Ang konsepto ng pagpapatuloy ng isang function. Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto at sa isang pagitan. Sa mga halimbawa Ano ang ibig sabihin ng pagpapatuloy ng isang function?
Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto
Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa ilang kapitbahayan O(x0) ng puntong x0 (kabilang ang mismong puntong x0).
Ang isang function na f(x) ay tinatawag na tuluy-tuloy sa isang puntong x0 kung mayroong limx → x0 f(x) na katumbas ng halaga ng function na f(x) sa puntong ito: lim
f(x) = f(x0), (1)
mga. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) Yu f(x) O O(f(x0)) .
Magkomento. Ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaaring isulat bilang: lim
mga. sa ilalim ng tanda ng isang tuluy-tuloy na pag-andar ay maaaring pumunta sa limitasyon.
Hayaan ang Δx = x − x0 ang pagdagdag ng argumento, Δy = f(x) − f(x0) ang katumbas na pagtaas ng function.
Kinakailangan at sapat na kondisyon para sa pagpapatuloy ng isang function sa isang punto
Ang function na y = f(x) ay tuloy-tuloy sa x0 kung at kung lamang
Magkomento. Ang kondisyon (2) ay maaaring bigyang kahulugan bilang pangalawang kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto. Ang parehong mga kahulugan ay katumbas.
Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa kalahating pagitan.
Ang isang function na f(x) ay sinasabing iiwang tuloy-tuloy sa x0 kung mayroong isang panig na limitasyon na lim
Continuity ng kabuuan, produkto at quotient ng dalawang tuluy-tuloy na function
Theorem 1. Kung ang mga function na f(x) at g(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x0, kung gayon ang f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) ay tuluy-tuloy dito punto
Pagpapatuloy ng isang kumplikadong function
Theorem 2. Kung ang function na u(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x0, at ang function na f(u) ay tuloy-tuloy sa katumbas na punto u0 = f(x0), kung gayon ang complex function na f(u(x)) ay tuluy-tuloy sa puntong x0.
Ang lahat ng elementarya ay tuluy-tuloy sa bawat punto ng kanilang mga domain ng kahulugan.
Mga lokal na katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar
Theorem 3 (boundedness ng isang tuluy-tuloy na function). Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa x0, kung gayon mayroong isang kapitbahayan O(x0) kung saan ang f(x) ay nakatali.
Ang patunay ay sumusunod mula sa pahayag tungkol sa boundedness ng isang function na may limitasyon.
Theorem 4 (katatagan ng tanda ng isang tuluy-tuloy na pag-andar). Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x0 at f(x0) ≠ 0, kung gayon mayroong isang neighborhood ng point x0 kung saan ang f(x) ≠ 0, at ang sign ng f(x) sa neighborhood na ito. kasabay ng tanda ng f(x0).
Pag-uuri ng mga break point
Ang kondisyon (1) para sa pagpapatuloy ng function na f(x) sa puntong x0 ay katumbas ng kundisyon f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)
kung saan f(x 0 − 0) = lim
f(x) at f(x0 + 0) = lim
f(x) - isang panig na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x0.
Kung ang kundisyon (3) ay nilabag, ang puntong x0 ay tinatawag na discontinuity point ng function na f(x). Depende sa uri ng paglabag sa kundisyon (3), ang mga break point ay may ibang katangian at inuri bilang sumusunod:
1. Kung sa puntong x0 mayroong isang panig na limitasyon f(x0 − 0), f (x0 + 0) at
f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), kung gayon ang puntong x0 ay tinatawag na removable discontinuity point ng function na f(x) (Fig. 1).
Magkomento. Sa puntong x0 ang function ay maaaring hindi matukoy.
2. Kung sa puntong x0 mayroong isang panig na limitasyon f(x0 − 0), f (x0 + 0) at
f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), kung gayon ang puntong x0 ay tinatawag na discontinuity point na may hangganang pagtalon ng function na f(x) (Fig. 2).
Magkomento. Sa discontinuity point na may finite jump, ang value ng function ay maaaring maging anuman, o maaaring hindi ito matukoy.
Ang mga punto ng naaalis na discontinuity at finite jump ay tinatawag na discontinuity point ng 1st kind. Ang kanilang natatanging tampok ay ang pagkakaroon ng may hangganang one-sided na limitasyon f(x0 − 0) at
3. Kung sa puntong x0 kahit isa sa mga one-sided na limitasyon f(x0 − 0), f (x0 + 0) ay katumbas ng infinity o wala, kung gayon 
x0 ay tinatawag na discontinuity point ng ika-2 uri (Fig. 3).
Kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon f(x0 − 0), f (x0 + 0) ay katumbas ng infinity, kung gayon ang tuwid na linya x = x 0 ay tinatawag na vertical asymptote ng graph ng function na y = f (x).
Kahulugan. Ang isang function na f(x), na tinukoy sa isang kapitbahayan ng ilang punto x0, ay tinatawag na tuloy-tuloy sa puntong x0 kung ang limitasyon ng function at ang halaga nito sa puntong ito ay pantay, i.e.
Ang parehong katotohanan ay maaaring isulat sa ibang paraan:
Kahulugan. Kung ang function na f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong x0, ngunit hindi tuloy-tuloy sa mismong puntong x0, kung gayon ito ay tinatawag na discontinuous function, at ang puntong x0 ay tinatawag na discontinuity point.
Kahulugan. Ang isang function na f(x) ay sinasabing tuluy-tuloy sa puntong x0 kung para sa anumang positibong numero e>0 mayroong isang numero D>0 na para sa alinmang x na nakakatugon sa kundisyon
totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.
Kahulugan. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa puntong x = x0 kung ang pagtaas ng function sa puntong x0 ay isang infinitesimal na halaga.
f(x) = f(x0) + a(x)
kung saan ang a(x) ay infinitesimal sa x®x0.
Mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar.
1) Ang kabuuan, pagkakaiba at produkto ng mga function na tuloy-tuloy sa puntong x0 ay isang function na tuloy-tuloy sa puntong x0.
2) Ang quotient ng dalawang tuloy-tuloy na function ay isang tuluy-tuloy na function sa kondisyon na ang g(x) ay hindi katumbas ng zero sa puntong x0.
3) Ang superposisyon ng tuluy-tuloy na pag-andar ay isang tuluy-tuloy na pag-andar.
Ang pag-aari na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
Kung ang u = f(x), v = g(x) ay tuluy-tuloy na function sa puntong x = x0, kung gayon ang function na v = g(f(x)) ay isa ring tuluy-tuloy na function sa puntong ito.
Ang bisa ng mga ari-arian sa itaas ay madaling mapatunayan gamit ang limit theorems
Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang agwat.
Ari-arian 1: (Ang unang teorama ni Weierstrass (Weierstrass Karl (1815-1897) - German mathematician)). Ang isang function na tuluy-tuloy sa isang pagitan ay nakatali sa pagitan na ito, i.e. ang kundisyon –M £ f(x) £ M ay nasiyahan sa segment.
Ang patunay ng ari-arian na ito ay batay sa katotohanan na ang isang function na tuluy-tuloy sa puntong x0 ay nakatali sa isang tiyak na kapitbahayan nito, at kung ang isang segment ay nahahati sa isang walang katapusang bilang ng mga segment na "nakontrata" hanggang sa puntong x0 , pagkatapos ay nabuo ang isang tiyak na kapitbahayan ng puntong x0.
Property 2: Ang isang function na tuluy-tuloy sa isang interval ay tumatagal sa pinakamalaki at pinakamaliit na value nito.
Yung. mayroong mga halagang x1 at x2 na ang f(x1) = m, f(x2) = M, at
Tandaan natin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga na maaaring gawin ng function sa isang segment nang maraming beses (halimbawa, f(x) = sinx).
Ang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang interval ay tinatawag na oscillation ng function sa isang interval.
Property 3: (Ikalawang Bolzano–Cauchy theorem). Ang isang function na tuluy-tuloy sa pagitan ay tumatagal sa lahat ng mga halaga sa pagitan ng dalawang arbitrary na halaga sa pagitan na ito.
Pag-aari 4: Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa puntong x = x0, kung gayon mayroong ilang kapitbahayan ng puntong x0 kung saan napanatili ng function ang sign nito.
Property 5: (Unang theorem ng Bolzano (1781-1848) – Cauchy). Kung ang isang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa isang segment at may mga halaga ng magkasalungat na mga palatandaan sa mga dulo ng segment, kung gayon mayroong isang punto sa loob ng segment na ito kung saan ang f(x) = 0.
Yung. kung sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), kung gayon $ x0: f(x0) = 0.
Kahulugan. Ang isang function na f(x) ay sinasabing pare-parehong tuloy-tuloy sa pagitan kung para sa alinmang e>0 ay mayroong D>0 na para sa anumang mga puntos na x1Î at x2Î tulad na
ïx2 – x1ï< D
ang hindi pagkakapantay-pantay ïf(x2) – f(x1)ï ay totoo< e
Ang pagkakaiba sa pagitan ng pare-parehong pagpapatuloy at "ordinaryong" pagpapatuloy ay para sa alinmang e mayroong sarili nitong D, na independiyente sa x, at may "ordinaryong" pagpapatuloy D ay nakasalalay sa e at x.
Property 6: Cantor's Theorem (Georg Cantor (1845-1918) - German mathematician). Ang isang function na tuloy-tuloy sa isang segment ay pare-parehong tuloy-tuloy dito.
(Totoo lang ang property na ito para sa mga segment, at hindi para sa mga interval at half-interval.)
Kahulugan ng pagpapatuloy
Ang isang function na f (x) ay tinatawag na tuluy-tuloy sa isang punto a kung: f () pp
1) ang function na f(x) ay tinukoy sa punto a,
2) ay may hangganan bilang x→ a 2) ay may hangganan bilang x→ a,
3) ang limitasyong ito ay katumbas ng halaga ng function sa puntong ito:
Pagpapatuloy sa pagitan
Ang isang function na f (x) ay sinasabing tuluy-tuloy sa isang interval X kung f () pp ru
Ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto sa pagitan na ito.
Pahayag. Ang lahat ng elementarya ay tuluy-tuloy sa
Mga lugar ng kanilang kahulugan.
Bounded function
Ang isang function ay sinasabing bounded sa isang interval kung
mayroong isang numerong M na para sa lahat ng x ∈
hindi pagkakapantay-pantay:| f(x)| ≤ M.
Dalawang theorems ni Weierstrass
Ang unang teorama ni Weierstrass. Kung ang function f (x r r r r f f (
ay tuloy-tuloy sa segment, pagkatapos ay nakatali ito sa segment na ito
Ang pangalawang teorama ni Weierstrass. Kung ang function na f(x
ay tuloy-tuloy sa segment, pagkatapos ay maabot nito ang segment na ito
ang pinakamaliit na halaga ng m at ang pinakamalaking halaga ng M.
Bolzano-Cauchy theorem
Kung ang function na f (x) ay tuloy-tuloy sa value segment sa f f () pp p
sa dulo ng bahaging ito ang f(a) at f(b) ay may magkasalungat na mga palatandaan,
Sa loob ng segment mayroong isang punto c∈ (a,b) na ang f (c) = 0. ur p () f ()
Kahulugan ng pagpapatuloy ayon kay Heine
Ang function ng isang tunay na variable \(f\left(x \right)\) ay sinasabing tuloy-tuloy sa puntong \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)set ng mga totoong numero), kung para sa anumang sequence \(\left\( ((x_n)) \right\ )\ ), kung kaya't \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] ang kaugnayan \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n) ) \right) = f\left(a \right).\] Sa pagsasagawa, maginhawang gamitin ang sumusunod na \(3\) kundisyon para sa pagpapatuloy ng function \(f\left(x \right)\) sa puntong \(x = a\) ( na dapat isagawa nang sabay-sabay):
- Ang function na \(f\left(x \right)\) ay tinukoy sa puntong \(x = a\);
- Ang limitasyon \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) ay umiiral;
- Ang pagkakapantay-pantay na \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\) ay hawak.
Kahulugan ng Cauchy continuity (notation \(\varepsilon - \delta\))
Isaalang-alang ang isang function na \(f\left(x \right)\) na nagmamapa sa hanay ng mga tunay na numero \(\mathbb(R)\) sa isa pang subset \(B\) ng mga tunay na numero. Ang function na \(f\left(x \right)\) ay sinasabing tuloy-tuloy sa puntong \(a \in \mathbb(R)\), kung para sa anumang numero \(\varepsilon > 0\) mayroong isang numerong \(\delta > 0\) para sa lahat ng \(x \in \ mathbb (R)\), na nagbibigay-kasiyahan sa kaugnayang \[\left| (x - a) \right| Kahulugan ng pagpapatuloy sa mga tuntunin ng mga pagtaas ng argumento at paggana
Ang kahulugan ng continuity ay maaari ding buuin gamit ang mga increment ng argument at function. Ang function ay tuloy-tuloy sa puntong \(x = a\) kung ang pagkakapantay-pantay \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] kung saan \(\Delta x = x - a\).
Ang mga kahulugan sa itaas ng pagpapatuloy ng isang function ay katumbas sa hanay ng mga tunay na numero.
Ang function ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na agwat , kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito.
Mga teorema ng pagpapatuloy
Teorama 1.Hayaang ang function na \(f\left(x \right)\) ay tuluy-tuloy sa puntong \(x = a\) at \(C\) ay isang pare-pareho. Pagkatapos ang function na \(Cf\left(x \right)\) ay tuloy-tuloy din para sa \(x = a\).
Teorama 2.
Dahil sa dalawang function na \((f\left(x \right))\) at \((g\left(x \right))\), tuluy-tuloy sa puntong \(x = a\). Pagkatapos ang kabuuan ng mga function na ito \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy din sa puntong \(x = a\).
Teorama 3.
Ipagpalagay na ang dalawang function na \((f\left(x \right))\) at \((g\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy sa puntong \(x = a\). Pagkatapos ang produkto ng mga function na ito \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy din sa puntong \(x = a\).
Teorama 4.
Dahil sa dalawang function na \((f\left(x \right))\) at \((g\left(x \right))\), tuluy-tuloy para sa \(x = a\). Pagkatapos ang ratio ng mga function na ito \(\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize\) ay tuloy-tuloy din para sa \(x = a\ ) napapailalim sa , na \((g\left(a \right)) \ne 0\).
Teorama 5.
Ipagpalagay na ang function na \((f\left(x \right))\) ay differentiable sa puntong \(x = a\). Pagkatapos ang function na \((f\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy sa puntong ito (ibig sabihin, ang differentiability ay nagpapahiwatig ng pagpapatuloy ng function sa punto; ang kabaligtaran ay hindi totoo).
Theorem 6 (Limit value theorem).
Kung ang isang function na \((f\left(x \right))\) ay tuloy-tuloy sa isang closed at bounded interval \(\left[ (a,b) \right]\), kung gayon ito ay bounded sa itaas at ibaba nito pagitan. Sa madaling salita, may mga numerong \(m\) at \(M\) na \ para sa lahat ng \(x\) sa pagitan \(\left[ (a,b) \right]\) (Figure 1) .
|
||
Fig.1 |
Fig.2 |
Hayaang ang function na \((f\left(x \right))\) ay tuluy-tuloy sa isang sarado at may hangganan na pagitan \(\left[ (a,b) \right]\). Pagkatapos, kung ang \(c\) ay ilang numerong mas malaki kaysa sa \((f\left(a \right))\) at mas mababa sa \((f\left(b \right))\), kung gayon mayroong isang numero \(( x_0)\), tulad na \ Ang teorama na ito ay inilalarawan sa Figure 2.
Pagpapatuloy ng elementarya function
Lahat mga pag-andar ng elementarya ay tuluy-tuloy sa anumang punto sa kanilang domain ng kahulugan.
Tinatawag ang function elementarya
, kung ito ay binuo mula sa isang may hangganang bilang ng mga komposisyon at kumbinasyon
(gamit ang \(4\) operations - karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati)
. Isang grupo ng pangunahing mga pag-andar ng elementarya
kasama ang:
Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na y = f(x) sa puntong x0 at ilan sa kapitbahayan nito. Ang function na y = f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa punto x0, Kung:
1. umiiral
2. ang limitasyong ito ay katumbas ng halaga ng function sa point x0: 
Kapag tinukoy ang limitasyon, binigyang-diin na ang f(x) ay maaaring hindi matukoy sa puntong x0, at kung ito ay tinukoy sa puntong ito, kung gayon ang halaga ng f(x0) ay hindi nakikilahok sa anumang paraan sa pagtukoy ng limitasyon. Kapag tinutukoy ang pagpapatuloy, napakahalaga na ang f(x0) ay umiiral, at ang halagang ito ay dapat na katumbas ng lim f(x).
Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na y = f(x) sa puntong x0 at ilan sa kapitbahayan nito. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang puntong x0 kung para sa lahat ng ε>0 ay mayroong positibong numerong δ na para sa lahat ng x sa δ-kapitbahayan ng puntong x0 (ibig sabihin |x-x0|
Dito ay isinasaalang-alang na ang halaga ng limitasyon ay dapat na katumbas ng f(x0), samakatuwid, sa paghahambing sa kahulugan ng limitasyon, ang kondisyon ng pagbutas ng δ-kapitbahayan 0 ay tinanggal.
Magbigay tayo ng isa pang (katumbas ng naunang) kahulugan sa mga tuntunin ng mga increment. Tukuyin natin ang Δх = x - x0; tatawagin natin ang halagang ito na pagtaas ng argumento. Dahil x->x0, pagkatapos ay Δx->0, ibig sabihin, Δx - b.m. (infinitesimal) dami. Ipahiwatig natin ang Δу = f(x)-f(x0), tatawagin natin ang halagang ito na pagtaas ng function, dahil |Δу| ay dapat (para sa sapat na maliit |Δх|) na mas mababa sa isang arbitraryong numero ε>0, pagkatapos ay Δу- ay b.m din. halaga, samakatuwid
Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na y = f(x) sa puntong x0 at ilan sa kapitbahayan nito. Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa punto x0, kung ang isang infinitesimal increment sa argument ay tumutugma sa isang infinitesimal na increment sa function.
Kahulugan. Ang function na f(x), na hindi tuloy-tuloy sa puntong x0, tinatawag na discontinuous Simula ngayon.
Kahulugan. Ang isang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang set X kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng set na ito.
Theorem sa pagpapatuloy ng isang kabuuan, produkto, kusyente 
Theorem sa pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng tanda ng isang tuluy-tuloy na pag-andar 
Theorem sa pagpapatuloy ng superposisyon ng tuluy-tuloy na pag-andar
Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa isang pagitan at maging monotoniko sa pagitan na ito. Kung gayon ang f(x) ay maaari lamang magkaroon ng mga discontinuity point ng unang uri sa segment na ito.
Intermediate value theorem. Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa isang segment at sa dalawang punto a at b (a ay mas mababa sa b) ay tumatagal ng hindi pantay na halaga A = f(a) ≠ B = f(b), kung gayon para sa anumang numero C nakahiga sa pagitan ng A at B, mayroong isang punto c ∈ kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng C: f(c) = C.
Theorem sa boundedness ng isang tuluy-tuloy na function sa isang pagitan. Kung ang isang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa isang pagitan, kung gayon ito ay nakatali sa pagitan na ito.
Theorem sa pag-abot sa minimum at maximum na mga halaga. Kung ang function na f(x) ay tuloy-tuloy sa isang agwat, pagkatapos ay maabot nito ang ibaba at itaas na mga hangganan sa pagitan na ito.
Theorem sa pagpapatuloy ng inverse function. Hayaang ang function na y=f(x) ay tuloy-tuloy at mahigpit na tumataas (bumababa) sa pagitan [a,b]. Pagkatapos sa segment mayroong isang inverse function na x = g(y), monotonically din ang pagtaas (pagbaba) at tuloy-tuloy.
Ang mga depinisyon at pormulasyon ng mga pangunahing teorema at katangian ng isang tuluy-tuloy na pag-andar ng isang variable ay ibinigay. Ang mga katangian ng isang tuluy-tuloy na function sa isang punto, sa isang segment, ang limitasyon at pagpapatuloy ng isang kumplikadong function, at ang pag-uuri ng mga discontinuity point ay isinasaalang-alang. Ang mga kahulugan at teorema na may kaugnayan sa inverse function ay ibinigay. Ang mga katangian ng elementarya ay nakabalangkas.
NilalamanMaaari nating bumalangkas ang konsepto ng pagpapatuloy sa sa mga tuntunin ng mga pagtaas. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang isang bagong variable, na tinatawag na pagtaas ng variable na x sa punto. Pagkatapos ang function ay tuloy-tuloy sa punto kung
.
Ipakilala natin ang isang bagong function:
.
tawag nila sa kanya pagtaas ng function sa puntong . Pagkatapos ang function ay tuloy-tuloy sa punto kung
.
Kahulugan ng pagpapatuloy sa kanan (kaliwa)
Tungkulin f (x) tinawag tuloy-tuloy sa kanan (kaliwa) sa puntong x 0
, kung ito ay tinukoy sa ilang kanang bahagi (kaliwang bahagi) na kapitbahayan ng puntong ito, at kung ang kanan (kaliwa) na limitasyon sa puntong x 0
katumbas ng halaga ng function sa x 0
:
.
Theorem sa boundedness ng isang tuluy-tuloy na function
Hayaan ang function f (x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0
. Tapos may neighborhood U (x0), kung saan limitado ang function.
Theorem sa pangangalaga ng tanda ng isang tuluy-tuloy na pag-andar
Hayaang maging tuloy-tuloy ang function sa punto. At hayaan itong magkaroon ng positibo (negatibong) halaga sa puntong ito:
.
Pagkatapos ay mayroong isang kapitbahayan ng punto kung saan ang function ay may positibong (negatibong) halaga:
sa .
Arithmetic properties ng tuluy-tuloy na function
Hayaan ang mga function at maging tuloy-tuloy sa punto .
Pagkatapos ay ang mga function, at ay tuloy-tuloy sa punto.
Kung , kung gayon ang function ay tuloy - tuloy sa punto .
Kaliwa-kanang continuity property
Ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto kung at kung ito ay tuloy-tuloy sa kanan at kaliwa.
Ang mga patunay ng mga katangian ay ibinibigay sa pahinang "Mga katangian ng mga pag-andar na tuloy-tuloy sa isang punto".
Pagpapatuloy ng isang kumplikadong function
Continuity theorem para sa isang kumplikadong function
Hayaang maging tuloy-tuloy ang function sa punto. At hayaan ang function na maging tuloy-tuloy sa punto.
Pagkatapos ang kumplikadong pag-andar ay tuloy-tuloy sa punto.
Limitasyon ng isang kumplikadong function
Theorem sa limitasyon ng isang tuluy-tuloy na function ng isang function
Hayaang magkaroon ng limitasyon ng function sa , at ito ay katumbas ng:
.
Narito ang punto t 0
maaaring may hangganan o walang katapusan ang layo: .
At hayaan ang function na maging tuloy-tuloy sa punto.
Pagkatapos ay mayroong limitasyon ng isang kumplikadong function, at ito ay katumbas ng:
.
Theorem sa limitasyon ng isang kumplikadong function
Hayaang magkaroon ng limitasyon ang function at imapa ang isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto sa isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto. Hayaang tukuyin ang function sa kapitbahayan na ito at magkaroon ng limitasyon dito.
Narito ang pangwakas o walang katapusan na malayong mga punto: . Ang mga kapitbahayan at ang mga kaukulang limitasyon ng mga ito ay maaaring maging dalawang panig o isang panig.
Pagkatapos ay mayroong limitasyon ng isang kumplikadong function at ito ay katumbas ng:
.
Mga break point
Pagtukoy sa break point
Hayaang tukuyin ang function sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto . Tinatawag ang punto function break point, kung ang isa sa dalawang kundisyon ay natutugunan:
1) hindi tinukoy sa ;
2) ay tinukoy sa , ngunit wala sa puntong ito.
Pagpapasiya ng discontinuity point ng 1st kind
Tinatawag ang punto discontinuity point ng unang uri, kung ay isang break point at may mga hangganan na one-sided na limitasyon sa kaliwa at kanan:
.
Kahulugan ng isang function jump
Tumalon Δ function sa isang punto ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga limitasyon sa kanan at kaliwa
.
Pagtukoy sa break point
Tinatawag ang punto naaalis na break point, kung may limitasyon
,
ngunit ang function sa punto ay alinman sa hindi tinukoy o hindi katumbas ng limitasyon na halaga: .
Kaya, ang punto ng naaalis na discontinuity ay ang punto ng discontinuity ng 1st kind, kung saan ang jump ng function ay katumbas ng zero.
Pagpapasiya ng discontinuity point ng ika-2 uri
Tinatawag ang punto punto ng discontinuity ng pangalawang uri, kung hindi ito isang discontinuity point ng 1st kind. Ibig sabihin, kung walang kahit isang one-sided na limitasyon, o kahit isang one-sided na limitasyon sa isang punto ay katumbas ng infinity.
Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang agwat
Kahulugan ng isang function na tuloy-tuloy sa isang pagitan
Ang isang function ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang pagitan (at) kung ito ay tuloy-tuloy sa lahat ng mga punto ng bukas na pagitan (at) at sa mga punto a at b, ayon sa pagkakabanggit.
Ang unang theorem ni Weierstrass sa boundedness ng isang function na tuloy-tuloy sa isang interval
Kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang agwat, ito ay nakatali sa agwat na ito.
Pagtukoy sa maaabot ng maximum (minimum)
Ang isang function ay umabot sa maximum (minimum) nito sa set kung mayroong argument kung saan
para sa lahat .
Pagtukoy sa kakayahang maabot ng itaas (ibabang) mukha
Ang isang function ay umabot sa upper (lower) bound nito sa set kung mayroong argument kung saan
.
Ang pangalawang teorama ni Weierstrass sa maximum at minimum ng isang tuluy-tuloy na function
Ang isang function na tuloy-tuloy sa isang segment ay umaabot sa itaas at ibabang hangganan nito o, na pareho, ay umaabot sa maximum at minimum nito sa segment.
Bolzano-Cauchy intermediate value theorem
Hayaang maging tuloy-tuloy ang function sa segment. At hayaang ang C ay isang arbitrary na numero na matatagpuan sa pagitan ng mga halaga ng function sa mga dulo ng segment: at . Pagkatapos ay mayroong isang punto kung saan
.
Bunga 1
Hayaang maging tuloy-tuloy ang function sa segment. At hayaan ang mga halaga ng function sa mga dulo ng segment na magkaroon ng iba't ibang mga palatandaan: o . Pagkatapos ay mayroong isang punto kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero:
.
Bunga 2
Hayaang maging tuloy-tuloy ang function sa segment. Bumitaw . Pagkatapos ang function ay tumatagal sa pagitan ng lahat ng mga halaga mula sa at tanging mga halagang ito:
sa .
Mga kabaligtaran na pag-andar
Kahulugan ng isang inverse function
Hayaan ang isang function na magkaroon ng isang domain ng kahulugan X at isang hanay ng mga halaga Y. At hayaan itong magkaroon ng pag-aari:
para sa lahat .
Pagkatapos para sa anumang elemento mula sa set Y ang isa ay maaaring mag-ugnay lamang ng isang elemento ng set X kung saan . Tinutukoy ng sulat na ito ang isang function na tinatawag baligtad na pag-andar Upang . Ang inverse function ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
Mula sa kahulugan ay sinusundan iyon
;
para sa lahat ;
para sa lahat .
Lemma sa mutual monotonicity ng direkta at kabaligtaran na mga function
Kung ang isang function ay mahigpit na tumataas (bumababa), mayroong isang kabaligtaran na function na mahigpit ding tumataas (bumababa).
Property ng symmetry ng mga graph ng direkta at kabaligtaran na mga function
Ang mga graph ng direkta at kabaligtaran na mga function ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya.
Theorem sa pagkakaroon at pagpapatuloy ng isang inverse function sa isang interval
Hayaang tuluy-tuloy ang function at mahigpit na tumataas (bumababa) sa segment. Pagkatapos ay tinukoy at tuloy-tuloy ang inverse function sa segment, na mahigpit na tumataas (bumababa).
Para sa isang pagtaas ng function. Para sa pagpapababa - .
Theorem sa pagkakaroon at pagpapatuloy ng isang inverse function sa isang interval
Hayaang ang function ay tuloy-tuloy at mahigpit na tumataas (bumababa) sa isang bukas na may hangganan o walang katapusan na pagitan. Pagkatapos ang inverse function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan, na mahigpit na tumataas (bumababa).
Para sa isang pagtaas ng function.
Para sa pagpapababa: .
Sa katulad na paraan, maaari nating bumalangkas ang theorem sa pagkakaroon at pagpapatuloy ng inverse function sa isang kalahating pagitan.
Mga katangian at pagpapatuloy ng elementarya na pag-andar
Ang mga pag-andar ng elementarya at ang kanilang mga kabaligtaran ay tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan. Sa ibaba ay ipinakita namin ang mga pormulasyon ng kaukulang theorems at nagbibigay ng mga link sa kanilang mga patunay.
Exponential function
Exponential function f (x) = isang x, na may base a > 0
ay ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod
,
kung saan ay isang arbitrary na pagkakasunud-sunod ng mga rational na numero na may posibilidad na x:
.
Teorama. Mga Katangian ng Exponential Function
Ang exponential function ay may mga sumusunod na katangian:
(P.0) tinukoy, para sa, para sa lahat;
(P.1) para sa isang ≠ 1
ay may maraming kahulugan;
(P.2) mahigpit na tumataas sa , mahigpit na bumababa sa , ay pare-pareho sa ;
(P.3) ;
(P.3*) ;
(P.4) ;
(P.5) ;
(P.6) ;
(P.7) ;
(P.8) tuloy-tuloy para sa lahat;
(P.9) sa ;
sa .
Logarithm
Logarithmic function, o logarithm, y = mag-log a x, na may base a ay ang kabaligtaran ng exponential function na may base a.
Teorama. Mga katangian ng logarithm
Logarithmic function na may base a, y = mag-log ng x, ay may mga sumusunod na katangian:
(L.1) tinukoy at tuloy-tuloy, para sa at , para sa mga positibong halaga ng argumento;
(L.2) ay may maraming kahulugan;
(L.3) mahigpit na tumataas bilang , mahigpit na bumababa bilang ;
(L.4) sa ;
sa ;
(L.5) ;
(L.6) sa ;
(L.7) sa ;
(L.8) sa ;
(L.9) sa .
Exponent at natural logarithm
Sa mga kahulugan ng exponential function at ang logarithm, lumilitaw ang isang pare-pareho, na tinatawag na base ng kapangyarihan o ang base ng logarithm. Sa pagsusuri sa matematika, sa karamihan ng mga kaso, ang mga mas simpleng kalkulasyon ay nakukuha kung ang numerong e ay ginagamit bilang batayan:
.
Ang exponential function na may base e ay tinatawag na exponent: , at ang logarithm na may base e ay tinatawag na natural logarithm: .
Ang mga katangian ng exponent at ang natural na logarithm ay ipinakita sa mga pahina
"Exponent, e sa kapangyarihan ng x",
"Natural na logarithm, ln x function"
Pag-andar ng kapangyarihan
Power function na may exponent p ay ang function f (x) = x p, ang halaga kung saan sa punto x ay katumbas ng halaga ng exponential function na may base x sa punto p.
Bilang karagdagan, f (0) = 0 p = 0 para sa p > 0
.
Dito ay isasaalang-alang natin ang mga katangian ng power function y = xp para sa mga hindi negatibong halaga ng argumento. Para sa rational m, para sa kakaibang m, ang power function ay tinukoy din para sa negatibong x. Sa kasong ito, ang mga katangian nito ay maaaring makuha gamit ang pantay o kakaiba.
Ang mga kasong ito ay tinalakay nang detalyado at inilalarawan sa pahinang "Pag-andar ng kapangyarihan, mga katangian at mga graph nito".
Teorama. Mga katangian ng power function (x ≥ 0)
Ang power function, y = x p, na may exponent p ay may mga sumusunod na katangian:
(C.1) tinukoy at tuloy-tuloy sa set
sa ,
sa ".
Trigonometric function
Theorem sa pagpapatuloy ng trigonometriko function
Trigonometric function: sine ( kasalanan x), cosine ( kasi x), padaplis ( tg x) at cotangent ( ctg x
Theorem sa pagpapatuloy ng mga inverse trigonometriko function
Inverse trigonometriko function: arcsine ( arcsin x), arc cosine ( arccos x), arctangent ( arctan x) at arc tangent ( arcctg x), ay tuloy-tuloy sa kanilang mga domain ng kahulugan.
Mga sanggunian:
O.I. Besov. Mga lektura sa pagsusuri sa matematika. Bahagi 1. Moscow, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.
Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto.
Ang isang function na tinukoy sa isang kapitbahayan ng ilang punto ay tinatawag tuloy-tuloy sa isang punto, kung ang limitasyon ng function at ang halaga nito sa puntong ito ay pantay, i.e.
Ang parehong katotohanan ay maaaring isulat sa ibang paraan:
Kung ang isang function ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng isang punto, ngunit hindi tuloy-tuloy sa mismong punto, kung gayon ito ay tinatawag pampasabog function, at ang punto ay ang break point.
Halimbawa ng tuluy-tuloy na function:
0 x 0 -D x 0 x 0 +D x
Halimbawa ng hindi tuluy-tuloy na function:
Ang isang function ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang punto kung para sa anumang positibong numero ay mayroong isang numero na para sa anumang kasiya-siyang kondisyon: ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.
Tinatawag ang function tuloy-tuloy sa punto kung ang pagtaas ng function sa punto ay isang infinitesimal na halaga.
kung saan ay infinitesimal sa .
Mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar.
1) ang kabuuan, pagkakaiba at produkto ng mga function na tuloy-tuloy sa isang punto ay isang function na tuloy-tuloy sa isang punto;
2) ang quotient ng dalawang tuloy-tuloy na function ay isang tuluy-tuloy na function sa kondisyon na ito ay hindi katumbas ng zero sa punto ;
3) superposisyon ng tuluy-tuloy na pag-andar - mayroong tuluy-tuloy na pag-andar.
Ang pag-aari na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
Kung ang mga tuluy-tuloy na function sa punto , kung gayon ang function ay isa ring tuluy-tuloy na function sa puntong ito.
Ang bisa ng mga katangian sa itaas ay madaling mapatunayan,
gamit ang limit theorems.
Pagpapatuloy ng ilang elementarya na pag-andar.
1. Function , ay isang tuluy-tuloy na function sa buong domain ng kahulugan.
2. Ang rational function ay tuloy-tuloy para sa lahat ng value maliban sa mga kung saan ang denominator ay nagiging zero. Kaya, ang isang function ng ganitong uri ay tuluy-tuloy sa buong domain ng kahulugan.
3. Trigonometric function at tuluy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan.
Patunayan natin ang property 3 para sa function.
Isulat natin ang pagtaas ng function, o pagkatapos ng pagbabago:
Sa katunayan, may limitasyon para sa produkto ng dalawang function at . Sa kasong ito, ang cosine function ay isang bounded function para sa , at mula noon limitasyon ng function ng sine, pagkatapos ito ay infinitesimal sa .
Kaya, mayroong isang produkto ng isang bounded function at isang infinitesimal, samakatuwid, ang produktong ito, i.e. ang function ay infinitesimal. Alinsunod sa mga kahulugan na tinalakay sa itaas, ang isang function ay isang tuluy-tuloy na function para sa anumang halaga mula sa domain ng kahulugan, dahil ang pagtaas nito sa puntong ito ay isang infinitesimal na halaga.
Mga break point at ang kanilang pag-uuri.
Isaalang-alang natin ang ilang function na tuluy-tuloy sa isang kapitbahayan ng punto, maliban sa puntong ito mismo. Mula sa kahulugan ng isang break point ng isang function ay sumusunod na mayroong isang break point kung ang function ay hindi tinukoy sa puntong ito o hindi tuloy-tuloy dito.
Dapat ding tandaan na ang pagpapatuloy ng isang function ay maaaring one-sided. Ipaliwanag natin ito tulad ng sumusunod.
Kung ang one-sided na limitasyon (tingnan sa itaas) kung gayon ang function ay sinasabing right continuous.
Tinatawag ang punto break point function kung hindi tinukoy sa isang punto o hindi tuloy-tuloy sa puntong iyon.
Tinatawag ang punto discontinuity point ng 1st kind, kung sa puntong ito ang function ay may hangganan ngunit hindi pantay na kaliwa at kanang mga limitasyon:
Upang matugunan ang mga kondisyon ng kahulugan na ito, hindi kinakailangan na ang function ay tinukoy sa punto, ito ay sapat na ito ay tinukoy sa kaliwa at sa kanan nito.
Mula sa kahulugan maaari nating tapusin na sa isang discontinuity point ng unang uri, ang isang function ay maaari lamang magkaroon ng isang may hangganang pagtalon. Sa ilang mga espesyal na kaso, tinatawag din minsan ang isang discontinuity point ng unang uri matatanggal breaking point, ngunit pag-uusapan pa natin ito sa ibaba.
Tinatawag ang punto discontinuity point ng ika-2 uri, kung sa puntong ito ang function ay walang kahit isa sa mga one-sided na limitasyon, o kahit isa sa mga ito ay walang katapusan.
Halimbawa 1 . Dirichlet function (Dirichlet Peter Gustav (1805-1859) - German mathematician, kaukulang miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences 1837)
ay hindi tuloy-tuloy sa anumang punto x 0 .
Halimbawa 2 . Ang function ay may discontinuity point ng ika-2 uri sa punto, dahil .
Halimbawa 3 .
Ang function ay hindi tinukoy sa punto, ngunit may hangganan na limitasyon dito, i.e. sa isang punto ang function ay may discontinuity point ng 1st kind. Ito ay isang naaalis na breaking point, dahil kung tinukoy mo ang function:
Graph ng function na ito:
Halimbawa 4 .
Ang function na ito ay ipinahiwatig din ng sign. Ang function ay hindi tinukoy sa punto. kasi magkaiba ang kaliwa at kanang mga limitasyon ng function, kung gayon ang discontinuity point ay nasa unang uri. Kung palawigin natin ang function sa punto sa pamamagitan ng paglalagay ng , kung gayon ang function ay magiging tuluy-tuloy sa kanan, kung ilalagay natin ang , kung gayon ang function ay magiging tuluy-tuloy sa kaliwa, kung ilalagay natin ang katumbas ng anumang numero maliban sa 1 o –1, pagkatapos ang function ay magiging tuluy-tuloy alinman sa kaliwa o sa kanan, ngunit sa lahat ng mga kaso, ito ay gayunpaman ay magkakaroon ng isang discontinuity ng 1st uri sa punto. Sa halimbawang ito, ang discontinuity point ng 1st kind ay hindi naaalis.
Kaya, upang ang isang discontinuity point ng unang uri ay maaalis, kinakailangan na ang isang panig na mga limitasyon sa kanan at kaliwa ay may hangganan at pantay, at ang function ay hindi natukoy sa puntong ito.
2.2. Pagpapatuloy ng isang function sa isang interval at sa isang segment.
Tinatawag ang function tuloy-tuloy sa isang pagitan (segment), kung ito ay tuloy-tuloy sa anumang punto ng pagitan (segment).
Sa kasong ito, hindi kinakailangan ang continuity ng function sa mga dulo ng segment o interval; one-sided continuity lang ang kinakailangan sa dulo ng segment o interval.
Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang agwat.
Ari-arian 1. (Ang unang teorama ni Weierstrass (Carl Weierstrass (1815-1897) - German mathematician)). Ang isang function na tuluy-tuloy sa isang pagitan ay nakatali sa pagitan na ito, i.e. ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan sa segment:
Ang patunay ng property na ito ay nakabatay sa katotohanan na ang isang function na tuluy-tuloy sa punto ay nililimitahan sa ilang kapitbahayan nito, at kung hahatiin mo ang segment sa isang walang katapusang bilang ng mga segment na "nakontrata" hanggang sa punto, pagkatapos ay isang ang ilang kapitbahayan ng punto ay nabuo.
Ari-arian 2. Ang isang function na tuluy-tuloy sa segment ay tumatagal ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga dito.
Yung. may mga ganoong halaga at iyon , , at:
Pansinin natin. na ang pinakamalaki at pinakamaliit na value na ito ay maaaring gawin ng function sa isang segment nang maraming beses (halimbawa – ).
Ang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function sa isang segment ay tinatawag pag-aatubili mga function sa isang segment.
Ari-arian 3. (Ikalawang Bolzano–Cauchy theorem). Ang isang function na tuluy-tuloy sa pagitan ay tumatagal sa lahat ng mga halaga sa pagitan ng dalawang arbitrary na halaga sa pagitan na ito.
Ari-arian 4. Kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto, kung gayon mayroong ilang kapitbahayan ng punto kung saan pinapanatili ng function ang sign nito.
Ari-arian 5. (Unang teorama ng Bolzano (1781-1848) – Cauchy). Kung ang isang function ay tuluy-tuloy sa isang segment at may mga halaga ng magkasalungat na mga palatandaan sa mga dulo ng segment, kung gayon mayroong isang punto sa loob ng segment na ito kung saan . at malapit sa zero.
sa isang punto ang function ay tuloy-tuloy sa isang punto ng discontinuity ng unang uri
