a + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).
2. Prin proprietate 4 cD = –13 8 + 9 (–5) = –104 – 45 = –149.
3. Prin corolarul proprietății 4 |
din
|
=
=
.
Testul 3 . Determinați coordonatele vectoriale și + b , în cazul în care un și = (–3; 4), b = = (5; –2):
Testul 4. Determinați coordonatele vectoriale și – b , în cazul în care un și = (2; –1), b = = (3; –4):
Testul 5 . Găsiți coordonatele vectorului 3 și , în cazul în care un și = (2; –1):
Testul 6 . Găsiți un produs dot a , b vectori și = (1; –4), b = (–2; 3):
Testul 7 . Găsiți lungimea unui vector și = (–12; 5):
3) 
;
Răspunsuri la testarea sarcinilor
1.3. Elemente de geometrie analitică în spațiu
Un sistem de coordonate dreptunghiulare în spațiu constă din trei axe de coordonate reciproc perpendiculare, care se intersectează în același punct (origine 0) și au o direcție, precum și o unitate de scară de-a lungul fiecărei axe (Figura 17).
Figura 17
Poziția punctului M pe plan este determinată în mod unic de trei numere - coordonatele sale M(x t ; la t ; z t), Unde x t - abscisă, la t - ordonați, z t - aplicat.
Fiecare dintre ele oferă o distanță de la un punct M către unul dintre planurile de coordonate cu un semn care ține cont de ce parte a acestui plan se află punctul: dacă este luat în direcția direcției pozitive sau negative a celei de-a treia axe.
Trei planuri de coordonate împart spațiul în 8 părți (octanți).
Distanța dintre două puncte A(x ȘI ; la ȘI ; z ȘI) și B(x ÎN ; la ÎN ; z ÎN) se calculează prin formula
Puncte date A(x 1 ;
la 1 ;
z 1) și B(x 2 ;
la 2 ;
z 2). Apoi coordonatele punctului DIN(x;
la;
z) împărțirea segmentului 
în raport cu, sunt exprimate prin următoarele formule:
Exemplul 1 . Găsiți distanța AB, în cazul în care un ȘI(3; 2; –10) și ÎN(–1; 4; –5).
Decizie
Distanţă AB calculat prin formula
Setul tuturor punctelor ale căror coordonate satisfac ecuația cu trei variabile alcătuiesc o anumită suprafață.
Setul de puncte, ale căror coordonate satisfac două ecuații, constituie o anumită linie - linia de intersecție a celor două suprafețe corespunzătoare.
Orice ecuație de primul grad reprezintă un plan și, dimpotrivă, orice plan poate fi reprezentat prin ecuații de primul grad.
Opțiuni A, B, C sunt coordonatele vectorului normal perpendicular pe plan, adică n = (A; B; C).
Ecuația planului în segmentele tăiate pe axe: a - de-a lungul axei ОX,
b - de-a lungul axei OY,
din - de-a lungul axei ОZ:
Să se dea două planuri A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + + D 2 = 0.
Starea paralelismului planurilor: 
.
Condiția perpendicularității planurilor:
Unghiul dintre planuri este determinat de următoarea formulă:
.
Lăsați planul să treacă prin puncte M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3).
Atunci ecuația sa are forma:
Distanța de la punctul M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) la avion Topor + De + Cz + D \u003d 0 se găsește după formulă
.
Testul 1.
Avion 
trece prin punctul:
1) A(–1; 6; 3);
2) B(3; –2; –5);
3) C(0; 4; –1);
4) D(2; 0; 5).
Testul 2 . Ecuația planului ОXY ca urmare a:
1) z = 0;
2) x = 0;
3) y = 0.
Exemplul 2 . Scrieți ecuația planului paralel cu planul ОXY și trecând prin punctul (2; –5; 3).
Decizie
Deoarece planul este paralel cu planul ОXY, ecuația sa are forma Cz + D \u003d 0 (vector = (0; 0; DIN) OHDa).
Deoarece planul trece prin punctul (2; –5; 3), atunci C 3 + D \u003d 0 sau ca D = –3C.
Prin urmare, CZ – 3C \u003d 0. Întrucât DIN ≠ 0, apoi z – 3 = 0.
Răspuns: z – 3 = 0.
Testul 3 . Ecuația planului care trece prin origine și perpendicular pe vector (3; –1; –4) are forma:
1)
2)
3)
4)
Testul 4
.
Valoarea liniei tăiate de-a lungul axei OY avion 
este egal cu:
Exemplul 3 . Scrieți ecuația planului:
1. Plan paralel 
și trecând prin punct A(2;
0; –1).
2. Plan perpendicular 
și trecând prin punct B(0;
2; 0).
Decizie
Ecuațiile plane vor fi căutate în formă A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.
1. Deoarece planurile sunt paralele, atunci 
De aici A= 3t,B= –t,C= 2tUnde tR... Lasa t\u003d 1. Apoi A
= 3, B =
–1, C \u003d 2. Prin urmare, ecuația ia forma 
Coordonatele punctelor ȘIapartenența la plan transformă ecuația în adevărată egalitate. Prin urmare, 32 - 10 + 2 (–1) + D\u003d 0. De unde D= 4.
Răspuns: 
2. Deoarece planurile sunt perpendiculare, atunci 3 A – 1 B + 2 C = 0.
Deoarece există trei variabile, iar ecuația este una, cele două variabile iau valori arbitrare simultan, nu egale cu zero. Lasa A
= 1, B \u003d 3. Atunci C\u003d 0. Ecuația ia forma 
D= –6.
Răspuns: 
Testul 5 . Alegeți planul paralel cu planul x – 2y + 7z – 2 = 0:
1)
4)
Testul 6 . Alegeți planul perpendicular pe plan x– 2y+ + 6z– 2 = 0:
1)
4)
Testul 7 . Cosinusul unghiului dintre planuri 3 x + y – z - 1 \u003d 0 și x – 4y – – 5z + 3 \u003d 0 este determinat de formula:
1)
2)
3)
Testul 8 . Distanța de la punctul (3; 1; –1) la plan 3 x – y + 5z + 1 \u003d 0 este determinat de formula:
1)
2)
